Linii Electrice Lungi

LINII ELECTRICE LUNGI

26.1. CIRCUITE CU PARAMETRI REPARTIZAI

n capitolele precedente s-au studiat circuite electrice filiforme, formate din elemente de circuit caracterizabile separat numai printr-o rezisten electric, o inductivitate sau o capacitate. Astfel de circuite electrice, care admit scheme echivalente constituite din elemente ideale de circuit (R, L, C) (n numr finit) se numesc circuite cu parametri concentrai.

n numeroase aplicaii tehnice, aproximarea parametrilor concentrai nu este ns valabil. Liniile electrice lungi sunt folosite pentru transportul energiei electrice la distane mari, nfurrile (bobinele) transformatoarelor electrice i alte circuite electrice nu au cmpul electric, cmpul magnetic i transformarea de energie electromagnetic (prin efect Joule-Lenz) concentrate n pri distincte ale circuitului, ci le au repartizate, practic, n tot lungul circuitului. Astfel de circuite se numesc circuite cu parametri repartizai.

Acumularea de sarcini n lungul circuitului, caracterizat prin capacitatea electric, se face ca n regimurile variabile n timp intensitatea curentului electric s varieze n lungul conductoarelor(ne-ramificate ale ) circuitelor cu parametri repartizai. La liniile electrice lungi imperfeciunea izolaiei prin care trece un curent electric ntre conductoarele liniei contribuie la variaia intensitii curentului electric n lungul acestora.

26.2. PARAMETRI LINEICI

Liniile electrice lungi care sunt constituite dintr-un sistem de conductoare filiforme, paralele, cu lungimea foarte mare fa de distana dintre ele se utilizeaz pentru transmiterea la distane mari a energiei electromagnetice (n electroenergetic) sau a semnalelor electromagnetice (n telecomunicaiile pe fire).

Considerm linia bifilar din figura 26.1, de lungime l i notm cu 1-1 bornele de intrare (dinspre generator) i cu 2 2 bornele de ieire (dinspre receptor). S-a considerat un element de linie, de lungime dx,

Fig. 26.1.

situat la distana x de nceputul liniei (respectiv distana x de sfrit). Pentru linia bifilar se definesc urmtorii parametri lineici:

a) Rezistena lineic (rezistena total a celor dou conductoare pe unitatea de lungime):

, (26.1)

unde:

uf este cderea de tensiune din lungul uneia dintre poriunile de conductor, pe lungimea (x;

i curentul din conductor din dreptul acelei poriuni;

(R rezistena ambelor conductoare pe poriunea (x.

Din relaia (6.1) rezult

(26.2)

b) Inductivitatea lineic (inductivitatea sistemului de dou conductoare pe unitatea de lungime a liniei):

, (26.3)

unde (( sete fluxul magnetic prin suprafaa sprijinit de cele dou conductoare de lungime (x (suprafa haurat n figura 26.1), iar (L este inductivitatea proprie corespunztoare acestei poriuni a liniei.

Din relaia (26.3) rezult:

(26.4)

c) Capacitatea lineic (capacitatea sistemului de dou conductoare pe unitatea de lungime a liniei):

(26.5)

unde:

(q este sarcina electric localizat pe suprafaa unuia dintre conductoare pe poriunea (x;

u tensiunea dintre acest conductor i cellalt n dreptul acestei poriuni;

( - capacitatea ntre cele dou conductoare pe poriunea (x.

Din relaia (26.5) rezult:

(26.6)

d) Conductana lineic de izolaie (sau perditana) (conductana izolaiei dintre conductoarele liniei pe unitatea de lungime):

, (26.7)

unde:

(ig este curentul de conducie, care se nchide prin izolantul imperfect dintre cele dou poriuni de conductoare pe lungimea (x;

(G conductana corespunztoare acestei poriuni din izolaia liniei.

Din relaia (26.7) rezult:

. (26.8)

Dac parametrii lineici R0, L0, C0, G0 nu depind de distana x, linia se numete omogen.

26.3. ECUAIILE LINIILOR ELECTRICE LUNGI

n figura 26.1 sunt notate cu u i i tensiunea i curentul din linie la un moment dat la distana x de la nceputul liniei. n acelai moment, la distana x + dx, tensiunea i curentul din linie vor fi , respectiv .

Modificarea tensiunii pe poriunea dx se datoreaz att rezistenei R0dx ct i inductivitii L0dx dintre firele conductoare.

Teorema nti a lui Kirchhoff aplicat nodului A din fig. 26.1 conduce la ecuaia:

, (26.9)

unde:

G0dxu reprezint curentul de conducie ce se scurge ntre conductoare pe poriunea dx;

- curentul de deplasare care se scurge ntre conductoare datorit prezenei capacitii ntre fire i a faptului c exist variaia n timp a tensiunii u (deci a intensitii cmpului electric).

Dup simplificri, ecuaia (26.9) se reduce la forma:

(26.10)

Teorema a doua a lui Kirchhoff aplicat achiului ABCDA din figura 26.1 conduce la ecuaia:

, (26.11)

unde:

R0dxi este cderea de tensiune pe rezistena poriunii dx;

- cderea de tensiune datorit inductivitii proprii a liniei (datorit fluxului magnetic variabil n timp care strbate suprafaa haurat n fig. 26.1).

Dup simplificri, ecuaia (26.11) devine:

. (26.12)

Ecuaiile cu derivate pariale (26.10) i (26.12) reprezint ecuaiile liniilor lungi denumite i ecuaiile telegrafitilor (ecuaii de ordinul I).

Semnul minus care apare n cele dou ecuaii trebuie interpretat prin faptul c att curentul ct i tensiunea u scad n direcia creterii variabilei x(de la generator ctre receptor).

Dac n loc de variabila x se introduce variabila x (msurat de la receptor ctre generator), legate prin relaia: x + x = l = const., adic dx = -dx, ecuaiile liniilor lungi se vor scrie sub forma:

(26.13)

.

Determinare tensiunii i a curentului ca funcii de t i x pe baza rezolvrii ecuaiilor telegrafitilor (26.10 i 26.12 sau sistemul 26.13), care sunt ecuaii cu derivate pariale simultane, n condiii iniiale i de frontier date (adic n regim tranzitoriu) n cazul general al liniilor omogene este o problem complicat, care se face cu metode operaionale (de exemplu cu ajutorul transformrii Laplace).

n cele ce urmeaz vom studia liniile lungi numai n regim permanent sinusoidal.

26.4. LINII LUNGI OMOGENE BIFILARE N REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

n regim permanent sinusoidal, tensiunea i curentul sunt n fiecare punct al liniei lungi, funcii sinusoidale de timp de aceeai frecven, de forma:

(26.14)

, (26.15)

n care valorile efective U(x) i I(x) precum i fazele iniiale ((x) i [((x)-((x)] sunt independente de punctul considerat x al liniei. Aceste mrimi se pot reprezenta n complex simplificat, imaginile lor fiind funcii de variabila spaial x:

(26.16)

(26.17)

Derivatele pariale ale acestor mrimi se reprezint astfel:

(26.18)

(26.19)

i analog pentru curent:

. (26.20)

Folosind aceste reprezentri n complex, ecuaiile telegrafitilor (26.10) i (26.12) se reprezint n complex prin urmtorul sistem de ecuaii difereniale ordinare n variabila x:

(26.21)

,

care reprezint forma complex a ecuaiilor de ordinul nti ale telegrafitilor. Prin derivare se poate elimina succesiv oricare dintre funciile necunoscute I sau U i se obin urmtoarele ecuaii:

, (26.22)

care reprezint forma complex a ecuaiilor de ordinul al doilea ale telegrafitilor.

Dac se noteaz :

(26.23)

( numindu-se constanta de propagare a liniei, ( - constanta de atenuare, iar ( - constanta de faz a liniei (vezi paragraful 26.5), ecuaiile (26.22) se pot scrie simplificat:

; . (26.24)

La rezolvarea acestor ecuaii trebuie s se in seama c U i I sunt legate prin ecuaiile de ordinul nti (26.12), de aceea se rezolv numai una dintre ecuaii, de exemplu aceea a tensiunii, curentul deducndu-se apoi din (26.21).

Ecuaia caracteristica din (26.24) fiind:

, (26.25)

cu soluiile:

, (26.26)

rezult soluia general a tensiunii

, (26.27)

n care A i B sunt constante arbitrare, n general complexe.

Curentul se obine nlocuind expresia lui U(x) din (26.27) n prima ecuaie din (26.21):

. (26.28)

Dac se noteaz:

, (26.29)

Zc numindu-se impedana caracteristic complex a liniei, soluiile generale (26.27) i (26.28) ale formei complexe a ecuaiilor telegrafitilor se pot pune sub forma:

, (26.30)

n care constantele arbitrare complexe A i B sunt determinate prin condiiile de la capetele liniei.

Astfel, n cazul cnd se dau tensiunea i curentul la bornele de intrare a liniei (x = 0), din relaiile (26.30) se obin:

. (26.31)

Din sistemul (26.31) rezult:

. (26.32)

nlocuind valorile lui A i B din (26.30) i (26.32), se obine:

, (26.33)

Acestea se pot scrie sub forma:

, (26.34)

care reprezint forma complex a ecuaiilor liniilor lungi bifilare, liniare i omogene, n regim sinusoidal n funcie de mrimile de intrare.

Dac se dau tensiunea i curentul de la bornele de ieire ale liniei (x = l), rezult din (26.30):

(26.35)

de unde rezult relaiile:

, (26.36)

sau

. (26.37)

nlocuind expresiile constantelor A i B din (26.37) n soluiile generale (26.30), rezult:

. (26.38)

Aceste soluii se pot exprima n funcie de distana x = l x, msurat de la sfritul liniei, i cu ajutorul funciilor hiperbolice se pot scrie sub forma:

(26.39)

care reprezint forma complex a ecuaiilor liniilor lungi bifilare, liniare i omogene, n regim sinusoidal, n funcie de mrimile de ieire.26.5. UNDELE DE TENSIUNE I DE CURENT N CAZUL LINIILOR LUNGI N REGIM SINUSOIDAL

Din relaiile (26.30) rezult c repartiia spaial a tensiunii i a intensitii curentului, la un moment dat t, se obine prin adunarea a cte dou componente:

, (26.40)

respectiv, n valori instantanee:

u(x, t) = ud(x, t) + ui(x, t)

i(x, t) = id(x, t) + ii(x, t) (26.41)

numite: und direct de tensiune (ud), und direct de curent (id), und invers de tensiune (ui) i und invers de curent (ii).

Astfel, valoarea complex a undei directe de tensiune este (a se compara 26.30 cu 26.40):

(26.42)

cu coeficientul

. (26.43)

Aadar, rezult:

(26.44)

sau

. (26.45)

*****fig.2***

Valoarea instantanee corespunztoare este:

(26.46)

Aceast und direct este o und mobil amortizat, n sensul c repartiia ei de-a lungul liniei se deplaseaz pe linie cu o vitez v de la nceputul spre sfritul liniei i se amortizeaz dup exponeniala e-(x. n figura 26.2, a) se reprezint o astfel de und atenuat, la momentele t i t+(t.

n mod asemntor se poate scrie unda invers de tensiune (vezi relaia 26.30):

, (26.47)

care are aceeai form ca i unda direct (vezi relaia 26.42), dac se exprim n funcie de variabila x = l-x. Aceasta component corespunde, prin urmare, unei unde atenuate inverse (vezi figura 26.2,b)) care se propag cu aceeai vitez v n sensul x lor negativi, atenundu-se n sensul ei de propagare cu aceeai atenuare ( pe unitate de lungime.

n analogie cu tensiunea, din relaia a doua (26.30) mai rezulta c i curentul se obine prin suprapunerea a dou componente: curentul direct

(26.48)

i curentul invers (sau reflectat)

(26.49)

Relaia (26.46) justific denumirea de constant de atenuare date prii reale ( a constantei de propagare i de constant de faz dat prii imaginare ( din constanta de propagare.

Se definete lungimea de und ( ca fiind creterea distanei x corespunztoare unei creteri cu 2( a argumentului undei respective (sau cea mai mic distan dintre cele dou puncte n care undele respective sunt n faz):

(t - (x + (d0 - [(t - ((x + () + (d0] = 2( (26.50)

i deci

. (26.51)

Viteza de faz a unei unde fa de sensul pozitiv al axei x este prin definiie viteza unui punct fictiv mobil n care faza undei este constant.

Astfel, pentru undele directe, din condiia

(26.52)

rezult viteza de faz:

. (26.53)

Coeficientul de reflexie al undelor la sfritul liniei (x = l) este prin definiie raportul dintre complexul tensiunii undei inverse i complexul tensiunii undei directe la sfritul liniei (vezi relaia 26.35):

, (26.54)

unde:

Zc = U2/I2 este impedana complex a receptorului conectat la sfritul liniei;

Z impedana caracteristic complex a liniei.

Observaie

Dac receptorul conectat la sfritul liniei are o impedan complex Z2 egal cu impedana caracteristica complex a liniei, adic:

Z2 = Zc, (26.55)

coeficientul de reflexie este nul (K = 0) i ca urmare nu exist unde reflectate, deoarece , adic:

; . (26.56)

Liniile la care este conectat un receptor cu impedana egal cu impedana caracteristic complex a liniei se numesc linii adaptate.26.6. LINIA FR DISTORSIUNI. LINIA FR PIERDERI

Dependena de frecvena a constantei de propagare ((), a constantei de faz (() i deci a vitezei de faz (v = (/() face ca dezavantajele dintre componentele (armonicele) de frecvene diferite ale unui semnal (de exemplu, un curent purttor de informaii) transmis printr-o linie lung s nu fie aceleai la nceputul i la sfritul liniei. Pentru eliminarea acestei distorsiuni a semnalelor cauzat de viteza de faz diferit a armonicelor componente de frecvene diferite, se folosesc liniile fr distorsiune ai cror parametri satisfac condiia lui Heaviside:

. (26.57)

n acest caz, constanta de propagare a liniei fr distorsiuni are expresia:

. (26.58)

Aadar:

(26.59)

. (26.60)

Ca urmare, conform relaiei (26.53), rezult o vitez de faz:

(26.61)

independent de frecven.

Pentru o linie bifilar aerian cu conductoare paralele de diametru 2a foarte mic fa de distana d dintre axele conductoarelor i fa de lungimea l a acestora, inductivitatea i capacitatea lineic au valorile:

(26.62)

(26.63)

i deci viteza de faz este

(26.64)

egal cu viteza de propagare a luminii n vid.

Impedana caracteristic complex a unei linii fr distorsiuni este:

. (26.65)

Pentru realizarea lui Heaviside (26.57) se mrete inductivitatea cablurilor telefonice, intercalnd n serie cu acestea bobine de mare inductivitate (procedeul Pupin).

Liniile fr pierderi sunt linii idealizate cu

R0 = 0; G0 = 0. (26.66)

Ele satisfac condiia lui Heaviside (26.57) i sunt linii fr distorsiuni cu o constant de atenuare (vezi relaia 26.59) nul:

(26.67)

Liniile fr pierderi au impedana caracteristic (vezi relaia 26.65):

(26.68)

i o repartiie spaial periodic sinusoidal (ne-amortizat) a tensiunii i curentului, dea-lungul liniei (vezi relaia 26.46).

PAGE 5

_1069057960.unknown

_1069074629.unknown

_1069079997.unknown

_1069082952.unknown

_1069090975.unknown

_1069091434.unknown

_1069091616.unknown

_1069092286.unknown

_1492940164.unknown

_1069092404.unknown

_1069091840.unknown

_1069091509.unknown

_1069091139.unknown

_1069091269.unknown

_1069091037.unknown

_1069083635.unknown

_1069083869.unknown

_1069082991.unknown

_1069081471.unknown

_1069082309.unknown

_1069082867.unknown

_1069081650.unknown

_1069080591.unknown

_1069081274.unknown

_1069080502.unknown

_1069077466.unknown

_1069078744.unknown

_1069079095.unknown

_1069079400.unknown

_1069078927.unknown

_1069078177.unknown

_1069078573.unknown

_1069078091.unknown

_1069075554.unknown

_1069077079.unknown

_1069077374.unknown

_1069075892.unknown

_1069075304.unknown

_1069075491.unknown

_1069075157.unknown

_1069075170.unknown

_1069074921.unknown

_1069059522.unknown

_1069073923.unknown

_1069074365.unknown

_1069074614.unknown

_1069074070.unknown

_1069073684.unknown

_1069073856.unknown

_1069059893.unknown

_1069058427.unknown

_1069059146.unknown

_1069059445.unknown

_1069058632.unknown

_1069058287.unknown

_1069058344.unknown

_1069058058.unknown

_1069054593.unknown

_1069056727.unknown

_1069057185.unknown

_1069057505.unknown

_1069057660.unknown

_1069057406.unknown

_1069057031.unknown

_1069057094.unknown

_1069056792.unknown

_1069056856.unknown

_1069055996.unknown

_1069056501.unknown

_1069056663.unknown

_1069056368.unknown

_1069055208.unknown

_1069055268.unknown

_1069054750.unknown

_1069052948.unknown

_1069053957.unknown

_1069054316.unknown

_1069054454.unknown

_1069054125.unknown

_1069053691.unknown

_1069053745.unknown

_1069053346.unknown

_1069052242.unknown

_1069052341.unknown

_1069052800.unknown

_1069052332.unknown

_1069051508.unknown

_1069051954.unknown

_1068982446.unknown