Haos determinist elemente

introductive

Procesarea Semnalelor Curs 7

introductive

Gasind sursa de semnal, il putem cunoaste si stapaniGasind sursa de semnal, il putem cunoaste si stapani1

Intuitie

Ce este haosul determinist ?

Dezordine aparenta in dimensiunile observabile

cu ochiul liber. De aceea 98% din persoane il

asimileaza cu ideea de nepredictibilitate (de obicei

in lumea in care traim, multe din semnalele carein lumea in care traim, multe din semnalele care

nu sunt intelese se confunda cu random walk fara

drift). GRESIT !

Haosul determinist: ce vedem de fapt este

generat de o sursa caracterizata de ordine (functie

clara de evolutie) intr-un spatiu cu mai multe

dimensiuni decat cele observabile in mod direct.2

Ce observam pe axa timpului (1D)

3

este o proiectie observabila a

traiectoriei sursei de semnal pe o axa a

unui spatiu neobservabil

4

Ce este sursa de semnal ?

Este un sistem dinamic in timp cu traiectorie intr-un spatiu propriu

numit spatiul fazelor (PHASE SPACE).

Q: Ce vedem in dreapta?

A: Semnal = proiectia traiectoriei sursei pe o axa din phase space.

Aici phase space = planul 2D (stanga) si axa de proiectie este axa y. 5

Ce reprezinta de fapt un semnal ?

Coordonatele sursei de semnal le masuram

pe o axa de proiectie aleasa din Phase Space,

le indexam dupa timp si obtinem un semnal

(discret).(discret).

Axa de proiectie poate fi orice dreapta din

spatiul fazelor (Phase Space), indiferent de

dimensiunea acestuia.

6

..poate fi oricat. Atractorul Lorentz are Dim(Phase Space) = 3..poate fi oricat. Atractorul Lorentz are Dim(Phase Space) = 3

Dimensiunea PHASE SPACE

Acum 3 slide-uri am ilustrat

proiectia 2D a traiectoriei

sursei de semnal...7

..poate fi oricat. Atractorul Lorentz are Dim(Phase Space) = 3..poate fi oricat. Atractorul Lorentz are Dim(Phase Space) = 3

am

Dimensiunea PHASE SPACE

am

proiectat-o

din nou pe

aceasta

axa si am

numit-o

semnal !

8

Remember ?

9

Pana la sfarsitul cursului

Plecam de la observatii 1D (semnale discrete)

Gasim dimensiunea spatiului fazelor

Efectuam predictie in spatiul fazelor utilizand

elemente de geometrie analitica

Ele reprezinta metode state-of-the-art de predictie Ele reprezinta metode state-of-the-art de predictie

neliniara a seriilor de timp.

De ce ? Se estimeaza traiectoria in phase space

si traiectoria estimata se proiecteaza pe aceeasi

axa

- rezulta estimarea (predictia) semnalului

10

Definitie (HAOS DETERMINIST): Un sistem

este caracterizat de haos determinist daca:

1) starea prezenta a sistemului este

determinata de conditiile initiale x0 si de o

regula de evolutie f :

((surse de semnal continue)((surse de semnal continue)

sau

(surse discrete de semnal)

Vectorul pozitie in phase space Vectorul viteza instantanee, denumit si

camp de viteze generalizat

(Generalized Vector Field)

11

si

2) Sistemul are exponent Lyapunov pozitiv siprezinta global mixing (haos):

a) Traiectorii care pleaca din 2 puncte dinphase space separate de distanta sedistanteaza in timp (sensibilitate la conditiileinitiale):initiale):

- = exponent Lyapunov. Pt. a existahaos, trebuie sa fie > 0

b) Traiectoriile prezinta global mixing(apropierea periodica a traiectoriilor)

12

Global mixing explicatii suplimentare

Sistemul evolueaza intr-un volum finit din phasespace, unde traiectoria se auto-intersecteaza sauevolueaza dupa un numar crescator asimptotic deorbite distincte topologic:

Numarul lor creste in timp cu o rata >= 0, numita Numarul lor creste in timp cu o rata >= 0, numitaentropia topologica (h) dupa relatia:

(pentru sisteme discrete caracterizate de haosdeterminist)

13

Exemplu: camp vectorial al unui sistem

haotic determinist sectiune 2D

14

Haos determinist

Sistem determinist cu global mixing si

coeficient Lyapunov pozitiv

15

Ce forta tine un sistem haotic

determinist in volum finit ?

O multime din phase space numita

atractor.

Intuitiv, exemple din realitate: Intuitiv, exemple din realitate:

Soarele atractorul, planetele: sisteme

deterministe mentinute in echilibru de forta

centrifuga.

Phase space-ul = spatiul 3D in care soarele si

planetele exista

Gaurile negre (colapseaza traiectoria sistemului)

16

Ce se intampla cand nu exista atractor ?

Vorbim de sisteme disipative (versus sisteme

haotice deterministe)

atractor17

Ce concluzii se desprind ?

Pentru ca un semnal sa poata fi estimat (prezis) eltrebuie generat de un sistem haotic cu ocomponenta determinista (poate contine sizgomot). In spatiul fazelor trebuie asadar sa existeun atractor (sa existe global mixing).un atractor (sa existe global mixing).

Sursele de semnal caracterizate de haosdeterminist produc semnale stationare.

Daca nu exista atractor nu exista haos deterministsi vorbim de sisteme disipative.

Sistemele disipative produc semnale nestationare.

18

ATRACTOR - Definitie

Dimensiunea topologica a unei multimi atractor A este Dimensiunea multimii phase space M deoarece AM. Daca dim(A) nu este numar intreg, spunem ca atractorul estestraniu (strange attractor)

Dimensiunea topologica a unei multimi atractor A este Dimensiunea multimii phase space M deoarece AM. Daca dim(A) nu este numar intreg, spunem ca atractorul estestraniu (strange attractor)

19

Exemplu: Atractor straniu

Volum finit, NU este sistem disipativ

=> Sistem haotic determinist

20

Exemplu: Atractor straniu Intuitiv: Fum intr-o cutie

Global mixing

In centrul spatiului fazelor:

vector field divergent

Atractorul la extremitatile

volumului (bounded

phase space)

21

Am pus pe site la

http://neuron.ro/PS/Documentatie%20implementare%20proiecte/Chaos_Theory_Book_-_complete.pdf

cartea Classical and Quantum Chaos (735 pagini despre haos)

Pentru mai multe detalii:

- In sectiunea 1.3.1 (pagina 19 din PDF) gasiti o explicatie mai

detaliata a notiunii de haos deterministdetaliata a notiunii de haos determinist

- Tot acolo gasiti si notiunea de entropie topologica

- Cautati Lyapunov in PDF, gasiti link in cuprins la sectiunea

8.3

22