document5

Problema 1 a fost selectat din nr. 3/2011 al Gazetei Matematice- Seria B, publicaie lunar pentru tineret, fondat n anul 1895, editat de Societatea de tiine Matematice din Romnia

OLIMPIADA DE MATEMATIC ETAPA PE SECTOR, 18.02.2012 -

CLASA A V-A

Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se puncteaz de la 0 la 10 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvrile complete. Timp de lucru: 2 ore.

1. Se consider numerele naturale a i b, 0a b> > . Se tie c, mprind numrul a la numrul a b se obine ctul 2 i restul 3. a) Dac 2011a = , determinai cte valori posibile are diferena a b ; b) Determinai ctul i restul mpririi numrului b la numrul a b .

2. Se consider mulimea { }4 2A k k= + . a) Verificai dac 2012 A ; b) Artai c, oricum am alege dou numere din mulimea A, suma sau diferena acestora este multiplu de 8.

3. Determinai numerele naturale ,m n i p astfel nct 8 11 13 2012m n p+ + = .

4. Se consider numerele naturale a i b, astfel nct 2 a b < . Se completeaz fiecare dintre cele 9 ptrele ale ptratului din figura alturat cu numerele 1, a i b astfel nct fiecare dintre acestea s apar o singur dat pe fiecare linie i pe fiecare coloan a ptratului. a) Artai c dou dintre colurile opuse ale ptratului sunt completate cu numere egale; b) Artai c una dintre diagonalele ptratului este completat cu numere egale; c) Dac produsul numerelor de pe fiecare linie, de pe fiecare coloan i de pe fiecare diagonal este egal cu n, artai c n este cub perfect.

OLIMPIADA DE MATEMATIC ETAPA PE SECTOR, 18.02.2012 -

CLASA A V-A

SOLUII I BAREME ORIENTATIVE

Not: Fiecare subiect se puncteaz de la 0 la 10 puncte. Se acord numai punctaje ntregi.

Orice alt rezolvare se asimileaz conform baremului. Subiectul 1. 1. Se consider numerele naturale a i b, 0a b> > . Se tie c, mprind numrul a la numrul a b se obine ctul 2 i restul 3. a) Dac 2011a = , determinai cte valori posibile are diferena a b ; b) Determinai ctul i restul mpririi numrului b la numrul a b .

prelucrare Gazeta Matematic nr.3/2011

Detalii rezolvare Barem asociat a) Conform teoremei mprrii cu rest, avem ( )2 3a a b= + , cu 3a b > . 2 p Adic ( )2011 2 2011 3b= + , echivalent cu ( )2008 2 2011 b= 2 p Deci 2011 1004b = , adic 1007b = , o singur valoare 1004a b = 2 p b) Conform figurii alturate, n care AC a= i AB b= , obinem c ( )1 3b a b= + 2 p

Cum 3a b > , rezult ctul mpririi lui b la a b egal cu 1, iar restul egal cu 3. 2p 2. Se consider mulimea { }4 2A k k= + . a) Verificai dac 2012 A ; b) Artai c, oricum am alege dou numere din mulimea A, suma sau diferena acestora este multiplu de 8.

Prof. Lucian Petrescu, Tulcea

Detalii rezolvare Barem asociat

a) Restul mpririi la 4 a oricrui numr din mulimea A este egal cu 2. 1 p Cum restul mpririi lui 2012 la 4 este egal cu 0, deducem c 2012 A . 2 p b) Fie ,a b A , cu a b ; deci 4 2a p= + , 4 2b s= + , unde ,p s i p s . 1 p Avem ( )4 1a b p s+ = + + i ( )4a b p s = . 2 p Dac ( )4 1a b p s+ = + + nu se divide cu 8 nseamn c numrul 1p s+ + este impar, deci numrul p s+ este par.

2 p

Rezult c i numrul p s este par, deci numrul ( )4a b p s = este multiplu al lui 8. 2 p

Subiectul 3. Determinai numerele naturale ,m n i p astfel nct 8 11 13 2012m n p+ + = . prof. Mircea Fianu


Rspuns: 3, 2m n p= = =

Cum 2 313 2012 13< < , rezult c { }0;1;2p . 1p Pentru 2p = , obinem 48 11 1843 11m n+ = < . Deci { }0;1;2;3n . 2p Dac 3n = , obinem 38 512 8m = = , deci 3m = . 2p

Dac 2n , rezult c 48 8 1843m > , prin urmare nu avem soluii. 1p

Pentru 1p = , obinem 8 11 1999m n+ = , deci 3n 1p

Cum 1999 1999 11 8 668n m> = > , rezult c nu avem soluii. 1p

Dac 0p = , obinem 8 11 2011m n+ = . 1p

Cum 2011 2011 11 8 680n m> = > , rezult c nu avem soluii. 1p Subiectul 4. Se consider numerele naturale a i b, astfel nct 2 a b < . Se completeaz fiecare dintre cele 9 ptrele ale ptratului din figura alturat cu numerele 1, a i b astfel nct fiecare dintre acestea s apar o singur dat pe fiecare linie i pe fiecare coloan a ptratului. a) Artai c dou dintre colurile opuse ale ptratului sunt completate cu numere egale; b) Artai c una dintre diagonalele ptratului este completat cu numere egale; c) Dac produsul numerelor de pe fiecare linie, de pe fiecare coloan i de pe fiecare diagonal este egal cu n, artai c n este cub perfect.

prof. Lucian Petrescu, Tulcea


a) Deoarece cele patru coluri ale ptratului se pot completa numai cu trei numere, rezult, conform principiului cutiei c n dou dintre coluri se afl acelai numr. 2p

Dar, conform ipotezei cele dou coluri nu se pot afla pe aceeai linie/coloan. Rezult c cele dou coluri care sunt completate cu numere egale sunt opuse. 1p

b) Considerm { } { }; ; 1; ;x y z a b= . Presupunem c, dou coluri opuse ale ptratului sunt completate cu x, iar unul dintre celelalte coluri este completat cu y. (vezi figura). nseamn c linia/coloana pe care se afl cte dou dintre aceste coluri se completeaz cu z.

x

z

y z x

1p

Deci colul opus lui y se completeaz cu z, apoi, obligatoriu, ntre colurile completate cu x i z trebuie completat cu y.

x y z

z y

y z x

2p

Rezult c centrul ptratului trebuie completat cu x, deci una dintre diagonale este completat cu numere egale.

1p

c) Condiia din ipotez spune c 3x xyz n= = . 1p Cum { } { }; ; 1; ;x y z a b= , 2 a b < , rezult 3 1n x xyz= = > . 1p Argumentarea faptului c exist triplete de numere care ndeplinesc condiiile problemei:

{ }1;x b , deci x a= , de unde 2b a= . 1p

sub5bar5

document5

Documents