4. amenabilitate pentru grupoizigeneralizăm la grupoizi următorul rezultat (21.2. [59]): dacă g...

CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI

4. AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI

Grupoizii amenabili au fost definiţi de J. Renault în [68]. Ca şi în cazul

grupurilor, o bună parte din teoria grupoizilor amenabili constă în demonstrarea

echivalenţei diverselor definiţii ale amenabilităţii. În subcapitolul 4.2 vom prezenta

noţiunile de propriu amenabilitate şi de amenabilitate aşa cum apar în [1]. În secţiunea

a a subcapitolului 4.2 se definesc aceste noţiuni în contextul borelian, şi în secţiunea

b în contextul topologic În subcapitolul 4.1 demonstrăm o proprietate de densitate

care va fi utilizată în 4.2 pentru a arăta că se poate întării condiţia de normalizare

impusă unei medii aproximative slab invariante asociate grupoid amenabil. În 4.3

generalizăm la grupoizi următorul rezultat (21.2. [59]): dacă G este un grup local

compact necompact şi m este o medie invariantă pe L∞(G), atunci m(ϕ) = 0 pentru

orice funcţie ϕ continuă pe G care se anulează la infinit.

O mare parte a subcapitolului 4.2 constă în enunţarea unor rezultate care duc

la formularea diverselor definiţii echivalente ale amenabilităţii topologice sau

măsurabile. Cele două noţiuni nu se suprapun în cazul unui grupoid topologic

oarecare, totuşi există următoarea legătură între ele. Amenabilitatea topologică

implică amenabilitatea măsurabilă. În [1] (Theorem 3.3.7/pg. 51) se demonstrează că

pentru un grupoid local-compact, topologic echivalent cu un grupoid care admite un

sistem Haar continuu şi care are orbite numărabile, amenabilitatea măsurabilă este

echivalentă cu amenabilitatea topologică. Amenabilitatea topologică este conservată

de echivalenţa de grupoizi topologici (Theorem 2.2.13/pg. 27 [1]) şi amenabilitatea

măsurabilă de echivalenţa de grupoizi borelieni (Theorem 3.2.13/pg. 48 [1]). În acest

context noţiunea de echivalenţă de grupoizi borelieni este similară noţiunii de

MĂDĂLINA ROXANA BUNECI

138

echivalenţă topologică, singura diferenţă fiind că aplicaţiile continue se schimbă cu

aplicaţii boreliene.

Pentru a defini grupoizii amenabili se introduc, mai întâi aplicaţiile propriu

amenabile şi amenabile. Contextul în care se lucrează este următorul:

- G grupoid topologic (resp. borelian)

- X, Y G-spaţii topologice (resp. boreliene) la stânga

- π : Y → X aplicaţie surjectivă continuă (resp. boreliană) G-echivariantă.

Elementele grupoidului G vor fi notate, în acest capitol, cu γ, γ1, … pentru a putea

face distincţie mai uşor între ele şi elementele G-spaţiilor X şi Y, care vor fi notate cu

x, x1,.. respectiv y, y1,…

4.1. SISTEME DE MĂSURI ŞI SPAŢII DE FUNCŢII În acest subcapitol vom prezenta spaţiile de funcţii necesare pentru definirea

aplicaţiilor amenabile. În afară de spaţiile de funcţii utilizate în [1] vom mai introduce

încă un spaţiu şi vom demonstra o proprietate de densitate a acestui spaţiu. Această

proprietate va fi utilizată în subcapitolul următor pentru a arăta că se poate întării

condiţia de normalizare impusă unei medii aproximative slab invariantă.

Definiţie 4.1.1. Fie Y , X două spaţii boreliene şi π : Y → X o aplicaţie

boreliană . Un π-sistem borelian (sau un sistem borelian de măsuri pentru π) este o

familie α = { }Xx:x ∈α de măsuri xα pe ( )x1−π a.î .

(1) pentru orice funcţie boreliană nenegativă f pe Y, funcţia :

( ) ∫ α⎯⎯→⎯α xf dfx este boreliană

(2) există o funcţie boreliană pozitivă g pe Y astfel încât α(g) = 1.

Observaţie 4.1.2. Condiţia (2) din definiţia 4.1.1 este echivalentă cu:

REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI


139

(∗) Y este reuniunea unui şir crescător de mulţimi boreliene cu proprietatea

că ( )nx Ax α este mărginită pentru orice n, şi ( ) Xx,0x ∈∀≠α . ( Lemme 3, pg 37

[26] )

Notaţii 4.1.3. Fie α un π-sistem ca mai sus şi c o clasă de măsuri pe X .

Pentru simplitate, vom fixa o măsură pozitivă µ aparţinând clasei c, şi vom identifica

spaţiul ( )c,XL∞ cu spaţiul ( )µ∞ ,XL , pe care îl vom nota cu ( )XL∞ . Introducem pe

spaţiul Y măsura µ α, definită prin:

( )∫ ∫ µα=αµ dfdf

pentru orice funcţie boreliană nenegativă f :Y → R .

Pentru 1 ≤ p < ∞, definim ( )( )α∞ ,YL,XL p ca fiind spaţiul Banach al

funcţiilor µ α -măsurabile f : Y → C cu proprietatea că aplicaţia

∫ αxp dfx este µ-esenţial mărginită, înzestrat cu norma

( ) .ffp1

p

p, ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ α=

∞π

Definim ( )( )α∞∞ ,YL,XL ca fiind spaţiul Banach ( )αµ∞ ,YL = ( )YL∞ .

Din proprietatea (2) (definiţia 4.1.1) a π-sistemului α rezultă că pentru fiecare

g ∈ ( )+∞ XL , există o funcţie nenegativă f în ( )( )α∞ ,YL,XL 1 cu α(f) = g şi

∞π= gf

1,. ( )XL∞ este izometric scufundat în ( )YL∞ ( prin aplicaţia ϕ ϕ π ),

deci ( )YL∞ şi ( )XL1 pot fi considerate ( )XL∞ -module. Notăm cu

( )( )

( )XLYL 1

XL∞∞ ⊗ spaţiul cât obţinut prin factorizarea produsului tensorial algebric

al celor două spaţii ( )YL∞ şi ( )XL1 ( înzestrat cu norma produs tensorial proiectiv

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∑ ⊗====

∑n

1iii

n

1iii yxt,yxinft , t∈ ( ) ( )XLYL 1⊗∞ )

la subspaţiul liniar V generat de elementele de forma µ⊗ϕ−µ⊗ϕ ff cu f ∈ ( )XL∞ ,

ϕ ∈ ( )YL∞ , µ ∈ ( )XL1 . Fiecare element h⊗ϕ , cu ϕ ∈ ( )+∞ YL şi h ∈ ( )+XL1


140

poate fi văzut ca o măsură de densitate ( )πϕ h relativ la αµ . Vom gândi spaţiul

( )( )

( )XLYL 1

XL∞∞ ⊗ ca un spaţiu de “măsuri complexe “ pe Y.

Cu ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL

∞∞∞ notăm spaţiul Banach al aplicaţiilor ( )XL∞ –liniare

mărginite de la ( )YL∞ la ( )XL∞ . Pentru m din ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL

∞∞∞ , definim

( ) ( ) ( )( )*1XLm XLYLT ∞⊗∈ ∞ prin:

( ) h,mh,Tm ϕ=⊗ϕ

unde ϕ ∈ ( )YL∞ , şi h ∈ ( )XL1 . Atunci mTm defineşte un izomorfism izometric

de la ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL

∞∞∞ la ( )

( )( )( )*1

XLXLYL ∞

∞ ⊗ .

În plus, presupunem satisfăcute următoarele ipoteze (∗), care generalizează

proprietăţile sistemului de măsuri obţinut prin dezintegrarea unui sistem Haar prin

aplicarea teoremei de structură a măsurii Haar (Theorem 4.4/pg. 23 [41]):

1) µ este probabilitate.

2) Y este înzestrat cu o aplicaţie YyyY 1∈∋ − având proprietatea că

( )( ) ( ) Yy,yy11 ∈∀=−− . Considerăm aplicaţia ρ : Y→Y definită prin

( ) ( )1yy −π=ρ .

3) Măsura αµ admite (π,ρ)- dezintegrarea următoare:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫Εµα=αµ

0 0

v,udv,uqydyfydyf '

Y v,u

unde

- XX0 ⊂ este o mulţime a cărei complementară este de măsură (µ) nulă

- ( ) ( )( ){ }Yy:y,y ∈ρπ=Ε = (π,ρ)(Y) ; presupunem că X=

( ) ( ){ }Ev,uv:u ∈∃

- ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }00 Xy,y,Yy:y,y ∈ρπ∈ρπ=Ε

- q este o funcţie strict pozitivă pe 0Ε

- 'µ este o probabilitate pe E aparţinând clasei de măsuri ( ) ( )[ ]αµρπ ∗,



141

- măsurile v.uα sunt σ- finite

4) Există o funcţie boreliană f: Y→ +R cu proprietatea că

( ) ( ) 1fv.uq v,u =α 'µ - a.p.t..

Pentru 1 ≤ p < ∞, definim ( )( )α∞ ,YL,EL p ca fiind spaţiul Banach al

funcţiilor µ α -măsurabile f : Y → C cu proprietatea că aplicaţia

( ) ∫ α v,up dfv,u este 'µ -esenţial mărginită, înzestrat cu norma

( ) ( ) ( ) .fv,uqv,ufp1

pv,up,, ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ α=

∞ρπ

Pentru f ∈ ( )( )α∞ ,YL,EL p notăm cu α0(f) funcţia α0(f) : E0 → C funcţia

definită prin α0(f)(u,v) = q(u,v)αu,v(f).

Notăm:

( )( ) +∞ α 1p ,YL,EL = mulţimea elementelor nenegative f ∈ ( )( )α∞ ,YL,EL p cu

α0(f) = 1

( )( )+∞ α 11 ,YL,XL = mulţimea elementelor nenegative f din ( )( )α∞ ,YL,XL 1

cu 1f1,≤

π

( ) ( ) ( )( )+∞∞∞ 1XL

XL,YLB = mulţimea elementelor nenegative m din

( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL

∞∞∞ cu 1m ≤ .

M = mulţimea elementelor m din ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL

∞∞∞ cu m(1) = 1.

Deoarece aplicaţia fmf , unde mf(ϕ) = α(fϕ), este o contracţie injectivă de

la ( )( )α∞ ,YL,EL 1 la ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL

∞∞∞ , rezultă că putem privi ( )( )α∞ ,YL,EL 1

ca o submulţime a spaţiului ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL

∞∞∞ . În mod analog, spaţiul

( )( )α∞ ,YL,XL 1 este considerat o submulţime al lui ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL

∞∞∞ .


142

Vom demonstra densitatea lui ( )( )+∞ α 11 ,YL,EL în ( ) ( ) ( )( )+∞∞

∞ 1XLXL,YLB ∩

M prin aceleaşi argumente ca cele utilizate în [1] pentru demonstrarea densităţii lui ( )( )+∞ α 1

1 ,YL,XL în ( ) ( ) ( )( )+∞∞∞ 1XL

XL,YLB (Lemma 1.2.6/pg. 26 [1]).

Propoziţie 4.1.4 (Proposition 4 [19]).

1) ( )( )α∞ ,YL,EL 1 ⊂ ( )( )α∞ ,YL,XL 1 .

2) Pentru orice g ∈ ( )XL∞ există f ∈ ( )( )α∞ ,YL,EL 1 cu α0(f)(u,v)=g(u)

a.p.t. şi ∞ρππ

== gff1,,1,

. Dacă g ≥ 0 atunci f poate fi aleasă nenegativă.

Demonstraţie. 1) Fie ∫ µβ×δ=µ duu

' o p-dezintegrare a măsurii 'µ , unde

p:E→ X, p(u,v) = u. Demonstrăm că ( ) ( )∫ βα=α vdv,uq uv,u

u . Într-adevăr, pentru

orice funcţie boreliană nenegativă f :Y → R şi orice funcţie boreliană nenegativă

g:X→ R avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ αµπ=µα ydyfygudydyfug u

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ µαπ= v,udv,uqydyfyg 'v,u

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )udvdv,uqydyfyg uv,u µβαπ= ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).udvdv,uqydyfug uv,u µβα= ∫ ∫ ∫

Deoarece uβ sunt probabilităţi µ- a.p.t. u, rezultă că 1,,1,

ffρππ

≤ .

2) Luăm f(y) = g(π(y))h(y), unde h este o funcţie cu proprietatea

( ) ( ) 1hv,uq v,u =α 'µ - a.p.t., şi ţinem seama de faptul că ( ) ( )∫ βα=α vdv,uq uv,u

u .

Lemă 4.1.5. Fie l o formă liniară pe ( )( )α∞ ,YL,EL 1 , care are proprietatea că

există h ∈ ( )+∞ XL astfel încât

( ) ( )∫ αµ≤ hdffl



143

pentru toate funcţiile f ∈ ( )( )α∞ ,YL,EL 1 . Atunci există o funcţie ϕ ∈ ( )YL∞ cu

1≤ϕ∞

şi ( ) ( )∫ αµϕ= hdffl , pentru orice funcţie f ∈ ( )( )α∞ ,YL,EL 1 .

Demonstraţie. Fie ( )nnA un şir crescător de submulţimi boreliene ale lui Y

cu YAn

n =∪ şi ( ) ( ) ( )nv,u Av,uqv,u α mărginită pentru orice n (putem lua

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤≤= nyh

n1:yA 0n , unde h0 este o funcţie boreliană pozitivă cu proprietatea

( ) ( ) 1hv.uq 0v,u =α 'µ - a.p.t ). Fie de asemenea ( )nnB un şir crescător de submulţimi

boreliene ale lui X cu XBn

n =∪ . Punem ( )π=χnBnAn 11 . Din teorema Radon-

Nikodym în ( )YL∞ , rezultă existenţa unei funcţii ϕ ∈ ( )YL∞ cu proprietăţile :

1≤ϕ∞

şi

( ) ( ) ( ) ( )YL,hdl nn∞∈ψ∀αµχψϕ=χψ ∫

Fie f ∈ ( )( )α∞ ,YL,EL 1 . Avem ( ) ( )∫ αµϕ= hdffl deoarece există un şir ( )nnψ în

( )YL∞ astfel încât

( )∫ =αµχψ− 0hdflim nnn

Propoziţie 4.1.6 (Proposition 6 [19]). Orice element ν ∈ ( )( )

( )XLYL 1

XL∞∞ ⊗

poate fi exprimat ca ν = 00 h⊗ϕ cu 10 =ϕ∞

şi ν=10h . Mai mult

( ) ( )( ){ }1fcu,YL,ELf,fsup1,,

1 ≤α∈ν=νρπ

∞ , unde

( ) ∫ αµπϕ=ν dhff 00 ,

iar dacă ϕ0 ≥ 0 şi h0 ≥ 0 atunci :

( ) ( )( ) ( ){ }1fcu,YL,ELf,fsup 01 =αα∈ν=ν

+∞ .


144

Demonstraţie. Fie ν ∈ ( )( )

( )XLYL 1

XL∞∞ ⊗ . ν se poate scrie ca ∑

=

⊗ϕn

1iii h

modulo V, sau ţinând cont de identificarea spaţiului ( )( )

( )XLYL 1

XL∞∞ ⊗ cu un spaţiu

de măsuri ca ( )αµ•⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ πϕ∑=

n

1iiih . Atunci pentru f ∈ ( )( )α∞ ,YL,EL 1 avem

( ) ( ) αµπ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ≤αµπϕ≤ν ∑∫∑∫

=

dhmaxfdhff ii

n

1iii

( ) αµ≤ ∫ hdf , unde

ii hmaxmaxnh∞

ϕ⋅= .

Din lema 4.1.5 rezultă că putem scrie h⊗ϕ=ν cu ϕ ∈ ( )YL∞ , 1≤ϕ∞

, şi

cu h ∈ ( )+XL1 . Înlocuind ν prin h⊗ϕ=ν , putem presupune că ϕ şi ν sunt pozitive.

Pentru g ∈ ( )+∞ XL , punem

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ){ }..t.p.augv,uf:,YL,ELf,fsupg 01

0 =αα∈ν=µ+∞

Arătăm că 0µ este o formă liniară continuă pe ( )XL∞ . Fie g1 , g2∈ ( )+∞ XL şi fie g

= g1 + g2. Luăm f1 şi f2 ∈ ( )( )+∞ α,YL,EL 1 astfel încât α0(fi)(u,v) = gi(u) ,i = 1,2 .

Deoarece avem α0(f1 + f2)(u,v) = (g1 + g2)(u) rezultă că µ0( g1 + g2 ) ≥ ν(f1) +

ν(f2) , şi deci µ0( g1 + g2 ) ≥ µ0(g1) + µ0(g2). Pentru a demonstra inegalitatea opusă

luăm f ∈ ( )( )+∞ α,YL,EL 1 cu α0(f)(u,v) = (g1 + g2)(u), şi l0 : Y→ +R cu

( ) ( ) 1lv.uq 0v,u =α 'µ - a.p.t.. Pentru orice ε > 0, considerăm funcţiile :

( )( ) 2,1ig

glff i0i =

ε+ππε+

=

Funcţiile f1 , f2 ∈ ( )( )+∞ α,YL,EL 1 , şi au proprietatea că α0(fi)(u,v) = gi(u) , i = 1,2.

Mai mult, avem :

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε+ππε

−ε+π

ε−ν=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε+π

πε+ν=+ν=ν+ν 002121 l

ggf

gf

gglfffff



145

şi în consecinţă,

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε+π

πεν+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε+π

νε+ν+ν≤ν 021 lg

gg

ffff

( ) ( ) ( )∫∫ µ

ε+ϕε+µ

ε+α

ϕε+ν+ν≤∞∞

dg

ghdg

fhff 21

( ) ( )121 h2ff

∞ϕε+ν+ν≤

Rezultă deci că µ0(g)≤ µ0(g1) + µ0(g2) . µ0 este aditivă, şi în plus este mărginită

deoarece µ0(g) ≤ 1

hg∞∞

ϕ , pentru g, h, ϕ ≥ 0 cu ν=⊗ϕ h . Mai mult, deoarece

( ) ∫ µϕ≤µ∞

dghg0 pentru g∈ ( )+∞ XL

rezultă că există h0 ∈ ( )+XL1 astfel încât µ0 = h0µ. Pentru fiecare f ∈

( )( )+∞ α,YL,EL 1 , avem ( ) ( )∫ αµ≤ν 0hdff . Din lema 4.1.5 rezultă că există ϕ0

∈ ( )+∞ YL cu 10 ≤ϕ∞

astfel încât 00 hh ⊗ϕ=⊗ϕ=ν în ( )( )

( )XLYL 1

XL∞∞ ⊗ . Se

observă că 10 =ϕ∞

şi ν=10h , deoarece

10010 hh∞

ϕ≤ν≤ .

Pentru orice ε >0 , există f ∈ ( )( )+∞ α,YL,EL 1 cu α0(f) = 1 şi

ν(f) ≥ µ0(1)- ε = .h10 ε−

Astfel avem =10h ( ) ( )( ) ( ){ }1fcu,YL,ELf,fsup 0

1 =αα∈ν≤ν+∞ . Inegalitatea

opusă este evidentă.

Observaţie 4.1.7. Fără a presupune că măsura αµ de pe Y admite o

dezintegrare care să verifice ipotezele (∗), în [1] (Lemma 1.2.5 (i) /pg. 7) este

demonstrat că orice element ν din ( )( )

( )XLYL 1

XL∞∞ ⊗ poate fi exprimat de asemenea

ca ν = 00 h⊗ϕ cu 10 =ϕ∞

şi ν=1

h , şi în plus,


146

( ) ( )( ){ }1,

1 fcu,YL,XLf,fsupπ

∞ α∈ν=ν .

Utilizând acest rezultat se arată că aplicaţia canonică de la

( )( )

( )XLYL 1

XL∞∞ ⊗ la ( ) ( ) ( )XLYL 1

XL

^∞∞ ⊗ (câtul completatului produsului tensorial,

în norma produs tensorial proiectiv, la închiderea spaţiului V) este un izomorfism

izometric, de unde rezultă că ( )( )

( )XLYL 1

XL∞∞ ⊗ este un spaţiu Banach al cărui dual

este ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL

∞∞∞ (Lemma 1.2.5 (ii) /pg. 7 [1]).

Propoziţie 4.1.8 (Proposition 8 [19]). ( )( ) +∞ α 11 ,YL,EL este dens în

( ) ( ) ( )( )+∞∞∞ 1XL

XL,YLB ∩ M înzestrat cu topologia *-slabă .

Demonstraţie. Fie C închiderea *-slabă a ( )( ) +∞ α 11 ,YL,EL în spaţiul

( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL

∞∞∞ . Submulţimea C ⊂ ( ) ( ) ( )( )+∞∞

∞ 1XLXL,YLB este o mulţime

compactă în topologia *-slabă deoarece este o submulţime închisă a bilei unitate din

( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL

∞∞∞ .

Presupunem prin absurd că există m ∈ ( ) ( ) ( )( )+∞∞∞ 1XL

XL,YLB ∩ M care nu

este în C. Utilizând teorema de separare Hahn-Banach pentru mulţimea convexă şi

compactă C şi { }m , rezultă că există un ν ∈ ( )( )

( )XLYL 1

XL∞∞ ⊗ , şi un număr real r

astfel încât

Re ν(m) > r , şi Re ν(f) ≤ r pentru orice f ∈ ( )( ) +∞ α 11 ,YL,EL

Ţinând cont de propoziţia 4.1.6 rezultă că putem lua ν = 00 h⊗ϕ cu 10 =ϕ∞

şi

ν=10h , h0 ≥ 0. Notăm ν+ = ((Re ϕ0)+1) ⊗ h0 ( 10 =ϕ

∞ => (Re ϕ0)+1 ≥ 0 a.p.t.

) . Atunci

ν+ (m) = ( )∫ µ+ϕ dh1Rem 00 = ( ) ν+>+ν rhmRe10 , şi

( ) ( ) ( ) ( ) ν+≤ν+ν=+ν=αµπ+ϕ=ν ∫+ rfRehfRedh1Reff1000 ,



147

pentru orice f ∈ ( )( ) +∞ α 1p ,YL,EL .

Deoarece ( ) ( )( ) ( ){ }1fcu,YL,ELf,fsup 01 =αα∈ν=ν

+∞++ rezultă că

ν+≤ν+ r şi deci 1m > , ceea ce contrazice m ∈ ( ) ( ) ( )( )+∞∞∞ 1XL

XL,YLB ∩ M.

Definiţie 4.1.9. Fie α un sistem borelian pentru π : Y → X, şi fie µ o măsură

pe X. O medie (“mean “) este o aplicaţie, m : ( )YL∞ → ( )XL∞ , pozitivă, unitală,

( )XL∞ -liniară. Când X este redus la un punct rezultă că m este o stare pe

( )YL∞ (Definition 1.3.4/pg. 30 [1]).

Observaţie 4.1.10. Fie sistemele boreliene 1α pentru XY: 11 →π şi 2α

pentru 122 YY: →π , şi µ o măsură pe X . Considerăm spaţiul borelian 2Y înzestrat

cu măsura

( ) ( ) 2121 ααµ=ααµ .

Dacă ( ) ( )XLYL:m 11∞∞ → este o aplicaţie ( )XL∞ –liniară şi dacă

( ) ( )122 YLYL:m ∞∞ → este ( )1YL∞ -liniară, atunci compunerea 21 mm este o

aplicaţie ( )XL∞ –liniară de la ( )2YL∞ la ( )XL∞ . 21 mm este o medie când 1m şi

2m sunt medii.

4.2. GRUPOIZI AMENABILI

a. Cazul borelian

Notaţie 4.2.1. Fie G un grupoid borelian şi X un G-spaţiu la stânga (X este

înzestrat cu o structură boreliană, acţiunea lui G pe X este presupusă boreliană şi de

asemenea aplicaţia r : X→UG este presupusă boreliană). Fie opX spaţiul X înzestrat


148

cu acţiunea lui G la dreapta definită după cum urmează : xx,rd 1op −γ=γ= , atunci

vom nota cu GX× grupoidul GXop ∗ , a cărei structură este definită de 1.20.1 din

capitolul 1, şi cu X/G spaţiul X factorizat la relaţia : x ~ y

( ) ( )yxyx:G 1 =γ<=>=γ∈γ∃<=> − .

Definiţie 4.2.2. Fie X , Y două G-spaţii boreliene, şi fie π : Y → X o aplicaţie

boreliană G-echivariantă ( i.e. r(π(y)) = r(y) şi γ π(y) = π(γ y) pentru orice (γ , y) ∈

G∗X )

1. Spunem că π-sistemul de măsuri α = {αx, x ∈ X} este invariant (G-

invariant) dacă xx γα=αγ pentru orice pereche (x, γ) cu r(x) = d(γ), unde măsura

xαγ este definită prin

( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫ αγ=γα ydyf:ydyf xx , f ≥ 0 boreliană pe Y.

2. Spunem că π este o aplicaţie boreliană propriu-amenabilă dacă există un π-

sistem borelian de probabilităţi invariant. (Definition 2.1.13/pg. 38 [1])

Definiţie 4.2.3. Spunem că un grupoid borelian G este propriu (propriu-

amenabil) dacă aplicaţia boreliană r : G → UG este propriu-amenabilă.

G-spaţiul borelian X se numeşte propriu (propriu-amenabil) dacă grupoidul

borelian X×G propriu (propriu-amenabil). (Definition 2.1.13/pg. 38 [1]).

Propoziţie 4.2.4. (Proposition 2.1.5/pg. 35 [1]).

1) Compunerea a două aplicaţii G-echivariante propriu amenabile este o

aplicaţie G-echivariantă propriu amenabilă.

2) Reciproc, fie aplicaţiile G-echivariante π : Y → X şi ρ : Z → Y astfel

încât π ρ să fie propriu amenabilă. Atunci π este propriu amenabilă.

3) Dacă G este propriu, atunci orice G-spaţiu borelian este propriu.

Introducem mai departe elementele necesare pentru definirea aplicaţiilor

boreliene amenabile.



149

Definiţie 4.2.5 Fie G un grupoid borelian înzestrat cu un sistem Haar borelian

ν={νu,u∈UG}, şi fie X un G-spaţiu borelian. O măsură pozitivă µ pe X se numeşte

cvasi invariantă relativ la ν (sau

( G, ν ) ) dacă măsura µ ν de pe X∗G definită prin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

∫ ∗∈∀µγνγ=νµ GXBf,xdd,xff xr

este echivalentă cu imaginea ei prin aplicaţia ( ) ( )11 ,x,x:I −− γγγ , unde ( )+∗GXB

este mulţimea tuturor funcţiilor boreliene nenegative pe X∗G . Cu alte cuvinte, µ este

cvasi-invariantă dacă grupoidul ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ µν×δ× ∫ xd,GX xr

x este grupoid cu măsură

(Definition 3.1.1/pg. 53 [1]).

Vom considera în plus o surjecţie G-echivariantă boreliană π de la G-spaţiul

borelian Y la X. Spunem că un π-sistem borelian α este G –cvasi invariant dacă există

un cociclu borelian (i.e. un morfism de grupoizi) c : Y × G → +*R , a. î.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∈γ∀∈∀α=αγγ +γ− −

G,GBf,ydyfyd,ycyf xx1 1

Astfel măsurile x1−γαγ şi xα sunt echivalente pentru (x, γ) ∈ X∗G şi au derivata

Radon-Nikodym ( )( )

( ) ( )γ=ααγ

π

πγ−

,ycd

dy

y1

. Sistemul α este G-invariant dacă c = 1.

Dându-se µ şi α ca mai înainte, măsura β = µ α de pe Y este de asemenea cvasi

invariantă şi avem

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) 111 ,yc,y

dd,y

dd −

−− γγπνµνµ

=γνβνβ a.p.t.

Reciproc, presupunem că se dă o aplicaţie G-invariantă boreliană π : Y → X ,

şi considerăm o măsură β pe Y, cvasi invariantă pentru (G, ν ). Fie µ o probabilitate

echivalentă cu imaginea lui β prin π, şi fie dezintegrarea ( )∫ µα=β xdx lui β relativ

la µ . Atunci evident µ este cvasi invariantă, şi din unicitatea dezintegrării rezultă că x1−γαγ este echivalentă cu xα pentru µ ν - a. p. t. (x , γ).


150

În acest subcapitol vom adopta următorul punct de vedere: (G , ν) este un

grupoid borelian cu sistemul Haar ν, π : Y → X este o aplicaţie G-invariantă

boreliană, α este un π-sistem borelian cvasi invariant cu cociclul asociat c, şi µ este o

măsură cvasi invariantă pe X. De acum înainte vom presupune c = 1, deşi multe dintre

rezultatele următoare rămân adevărate pentru un cociclu c oarecare. Notăm

( )( ) 1d

d−νµνµ

=δ . Spaţiul Y va fi implicit înzestrat cu măsura cvasi invariantă µ α.

Atunci avem

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )γπδ=γγπδ=γναµναµ −− ,y,yc,y,y

dd 1

1 a.p.t.

Vom nota cu ( )ν,GBb spaţiul funcţiilor boreliene f definite pe G cu

proprietatea că ( )fν este mărginită.

Propoziţie 4.2.6. ( )ν,GBb acţionează prin convoluţie pe ( )XL∞ conform

formulei:

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ γνγϕγ=ϕ∗=ϕ −ν

xr1 dxfxfxfL

pentru f ∈ ( )ν,GBb şi ϕ ∈ ( )XL∞ . Avem:

∞∞ν ϕ≤ϕ∗1,r

ff .

Definiţie 4.2.7. Spunem că o medie m ∈ ( ) ( ) ( )( )XL,YLB XL∞∞

∞ este invariantă

dacă

m( f∗ϕ ) = f∗( m( ϕ ) ) pentru orice f ∈ ( )ν,GBb şi ϕ ∈ ( )YL∞ .

(Definition 3.1.4/pg. 56 [1]).

Lema 4.2.8. Fie un şir ( )iig din ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL (funcţiile nenegative din

( )( )α∞ ,YL,XL 1 de normă ≤ 1). Următoarele condiţii sunt echivalente:

(1) Pentru (∀) ϕ ∈ ( )YL∞ , (∀) h∈ ( )XL1 şi (∀) f∈ ( )ν,GBb ,



151

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 0xdyddygygyxhflim xxri

1i

i=µαγν−γϕγ∫ − ;

(2) Pentru (∀) ϕ ∈ ( )YL∞ , (∀) h∈ ( )XL1 şi (∀) f∈ ( )ν,GBb ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 0xdyddygygyxhflim xxri

1i

1

i=µαγν−γγϕγ∫ −− ;

(3) Pentru (∀) ϕ ∈ ( )YL∞ , şi (∀) f∈ ( )GXL1 ∗ ,

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 0xdyddygygy,xflim xxri

1i

i=µαγν−γϕγ∫ − ;

(Lemma 3.1.5/pg. 56 [1]).

Definiţie 4.2.9. Un şir ( )iig din ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL care satisface condiţiile

echivalente din lema precedentă şi în plus are proprietatea

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ µ=µα∈∀ ,xdxhxdydygxhlim,XLh xii

1

se numeşte medie aproximativă slab invariantă. (Definition 3.1.6/pg. 57 [1]).

Observaţie 4.2.10. În definiţia 4.2.9 se poate impune condiţia α( ig ) = 1

pentru orice i, înlocuind şirul ( )iig cu şirul ( )n,in,ig definit prin

( )( ) ,

n1ggn1gg

i

in,i +α

+=

unde g este o funcţie boreliană nenegativă pe Y cu α(g) = 1.

Propoziţie 4.2.11. Fie m : ( )YL∞ → ( )XL∞ o medie . Următoarele condiţii

sunt echivalente :

(1) m este invariantă ;

(2) există o medie aproximativă slab invariantă ( )iig în ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL

astfel încât mmlimigi = în ( ) ( ) ( )( )XL,YLB XL

∞∞∞ înzestrat cu topologia *-slabă ,

unde

( ) ( ) ( ) ( )ϕα=ϕ→ ∞∞iigig gmXLYL:m ;


152

Dacă sunt satisfăcute ipotezele (∗) din subcapitolul precedent atunci condiţia

(1) este echivalentă cu

(2’) există o medie aproximativă slab invariantă ( )iig în ( )( )+∞ α 11 ,YL,EL

astfel încât mmlimigi = în ( ) ( ) ( )( )XL,YLB XL

∞∞∞ înzestrat cu topologia *-slabă.

Demonstraţie. Fie ( )iig un şir în ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL . Pentru f ∈ ( )λ,GBb , h

∈ ( )XL1 , şi ϕ ∈ ( )YL∞ avem

( )( ) ( ) =ϕ∗−ϕ∗ h,fmh,mfigig

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xdyddygygyxhf xxri

1i

1 µαγν−γγϕγ= −−∫

Astfel utilizând densitatea lui ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL în ( ) ( ) ( )( )+∞∞

∞ 1XL XL,YLB (Lemma

1.2.6/ pg. 8 [1]), observăm că (1) şi (2) sunt echivalente.

Dacă în plus, sunt satisfăcute ipotezele (∗) din subcapitolul 4.1 (4.1.3) atunci

( )( )+∞ α 11 ,YL,EL este dens în ( ) ( ) ( )( )+∞∞

∞ 1XL XL,YLB ∩ M. Deci în acest caz (1) şi (2’)

sunt echivalente.

Propoziţie 4.2.12. Următoarele afirmaţii sunt echivalente :

(1) Există o medie invariantă m : ( )YL∞ → ( )XL∞

(2) Există o medie aproximativă slab invariantă

(3) Există un şir ( )iig în ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL astfel încât

(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ µ=µα∈∀ ,xdxhxdydygxhlim,XLh xii

1

(b) ( ) ( )( ) ( ) 0xddgrfgfxhlim xiii =µ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ αν−∗∫ ∫ ,

( ) ( )XLh 1∈∀ şi ( ) ( )ν∈∀ ,GBf b .

(Proposition 3.1.8/pg. 58 [1]).



153

Definiţie 4.2.13. Un şir ( )iig din ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL se numeşte medie

aproximativă complet invariantă dacă următoarele două condiţii sunt îndeplinite:

(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ µ=µα∈∀ ;xdxhxdydygxhlim,XLh xii

1

(b) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 0xdyddygyg,y,xflim xxri

1ii =µαγν−γγϕγ∫ −

( ) ( )GYL ∗∈ϕ∀ ∞ şi ( ) ( )GXLf 1 ∗∈∀ .Definition 3.1.20/pg. 63 [1]).

Putem normaliza o medie aproximativă complet invariantă cerând ca α( ig ) =

1 pentru orice i (ca în 4.2.10). Dacă, în plus, sunt satisfăcute ipotezele (∗) din

subcapitolul 4.1 (4.1.3) atunci se poate cere ca α0(gi) = 1 pentru orice i.

Propoziţie 4.2.14. Următoarele condiţii sunt echivalente :

(1) Există o medie aproximativă complet invariantă .

(2) Există un şir ( )iig în ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL a.î :

(a) α( ig ) = 1 , pentru orice i ;

(b) pentru orice f ∈ ( )GXL1 ∗ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ =µαγν−γγ − .0xdyddygyg,xflim xxri

1ii


Definiţie 4.2.15. Un element e∈ ( )GXL ∗∞ se numeşte de tip pozitiv dacă

pentru orice număr natural n , şi orice n21 ,...,, ζζζ , inegalitatea

( )∑ ≥ζζγγγ −− 0,xe jij1

i1

i

are loc pentru ( )xrν –aproape toţi n21 ,...,, γγγ din ( )xrG , pe o submulţime de

complementară nulă a lui X .

O astfel de funcţie admite o restricţie ( )0e la GU , cu ( )∞∞

= 0ee ([71] şi

[67]).


154

Propoziţie 4.2.16. Următoarele condiţii sunt echivalente :

(1) Există o medie aproximativă complet invariantă .

(2) Există un şir ( ) ( )( )α∈ξ ∞ ,YL,XL 2nn astfel încât şirul ( )nne de funcţii de

tip pozitiv pe grupoidul X∗G , definite prin

( ) ( ) ( ) ( )ydyy,xe x1nnn αγξξ=γ −∫

are proprietăţile :

(a) ( ) ( ) ;n1e 0n ∀=

(b) 1elim nn = *-slab în ( )GXL ∗∞ .


Definiţie 4.2.17. Un π-sistem de medii, invariant relativ la (α, ν, µ) este o

familie m = {mx, x ∈ X },de stări (sau medii) mx pe L∞(Y, αx), astfel încât pentru

orice ϕ ∈ L∞(Y) să avem

(a) x mx(ϕ) este µ-măsurabilă;

(b) ( ) ( )ϕ=ϕγ−γ xx mm

1

pentru νµ -a.p.t. (x, γ) ∈ X∗G, unde

( ) ( )( )⋅γϕ=ϕγ−− γγ xx 11

mm .

(Definition 3.1.26/pg. 66 [1]).

Propoziţie 4.2.18. Următoarele afirmaţii sunt echivalente :

(1) Există o medie invariantă m : ( )YL∞ → ( )XL∞ ;

(2) Există o medie aproximativă slab invariantă;

(3) Există o medie aproximativă complet invariantă;

(4) Există un π-sistem de medii, invariant relativ la (α, ν, µ).

(3.1.26, 3.1.14, 3.1.19, 3.2.3, 3.2.4 [1]).

Definiţie 4.2.19. Fie G un grupoid borelian, şi π : Y → X o aplicaţie boreliană

G-invariantă . Presupunem date un sistem Haar ν pe G şi β o măsură pe Y, care este



155

cvasi invariantă pentru ν. Fie µ o măsură aparţinând ( )[ ]βπ* . Spunem că aplicaţia π

este amenabilă relativ la (ν, β ) (sau (G, ν, β)) dacă există o medie invariantă m :

( )β∞ ,YL → ( )µ∞ ,XL , i.e o medie m cu proprietatea m(f∗ϕ) = f∗(m(ϕ)) pentru orice

f ∈ ( )ν,GBb şi ϕ ∈ ( )YL∞ . (Definition 3.2.1/pg. 67 [1]).

Definiţie 4.2.20. Spunem că un grupoid cu măsură ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u = (G, ν,

µ) este amenabil (sau clasa măsurii µ este amenabilă pentru (G, ν)), dacă aplicaţia

boreliană r:G → GU este amenabilă relativ la (ν , µ ν)(Definition 3.2.8/pg. 71 [1]).

Deci grupoidul cu măsură ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u este amenabil dacă şi numai dacă

există o medie m : ( )GL∞ → ( )GUL∞ astfel încât m(f∗ϕ) = f∗(m(ϕ)) pentru orice f

∈ ( )ν,GBb şi ϕ ∈ ( )GL∞ .

Definiţie 4.2.21. Fie G un grupoid borelian care admite un sistem Haar ν,

şi X un G-spaţiu înzestrat cu o măsură µ , cvasi invariantă pentru ν . Spunem că G-

spaţiul X este amenabil relativ la (ν , µ) dacă grupoidul cu măsură

( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ µν×δ× ∫ xd,GX xr

x este amenabil (Definition 3.2.12/pg. 72 [1])..

Propoziţie 4.2.22. Fie ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u un grupoid borelian cu măsură.

Următoarele condiţii sunt echivalente :

(1) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u este amenabil ;

(2) [condiţia slabă a lui Day] Există un şir ( )iig în ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL (funcţiile

nenegative din ( )( )α∞ ,YL,XL 1 de normă ≤ 1), normalizat (i.e. ( ) ( )i,1gi ∀=ν ) care

are proprietatea


156

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 0udddggflim u1

u1i1

1i1

i=µγνγνγ−γγγϕγ∫ −

pentru (∀) ϕ ∈ ( )GL∞ şi (∀) f∈ ( )GL1 ;

(3) [condiţia tare a lui Day] Există un şir ( )iig în ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL ,

normalizat, care are proprietatea

( ) ( )( ) ( ) 0uddgrfgfuhlim uiii =µ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ νν−∗∫ ∫

pentru ( ) ( )G1 ULh∈∀ şi ( ) ( )ν∈∀ ,GBf b ;

(4) [condiţia slabă a lui Reiter] Există un şir ( )iig în ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL ,

normalizat, care are proprietatea

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0udddggflim u1

u1i1

1i

i=µγνγνγ−γγγ∫ − pentru (∀) f∈

( )GL1 ;

(5) [condiţia Hulanicki] Există un şir ( ) ( )( )ν∈ξ ∞ ,GL,UL 2Gnn astfel încât

şirul ( )nne de funcţii de tip pozitiv pe grupoidul G , definite prin

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1r

11

n1nn de γνγγξγξ=γ γ−∫

satisface proprietăţile :

( ) ( ) ;n1e 0n ∀=

1elim nn = *-slab în ( )GL∞ .


Observaţie 4.2.23. În propoziţia anterioară obţinem definiţii echivalente dacă

înlocuim şirul generalizat ( )iig cu un şir ( )nng indexat după numere naturale,

deoarece spaţiile măsurabile considerate sunt separabile, iar măsurile de pe ele σ–

finite . De asemenea putem presupune că ( ) ( )( )+∞+ ν⊂ν∈ ,GL,UL,GBg 1Gbi . Mai

mult, vom vedea în subcapitolul următor că în cazul aplicaţiei r : UG → G sunt

satisfăcute ipotezele (∗) din subcapitolul 4.1 (4.1.3), şi deci rezultă că putem întării

condiţia de normalizare impusă şirului ( )iig .



157

Definiţie 4.2.24. Fie G un grupoid borelian care admite un sistem Haar ν.

Spunem că G este măsurabil amenabil dacă şi numai dacă ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u este

amenabil pentru orice măsură µ, cvasi invariantă relativ la ν (Definition 3.3.1/pg. 82

[1]).

Propoziţie 4.2.25. Fie G un grupoid borelian care admite un sistem Haar ν.

Presupunem că există un şir ( )nnh de funcţii boreliene nenegative din ( )ν,GBb a.î.

(a) ( ) ( )n,0h n ∀>ν

(b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G,0dhhh

1lim 1r

1n11

nn

rn

∈γ∀=γνγ−γγν ∫ γ−

γ

Atunci G este măsurabil amenabil .


b. Cazul topologic (local-compact)

În această secţiune vom presupune grupoizii şi spaţiile pe care acţionează ca

fiind spaţii topologice local-compacte, cu bază numărabilă. De asemenea vom

presupune aplicaţiile de proiecţie, r şi d, ale acestor grupoizi topologici ca fiind

aplicaţii deschise. Vom înţelege prin sistem Haar pe un grupoid G un sistem Haar

(continuu), ν = { }Gu Uu, ∈ν , cu supp νu = Gu pentru orice u ∈ UG. Noţiunea de

spaţiu propriu este cea din 2.2. Sistemele boreliene de măsuri vor fi înlocuite de

sisteme continue, definite mai jos.

Definiţie 4.2.26. Fie X, Y două spaţii local compacte, şi fie π : Y → X o

aplicaţie continuă surjectivă. Un π-sistem continuu este o familie α = { α x : x ∈ X }

de măsuri Radon pozitive pe Y a.î.:

(1) Suportul lui xα este conţinut în ( )x1−π ;


158

(2) Pentru orice funcţie continuă cu suport compact ( )YCf c∈ , funcţia

( ) ∫ αα xdfx:f

este continuă;

(3) xα ≠ 0 pentru orice x ∈ X .

Dacă suportul măsurii xα este exact ( )x1−π spunem că α este complet.

Notaţie: ( )YC ,c π = spaţiul funcţiilor continue pe Y, cu suport π-compact (o

submulţime A⊂Y se numeşte π-compactă dacă pentru orice mulţime compactă K ⊂

X rezultă că mulţimea ( ) AK1 ∩π− este compactă).

Lema 4.2.27. Un sistem de măsuri α cu proprietăţile (1) şi (2) din definiţia

precedentă are proprietatea (3), din aceeaşi definiţie, dacă şi numai dacă există o

funcţie continuă nenegativă g din ( )YC ,c π , cu α(g) = 1. (Lemma 1.1.2/pg. 19 [1])

Definiţie 4.2.28. Fie X, Y două G-spaţii local compacte, şi fie π : Y → X o

aplicaţie continuă G-echivariantă. Spunem că π este o aplicaţie continuă propriu-

amenabilă dacă există un π-sistem continuu de probabilităţi invariant (Definition

2..13/pg. 38 [1].

Enunţăm în continuare câteva proprietăţi ale aplicaţiilor continue propriu

amenabile.

Propoziţie 4.2.29. Fie Y, X două G-spaţii local-compacte şi fie π : Y → X o

aplicaţie G-echivariantă continuă surjectivă.

1) Dacă X un G-spaţiu propriu, atunci Y este un G-spaţiu propriu de

asemenea .

2) Dacă Y este un G-spaţiu propriu şi π este o aplicaţie continuă propriu-

amenabilă, atunci X este un G-spaţiu propriu.




159

Propoziţie 4.2.30. Fie Y, X două G-spaţii local-compacte şi fie π : Y → X o

aplicaţie continuă G-echivariantă a.î. există un π-sistem continuu invariant de măsuri

Radon pozitive β. Dacă X este G-spaţiu propriu, atunci:

1) Există o funcţie g în ( )YC ,c π cu β(g) = 1.

2) π : Y → X o aplicaţie propriu-amenabilă continuă.


Propoziţie 4.2.31. Fie X , Y două G-spaţii local-compacte şi fie, π :Y → X o

surjecţie continuă deschisă G-echivariantă. Dacă X este un G-spaţiu principal atunci π

este o aplicaţie propriu amenabilă continuă. (Proposition 2.1.16/pg. 40 [1]).

Definiţie 4.2.38. Fie X şi Y două G-spaţii, iar π : Y → X o surjecţie continuă

G-echivariantă care admite un π-sistem continuu invariant de măsuri, α. Aplicaţia

continuă π se numeşte (topologic) amenabilă dacă îndeplineşte următoarea condiţie:

(∗) Există un şir ( )nng în ( )+π YC ,c a.î.:

(a) ∫ =α 1dg xn

(b) ( ) ( ) ( )∫ −− ydαygyγg xn

1n converge la 0 uniform pe submulţimile

compacte ale lui X∗G .

Observaţie 4.2.39. În [1] aplicaţiile (topologic-) amenabile sunt definite într-

un context mai general (nu se cere ca π să admită un π-sistem continuu invariant de

măsuri). Dacă π este o surjecţie continuă G-echivariantă , care admite un π-sistem

continuu invariant de măsuri, definiţia 4.2.38. este mai tare decât cea utilizată în [1],

însă cele două definiţii sunt echivalente dacă Y este G-spaţiu propriu (Proposition

2.2.54/ pg. 42 [1]).


160

Propoziţie 4.2.40. Fie π : Y → X o surjecţie continuă G-echivariantă înzestrată

cu un π-sistem continuu invariant de măsuri , α . Condiţia (∗) din definiţia

precedentă este echivalentă cu:

(∗∗) Există un şir ( ) ( )YC ,cnn π⊂ξ a.î. şirul ( )nne de funcţii pozitive pe

grupoidul X×G, definite prin:

( ) ( ) ( ) ( )ydyy,xe x1nnn αγξξ=γ −∫

satisface următoarele proprietăţi :

(a) ( ) ( )n1e 0n ∀= ;

(b) 1elim nn = uniform pe submulţimile compacte ale lui X∗G .

(Proposition 2.2.7/pg.44 [1]).

Definiţie 4.2.41. Fie G un grupoid topologic local-compact, cu bază

numărabilă, care admite un sistem Haar (continuu).

Spunem că G este un grupoid topologic amenabil dacă aplicaţia r : G → UG

este amenabilă.

Un G-spaţiu local-compact X se numeşte topologic amenabil dacă grupoidul

X × G este topologic amenabil. (Definition 2.2.8/pg. 45 [1])

Propoziţie 4.2.42. Fie G este un grupoid topologic local-compact .

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

(1) G este topologic amenabil .

(2) Există un G-spaţiu local-compact principal Z cu Z/G local compact, a.î.

aplicaţia continuă GUZ:r → este (topologic) amenabilă.

(3) Orice surjecţie continuă deschisă G-echivariantă π : Y → X (X, Y G-spaţii

local-compacte) este (topologic) amenabilă .

(Corollary 2.2.11 /pg. 46 [1])



161

Propoziţie 4.2.43. Fie G un grupoid topologic local-compact, cu bază

numărabilă, care admite un sistem Haar (la stânga ) (continuu) ν = { }Gu Uu, ∈ν cu

uu Gsupp =ν (∀) u ∈UG. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

(1) G este amenabil.

(2) Există un şir ( )nnh de funcţii continue pe G, de tip pozitiv, cu suport

compact a.î.:

(a) ( ) ( )n1h 0n ∀≤

(b) 1hlim nn = uniform pe submulţimile compacte ale lui G.


Teoremă 4.2.44. Amenabilitatea topologică este invariantă la echivalenţa de

grupoizi topologici local-compacţi. (Theorem 2.2.17. /pg.50 [1]).

Enunţăm mai jos două rezultate care stabilesc legătura dintre amenabilitatea

topologică şi amenabilitatea măsurabilă. Evident, amenabilitatea topologică implică

amenabilitatea măsurabilă.

Teoremă 4.2.45. Fie G un grupoid local compact echivalent cu un grupoid

care admite un sistem Haar continuu complet şi care are orbite numărabile. Atunci G

este măsurabil amenabil dacă şi numai dacă este topologic amenabil. (Theorem

3.3.7/pg. 86[1])

Propoziţie 4.2.46. Fie G un grupoid topologic local-compact care admite un

sistem Haar ν continuu . Considerăm următoarele condiţii :

(1) G este topologic amenabil;

(2) [condiţia Reiter 1P ] Există un şir ( )nng de funcţii boreliene (sau continue)

nenegative din ( )ν,GBb cu ( ) 1g n =ν pentru orice n, a.î.

( ) ( ) ( ) ( )∫ =γνγ−γγ γ− 0dgglim 1r

1n11

nn

uniform pe submulţimile compacte ale lui G;


162

(3) [condiţia Reiter ∗1P ] Există un şir ( )nng de funcţii boreliene (sau continue)

nenegative din ( )ν,GBb cu ( ) 1g n =ν pentru orice n, a.î.

( ) ( ) ( ) ( )∫ =γνγ−γγ γ− 0dgglim 1r

1n11

nn

simplu;

(4) Există un şir ( )nnh de funcţii boreliene nenegative din ( )ν,GBb cu

( ) ( )n,0h n ∀>ν a.î.:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G,0dhhh

1lim 1r

1n11

nn

rn

∈γ∀=γνγ−γγν ∫ γ−

γ ;

(5) G este măsurabil amenabil.

Atunci (1) => (2) => (3) => (4) => (5). Mai mult, aceste condiţii sunt

echivalente dacă G este echivalent cu un grupoid care admite un sistem Haar continuu

complet, şi care are orbite numărabile. (Corollarz 3.3.8/pg. 88 [1]).

c. Proprietăţi ale grupoizilor amenabili. Exemple.

În această secţiune vom prezenta câteva proprietăţi ale grupoizilor amenabili,

dintre care cităm următorul rezultat: Grupoidul cu măsură (G,λ,µ) este amenabil dacă

şi numai dacă grupoidul principal asociat este amenabil şi aproape toate grupurile de

izotropie sunt amenabile. (5.3.33/pg.127[1] ). Acest rezultat reduce studiul grupoizilor

amenabili la studiul grupurilor amenabile şi a relaţiilor de echivalenţă amenabile

(grupoidul principal asociat fiind o relaţie de echivalenţă). Din 5.3.38/pg.131 [1] şi

[29] rezultă că o relaţie de echivalenţă cu clasele de echivalenţă numărabile este

amenabilă dacă şi numai dacă este hiperfinită, i.e. este reuniunea unui şir (numărabil)

crescător de relaţii de echivalenţă finite (< = > cu clase de echivalenţă finite ). Deci un

grupoid este amenabil dacă şi numai dacă este echivalent cu un grupoid care poate fi

reprezentat ca un şir crescător de grupoizi ( ) NnnG ∈ , fiecare nG fiind o reuniune

disjunctă (algebrică) de grupoizi cu grupurile de izotropie amenabile şi orbite finite.



163

Propoziţie 4.2.47. Dacă ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u este un grupoid cu măsură

amenabil, şi U o submulţime invariantă măsurabilă de măsură pozitivă a lui UG, atunci

grupoidul ( )UUU

,,G µν este amenabil. (Proposition 5.3.5/pg. 114[1])

Demonstraţie . Într-adevăr, dacă ( ) ( )GULGL:m ∞∞ → este o medie invariantă

pentru G, atunci restricţia ei ( ) ( )ULGL:mUU

∞∞ → este o medie invariantă pentru

UG .


⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u un grupoid cu măsură şi p o

aplicaţie boreliană definită pe UG cu valori într-un spaţiu borelian B care este

invariantă (i.e. dprp = ). Fie µ o măsură din clasa ( )[ ]µ*p , şi ( )∫ ωµρ=µ ω d p-

dezintegrarea măsurii µ . Atunci µ -a.p.t. ω măsurile ωρ sunt cvasi invariante pentru

(G, ν), şi următoarele condiţii sunt echivalente:

(1) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u este amenabil;

(2) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ρν∫ ω ud,G u este amenabil µ -a.p.t. ω .

(Proposition 5.3.4/pg. 113[1])

O consecinţă a propoziţiei de mai sus este următoarea (Corollary 5.3.33 /pg.

127 [1]):


⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u un grupoid cu măsură. Considerăm

grupoidul principal asociat (cf. 2.1. ), ( )( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ µν∫∗ udd,r,Gd,r u . Atunci

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u este amenabil dacă şi numai dacă


164

( )( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ µν∫∗ udd,r,Gd,r u este amenabil şi grupurile de izotropie u

uG sunt

amenabile µ-a.p.t. u.

Exemplu 4.2.50. Grupoidul provenit din acţiunea unui grup amenabil pe o

mulţime local compactă este amenabil, dar reciproca nu este adevărată. Fie G un grup

local compact cu bază numărabilă şi H un subgrup închis; se poate arăta că grupoidul

( ) GG\H × este amenabil dacă şi numai dacă H este amenabil.

Exemplu 4.2.51. Orice măsură tranzitivă pe un grupoid principal este

amenabilă . Indicăm pe scurt cum se construieşte un şir ( )iif a.î. 1ff *ii →∗ pe G .

Fie [u] o orbită fixată şi µ măsura tranzitivă ( )u*d ν . Se poate alege un şir crescător

( )iiK de submulţimi compacte ale [u] (cu topologia dată de bijecţia ]u[G:d u → ).

Definim if prin

( ) ( ) ( )( )⎩⎨⎧ ×∈µ

=−

altfel,0KKxd,r,Kxf ii

21i

i

Atunci

( ) ( )( )⎩⎨⎧ ×∈

=∗altfel,0

KKxd,r,1xff ii*

ii

Funcţiile if nu sunt în ( )GCc , dar sunt în ( )ν,GL2 (unde am considerat µ

probabilitate, şi ( )∫ µν=ν udu ) şi deci pot fi aproximate în ( )ν,GL2 prin elemente

ale lui ( )GCc .

Următoarele rezultate şi exemple aparţin lui J. Renault ([68], II.3). Prezentăm

şi demonstraţia acestor rezultate pentru a da o imagine asupra modului în care apar

mediile (slab) invariante pe grupoizii amenabili.



165

Propoziţia 4.2.52. Fie G un grupoid local-compact care admite un sistem Haar

ν = { }Gu Uu, ∈ν , A un grup local compact şi c : G → A un morfism continuu . Fie

G(c) grupoidul a cărui structură este definită prin :

G(c) = G × A

( ) ( )( ) ( )a,xyxac,ya,x =

( ) ( )( )xac,xa,x 11 −− =

Cu aceste notaţii , avem

1) Dacă G este (măsurabil) amenabil , atunci G(c) este (măsurabil) amenabil;

2) Dacă A este amenabil şi G(c) este (măsurabil) amenabil, atunci G este

(măsurabil) amenabil;

Demonstraţie. Spaţiul unităţilor lui G(c) este GU × A . Un sistem Haar pentru

G(c) este { }a,uν dat prin

( ) ( ) ( ) ( ).xda,xfb,xdb,xf ua,u ∫∫ ν=ν

Vom descrie măsurile cvasi invariante pentru G(c) . Fie µ o măsură cvasi invariantă

pe UG şi { }Gu Uu, ∈α un sistem de măsuri pe A , care au proprietatea că măsura

( )∫ µα×δ=µ uduu este corect definită şi este satisfăcută următoarea relaţie

( ) ( ) ( ) x.t.p.axc~ xrxd −ναα , unde ( )∫ µν=ν udu

Se verifică uşor că µ este o măsură cvasi invariantă pentru G(c) . Reciproc,

presupunem că µ este o măsură cvasi invariantă pentru G(c), π : GU × A → GU este

proiecţia pe prima componentă, şi µ este imaginea măsurii µ prin π . Înlocuim µ,

µ şi { }uν cu probabilităţi din clasele lor. Fie{ }Gu Uu, ∈α probabilităţile obţinute

prin π-dezintegrarea lui µ relativ la µ . Măsura ν0 indusă de µ are forma

( ) ( ) ( ) ( ) ,uaxda,xfdf uu

0∫ ∫ µαν=ν

în timp ce 10−ν are forma


166

( )( ) ( ) ( ) ( ) .uaxdxac,xfdf uu11

0∫ ∫ µαν=ν −−

Din unicitatea π-dezintegrării lui ν0 , şi din simetria lui ν0 obţinem

( ) ( ) ( ) x.t.p.axc~ 1xdxr −ναα − .

1) Fie ( )∫ µα×δ=µ uduu o măsură cvasi invariantă pentru G(c) , ca mai

înainte . Dacă µ este amenabilă , atunci există un şir ( )iif în ( )GCc a.î.

( )uffu *ii ∗ converge la 1 slab în ( )µ∞ ,UL G , şi ( )xffx *

ii ∗ converge la 1 slab

în ( )ν∞ ,GL . Fie ( )iih o unitate aproximativă mărginită în norma ∞

pentru

( )ACc cu înmulţirea (punctuală), şi funcţia ( )AGCg ci ×∈ definită prin

( ) ( ) ( )ahxfa,xg iii =

Şirul ( )iig are proprietăţile cerute :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ydxac,yga,xyga,xgg xdii

*ii λ=∗ ∫

( ) ( )( ) ( )xffxachah *iiii ∗=

Verificăm convergenţa şirului ( ) ( )a,ugga,u *ii ∗ . Acest şir fiind mărginit în

( )µ×∞ ,AUL G , este suficient să verificăm convergenţa doar pentru funcţii de forma

( ) ( )aguf unde f ∈ ( )Gc UC şi g ∈ ( )ACc . Observăm că

( ) ( ) ( ) ( )=µ∗∫ a,xda,uggaguf *ii

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ µ⎯→⎯µ∗⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ α= a,udagufuduffadahaguf i*

iiu2

i ,

deoarece ( ) ( ) ( )adahag u2

i α∫ converge la ( ) ( )adag uα∫ în ( )µ,UL G1 şi ( )uff *

ii ∗

converge la 1 slab în ( )µ∞ ,UL G . Convergenţa lui ( )a,xgg *ii ∗ se demonstrează în

acelaşi fel . În consecinţă, µ este amenabilă . În acelaşi mod se demonstrează că G

topologic amenabil implică G(c) topologic amenabil .

2) Presupunem că A este amenabil şi G(c) este măsurabil amenabil . Fie µ o

măsură cvasi invariantă pe GU . Atunci măsura α×µ=µ , unde α este o măsură



167

Haar la dreapta pentru A , este cvasi invariantă pentru G(c) . Deoarece G(c) este

măsurabil amenabil , există o medie aproximativă invariantă ( )iig , 0gi ≥ ,

( )AGCg ci ×∈ a.î. ( ) ( ) ( )∫ ν xda,xga,u ui converge la 1 slab în ( )µ×∞ ,AUL G , şi

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ν− ydxac,yga,xyga,u xdii converge la 0 slab în ( )0,AGL ν×∞ .

Grupul A fiind amenabil are de asemenea o medie invariantă ( )iik , 0k i ≥ ,

( )ACk ci∈ a.î. ( ) ( )∫ =α 1adak j , şi ( ) ( ) ( )∫ α− adakabkb jj converge la 0

uniform pe submulţimile compacte ale lui A . Definim funcţiile ( )GCf cij∈ prin

( ) ( ) ( )adaka,xgf jiij α=∫ . Nu este greu de verificat că familia de funcţii

( ) ( )∫ ν xdxfu uij este mărginită în ( )µ∞ ,UL G şi că familia de funcţii

( ) ( ) ( ) ( )∫ ν− ydyfxyfx xdijij este mărginită în ( )ν∞ ,GL . Vom arăta că , fiind dată

o vecinătate a lui 1 în ( )µ∞ ,UL G (înzestrat cu topologia slabă),

( ) ( )( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =ε≤µφ−µ∈= ∫∞ m,...,2,1k,udu1uh:,ULhV kkG

unde ( )Gck UC∈φ , 0k >ε , m,...,2,1k = şi o vecinătate a lui 0 în ( )ν∞ ,GL

(înzestrat cu topologia slabă),

( ) ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =≤νψν∈= ∫∞ n,....,2,1l,nxdxxf:,GLfW ll

există ijf a.î. ∫ λuij dfu este în V şi ( ) ( ) ( ) ( )∫ ν− ydyfxyfx xd

ijij este în W .

Fie M cu proprietatea : ( ) ( ) ( )( )

( )i,Mxda,xga,u,AUL

ui

G

∀≤νµ×∞∫

Putem alege j a.î. , pentru orice l = 1,2, …, n ,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )M2

nxdadakxackx lj

1jl ≤να−ψ −∫

De acum încolo j va fi fixat . Observăm că


168

( ) ( ) ( ) ( ) =µ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ νφ∫ ∫ udxdxfu u

ijk

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ µφ=µφ⎯→⎯µφν= udua,xdakua,udakuxda,xg kjki

jku

i .

Deci pentru i suficient de mare ∫ ν uij dfu este în V . Analog , pentru i suficient de

mare, avem

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n,...,2,1l,2na,xdakxydxac,yga,xyg l

jlxd

ii =≤νψ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ν−∫ ∫

Ţinând cont de faptul că

( ) ( )=− yfxyf ijij

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )adakxacka,ygadakxac,yga,xyg j1

jijii α−+α−= ∫ ∫ − ,

obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ≤νψ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ν−∫ ∫ xdxydyfxyf l

xdijij

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +νψ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ν−≤ a,xdakxydxac,yga,xyg 0jl

xdii

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) l0j1

jxd

il na,xdakxackyda,ygx ≤ν−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ νψ+ −∫∫

Aceasta arată că µ este amenabilă . În acelaşi fel se arată că dacă G(c) este topologic

amenabil şi A este amenabil, atunci G este topologic amenabil .

Propoziţie 4.2.53. Fie G un grupoid topologic local-compact înzestrat cu un

sistem Haar ν = { }Gu Uu, ∈ν şi A un grup local-compact care acţionează continuu

pe G prin automorfisme lăsând sistemul Haar invariant , şi fie AG α× produsul

semi-direct .

1) Dacă A este amenabil şi G este (măsurabil) amenabil, atunci AG α× este

(măsurabil) amenabil.

2) Dacă produsul semi-direct AG α× este (măsurabil) amenabil, atunci G

este (măsurabil) amenabil .



169

Demonstraţie. ( )GAutA: →α este un morfism cu proprietatea că aplicaţia

( ) ( ) Gxax,aGA ∈α∋×

este continuă. Produsul semi-direct AG α× este grupoidul G × A unde:

( )( ) ( )( )( )ab,yaxb,ya,x α=

( ) ( )( )1111 a,xaa,x −−−− α=

Atunci ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )e,xdaa,xd,e,xra,xr 1−α== şi spaţiul unităţilor produsului semi-

direct poate fi identificat cu GU . AG α× cu topologia produs pe G × A este grupoid

topologic local-compact. Spunem că automorfismul s al lui G lasă sistemul Haar

invariant dacă ( )usus ν=ν⋅ , cu alte cuvinte dacă ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ν=ν−

xxfxdxsf uus 1

pentru orice f ∈ ( )uc GC . Dacă β este o măsură Haar la stânga pentru A, atunci este un

sistem Haar pentru AG α× - verificăm invarianţa la stânga:

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )=βνα=βν−− αα ∫∫ bdydab,yaxfbdydb,ya,xf xdaxda 11

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ αν=αν= bdydb,yfbdydab,xyf xrxd

Demonstraţia acestei propoziţii este asemănătoare cu cea a propoziţiei precedente, de

aceea vom indica doar construcţia mediilor aproximative invariante:

1) Dacă se dă ( )iif a.î. 1ff *ii →∗ pe G şi ( )

jjh a.î. 1hh *jj →∗ pe A punem

( ) ( )( ) ( )ahxafa,xg j1

iij−α=

2) Dacă se dă o medie aproximativă ( )iig pe AG α× , putem defini o medie

aproximativă pe G prin

( ) ( ) ( )ada,xgxf ii β= ∫ .


170

4.3. O PROPRIETATE DE ANULARE PENTRU MEDIILE INVARIANTE

Fie G un grupoid local-compact cu bază numărabilă şi { νu , u ∈ UG } un

sistem Haar continuu pe G . Alegem µ o probabilitate cvasi invariantă asociată

acestui sistem cu proprietatea că există o probabilitate simetrică λ pe G astfel încât

µ=r*(λ) (fiecare clasă de măsuri cvasi invariante conţine o astfel de probabilitate) .

Notăm cu ( )∫ µν=ν udu şi cu ∆ = 1dd

−νν funcţia modulară. Dacă pentru fiecare u ∈ UG

definim măsura νu prin

( ) ( ) ( )ydyff u1u ν=ν ∫ − , f ≥ 0 boreliană

atunci ν-1 = ( )∫ µν udu .

Presupunem (G, ν, µ) grupoid amenabil şi m : ( ) ( )GULGL ∞∞ → o medie

invariantă care provine dintr-o medie aproximativă complet invariantă normalizată.

Vom demonstra că, în cazul în care G are µ-aproape toate grupurile de izotropie

necompacte şi funcţia modulară ∆ mărginită pe o vecinătate simetrică a spaţiului

unităţilor UG, m(f) = 0 pentru orice funcţie f : G → C continuă care se anulează la

infinit.

Existenţa unei medii invariante m este echivalentă cu existenţa unui şir de

funcţii pozitive boreliene (gn)n (numit medie aproximativă slab invariantă) cu

proprietăţile:

1) ∫ ∈−µ=ν Gu

n Uu.t.p.a1dg

2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0udxdydygyxgxflim uun

1nn

=µνν−∫ −

∞→ pentru orice f din

( )GUL G1 ∗



171

În plus, mmlimngn=

∞→în ( ) ( ) ( )( )GUL

UL,GLBG

∞∞∞ înzestrat cu topologia *-slabă, unde

ngm se defineşte prin :

( )( ) ∫ νϕ=ϕ ung dgum

n, u∈UG ,ϕ ∈ L∞(G).

Aplicând teorema 2.1.15 grupoidului (G, [ν]) rezultă că există o mulţime

boreliană U0 cu complementara de măsură nulă astfel încât pe 0U

G integrala

( ) ( )∫ ν ydyff are (r,d)- dezintegrarea : ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ λν0U 0UE G

'v,u v,udv,uqydyf ,

unde

- E = (r,d)(G)

- q : 0U

E → *R + este un morfism de grupoizi

- λ’ este o probabilitate pe E aparţinând clasei de măsuri [(r,d)*(ν)] .

- măsurile νu,v sunt σ-finite .

Se poate demonstra că putem alege mulţimea U0 saturată şi măsurile νu,v astfel încât

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∈∀νδ=ν −− v~uUv,uydyyfydyf 0u,v11

v,u ,

unde δ(y) = ∆(y) ( ) ( )( )( ) ( )( )yd,yrq

yr,ydq . De asemenea un pas din demonstraţia teoremei

4.4./pg. 23 [42] constă în a arăta că

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )v,u(.t.p.aydyQyfydyf 'v,uv,u −λλ=ν∫ ∫

cu λu,v probabilităţi concentrate pe uvG şi Q o funcţie boreliană strict pozitivă. În

consecinţă, luând ( ) ( ) ( ) ( )( )xd,xrqxQ1xf = (ca şi în observaţia 3.2.3) rezultă că există

o funcţie boreliană f:G→ R+ cu proprietatea că q(u,v)νu,v(f) = 1 λ’ –a.p.t..

Dacă luăm Y = G , X = UG , π = r , αu = νu se observă uşor că sunt satisfăcute

ipotezele (∗) din subcapitolul 4.1, şi ţinând cont de propoziţia 4.2.11 deducem că

putem alege şirul (gn)n astfel încât să fie îndeplinite şi condiţiile gn ∈ ( )( )ν∞ ,GL,EL 1

(spaţiul Banach al funcţiilor ν -măsurabile f : G → C cu proprietatea că aplicaţia


172

( ) ∫ ν v,udfv,u este 'λ -esenţial mărginită, înzestrat cu norma

( ) ( ) ( )∞

ν= fv,uqv,uf v,ud,r) şi ( )n1g

d,rn ∀= .

Existenţa unei medii invariante este echivalentă cu existenţa unui şir de funcţii

pozitive boreliene (gn)n cu proprietăţile:

1) ∫ ∈−µ=ν Gu

n Uu.t.p.a1dg


1nn

=µνν−∫ −

∞→ pentru orice f ∈ ( )GL1

Să arătăm că putem presupune şi în acest caz că ( )n1gd,rn ∀= . Vom utiliza acelaşi

raţionament ca în [1] (Proposition 3.1.22/pg. 64). Am observat mai sus că existenţa

unei medii invariante este echivalentă cu existenţa unei medii aproximative (g'n)n cu

( )n1'gd,rn ∀= . Evident existenţa unui şir (gn)n cu proprietăţile 1) şi 2) de mai sus

este mai tare decât existenţa unei medii aproximative slab invariante. Reciproc, să

presupunem că există o medie aproximativă slab invariantă (g'n)n cu ( )n1'gd,rn ∀= .

Pentru fiecare g∈ ( )( )ν∞ ,GL,EL 1 + cu q(u,v)νu,v(g) = 1 pentru orice (u,v) ∈ E, notăm

cu b(g) funcţia

(x, y) → g(y-1x) - g(x)

definită pe G*G. Fie C submulţimea convexă a lui L∞(UG*G, L1(G*G)) formată din

funcţii de forma b(g). Faptul că există o medie aproximativă slab invariantă este

echivalent cu faptul că 0 aparţine închiderii lui C în L∞(UG*G, L1(G*G)) înzestrat cu

topologia asociată cu familia de seminorme

f → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v,udv,uqydyfyv,uh v,u λ′νϕ∫

unde h ∈ L1(E) şi ϕ ∈ L∞(G). Această topologie este mai slabă decât topologia

definită de familia de seminorme

f → ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v,udv,uqydyfv,uh v,u λ′ν∫



173

unde h ∈ L1(E)+. Conform lemei 4.1.5 cele două topologii admit aceleaşi forme liniare

şi continue. Din teorema de separare Hahn-Banach rezultă că există un şir (gi)i în

( )( )ν∞ ,GL,EL 1 normalizat ( ( )i1gd,ri ∀= ) astfel încât

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0v,udv,uqxdydygyxgxflim v,uxr

n1

nn=λ′νν−∫ −

∞→

ceea ce este echivalent cu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0udxdydygyxgxflim uun

1nn

=µνν−∫ −

∞→

Datorită separabilităţii lui L1(UG*G) putem presupune că şirul (gi)i poate fi indexat

după numere naturale.

În cele ce urmează vom numi medie aproximativă complet invariantă

normalizată un şir de funcţii pozitive boreliene (gn)n cu proprietăţile:

1) 1gd,rn = pentru orice n.


1nn

=µνν−∫ −

∞→ pentru orice f ∈ ( )GL1 .

Am demonstrat că existenţa unei medii invariante este echivalentă cu existenţa unei

medii aproximative complet invariantă şi normalizată (gn)n. Dacă

mmlimngn=

∞→în ( ) ( ) ( )( )GUL

UL,GLBG

∞∞∞ înzestrat cu topologia *-slabă, unde

ngm se

defineşte prin :

( )( ) ∫ νϕ=ϕ ung dgum

n, u∈UG ,ϕ ∈ L∞(G),

atunci vom spune că m provine dintr-o medie aproximativă complet invariantă şi

normalizată.

Lema 4.3.1 (Lemma 10 [19]). Cu notaţiile de mai sus, pentru orice f ∈ L1(G)

avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0xdydxgygxyflim xdnn1

n=νν−∫ −

∞→

Demonstraţie. Din proprietatea 2) a mediei slab invariante (gn)n rezultă

0 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ µνν−−

∞→udxdydygyxgxflim uu

n1

nn


174

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

∫ν

∞→µνν−=

xd

uxdnnn

udxdydxygygxflim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdxydxygygxflim 1xdnnn

1

−

∞→

↓ν∆=ν

ν∆ν−= ∫−

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ µνν−∆

∫

=∞→

↓

µν=ν−

udxdydxygygxxflim uxd

nnn

udu1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ µνν−∆=∞→

udydxdxygygxxflim uunnn

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

∫ν

−−

∞→µνν−∆=

yd

uydnn

11

nudydxdxgygxyxyflim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ydxdxgygxxyflim yrn1

nn

1

νν−∆= ∫ −

∞→

↓ν∆=ν −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xd

uu

n1

nn1

udxdydxgygxxyflim−ν

−

∞→µνν−∆= ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdydxgygxyflim xdnn1

n

1

νν−= ∫ −

∞→

↓ν∆=ν −

.

Propoziţie 4.3.2 (Proposition 11 [19]). Dacă funcţia modulară ∆ este

mărginită pe o vecinătate simetrică a spaţiului unităţilor UG, atunci există un şir (hn)n

de funcţii pozitive boreliene pe UG cu următoarele proprietăţi:

1) Pentru orice mulţime compactă K ⊂ G şi orice funcţie ϕ ∈ L1(UG) avem

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0xdxdhxgxrx1lim nnKn=ν−ϕ∫∞→

2) Pentru orice u ∈ UG există M(u) > 0 astfel încât :

(a) hn(u) ≤ M(u) < ∞ (∀) n µ-a.p.t..

(b) ( )uMu este o funcţie continuă.

Demonstraţie. Fie U o vecinătate simetrică a spaţiului unităţilor UG pe care

funcţia modulară ∆ să fie mărginită şi fie U1 ⊂ U o vecinătate închisă d-compactă a

mulţimii UG. Fie b : G → [0,1] o funcţie continuă cu suportul d-compact ⊂ U aleasă



175

astfel încât 1b1U≡ . Dacă punem ( ) ( )

( ) ( )∫ ν=

xddyb

xbxa obţinem o funcţie a : G → R+

continuă cu suportul d-compact cu proprietatea că ( ) ( ) ( )∫ ∈∀=ν Gu Uu1ydya .

Definim funcţiile hn : UG → [0,∞] prin

( ) ( ) ( ) ( )∫ ν= ydygyauh unn

Notăm cu L suportul funcţiei a . Deoarece L este o mulţime d-compactă

rezultă că L-1 este r-compactă şi deci pentru orice mulţime K compactă mulţimea KL-1

este compactă .

Fie ϕ ∈ L1(UG) şi K compactă ⊂ G fixate. Dacă f(x) = ϕ(r(x)) ( )x1 1KL− atunci f

∈ L1(G) deoarece

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ∫ µϕν≤µνϕ=ν −

−uduKLsupudxdx1uxdxf 1uu

KL 1 .

Aplicând lema 4.3.1 acestei funcţii f rezultă :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0xdydxgygxrxy1lim xdnn1

KLn1 =νν−ϕ∫ −

∞→− (1)

Dacă ( )( )

( )xasupMKddLx

01−∩∈

= atunci pentru orice ( ) ( )∪GUu

uu GGy,x∈

×∈ avem :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xgygxry1x1Mxgygxrxy1M nn1

LK0nn1

KL0 11 −ϕ⋅≥−ϕ⋅ −−−−

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xgygxry1x1M nnLK0 −ϕ⋅≥

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xgygxrx1ya nnK

ydxd

−ϕ≥↓=

Ţinând cont şi de relaţia (1) deducem că :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0xdydxgygyaxrx1lim xdnnKn=νν−ϕ∫∞→

Pe de altă parte:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ≤ν−ϕ∫ xdxdhxgxrx1 nnK


176

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdydygyaydxgyaxrx1 xdnxdnK νν−νϕ≤ ∫∫∫

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0xddxgygyaxrx1n

xdnnK

∞→

→νν−ϕ≤ ∫∫ .

Dacă ( )∫ µβ×δ=λ uduu

' este o dezintegrare a probabilităţii λ’ relativ la

proiecţia pe prima componentă, atunci la fel ca în demonstraţia propoziţiei 4.1.4.

rezultă că ( ) ( ) .t.p.avdv,uq uv,u

u βν=ν ∫ .

Pentru µ-a.p.t. u ∈ UG avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )vdv,uqydygyaydygyauh uv,u

1n

1u1n

1n βν=ν= −−−− ∫ ∫∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )vdv,uqydyygya uu,v

1n βνδ= −∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )vdv,uqyd

yr,ydqyd,yrqyygya u

u,v1

n βν∆= −∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )vdu,vqydyygya uu,v

1n βν∆= −∫ ∫

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ βν∆⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ν= − vdu,vqydyygxdxbyb u

u,v1

nyd

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ βν⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ν⋅∆≤

∈vdu,vqydygxdxb1ysup u

u,vnydUy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ βν⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ν⋅∆≤

∈vdu,vqydygxdxb1ysup u

u,vnuUy

Deoarece gn ∈ ( )( )11 ,GL,EL ν∞ rezultă că pentru orice u ∈ UG există

M(u) ( ) ( ) ( )⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ν⋅∆= ∫

∈xdxb1ysup u

Uy

astfel încât hn(u) ≤ M(u) < ∞ (∀) n µ-a.p.t. şi astfel încât ( )uMu să fie o

funcţie continuă .



177

Observaţie 4.3.3. Mărginirea funcţiei modulare pe o vecinătate a spaţiului

unităţilor a fost utilizată doar pentru a demonstra proprietatea 2) din propoziţia de mai

sus .

Teoremă 4.3.4 (Theorem 13 [19]). Dacă grupoidul G are µ-aproape toate

grupurile de izotropie necompacte şi dacă funcţia modulară ∆ este mărginită pe o

vecinătate simetrică a spaţiului unităţilor UG, atunci pentru orice medie aproximativă

complet invariantă (gn)n normalizată ( 1gd,rn = pentru orice n) există un subşir al

şirului (gn)n (notat tot (gn)n ) astfel încât pentru orice mulţime compactă K ⊂ G şi

orice funcţie ϕ ∈ L1(UG) avem :

( ) ( )( ) ( ) ( ) 0xdxgxrx1lim nKn=νϕ∫∞→

.

Demonstraţie . Din propoziţia anterioară rezultă că pentru orice mulţime

compactă K ⊂ G şi orice funcţie ϕ ∈ L1(UG) avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0udxdxdhxgxx1ulim unnKn=µν−∆ϕ ∫∫∞→

Luăm ϕ = 1 . Pentru fiecare mulţime compactă K există un subşir astfel încât :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .t.p.a0xdxdhxgxx1lim uinnKi i−µ=ν−∆∫∞→

Fie (Kn)n un şir crescător de compacte cu ∪n

n GK = . Pentru fiecare număr natural m

>0 există nm astfel încât:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .t.p.am1xdxdhxgxx1 umnnmK m

−µ<ν−∆∫ .

Deoarece pentru fiecare mulţime compactă K există Km cu K ⊂ Km rezultă că

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )K.t.p.a0xdxdhxgxx1lim umnnKm m∀−µ=ν−∆∫∞→

.

Renotăm subşirurile obţinute cu (gn)n , respectiv (hn)n . Pentru µ-a.p.t. u ∈ UG şirul

(hn(u))n este un şir mărginit , deci admite un şir convergent pe care îl notăm tot cu

(hn(u))n . Pentru u fixat notăm ( )uhliml nn ∞→= . Atunci ţinând cont şi de dezintegrarea

utilizată în demonstraţia propoziţiei anterioare avem :


178

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )≤ν∆=ν∆ ∫∫ xdxdhxx1xdxx1uh unKuKn

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdxgxx1xdxdhxgxx1 unKunnK ν∆+ν−∆≤ ∫∫

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdxgxx1xdxdhxgxx1 u1n

11KunnK ν∆+ν−∆≤ −−−∫∫

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xdxdhxgxx1 unnK ν−∆≤ ∫ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ βν∆+ −−− vdv,uqxdxgxx1 uv,u

1n

11K

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xdxdhxgxx1 unnK ν−∆≤ ∫ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ βνδ∆+ − vdv,uqxdxxgxx1 uu,v

1nK

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xdxdhxgxx1 unnK ν−∆≤ ∫ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ βν+ vdu,vqxdxgx1 uu,vnK

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xdxdhxgxx1 unnK ν−∆≤ ∫ + d,rng

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xdxdhxgxx1 unnK ν−∆= ∫ + 1 .

Trecând la limită obţinem

l ( ) ( ) ( ) ( )K1xdxx1 uK ∀≤ν∆⋅ ∫ <=> l ( ) ( ) ( ) ( ) 1vdu,vqxdx1 uu,vK ≤βν⋅ ∫ ∫ .

Dacă l ≠ 0 atunci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l1vdu,vqxdx1K uu,vK ≤βν=>∀ ∫ ∫ =>

( ) ( ) ( ) ( )l1vdu,vqxd1 uu,v ≤βν∫ ∫ => ∫ ν u,vd1 < ∞ βu –a.p.t. .

Fie v ~ u cu ∫ ν u,vd1 < ∞ , şi z ∈ G astfel încât r(z) = u şi d(z) = v . Atunci din

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∞<ν=ν=ν xd1dzx1xd1 u,vu,zdu,u



179

rezultă că grupul de izotropie uuG compact , ceea ce reprezintă o contradicţie cu

ipoteza. Deci l = 0 Am demonstrat că orice punct limită al şirului (hn(u))n este egal

cu 0, deci că ( )uhlim nn ∞→= 0 . Din

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

.t.p.aMsupx1xrxdMx1xrxdhx1xrKd

KKnK ϕ≤ϕ≤ϕ

aplicând teorema de convergenţă dominată a lui Lebesgue rezultă că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0xdxdhxrx1lim nKn=νϕ∫∞→

.

Trecând la limită în următoarea inegalitate :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ≤νϕ∫ xdxgxrx1 nK

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )xdxdhx1xrxdxdhxgx1xr nKnnK νϕ+ν−ϕ≤ ∫∫

obţinem concluzia teoremei .

Teoremă 4.3.5 (Theorem 14 [19]). Fie grupoidul local-compact amenabil

(G,ν,µ) cu µ-aproape toate grupurile sale de izotropie necompacte şi cu funcţia

modulară ∆ mărginită pe o vecinătate simetrică a spaţiului unităţilor UG . Dacă m este

o medie invariantă pentru G ce provine dintr-o medie aproximativă complet invariantă

normalizată, atunci m(f) = 0 (în L∞(UG)) pentru orice funcţie f : G → C continuă care

se anulează la infinit .

Demonstraţie. Fie (gn)n o medie aproximativă complet invariantă normalizată

astfel încât mmlimngn=

∞→în ( ) ( ) ( )( )GUL

UL,GLBG

∞∞∞ înzestrat cu topologia *-slabă.

Atunci din teorema precedentă rezultă că pentru orice mulţime compactă K ⊂ G şi

orice funcţie ϕ ∈ L1(UG) să avem:

( ) ( )( ) ( ) ( ) 0xdxgxrx1lim nKn=νϕ∫∞→

Fie f : G → C o funcţie continuă care se anulează la infinit, fie ε > 0, şi fie Kε

⊂ G o mulţime compactă aleasă astfel încât ( )xfsupKGx ε−∈

< ε . Pentru orice ϕ ∈ L1(UG),

din inegalităţile:


180

( ) ( )( ) ( ) ( ) ≤νϕ∫ xdxgxrxf n

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xdxgxrxfx1xdxgxrxfx1 nKGnK νϕ+νϕ≤ ∫∫ εε −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

xdxgxrx1xdxgxrx1xfsup nKGnKKx

ϕ≤

νϕε+νϕ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≤ ∫∫ εεε

−∈

.

rezultă că ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0xdxgxrxflim nn=νϕ∫∞→

<=> ( ) 0,fm ngn

⎯⎯ →⎯ϕ ∞→ =>

( ) 0,fm =ϕ .

4. amenabilitate pentru grupoizigeneralizăm la grupoizi următorul rezultat (21.2. [59]): dacă g...

Documents