6.1.puteri si logaritmi
TRANSCRIPT
Prof. Tania Andrei, Colegiul Economic A.D. Xenopol, Bucuresti
PUTERI. LOGARITMI
Un număr a se numeşte bază (de logaritmi) dacă 10 ≠> aşia .
În acest caz se defineşte, oricare ar fi Rx ∈ , exponenŃiala xa în baza a:
≥∈=
∈−=
=
∈=⋅⋅⋅=
= ∗
∗
2,,
,,1
0,1
,...
qQq
pxa
Nnnxa
x
Nnxaaaa
a
q p
n
n
x , adică:
=
=
=
=⋅⋅⋅⋅⋅
−
q pq
p
n
n
n
orin
aa
aa
a
aaaaa
1
10
�����
Dacă xaQRx ,−∈ se defineşte cu ajutorul noŃiunii de limită.
Exemplu: nr
n
x 3lim3∞→
= , unde nr este un şir de numere raŃionale convergent către 2
FuncŃia exponenŃială în baza ,:, RRfa → este ( ) xaxf =
ProprietaŃi: (Graficul este la pagina 79)
� 0>xa pentru ( ) Rx∈∀
� f este injectivă : yxaa yx =⇒= (aceasta se foloseşte la ecuaŃii exp.)
� Pentru ( ) Ryx ∈∀ , : yxyx aaa ⋅=+ ( ) xxxbaba ⋅=⋅
y
xyx
a
aa =−
x
xx
b
a
b
a=
( ) xyyx aa = xx
a
b
b
a
=
−
� Monotonia funcŃiei exponenŃiale (foloseşte la rezolvarea inecuaŃiilor exponenŃiale):
∗ Dacă 1>a , funcŃia este strict crescatoare: 2121
xxaaxx <⇔<
∗ Dacă 10 << a 0, funcŃia este strict descrescătoare: 2121
xxaaxx >⇔<
FuncŃia exponenŃială ( ) ( ) xaxfRf =∞→ ,,0: , este bijectivă iar inversa ei,
( ) Rf →∞− ,0:1 , este funcŃia logaritmică ( ) yyf alog=−1
Prof. Tania Andrei, Colegiul Economic A.D. Xenopol, Bucuresti
⇔= rxalog xa r = , în condiŃiile
>
≠
>
0
1
0
x
a
a
. De reŃinut : xaaxlog=
aanot
lglog =10 (logaritm zecimal),
aanot
e lnlog = (logaritm natural), unde e este numărul lui Euler ( 7,2≈e ) ProprietăŃi: (Graficul funcŃiei este la pagina 79)
� 1log;01log == aaa , ( ) 1,0 ≠>∀ aa
� yx
y
x
yxxy
aaa
aaa
logloglog
logloglog
−=
+=
( ) 0,0,1,0 >>≠>∀ yxaa
� xx aa loglog αααααααα = , 0,1,0, >≠>∈ xaaRα .( ( ) 0,log2log 2 ≠∀= xxx aa)
� bxx aba logloglog ⋅= (schimbarea bazei). În particular a
bb
alog
1log =
� Dacă a>1: 2121 loglog xxxx aa <⇔< (funcŃia este strict crescătoare)
Dacă 0<a<1: 2121 loglog xxxx aa >⇔< (funcŃia este strict descrescătoare)
Exemple:
1) Să se scrie xalog ca logaritm natural (în baza e) şi 5log 7 ca logaritm zecimal;
2) Să se rezolve: a) 273
15
>
−x
, b) 10lg ≤xx , c) 1,0,1loglog ≠<+≤ aaxax aa .
R:1) 7lg
5lg
7lg
15lg10log5log5log,
ln
lnlog 7107 =⋅=⋅==
a
xxa ;
2) a) ( )2,2353
1
3
127
3
1355
∞−∈⇔<⇔−<−⇔
>
⇔>
−−−
xxx
xx
;
b) CondiŃia iniŃială este 0>x .Logaritmăm în baza 10
( ) [ ]10,101lg11lg10lglg 12lg −∈⇒≤≤−⇒≤⇒≤⇒ xxxx x ;
c) Punând baza a
1loglog
log+≤⇒ x
x
axa
a
a .Notăm [ ) [ )∞∪−∈⇒+≤+
⇒= ,10,111
log ttt
ttxa
Prof. Tania Andrei, Colegiul Economic A.D. Xenopol, Bucuresti
.Dacă [ )∞∪
∈⇒> ,1,
11 a
axa .Dacă ( ]
∪∈⇒<<
aaxa
1,1,010 .