1

4. Funcţii diferenţiabile 4.1. Spunem că funcţia →Af : R, ⊂A R este derivabilă în punctul )int(0 Ax ∈ dacă există limita

∈−−

→ 0

0 )()(lim

0 xxxfxf

xxR. Valoarea acestei limite se notează )( 0xf ′ şi se numeşte derivata lui f în 0x . Dacă

f este derivabilă în fiecare punct din )int(1 AA ⊂ , vom spune că f este derivabilă pe 1A , iar funcţia →′ 1: Af R definită prin )(xfx ′a se numeşte derivata lui f pe 1A .

Funcţia →Af : R, ⊂A R este diferenţiabilă în punctul )int(0 Ax ∈ dacă există o aplicaţie liniară :T R→ R astfel încât:

0)()()(

lim0

00

0

=−

−−−→ xx

xxTxfxfxx

,

cu alte cuvinte

000 )()()()( xxxxxTxfxf −⋅+−+= α , unde 0)(lim0

=→

xxxα .

Funcţia →Af : R, ⊂A R este diferenţiabilă în punctul )int(0 Ax ∈ dacă şi numai dacă este derivabilă în

0x ; aplicaţia liniară :T R→ R este dată de ∈⋅′= ssxfTs ,)( 0 R. Aplicaţia liniară :T R→ R este unică. T se numeşte diferenţiala lui f în 0x şi se notează )( 0xdf . Să ne reamintim că:

Dacă funcţia →Af : R, ⊂A R este derivabilă în punctul )int(0 Ax ∈ , atunci ea este continuă în 0x .

Pentru calculul diferenţial folosim Symbolic math, deoarece o expresie simbolică poate fi derivată, în

timp ce o funcţie din MATLAB nu. Pentru a deriva funcţia reală de variabila reală f , folosim funcţia diff şi anume f1=diff(f); pentru a

calcula )(af ′ vom scrie subs(f1,x,a).

- Să calculăm )3('f în cazul funcţiei 1

1)(2 +

=x

xf

»syms x » f=1/(x^2+1)

f = 1/(x^2+1)

» f1=diff(f) f1 = -2/(x^2+1)^2*x » subs(f1,x,3) ans =

-3/50

Dacă am fi scris direct f1(3) nu am fi obţinut nici un rezultat, după cum se vede: » f1(3)

??? Index exceeds matrix dimensions.

Să reţinem că atunci când lucrăm cu expresii simbolice, nu mai folosim vectori, deci nu mai este valabil produsul, respectiv împărţirea element cu element

- Să calculăm )2(f ′ pentru )1ln()( 2 ++= xxxf syms x »f=log(x+sqrt(x^2+1));f1=diff(f,x)

2

f1 = (1+1/(x^2+1)^(1/2)*x)/(x+(x^2+1)^(1/2))

Expresia derivatei este complicată, e nevoie de simplificări, cu instrucţiunea simplify obţinem: »simplify(f1)

ans = 1/(x^2+1)^(1/2)

» subs(f1,x,2) ans =

0.4472.

- Pentru a determina rădăcinile derivatei funcţiei 16

2)(2 +

=x

xarctgxf vom calcula derivata şi vom

rezolva ecuaţia 0)( =′ xf , folosind funcţia solve.

»f=atan((2*x)/(x^2+16)); f1=diff(f,x) f1 = (2/(x^2+16)-4*x^2/(x^2+16)^2)/(1+4*x^2/(x^2+16)^2)

»froots=solve(f1) froots =

[ 4] [ -4] Exerciţii propuse

1. Calculaţi direct şi utilizând MATLAB următoarele derivate, în punctele indicate;

- )4(−′f pentru 16

2)(2 +

=x

xarctgxf ;

- )1(f ′ pentru 1

2arcsin)(2 +

=x

xxf

comentaţi rezultatele obţinute în al doilea caz.

Despre desenul graficelor de funcţii am discutat în capitolul 1; pentru a desena o funcţie a cărei expresie simbolică o avem, există două posibilităţi:

• Folosim funcţia fin=inline(vectorize(f)), care “vectorizează”, adică redefineşte funcţia pentru a fi în

stare să opereze cu vectori; vor fi înlocuite astfel operaţiile *, ^, / cu .*, .^, . / . În continuare se procedează cum am studiat deja.

- Considerăm 1)( 2 +−= xxxf ca fiind expresie simbolică şi să-i desenăm graficul, folosind instrucţiunea plot, deci “vectorizând-o”

» syms x » f=sqrt(x^2-x+1); fin=inline(vectorize(f))

fin = Inline function: fin(x) = (x.^2-x+1).^(1./2) »x=-5:.1:6; plot(x,fin(x),'r')

3

• desenul graficului unei expresii simbolice se execută uşor folosind ezplot; dezavantajele constau în faptul că nu se mai poate modifica stilul sau culoarea desenului .

»syms x

»f=sqrt(x^2-x+1); ezplot(f,[-5,6])

În cazul funcţiei vectoriale de variabilă reală →Af : Rm, ⊂A R, raportul

,)()(

0

0

xxxfxf

−−

unde )int(0 Ax ∈ este un element din Rm şi astfel 0

0 )()(lim

0 xxxfxf

xx −−

→ se calculează pe

componente.

Funcţia →Af : Rm, ⊂A R, ),...,( 1 mfff = este derivabilă în punctul )int(0 Ax ∈ dacă şi numai dacă toate componentele sale sunt sunt derivabile în punctul 0x , avem ))(),...,()( 0010 xfxfxf m′′=′

Considerăm în R3 un sistem de axe Oxyz , cu versorii kji

rrv,, .

Funcţia kthjtgitftr ⋅+⋅+⋅= )()()()( , ],[ bat∈ , unde →],[:,, bahgf R sunt derivabile, este o curbă

4

parametrizată. Derivata funcţiei vectoriale )(tr , kthjtgitftr ⋅′+⋅′+⋅′=′ )()()()( , ce îndeplineşte condiţia că

0)( ≠′ tr , este vectorul tangent la această curbă. O curbă ],[),( battr ∈ este netedă dacă

)0,0,0()( ≠′ tr , ],[ bat∈ . Analog se definesc aceste noţiuni in R2.

- Elicea definită în 3.3, ktjtittr ⋅++⋅= sincos)( , ]2,0[ π∈t este o curbă netedă deoarece

)0,0,0()1,cos,sin( ≠− tt , ]2,0[ π∈t , vectorul tangent fiind kjtittr ⋅+⋅+⋅−=′ 1cossin)( ;

- Elipsa definită de jtbitatr ⋅+⋅= sincos)( , ]2,0[ π∈t este o curbă netedă deoarece

)0,0()cos,sin( ≠− tbta , ]2,0[ π∈t . Vectorul tangent este jtbitatr ⋅+⋅−=′ cossin)( .

Versorul tangent la curba kthjtgitftr ⋅+⋅+⋅= )()()()( , ],[ bat∈ este vectorul

222 ))(())(())((

)()()(

(t)r

)()(

thtgtf

kthjtgitftrtT

′+′+′

⋅′+⋅′+⋅′=

′

′= . Definim normala la aceeaşi curbă ca fiind )()( tTtN ′=

- Elicea definită prin ktjtittr ⋅++⋅= sincos)( , ]2,0[ π∈t , are:

• versorul tangent kjt

it

tT2

12

cos2

sin)( ++⋅

−= ,

• vectorul normală kjtittN ⋅+−

+⋅−

= 02

sin2

cos)( .

- Elipsa definită de jtbitatr ⋅+⋅= sincos)( , ]2,0[ π∈t , are:

• versorul tangent jtbta

tbitbta

tatT22222222 cossin

cos

cossin

sin)(+

+⋅+

−= ;

• vectorul normală

32222

2

32222

2

cossin

cos

cossin

cos)(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−+⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−=

tbta

tbai

tbta

tabtN .

Considerând o curbă parametrizată →],[: baγ R3 simplă, neînchisă, de ecuaţii parametrice

⎪⎩

⎪⎨

⎧∈

===

],[,)()()(

batthztgytfx

, hgf ,, funcţii de clasă C2, definim lungimea curbei ca fiind

∫ ′+′+′=b

a

dtthtgtfL ]))(())(())([( 222γ .

- Să calculăm lungimea elicei ⎪⎩

⎪⎨

⎧∈

===

]2,0[,2

sincos

: πγ ttztytx

:

πππ

5252)(cos)sin(2

0

2

0

222 ==++−= ∫∫ dtdtttLy .

În continuare vom rezolva folosind MATLAB probleme asemănătoare celor prezentate:

5

- Să calculăm în cazul elicei de ecuaţii parametrice tztytx === ,sin,cos , ]2,0[ π∈t , vectorul tangent, versorul tangent, respectiv vectorul normală.

- Declarăm utilizarea calculului simbolic şi scriem ecuaţiile parametrice ale curbei

» syms t » elice=[cos(t),sin(t),t]

elice = [ cos(t), sin(t), t] Ştiind că vectorul tangent este derivata ))(),(),(( thtgtf ′′′ , calculăm: » tgelice=diff(elice) tgelice =

[ -sin(t), cos(t), 1]

Calculăm norma vectorului găsit »norma=sqrt((tgelice)* tgelice)’) ans =

(sin(t)^2+cos(t)^2+1)^(1/2) Cerem o simplificare:

»norma= simplify(norma) norma=

2^(1/2)

Acum putem determina versorul tangent: » versortgelice=tgelice/norma versortgelice =

[ -1/2*sin(t)*2^(1/2), 1/2*cos(t)*2^(1/2), 1/2*2^(1/2)]

Derivata versorului tangent este vectorul normală: » normelice=diff(versortgelice) normelice =

[ -1/2*cos(t)*2^(1/2), -1/2*sin(t)*2^(1/2), 0]

Pentru a determina lungimea curbei avem de calculat ∫π2

0

normadt ; pentru calculul integralei ∫b

a

dttf )( în

MATLAB, vom scrie int(f,a,b), pentru expresii relativ simple ale lui f . Dacă integrala pare mai complicată folosim double(int(f,a,b)), caz în care integrala se rezolvă numeric.

» int(norma,t,0,2*pi) ans = 2*2^(1/2)*pi

- Să calculăm vectorul tangent, versorul tangent şi vectorul normală, în cazul spiralei lui Arhimede, curbă de ecuaţii parametrice: ]4,0[,sin,cos π∈⋅=⋅= tttyttx . Să calculăm lungimea acestei curbe şi să desenăm curba în acest tool-box Nu mai cerem afişarea tuturor rezultatelor intermediare, punând punct şi virgulă (semicolon) după instrucţiunea respectivă.

6

»sp=[t*cos(t),t*sin(t);] »tgsp=diff(sp)

tgsp = [ cos(t)-t*sin(t), sin(t)+t*cos(t)]

» norma=sqrt(tgsp(1)^2+tgsp(2)^2) norma = ((cos(t)-t*sin(t))^2+(sin(t)+t*cos(t))^2)^(1/2)

» norma=simple(norma) norma = (1+t^2)^(1/2)

»versortgsp=tgsp/norma versortgsp = [ (cos(t)-t*sin(t))/(1+t^2)^(1/2), (sin(t)+t*cos(t))/(1+t^2)^(1/2)]

»normalasp=diff(versortgsp) normala = [ (-2*sin(t)-t*cos(t))/(1+t^2)^(1/2)-(cos(t)-t*sin(t))/(1+t^2)^(3/2)*t, (2*cos(t)-t*sin(t))/(1+t^2)^(1/2)-(sin(t)+t*cos(t))/(1+t^2)^(3/2)*t]

»lungimeasp=int(norma,0,4*pi) ans = 2*pi*(1+16*pi^2)^(1/2)-1/2*log(-4*pi+(1+16*pi^2)^(1/2))

» ezplot(sp,[0.4*pi]);axis normal

Exerciţii propuse

- Calculaţi vectorul tangent, versorul tangent şi vectorul normală, în cazul elipsei 1416

22=+

yx Calculaţi

lungimea curbei şi apoi desenaţi elipsa. ( în MATLAB).

- Calculaţi vectorul tangent, versorul tangent şi vectorul normală, în cazul astroidei 132

32

=+ yx , ale

cărei ecuaţii parametrice sunt ]2,0[sin

cos3

3

π∈⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=t

ty

tx. Calculaţi lungimea curbei şi apoi desenaţi

astroida. ( în MATLAB). -

7

Dacă funcţia →Af : R, ⊂A R, este derivabilă în orice punct al unui interval ),( 00 rxrx +− , )int(0 Ax ∈ şi în plus →+−′ ),(: 00 rxrxf R este derivabilă în 0x , spunem că f este de

două ori derivabilă în 0x şi scriem )()()( 00 xfxf ′′=′′ . Dacă →+−′ ),(: 1010 rxrxf R, rr ≤1 , este derivabilă pe 122020 ),,( rrrxrx ≤+− vom defini funcţia →+−′′ ),(: 2020 rxrxf R, prin )(xfx ′′a , funcţie numită derivata de ordinul II a funcţiei f .

În general, dacă →+− −−− ),(: 1010

)1(nn

n rxrxf R, este derivabilă în 0x , spunem că f este de n ori

derivabilă în 0x şi scriem )()()( 0)(

0)1( xfxf nn =′− .

Analog, putem defini, →+−=′− ),(:)( 00)()1(

nnnn rxrxff R, funcţia )(nf numindu-se derivata de

ordin n a funcţiei f .

- Să calculăm derivata de ordin n a funcţiei axax

xf ≠−

= ,1)( :

432 )(32)(

)(2)(

)(1)(

axxf

axxf

axxf

−

⋅−=′′′⇒

−=′′⇒

−

−=′ şi se demonstrează prin inducţie că

1)(

)(!)1(

)(+−

⋅−=

n

nn

axn

xf .

Folosind acest rezultat anterior, să calculăm derivata de ordin n a funcţiei )1,1(,11ln)( 3 −∈−+

= xxxxf :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+⋅=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

−+

⋅=′1

11

131

1)1(

11

31)(

xxxxxf şi astfel:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

+⋅

−⋅−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+⋅=

−−

nn

nnn

xxn

xxxf

)1(1

)1(1

3)!1()1(

11

11

31)(

1)1()( .

Putem calcula derivate de ordin superior utilizând MATLAB, dar nu vom reuşi să stabilim formula

derivatei de ordin n .

- Pentru a calcula derivatele ),3(),3( )15()5( ff pentru 1)( 2 +−= xxxf , vom scrie un program care calculează derivatele până la ordinul 15. În general e preferabil să cerem afişarea formulei derivatei, după ce au fost făcute simplificările:

» syms x » f=sqrt(x^2-x+1);f(1)=diff(f,x);i=2;while i<16 f(i)=diff(f(i-1),x);i=i+1;end » simplify(f(5))

ans = -45/32*(2*x-1)*(16*x^2-16*x-5)/(x^2-x+1)^(9/2)

» subs(ans,x,3) ans = -0.1007

» simplify(f(15)) ans =

-1915538625/32768*(2*x-1)*(-2553648*x-12221520*x^2+92935936*x^3-66814848*x^4-307261440*x^5+494260224*x^6-27131904*x^7-349470720*x^8+191365120*x^9+7864320*x^10-25165824*x^11+4194304*x^12+289897)/(x^2-x+1)^(29/2) » subs(ans,x,3)

ans = 1.1009e+004

( Să reţinem că: 1.1009e+004 = 1.1009.104 ) Exerciţii propuse

1. Calculaţi derivata de ordinul n a funcţiei ),2()1,(),23ln()( 2 +∞∪−∞∈+−= xxxxf .

8

2. Calculaţi derivata de ordinul n a funcţiei 32,23)( −>+= xxxg .

3. Calculaţi în MATLAB )4(),4( )19()9( −ff şi )1(),0( )15()8( gg unde f respectiv g sunt funcţiile din exerciţiile 1 şi 2.

Vom spune că f este de clasă Cn şi vom scrie ∈f Cn )(A , unde ⊂A R este o mulţime deschisă, dacă

există )()1( ,,...,, nn ffff −′′′ şi )(nf este continuă pe A. Vom spune că f este de clasă C ∞ şi vom scrie

∈f C ∞ )(A dacă există )(nf , ∈∀n N. Formula lui Taylor este generalizarea naturală a teoremei creşterilor finite, în cazul în care f este de clasă Cn+1, permiţând aproximarea acestei funcţii printr-un polinom.

Pentru →If : R, unde ⊂I R este un interval deschis, funcţie de clasă Cn şi Ix ∈0 , polinomul

Ixxfkxx

afxxT kn

k

k

n ∈⋅−

+= ∑=

),(!

)()(),( 0

)(

1

00

se numeşte polinomul lui Taylor de grad n asociat funcţiei f în 0x .

Pentru →If : R, unde ⊂I R este un interval deschis, funcţie de clasă C n+1 şi Ix ∈0 avem:

)()!1()(

),()( )1(1

00 ξ+

+

+−

+= nn

n fn

xxxxTxf , ξ cuprins între x şi 0x .

(formula Taylor). Dacă în formula Taylor, facem 0=n , obţinem formula creşterilor finite.

- Pentru a scrie formula lui Taylor de ordin n pentru funcţia 23,32)( −≥+= xxxf , în punctul 10 =x ,

calculăm derivata de ordin n a funcţiei.:

⇒+⋅⋅−=′′⇒+⋅⋅=

′

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=′

−−23

21

21

)32(221)()32(2

21)32()( xxfxxxf

27

)4(25

)3(53)()32(3)(−−

+⋅⋅−=⇒+⋅=′′′ xxfxxf .

Se arată prin inducţie că 212

1)( )32(!)!32()1()(−

−− +⋅−−=n

nn xnxf Avem

=+−

+⋅−

+= ++

=∑ )(

)!1()1(

)1(!)1(

)1()( )1(1

1

)( ξnnn

k

kk

fn

xf

kx

fxf

+⋅−⋅−⋅−

+⋅⋅−

+=−

−

=

−−

∑ 212

2

121

5!)!32()1(!)1(

5!115

kn

k

kk

kk

xx

2121

)32(!)!12()1()!1(

)1( +−+

+⋅−⋅−⋅+−

+n

nn

nn

xξ cu ξ cuprins între x şi 1 .

- Să scriem formula lui Taylor de ordin n pentru funcţia )1,1(,1ln)( 2 −∈−= xxxf în punctul 00 =x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+=′−++=′

11

11

21))1ln()1(ln(

21)(

xxxxxf şi astfel

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

+⋅

−⋅−=

−

nn

nn

xxn

xf)1(

1)1(

12

)!1()1()(

1)( .

Avem

9

+−+⋅−⋅−

⋅=∑=

−

))1(1(2

)!1()1(!

)(2

1k

n

k

kk kkxxf

ξξξ

,)1(

1)1(

12

!)1()!1(

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

+⋅

⋅−⋅

++

+

nn

nn nnx fiind între 0 şi x.

- Pentru a scrie polinomul Taylor de grad 17, asociat funcţiei 1)( 2 ++= xxxf , în punctul 50 =x vom scrie un program în MATLAB

» syms x » f=sqrt(x^2+x+1); » fx(1)=diff(f,x);

»for n=2:17 fx(n)=diff(fx(n-1));end . »for n=1:17 der(n)=subs(fx(n),x,5);end

»der([1:17]) ans = Columns 1 through 7 0.9878 0.0043 -0.0023 0.0016 -0.0014 0.0015 -0.0018 Columns 8 through 14 0.0025 -0.0038 0.0064 -0.0119 0.0237 -0.0507 0.1157

Columns 15 through 17

-0.2792 0.7090 -1.8818 »f1=subs(f,x,5)

f1 = 5.5678 » n=1;u=x-5;T=f1+u*der(1);while n<17 n=n+1;u=u*(x-5)/n;T=T+u*der(n);end » T

T = 31^(1/2)+11/62*(x-5)*31^(1/2)+19569444466489/9007199254740992*(x-5)^2-83327957083115/216172782113783808*(x-5)^3+78359232369459/1152921504606846976*(x-5)^4-34322562967811/2882303761517117440*(x-5)^5+430170048052519/207525870829232455680*(x-5)^6-28925429699729/80704505322479288320*(x-5)^7+1430392022045803/23242897532874035036160*(x-5)^8-22857593850023/2179021643706940784640*(x-5)^9+1855726854981443/1045930388979331576627200*(x-5)^10-1337579334193/4494232140145565368320*(x-5)^11+853945560043523/17257851418158971014348800*(x-5)^12-362654038099/44514299292870361743360*(x-5)^13+694650716755213/523488159684155454101913600*(x-5)^14-3022907892863/14156831241458530910208000*(x-5)^15+16630261622971/490770149703895738220544000*(x-5)^16-7789421116207/1472310449111687214661632000*(x-5)^17

În Symbolic Math, versiunea 6.5 există funcţia taylor(f,n,a) care calculează polinomul Taylor de grad n pentru ax =0

»syms x » f=sqrt(x^2-x+1);g=taylor(f,17,5)

g = 31^(1/2)+11/62*31^(1/2)*(x-5)+3/7688*31^(1/2)*(x-5)^2-33/476656*31^(1/2)*(x-5)^3+1443/118210688*31^(1/2)*(x-5)^4-15675/7329062656*31^(1/2)*(x-5)^5+338343/908803769344*31^(1/2)*(x-5)^6-3627129/56345833699328*31^(1/2)*(x-5)^7+308906787/27947533514866688*31^(1/2)*(x-5)^8-3264549783/1732747077921734656*31^(1/2)*(x-5)^9+68467943661/214860637662295097344*31^(1/2)*(x-5)^10-

10

712084859607/13321359535062296035328*31^(1/2)*(x-5)^11+29360459147847/3303697164695449416761344*31^(1/2)*(x-5)^12-299711943134967/204829224211117863839203328*31^(1/2)*(x-5)^13+6053302583493231/25398823802178615116061212672*31^(1/2)*(x-5)^14-60392541635188521/1574727075735074137195795185664*31^(1/2)*(x-5)^15+9507297017034049827/1562129259129193544098228824178688*31^(1/2)*(x-5)^16-2968738228367390193/3124258518258387088196457648357376*31^(1/2)*(x-5)^17

În continuare ne vom ocupa de problema transferului de derivabilitate pentru şiruri de funcţii reale de

variabila reală, respectiv pentru serii de puteri:

Dacă ,()( IHomf nn ⊂ R), ⊂I R este un şir de funcţii de clasă C1, punctual convergent la f pe I , cu proprietatea că şirul derivatelor nnf )( ′ converge uniform pe I la funcţia g , atunci funcţia limită f este derivabilă pe I şi gf =′ .

Transferul de derivabilitate este valabil şi în cazul seriilor de funcţii:

Dacă ,()( IHomf nn ⊂ R), ⊂I R interval, este un şir de funcţii de clasă C1 pe I , astfel încât ∑≥0n

nf este

punctual convergentă cu suma f , iar seria derivatelor ∑≥

′0n

nf este uniform convergentă cu suma g , atunci

f este derivabilă şi gf =′ .

În cazul particular al seriilor de puteri rezultatele sunt mai interesante. În primul rând trebuie reţinut că:

Dacă nna )( este un şir de numere reale, seriile de puteri ∑≥

⋅0n

nn xa şi ∑

≥

−⋅0

1

n

nn xna au aceeaşi rază de

convergenţă. Dacă ∑

≥

⋅0n

nn xa este o serie de puteri cu raza de convergenţă 0>R , construim funcţia

→− ),(: RRf R, dată de ∑∞

=

⋅=0

)(n

nn xaxf .

Funcţia →− ),(: RRf R, definită de ∑∞

=

⋅=0

)(n

nn xaxf este de clasă C∞ şi în plus, relaţia

∑∞

=

⋅=0

)(n

nn xaxf poate fi derivată termen cu termen ori de câte ori în ),( RR− .

- )1,1(,1

1

0

−∈∀−

=∑∞

=

xx

xn

n , derivând obţinem )1,1(,)1(

12

0

1 −∈∀−

=⋅∑∞

=

− xx

xnn

n .

Spunem că o funcţie reală →+− ),(: 00 rxrxf R, ∈0x R, 0>r este dezvoltabilă în serie de puteri

centrată în 0x dacă există ra <<0 şi un şir ⊂nna )( R, astfel încât seria ∑≥

−⋅0

0 )(n

nn xxa să fie convergentă

pe ),( 00 axax +− , având suma )(xf . Dezvoltarea ∑∞

=

−⋅=0

0 )()(n

nn xxaxf este unică.

Seria de puteri centrată în ⊂∈ ),(0 bax R, asociată funcţiei →],[: baf R de clasă C∞ , dată de

formula∑≥

−⋅0

00

)(

)(!

)(

n

nn

xxn

xf se numeşte seria Taylor a lui f în jurul punctului 0x .

11

Prezentăm câteva exemple de funcţii elementare, care sunt analitice pe ⊂I R, şi dezvoltările lor în serie; aceste rezultate se pot utiliza pentru a determina dezvoltări în serie ale altor funcţii:

- ∈=∑∞

=

xnxe

n

nx ,

!0

R;

putem astfel calcula dezvoltarea în serie a funcţiei xexf 3)( −= :

∈⋅⋅−

=−

= ∑∑∞

=

∞

=

− xxnn

xe

n

nnn

n

nx ,

!3)1(

!)3(

00

3 R.

- 1,1

1

0

<=− ∑

∞

=

xxx n

n ;

Pentru a determina dezvoltarea în serie a funcţiei 86

1)(2 +−

+=

xxxxf }4,2{∉x , specificând intervalul

pe care este valabilă, ţinem seama că 2

123

41

25

861

2 −⋅−

−⋅=

+−

+xxxx

x şi astfel:

∑∑∞

=

∞

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

−⋅−

−⋅=

00 485

243

41

185

21

143)(

n

n

n

n xxxx

xf nn

n

n

x⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

+

∞

=∑ 1

0 253

21

41 pentru 2|| <x

- ∑∞

=

+ ∈⋅+

−=

0

12 ,)!12(

)1(sin

n

nn

xxn

x R

- ∑∞

=

∈⋅−

=0

2 ,)!2()1(

cosn

nn

xxn

x R

Pentru a găsi dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei xxf 2sin)( = , ∈x R, vom ţine seama de formula

trigonometrică 2

2cos1sin 2 xx −= :

∑∑∞

=

−∞

=

⋅⋅−

−=⋅−

⋅−=0

1

0

2 )()!2(2)1(

21)2(

)!2()1(

21

21sin

n

nnn

n

nn

xn

xn

x , ∈x R.

- ∈−>⋅+−−⋅

+=+ ∑∞

=

ααααα ,1,

!)1)...(1(

1)1(1

xxn

nx n

n

R

Pentru a determina dezvoltarea în serie a funcţiei ∈+

= xx

xf ,1

1)(2

R folosim dezvoltarea

prezentată anterior şi anume:

( ) =⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

+=+= ∑∞

=

− n

n

xn

n

xxf 2

1

21

2

!2

12....25

23

21

1)1()(

( ) ( )∈⋅

⋅

−⋅−+= ∑

∞

=

xxnn n

nn

n

,!2

!!1211 2

1

R

Exerciţii propuse

1. Determinaţi dezvoltările în serie ale următoarelor funcţii, indicând mulţimile pe care au loc:

∈= xexf x ,)(2

1 R ; }5,2{,107

1)(22 ∉

+−= x

xxxf ; ∈= xxxf ,sin)( 3

3 R;

12

)1,1(,1

1)(2

4 −∈−

= xx

xf ; ∈+= xxxf ,1)( 3 35 R

4.2. Pentru funcţia →Af : R, ⊂A Rn, Aa int∈ , considerând un versor ∈s Rn, ( 1=s ) vom că f este

derivabilă după versorul s în a , dacă există şi este finită limita t

aftsaft

)()(lim

0

−+→

, a cărei valoare se

notează )(adsdf şi se numeşte derivata lui f după versorul s în a .

- Să considerăm un versor oarecare ∈= ),( 21 sss R2 şi să calculăm derivata )0,0(dsdf , pentru funcţia

:f R2→ R, definită prin ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+=

)0,0(),(,0

)0,0(),(,),( 22

22

yx

yxyx

yxyxf

0)(

lim)0,0(),(

lim)0,0(22

221

2

221

4

021

0=

+⋅=

−=

→→ ststtsst

tftstsf

dsdf

tt

Dacă },...,,{ 21 neee este baza uzuală în Rn, fiecare niei ≤≤1, este versor şi derivata lui f după

versorul ies = în a se numeşte derivata lui f în raport cu ix în a şi se notează )(axf

i∂∂ . Spunem deci că

f este derivabilă parţial în raport cu ix în a , dacă există

t

aaaaafaataaafa

xf niiiniii

ti

).,..,,,,...,(),...,,,,...,(lim)( 111111

0

+−+−

→

−+=

∂∂

şi este finită.

- Să calculăm cu definiţia, )0,1(xf∂∂ pentru 1),( 22 ++= yxyxf :

121lim

1)0,1()0,(lim)0,1(

2

11 −−+

=−−

=∂∂

→→ xx

xfxf

xf

xx;

aceasta limită este derivata în 1=x a funcţiei 1)( 2 += xxg şi astfel 2

1)0,1( =∂∂

xf .

- Să calculăm )0,0,0(zf∂∂ pentru:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠++

⋅++=

)0,0,0(),,(,0

)0,0,0(),,(,1sin)(),,( 222

222

zyx

zyxzyx

zyxzyxf

01sinlim

1sinlim

)0,0,0(),0,0(lim)0,0,0(

20

22

00=⋅=

⋅=

−=

∂∂

→→→ zz

zz

z

zfzf

zf

zzz.

Se observă ca derivata parţială a lui f în raport cu ix în a este de fapt derivata în ia a unei funcţii de

o singură variabilă:

),...,,,,...,( 111 niiii aaxaafx +−a

şi astfel calculul unei derivate parţiale se reduce la calculul derivatei unei funcţii de o singură variabilă.

13

- Pentru a calcula )1,1( −∂∂

yf pentru )0,0(),(,),(

42

2≠

+= yx

yxyx

yxf , calculăm pentru început ),( yxyf∂∂

( derivata parţială în punctul curent) considerând y ca variabilă ( x este constantă):

242

424

242

23422

)(3

)(4)(

),(yx

yxxyx

yxyyxxyx

yf

+

−=

+

⋅−+⋅=

∂∂

şi astfel 42)1,1( −

−=−∂∂

yf .

- Pentru a calcula )3,1,1( −∂∂

zf pentru xyzzx

yzxzyxf ++= 22),,( , calculăm pentru început ),,( zyx

zf∂∂

considerând z ca variabilă ( x şi y sunt constante):

⇒++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

xyzxyz

xzyxzf 2

221),,( .

314)3,1,1( =−

∂∂

zf

Pentru a calcula derivatele parţiale ale unei expresii simbolice ),( yxf declarăm înainte de a scrie

funcţia, syms x y (dacă expresia simbolică este ),,( zyxf , vom scrie syms x y z). Pentru a determina ),( yxxf∂∂

de exemplu vom cere fx=diff(f,x), iar pentru a calcula ),( baxf∂∂ vom scrie în continuare subs(fx,[x,y],[a,b]).

- Să calculăm derivatele parţiale de ordinul I ale funcţiei :f R →)}0,0\{( R 22

2),(

yx

yxyxf

+

+= şi

apoi să calculăm )1,2(xf∂∂ :

»syms x y » f=(x+y^2)/sqrt(x^2+y^2); »fx=diff(f,x)

fx = 1/(x^2+y^2)^(1/2)-(x+y^2)/(x^2+y^2)^(3/2)*x

» simplify(fx) ans =

-y^2*(-1+x)/(x^2+y^2)^(3/2)

Forma iniţială a lui ),( yxxf∂∂

fiind complicată a fost nevoie de instrucţiunea simplify; pentru calculul

lui ),( yxyf∂∂ ne propunem pentru economie să combinăm cele două instrucţiuni:

» fy=simplify(diff(f,y)) fy =

y*(2*x^2+y^2-x)/(x^2+y^2)^(3/2)

Să calculăm )1,2(xf∂∂

:

» m=subs(fx,[x,y],[2,1]) m =

-0.0894.

- Să calculăm derivatele parţiale de ordinul I ale funcţiei 0,0,0,),,( ≠≠≠++= zyxxz

zy

yxzyxf

»syms x y z » f=x/y+y/z+z/x; » fx=diff(f,x)

14

fx = 1/y-z/x^2

» fy=diff(f,y) fy =

-x/y^2+1/z » fz=diff(f,z)

fz = -y/z^2+1/x

Exerciţii propuse

1. Calculaţi următoarele derivate parţiale şi verificaţi calculând şi în MATLAB:

)2,1( −∂∂

xf pentru )1ln(),( 6422 +++= yxyxyxf

)3,1(−∂∂

yg pentru

22),(

42

2

++

−=

yxyx

yxg

)2,1,1( −∂∂

zh pentru 3422 52),,( xyzyzxzyxh ++=

Noţiunile de derivată după un versor, respectiv derivată parţială, se extind natural în cazul funcţiilor

vectoriale: pentru funcţia →Af : Rm, ⊂A Rn, Aa int∈ , considerând un versor ∈s Rn, vom defini

t

aftsafadsdf

t

)()(lim)(0

−+=

→

studiul acestei limite din Rm reducându-se la studiul limitelor în R pentru cele m componente. Aşadar avem

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

)(),...,(),()( 21 axf

axf

axf

axf

i

m

iii

Definim o matrice remarcabilă, cu m linii şi n coloane:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

)(...)()(...............

)(...)()(

)(...)()(

)(

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

axf

axf

axf

axf

axf

axf

axf

axf

axf

aJ

n

mmm

n

n

f

numită matricea jacobiană a lui f în a . Dacă nm = determinantul matricei jacobiene )(aJ f se numeşte

jacobianul lui f în a ., sau determinantul funcţional al funcţiilor nfff ,...,, 21 în a şi se notează:

)(det)(),...,(),...,(

1

1 aJaxxDffD

fn

n =

- Să explicităm matricea jacobiană fJ în punctul curent pentru ),(),,( xyzzxyzxyzyxf ++= :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++=

xyyx

xzzx

yzzy

J f ;

- Să calculăm în punctul curent, jacobianul funcţiei →××+∞ ],0{]2,0{),0[: ππf R2 , definită prin

)cos,sinsin,cossin(),,( θϕθϕθϕθ rrrrf = :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

0sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossin

θθϕθϕθϕθϕθϕθϕθ

rrrrr

J f

şi astfel θsindet 2rJ f = .

Prezentăm coordonatele sferice, o alternativă la coordonatelor carteziene din R3:

15

Coordonatele sferice ),,( ϕθr , ce caracterizează punctul ∈M R3 reprezintă:

- OMr = , distanţa de la originea O la punctul M , 0≥r ; - θ , unghiul dintre axa Oz şi OM , ],0[ πθ ∈ ; - ϕ ,unghiul dintre axa Ox şi MO ′ , unde M ′ este proiecţia punctului M în planul xOy , ]2,0[ πϕ ∈

Prezentăm formulele ce stabilesc legătura între coordonate carteziene şi coordonate sferice:

θϕθϕθ

cossinsincossin

rzryrx

===

, unde ],0{],2,0{),,0[ πθπϕ ∈∈+∞∈r .

În MATLAB, obţinem matricea jacobiană a funcţiei )),...,(),...,,...,((),...,( 1111 kmkk xxfxxfxxf = scriind »syms x1,…,xk »f=[f1(x1,…,xk),…, fm(x1,…,xk));w=[ x1,…,xk]; J=jacobian(f,w)

Dacă dorim să calculăm jacobiana în punctul (a1,…,ak), vom scrie:

»J1=subs(J, [x1,…,xk], [a1,…,ak])

- Să calculăm matricea jacobiană în punctul curent şi apoi în punctul )3,2,1( pentru funcţia

),(),,( 222 zyxzyxzyxf ++⋅⋅= : » syms x y z » f=[x*y*z,x^2+y^2+2*z^2];w=[x,y,z];J=jacobian(f,w)

J = [ y*z, x*z, x*y] [ 2*x, 2*y, 4*z]

»J1=subs(J,[x,y,z],[1,2,3]) J1 =

6 3 2 2 4 12

- Să calculăm jacobianul funcţiei ],0{]2,0{),0[: ππ ××+∞f definită prin )cos,sinsin,cossin(),,( θϕθϕθϕθ rrrrf = , în punctul curent:

syms r th phi »F=[r*sin(th)*cos(phi),r*sin(th)*sin(phi),r*cos(th)];w=[r,th,phi]; »J1=simplify(det(jacobian(F,w)))

J1 = sin(th)*r^2

16

Exerciţii propuse

1. Calculaţi matricea jacobiană în punctele indicate pentru următoarele funcţii: ),,(),( 22 yxxyyxyxf += în (-1,2)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

−

+=

12,

1),,(

22

22

22

2

zyzx

zyxzyxg în (2,-1,2)

Verificaţi rezultatele calculând în MATLAB. 2. Calculaţi jacobianul funcţiei ),,(),,( 222 zxyzxyxyzzyxzyxf ++++= în (2,1,1); vrificati rezultatul

lucrând în MATLAB.

Funcţia →Af : R, ⊂A Rn, este diferenţiabilă în Aa int∈ dacă există o aplicaţie liniară :T Rn → R,

astfel încât 0)()()(lim =−

−−−→ ax

axTafxfax

.

Considerând →}{\: aAϕ R, ax

axTafxfx

−−−−

=)()()(

)(ϕ , spunem că f este diferenţiabilă în

Aa int∈ dacă există o aplicaţie liniară :T Rn → R, astfel încât AxxaxaxTafxf ∈∀⋅−+−+= ),()()()( ϕ şi 0)(lim =

→x

axϕ .

Dacă funcţia →Af : R, ⊂A Rn, este diferenţiabilă în Aa int∈ , atunci aplicaţia liniară :T Rn → R este unică , se notează )(adfT = şi se numeşte diferenţiala lui f în a.

Dacă →Af : R, ⊂A Rn, este diferenţiabilă în Aa int∈ , atunci este şi continuă în a .

Un rezultat ce merită reţinut se referă la cazul funcţiilor vectoriale de mai multe variabile reale:

Funcţia →Af : Rm, ⊂A Rn, ),...,,( 21 mffff = este diferenţiabilă în Aa int∈ dacă şi numai dacă toate componentele sale sunt diferenţiabile în a şi ))(),...,(),(()( 21 adfadfadfadf m= .

O funcţie →Af : R, ⊂A Rn ce nu admite derivate parţiale în Aa int∈ , nu este diferenţiabilă în a , deoarece:

Dacă →Af : R, ⊂A Rn, este diferenţiabilă în Aa int∈ , atunci există )(adsdf pentru orice versor ∈s Rn

şi avem sadfadsdf )()( = ; în particular, există derivate parţiale de ordinul întâi i

ieadfa

xf )()( =

∂∂ , ni ≤≤1 .

Din propoziţia anterioară deducem că matricea asociată aplicaţiei liniare :)(adf Rn → Rm este matricea

jacobiană )(aJ f .

Pe baza formulei stabilite anterior, pentru o funcţie →Af : R, ⊂A Rn, diferenţiabilă în Aa int∈ , se

pot calcula derivatele după un versor cu ajutorul derivatelor parţiale: fie ∑=

⋅=n

kkk ess

1

, 1=s , atunci:

∑∑∑===

∂⋅=⋅=⋅==

n

k kk

n

kkk

n

kkk a

dxf

seadfsesadfsadfadsdf

111

)()())(()()(

Această formulă este valabilă numai dacă f este diferenţiabilă în a .

- Să determinăm )2,1(dsdf

, dacă ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21,

23s şi 12),( 22 ++= yxyxf :

17

101)2,1(

12),(

22=

∂∂

⇒++

=∂∂

xf

yx

xyxxf

104)2,1(

12

2),(

22=

∂∂

⇒++

=∂∂

xf

yx

yyx

yf

şi astfel:

102

43104

21

101

23)2,1(

⋅

+=⋅+⋅=

dsdf .

Pentru orice aplicaţie liniară :T Rn → R există un vector unic ∈ω Rn astfel încât ∈∀= vvTv ,,ω Rn,

unde , este produsul scalar euclidian (este suficient a lua ω ca fiind vectorul ce are drept componente

nTeTe ,...,1 , unde },...,{ 1 nee este baza uzuală în Rn). Astfel, putem reformula definiţia diferenţiabilităţii unei funcţii într-un punct:

Funcţia →Af : R, ⊂A Rn, este diferenţiabilă în Aa int∈ dacă există un vector ∈ω Rn, astfel încât

0,)()(

lim =−

−−−→ ax

axafxfax

ω.

Acest vector unic determinat se numeşte vectorul gradient al lui f în a şi se notează )(agradf sau

)(af∇ . Având safsadfadsdf ),()()( ∇== , derivata după un versor se obţine prin calcularea produsului scalar

dintre gradient şi versor. Coordonatele vectorului )(af∇ în baza uzuală din Rn sunt derivatele parţiale

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

)(),...,(1

axf

axf

n şi astfel putem considera că )()( aJaf f=∇ .

- Să calculăm )1,3,1( −dsdf dacă ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

36,

32,

31s , pentru funcţia

222212),,(

zyxy

yzzxzyxf

++

++

+= :

»syms x y z »f=(x+z)/(y*z^2)+(2*y+1)/(x^2+y^2+z^2);gradf=jacobian(f,[x,y,z]); »w=subs(gradf,[x,y,z],[1,3,-1]);s=[1/3,sqrt(2)/3,sqrt(6)/3];fs=w*s'

fs = 0.3613

Exerciţii propuse

1. Calculaţi )1,2,1(−dsdf

dacă ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

21,

21,

22s pentru funcţia 12),,( 422 ++= zyxzyxf

Funcţia :ipr Rn→ R, definită prin ini xxxpr =),...,( 1 , fiind o aplicaţie liniară este diferenţiabilă în orice punct din Rn şi ii prdpr = . Această diferenţială, fiind independentă de punctul în care o calculăm, se notează cu idx . Dacă →Af : R, ⊂A Rn, este diferenţiabilă în Aa int∈ , diferenţiala :)(adf Rn → R poate fi

scrisă ca o combinaţie liniară de ndxdx ,...,1 , adică ∑=

⋅∂∂

=n

kk

kdxa

xf

adf1

)()( .

- Pentru funcţia )2ln(),,( 222 ++⋅= zyxzyxf vom calcula )1,2,1( −df :

dzzfdy

yfdx

xfdf ⋅−

∂∂

+⋅−∂∂

+⋅−∂∂

=− )1,2,1()1,2,1()1,2,1()1,2,1(

78)1,2,1(

22

),,(222

2=−

∂∂

⇒++

=∂∂

xf

zyxxy

zyxxf

18

74)1,2,1(

22

),,(222

2=−

∂∂

⇒++

=∂∂

yf

zyxyx

zyxyf

72)1,2,1(

22),,(

222−=−

∂∂

⇒++

=∂∂

zf

zyxzzyx

zf

şi astfel )24(72

72

74

78)1,2,1( dzdydxdzdydxdf −+=⋅−⋅+⋅=− .

Prezentăm In continuare condiţia suficientă de diferenţiabilitate a unei funcţii:

Dacă funcţia →Af : R, ⊂A Rn este de clasă C 1 (adică f este continuă, cu derivate parţiale de ordin I continue) pe A atunci este diferenţiabilă pe A .

Pentru funcţia →Af : R, ⊂A Rn , punctul Aa∈ este punct de minim local al lui f pe A dacă există

o bilă ),( raB astfel încât: ),(),()( raBAxxfaf ∩∈∀≤ . Punctul este de minim global dacă Axxfaf ∈∀≤ ),()( .

Analog, definim punctele de maxim local şi global. Punctele de minim şi de maxim se numesc puncte de extrem. Rezultatul următor este important în studiul extremelor unei funcţii reale, de mai multe variabile reale:

Dacă funcţia →Af : R, ⊂A Rn admite derivate parţiale în a , punct de extrem local, atunci

niaxf

i≤≤=

∂∂ 1,0)( , rezultând că nRaf θ=∇ )( .

Punctul Aa int∈ , în care f este diferenţiabilă şi niaxf

i≤≤=

∂∂ 1,0)( , se numeşte punct critic. Un

punct de extrem local, în care f este diferenţiabilă este un punct critic, reciproca nefiind adevărată.

Am definit anterior derivata de ordin n a unei funcţii de variabilă reală. Procedeul se poate adapta şi derivatelor după un versor şi, în particular, în cazul derivatelor parţiale ale unei funcţii →Af : R unde ⊂A Rn:

Consideram Aa int∈ şi },...,2,1{, nji ∈ , nu neapărat distincte.

Dacă funcţia de o variabilă ),...,,,,...,( 111 niiij

i aaxaaxfx +−∂∂

a este definită pe ⊂+− ),( δδ ii aa R,

0>δ şi dacă această funcţie este derivabilă în ia , atunci putem spune că f este de două ori derivabilă în

raport cu variabilele ix şi jx şi scriem )()(2

axf

xa

xxf

jiji⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

=∂∂

∂ . Derivatele de ordin trei, patru sau mai

mult se definesc analog. Spunem că funcţia →Af : Rm, 1≥m , ⊂A Rn este de clasă Ck pe A , dacă funcţia şi derivatele sale

parţiale până la ordinul k inclusiv, sunt continue pe A. Spunem că f este de clasă C∞ pe A dacă are derivate parţiale de orice ordin, continue pe A..

Pentru funcţia →Af : R, ⊂A Rn, ce admite derivate parţiale de ordinul doi în Aa int∈ se poate defini matricea:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂∂∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂

∂

∂

=

)(.....)()(

........................

)(....)()(

)(....)()(

)(

2

2

2

2

1

2

2

2

22

2

12

21

2

21

2

21

2

ax

fa

xxf

axxf

axxf

ax

fa

xxf

axxf

axxf

ax

f

aH

nnn

n

n

f

numită hessiana lui f în a. Se observă că )()( af f

JaH ∇= , observaţie ce ne este de mare folos în calculul hessianei în MATLAB.

19

Ordinea în care se efectuează derivarea parţială este importantă. O condiţie suficientă ce permite permutarea ordinii de derivare în cazul derivatelor de ordin superior este dată de următorul criteriu:

Dacă funcţia →Af : R, ⊂A Rn este de clasă C 2, atunci se poate permuta ordinea de derivare, adică

ijji xxf

xxf

∂∂∂

=∂∂

∂ 22şi astfel hessiana sa este o matrice simetrică. (Criteriul lui Schwarz).

- Să calculăm hessiana funcţiei 32

),( yy

xyxf += în punctul (2,1):

yxyx

xf 2),( =∂∂ ; 2

2

23),( y

yxyx

yf

+−

=∂∂

yyx

xf 2),(2

2=

∂

∂ ; 2

2 2),(y

xyxxyf −

=∂∂

∂ ; 2

2 2),(y

xyxyxf −

=∂∂

∂ ; yyxyx

yf

62),(3

2

2

2+=

∂

∂

şi astfel ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

14442

)1,2(fH .

Să calculăm în MATLAB câteva derivate de ordin superior:

- )3,2(2

3

xyf

∂∂

∂ , dacă xy

yxyxf −

+=

22),(

»syms x y » f=2/(x+y^2)-y/x; fx1=diff(f,x); fx2=diff(fx1,x); fyx2=diff(fx2,y); » subs(fyx2,[x,y],[2,3])

ans = -0.2549

- )1,1,2(2

4−

∂∂∂

∂

xyzf , pentru )3ln(),,( 222 zyxzyxf ++=

»syms x y z »f=log(x^2+3*y^2+z^2);fx=diff(f,x);fyx=diff(fx,y);fzyx=diff(fyx,z);fzzyx=diff(fzyx,z); »subs(fzzyx,[x,y,z],[2,1,-1])

ans = 0.0469.

Pentru a calcula hessiana unei funcţii într-un punct, folosim formula )()( af fJaH ∇= , şi anume:

»syms x1,…,xk »f=f(x1,…,xk); gradf=jacobian(f,[ x1,…,xk]); »hessianf=jacobian(gradf,[ x1,…,xk])

- Să calculăm hessiana funcţiei 32

),( yy

xyxf += în punctul (2,1):

»syms x y » f=(x^2)/y+y^3;gradf=jacobian(f,[x,y])

gradf = [ 2*x/y, -x^2/y^2+3*y^2]

» hessianf=jacobian(gradf,[x,y]) hessianf =

[ 2/y, -2*x/y^2 ] [ -2*x/y^2, 2*x^2/y^3+6*y]

» subs(hessianf,[x,y],[2,1]) ans =

2 -4 -4 14

20

- Să calculăm hessiana funcţiei xyzxz

zy

yxzyxf +++=

52),,( în punctul (2,2,1):

»f=x/y+2*y/z+5*z/x+x*y*z;gradf=jacobian(f,[x,y,z]); »hessianf=jacobian(gradf,[x,y,z]);subs(hessianf,[x,y,z],[2,-2,1])

ans = 1.2500 0.7500 -3.2500 0.7500 -0.5000 0 -3.2500 0 -8.0000

Exerciţii propuse

1. Calculaţi următoarele derivate de ordin superior, pentru funcţiile date, în punctele indicate:

)2,1(2

2

xf

∂

∂ pentru 22

),( yxxyeyxf −−= ;

)1,2,1(2

3−

∂∂

∂

yxg pentru xyzzyxzyxg −++= 444),,(

)0,2,1(2

4−

∂∂∂

∂

zyxh pentru zezyxh yx cos),,(

2+= .

Verificaţi rezultatele în MATLAB.

2. Calculaţi matricele hessiene pentru următoarele funcţii, în punctele indicate; verificaţi rezultatele în MATLAB:

)1,2(−fH pentru xyyx

yxf ++=11),( ;

)1,2,1( −gH pentru xz

zy

yxzyxg ++=),,(

Spunem că o aplicaţie :B Rn× Rn → R, definită prin ),(),( vuBvu a este biliniară dacă:

- pentru ∈u Rn fixat, aplicaţia ),( vuBv a este liniară; - pentru ∈v Rn fixat, aplicaţia ),( vuBu a este liniară.

Diferenţiala de ordinul doi a lui f în a este definită ca fiind diferenţiala lui df în a şi avem

))(()(2 adfdafd = . )(2 afd poate fi considerat ca fiind o aplicaţie biliniară reală definită pe Rn× Rn. Se demonstrează că dacă funcţia →Af : R, ⊂A Rn este de două ori diferenţiabilă în Aa int∈ , atunci există

cele 2n derivate parţiale de ordinul doi în a şi matricea aplicaţiei biliniare )(2 afd este matricea hessiană în a, .

- Dacă funcţia →Af : R, ⊂A R2, este de clasă C 2 , diferenţiala de ordinul II în Aba int),( ∈ este:

22

222

2

22 ),(),(2),(),( dyba

yf

dydxbayxf

dxbax

fbafd ⋅

∂

∂+⋅⋅

∂∂∂

+⋅∂

∂= ,

unde prin convenţie se face notaţia dxdxdx ⋅=2 .

- Dacă funcţia →Af : R, ⊂A R3, este de clasă C 2 , diferenţiala de ordinul II în Acba int),,( ∈ este:

+⋅∂

∂++⋅

∂

∂= 2

2

22

2

22 ),,(),,(),,( dycba

yf

dxcbax

fcbafd +⋅⋅

∂∂∂

+⋅∂

∂dydxcba

yxf

dzcbaz

f),,(2),,(

22

2

2+

+ +⋅⋅∂∂

∂dzdycba

zyf

),,(22

dxdzcbaxzf

⋅⋅∂∂

∂),,(2

2

Prezentăm succint o serie de rezultate din algebră, ce sunt necesare studiul extremelor::

21

O aplicaţie biliniară :B Rn× Rn → R este simetrică dacă: ∈∀= vuuvBvuB ,),,(),( Rn. O aplicaţie :q Rn → R se numeşte formă pătratică pe Rn dacă există o aplicaţie biliniară simetrică

:B Rn× Rn → R, astfel încât: ),,()( uuBuq = ∈∀u Rn. O formă pătratică q este semi-pozitiv definită dacă ∈∀≥ uuq ,0)( Rn şi respectiv q este pozitiv

definită dacă ∈∀> uuq ,0)( Rn }\{θ . Matricea lui q , notată njiaij ≤≤ ,1),( , în baza uzuală },...,{ 1 nee din Rn este definită ca fiind matricea asociată aplicaţiei biliniare simetrice B asociată lui q .

Forma q este pozitiv definită dacă şi numai dacă determinanţii:

11a , 2221

1211

aaaa

,

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

,…,

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

...............

...

...

21

22221

11211

,

sunt strict pozitivi (condiţia Sylvester). Formă q este negativ definită dacă şi numai dacă avem:

011 <a , 02221

1211 >aaaa

, 0

333231

232221

131211

<aaaaaaaaa

,…

Un număr real λ se numeşte valoare proprie a unei aplicaţii liniare :T Rn → Rn dacă există un vector

∈x Rn }\{θ astfel încât xTx λ= . Vectorul x se numeşte vector propriu al aplicaţiei T, corespunzător valorii proprii λ . Ecuaţia Tx xλ= poate fi scrisă sub forma θλ =− xIT )( , unde I este operatorul identitate. Soluţiile ecuaţiei 0=− IM T λ , unde I este matricea unitate de ordin n sunt valorile proprii ale aplicaţiei liniare T

- Să considerăm o aplicaţie liniară T : R2 →R2, a cărei matrice asociată este ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− 2132

. Valorile proprii

sunt rădăcinile ecuaţiei 02132

=−−−

−λ

λ

In MATLAB având dată matricea M, funcţia eig(M) ne calculează valorile proprii: »M=[2 3;-1 -2]; eig(M)

ans = 1 -1 Putem enunţa un alt criteriu necesar şi suficient ca o formă pătratică să fie pozitiv definită:

Forma pătratică :q Rn → R este pozitiv definită dacă şi numai dacă toate valorile proprii ale matricei

njiaij ≤≤ ,1),( sunt strict pozitive. Formă q este negativ definită dacă şi numai dacă toate valorile proprii ale

matricei njiaij ≤≤ ,1),( sunt strict negative. Dacă funcţia →Af : R, ⊂A Rn este de clasă C2, atunci )(2 afd este în fiecare punct Aa int∈ , o

aplicaţie biliniară simetrică a cărei matrice în baza uzuală din Rn este hessiana lui f . Revenind la studiul extremelor unei funcţii, rezultatul următor stabileşte în ce condiţii un punct critic

este punct de extrem local:

Fie funcţia →Af : R, ⊂A Rn, de clasă C 2 şi Aa int∈ . Dacă a este punct critic şi )(2 afd este pozitiv definită (negativ definită), atunci a este punct de minim (maxim).

- Pentru a găsi extremele funcţiei yxxyyxyxf 84),( 22 +−++= , calculăm mai întâi punctele critice,

22

ca soluţii ale sistemului

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++=∂∂

=−+=∂∂

082

042

xyyf

yxxf

.Acestea sunt ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

320,

316

Calculăm matricea hessiană în punctul curent:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2112

),( yxH f

şi evaluăm:

3320,

316det =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=∆ fH ; 2

320,

316

2

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂

∂

xf , rezultă că ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

320,

316 este punct de minim.

Să rezolvăm aceeaşi problemă, renunţând la regula lui Sylvester, şi folosind condiţia necesară şi suficientă cu valori proprii:

Folosim rezultatele obţinute anterior, scriem hessiana în punctul critic ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2112

320,

316

fH ,

calculându-i valorile proprii prin rezolvarea ecuaţiei 021

12=

−−

λλ

1,301)2( 212 ==⇒=−− λλλ , ceea ce înseamnă că ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

320,

316 este punct de minim.

- Să calculăm punctele de extrem ale funcţiei zxxyzyxzyxf 2),,( 222 −+−++=

Calculăm mai întâi punctele critice, ca soluţii ale sistemului :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

=∂∂

0

0

0

zfyfxf

,

adică: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=−=+−

02202

012

zxy

yx⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⇒ 1,

31,

32 ; hessiana în acest punct este

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

200021012

.

Cu regula lui Sylvester obţinem că funcţia are un minim în ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− 1,

31,

32 , deoarece:

;211 =a 32112

2221

1211 =−

−=

aaaa

; 6200021012

333231

232221

131211

=−−

=aaaaaaaaa

Să rezolvăm problema calculănd valorile proprii ale hessianei. Ecuaţia 0200

021012

=−

−−−−

λλ

λare

soluţiile 3,2,1 321 === λλλ . Aşadar valorile proprii fiind pozitive, avem un punct de minim.

Să rezolvăm aceste două probleme de calcul al extremelor utilizând MATLAB.

- extremele funcţiei yxxyyxyxf 84),( 22 +−++=

23

syms x y

» f=x^2+y^2+x*y-4*x+8*y;gradf=jacobian(f,[x,y])

gradf =

[ 2*x+y-4, 2*y+x+8]

» [xcr,ycr]=solve(gradf(1),gradf(2)); [xcr,ycr]

ans=

[16/3 -20/3]

» hessianf=jacobian (gradf,[x,y])

hessianf =

[ 2, 1]

[ 1, 2]

Observăm că nu este cazul să înlocuim în hessiană ),( yx cu ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

320,

316 .

Aplicăm regula Sylvester

»a11=2;d=det(hessianf);[a1 d]

ans=

[2 3]

şi astfel ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

320,

316 este punct de minim.

Putem lucra şi cu valorile proprii:

»eig(hessianf)

ans =

[ 1]

[ 3]

Valorile proprii fiind pozitive, punctul ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

320,

316 este un punct de minim.

- punctele de extrem ale funcţiei zxxyzyxzyxf 2),,( 222 −+−++= syms x y z » f=x^2+y^2+z^2-x*y+x-2*z; gradf=jacobian(f,[x,y,z]) gradf = [ 2*x-y+1, 2*y-x, 2*z-2] » [xcr ycr zcr]=solve(gradf(1),gradf(2),gradf(3)); [xcr ycr zcr]

24

ans= [ -2/3, -1/3, 1]

» hessianf=jacobian(gradf,[x,y,z]) hessianf =

[ 2, -1, 0] [ -1, 2, 0] [ 0, 0, 2]

» a11=2;d1=det([2 -1;-1 2]); d=det(hessianf); [a11 d1 d] ans=

[ 2, 3, 6] aşadar punctul critic gasit este de minim. Să calculăm valorile proprii ale hessianei (ca exerciţiu) » eig(hessianf)

ans = [ 1] [ 2] [ 3]

- Să calculăm extremele funcţiei 2244 224)( yxxyyxxf −−++= syms x y » f=x^4+y^4+4*x*y-2*x^2-2*y^2;gradf=jacobian(f,[x,y])

gradf = [ 4*x^3+4*y-4*x, 4*y^3+4*x-4*y]

» [xcr ycr]=solve(gradf(1), gradf(2)); [xcr ycr] ans =

[ 0, 0] [ 0, 0] [ 0, 0] [ -2^(1/2), 2^(1/2)] [ 2^(1/2), -2^(1/2)] [ -1/2*(2+2*i*3^(1/2))^(1/2)*(-1/2+1/2*i*3^(1/2)), 1/2*(2+2*i*3^(1/2))^(1/2)] [ 1/2*(2+2*i*3^(1/2))^(1/2)*(-1/2+1/2*i*3^(1/2)), -1/2*(2+2*i*3^(1/2))^(1/2)] [ -1/2*(2-2*i*3^(1/2))^(1/2)*(-1/2-1/2*i*3^(1/2)), 1/2*(2-2*i*3^(1/2))^(1/2)] [ 1/2*(2-2*i*3^(1/2))^(1/2)*(-1/2-1/2*i*3^(1/2)), -1/2*(2-2*i*3^(1/2))^(1/2)]

Ultimele patru soluţii nu ne interesează fiind numere complexe; vom studia care dintre punctele (0,0), )2,2( − şi )2,2(− sunt puncte de extrem cu regula lui Sylvester şi apoi folosind varianta cu

valori proprii: » hessianf=jacobian(gradf,[x,y])

hessianf = [ 12*x^2-4, 4] [ 4, 12*y^2-4]

» H1=subs(hessianf,[x,y],[0,0]) H1 =

-4 4 4 -4 » a11=-4;d =det(H1);[a11 d]

ans = -4 0 » H2=subs(hessianf,[x,y],[2^(1/2),-2^(1/2)])

H2 = 20.0000 4.0000 4.0000 20.0000 » a11=20;d=det(H2);[a11 d]

ans = 20.0000 384.0000 » H3=subs(hessianf,[x,y],[-2^(1/2),2^(1/2)])

25

H3 = 20.0000 4.0000 4.0000 20.0000 » a11=20;d=det(H3);[a11 d]

ans = 20.0 384.0000

In concluzie (0,0) nu este punct de extrem, în timp ce punctele )2,2( − şi )2,2(− sunt puncte de minim. » eig(H1)

ans = -8 0 » eig(H2)

ans = 16.0000 24.0000 » eig(H3)

ans = 16.0000 24.0000 Natural am obţinut aceeaşi concluzie ca în varianta regulii lui Sylvester

Exerciţii propuse

1. Calculaţi extremele următoarelor funcţii: -

22),(1

yxexyxf −−⋅= ;

- 22

),(2yxeyyxf −−⋅= ;

- 2233 753),( yyxxxyxf −⋅+−= ;

- 0,0,0,24

),,(22

4 >>>+++= zyxzy

zx

yxzyxf ;

- xyzzyxzyxf +++= 4446 ),,( .

Verificaţi rezultatele obţinute folosind MATLAB.

4.3. Considerând mulţimile deschise ⊂BA, R şi funcţia →×BAF : R, ne interesează în ce condiţii ecuaţia 0),( =yxF determină pe y ca funcţie de x . În cazul în care fiecărui Ax∈ îi corespunde din ecuaţie, o soluţie unică By∈ , atunci funcţia BA →:ϕ care asociază fiecărui Ax∈ pe By∈ , se numeşte funcţie implicită definită de ecuaţia ( , ) 0F x y = şi este caracterizată prin: BA →:ϕ şi AxxxF ∈∀= ,0))(,( ϕ Să considerăm funcţia →×BAF : Rm, ),...,( 1 mFFF = unde ⊂A Rn , ⊂B Rm, şi sistemul

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

0),...,,,...,(.......................

0),...,,,...,(

11

111

mnm

mn

yyxxF

yyxxF . Ne interesează punctele BAyx ×∈),( care verifică sistemul şi pentru care

există bilele deschise ),,( δxB ),( εyB astfel încât sistemul să aibă, pentru fiecare ),(),...,( 1 δxBxx n ∈ o soluţie

unică ),(),...,( 1 εyByy n ∈ . Funcţia implicită definită este ),(),(: εδϕ yBxB → , având proprietăţile:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

0)),...,(),...,,...,(,,...,(.......................

0)),...,(),...,,...,(,,...,(

1111

11111

nmnnm

nmnn

xxxxxxF

xxxxxxF

ϕϕ

ϕϕ, unde ),(),...,( 1 δxBxx n ∈ .

26

În general însă, nu se poate calcula efectiv funcţia implicită şi teorema funcţiilor implicite ne dă condiţii ce asigură existenţa soluţiei.

Matricea jacobiană a lui F în raport cu y

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

),(...),(.........

),(...),(

1

1

1

1

yxyF

yxyF

yxyF

yxyF

m

mm

m

este matricea asociată diferenţialei funcţiei ),( yxFy → . Determinantul său se numeşte jacobianul lui F în

raport cu y şi se notează ),(),...,(),...,(

1

1 yxyyDFFD

m

m .

Considerând mulţimea deschisă ⊂D Rn × Rm , funcţia de clasă C1 →DF : Rm şi punctul Dyx ∈),( cu

proprietatea că mRyxF θ=),( , presupunem că 0),(),...,(),...,(

1

1 ≠yxyyDFFD

m

m ; atunci rezultă că există bilele deschise

),,( δxB ),( εyB astfel încât DyBxB ⊂× ),(),( εδ :

1. ),( δxBx∈∀ există ),( εyBy∈ , soluţie unică a ecuaţiei )0,...,0(),( =yxF .

2. Funcţia ),(),(: εδϕ yBxB → care asociază lui x acest y unic, soluţie a ecuaţiei mnRyxF += θ),(

este de clasă C1. (teorema funcţiilor implicite)

În condiţiile teoremei, pentru a calcula derivatele parţiale njmkxx j

k ≤≤≤≤∂∂

1,1),(ϕ ale funcţiei

implicite, se deduc formulele:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ −

n

mm

n

m

mm

m

n

mm

n

xF

xF

xF

xF

yF

yF

yF

yF

xx

xx

............

...

............

...

............

...

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

ϕϕ

ϕϕ

În cazul 1== nm , avem

yFxF

dxd

∂∂∂∂

−=ϕ .

- Pentru a calcula derivatele de ordinul I ale funcţiei )(xy definite implicit prin ecuaţia

3)1ln( 2232 =++− yxyx , considerăm funcţia

3)1ln(),( 2232 −++−= yxyxyxF .

şi calculăm 1

2322

22

++−=

∂∂

yxyyx

yF ; dacă 0≠

∂∂

yF aplicăm formula rezultată din teorema funcţiilor

implicite şi avem:

xyxyx

xyxxy

yFxF

dxdy

y2)1(3

2)1(22222

223

−++

−++−=

∂∂∂∂

−==′ .

» syms x y

» F=x^2*y^3-log(x^2+y^2+1)-3; » Fy=diff(F,y)

Fy = 3*x^2*y^2-2*y/(x^2+y^2+1)

» Fx=diff(f,x)

27

Fx = 2*x*y^3-2*x/(x^2+y^2+1)

» y1=-Fx/Fy y1 = (-2*x*y^3+2*x/(x^2+y^2+1))/(3*x^2*y^2-2*y/(x^2+y^2+1))

- Ecuaţia 22322

=−+ zxye zy defineşte z ca funcţie de yx, , pentru a calcula derivatele parţiale ale lui

),( yxz , considerăm funcţia 2),,( 2322−−= + zxyezyxF zy ;

dacă 022 322≠−⋅=

∂∂ + zxyez

zF zy putem calcula:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

⋅

∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

yF

xF

zFx

zxz 1

şi astfel;

zxyez

zy

zFxF

xz

zy 3

23

2222−⋅

−−=⋅

∂∂∂∂

−=∂∂

+;

zxyez

zxyey

zFyF

yz

zy

zy

3

22

22

3222

22

−⋅

−⋅=⋅

∂∂∂∂

−=∂∂

+

+

.

» syms x y z » F=exp(y^2+z^2)-x*y^3*z^2; » Fz=diff(F,z)

Fz = 2*z*exp(y^2+z^2)-2*x*y^3*z

» Fx=diff(F,x) Fx = -y^3*z^2

» Fy=diff(F,y) Fy = 2*y*exp(y^2+z^2)-3*x*y^2*z^2

» zx=-Fx/Fz zx = y^3*z^2/(2*z*exp(y^2+z^2)-2*x*y^3*z)

» zy=-Fy/Fz zy = (-2*y*exp(y^2+z^2)+3*x*y^2*z^2)/(2*z*exp(y^2+z^2)-2*x*y^3*z)

- Pentru a calcula derivatele parţiale ale funcţiilor ),(),,( yxvyxu definite implicit de sistemul:

⎩⎨⎧

⋅=⋅=

vuyvux

sincos , considerăm funcţiile vuyvuyxFvuxvuyxF sin),,,(,cos),,,( 21 −=⋅−=

şi impunem condiţia 0cossin

sincos),(

),( 21 ≠=−−

−= u

vuvvuv

vuDFFD

.

Atunci:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

uv

uv

vv

vvvuvu

uvuvvuv

yv

xv

yu

xu

cossinsincos

1001

cossinsincos1

1001

cossinsincos 1

» syms x y u v » F1=x-u*cos(v);F2=y-u*sin(v); » J=jacobian([F1,F2],[u,v])

J = [ -cos(v), u*sin(v)] [ -sin(v), -u*cos(v)]

28

» j=jacobian([F1,F2],[x,y]) j = [ 1, 0] [ 0, 1]

» Juv=-inv(J)*j Juv = [ cos(v)/(cos(v)^2+sin(v)^2), sin(v)/(cos(v)^2+sin(v)^2)] [ -sin(v)/u/(cos(v)^2+sin(v)^2), cos(v)/u/(cos(v)^2+sin(v)^2)]

» Juv=simple(Juv) Juv = [ cos(v), sin(v)] [ -sin(v)/u, cos(v)/u]

Exerciţii propuse

1. Calculaţi derivata de ordinul I a funcţiei )(xy definită implicit prin ecuaţia 3)ln(3 2 =+−+ yxyx . 2. Calculaţi diferenţiala dz în punctul curent, dacă funcţia ),( yxz este definită implicit de ecuaţiile:

- 2coscoscos =++ xzzyyx ;

- zyxzyx ++=⋅+ 222 . 3. Calculaţi derivatele parţiale ale funcţiilor ),(),,( yxvyxu definite implicit de sistemul:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=⋅=+

u

v

evxyeuyx 22

.

Problema extremelor cu legături apare deseori în practică. Considerăm o mulţime deschisă

⊂D Rn+m şi o funcţie de clasă C1, →Df : R ; fiind date m funcţii de clasă C1 →Dgi : R, presupunem că există m relaţii de forma:

miyyxxg mni ≤≤= 1,0),...,,,...,( 11 ,

numite legături între ),...,( 1 nxx şi ),...,( 1 myy . Mulţimea punctelor din D ce verifică aceste legături o vom nota }1,0),...,,,...,(),...,,,...,{( 1111 miyyxxgDyyxxM mnimn ≤≤=∈= .

Un punct de extrem local al lui f , cu legăturile miyxgi ≤≤= 1,0),( este un punct

=),...,,,...,( 001

001 mn yyxx Myx ∈),( 00 , pentru care există o bilă DryxB ⊂)),,(( 00 , astfel încât

),(),( 00 yxfyxf − are semn constant. ),...,,,...,(),( 11 mn yyxxyx =∀ )),,(( 00 ryxBM ∩∈ . Aşadar extremele cu legături ale lui f sunt extremele locale ale restricţiilor lui f la M .

Cu notaţiile convenite mai sus, presupunem că ),( 00 yx este un punct de extrem local al funcţiei f , cu

legăturile miyxgi ≤≤= 1,0),( . În plus dacă 0),(),...,(),...,(

001

1 ≠yxyyDggD

m

m , atunci există numerele reale

mλλ ,...,1 (multiplicatorii lui Lagrange), astfel încât, considerând funcţia ∑=

⋅+=m

kkk gfF

1

λ , punctul

),( 00 yx verifică sistemul de )2( nm + ecuaţii:

nixF

i≤≤=

∂∂ 0,0

mkyF

k≤≤=

∂∂ 0,0

mjg j ≤≤= 1,0

cu )2( nm + necunoscute ),...,( 1 nxx , ),...,( 1 myy ),...,( 1 mλλ

29

Extremele locale ale unei funcţii ),( yxf cu legătura 0),( =yxg , unde f şi g sunt funcţii de clasă C1 )1( == nm se află printre punctele care verifică sistemul:

0=∂∂⋅+

∂∂

xg

xf

λ

0=∂∂⋅+

∂∂

yg

yf

λ

0=g

Se observă că pentru funcţia ),(),(),,( yxgyxfyxF ⋅+= λλ , avem gF=

∂∂λ

, observaţie importantă în

rezolvarea problemei în MATLAB.

- Pentru a calcula extremele funcţiei yx

yxf 11),( += , cu legătura 11122=+

yx, construim funcţia

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅++= 11111),,(

22 yxyxyxF λλ .

Rezolvăm sistemul:

021),,(32=−−=

∂∂

xxyx

xF λλ

021),,(32=−−=

∂∂

yyyx

yF λλ

0111),,(22

=−+=∂∂

yxyxF λ

λ

ştiind că printre soluţiile sale se află extremele funcţiei ce satisfac legătura din enunţ:

2,2

1−=== yxλ şi 2,

21

==−= yxλ .

Calculăm hessiana lui F in aceste puncte:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−−

2210

022

1

)2,2(FH

rezultând că )2,2( −− este un punct de minim.

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

2210

022

1

)2,2(FH

rezultând că )2,2( este un punct de maxim.

Vom rezolva problema în MATLAB notând λ=a pentru simplificarea scrierii.

» syms x y a

» f=1/x+1/y;g=1/(x^2)+1/(y^2)-1;F=f+a*g;

» gradF=jacobian(F,[x,y,a])

gradF =

30

[ -1/x^2-2*a/x^3, -1/y^2-2*a/y^3, 1/x^2+1/y^2-1]

» [xcr ycr acr]=solve(gradF(1),gradF(2),gradF(3));[xcr ycr acr]

ans =

[ -1/2*2^(1/2), 2^(1/2), 2^(1/2)]

[ 1/2*2^(1/2), -2^(1/2), -2^(1/2)]

» F1=f+g/sqrt(2);gradF1=jacobian(F1,[x,y]);

» hessianF1=jacobian(gradF1,[x,y])

hessianF1 =

[ 2/x^3+3/x^4*2^(1/2), 0]

[ 0, 2/y^3+3/y^4*2^(1/2)]

» H1=subs(hessianF1,[x,y],[-2^(1/2),-2^(1/2)])

H1 =

0.3536 0

0 0.3536

» F2=f-g/sqrt(2);gradF2=jacobian(F2,[x,y]);

» hessianF2=jacobian(gradF2,[x,y])

hessianF2 =

[ 2/x^3-3/x^4*2^(1/2), 0]

[ 0, 2/y^3-3/y^4*2^(1/2)]

» H2=subs(hessianF2,[x,y],[2^(1/2),2^(1/2)])

H2 =

-0.3536 0

0 -0.3536

» eig(H1)

ans =

0.3536

0.3536

» eig(H2)

ans =

-0.3536

31

-0.3536

În concluzie )2,2( este punct de maxim în timp ce )2,2( −− este punct de minim. .

- Pentru a calcula extremele funcţiei 222),,( zyxzyxf ++= cu legătura 149

=++ zyx construim

funcţia

)149

(),,,( 222 −++⋅+++= zyxzyxzyxF λλ

Rezolvând sistemul:

09

2),,,( =+=∂∂ λλ xzyx

xF

04

2),,,( =+=∂∂ λλ yzyx

yF

02),,,( =+=∂∂ λλ zzyx

zF

0149

),,,( =−++=∂∂ z

yxzyxF λλ

obţinem 1393324;

1393144;

13932592;

13931296

==−== zyxλ

Hessiana funcţiei )149

(13931296),,(1 222 −+++++= z

yxzyxzyxF este ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

200020002

H , matrice ce are

valorile proprii 2321 === λλλ , deci ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

1393324,

1393144,

13932592 este un punct de minim cu legătura

149

=++ zyx , al funcţiei 222),,( zyxzyxf ++= .

Rezolvăm problema în MATLAB:

»syms x y z a »f=x^2+y^2+z^2;g=x/9+y/4+z-1;F=f+a*g; »gradF=jacobian(F,[x,y,z,a])

» [xcr,ycr,zcr,acr]=solve(gradF(1),gradF(2),gradF(3),gradF(4)); [xcr ycr zcr acr] ans = [ -2592/1393, 144/1393, 324/1393, 1296/1393] » F1=f+(1296/1393)*g;gradF1=jacobian(F1,[x,y,z]);hessianF1=jacobian(gradF1,[x,y,z])

hessianF1 = [ 2, 0, 0] [ 0, 2, 0] [ 0, 0, 2]

»eig(hessianF1) ans =

[ 2] [ 2] [ 2]

Punctul ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

1393324,

1393144,

13932592 este un punct de minim.

Exerciţii propuse

1. Calculaţi extremele funcţiei 22),( yxyxf += , cu legătura 12 =+ yx .

32

2. Calculaţi extremele funcţiei zyxzyxf 22),,( +−= cu legătura 9222 =++ zyx .

Vom studia un caz particular de funcţie vectorială de două variabile reale. O funcţie de clasă C1 , →Ds : R3, unde ⊂D R2 este o mulţime deschisă, se numeşte suprafaţă parametrizată de clasă C1. Aplicaţia

)),(),,(),,((),(),( vuhvugvufvusvu =a face să-i corespundă fiecărui punct Dvu ∈),( un punct ),( vus din R3,

de coordonate Dvuvuhzvugyvufx

∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

),(,),(),(),(

. Aceste relaţii reprezintă ecuaţiile parametrice ale suprafeţei s .

Mulţimea )(Ds notată Σ , se numeşte urma suprafeţei.

- Pentru a scrie ecuaţiile parametrice ale suprafeţei elipsoidului 12

2

2

2

2

2=++

cz

by

ax , vom scrie ecuaţia

elipsoidului în coordonate sferice generalizate:

urcz

vurbyvurax

cossinsincossin

⋅=⋅=⋅=

, unde ],0{],2,0{),,0[ ππ ∈∈+∞∈ uvr

şi anume 1=r ; înlocuind în formulele ce exprimă coordonatele carteziene, ca funcţii de coordonatele sferice generalizate, pe r , cu ecuaţia sa în coordonate sferice generalizate, obţinem ecuaţiile parametrice ale elipsoidului:

uczvubyvuax

cossinsincossin

⋅=⋅=⋅=

, unde ],0{],2,0{ ππ ∈∈ uv

În cazul în care suprafaţa este dată prin ecuaţia sa în coordonate carteziene Dyxyxfz ∈= ),(),,( (caz

în care suprafaţa este graficul unei funcţii reale, de două variabile reale, de clasă C1, vom scrie astfel ecuaţiile

parametrice ale suprafeţei Dvuvufz

vyux

∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

),(,),(

- Să scriem ecuaţiile parametrice ale conului 10,22 ≤≤+= zyxz :

∈∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

==

),{(),(,22

vuvuvuz

vyux

R2, }122 ≤+ vu

Suprafaţa s este simplă dacă funcţia s este injectivă; suprafaţa este nesingulară dacă matricea sa

jacobiană ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

vh

vg

vf

uh

ug

uf

are rangul maxim în toate punctele lui D .

Dacă în R3 există un reper ortogonal Oxyz de versori kji ,, , atunci considerând suprafaţa

parametrizată de clasă C1, →Ds : R3, punctul )),(),,(),,((),( vuhvugvufvus = , punct curent al urmei Σ , are

vectorul de poziţie dat de Dvukvuhjvugivufr ∈⋅+⋅+⋅= ),(,),(),(),( Notăm:

kuhj

ug

iuf

ru ⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

= şi

kvhj

vg

ivf

rv ⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=

33

Produsul vectorilor θ≠+⋅+⋅=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=× kCjBiA

vh

vg

vf

uh

ug

uf

kji

rr vu , unde CBA ,, sunt determinanţii funcţionali:

),(),(

vuDhgDA = ,

),(),(

vuDfhDB = ,

),(),(

vuDgfDC = , se numeşte produsul vectorial fundamental al suprafeţei

nesingulare s .

Se notează cu N versorul normală la suprafaţă în punctul curent, vector ce are proprietatea că triedrele

},,{ Nrr vu şi },,{ kji sunt la fel orientate, şi vu

vu

rr

rrN

×

×= . Fiecărei suprafeţe parametrizate i se asociază

versorul normală în punctul curent.

- Elipsoidul 12

2

2

2

2

2=++

cz

by

ax este urma porţiunii de suprafaţă definită de ecuaţiile parametrice:

]2,0[],0[),(,cos

sinsincossin

: ππ ×∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

vuucz

vubyvuax

s ; avem:

kuRjvuRivuRr ⋅+⋅+⋅= cossinsincossin

kucjvubivuaru ⋅−⋅+⋅= sinsincoscoscos

jvubivuarv ⋅+⋅−= cossinsinsin

kuuabjvuacivubcrr vu ⋅+⋅+⋅=× cossinsinsincossin 22

ubavucavucburr vu22222222222 cossinsincossinsin ++=× , şi astfel

ubavucavucb

kuabjvuacivubcN22222222222 cossinsincossin

cossinsincossin

++

⋅+⋅+⋅=

În cazul în care suprafaţa este dată prin ecuaţia sa în coordonate carteziene Dyxyxfz ∈= ),(),,( ,

atunci avem kvufjviur ⋅+⋅+⋅= ),( ,

kuf

iru ⋅∂∂

+= , kvf

jrv ∂∂

+=

Folosind notaţiile consacrateuf

p∂∂

= , vf

q∂∂

= versorii normalei sunt 122 ++

+⋅−⋅−±=

qp

kjqipN

- În cazul conului 10,22 ≤≤+= zyxz avem

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⋅

+−⋅

+−=

++

++

+⋅+

−⋅+

−

±= kjyx

xiyx

x

yxy

yxx

kjyx

xiyx

x

N2222

22

2

22

2

2222

21

1

Exerciţii propuse

1. Scrieţi versorul normală în cazul primului octantul de sferă 1222 =++ zyx

34

2. Scrieţi versorul normală în cazul paraboloidului 30,3 22 ≤≤+= zyxz .

Am stabilit în primul capitol, că graficul unei funcţii reale, de două variabile reale este o porţiune de suprafaţă. Pentru a vizualiza o asemenea funcţie avem două posibilităţi:

- desenul graficului funcţiei, care este o mulţime de puncte din R3; - desenul în R2 al curbelor de nivel ale suprafeţei, de ecuaţii cyxf =),( unde c este o constantă.

În spiritul acestui paragraf vom desena expresii simbolice ce definesc funcţiile folosind funcţiile ezsurf şi ezcontour.

• Să desenăm graficul şi curbele de nivel corespunzătoare funcţiei definite de formula

222

2222

)1(),(

++

⋅++=

yxyxyx

yxf , pentru ]4,4[]4,4[),( −×−∈yx .

»syms x y » f=(x^2+y^2+x^2*y^2)/(x^2+y^2+1)^2; ezsurf (f,[-4,4,-4,4])

»ezcontour(f,[-4,4,-4,4])

35

Reamintim codul culorilor în MATLAB: albastru pentru cele mai mici valori şi roşu pentru cele mai mari.

Pentru a desena o suprafaţă de ecuaţii parametrice

]2,0[],0[),(),,(),,(),,( ππ ×⊂∈=== Dvuvuhzvugyvufx ,

folosim instrucţiunea ezsurf(x,y,z), desenând suprafaţa pe ]2,0[],0[ ππ × .

- Să desenăm sfera 1222 =++ zyx , vom scrie ecuaţiile parametrice ],0[],2,0[,cos,sinsin,cossin ππ ∈∈=== uvvzvuyvux

»syms u v »x=sin(u)*cos(v);y=sin(u)*sin(v);z=cos(u); ezsurf(x,y,z)

Exerciţii propuse

1. Desenaţi porţiunea de suprafaţă definită de expresia 1

62),(

44

42234

++

+−+=

yxyyxyxx

yxf pentru

]3,3[]3,3[),( −×−∈yx şi suprafeţele ei de nivel folosind funcţiile ezsurf şi ezcontour

2. Desenaţi elipsoidul 1416

222

=++ zyx .