7/26/2019 4. Linii importante in triunghi.pdf

1/2

4. LINII IMPORTANTE IN TRIUNGHI

1. Bisectoarea n triunghi. Centrul cercului nscris n triunghi

Definitie. Prin bisectoare ntr-un triunghi ntelegem bisectoarea unui unghi al triunghiului. Totbisectoare n triunghi numim si segmentul determinat de un varf si piciorul bisectoarei care pleaca

din acel varf. Fiind dat triunghiul ABC, se noteaza cu la, lb si lc lungimile bisectoarelor din A, B si

respectiv din C.

Teorema. Bisectoarele unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersectie se noteaza, de

obicei, cuI si se numeste centrul cercului nscris n triunghi. Distanta de la Ila oricare dintre laturile

triunghiului se noteaza cu r si se numeste raza cercului nscris n triunghi.

Teorema. Fiind dat triunghiulABC,avand lungimile laturilorBCa, CA b siAB c, atunci

lungimea bisectoarei din A este data de formula la 2bc

b ` c

cosA

2

, unde cosA

2

cppp aq

bc

.

2. Mediatoarea n triunghi. Centrul cercului circumscris triunghiului

Definitie. Prin mediatoare ntr-un triunghi ntelegem mediatoarea unei laturi a triunghiului.

Teorema. Mediatoarele unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersectie se noteaza, de

obicei, cu O si se numeste centrul cercului circumscris triunghiului. Distanta de la O la oricare dintre

varfurile triunghiului se noteaza cu R si se numeste raza cercului circumscris triunghiului.

Observatie.

Centrul cercului circumscris unui triunghi ascutitunghic se afla n interiorul triunghiului.

Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic se afla n mijlocul ipotenuzei.

Centrul cercului circumscris unui triunghi obtuzunghic se afla n exteriorul triunghiului.

Teorie pentru clasa a IX-a

Geometrie si trigonometrie: 4. Linii importante n triunghi

1 Profesor Marius Damian, Braila

7/26/2019 4. Linii importante in triunghi.pdf

2/2

3. Inaltimea n triunghi. Ortocentrul triunghiului

Definitie. Prin n altime ntr-un triunghi ntelegem segmentul care uneste un varf al triunghiului cu

piciorul perpendicularei coborate din acel varf pe dreapta-suport a laturii opuse. Fiind dat triunghiul

ABC, se noteaza cu ha, hb si hc lungimile naltimilor din A, B si respectiv din C.

Teorema. Inaltimile unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersectie se noteaza, de

obicei, cu H si se numeste ortocentrul triunghiului.

Observatie.

Ortocentrul unui triunghi ascutitunghic se afla n interiorul triunghiului.

Ortocentrul unui triunghi dreptunghic se afla n varful unghiului drept.

Ortocentrul unui triunghi obtuzunghic se afla n exteriorul triunghiului.

4. Mediana n triunghi. Centrul de greutate al triunghiului

Definitie. Prin mediana ntr-un triunghi ntelegem segmentul care uneste un varf al triunghiului

cu mijlocul laturii opuse acelui varf.

Teorema. Medianele unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersectie se noteaza, de

obicei, cu G si se numeste centrul de greutate al triunghiului. Centrul de greutate al unui triunghi se

afla, pe fiecare mediana, la o treime de baza si doua treimi de varf, adica, pentru ABCcu medianele

rAMs, rBNs si rCPs, avem GM

GA

GN

GB

GP

GC

1

2.

Teorema. Fiind dat triunghiulABC,avand lungimile laturilorBCa, CA b siAB c, atunci

lungimea medianei din A este data de formula m2a

2pb2 ` c2q a2

4 .

Teorie pentru clasa a IX-a

Geometrie si trigonometrie: 4. Linii importante n triunghi

2 Profesor Marius Damian, Braila