Clasa a 9-a - 1 - Puteri si Radicali

Puteri .

Puteri :

- Fie a , b R si n R exponent real .

- Avem urmatoarele formule :

Identitati importante :

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 2 - Puteri si Radicali

Media aritmetica , geometrica , armonica :

- Pentru orice doua numere reale strict positive x , y se definesc mediile :

Media aritmetica :

Media geometrica :

Media armonica :

Inegalitatea mediilor :

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 3 - Puteri si Radicali

Radicali .

Definitia radicalului :

- Daca a R , a > 0 , n 2 , se numeste radical de ordin n din a , numarul

pozitiv a carui putere a n –a este numarul a .

Observatii :

- daca ordinul radicalului este un numar par , adica n = 2k , este necesar ca expresia

de sub radical sa fie 0 , pentru ca radicalul sa existe !!!

( deoarece nu exista radical de ordin par dintr-un numar negativ )

- daca ordinul radicalului este impar , adica n = 2k + 1 , nu este necesara nici o

conditie de existenta a radicalului !!!

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 4 - Puteri si Radicali

Proprietatile radicalilor :

- Pentru ( ) a , b [ 0 , + ) , ( ) m , n , k N , m 2 , n 2 , k 2 avem :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8). .

Formule utile :

1).

2).

3).

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 5 - Puteri si Radicali

Formulele radicalilor compusi :

Exercitii :

- Sa se gaseasca valorile lui x , pentru care sunt definite expresiile :

1).

2).

3).

4).

5).

Exercitii :

Sa se calculeze :

1).

2).

3).

4).

Exercitii :

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 6 - Puteri si Radicali

Sa se rationalizeze numitorii fractiilor :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

Exercitii :

Rezolvati ecuatiile :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

11).

12).

13).

14).

15).

16).

17).

18).

Exercitii :

Rezolvati ecuatiile :

1).

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 7 - Puteri si Radicali

2).

3).

4).

5).

Exercitii :

Rezolvati ecuatiile :

1). 2).

3).

4).

5).

6).

7).

Exercitii :

Rezolvati ecuatiile irationale :

1).

2).

3).

4).

5).

Exercitii :

Rezolvati ecuatiile irationale :

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 8 - Puteri si Radicali

1).

2).

3).

4).

5).

Exercitii :

Rezolvati ecuatiile irationale :

1).

2).

3).

4).

Exercitii :

Rezolvati ecuatiile irationale :

1).

2).

Exercitii :

Rezolvati ecuatiile irationale :

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 9 - Puteri si Radicali

1).

2).

3).

4).

5).

6).

Exercitii :

Rezolvati ecuatiile irationale :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 10 - Puteri si Radicali

8).

9).

Alte tipuri de ecuatii care se rezolva prin intoducerea unei necunoscute

auxiliare

Exercitii :

1).

2).

3).

4).

Exercitii :

1).

2).

3).

4).

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 11 - Puteri si Radicali

5).

6).

7).

Exercitii :

1).

2).

3).

4).

Exercitii :

1).

2).

3).

Exercitii :

1).

2).

3).

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 12 - Puteri si Radicali

4).

5).

6).

7).

8).

9).

Ecuatii de tipul :

Ecuatiile de acest tip se rezolva prin ridicare la putere sau prin introducerea unor necunoscute auxiliare .

Exercitiul 1 :

Rezolvati ecuatiile :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 13 - Puteri si Radicali

9).

Exercitiul 2 :

Rezolvati ecuatiile :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

Exercitiul 2 :

Rezolvati ecuatiile :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 14 - Puteri si Radicali

Exercitiul 2 :

Rezolvati ecuatiile :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

Ecuatii irationale cu parametru .

Exercitiu :

Rezolvati urmatoarele ecuatii in necunoscuta x , unde m este parametru real :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 15 - Puteri si Radicali

Exercitiu :

Rezolvati urmatoarele ecuatii in necunoscuta x , unde m este parametru real :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

Exercitiu :

Rezolvati urmatoarele ecuatii in necunoscuta x , unde m este parametru real :

1).

2).

3).

4).

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 16 - Puteri si Radicali

Inecuatii irationale .

Exercitii :

Rezolvati inecuatiile :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

Exercitii : Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 17 - Puteri si Radicali

Rezolvati inecuatiile :

1).

2).

3).

Exercitii :

Rezolvati inecuatiile :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

Exercitii :

Rezolvati inecuatiile :

1).

2).

3).

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 18 - Puteri si Radicali

4).

Exercitii :

Rezolvati inecuatiile :

1).

2).

3).

4).

5).

Exercitii :

Rezolvati inecuatiile :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

Puteri si Radicali

Clasa a 9-a - 19 - Puteri si Radicali

Exercitii :

Rezolvati inecuatiile :

1). 5).

2). 6).

3). 7).

4).

Puteri si Radicali