384

Teoria Sistemelor - Culegere de Probleme

Cristian Oara Radu Stefan

Universitatea Politehnica din Bucuresti

4 decembrie 2004

Cuprins

1 Introducere 5

2 Semnale si sisteme 7

3 Sisteme continue cu o intrare si o iesire 15

3.1 Raspunsul ın timp al sistemelor . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Stabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Regim permanent si regim tranzitoriu . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Reprezentarea ın frecventa a functiilor de transfer . . . . . . 27

3.5 Corelatie timp-frecventa. Timpi caracteristici . . . . . . . . . 31

4 Sisteme ın reactie inversa 33

4.1 Conexiuni elementare. Regula lui Mason. . . . . . . . . . . . 33

4.2 Conexiunea ın reactie. Proprietati stabilizante. . . . . . . . . 35

4.3 Stabilizare prin compensare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4 Criterii de stabilitate ın reactie inversa . . . . . . . . . . . . . 41

4.5 Problema reglarii. Principiul modelului intern. . . . . . . . . 45

5 Sisteme robuste 55

6 Tehnici avansate de sinteza ın frecventa 57

7 Sisteme dinamice ın spatiul starilor 61

7.1 Generalitati. Geneza. Modele si exemple. . . . . . . . . . . . 61

7.2 Evolutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.3 Echivalenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.4 Stabilitate. Regim permanent si tranzitoriu. . . . . . . . . . . 64

8 Proprietati structurale 67

8.1 Controlabilitate. Observabilitate. . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3

4 CUPRINS

8.2 Descompunere structurala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.3 Realizabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.4 Conexiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.5 Elemente structurale ale matricelor de transfer rationale . . . 75

9 Metode de sinteza elementara 77

9.1 Compensare dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779.2 Lege de comanda. Problema stabilizarii. Problema alocarii. . 779.3 Estimatori de stare. Estimator unitar. . . . . . . . . . . . . . 809.4 Compensator Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809.5 Estimatori de ordin redus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819.6 Reglarea sistemelor. Proceduri de reglare la marimi exogene

de tip treapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

10 Sinteza avansata 85

11 Sisteme neliniare 87

12 Sisteme discrete 91

13 Probleme diverse 97

Lista figurilor 129

Capitolul 1

Introducere

Breviar teoretic...

5

6 CAPITOLUL 1. INTRODUCERE

Capitolul 2

Semnale si sisteme

Problema 2.1. Se poate aprecia cu ajutorul teoremei valorii finale raspunsulla treapta unitara ın t = ∞ al sistemului H(s) = 1

s2+1?

Problema 2.2. Sa se determine transformata Laplace pentru urmatoarelefunctii original:

1. f(t) = a sin(ωt) + b cos(ωt);

2. f(t) = a e−αt + b e−βt;

3. f(t) = a sin2 t + b cos2 t;

4. f(t) = te−at + 2t cos t.

Problema 2.3. Sa se determine raspunsul la impuls al sistemului caracte-rizat prin urmatoarea functie de transfer:

1. H(s) = e−2s 10s(s+1)(s+10) ;

2. H(s) = 4s4+4

;

3. H(s) = 3s2+9s+12(s+2)(s2+5s+11)

;

4. H(s) = 1s(s+2) .

7

8 CAPITOLUL 2. SEMNALE SI SISTEME

Problema 2.4. Sa se determine functia de transfer corespunzatoare siste-mului liniar, invariant ın timp, cauzal, caracterizat prin urmatorul raspunsla intrare impuls:

1. h(t) = sin t sin 3t;

2. h(t) = (t + 1)2;

3. h(t) = 3 cos 6t;

4. h(t) = sh(t) = et−e−t

2 .

Problema 2.5. Se considera sistemul descris de y(t) + y(t) = u(tn), t ∈R, n ≥ 0, n ∈ N; y(0) = 0. Sa se precizeze daca sistemul e liniar si invariantın timp.

Problema 2.6. Se considera sistemul a carui iesire este y(t) = u(t)·sin(2πf0t), f0 ∈R. Sa se precizeze daca sistemul este liniar si invariant ın timp.

Problema 2.7. Se considera sistemul

y(t) =1

T1 + T2

∫ t+T2

t−T1

u(τ) dτ,

unde T1, T2 ≥ 0 si T1 + T2 6= 0.

1. Se cere functia de transfer a acestui sistem si precizarea domeniului dedefinitie.

2. Se cere raspunsul acestui sistem la impuls.

3. Sa se studieze daca exista o intrare astfel ıncat iesirea y(t) sa aibaexpresia: y(t) = t · 1(t). Daca exista sa se construiasca, ın caz contrar,argumentati. Se vor cauta intrari u(t) din clasa functiilor care admittransformata Laplace.

Problema 2.8. Exista sisteme invariante ın timp care sa nu fie cauzale?Daca da, exemplificati, daca nu, justificati.

9

Problema 2.9. Fie sistemul de convolutie avand raspunsul urmator:

1. Determinati raspunsul sistemului la treapta unitara.

2. Determinati functia de transfer.

Problema 2.10. Calculati produsul de convolutie (1 ∗ 1)(t) si (1 ∗ 1)(n).Ce observati?

Problema 2.11. Exista sisteme liniare si invariante ın timp care nu suntcauzale? Daca da, exemplificati. Daca nu, justificati raspunsul.

Problema 2.12. Se considera un sistem continuu cu intrarea x(t) si iesireay(t) = sin(x(t)).

1. Este sistemul cauzal?

2. Este sistemul liniar?

Problema 2.13. Precizati daca fiecare dintre afirmatiile urmatoare esteadevarata sau falsa, justificand:

1. Daca x(n) = 0, pentru n < N si h(n) = 0, pentru n < N2, atunci(x ∗ h)(n) = 0, pentru n < N + N2.

2. Daca y(n) = (x ∗ h)(n), atunci y(n − 1) = x(n − 1) ∗ h(n − 1).

3. Daca y(t) = (x ∗ h)(t), atunci y(−t) = x(−t) ∗ h(−t).

4. Daca x(t) = 0 pentru t > T1 si h(t) = 0, pentru t > T2, atunci(x ∗ n)(t) = 0, pentru t > T1 + T2

Problema 2.14. Care dintre urmatoarele raspunsuri la impuls corespundeunui sistem invariant ın timp, liniar, stabil?

1. h1(t) = e−(1−2j)t · 1(t).


2. h2(t) = e−t cos 2t · 1(t).

Problema 2.15. Dati un exemplu de sistem invariant ın timp care nu estecauzal.

Problema 2.16. Exista sisteme de convolutie care nu sunt cauzale? In cazafirmativ, dati un exemplu, ın caz negativ, argumentati.

Problema 2.17. Dati un exemplu de sistem care nu este liniar, dar esteinvariant ın timp.

Problema 2.18. Exista sisteme de convolutie care nu sunt invariante ıntimp? Daca da, exemplificati. Daca nu, argumentati.

Problema 2.19. Scrieti o aproximatie a impulsului δ(t). Justificati alegereacu ajutorul unui exemplu.

Problema 2.20. Determinati functia de transfer H1(s) = i(s)u(s) si respectiv

H2(s) = u2(s)u1(s)

corespunzatoare circuitului :

Problema 2.21. Sase determine transformata Laplace pentru urmatoarelefunctii:

1. f(t) = αsinwt + βcoswt + γδ(t)

2. f(t) = αe−at + βe−bt

3. f(t) = αsin2t + βcos2t

11

4. f(t) = te−at + 2tcost

unde α, β, γ, a, b ∈ R.

Problema 2.22. Calculati transformatele Laplace pentru urmatoarele functii:

1. f(t) = 2e−3tsint − π/3

2. f(t) = 1 − e−t(1 + t + t2)

3. f(t) = cos2t(t+13

4. f(t) =∫ t

0 cos(t − τ) sin τdτ

Problema 2.23. Sase determine raspunsul la impuls pentru sistemul ca-racterizat prin urmatoarea functie de transfer:

1. H(s) = e−τs 10s(s+1)(s+10) , τ > 0

2. H(s) = arctg 1s

3. H(s) = 2(s+2)s3+s2+4s+4

4. H(s) = 3s3+9s+12(s+2)(s2+5s+11)

5. H(s) = 4s+4

6. H(s) = 1s(s+2)2

7. H(s) = 2(s+2)(s+5)2

(s+1)(s2+4)

8. H(s) = e−τs s3+2s+4s4−16

, τ > 0

Problema 2.24. Rezolvati ecuatiile diferentiale, cu conditiile initiale y(0) =1, y(0) = 1:

1. y(t) + y(t) − 2y(t) = 0

2. y(t) + 3y(t) + 2y(t) = 1


3. y(t) + y(t) = tsint

Problema 2.25. Sase determine functia de transfer corespunzatoare siste-mului liniar invariant caracterizat prin urmatorul raspuns la intrare impuls:

1. h(t) = sintsin3t

2. h(t) = (t + 1)2

3. h(t) = 3cos6t

4. h(t) =∫ t

0 cos(t − τ)sinτdτ

5. h(t) = sht

Problema 2.26. Dacase consideraf ∈ si F = L(f) sase determine trans-formata Laplace pentru urmatoarele functii:

1. g(t) = f(t)coswt

2. g(t) = f(t)sin2wt

3. g(t) = f(t)sinkwt

4. g(t) =∫ t

0

∫

0 t1f(τ)dτdτ1

Problema 2.27. Fie H(s) = 2s+2s(s2+2s+6)

. Calculati H(0) si H(∞). Aceeasi

problema pentru H(s) = s+1s(s−1)(s+2) .

Problema 2.28. Gasiti functiile original ale urmatoarelor functii imagine:

1. F (s) = s2−1(s2+1)s

2. F (s) =(s−1)3(s+1)

3. F (s) = 3(s−1)s2(s+1)(s2+6s+10)

4. F (s) = s3+2s+4s4−16

13

Problema 2.29. Se consideracircuitul din figura de mai jos: Se cere:

1. Determinati dependenta(ın domeniul timp) dintre i(t) si v1(t), respec-tiv i(t) si v2(t).

2. In conditii initiale nule calculati functia de transfer H(s) = V2(s)/V1(s).Explicitati pulsatia naturalaωn si factorul de amortizare ζ ın functiede R,L,C.

3. Este sistemul rezultat stabil? Dar dacase conecteazaın serie cu G(s) =

s2+1?

Problema 2.30. Sa se determine functia de transfer corespunzatoare siste-mului liniar, cauzal si invariant in timp caracterizat prin urmatorul raspunsla intrare impuls:

h(t) = sin t sin 3t; h(t) = αe−at + βe−bt;

h(t) =

∫ t

0τ cos(t − τ) sin τdτ ; h(t) = 1 − e−t(1 + t + t2).

Problema 2.31. Sa se determine raspunsul la impuls pentru sistemul ca-racterizat de functia de transfer:

H(s) =4

s4 − 4; H(s) =

2s + 2

s3 + s2 + 4s + 4; H(s) =

s3 + 2s + 4

s4 − 16

H(s) = e−τs 10

s(s + 1)(s + 10); H(s) =

1

s2(s + 2)2.

Problema 2.32. Raspundeti la urmatoarele chestiuni:

1. Comutarea cu shiftul σ implica invarianta ın timp a unui sistem liniar?

2. Ce puteti spune despre functia pondere a unui sistem de convolutiecare este cauzal ?

3. Scrieti o aproximatie a impulsului Dirac si justificati alegerea facuta.

Capitolul 3

Sisteme continue cu o intrare

si o iesire

3.1 Raspunsul ın timp al sistemelor

Problema 3.1. Sa se determine raspunsul sistemului caracterizat prin functiade transfer H(s) = 2

s+3 la intrarea:

1. u(t) =

0, t ∈ (−∞, 0) ∪ (3,∞)sin t, t ∈ [0, 3]

2. u(t) =

0, t ∈ (−∞, 0)t, t ∈ [0, 1]1, t ∈ [1, 2]3 − t, t ∈ (2,∞)

Problema 3.2. Se considera sistemul G(s) = 2(s−1)(s+1)(s+2) . Se cere raspunsul

sistemului la treapta unitate si reprezentarea grafica a acestui raspuns.

Problema 3.3. Se considera sistemul H(s) = ω2np

(s+p)(s2+2ζωns+ω2n)

.

1. Aratati ca raspunsul sistemului la treapta are expresia

y(t) = t + Ae−pt + Be−pt · sin(ωnt − θ),

15

16CAPITOLUL 3. SISTEME CONTINUE CU O INTRARE SI O IESIRE

unde

A = − ω2n

ω2n − 2ζωnp + p2

, B =p

√

(p2 − 2ζωnp + ω2n)(1 − ζ)

si

θ = tan−1

√

1 − ζ2

−ζ+ tan−1

√

1 − ζ2

p − ζωn.

2. Care este termenul dominant cand p este ”mare”?

3. Care este termenul dominant cand p este ”mic”?

Problema 3.4. Raspunsul unui sistem de convolutie la intrare treapta uni-tara este y(t) = 2t · 1(t). Calculati raspunsul sistemului la intrare rampa.

Problema 3.5. Se considera circuitul:Daca R = 1Ω, pentru ce valori ale lui L si C sistemul rezoneaza la u(t) =sin t?

Problema 3.6. Se considera sistemul descris de functia de transfer H(s) =s + 2

s + 4e−s. Se cere raspunsul sistemului la impuls si reprezentarea grafica a

acestuia.

Problema 3.7. Sa se calculeze raspunsul urmatoarelor sisteme la intrarileprecizate:

1. H(s) =1

s, u(t) =

0, t < 0t, t ≥ 0

2. H(s) =s

s2 + s + 2, u(t) =

0, t < 0et, t ≥ 0

Problema 3.8. Se considera un sistem al carui raspuns la intrare treaptaunitara este Y (s) = 1

se−2s. Se cere raspunsul (ın domeniul timp) la o intrare

de tip rampa.

3.1. RASPUNSUL IN TIMP AL SISTEMELOR 17

Problema 3.9. Raspunsul unui sistem liniar si invariant ın timp la intrareu(t) este:Se cere raspunsul sistemului la intrarea:

Problema 3.10. Determinati raspunsul sistemului caracterizat de functiapondere h(t) = te−2t · 1(t), la intrarea:

Problema 3.11. Estimati multimea de valori ale lui α ∈ R pentru care

sistemulαs + 1

s2 + 4s + 4are raspunsul indicial stiut pozitiv, pentru orice t > 0.

Problema 3.12. Calculati raspunsul sistemului H(s) =1

s2 + bla intrarea:

si trasati grafic acest raspuns.

Problema 3.13. Se poate aprecia cu ajutorul teoremei valorii finale raspunsulla treapta unitara ın t = ∞ al sistemului H(s) = 1

s2+1?

Problema 3.14. Sa se determine raspunsul sistemului caracterizat prinurmatoarea functie de transfer :

1. H(s) = 3ss2+3s+2

2. H(s) = ω2n

s2+2ζωns+ω2n

3. H(s) = 1s+1

pentru un semnal de intrare u(t) de forma:

1.

2.


3.

4.

Problema 3.15. Raspunsul lui H(s) la intrare treapta este 2e−t(sint + t2).Care este raspunsul sistemului la intrare rampa u(t) = t? Dar la intrareu(t) = cos ωt?

Problema 3.16. Se consideraurmatorul sistem:

H(s) =p ∗ ω2

n

(s + p)(s2 + 2ζωns + ω2n)

, p ∈ R, ωn > 0, ζ ∈ [0, 1] (3.1)

1. Sase arate caraspunsul sistemului la intrare treaptaeste de forma:

y(t) = 1 + Ae−t + Be−tsin(ωnt − θ) (3.2)

2. Care termen devine dominant ın expresia lui y(t)(de la punctul a)) pemasurace p creste (p devine suficient de mare)?

3. Sase evalueze, aproximeze, A si B din expresia lui y(t) de la punctula) pentru p foarte mic (p ' 0).

4. care termen devine dominant ın expresia lui y(t) pentru p foarte mic(p ' 0)?

Problema 3.17. Fie H(s) =2s + 2

s(s2 + 2s + 6). Calculati h(0) si h(∞), unde

h este functia pondere a sistemului. Aceeasi problema pentru G(s) =s + 2

s(s2 + s − 2).

Problema 3.18. Raspunsul unui sistem de convolutie (care admite functiede trabsfer) la intrare treapta unitara este 2e−t(sin t+t). Care este raspunsulsistemului la intrare rampa u(t) = t ? Dar la intrarea u(t) = cos ωt ?

Problema 3.19. Se poate aprecia cu ajutorul teoremei valorii finale raspunsul

la treapta unitara ın t = ∞ al sistemului H(s) =1

s2 + 1?

3.2. STABILITATE 19

3.2 Stabilitate

Problema 3.20. Se considera sistemul descris de G(s) = 1s2+s+e−sT , T > 0,

constant. Se poate aplica vreun criteriu de stabilitate cunoscut pentru acestsistem? Folosind o aproximare de ordin 1 pentru exponentiala, precizativalorile lui T pentru care sistemul e stabil.

Problema 3.21. y(t) =∫ t

−∞ u(τ) dτ . Sa se precizeze daca acest sistem estestabil si sa se calculeze iesirea sistemului la intrare treapta.

Problema 3.22. Confirmati sau infirmati urmatoarea asertiune: ”Un sis-tem este stabil (strict) ın sens BIBO daca raspunsul sistemului la intraretreapta e marginit.”

Problema 3.23. Exista o intrare marginita care produce o iesire nemarginita

pentru un element integrator H(s) =1

s? In caz afirmativ, construiti o astfel

de intrare, ın caz negativ, justificati raspunsul.

Problema 3.24. La intrarea unui sistem de convolutie se aplica o treaptaunitate si se constata |y(t)| < M, (∀)t. Rezulta sistemul stabil? Demonstratisau infirmati cu un contraexemplu.

Problema 3.25. Specificati daca sistemul cu functia de transfer H(s) =1

s2 + 1este stabil, dar sistemul care are raspunsul la impuls h(t) = sin(t)e−t, t >

0?

Problema 3.26. Utilizati criteriul lui Hurwitz pentru a decide daca siste-mulH(s) = 1

s3+as2+bs+1este stabil sau nu. Discutie dupa a si b.


Problema 3.27. Stabiliti daca urmatoarea propozitie este adevarata saufalsa:”Daca raspunsul unui sistem este marginit pentru orice intrare armonicau(t) = sin ωt, ω ∈ R, atunci sistemul este stabil BIBO ın sens strict.”

Problema 3.28. Sa se arate ca daca un polinom de gradul 4 este Hurwitz,atunci are toti coeficientii nenuli si de acelasi semn. Studiati stabilitateasistemului:

G(s) =1

s4 + 2s3 − 3s2 + 2s + 1.

Problema 3.29. Exista sisteme al caror raspuns la treapta este marginit,dar care au raspunsul la un semnal armonic (specificat) nemarginit?

Problema 3.30. Raspunsul unui sistem de convolutie la intrarea din figuraeste:Calculati raspunsul la treapta si trasati graficul acestuia.

Problema 3.31. Este stabil sistemul care are raspunsul la impuls u(t) =e−t

√t ? Dar cel care are h(t) = e−t + cost ? Argumentati.

Problema 3.32. Sase precizeze care din sistemele caracterizate prin urmatoareleraspunsuri la intrare impuls sunt stabile.(Sase justifice raspunsul):

1. h(t) = −2e−t + 2sin(t + π/3)

2. h(t) = −2e−sqrtt + 2t

3. h(t) = cos(t + π/10)

4. h(t) =tcost

5. h(t) = e−tcost

Problema 3.33. Care dintre urmatoarele afirmatii este adevarata?

3.2. STABILITATE 21

1. Un sistem este stabil daca raspunsul sau indicial este marginit.

2. Un sistem este stabil daca pentru orice semnal de intrare marginit seobtine la iesire un semnal marginit.

3. Un sistem este stabil daca raspunsul sau la intrare impuls tinde asimp-totic la zero.

Argumentati raspunsul.

Problema 3.34. Sase analizeze stabilitatea sistemului specificat prin:

H(s) =2s2 − 6s + 4

s4 + 5s3 + 5s2 − 6, H(s) =

3s2 − s − 2

s3 − 2s2 − s + 2,

H(s) =s − 1

−s4 + s3 + s + 1.

Problema 3.35. Precizati daca sistemul cu functia de transfer :

H(s) =s2

−2s4 − 2s3 + 4s2 − 7

este stabil sau nu. Argumentati.

Problema 3.36. Sa se precizeze care din sistemele caracterizate prin ur-matoarele intrari la impuls sunt stabile:

h(t) = −2e−t + 2 sin(t + π/3), h(t) =1

tcos t, h(t) = 2t + 3e−

√3t.

Problema 3.37. Care dintre urmatoarele afirmatii este adevarata ?

• Un sistem este stabil daca are raspunsul indicial marginit.

• Un sistem este stabil daca pentru orcie semnal de intrare marginit seobtine la iesire un semnal care este de asemenea marginit.

• Un sistem este stabil daca raspunsul sau la impuls tinde asimptoticcatre zero.


• Un sisten de ordinul II care este stabil nu poate deveni instabil in urmaunei conexiuni in reactie negativa unitara.

Problema 3.38. Este stabil sistemul care are raspunsul la impuls u(t) =e−t

√t ? Dar cel care are h(t) = e−t t10 ? Argumentati.

Problema 3.39. Precizati daca sistemul cu functia de transfer :

H(s) =s2

−2s4 − 2s3 + 4s2 − 7

este stabil sau nu. Argumentati.

3.3 Regim permanent si regim tranzitoriu

Problema 3.40. Care este raspunsul permanent la intrarea treapta pentruH(s) = 1

s2+1?

Problema 3.41. Sa se calculeze raspunsul permanent la intrarea armonicade frecventa ω = 3 pentru functia de transfer H(s) = 1

s+9 .

Problema 3.42. Pentru sistemul H(s) = 1s

scrieti raspunsul permanent laintrarea u(t) = 1(t)

Problema 3.43. Determinati raspunsul trtanzitoriu si permanent pentruu(t) = 1(t) al lui H(s) = 1

s2+s+1.

Problema 3.44. Determinati regimul permanent pentru sistemul H(s) =1

s2+s+2la intrare u(t) = 2 · 1(t) + 3 sin t.

3.3. REGIM PERMANENT SI REGIM TRANZITORIU 23

Problema 3.45. Se cere raspunsul permanent si tranzitoriu la o intrarerampa pentru sistemul H(s) = s+1

s+α.

Problema 3.46. Calculati raspunsul permanent al sistemului H(s) = 2s2+2s+2

la intrarea u(t) = (t − 1) · 1(t − 1).

Problema 3.47. Fie sistemele H(s) =5

s2 + 4s − 5si G(s) =

1

s2 + s + 1.

Se cere valoarea raspunsului sistemului la ∞ pentru intrarea u(t) = 1(t).

Problema 3.48. Rasupnsul la treapta al unui sistem de ordinul I este re-prezentat ın figura de mai jos:Se cere:

1. Timpul tranzitoriu.

2. Raspunsul permanent al sistemului la intrare rampa.

Problema 3.49. Se considera circuitul de mai jos:Se cere:

1. Functia de transfer de la ui la uo.

2. Raspunsul sistemului la intrare treapta unitara.

Problema 3.50. Se considera sistemul avand functia de transfer ın buclaınchisa:

H(s) =1

s2 + as + b, a, b ∈ R

∗+.

1. De terminati a si b pentru care eroarea stationara la intrare treaptaeste nula.

2. Care este functia de transfer a sistemului ın bucla deschisa? Pentru cevalori ale lui a si b sistemul G(s) este stabil?


3. Calculati raspunsul permanent si tranzitoriu al lui G(s) pentru u(t) =sin t si a = −2, b = 1. Aceeasi problema pentru u(t) = cos t sia = 2, b = 1.

Problema 3.51. Estimati timpul tranzitoriu al raspunsului indicial pentru

sistemul: G(s) =1

s + 1.

Problema 3.52. Determinati raspunsul permanent si tranzitoriu al siste-mului

H(s) =1

(s + a)(s2 + 2s + 2)

la u(t) = 1(t). Discutie dupa a ∈ R.

Problema 3.53. Se considera sistemul:Determinati eroarea stationara a configuratiei de mai sus, stiind ca r(t) =a · t.

Problema 3.54. Se considera H(s) =1

0.25s + 1. Estimati timpul tranzi-

toriu al raspunsului la trreapta.

Problema 3.55. Care este raspunsul permanent la intrare treapta pentru

H(s) =1

s2 + 1?

Problema 3.56. Care este raspunsul permanent al lui H(s) la intrarile :

1. u1(t) = sinwt, t ≥ 0

2. u2(t) = e−t, t ≥ 0

3.3. REGIM PERMANENT SI REGIM TRANZITORIU 25

Problema 3.57. Care este regimul permanent pentru u(t) = 1 al lui H(s) =1

s4−1?

Problema 3.58. Determinati regimul permanent si regimul tranzitoriu co-respunzator sistemului H(s) = s

s2+s+1 la intrare u(t) = 2 ∗ 1(t) + cost.

Problema 3.59. Determinati regimul permanent pentru sistemul H1(s) =1

s2+1la intrare u(t) = 1(t) + sin2t. Similar pentru H2(s) = 1

s+1 .

Problema 3.60. Calculati raspunsul tranzitoriu si permanent la intraretreaptapentru sistemul:

H(s) =s + z

s2 + 2ζωs + ω2n

, z 6= 0, ωn > 0, 0 < ζ < 1 (3.3)

Problema 3.61. Care este raspunsul permanent al sistemului H(s) = 1s2+9

la intrarea u(t) = sint. Aceeasi intrebare pentru H(s) = 1s2+1

Problema 3.62. Sa se determine care sunt regimurile permanente la in-trare:

u(t) = 3sint + tn, n = 0, 1, 2 (3.4)

pentru urmatoarele sisteme:

1. H(s) =s2+3s+1

2. H(s) = s−13s3+4s−7

3. H(s) = 2ss2+4

Problema 3.63. Sa se determine care sunt regimurile permanente la intra-rea

u(t) = sin t + tn, n = 0, 1, 2

pentru sistemele de mai jos:

G(s) =1

s2 + 3s + 2), G(s) =

2s

s2 + 4, G(s) =

s − 1

s2 + 4s + 8.


Problema 3.64. Care este regimul stationar pentru u(t) = 3 ∗ 1(t) al lui

H(s) =1

s2 + s + 1

Problema 3.65. Care este raspunsul permanent la intrare treapta pentru

H(s) =1

s2 + 1?

Problema 3.66. Care este regimul permanent pentru u(t) = 1(t) al lui

H(s) =1

s4 − 1?

Problema 3.67. Sa se calculeze raspunsul permanent la intrarea armonicade frecventa ω = 3 pentru functia de transfer :

H(s) =1

s + 9.

Comentati rezultatul.

Problema 3.68. Determinati regimul tranzitoriu si pe cel permanent pen-

tru u(t) = t al lui H(s) =10

1 + s + s2.

Problema 3.69. Pentru sistemul H(s) =1

s2 + 2s + 1scrieti raspunsul per-

manent la intrarea u(t) = sin 2t.

Problema 3.70. Specificati raspunsul tranzitoriu al lui G(s) =1

s2 + 2s + 2la intrarea u(t) = 1(t).

3.4. REPREZENTAREA IN FRECVENTA A FUNCTIILOR DE TRANSFER27

Problema 3.71. Determinati regimul permanent pentru sistemul H1(s) =1

s2 + 1la intrare u(t) = 1(t) + sin 2t. Similar pentru H2(s) =

1

s + 1.

Problema 3.72. Determinati regimul permanent si regimul tranzitoriu co-

respunzator sistemului H(s) =s

s2 + s + 1la intrarea u(t) = 2 ∗ 1(t) + cos t.

3.4 Reprezentarea ın frecventa a functiilor de trans-

fer

Problema 3.73. Ce puteti spune despre caracteristica faza-frecventz a sidespre locul de transfer al unui sistem avand proprietatea

G(s) = G(−s), (∀)s ∈ C − poli.

Problema 3.74. Se considera urmatoarea caracteristica asimptotica amplitudine-pulsatie:Scrieti un sistem care are aceasta caracteristica. Este unic?

Problema 3.75. Trasati diagramele Bode pentru:

H(s) =s(1 − 20s)(s + 5)

(s2 + s + 1)(100s + 1)

Problema 3.76. Trasati diagramele Bode pentru

G(s) =40

s2· (5s + 1)(100s + 1)

s2 + 4s + 8.

Problema 3.77. Se considera urmatorul hodograf:

1. Presupunand ca sistemul este stabil, determinati raspunsul permanentla intrare treapta unitara.


2. Specificati (cel putin) un pol al sistemului ın bucla ınchisa.

Problema 3.78. Trasati diagramele Bode si Nyquist pentru:

T (s) =k(s + z1)(s + z2)

s3(s + p1)(s + p2), zi, pi > 0.

Problema 3.79. Trasati diagramele Bode pentru G(s) = 1s(s+2) .

Problema 3.80. Trasati hodograful sistemului

H(s) =s − a

s + a, a ∈ R.

Problema 3.81. Fie G(s) un sistem instabil cu hodograful:Daca sistemul ın bucla ınchisa este stabil, determinati numarul de poli aisistemului cu Re(s) > 0.

Problema 3.82. Caracteristica Bode ideala a unui sistem liniar, invariantın timp, de ordinul II este:Aceasta se poate construi conectand ın serie doua sisteme de ordin I, S1 si S2,sau conectand ın paralel doua sisteme de ordinul IV, S3 si S4. Demonstratisau infirmati:

1. Raspunsul ın frecventa al sistemelor S1 si S2 este unic determinat.

2. Raspunsul ın frecventa al sistemelor S3 si S4 este unic determinat.

Problema 3.83. Trasati diagramele Bode pentru H(s) =(1 − 10s)(s + 10)

s(s2 + 4s + 8).

3.4. REPREZENTAREA IN FRECVENTA A FUNCTIILOR DE TRANSFER29

Problema 3.84. Trasati diagramele Bode pentru G(s) =1

s2· s2 + s + 1

(1 + 0.1s)(1 − 0.02s).

Care este abaterea de la caracteristica reala ın ω = 1?

Problema 3.85. Trasati locul Nyquist pentru

T (s) =K(s + z1)

s2∏n

i=1(s + pi), K > 0

Considerati succesiv cazurile:

1. n = 1, p1, z1 > 0;

2. n = 2, p1, p2 > 0, z1 > 0;

3. n arbitrar, pi > 0, z1 > 0;

4. n arbitrar, pi > 0, z1 < 0.

Problema 3.86. Se considera sistemul din figura anterioara ın care

P (s) =100 · e−Tds

s(s2 + 10s + 100), C(s) = K ∈ R.

1. Trasati hodograful pentru K = 1 si Td = 1.

2. Daca K = 1, se cere Td pentru care sistemul este intern stabil.

3. Daca Td = 1 se cere K pentru care sistemul este intern stabil.

4. Se cere diagrama Bode pentru sistemul ın bucla ınchisa cuK = 1, Td = 1 si e−Tds aproximata cu un polinom de gradul I.

Problema 3.87. Calculati sups=jω

|T (s)|, unde T (s) =4

s2 + 2s + 4. Determinati

pulsatia pentru care se atinge acest suprem si ilustrati solutia gasita pe lolculde trnsfer sau pe diagrama amplitudine-pulsatie.


Problema 3.88. Trasati locul Nyquist pentru:

T (s) =1

s∏n

i=1(sTi + 1)

unde

1. n = 1, T1 > 0;

2. n = 2, T1, T2 > 0;

3. n arbitrar ın N∗ si Ti > 0, i = 1, n;

4. n arbitrar ın N∗ si Ti < 0, i = 1, n.

Interpretati rezultatele obtinute.

Problema 3.89. Propuneti doua functii de trtansfer dintre care una defaza minima a caror caracteristica ideala (asimptotica) amplitudine-pulsatieeste:

Problema 3.90. Trasati caracteristicilede frecventa (amplitudine- pulsatie,faza-pulsatie) pentru sistemele:

1. H1(s) = 10(s+1)s2(s2+0.4s+4)(s−1)

2. H2(s) = 10(s−1)s2(s+1)(s2+2s+2)

3. H3(s) = K(s−1)sq(s+1)

4. H4(s) = K(T1s+1)T2s+1 , T2 < T1

Problema 3.91. Trasati locul de transfer(hodograful) pentru sistemele:

1. H1(s) = s+2s(Ts+1) , T = 0.1, 1, 10

2. H2(s) =s(s+1)2

3. H3(s) = s−1s2+4s+5

3.5. CORELATIE TIMP-FRECVENTA. TIMPI CARACTERISTICI 31

Problema 3.92. Sa se traseze caracteristicile amplitudine-pulsatie si faza-pulsatie pentru sistemele:

H(s) =K(s − 1)

s4(s + 1); H(s) =

10s − 10

s3 + s2 + 4s + 4;

H(s) =10s

(s + 1)(s + 10)(s2 + 2s + 2); H(s) =

1

s2(s2 + 100).

Problema 3.93. Care este abaterea (ın dB), de la caracteristica ideala,

evaluata ın ω = 1 pentru sistemul H(s) =1

s2 + 1? Aceeasi problema

pentru G(s) =1

s + 1.

3.5 Corelatie timp-frecventa. Timpi caracteristici

Problema 3.94. Precizati gradul de amortizare si pulsatia naturala pentrusistemul H(s) = 1

3s2+3s+3.

Problema 3.95. Precizati factorul de amortizare si pulsatia naturala pen-tru

H(s) =1

s2 + 4s + 8. Cum depinde regimul tranzitoriu al unui sistem de

ordinul II de ζ?

Problema 3.96. Definiti timpul de crestere si timpul tranzitoriu.

Problema 3.97. Definiti timpii de crestere si de varf ai raspunsului in-dicand si dependenta acestora de banda de frecventa.

Problema 3.98. Precizati gradul de amortizare si pulsatia naturala pentru

sistemul H(s) =1

3s2 + 3s + 3. Estimati timpul de crestere al raspunsului

indicial.

Capitolul 4

Sisteme ın reactie inversa

4.1 Conexiuni elementare. Regula lui Mason.

Problema 4.1. Conectandu-se ın paralel sistemele H1(s) = 1s

si H2(s) =−1

srezulta un sistem stabil?

Problema 4.2. Conectand ın serie H1(s) = 1s

cu H2(s) = ss2+s+1

, estesistemul stabil? Justificati.

Problema 4.3. Calculati functia de transfer corespunzatoare conexiunii:

Problema 4.4. Determinati functia de transfer de la u la y a urmatoareiconfiguratii:

Problema 4.5. 1. Determinati functia de transfer pentru urmatoare configuratie:

2. Specificati daca functia de transfer corespunzatoare este stabila saunu.

H1(s) =s − 2

(s + 2)2, H2(s) =

1

s − 2

33

34 CAPITOLUL 4. SISTEME IN REACTIE INVERSA

Problema 4.6. Se da urmatoarea diagrama:

1. Determinati functia de transfer ın bucla ii nchisa.

2. Determinati eroarea stationara pentru r(t) = t · 1(t) si r(t) = 1(t).

3. Calculati y(t) pentru r(t) = 1(t)

Problema 4.7. Pentru ce valori ale lui a ∈ R/0 conexiuneaeste stabila?

Problema 4.8. Calculati functia de transfer corespunzatoare conexiunii :

Problema 4.9. Determinati functia de transfer corespunzatoare conexiunii:

Problema 4.10. Calculati functia de transfer corespunzatoare conexiunii :

Problema 4.11. Sase determine functiile de transfer, H(s) = Y (s)U(s) ale sis-

temelor reprezentate prin urmatoarele diagrame:

1.

2.

4.2. CONEXIUNEA IN REACTIE. PROPRIETATI STABILIZANTE. 35

3.

Problema 4.12. Pentru figura de mai jos se cer : Tuy, Tru, Try, T ηu, Tηy.

Problema 4.13. Apreciati daca sistemele conectate ın paralel, H1(s) =s−1s+1 , H2(s) = 1

(s+1)2, genereaza un sistem stabil sau instabil.

Problema 4.14. Calculati functiile de transfer corespunzatoare urmatoa-relor conexiuni:

4.2 Conexiunea ın reactie. Proprietati stabilizante.

Problema 4.15. Se considera urmatoarea configuratie: Se cer conditiile debuna definire a buclei si expresia iesirii y = f(u, d).

Problema 4.16. Se considera urmatoarea configuratie ın bucla ınchisa:G(s) este un sistem dat, iar K > 0. Presupunem ca functia de transfer ınbucla ınchisa este

Tyr(s) =1

a2s2 + a1s + a0, ai ∈ R

∗, i = 0 : 2, a2 6= 0.

1. Determinati G(s) ın functie de ai si de K.

2. Pentru K = 1, a2 = 1, a1 = 2, a0 = 3, determinati raspunsul perma-nent si tranzitoriu al lui G(s) la trreapta unitate.


3. determinati valorile parametrilor ai, i = 0 : 2 si respectiv K, astfelıcat sistemul sa fie stabil ın bucla ınchisa.

4. Determinati valorile parametrtilor astfel ıncat istemul ın bucla ınchisasa admita eroare stationara zero pentru r(t) = 1(t).

5. Aceeasi cerinta ca la punctul anterior, pentru r(t) = t. Generalizatipentru r(t) = tn, n ∈ N

∗.

Problema 4.17. Se considera urmatoarea configuratie:

1. Sa se precizeze buna definire ın sens strict.

2. Se cere expresia lui y ın functie de intrarile r, u1, u2.

3. Este posibil ca sistemul ın bucla ınchisa sa fie intern stabil ın conditiileın care au loc simplificari de poli si zerouri ıntre G1 si H2? Justificati.

Problema 4.18. Exista sisteme care conectate ın reactie negativa sa gene-reze sisteme instabile?

Problema 4.19. Functia de transfer ın bucla ınchisa a unui sistem este:

Tyr(s) =1

s2 + as + 1, a ∈ R

∗

1. Sa se gasesca H(s).

2. Pentru ce valori ale lui a eroarea stationara pentru r(t) = 1(t) estemai mica de 0.01?

3. Determinati a pentru care timpul tranzitoriu este mai mic de 2s.

Problema 4.20. Poate fi stabilizat sistemulK

s2 + s + 1, K ∈ R

∗+ printr-o

reactie negativa unitara? Dar prin reactie pozitiva unitara?


Problema 4.21. Poate fi stabilizat un sistem prin reactie unitara pozitiva?

Problema 4.22. Conectand ın paralel sistemele :

H1(s) =1

sH2(s) = −1

s

rezulta un sistem stabil sau instabil ?

Problema 4.23. Este stabila conexiunea paralel de mai jos ?

Problema 4.24. De ce conexiunea serie

H1(s) =2s − 1

s2 + 2s + 1H2(s) =

3

2s − 1

este instabila ? Conectand ın serie H1(s) = 1s

cu H2(s) = ss2+s+1

estesistemul rezultat stabil ?

Problema 4.25. Fie H(s) = 1s(s+α) . Gasiti α astfel ıncat sistemul ın reactie

negativa unitara sa aiba polii cu Res < −3.

Problema 4.26. Precizati daca conexiunea ın serie a sistemelor H1(s) =2s

s+1 si H2(s) = s+1s

este stabila sau nu.

Problema 4.27. Sase precizeze care din urmatoarele sisteme (rezultante)este stabil:

1.

cu H1(s) =s,H2(s) =

s+1


2.

3.

4.

5.

cu H1(s) =s−1 ,H2(s) = s

(s+1)2

cu H1(s) =s−1 ,H2(s) =

s+1 ,H3(s) = 2s+3

cu H1(s) =s+1 ,H2(s) = 2

s+3

cu H1(s) =s+1 ,H2(s) = 2s

(s+3)2,H3(s) =

s2+0.5

Problema 4.28. Un sistem de ordinul 2 stabil poate deveni instabil ın urmaunei conexiuni ın reactie negativa?

Problema 4.29. Fie H(s) strict proprie. Presupunem ca H(s) este stabila.

1. Exista Hc(s) astfel ıncat sistemul ın bucla ınchisa sa fie instabil?

2. Un sistem stabil poate fi facut instabil printr-o reactie negativaunitara?

Problema 4.30. Este conexiunea serie

H1(s) =2s + 1

s2 + 2s + 1H2(s) =

3

2s + 1

instabila ? Conectand ın serie H1(s) = 1s

cu H2(s) = ss2+s+1 este sistemul

rezultat stabil ?

Problema 4.31. Este stabila conexiunea paralel de mai jos ?


Problema 4.32. Conectand ın serie H1(s) = 1s−a

cu H2(s) = s−as2+s+1

estesistemul rezultat stabil ? Discutie dupa a.

Problema 4.33. Precizati daca sistemul obtinut prin cuplare ın reactienegativa unitara a lui H(s) = 2

s3+2s2+3s−1este stabil.

Problema 4.34. Sistemul H(s) = 1s−1 poate fi stabilizat pe stare prin

conexiune serie ?



Problema 4.36. Conectand ın paralel sistemele :

H1(s) =1

sH2(s) = −1

s

rezulta un sistem stabil sau instabil ?


cu H2(s) = ss2+s+1

estesistemul rezultat stabil ? Justificati.

Problema 4.38. De ce conexiunea serie :

H1(s) =s − 1

s2 + s + 1H2(s) =

1

s − 1

este instabila ?


4.3 Stabilizare prin compensare

Problema 4.39. Pentru H(s) = s2−1s3−3s2+3s−1

scrieti numaratorul si numi-torul cu care se calculeaza compensatorul stabilizator.

Problema 4.40. Determinati un compensator stabilizator pentru sistemul

H(s) =s

(s + 2)2.

Problema 4.41. Se da aceeasi configuratie ca la problema precedenta. Pre-

supunem ca P (s) =1

ssi C =

Q

1 − PQ, Q rationala proprie. Caracterizati

clasa tuturor Q pentru care sistemul din figura este intern stabil.

Problema 4.42. Se considera urmatoarea schema de stabilizare:Precizati daca clasa tutror compensatoarelor stabilizante se poate da ıntr-oformula similara cu cea clasica ın care:

Problema 4.43. Determinati un compensator stabilizator pentru H(s) =s+2s3 .



Problema 4.45. Fie H(s) = s+1s2+2s+2

. Se cere Hc(s) astfel ıncat sistemulın bucla ınchisa sa aiba polii: 1, 2,−1 + i,−1 − i.

Problema 4.46. Pentru urmatorul sistem

H(s) =2

s2 − 1

se cere sa se determine un compensator stabilizator astfel ıncat Λbi = −1,−1,−1,−1,−1.

4.4. CRITERII DE STABILITATE IN REACTIE INVERSA 41


Problema 4.48. Pentru H(s) = s2−1s3−3s2+3s−1

determinati o factorizare co-prima cu care se calculeaza compensatorul stabilizator.


4.4 Criterii de stabilitate ın reactie inversa

Problema 4.50. Fie sistemul G(s) = Ks2(s+p1)

, K, p1 > 0. Folosind criteriul

Nyquist sa se precizeze pentru ce valori ale lui p1 si K sistemul ın buclaınchisa este extern stabil.

Problema 4.51. Sa se traseze locul Nyquist pentrru sistemul descris deH(s) = 1

s4(s+p), p > 0. Sa se precizeze daca sistemul ın bucla ınchisa este

stabil.

Problema 4.52. Trasati hodograful sistemului G(s) = 1−αss2+s+1

, α ∈ R

si discutati stabilitatea ın bucla ınchisa ın functie de α, utilizand criteriulNyquist. Caz particular α = 1.

Problema 4.53. Trasati hodograful sistemului H(s) = s−2s+2 si analizati

stabilitatea sistemului ın bucla ınchisa cu ajutorul criteriului Nyquist.

Problema 4.54. Se considera un sistem descris de ecuatia diferentiala:

d2y

dt2+ 3

dy

dt+ 2y = u +

du

dt.


1. Se cere functia de transfer a sistemului.

2. Sa se precizeze polii si zerourile.

3. Sa se stabileasca prin criteriul lui Nyquist daca sistemul ın buclaınchisa este stabil.

Problema 4.55. 1. Trasati hodograful lui H(s) =1

s3 + 1si discutati

stabilitatea conexiunii ın reactie inversa a lui H cu ajutorul criteriuluilui Nyquist.

2. Pot avea doua sisteme distincte acelasi hodograf?

Problema 4.56. Fie H(s) =s + 1

s2 − s. Apreciati stabilitatea sistemului ın

bucla ınchisa cu ajutorul criteriului lui Nyquist.

Problema 4.57. Sa se discute cu ajutorul criteriului lui Nyquist stabilitatea

ın bucla ınchisa a sistemului H(s) =1 − αs

s2 + s + 1. Discutie dupa α ∈ R.

Pentru ce valori ale lui α hodogrful lui H(s) trece prin punctul critic?

Problema 4.58. Analizati cu ajutorul criteriului Nyquist stabilitatea ın

bucla ınchisa a sistemelor H(s) =1

sq, q ≥ 1, q ∈ Z si precizati pentru ce

valori ale lui q avem stabilitate.

Problema 4.59. Sa se aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea sis-temului ın circuit inchis pentru Hb(s) = 1

s2 .

Problema 4.60. Sa se aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea sis-temului ın circuit ınchis pentru :

Hb(s) =1 − s

s2 + 2s

Verificati si algebric calculand χ0(s).

4.4. CRITERII DE STABILITATE IN REACTIE INVERSA 43

Problema 4.61. Stiind ca H(s) = 1s2 este conectat ın reactie negativa

unitara apreciati prin criteriul lui Nyquist stabilitatea ın bucla ınchisa .

Problema 4.62. Trasati hodograful sistemului si apreciati prin criteriul luiNyquist stablitatea ın circuit ınchis pentru H(s) = 1

s3+s.

Problema 4.63. Sa se aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea sis-temelor ın circuit ınchis pentru :

1. H(s) = 1s2 ;

2. H(s) = 1−ss2+s

;

3. H(s) = 12s2+3s

.

Problema 4.64. Se considera sistemul dat de :

H(s) =k

s(s + 1)(s + 2), k > 0

1. Este stabil ?

2. Trasati hodograful lui H(s).

3. Aplicati criteriul Nyquist de stabilitate si deduceti domeniul lui k astfelıncat bucla sa fie stabila.

Problema 4.65. Aplicati criteriul lui Bode pentru a studia stabilitateasistemului H(s) = 1

20s+5

s2(s+50) .

Problema 4.66. Sase aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea siste-mului ın circuit ın chis pentru:

1. H1(s) =s2+1

2. H2(s) = 3−2ss2+3s


3. H3(s) =s2(s+1)

4. H4(s) = 7s2−s−1s(s−2)


1. H(s) = 1s2 ;

2. H(s) = 1−ss2+s

;

3. H(s) = 12s2+3s

.

Problema 4.68. Sa se aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea sis-

temului ın circuit inchis pentru H(s) =1

s3 + 1.

Problema 4.69. Sa se aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea sis-temului ın circuit ınchis pentru :

H(s) =1 − s

s2 + 2s.

Verificati si algebric calculand polii sistemului in circuit inchis.

Problema 4.70. Trasati hodograful sistemului si apreciati prin criteriul lui

Nyquist stablitatea ın circuit ınchis pentru H(s) =1

s3 + s.


H(s) =s + 2

Ts2 + s, T > 0; H(s) =

s − 1

s2 + 4s + 5, H(s) =

1

2s2 + 3s.

4.5. PROBLEMA REGLARII. PRINCIPIUL MODELULUI INTERN. 45

Problema 4.72. Sa se aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea sis-

temului ın circuit inchis pentru H(s) =1

s2.

Problema 4.73. Daca locul de transfer taie axa reala la stanga punctuluicritic este sistemul in circuit inchis stabil ?

Problema 4.74. Aplicati criteriul lui Bode pentru a studia stabilitatea

sistemului H(s) =1

20

s + 5

s2(s + 50).

4.5 Problema reglarii. Principiul modelului in-

tern.

Problema 4.75. Se considera sistemul cu functia de transfer H(s) = s−as2+s−2

.Pentru a = 0 se poate determina un regulator al sistemului de mai sus pentrumarimi exogene de tip treapta? Dar pentru a 6= 0? Pentru a = 3 construitiun regulator pentru marimi exogene de tip treapta.

Problema 4.76. Se considera sistemul dat de H(s) = p(s)s4+λs+1

, unde p(s)e polinom.

1. Pentru ce valori ale lui λ sistemul este stabil?

2. Pentru acele valori λ pentru care sistemul este stabil, sa se scrie clasacompensatoarelor stabilizatoare.

3. In ce conditii exista un compensator care urmareste o referinta treapta?(conditii asupra lui λ si a polinomului p(s)).

Problema 4.77. Poate fi reglat pentru referinta treapta sistemul

P (s) =1 − s

s2 + 2s + 2


folosind un compensator de forma C(s) = Ks, K > 0? Daca da, determinati

un astfel de compensator, ın caz contrar, explicati de ce. Aratati ca pentruorice 0 < K < 2, exista Q(s) ∈ S, astfel ıncat K sa poata fi scris

K =sQ(s)

1 − P (s)Q(s).

Problema 4.78. Fie P (s) =s

(s + 1)2.

1. Se cere clasa compensatoarelor stabilizatoare.

2. Sa se precizeze subclasa compensatoarelor stabilizatoare care urmaresco referinta treapta unitate.

3. Sa se determine un compensator stabilizator care rejecteaza o perturbatied(t) = cos 2t.

Problema 4.79. 1. Stabilizati sistemul G(s) =s

s2 − 1. Puteti gasi un

compensator care sa asigure urmarirea unei referinte de tip treapta?

2. Se considera sistemul de reglare avand functia de transfer ın buclaınchisa

H(s) =2

s2 + 2s + 2

Determinati eroarea stationara la r(t) = 1(t). Sistemul ın bucladeschisaeste stabil?

Problema 4.80. 1. Sa se determine un regulator care sa urmareasca o

referinta de tip rampa pentru sistemul P (s) =s + a

s2 + s + 1, a ∈ R.

Discutie dupa a.

2. Pentru a = 1 sa se calculeze functia de transfer a erorii si sa se deter-mine eroarea stationara daca r(t) = 1(t).

Problema 4.81. Fie dubluintegratorul1

s2.


1. Justificati denumirea sistemului.

2. Determinati clasa tuturor compensatoarelor stabilizatoare.

3. Determinati un regulator care sa urmareasca o referinta tip treapta.

Problema 4.82. Se considera urmatoarea schema de reglare:

unde P (s) =s + 1

s2 + 1.

1. Determinati un compensator stabilizator.

2. Daca C(s) =K

s, K > 0, urmareste iesirea y o referinta treapta?


cu P fixat, P (s) =1

s + a, a ∈ R si C =

Q

1 − PQ, Q rationala proprie.

1. Caracterizati clasa Q pentru care sistemul ın bucla ınchisa este intrnstabil, atunci cand a > 0.

2. Se cere clasa Q pentru care sistemul ın bucla ınchisa este intern stabilpentru a ≤ 0.

3. Exista Q care asigura urmarirea unei trepte unitare 1(t)? In caz afir-mativ, determinati Q, ın caz negativ, justificati. Discutie dupa a ∈ R.

4. Exista Q care asigura urmarirea unei tepte unitare 1(t) si rejectiaperturbatiei tot 1(t)? Discutie dupa a ∈ R. In ce conditii problemareglarii structural stabile are solutie? Discutie dupa a ∈ R.

Problema 4.84. Se considera urmatorul sistem:Demonstrati sau infirmati: daca r(t) = 1(t), atunci lim

t→∞ε(t) = 0 daca si

numai daca1

1 + PCare cel putin un zerou ın origine.

Problema 4.85. Se considera urmatoarea schema de reglare:


1. Calculati functia de transfer a erorii si a sistemului ın bucla ınchisa.

2. Determinati K > 0, astfel ca εst < 0.01. Poate fi gasitK > 0?

Problema 4.86. Fie sistemul H(s) =3

s − 2.

1. Indicati o schema care stabilizeazasistemul (fara calcul).

2. Determinati un regulator care rejecteaza perturbatii de formad(t) = t · 1(t).

3. Determinati un regulator care sa urmareasca o referinta de tip treaptasi care sa aloce ın bucla ınchisa polii ın −1,−1,−1.

Problema 4.87. Demonstrati sau infirmati urmatoarea afirmatie, consi-derand diverse cazuri relevante: un sistem de ordinul II instabil poate rejectao perturbatie sinusoidala, poate urmari simultan o referinta treapta folosindo configuratie cu reactie negativa si un regulator constant C(s) = K.

Problema 4.88. Poate fi reglat la referintua sinusoidala r(t) = sin 2t siste-mul

H(s) =s + 2

s2 + 4? Daca da, se cere o schema simpla de reglare. Daca nu,

argumentati.

Problema 4.89. Se considera sistemul cu functia de transfer

H(s) =s − a

s2 + s − 2

Pentru a = 0 se poate determina un regulator al sistemului de mai sus pentrumarimi exogene de tip treapta? Dar pentru a 6= 0? Pentru a = 3 construitiun regulator care sa urmareasca o referinta de tip treapta.

Problema 4.90. Poate fi reglat la referinta treapta sistemul H(s) = ss2+1

?


Problema 4.91. Pentru sistemul cu functia de transfer H(s) = 1s+1 construiti

un regulator de ordinul unu pentru marimi exogene de tip treapta.

Problema 4.92. Pentru sistemul descris prin functia de transfer

H(s) =1

s

construiti un regulator pentru marimi exogene de tip treapta.

Problema 4.93. 1. Se considera sistemul avand functia pondere :

h(t) = e−t sin t.

Este stabil ?

2. Construiti un regulator pentru referinta de tip treapta.

Problema 4.94. Functia de transfer ın circuit ınchis a unui sistem esteH0(s). Determinati functia de transfer a erorii Hε(s).


H(s) =1

s

construiti un regulator pentru referinta de tip treapta care ın bucla inchisaaloca polii ın Λbi = −2,−2,−1.

Problema 4.96. Se considera sistemul descris de H(s) = s+1s2+1

. Sa sedetermine un regulator care rejecteaza perturbatii de tip treapta.

Problema 4.97. Sistemul H(s) = s2

(s+1)10poate fi reglat pentru r(t) = 1(t)

si d(t) = 0 ?



H(s) =1

s + 3

Se cere:

1. Sa se construiasca un regulator (referinta de tip treapta) care sa asigureΛbi = −1,−1,−2 .

2. Sa se scrie functiile de transfer ale regulatorului si ale sistemului re-zultant.


H(s) =s − a

s2 + s − 2

Pentru a = 0 se poate determina un regulator al sistemului de mai sus pentrumarimi exogene de tip treapta? Dar pentru a 6= 0? Pentru a = 3 construitiun regulator pentru marimi exogene de tip treapta.

Problema 4.100. Daca aveti un proces descris de :

H(s) =1

(s + 1)(s + 2)

cum puteti stabili un compensator stabilizator care sa asigure urmarireareferintei de tip treapta ?

Problema 4.101. Cum ati proceda daca s-ar cere sa gasiti un compensatorstabilizator si care sa urmareasca o referinta de tip treapta pentru un procesde forma : H(s) = s

s+2 ? Dar pentru H(s) = s2

(s+10)10?


H(s) =1

s

construiti un regulator pentru marimi exogene de tip treapta care aloca poliiın −2,−2,−1.


Problema 4.103. Se considera sistemul descris de H(s) = s+1s2+1

. Sa sedetermine un regulator pentru marimi exogene de tip treapta.


H(s) =1

s + 3

Se cere:

1. Sa se construiasca un regulator(referinta treapta) care sa asigure Λd =−1,−1,−2 .

2. Sa se scrie functia de transfer a regulatorului cat si a sistemului rezul-tant.


H(s) =2

s2 − 1

se cere sa se proiecteze un regulator astfel ıncat Λd = −1,−1,−1,−2, −3.

Problema 4.106. Fie H(s) = s+2(s+1)2(s−1)

. Se cere un compensator stabili-

zator si regulator (pentru referinta treapta) astfel ıncat χ(s) = (s + 1)7.

Problema 4.107. Functionarea unui motor continuu poate fi caracteri-zataprin intermediul urmatoarei ecuatii diferentiale:

Jθ + (b +KtKe

Raθ =

Kt

Raua (4.1)

unde J = 0.01kg ∗ m2,Ke = 0.02V ∗ s,Kt = 1N ∗ m/A,Ra = 10Ω.

1. Sa se determine functia de transfer de la tensiunea aplicata ua la vitezaunghiulara a motorului θ.


2. Care este viteza unghiulara stationara (regimul permanent) a motoru-lui atunci cand se aplica tensiunea ua = 10V ?

3. Sase determine functia de transfer de la tensiunea aplicata la deplasa-rea ungiulara θ.

Problema 4.108. Schema de reglare a vitezei unui motor c.c. este ilustrataın figura de mai jos: Aici vn este tensiunea de alimentare(comanda), y este

viteza unghiulara(iesire), iar w reprezinta sarcina (perturbatie); A si B suntconstante reale strict pozitive; p(s) = (τ1s + 1)(τ2s + 1).

1. Calculati y(s) ın functie de va si w ın bucla deschisa.

2. Considerand referinta si perturbatia de tip treapta unitara, proiectatiun compensator stabilizator si un regulator.

3. Sase calculeze functia de transfer Hc(s), va(s) = Hc(s)e(s).

Valori numerice : τ1 = 1, τ2 = 2, A = 2, B = 1.

Problema 4.109. Se considera sistemul:

H(s) =2(s − 1)

s(s2 + 1)(4.2)

Sase determine un compensator stabilizator , Hc, pentru sistemul H ast-fel ıncat sase asigure urmarirea unei referinte yr(t) = t ın prezenta uneiperturbatii v(t) = cos t.

Problema 4.110. Se considera sistemul:

H(s) =s + 1

s2 + 3s(4.3)

1. Sa se determine un compensator stabilizator, Hc, care, ın plus, sa asi-gure satisfacerea conditiei limt→∞ y(t) = 0 ın prezenta unei perturbatiila intrare d(t) = 2 sin(t + π/3).


2. Pentru sistemul rezultant (obtinut la punctul anterior) sa se determinecare este eroarea stationarala intrarea:

(a) u(t) = t

(b) u(t) = 1(t)

Capitolul 5

Sisteme robuste

55

56 CAPITOLUL 5. SISTEME ROBUSTE

Capitolul 6

Tehnici avansate de sinteza

ın frecventa

Problema 6.1. 1. Calculati normele L2 si L∞ ale sistemului H(s) =1

(s − 1)(s − a).

2. Sa se ilustreze cantitativ doua limitari de proiectare pentru sistemul

G(s) =s − 3

(s + 1)(s − 2)(s + 3)

Problema 6.2. Fie P (s) =1

10s + 1, C(s) = K, F (s) = 1. Gasiti K ≥ 0

cel mai mic posibil, astfel ıncat:

1. Sistemul ın bucla ınchisa sa fie intern stabil.

2. |ε(∞)| ≤ 0.01, pentru r(t) = 1(t), d(t) = 0.

3. ‖y‖∞ ≤ 0.1, (∀)d, ‖d‖∞ ≤ 1.

Problema 6.3. Fie P (s) =s − 4

(s − 1)(0.1s + 1). Sa se studieze daca exista

un regulator care stabilizeaza intern si asigura margine MV > 0.7.

57

58CAPITOLUL 6. TEHNICI AVANSATE DE SINTEZA IN FRECVENTA

Problema 6.4. Calculati normele L2 si L∞ ale sistemului G(s) =1

s + 3,

folosind metode de stare.

Problema 6.5. Se considera sistemul P (s) =5s + 1

(s − 1)(s − 2). Se stie ca

pentru acest sistem exista o reactie dupa stare F , astfel ıncat sistemul re-zultat sa aiba urmatoarea peoprietate: |S(jω)| < 1, (∀)ω. Este acest faptın dezacord cu cele noua rezultate privind...? De ce?


s − 1si C(s) = K, K > 0.

1. Determinati un compensator C(s), astfel ıncat MV > 1 si eroareastationara la referinta trepata sa fie mai mica strict decat 0.1.

2. Pentru K = 2, determinati marginea de faza pentru sistemul P (s)C(s).

3. Determinati o margine inferioara pentru ‖WT ‖∞, unde

WT (s) =s + 1

s + 100.


s2 + s + 1si C(s) un compensator stabilizator

astfel ıncat |S(3j)| = ε < 1.

1. Determinati o margine inferioara pentru |C(3j)|.

2. Ce puteti spune despre |C(3j)| daca se doreste urmarirea unei referintede forma r(t) = sin 3t, cu o eroare stationara cat mai mica: εst = 0.1sau εst = 0.01.

Problema 6.8. Determinati norma L∞ a sistemului H(s) =1

s2 + 3s + 2.

Aceeasi problema pentru G(s) =1

s2 − s − 2.

Problema 6.9. Fie sistemul Pa(s) =1

s2 + as + 2, 1 ≤ a ≤ 3.

59

1. Modelati sistemul Pa ın forma

Pa(s) =P (s)

1 + ∆(s)W2(s)P (s), ‖∆‖∞ ≤ 1.

Determinati P (s) si W2(s).

2. Conditia de stabilitate robusta pentru acest model de incertitudineeste ‖W2P‖∞ ≤ 1. Considerand un compensator C(s) = K > 0, sa sedea o interpretare grafica ın planul Nyquist a conditiei de mai sus.

Problema 6.10. Determinati un sistem (o rationala) de faza minima L(s)cu proprietatile:

|L(jω)| ≥ 20, 0 ≤ ω ≤ 0.1|L(jω)| ≤ 0.05, 10 ≤ ω < ∞ .

Trasati diagramele Bode si ıncercati sa estimati ωT si arg L(jωT ).

Problema 6.11. Propuneti o metoda de proiectare a unui regulator caresa asigure liniaritatea normei L2 a comenzii u.

60CAPITOLUL 6. TEHNICI AVANSATE DE SINTEZA IN FRECVENTA

Capitolul 7

Sisteme dinamice ın spatiul

starilor

7.1 Generalitati. Geneza. Modele si exemple.

7.2 Evolutii

Problema 7.1. Pentru sistemul x = Ax + Bu cu

A =

−1 1 00 −2 00 0 −1

, B =

001

(7.1)

calculati eAt si scrieti care este evolutia libera pentru x0 =

101

. Scrieti

care este evolutia fortata pentru u(t) = 1(t).

Problema 7.2. Se considera ecuatia :

y(t) + 4y(t) + 2y(t) = u(t) (7.2)

Sa se gaseasca A, b, c, x(t) astfel ıncat u si y din ecutia1

?? sa fie intrarea,respectiv iesirea sistemului :

x = Ax + buy = cx

(7.3)

61

62 CAPITOLUL 7. SISTEME DINAMICE IN SPATIUL STARILOR

Sa se calculeze functia de transfer a sistemului2

??. Este acesta stabil ? Secere raspunsul fortat al sistemului

2

?? la intrare treapta. Comparati-l cusolutia ecuatiei

1

?? pentru u(t) = 1(t) si y(t) = y(t) = 0.

Problema 7.3. Se considera sistemul liniar avand :

A =

−1 0 00 1 00 0 2

B =

0 11 00 0

C =[

1 0 1]

.

(7.4)

Se cer :

1. Matricea de tranzitie a starilor, matricea pondere si matricea de trans-fer.

2. Sa se calculeze raspunsul liber si raspunsul fortat pentru u1(t) =

[

01(t)

]

.

Care este raspunsul liber pentru u2(t) =

[

sintt2

]

?

Problema 7.4. Fie sistemul liniar cu

A =

[

−1 10 1

]

B =

[

−11

]

(7.5)

Sa se expliciteze evolutia fortata si libera a sistemului. DacaC =

[

1 0]

, care este raspunsul fortat pentru u(t) = 1(t) ?

Problema 7.5. Sa se scrie explicit(functie de timp) evolutia libera si ceafortata cat si raspunsul liber si cel fortat, la intrare treapta, respectiv impuls,pentru urmatorul sistem :

A =

0 0 01 0 00 1 0

b =

101

, cu x(0) =

121

c =[

0 1 0]

(7.6)

7.2. EVOLUTII 63


A =

−1 1 00 −1 00 0 −2

, B =

001

(7.7)

calculati eAt si scrieti care este evolutia libera pentru x0 =

011

. Scrieti

care este evolutia fortata pentru u(t) = 1(t).

Problema 7.7. Pentru

x = Ax + Buy = Cx

(7.8)

A =

0 1 00 0 10 0 0

B =

1 00 10 0

C =

[

1 0 00 1 0

]

(7.9)

Scrieti explicit raspunsul liber si raspunsul fortat al sistemului.

Problema 7.8. Sistemul

x = x + uy = x

are raspuns fortat pentru u(t) =

ln(t + 2), t > 0?

Problema 7.9. Pentru x = Ax + Bu unde

A =

0 1 00 0 10 0 0

B =

1 00 10 0

(7.10)

scrieti explicit evolutia (libera + fortata) a sistemului.

Problema 7.10. Precizati daca exista un sistem liniar care are evolutiilelibere de tipul

x(t) =

[

tlnt 00 t

] [

x10

x20

]

cu t > 0 (7.11)

Daca da precizati-l.



A =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

B =

1 00 00 00 1

(7.12)

calculati evolutia libera pentru x0 =

0100

si evolutia fortata pentru u(t) =

[

10

]

1(t).

Problema 7.12. Este xk+1 = Axk pentru

A =

0 1. . .

. . .

. . . 10

∈ Rn×n (7.13)

stabil ? Daca da, ın cati pasi ajunge ın origine ?

7.3 Echivalenta

7.4 Stabilitate. Regim permanent si tranzitoriu.

Problema 7.13. Este stabil sistemul x = Ax + Bu cu A =

−1 0 00 2 30 4 1

?

Problema 7.14. xk+1 = Axk, A =

[

1 20 4

]

. Este sistemul stabil ?

7.4. STABILITATE. REGIM PERMANENT SI TRANZITORIU. 65

Problema 7.15. Este sistemul x = Ax cu

A =

−1 0 0 0 00 −1 −2 0 01 −3 −4 0 02 4 6 − 1 03 5 7 8 −2

stabil? (7.14)

Problema 7.16. Este stabil sistemul x = Ax cu A =

−1 10 11 120 −1 1 130 −1 −1 140 0 0 −2

? Argumentati prin simpla inspctie.

Problema 7.17. Se considera sistemul liniar pentru care

A =

1 −1 −1−3 −4 −34 7 6

b =

100

c =

[

1 0 0−1 0 0

]

. (7.15)

Se stie de asemenea ca TA−1T−1 = A =

−1 0 00 2 00 1 2

, unde T−1 =

0 −2 11 1 0−1 0 −1

. Se cer :

1. Analizati stabilitatea sistemului.

2. Matricea de tranzitie a starilor, matricea pondere si matricea de trans-fer.

3. Explicitati rasunsul liber si raspunsul fortat.

Problema 7.18. Scrieti raspunsul permanent al sistemului :

A =

[

−1 00 −3

]

, B =

[

20

]

, C =[

0 1]

(7.16)

pentru u(t) = e2jt.

Capitolul 8

Proprietati structurale

8.1 Controlabilitate. Observabilitate.

Problema 8.1. Pentru sistemul descris de (A,B,C), ın care din situatiileurmatoare sistemul este observabil ?

1. Daca pentru orice initializare x pentru care sistemul evolueaza liber ınorigine, iesirea este identic nula.

2. Daca pentru orice initializare, ın absenta comenzii, iesirea sistemuluieste identic nula.

3. Daca pentru orice initializare diferita de origine, ın absenta comenzii,iesirea sa nu fie identic nula.

Problema 8.2. Pentru un sistem de dimensiune n descris de (A,B,C) ıncare din situatiile urmatoare realizarea este controlabila ?

1. Daca pentru o stare x exista n comenzi admisibile care conduc sistemuldin origine ın starea x.

2. Daca pentru orice initializare x sistemul evolueaza liber ın origine.

3. Daca pentru orice stare x exista o comanda u care determina evolutiasistemului din starea initiala ın starea x.

67

68 CAPITOLUL 8. PROPRIETATI STRUCTURALE

Problema 8.3. Se considera urmatoarea realizare ın spatiul starilor :

A =

0 1 01 0 −21 1 0

b =

010

c =[

0 1 2]

(8.1)

Este starea xT1 =

[

1 1 1]

controlabila? Dar starea xT2 =

[

0 0 2]

? Justificati raspunsurile.

Problema 8.4. Fie G(s) matricea de transfer a unui sistem liniar cu mintrari si p iesiri (m > 1 si p > 1). Aratati ca o RSC a lui G(s) estecontrolabila. Aratati ca o RSO a lui G(s) este observabila.

Problema 8.5. Este controlabila realizarea ? Dar stabila ?

A =

1 0 0−1 −1 −11 0 2

B =

011

(8.2)

Problema 8.6. Enuntati conditii necesare si suficiente ca o realizare sa fiecontrolabila si observabila.

Problema 8.7. Sa se scrie o realizare standard observabila pentru

T (s) =

[

1s

1s2

1s+1

1(s+1)2

]

(8.3)

Problema 8.8. Este perechea

A =

0 5 10 0 01 6 11 0 02 7 12 0 03 8 13 15 04 9 14 16 17

, C =

[

1 2 3 0 04 5 6 0 0

]

observabila? (8.4)

8.1. CONTROLABILITATE. OBSERVABILITATE. 69

Problema 8.9. Un sistem controlabil poate fi instabil ? Dar unul observabil?

Problema 8.10. O realizare minimala este ın mod necesar observabila?

Problema 8.11. Daca perechea (C, A) este observabila ce puteti spunedespre observabilitatea perechii (C, A + 2In)?

Problema 8.12. Precizati fara nici un calcul daca perechea

A =

0 1 10 0 −10 0 3

, B =

010

este controlabila.

Problema 8.13. Precizati daca perechea A =

0 1 30 0 4−1 0 1

, C =

[

0 0 11 0 2

]

este observabila.

Problema 8.14. Demonstrati ca perechea (A, B) este controlabila daca sinumai daca:

1. (A−BK, B) este controlabila pentru orice K de dimensiune potrivita.

2. Nu exista nici un vector propriu la stanga lui A care este ortogonal cutoate coloanele lui B.

Problema 8.15. Probati sau infirmati: ”Daca (A, B) este controlabilaatunci exista ıntotdeauna un vector q, astfel ıncat (A, Bq) sa fie controla-bila.”


Problema 8.16. Se da perechea (A,B) controlabila. Fie F =

[

A 0C 0

]

, G =[

B0

]

. Aratati ca (F,G) este controlabila daca si numai daca

[

A BC 0

]

este surjectiva.

Problema 8.17. Se considera un sistem SISO. Presupunem ca

(sI − A)−1b =1

a(s)

pn−1(s)...

p0(s)

.

Aratati ca radacinile comune ale celor n+1 polinoame dau modurile necon-trolabile ale perechii (A, b).

Problema 8.18. Fie (A, b, cT1 ) si (A, b, cT

2 ) doua realizari controlabile, astfelıncat

cT1 (sI − A)−1b = cT

2 (sI − A)−1b.

Aratati ca c1 = c2.

Problema 8.19. Aratati ca perechea

λ 1 00 λ 10 0 λ

, b

cu b oarecare nu

este controlabila. Ce puteti spune despre stabilizabilitatea acesteia?

Problema 8.20. Fie A =

[

−1 00 2

]

, b =

[

01

]

. Este posibil sa alegem

cT , astfel ıncat (cT , A) sa fie observabila?

Problema 8.21. Demonstrati ca perecheaa (A,B), A ∈ Rn×n, B ∈ R

n×m

este controlabila daca si numai daca (A − BF,B) este controlabila, (∀)F ∈R

m×n .

8.2. DESCOMPUNERE STRUCTURALA 71

8.2 Descompunere structurala

8.3 Realizabilitate

Problema 8.22. Sa se scrie cate o realizare de stare pentru sistemele de-scrise prin urmatoarele functii de transfer specificandu-se pentru fiecare sis-tem numarul de intrari, de iesiri si ordinul realizarii minimale :

1. H(s) = s+2s+1 ;

2. H(s) = s−1s3−2s+1 ;

3. T (s) =

[ 1s

s+1s2−s

s+2s2

1 1s2

s−1s2+s

]

;

4. T (s) =

1ss

s2+ss2

s2−s

.

Problema 8.23. Se considera sistemul liniar dat de :

A =

−1 0 0 00 0 0 −11 1 0 11 0 0 −1

B =

0100

C =[

1 1 0 1]

.

(8.5)

1. Este stabil sistemul ?

2. Este controlabil ? Dar observabil ?

3. Determinati partea minimala.

4. Scrieti functia de transfer si propuneti o alta realizare.

Problema 8.24. Fie H1(s) = s+1s−1 si H2(s) = 1

s2+3s+2 . Scrieti cate o rea-lizare de stare pentru cele doua functii de transfer de mai sus. Se cer de

asemenea realizari pentru H1 + 3H2;

[

H1

−H2

]

;[

H2 1]

; H−11 . Exista

ıntre acestea realizari care nu sunt minimale ? Daca da, determinati partileminimale ale realizarilor de stare respective.


Problema 8.25. Scrieti o realizare de stare pentru sistemul descris prinmatricea de transfer

T (s) =

[

ss+1

s+1s−1

1s

1s+1

]

. (8.6)

Problema 8.26. Scrieti o realizare de stare pentru H(s) = s−1s3+2s+1

.

Problema 8.27. Sa se scrie o realizare de stare pentru :

T (s) =

[

s2

s2−11s

1s−1

1s+1

ss+2

1s

]

(8.7)

Problema 8.28. Se da sistemul H(s) = s+1s2−s−2

.

1. Este sistemul stabil ?

2. Propuneti o realizare. Este aceasta observabila?

Problema 8.29. Dandu-se sistemul

A =

1 1 2 20 1 0 20 0 3 30 0 0 3

B =

2100

C =[

0 2 0 2]

(8.8)

selectati partea minimala si scrieti functia de transfer a sistemului (A,B,C).

Problema 8.30. Scrieti o realizare pentru:

1. H(s) =s − α

s3 − 3s2 + 3s − 1. Discutie dupa α ∈ R astfel ıncat realizarea

scrisa sa fie minimala.

2. T (s) =[

s2

s2−11

s+2

]

. Este aceasta realizare minimala?

8.3. REALIZABILITATE 73

Problema 8.31. Scrieti o realizare de stare pentru:

T (s) =

[

1s

1s2 1

1s+1

1(s+1)2 1

]

.

Problema 8.32. Fie sistemul cu A =

λ 1 00 λ 10 0 λ

, b =

10−1

, cT =

[

γ1 γ2 γ3

]

, λ ∈ R dat. Se cer conditii asupra lui γ1, γ2, γ3 ∈ R, astfelıncat (A, b, cT ) sa fie o realizare minimala.

Problema 8.33. Fie sistemul y = T · u, T = (A,B,C,D), cu matricea Dinversabila. Scrieti o realizare pentru T−1, u = T−1 · y.

Problema 8.34. Scrieti orealizare de stare pentru sistemul:

T (s) =

[ s−1s

ss2+1

1s

1s2−1

2 1s+1

]

Problema 8.35. Fie sistemul T (s) =p(s)

q(s), ∂p ≤ ∂q.

1. Pentru p(s) = s+3 si q(s) = (s2 +2s+2)s sa se precizeze dimensiuneaunei realizari minimale si sa se scrie o astfel de realizare minimala.

2. Pentru p(s) = s+a si q(s) = (s2 +2s+2)s sa se precizeze dimensiuneaunei realizari minimale. Discutie dupa a ∈ R.

3. Demonstrati sau infirmati urmatoarea afirmatie: ”Daca p(s) si q(s)sunt coprime, atunci realizarea standard controlabila este ıntotdeaunaminimala.”

Problema 8.36. Se considera un sistem SISO, dat de functia de transferT (s) = r(s)

p(s) , cu cele doua polinoame coprime.


1. Scrieti o realizare standard controlabila.

2. Demonstrati sau infirmati: ”Realizarea de la punctul anterior esteıntotdeauna observabila.”

3. Demonstrati sau infirmati: ”Rezultatul de la punctul anterior se poateextinde la sisteme SIMO.”

4. Demonstrati sau infirmati: ”Rezultatul de la punctul anterior se poateextinde la sisteme MISO.”

Problema 8.37. Fie T (s) un sistem si fie (Ac, Bc, Cc,Dc) o realizare stan-dard controlabila si (Ao, Bo, Co,Do) o realizare standard observabila. Demonstratisau infirmati urmatorul enunt: ”Cele doua realizari sunt ıntotdeauna echi-valente: a) SISO; b) MIMO.”

Problema 8.38. Fie sistemul H(s) =1

s + 1. Exista o realizare de ordin

10? Daca da, scrieti una.

Problema 8.39. Se da sistemul (A,B,C,D) minimal si cu D inversabila.Scrieti o realizare pentru inversul sistemului si studiati daca este minimala.

Problema 8.40. Ce legatura exista ıntre toate realizarile minimale ale uneifunctii de transfer H(s).

Problema 8.41. Scrieti o realizare pentru T (s) =

[ 1s2

ss+1

]

.

Problema 8.42. Sa se scrie o realizare de stare pentru

T (s) =

[ 1s

1s2

1s

1s+1

]

(8.9)

8.4. CONEXIUNI 75

8.4 Conexiuni


cu H2(s) = ss2+s+1

estesistemul rezultat stabil pe stare ?

Problema 8.44. Explicati, folosind reprezentarea pe stare, de ce conexiu-

nea serie a sistemelor H1(s) =2s − 1

(s + 1)2si H2(s) =

3

2s − 1este instabila.

Problema 8.45. De ce conexiunea serie :

H1(s) =s − 1

s2 + s + 1H2(s) =

1

s − 1(8.10)

este instabila pe stare ?

Problema 8.46. 1. De ce conexiunea serie

H1(s) =2s − 1

s2 + 2s + 1H2(s) =

3

2s − 1(8.11)

este instabila pe stare ?

2. Poate avea un sistem instabil functia de transfer stabila.

8.5 Elemente structurale ale matricelor de trans-

fer rationale

Capitolul 9

Metode de sinteza

elementara

9.1 Compensare dinamica

9.2 Lege de comanda. Problema stabilizarii. Pro-

blema alocarii.

Problema 9.1. Se considera urmatoarea realizare :

A =

−1 0 2 42 −3 1 30 0 2 00 0 0 1

B =

0010

C =[

0 0 1 1]

(9.1)

1. Precizati care este dimensiunea subspatiului observabil si daca reali-zarea este observabila.

2. Este detectabila realizarea de la punctul anterior ?

Problema 9.2. Notiunea de detectabilitate este duala careia dintre urmatoarelenotiuni ?

1. controlabilitate;

2. stabilizabilitate;

77

78 CAPITOLUL 9. METODE DE SINTEZA ELEMENTARA

3. alocabilitate.

Problema 9.3. Este urmatoarea realizare observabila ?

A =

[

0 10 −2

]

b =

[

01

]

c =[

1 0]

(9.2)

Dar detectabila? Justificati raspunsurile.

Problema 9.4. Se considera sistemul caracterizat prin urmatoarea realizareın spatiul starilor :

A =

0 −1 11 1 00 1 0

b =

101

c =[

0 0 1]

(9.3)

1. Proiectati un compensator stabilizator astfel ıncat sistemul rezultantsa aiba spectrul Λ = −1,−1,−2.

2. Scrieti explicit care sunt ecuatiile ın spatiul starilor care descriu com-pensatorul si respectiv, sistemul rezultant.

Problema 9.5. Se considera urmatoarea realizare ın spatiul starilor pentruun sistem de ordinul 4:

A =

0 0 0 −21 0 0 −10 1 0 30 0 1 1

b =

1210

c =[

0 0 0 1]

(9.4)

Se cere sa se determine o reactie dupa stare u = Fx astfel ıncat sistemulrezultant sa aiba pe s = 0 pol de multiplicitate 2.

9.2. LEGE DE COMANDA. PROBLEMA STABILIZARII. PROBLEMA ALOCARII.79

Problema 9.6. Ce reactie de stabilizare furnizeaza algoritmul de stabilizare(Varga) pentru

A =

[

1 00 0

]

B =

[

1 10 0

]

(9.5)

Precizati fara a efectua vreun pas al algoritmului.

Problema 9.7. Se considera sistemul x = Ax + bu, unde

A =

[

0 −21 −3

]

b =

[

11

]

(9.6)

Este (A, b) stabilizabila? Daca da, gasiti fT =[

f1 f2

]

astfel ıncat u(t) =fTx(t) este o lege de comanda stabilizanta.

Problema 9.8. Daca perechea (A,B) este stabilizabila atunci perechea(AT , BT ) este detectabila?

Problema 9.9. Fie sistemul x = Ax + Bu cu A =

[

0 1−1 3

]

, B =

[

01

]

.

Calculati o comanda stabilizatoare u = Fx astfel ıncat A+BF sa fie stabila.

Problema 9.10. Un sistem stabil este stabilizabil? Exista sisteme sta-bilizabile care nu sunt controlabile? Daca da, exemplificati. Daca nu,argumentati.

Problema 9.11. Demonstrati ca stabilizabilitatea unei perechi (A,B) esteinvarianta la transformari de echivalenta, adica:(A,B) este stabilizabila, daca si numai daca exista T inversabila, astfel ıncat(TAT−1, TB) este stabilizabila.

Problema 9.12. Exista sisteme controlabile care nu sunt detectabile? Dacada, exemplificati, daca nu, justificati.


Problema 9.13. Pentru A =

[

0 10 0

]

, b =

[

01

]

gasiti fara a folosi

algoritmul de alocare fT astfel incat u(t) = fT x(t) sa aloce λ1,2 = −12 ±j

√3

2

Problema 9.14. 1. Precizati fara nici un calcul daca perechea

A =

0 1 10 0 −10 0 3

, B =

010

(9.7)

este controlabila.

2. Dar stabilizabila?

Problema 9.15. Cum intervine esential controlabilitatea ın procesul dealocare ?

9.3 Estimatori de stare. Estimator unitar.

Problema 9.16. 1. O pereche (A,B) alocabila este controlabila ?

2. Pentru sistemul

x = −ax + 1y = x

este nevoie de un estimator pentru

introducerea unei legi de comanda ?

Problema 9.17. Pentru sistemul x = −x + 1, y = x este nevoie de unestimator pentru introducerea unei legi de comanda? Argumentati.

9.4 Compensator Kalman

Problema 9.18. Se considera sistemul descris prin urmatoarea functie detransfer :

H(s) =s + 1

s3 + 2s2 − 1(9.8)

9.5. ESTIMATORI DE ORDIN REDUS 81

1. Sa se scrie o realizare minimala.

2. Sa se construiasca un compensator stabilizator de tip Kalman.

Problema 9.19. Se considera sistemul descris prin urmatoarea functie detransfer :

H(s) =1

s3 − 1(9.9)


2. Sa se construiasca un compensator stabilizator de tip Kalman.

Problema 9.20. Se da sistemul :

A =

[

0 11 0

]

b =

[

01

]

c =[

1 0]

(9.10)

1. Sa se construiasca pentru acest sistem un compensator stabilizator detip Kalman.

2. Explicati cum ati proceda daca c =[

−1 1]

.

9.5 Estimatori de ordin redus

9.6 Reglarea sistemelor. Proceduri de reglare la

marimi exogene de tip treapta

Problema 9.21. Determinati prin metode de stare un regulator pentru

marimi exogene de tip treapta pentru sistemul: H(s) =1

s3.

Problema 9.22. Indicati modificarile importante la reglarea unui sistemMIMO la referinta rampa fata de cazul unei referinte treapta.


Problema 9.23. Se considera sistemul (A, b, c), cu

A =

[

−1 20 3

]

, b =

[

−11

]

, c =[

1 1]

.

1. Sa se determine un estimator de stare.

2. Sa se determine un compensator stabilizator.

3. Sa se determine un regulator care asigura urmarirea unei referintetreapta.

Problema 9.24. Fie H(s) =s − a

s3 + 2s2 − s − 2, a ∈ R.

1. Scrieti o realizare minimala. Discutie dupa a.

2. Determinati un regulator, prin metode de stare, care urmareste referintar(t) = 1(t), pentru a = −2 si a = 0.

Problema 9.25. Construiti un regulator care urmareste referinta treaptapentru:

T (s) =

[

1s1

s+1

]

Problema 9.26. Pentru sistemul cu functia de transfer H(s) = 1s+1 construiti

prin metode de stare un regulator de ordinul unu pentru marimi exogene detip treapta. (Indicatie : inspectand H(s) rezulta ca nu este nevoie de esti-mator. De ce ?)

Problema 9.27. Se considera sistemul descris de H(s) = s+1s2+1 . Sa se

determine un regulator pentru marimi exogene de tip treapta.


H(s) =1

s + 3(9.11)

Se cere:

9.6. REGLAREA SISTEMELOR. PROCEDURI DE REGLARE LA MARIMI EXOGENE DE TIP TREAPT

1. Sa se scrie o realizare de stare.

2. Sa se construiasca un regulator(referinta treapta) care sa asigure Λaloc =−1,−1) si Λest = −2.

3. Sa se scrie functia de transfer a regulatorului cat si a sistemului rezul-tant.


H(s) =2

s2 − 1(9.12)

se cere :

1. Sa se proiecteze un regulator astfel ıncat Λaloc = −1,−1,−1 siΛest = −2,−3.

2. Sa se scrie regulatorul ın spatiul starilor ın mod explicit, specificandu-se marimile de intrare si cele de iesire.

3. Sa se scrie sistemul rezultant ın spatiul starilor ın mod explicit, speci-ficandu-se marimile de intrare si cele de iesire.

Capitolul 10

Sinteza avansata

85

86 CAPITOLUL 10. SINTEZA AVANSATA

Capitolul 11

Sisteme neliniare

Problema 11.1. Investigati stabilitatea sistemului:

x1 = x2

x2 = −x1 − x2 − (2x2 + x1)(1 − x22)

folosind functia Lyapunov candidat V (x) = 5x21 + 2x1x2 + 2x2

2.

Problema 11.2. Fie sistemul x = cos x −√

32 . Determinati punctele de

echilibru ale sistemului si analizati comportamentul calitativ al sistemuluiın vecinatatea acestuia.

Problema 11.3. Se da urmatoarea configuratie

unde f(0) = 0, 0 <f(e)

e< k, (∀)e 6= 0, T (s) =

s + 1

s + α, α > 0.

1. Ce domeniu de valori pentru k este garantat de criteriul de s tabilitatePopov?

2. Pentru α = 2 sa se construiasca u element neliniar f care satisface cri-teriul Popov si sa se precizeze daca liniarizatul sau asigura stabilitateasistemului ın bucla ınchisa.

Problema 11.4. Pentru P =

[

1 22 4

]

functia V (x) = xT Px(x ∈ R2) este

o functie Liapunov?

87

88 CAPITOLUL 11. SISTEME NELINIARE

Problema 11.5. Aratati ca originea este punct de echilibru asimptoticstabil pentru sistemul

x1 = −x1 + sinx3

x2 = −sinx3

x3 = −x1 + x2 − sinx3

Indicatie : utilizati drept candidat la functia Liapunov

V (x) =1

2x2

1 +1

2x2

2 + (1 − cos x3) (11.1)

Problema 11.6. Cum se determina sectorul maxim de stabilitate cu aju-torul criteriului Popov ?

Problema 11.7. 1. Pentru A =

[

−1 1−1 −1

]

ce fel de punct de echilibru

este originea?

2. Cu ajutorul functiei Liapunov xT Px studiati stabilitatea originei pen-tru sistemul x = Ax.

Problema 11.8. Ce fel de punct de echilibru este originea pentru sistemul

x1 = x2

x2 = −sinx1 − x2(11.2)

Determinati toate punctele de echilibru.

Problema 11.9. Gasiti toate punctele de echilibru si determinati naturaacestora pentru sistemul :

x1 = x2

x2 = −x1 +x3

1

6 − x2. (11.3)

89

Problema 11.10. Precizati exact prin ce punct se traseaza dreapta luiPopov ∆.

Problema 11.11. Gasiti toate punctele de echilibru si determinati naturaacestora pentru sistemul :

x1 = x2cosx1

x2 = sinx1(11.4)

Problema 11.12. Dandu-se H(s) = 1s+3 si sectorul k0 = 2 aplicati criteriul

lui Popov. Specificati care este k0max.

90 CAPITOLUL 11. SISTEME NELINIARE

Capitolul 12

Sisteme discrete

Problema 12.1. Se considera sistemul discret: H(z) =z

2z2 − 1.

1. Apreciati stabilitatea sistemului.

2. Scrieti o realizare standard controlabila.

3. Determinati evolutia libera pentru x0 =

[

01

]

.

Problema 12.2. Calculati discretizatul sistemului continuu dat de

A =

[

−1 01 −1

]

, B =

[

01

]

, C =[

1 −1]

cu pasul h = ln 2. Este

sistemul discret astfel obtinut stabil?

Problema 12.3. Se cere un regulator care regleaza la referinta treaptasistemul discret

P (z) =1

z − 0.5.

Problema 12.4. Fie G(s) =1

s(s + 2).

1. Sa se determine functia de transfer a discretizatului cu pasul T = 1.

91

92 CAPITOLUL 12. SISTEME DISCRETE

2. Sa se studieze daca exista o reactie constanta K dupa iesire care sta-bilizeaza sistemul discret obtinut la punctul anterior. In caz afirmativ,sa se precizeze domeniul de valori pentru K.

Problema 12.5. Discretizati sistemul H(s) =s + 3

s2 + 9, cu pasul T =

π

6.

Problema 12.6. Discretizati sistemul continuu:

x = Ax + Buy = Cx

cu:

A =

1 1 00 1 00 0 −2

, B =

−1−10

, C =[

1 2 1]

cu pasul T = ln 3. Este sistemul rezultat stabil ın sens discret? Dar contro-labil?

Problema 12.7. Se considera sistemul definit de urmatoarea ecuatie cudiferente:

y(n + 1) − y(n) = 2u(n + p) − u(n), p ∈ Z, fixat

Este sistemul liniar? Discutie dupa p.

Problema 12.8. Un sistem S este obtinut prin interconectarea ın serie aunui sistem S1 cu un sistem S2:

S1 : y1(n) = 2x1(n) + 4x1(n − 1),

S2 : y2(n) = x2(n − 2) +1

2x2(n − 3).

1. Determinati relatia intrare-iesire pentru sistemul S.

2. Se schimba aceasta dependenta daca am schimba ordinea conectarii:S2 urmat de S1?

93


h(n) =

αn, 0 ≤ n ≤ 60, ın rest

si intrarea x(n) =

1, 1 ≤ n ≤ 40, ın rest

. Se cere rerpezentarea grafica a lui

y(n).

Problema 12.10. Multe rezultate ın timp discret se pot obtine din rezul-tatele ın timp continuu, folosind trransformarea biliniara:

s =z − 1

z + 1; z =

1 + s

1 − s

care mapeaza semiplanul stang ın discul unitate si viceversa. Dati un astfelde exemplu.

Problema 12.11. 1. Scrieti raspunsul permanent al sistemului discretH(z) = 1

z+2 la intrarea u(k) = ejwk, k ≥ 0.

2. Scrieti polinomul caracteristic si precizati stabilitatea pentru urmatoa-rea bucla ın reactie negativa : unde H1(z) = 1

z+2 si H2(z) = z+2(z+0.4)2 .

3. Calculati raspunsul sistemului ın bucla ınchisa la intrare treapa .

Problema 12.12. Se considera sistemul discret H(z) = zz2+2 .


2. Calculati raspunsul sistemului la intrarea data de u(k) = k2.

Problema 12.13. Se da sistemul H(s) = 1s+2 . Sa se calculeze discretizatul

sistemului cu pasul h = π3 .


Problema 12.14. Se considera sistemul discret H(z) = z+az2+4

.

1. Este stabil ?

2. Calculati raspunsul sistemului la intrare treapta.

3. Scrieti explicit evolutia libera a sistemului pentru intrare rampa.

Problema 12.15. Se da sistemul H(s) = 1s+3

1. Sa se calculeze discretizatul cu pasul h = π6 .

2. Pentru Hd(z) mai sus determinat sa se construiasca prin metoda ecuatieidiofantice un compensator stabilizator strict propriu.

Problema 12.16. Daca un sistem continuu este stabil rezulta si discreti-zatul acestuia stabil ? Argumentati raspunsul.

Problema 12.17. Este sistemul discret zz2−2z+2

stabil ?

Problema 12.18. Calculati care este discretizatul sistemului H(s) = s+3s2+9

pentru pasul h = π6 .

Problema 12.19. Pentru sistemul H(z) = 1z

scrieti direct care este iesireay(k), k ≥ 0 corespunzatoare intrarii u(k) = 1, k ≥ 0.

Problema 12.20. Se considera sistemul discret H(z) = z+az2+4

.

1. Este stabil ?

2. Calculati raspunsul sistemului la intrare treapta, rspectiv rampa.

95

Problema 12.21. Demonstrati teorema valorii finale pentru semnale dis-crete :

limk→∞

ak = limz→1

(1 − z−1)a(z)

si deduceti principiul modelului intern pentru sisteme discrete.

Problema 12.22. Calculati care este discretizatul sistemului H(s) = s+3s2+9

pentru pasul h = π6 .

Problema 12.23. Se da sistemul H(s) = 1s+2 . Sa se calculeze discretizatul

sistemului cu pasul h = π3 .

Problema 12.24. Se considera sistemul discret H(z) = zz2+2

.



Problema 12.25. 1. Scrieti raspunsul permanent al sistemului discretH(z) = 1

z+2 la intrarea u(k) = ejωk, k ≥ 0.

2. Scrieti polinomul caracteristic si precizati stabilitatea conexiunii dinfigura de mai jos unde H1(z) = 1

z+2 si H2(z) = z+2(z+0.4)2

.

Problema 12.26. Fie sistemul H(s) = 1s+3 .

• a) Sa se calculeze discretizatul cu pasul h = π6 .

• b) Pentru Hd(z) mai sus determinat sa se construiasca un compensatorstabilizator strict propriu.


Problema 12.27. Precizati daca sistemul obtinut prin cuplare ın reactienegativa unitara a sistemului discret H(z) = 1

z2−1este stabil.

Problema 12.28. Daca un sistem continuu este stabil rezulta si discreti-zatul acestuia stabil ? Argumentati raspunsul.

Problema 12.29. Se considera sistemul discret H(z) = zz2+2

.



3. Scrieti explicit evolutia libera a sistemului.

Problema 12.30. Pentru sistemul

A =

[

0 10 0

]

B =

[

01

]

C =[

1 1]

(12.1)

calculati Ad, Bd, Cd cu pasul h = 1.

Capitolul 13

Probleme diverse

Problema 13.1. Se considera circuitul din figura de mai jos:

1. Sa se calculeze functia de transfer H(s) = i2(s)i(s) .

2. Pentru C = R = 1 si L = 12 sa se calculeze raspunsul y(t) = i2(t),

pentru i(t) = t − 2.

3. Sa se calculeze compensatorul propriu care aloca ın bucla ınchisa poliiın s = −2. Determinati eroarea stationara la intrare u(t) = t

Problema 13.2. Se considera sistemul descris de y − y = 3u − 3u cuconditiile initiale: u(0) = 1 si y(0) = y(0) = −1.

1. Sa se determine raspunsul sistemului la intrarea u(t) =

1, 0 < t < 50, ın rest

2. Sa se determine functia de transfer a sistemului precizandu-se dacaacesta este stabil.

3. Sa se proiecteze un regulator pentru referinta r(t) = 1(t) si perturbatiav(t) = t.

4. Specificati care este eroarea stationara a sistemului de reglare de lapunctul anterior ın absenta perturbatiei.

Problema 13.3. Se cosidera sistemul cu functia de transfer H(s) = 1+ss2 :

97

98 CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE

1. Sa se calculeze y(t) pentru u(t) = cos t;

2. Calculand polinomul caracteristic x0(s) pentru sistemul conectat ınbucla ınchisa (reactie negativa unitara) precizati daca sistemul obtinuteste stabil sau nu;

3. Sa se determine un regulator (pentru marimi exogene de tip treapta)care aloca polii ın s = −1;

4. Calculati functia de transfer ın circuit ınchis si evaluati ε(∞) pentrur(t) = 1;

5. Trasati locul Nyquist pentru H(s) = 1s2−s

.


y(t) =1

T1 + T2

∫ t+T2

t−T1

u(τ) dτ,

unde T1, T2 ≥ 0 si T1 + T2 6= 0.

1. Se cere functia de transfer a acestui sistem si precizarea domeniului dedefinitie.

2. Se cere raspunsul acestui sistem la impuls.

3. Sa se studieze daca exista o intrare astfel ıncat iesirea y(t) sa aibaexpresia: y(t) = t · 1(t). Daca exista sa se construiasca, ın caz contrar,argumentati. Se vor cauta intrari u(t) din clasa functiilor care admittransformata Laplace.

Problema 13.5. Se considera sistemul A =

[

−1 20 3

]

, b =

[

−11

]

, cT =

[1 1].

1. Calculati evolutia fortata pentru u(t) = t.

2. Deteminati un estimator de stare.

3. Construiti un compensator stabilizator.

99


λ0 0 01 λ0 00 1 λ0

, λ0 ∈ R fixat si b =

β1

0β3

.

1. Calculti evolutia libera a sistemului pentru xT = [1 0 1].

2. Scrieti conditii necesare si suficiente ın termenii β1, β3 pentru contro-labilitatea perechii (A, b).

Problema 13.7. Se da urmatorul sistem:

y(n) = u(n) − u(n − 1), n ∈ Z.

Se cere sa scrie programe MATLAB pentru urmatoarea cerinta: Sa se calcu-leze raspunsul la impuls al sistemului format prin ınserierea a doua sistemediferentiale ın doua moduri:

1. Sa se calculeze raspunsul celui de-al doilea sistem care primeste caintrare raspunsul primului sistem la impuls

2. Sa se calculeze convolutia raspunsului elementului diferential cu elınsusi.

Problema 13.8. Pentru un sistem dat H(s) sa se reprezinte grafic dependentasuprareglajului lui (s − z)H(z) ın functie de z ≥ 0. Sa se gaseasca, cu oprecizie buna, pulsatiile ω ≥ 0 pentru care hodograful lui H(s) intersecteazacercul unitate.

Problema 13.9. Sa se scrie programele MATLAB corespunzatoare urmatoarelorcerinte:

1. Sa se afiseze grafic hodograful sistemului e−j(π+φ)H(s) cu H(s) si φdate ca parametrii de intrare.

2. Sa setraseze grafic caracteristica magnitudine-faza a unui sistem datH(s).


Problema 13.10. Se considera ecuatia diferentiala:

y − 2y + f(y) = u

1. Scrieti (impuneti) conditii asupra lui f : R → R, astfel ıncat ecuatiadiferentiala sa defineasca un sistem liniar.

2. Daca f(y) = 2y, determinati functia pondere a sistemului definit deecuatia diferentiala.

3. Daca f(y) = y, calculati solutia ecuatiei pentru u(t) = sin t si y(0) =0, y(0) = 1.

Problema 13.11. Scrieti un program MATLAB care calculeaza raspunsultranzitoriu al unui sistem dat prin functia sa de transfer, la intrare treaptaunitara.

Problema 13.12. Scrieti un program MATLAB care decide daca loculNyquist al uneifunctii de transfer intersecteaza sau nu axa reala la stangasau la dreapta punctului critic.

Problema 13.13. Fie sistemul definit de A =

0 1 00 0 12 1 −2

, B =

001

, C =

[

1 2 0]

.

1. Este perechea (C, A) detectabila?

2. Explicati cum se construieste un estimator de stare pentru sistemul demai sus.

3. Sa se calculeze evolutia libera pentru x0 =[

1 0 1]T

4. Scrieti doua realizari minimale distincte. Ce relatie exista ıntre aces-tea?

5. Fara a folosi algoritmul de alocare, gasiti F astfel ıncatΛ(A + BF ) = −1,−2,−3.

101

6. Calculati al doilea parametru Markov al sistemului.

Problema 13.14. Sa se scrie programe MATLAB care satisfac urmatoarelecerinte:

1. Sa afiseze grafic raspunsul unui sistem H(s) la urmatorul semnal deintrare:

2. Fie H(s) =1

s2 + 2ζs + 1, |ζ| < 1. Sa se afiseze graficul suprareglajului

ın functie de ζ.

Problema 13.15. Se da urmatorul sistem la conditii initiale nule:

2d2y

dt2+ 4

dy

dt+ 8y = 8u

1. Calculati functia de transfer a sistemului.

2. Calculati raspunsul sistemului la intrare treapta.

3. Determinati factorul de amortizare, pulsatia naturaasi suprareglajul.

Problema 13.16. Se considera sistemul: G(s) =1

s4(s + p), p > 0

1. Trasati hodograful si stabiliti, pe baza acestuia, dacaa sistemul ın buclaınchisa este intern stabil.

2. Se poate stabiliza sistemul cu o reactie constanta, K ∈ R?

3. Trasati diagramele Bode ale sistemului.

Problema 13.17. Fie H(s) =

[

1s+1

2s+1

−1(s+1)(s+2)

1s+2

]

1. Se cer o realizare controlabila si una observabila.

2. Exista o transformare de coordonate ıntre cele doua realizari scrise lapunctul anterior? Daca da, gasiti-o. Daca nu, explicati de ce nu exista.


3. Calculti norma L2 a sistemului.

Problema 13.18. Demonstrati ca semnalele u1 si u2 sunt ın pozitiile indi-cate ın diagrama din Exemplul 1/Capitolul 5 (Capitolul 1/TS II).

Problema 13.19. Dati un exemplu numeric de sistem pe care sa aplicatiTeorema lui Bode.

Problema 13.20. Indicati un test numeric pentru a verifica daca o stareeste observabila.

Problema 13.21. Fie (A, b, c) realizarea minimala a unui sistem SISOH(s).

1. Aratati ca exista o unica matrice simetrica T , astfel ıncat: TAT =AT, cT = bT .

2. Poate exista un astfel de T neinversabil?

3. Aratati ca (A, b) este controlabila daca si numai daca sistemul

AX = XABX = 0

are solutia unica X = 0 ∈ Rn×n.

4. Demonstrati ca exista un compensator Kalman stabilizant, daca sinumai daca (A,B) este stabilizabila si (C,A) este detectabila.

Problema 13.22. Se da: H(s) =

[

s(s+1)2(s+2)2

s(s+2)2

−s(s+2)2

−s(s+2)2

]

1. Scrieti orealizare minimala.

2. Se cere o reactie dupa stare care aloca toti polii ın −1.

3. Se cer polii si zerourile lui H(s).

103


cu G(s) =1

(s + 1)3, f(e) neliniar, cu urmatoarele proprietati:

f(0) = 0, 0 <f(e)

e< 3, pentru e 6= 0.

1. Sa se traseze diagrama Nyquist pentru G(s).

2. Sa se calculeze marginile de faza si de amplitudine pentru G(s).

3. Sa se studieze stabilitatea sistemului ın bucla ınchisa (din figura).

Problema 13.24. 1. Presupunem ca (A, b), A ∈ Rn×n, b ∈ R

n estecontrolabila si fie T , astfel ıncat:

A = TAT−1 =

[

A11 A12

A21 A22

]

, b = Tb =

[

b1

0

]

, A22 ∈ R(n−1)×(n−1).

Demonstrati sau infirmati: ”Perechea (A22, A21) este controlabila.”

2. Fie T (s) un sistem propriu si fie TF (s) un sistem obtinut printr-oreactie dupa stare F asupra lui T (s). Aratati ca, pentru ω suficientde mare, diagramele Bode (ideale) ale celor doua sisteme pentru am-plitudine sunt paralele.

Problema 13.25. Fie sistemul (1) A =

0 1 0 1750 0 1 1110 0 −1 40 0 0 −17

, B =

0010

, C =

[

0 1 −1 −190]

.

1. Caclculati functtia de transfer a sistemului.

2. Scrieti o realizare minimala (justificati).

3. Calculati gradul McMillan si polii si zerourile de transmisie.

4. Studiati stabilitatea interna.


5. Aratati ca sistemul (2): A =

0 1 00 0 10 0 −1

, B =

001

, C =

[

0 1 −1]

este echivalent intrare-iesire cu sistemul (1). Pentrusistemul (2) calculati evolutia libera si fortata pentru u(t) = 1(t) si

x0 =

001

.

6. Precizati daca pentru sistemul (2) exista o comanda u(t) care aduce

starea initiala x0 =

11001000

ın origine la momentul t = 2. Dar la

momentul t = 0.001?

7. Pentru sistemul (1) scrieti un sistem echivalent intrare-iesire de ordinn ≥ 5.

8. Pentru sistemul (2) calculati un estimator de stare.

9. Pentru sistemul (2) construiti un compensator Kalman si calculatifunctia de transfer ın bucla ınchisa.


[

−1 02 −1 + α

]

. Pentru ce valori ale lui α

exista P = P T > 0, astfel ıncat AT P + PA < 0? Pentru α = 0 gasiti unastfel de P .

Problema 13.27. Fie sistemul A =

0 0 01 0 10 1 1

, b =

110

, cT =

[

0 0 1]

.

1. Determinati un estimator de stare.

2. Este perechea (A, b) stabilizabila?

3. Puteti gasi o lege de comada dupa stare astfel ıncat spectrul sistemuluiın bucla ınchisa sa fie −1,−1,−1? Daca da, gasiti-o, ın caz contrar,justificati.

105

4. Este perechea (A, b) stabilizata ın sens strict?

Problema 13.28. Fie sistemul

A =

99 100 0 0101 102 0 01 2 −1 03 4 0 1

, B =

0 00 0−1 −2−3 −4

, C =[

0 0 1 0]

.

1. Este (A,B,C) o realizare minimala?

2. Este sistemul stabil?

3. Scrieti o stare controlabila si una observabila.

4. Determinati matricea de tranfer.

5. Scrieti orealizare minnimala.

Problema 13.29. Fie SRA cu P (s) =1

s − 1si C(s) = K > 0.

1. Determinati K astfel ıncat εst < 0.05.

2. Presupunem ca r(t) = 0 si ‖d‖2 ≤ 2. Determinati K astfel ıncat‖y‖2 < 0.1.

3. Discretizati sistemul H(s) =1

s2 + 1, cu pasul T = π, apoi cu pasul

T =π

4.

4. Exista semnale (continuale) de energie finita pe [0,∞), care nu suntesential marginite pe [0,∞)? In caz afirmativ, exemplificati, ın caznegativ, argumentati.


[

−1 00 −3

]

. Stabiliti valoarea de adevar a

urmatoarei propozitii, justificand raspunsul:”Exista P = P T > 0, astfel ıncat AT P + PA + I2 = 0.”


Problema 13.31. Fie SRA cu P (s) =1

s − 1si C(s) =

bs + 1

s + a, a, b ∈ R.

1. Determinati a si b, astfel ıncat εst < 0.05, (r(t) = 1(t), d(t) = 0).

2. Presupunem ca r(t) = 0 si ‖d‖2 ≤ 2. Aratati cum se pot determina asi b astfel ca ‖y‖2 ≤ 0.

3. Discretizati sistemul H(s) =1

s2 + 1, T =

π

2, T =

π

3.

4. Norma L∞ a unui sistem stabil este ıntotdeauna mai mica decat normaL2 a acestuia?

Problema 13.32. Se considera sistemul ın bucla ınchisa:

1. Se da: G(s) =1

(s + 1)4. Folosind criteriul lui Nyquist gasiti valorile

lui K pentru care sistemul este internstabil.

2. Se da: G(s) =(s + 1)(s + 3)

(s + 2)(s + 4). Exista K ∈ R astfel ıncat raspunsul la

impuls sa aiba o componenta de forma

e−at cos(ω0t + φ), ω0 6= 0?

Problema 13.33. Se considera urmatorul sistem cu 2 grade de libertate:Precizati daca la urmarirea unei referinte se obtin performante superioareconfiguratiei clasice cu un grad de libertate.

Problema 13.34. Demonstrati sau infirmati: pentru un sistem cu intrareax si iesirea y:

1. sistemul y(t) = x(t) cos(t + 4) este cauzal;

2. sistemul y(t) = ex(t) este stabil ınsens BIBO;

3. sistemul y(t) = x(2t) este invariant ıntimp;

4. sistemul y(t) = 2x(n) + 3 este liniar.

107

Problema 13.35. Se considera sistemul din figura:

unde C(s) = K +Ki

ssi P (s) =

1

(s + 1)(s + 2)

1. Se cer K si Ki, pentru care sistemul ın bucla ınchisa este intern stabilsi sa se figureze aceasta regiune ın planul K,Ki.

2. Se cere raspunsul sistemului ınbucla ınchisa la treapta unitate ın urmatoarelesituatii:

(a) K = 10,Ki = 5;

(b) K = 1,Ki = 1;

(c) K = 1,Ki = 0

3. Sa se rerpezinte pe acelasi grafic raspunsurile de la punctul (b) si sase interpreteze rezultatele obtinute.

Problema 13.36. Se considera circuitul

1. Se cere functia de transfer de la v la vc atunci cand circuitul se aflainitial ın repaus.


3. Confirmati sau infirmati: ”Raspunsul permanent al sistemului la in-trare treapta nu depinde de R, L, C.”

Problema 13.37. Demonstrrati ca semnalul u8 se gaseste ın pozitia indi-cata ın diagrama din Exemplul 1/ Capitolul 5 (Capitolul 1/TSII).

Problema 13.38. Comparati conditiile de solvabilitate a problemei de re-glare la referintua treapta prin abordarea I/O (semestrul I) cu cele date demetoda pe spatiul starilor (semestrul II).

Problema 13.39. Fie un sistem (A, b, c), cu (A, b) controlabila, A inversa-bila si A − bk nilpotenta. Atunci singurul vector propriu al lui A − bk esteA−1b.


Problema 13.40. Pentru sistemul (A, b, c) se stie polinomul caracteristica(s) = det(sI −A) si matricea de observabilitate Q = I. Aratati ca aceastainformatie determina unic realizarea (A, b, c).

Problema 13.41. Demonstrati sau infirmati urmatoarele enunturi:

1. Compensatorul Kalman parametrtizeaza prin F si K toata clasa com-pensatoarelor stabilizatoare furnizata de parametrizarea lui Youla (se-mestrul I).

2. Excesul poli-zerouri nu este afectat printr-o reactie dupa stare.

3. Observabilitatea unei realizari minimale pentru un sistem oarecare esteafectata de reactia constanta dupa stare.

4. Observabilitatea unei realizari minimale pentru un sistem oarecare esteafectata de reactia constanta dupa iesire.

5. Norma L2 a unui sistem stabil este ıntotdeauna mai mare decat normaL∞.

Problema 13.42. Fie sistemul cu A =

10 1 0 00 10 0 00 0 1 20 0 3 4

, B =

99 9897 960 00 0

, C =

[

1 2 0 0]

.

1. Este (A,B) controlabila? Dar stabilizabila?

2. Determinati raspunsul liber pentru x0 =

1100

?

Avem limt→∞

yl(t) = 0? Dar daca x0 =

0011

? Explicati.

3. Determinati modurile neobservabile ale sistemului. Construiti un es-timator de stare de tip Kalman.

109

Problema 13.43. Fie sistemul

A =

[

0 1−1 1

]

, b =

[

01

]

, cT =[

α 1]

, α ∈ R.

1. Stabilizati sistemul.

2. Construiti un regulator care sa urmareasca o referinta treapta.

3. Fie sistemul discret

x(k + 1) = Ax(k) + bu(k)y(k) = cT x(k)

Determinati multimea

D = α ∈ R | (cT , A) detectabila.

Problema 13.44. Fie sistemul x = Aαx, Aα =

[

0 −1 − α1 −1

]

, α ∈ R.

Calculati supα∈R

|α| | Aα stabila

Problema 13.45. Fie sistemul H(s) =s − 3

(s − 1)(s − 2)

1. Calculati discretizatul cu pasul h = 1.

2. Trasati diagramele Bode ale sistemului.

3. Sa se stabilizeze sistemul folosind o reactie dupa stare si sa se calculezemarginea de faza/amplitudine obtinute.

Problema 13.46. Se da sistemul din figura:

1. Folosind criteriul de stabilitate Lyapunov sa se precizeze domeniul luiK pentru care sistemul ın bucla ınchisa este stabil.

2. Comparati rezultatul de la punctul (a) cu cel obtinut aplicand criteriulHurwitz.

3. Care dintre cele doua metode ste conceptual mai simpla?

Problema 13.47. Se considera circuitul:


1. Sa se determine H =y

u.

2. Pentru R1 = R2 = 1Ω, C = 1F , determinati y(t) la u(t) = t.

3. Pentru R1 = 1, R2 = 0.5, C = 1 construiti un regulator pentru r(t) =1(t).

4. Cu valorile de la punctul anterior analizati stabilitatea sistemului:folosind criteriul Nyquist. Discutie dupa K > 0.

5. Pentru ce valori ale lui K (de la punctul anterior) sistemul ın buclaınchisa are eroare stationara nula pentru r(t) = 1(t)? Comparati curezultatul obtinut la punctul (c).

Problema 13.48. Aratati ca sistemul de ordin I H(s) =1

Ts + 1, T > 0

poate fi considerat o aproximatie a unui sistem care raspunde cu o ıntarziereegala cu T . In ce conditii este aceasta aproximare bunna?

Problema 13.49. Explicati urmatoarele notiuni:

• regim stationar;

• regim tranzitoriu;

• regim liber;

• regim permanent;

• regim fortat.

Problema 13.50. Se da sistemul:

x1 = x2

x2 = −6x1 − 5x2

1. Sa se studieze stabilitatea originii folosind V (x) = 6x21 + x2

2.

2. Stiind ca B =

[

11

]

, C = [1 − 1], sa se determine discretizatul

sistemului.

111

3. Sa se traseze diagramele Bode pentru sistemul descris de (A,B,C).

4. Sa se calculeze margineile de amplitudine si de faza.

5. Sa se propuna o schema de compensare cu reactie dupa stare, care saımbunatateasca robustetea stabilitatii.

6. Se cere raspunsul fortat la treapta pentru sistemul original.

Problema 13.51. Fie G(s) =s + 1

s2 − 3s + 2

1. Gasiti cea mai mare valoare a lui K > 0, pentru care sistemul ın buclaınchisa este stabil.

2. Determinati functia pondere a sistemului G(s).

3. Trasati diagramele Bode ale lui G(s).

4. Determinati un regulator pentru urmarirea unei referinte treapta.

5. Scrieti o realizare minimala pentru G(s). Este aceasta minimala?

Problema 13.52. Se da sistemul cu :

A =

1 1 00 1 00 0 −1

, b =

011

, cT = [1 0 0].

1. Calculati raspunsul liber al sistemului pentru x0 =

111

.

2. Exista o comanda u care sa conduca sistemul din starea x0 =

000

ın starea x(T ) =

123

, T = 10−3?

3. Stabilizati sistemul.


4. Determinati modurile neobservabile ale sistemului.

5. Este necesar un observator de stare pentru a stabiliza sistemul

x = 2x + 3uy = x

?

Problema 13.53. Fie sistemul:

A =

0 1 00 0 1−1 1 1

, b =

001

, cT = [α 1 0].

1. Este sistemul stabilizabil? In caz afirmativ, gasiti fT astfel ıncat Λ(A+bfT ) = −1,−2,−3.

2. Determinati multimea O = α ∈ R | (cT , A) nu este observabila.

3. Pentru ce valori ale lui α ∈ O este perechea (cT , A) detectabila? Pentruun astfel de α construiti un estimator de stare.

4. Este realizarea (A, b, cT ) minimala? Discutie dupa α.

5. Pentru α = 1 calculati functia de transfer a sistemului.

6. Exista sisteme neobservabile instabile? Dar controlabile si instabile?

Problema 13.54. Fie H(s) =s − 1

s2 + 2s + 2.


2. Investigati stabilitatea ın bucla ınchisa a sistemului folosind criteriullui Nyquist.

3. Este sistemul dat de y(t) = t2 cauzal?

4. Raspunsul indicial al unui sistem este y(t) = 1−e−2t, t ≥ 0. Calculatifunctia pondere a sistemului.

Problema 13.55. Se considera sistemul continuu:

A =

−1 −2 −30 0 −10 0 0

, B =

011

, C = [1 1 1], D = 1.

113

1. Sa se precizeze daca exista u(t) astfel ıncat x(0) = 0 sa ajunga ın

x(t∗) = x∗, unde t∗ = 10−2, x0 =

000

, x∗ =

123

.

2. Daca existacomanda u(t) sa se scrie expresia explicita, daca nu existasa se precizeze multimea x∗ ∈ R

3, pentru care exista comanda de lapunctul anterior.

3. Sa se precizeze cum depinde rezolvarea de la punctul (a) de parametrult∗ ∈ R

∗+.

4. Sa se precizeze cum se modifica rezolvarea de la (a) daca aplicam ınprealabil o reactie dupa stare care stabilizeaza sistemul.

5. Sa se precizeze daca rezolvarea de la (a) depinde de x0.

6. Sa se discretizeze sistemul cu h = 1 si sa se calculeze raspunsul liber,respectiv fortat al sistemului discret la intrare treapta unitara.

7. Sa se precizeze daca sistemul este observabil si ın caz afirmativ sa sestabileasca daca exista o reactie dupa stare care face sistemul

(a) neobservabil;

(b) observabil.

Problema 13.56. Fie T (s) =

[

s−2(s−1)2

1

]

=

[

T1(s)T2(s)

]

.

1. Se cere o realizare minimala.

2. Sa se traseze diagrama Bode (amplitudine-pulsatie) pentruT1(s) + T2(s).

3. Sa se precizeze doua limitari fundamentale ale performantelor ce potfi obtinute ın bucla ınchisa pentru sistemul T1(s) + T2(s).

Problema 13.57. Se considera urmatoarea configuratie:


1. Sa se gaseasca clasa compensatoarelor stabilizatoare de forma

C(s) = K +Ki

s.

2. Pentru un sistem de ordinul II sa se stabileasca regiunea din planulcomplex ın care pot fi plasati polii astfel ıncat

tc ≤ 0, 6s, σ ≤ 10%, tt < 3s.

3. Aproximand din punct de vedere dinamic comportarea sistemului ınbucla ınchisa cu un sistem de ordin II, sa se precizeze daca exista uncompensator stabilizator de forma celui de la punctul 1. care satisfacecerintele de la punctul 2.

Problema 13.58. 1. Fie (A, b, cT ), A ∈ Rn×n, b, c ∈ R

n o realizare mi-nimala. Aratati ca A si bcT nu comuta daca si numai dacaA · bcT 6= bcT · A.

2. Daca (A, b) nu este controlabila, este posibil sa alegem ıntotdeauna c,astfel ıncat (cT , A) sa fie observabila? Dar daca (A, b) este controla-bila?

Problema 13.59. Se da sistemul continuu cu functia de transfer:

H(s) =1

s2 + 1

Se cere:

1. Sa se calculeze, pentru h = π3 , functia de transfer discreta Hd(z) .

2. Pentru Hd(z) determinat mai sus sa se construiasca, prin metodaecuatiei diofantice (αp + βq = χd), un compensator stabilizator strictpropriu care sa asigure polii Λ = 0, 0, 0, 0, 0.

3. Calculati raspunsul sistemului cu functia de transfer H(s) de mai suspentru intrarea u(t) = t.

4. Calculati raspunsul sistemului discretizat, de la punctul (a) , pentruintrarea discreta uk = k.

115

5. De ce nu se poate stabiliza (prin reactie negativa) H(s) de mai sus cuun compensator de forma Hc(s) = K,K ∈ R ?

Problema 13.60. Se da sistemul continuu cu functia de transfer :

H(s) =s + 1

s2 + 1

Se cere :

1. sa se construiasca, prin metoda ecuatiilor diofantice (αp + βq = χd)corespunzator adaptata, un regulator continuu strict propriu pentrucare χd = (s + 1)5.

2. Sa se calculeze H0(s) si Hε(s); sa se evalueze eroarea stationara εst

pentru r(s) = 1s2 .

16c 3. Sa se calculeze pentru h = π6 functia de transfer discretizata Hd(z) a

functiei de transfer H(s) de mai sus.

4. Sa se calculeze raspunsul lui Hd(z), obtinut la punctul (c) , pentru ointrare de tip treapta discreta.

5. Pentru sistemul de mai sus se poate gasi un regulator Hc(s) astfel ıncatfunctia de transfer pe calea directa sa fie 1

s+1? Argumentati atat ıncazul afirmativ cat si ın cel negativ.

Problema 13.61. Se considera circuitul din figura de mai jos :

1. Sa se calculeze functia de transfer H(s) = i2(s)i(s) .

2. Pentru C = R = 1 si L = 12 calculati raspunsul y(t)(= i2(t)) pentru

i(t) = t − 2.

3. Trasati locul de transfer pentru H(s) de la punctul (b). Utilizandcriteriul lui Nyquist precizati daca sistemul ın bucla ınchisa este stabil.

4. Sa se calculeze compensatorul propriu care aloca ın bucla ınchisa poliiın s = −2. Determinati eroarea stationara la intrare u(t) = t.


Problema 13.62. Se da sistemul cu H(s) = 1s2+1

.

1. Sa se determine raspunsul sistemului pentru u(t) = sint.

2. sa se stabilizeze sistemul cu un compensator strict propriu Hc(s).

Problema 13.63. 1. Injectand u(t) = δ(t) ın schema : sa se calculeze

limt→∞ y(t).

2. Sa se discretizeze sistemul H1(s) = 1s

cu pasul h = 1.

3. Evaluati prin criteriul lui Bode stabilitatea sistemului obtinut princonectarea ın reactie negativa unitara a sistemului H1(s) de mai sus.

Problema 13.64. 1. Precizati gradul de amortizare si pulsatia naturalapentru sistemul H(s) = 1

3s2+3s+3 .

2. Pentru H(s) = s2−1s3−3s2+3s−1

scrieti o factorizare coprima cu care secalculeaza compensatorul stabilizator.

3. Pentru sistemul H(s) = 1s

scrieti raspunsul permanent la intrare u(t) =1(t).

4. Pentru sistemul H(z) = 1z

scrieti direct care este iesirea y(k), k ≥ 0corespunzatoare intrarii u(k) = 1, k ≥ 0.

Problema 13.65. Se da sistemul H(s) = s+1s2−s−2

.

1. Se cere raspunsul la intrare de tip rampa, u(t) = t.


3. Sa se calculeze pentru pasul de discretizare h = ln3 functia de transferdiscretizata Hd(z) a functiei de transfer de mai sus.

117

Problema 13.66. Se considera circuitul :

1. Determinati functia de transfer H(s) = i2(s)i(s) .

2. Daca R = C = L = 1 calculati i2(t) pentru i(t) = t1(t).

3. Care este raspunsul permanent al sistemului la intrarea i(t) = cos2t ?Se vor considera valorile numerice de la punctul b.

Problema 13.67. 1. Se considera circuitul : Determinati functia de

transfer H(s) = Y (s)U(s) si functia pondere.

2. Care este raspunsul permanent si tranzitoriu al sistemului H(s) pentruu(t) = cost.

3. Construiti un regulator pentru marimi exogene de tip rampa(r(t)= t).

Problema 13.68. 1. Se considera sistemul avand functia pondere :

h(t) = e−tsint

Este stabil ?

2. Construiti un regulator pentru marimi exogene de tip treapta.

3. Care este discretizatul sistemului de mai sus, Hd(z), considerand h =ln2 ?

4. Determinati raspunsul permanent si raspunsul tranzitoriu al lui Hd(z)la intrare u(k) = 1(k)(treapta discreta).


Problema 13.69. Se considera sistemul descris I/E prin urmatoarea ecuatiediferentiala:

y − y = 3u − 3u

avand conditiile initiale u(0) = 1, y(0) = y(0) = −1.

1. Sa se determine raspunsul sistemului, y, la intrare

u(t) =

1 , 0 < t < 50 , ın rest

2. Sa se determine functia de transfer a sistemului precizandu-se dacaacesta este stabil.

3. Sa se proiecteze un regulator pentru referinta r(t) = 1(t) si perturbatiev(t) = t.

4. Specificati care este eroarea stationara a sistemului de reglare proiectatla punctul 3., pentru referinta r(t) = t ın lipsa perturbatiei. Argumentati.

Problema 13.70. Se considera sistemul avand urmatoarea functie de trans-fer :

H(s) =1 + s

s2 + 2s

1. Sa se determine raspunsul sistemului la intrarea u(t) = cos(t − 2).

2. Precizati daca sistemul ın circuit ınchis este stabil.

3. Precizati un compensator stabilizator care sa aloce polii sistemului ınbucla ınchisa ın χd 3 −1 + 2i.

Problema 13.71. Se considera urmatorul circuit electric : cu R1 = 1, R2 =

2, L = C = 1.

1. Sa se scrie functia de transfer a sistemului considerand drept intrarecurentul i si drept iesire curentul i2.

119

2. Sa se scrie care este raspunsul sistemului la intrare u(t)(= i(t)) =sin(t − 2).

3. Sa se determine un regulator pentru referinta ur(t) = 1(t) si pertur-batie v(t) = sint.

4. Specificati care este eroarea stationara a sistemului de reglare au-tomata proiectat la punctul anterior pentru u(t) = cost ın absentaperturbatiilor. Argumentati.

Problema 13.72. Se consideracircuitul din figura de mai jos: Se cere:

1. Determinati dependenta(ın domeniul timp) dintre i(t) si v1(t), respec-tiv i(t) si v2(t).

2. In conditii initiale nule calculati functia de transfer H(s) = V2(s)/V1(s).Explicitati pulsatia naturalaωn si factorul de amortizare ζ ın functiede R,L,C.

3. Este sistemul rezultat stabil? Dar dacase conecteazaın serie cu G(s) =

s2+1?

Problema 13.73. Se consideraurmatorul circuit electric: cu R1 = 1Ω, R2 =

2Ω, L1 = 1H,L2 = 2H,C = 3F .

1. Sase determine functiile de transfer H1(s) = I1(s)/I(s),H2(s) = I2(s)/I(s),H3(s) =I3(s)/I(s) si H4(s) = U2(s)/I(s).

2. Sase analieze stabilitatea sistemelor descrise de H1,H2,H3,H4.

3. Sase determine regimul permanent corespunzator celor patru sisteme(descriseprin functiile de transfer de la punctul a) ) la urmatoarele intrari:

(a) u(t) = tn, n = 1, 2

(b) u(t) = Asint


Problema 13.74. Se considerasistemul descris prin functia de transfer:

H(s) =1

s2 + 1(13.1)

1. Sase construiascaun compensator stabilizatorcare saasigure polii ın cir-cuit ınchis P = −1,−1,−2.

2. Sase specifice care este raspunsul sistemului H(s) la intrare rampau(t) = t?

3. Sase specifice care este regimul permanent al sistemului rezultant ınbucla ın chisa, Ho(s), la intrare

(a) u(t) = tn, n = 1, 2

(b) u(t) = a sin t + b cos t, a, b ∈ R

4. Existaun compensator de forma Hc(s) = k, k ∈ R care sa stabilizezesistemul H(s)? Justificati raspunsul.

Problema 13.75. Se considerasistemul:

H(s) =s − 2

s2 + 3(13.2)

1. Sase determine un regulator, Hc, pentru sistemul H care saasigureurmarirea unei referinte yr(t) = 1(t).

2. Sase determine care este raspunsul sistemului rezultant la intrare y(t) =sin t + e−2t cos 3t.

Problema 13.76. Raspundeti cu da sau cu nu la urmatoarele chestiuni siargumentati:

1. Poate fi un sistem controlabil instabil ?

2. Un sistem necontrolabil si neoservabil poate fi stabil ?

3. Poate fi adus printr-o reactie dupa stare x = x + u lax = −x + u ?

121


H(s) =s − a

s2 + s − 2(13.3)

1. Sa se scrie realizarea standard observabila si sa se precizeze dacaaceasta este stabila.

2. Pentru ce valori ale lui a realizarea este stabilizabila. Dar detectabila.

3. Pentru a = 0 se poate determina un regulator al sistemului de maisus pentru marimi exogene de tip treapta? Dar pentru a 6= 0? Pentrua = 3 construiti un regulator pentru marimi exogene de tip treapta.


A =

−1 0 12 0 01 a 0

B =

010

CT =[

1 1 0]

(13.4)

1. Pentru ce valori ale parametrului a sistemul este controlabil?

2. Pentru a = 0 poate fi stabilizat sistemul printr-o lege de comandau(t) = fTx(t)?

3. Pentru a = 0 este sistemul dat observabil ? Pentru ce valori ale lui aeste acesta neobservabil ?

4. Sa se calculeze functia de transfer ın cazul ın care a = 1.

5. Sa se aloce cu legea de comanda u(t) = fT x(t) (pentru a = 1) valorileproprii Λ = −1,−1,−1.


A =

0 1 00 0 10 −a 0

b =

001

cT =[

1 1 0]

(13.5)

1. Pentru ce valori ale parametrului a sistemul este observabil ?

2. Pentru a = 1 exista k ∈ R3 astfel incat A + kcT sa fie stabila ?


Indicatie : utilizati criteriul lui Hurwitz.

Problema 13.80. Se considera sistemul descris prin urmatoarea functie detransfer

H(s) =1

s2 − 1(13.6)


2. Pentru marimi exogene de tip treapta sa se construiasca prin metodede stare un regulator care sa asigure polii ın bucla ınchisa

Λ = Λaloc∪Λest unde Λaloc = −1,−1,−1 si Λest = −2,−2 (13.7)

Problema 13.81. Se considera sistemul :

x = Ax + Buy = Cx + Du

A =

[

−1 00 2

]

B =

[

b1

b2

]

C =[

c1 c2

]

D = 1

(13.8)

1. Poate fi un sistem controlabil instabil ? Dar unul stabilizabil ?

2. Sa se determine b1, b2 astfel ıncat sistemul sa fie controlabil.

3. Sa se determine c1, c2 astfel ıncat sistemul sa fie neobservabil.

4. Alegand b1 = c1 = 1, b2 = c2 = 0 sa se calculeze matricea de transfera sistemului.

5. Alegand b1 si b2 convenabil sa se determine legea de comanda dupastare u(t) = fT (t)x(t) care aloca ın bucla ınchisa Λ = −1,−2.

Problema 13.82. Se considera realizarea :

A =

−1 0 12 0 01 1 0

, b =

010

, cT =[

1 1 0]

(13.9)

1. Este sistemul controlabil ? Dar stabilizabil ?

123

2. Care este functia de transfer a sistemului ? Propuneti o alta realizare.

3. Gasiti o lege de comanda u(t) = Fx(t) astfel ıncat aceasta sa asigure(ınbucla ınchisa) polii Λ = −3,−3,−3.

Problema 13.83. Se da sistemul H(s) = 1s+3


2. Sa se calculeze discretizatul cu pasul h = π6 .

Problema 13.84. 1. Poate fi un sistem observabil instabil ?

2. Sistemul H(s) = 1s−1 poate fi stabilizat pe stare prin conexiune serie ?

Problema 13.85. 1. O pereche (A,B) stabilizabila poate fi necontrola-bila ?

2. Este matricea fundamentala a unui sistem continuu inversabila?

Problema 13.86. Se da sistemul

A =

−1 0 12 0 01 a 0

b =

010

c =[

1 1 0]

(13.10)

1. Pentru ce valori ale parametrului a sistemul este controlabil ?

2. Pentru a = 0 poate fi facut stabil sistemul cu reactia u = fT x ?Argumentati. Consideram ın continuare a = 1.

3. Sa se calculeze functia de transfer a sistemului.

4. Sa se aloce cu legea de comanda u = fTx valorile proprii Λ = −1,−1,−1.

5. Este controlabil sistemul ?


Problema 13.87. Se considera sistemul dat de :

H(s) =k

s(s + 1)(s + 2), k > 0 (13.11)

1. Este stabil ? Scrieti o realizare minimala.(Demonstrati ca este mini-mala).

2. Pentru k = 1 determinati un regulator pe stare pentru marimi exogenede tip treapta.

Problema 13.88. Se considera circuitul :

1. Determinati functia de transfer H(s) = i2(s)i(s) .

2. Daca R = C = L = 1 calculati i2(t) pentru i(t) = t1(t).

3. Care este raspunsul permanent al sistemului la intrarea i(t) = cos2t ?Se vor considera valorile numerice de la punctul b.

4. Pentru H(s)(de al punctul b.) scrieti o realizare de stare (A, b, c).

5. Cu (A, b, c) obtinute la punctul precedent, determinati o lege de co-manda de forma u(t) = fT x(t) care sa aloce ın bucla ınchisa poliiΛd = −2,−1.

Problema 13.89. Pentru A =

0 0 01 0 00 1 0

evaluati eAt.

Problema 13.90. 1. Fie A =

0 1 00 0 10 −α 0

, b =

001

, c =[

1 1 0]

.

Pentru ce valori ale lui α exista k ∈ R3 astfel ıncat A + kcT sa fie sta-

bila.

2. Determinati M = α ∈ R|(A,b)- controlabila si (cT,A)- observabila.

125

3. Determinati u = fT x care stabilizeaza sistemul.

Problema 13.91. Se considera realizarea :

A =

−1 0 12 0 01 1 0

b =

010

c =[

1 1 0]

(13.12)

1. Este sistemul controlabil ? Dar stabilizabil ?

2. Care este functia de transfer a sistemului ? Propuneti o alta realizare.

3. Gasiti o lege de comanda u(t) = Fx(t) astfel ıncat aceasta sa asigure(ınbucla ınchisa) polii −2,−2,−2.

Problema 13.92. Se da sistemul H(s) = 1s+2 .


2. Sa se calculeze discretizatul sistemului cu pasul h = π3 .

Problema 13.93. Se considera sistemul descris prin urmatoarea functie detransfer

H(s) =s + a

s2 − 4(13.13)

1. Scrieti realizarile standard controlabila si standard observabila.

2. Pentru ce valori ale lui a realizarea controlabila este minimala ?

3. Pentru o valoare a lui a determinata la punctul b. alocati polii siste-mului printr-o reactie dupa stare.

Problema 13.94. Gasiti o realizare minimala pentru urmatoarele functiide transfer ale unor sisteme continue sau discrete.

1. H(z) = 2z+12z2+3z+1 ;


2. G(s) = s+1s3+s2−s−1

;

3. T (s) = s+2s2+5s+6

;

4. G(s) = s2+2s+1s3+s2−s−1 .

Problema 13.95. Se da sistemul :

A =

0 1 00 0 10 −β 0

b =

001

c =[

1 1 0]

.

(13.14)

1. Pentru ce valori ale parametrului β este sistemul observabil ?

2. Pentru ce valori ale parametrului β realizarea de mai sus este minimala?

3. Daca β = 1 exista k astfel ıncat matricea A + kcT sa fie stabila ?

4. Pentru ce valori ale parametrului β perechea(cT , A) este detectabila? Determinati(fara folosirea procedurii de alocare) o lege de comandadupa stare, u = fT x, care sa aloce ın bucla ınchisa polii Λ = 0, 0, 0.Este posibil acest lucru pentru orice β real ? Argumentati.

Problema 13.96. Fie sistemul :

A =

−1 0 12 0 01 α 0

b =

0β0

c =[

1 1 0]

.

(13.15)

1. Determinati C = (α, β) ∈ R∈|(A,b)- controlabila. Pentru punctele

b)-d) se va considera β = 1.

2. Daca α = 0 poate fi stabilizat sistemul prin intermediul unei legi decomanda de forma u(t) = fTx(t) ?

3. Este sistemul dat observabil pentru α = 0 ? Pentru ce valori ale lui αeste acesta neobservabil ?

127

4. Calculati functia de transfer pentru α = 1. Propuneti o realizareminimala.

5. Determinati M = (α, β) ∈ R∈|(A,b,c)- realizare minimala.

Problema 13.97. Un sistem necontrolabil si neobservabil poate fi stabil ?

Problema 13.98. Se da A =

[

0 11 0

]

, B =

[

11

]

. Aplicati teorema de

descompunere controlabila si decideti daca perechea (A,B) este stabilizabila.

Problema 13.99. Se cosidera urmatoarea realizare ın spatiul starilor :

A =

−1 2 01 0 00 1 0

B =

100

C =[

1 −1 0]

(13.16)

1. Sa se scrie functia de transfer a sistemului.

2. Analizati daca sistemul este stabil atat intern cat si din punct de vedereintrare/iesire.

3. Care este dimensiunea realizarii minimale ? Scrieti o realizare mini-mala.

4. Scrieti raspunsul liber si fortat al sistemului la intrare rampa utilizandrealizarea minimala.

Problema 13.100. 1. Sa se modeleze prin intermediul unui sistem deecuatii diferentiale (ın spatiul starilor) urmatorul circuit : considerandu-

se drept o marime de stare sarcina q(t), marime de intrare tensiuneau(t) si marime de iesire curentul i(t).


2. Considerand R = C = L = 1, pentru realizarea obtinuta(la punctulanterior) calculati functia de transfer cat si raspunsul fortat la o intrareu(t) = t.

Problema 13.101. Se considera sistemul de ecuatii diferentiale :

0.5x = y − x + y − 3x + 2uy = −y + x + y + x

(13.17)

1. Transformati sistemul ıntr-un sistem dinamic liniar echivalent de forma:

z = Az + Bwv = Cz

(13.18) 95

unde w = u, v = x.

2. Este sistemul(95

13.18) stabil ?

3. Analizati controlabilitatea si observabilitatea sistemului(95

13.18).

Problema 13.102. Sa se scrie o realizare de stare pentru urmatoarele ma-trici de transfer ale unor sisteme continue sau discrete :

1. H(z) = 1z+1 ;

2. G(s) = s2

s2+1;

3. T (s) =[

1s

1s2

s(s+1)2

]

;

4. S(z) =[

1z+1

zz−1

]

;

5. T (s) =

[

ss+1s2

s2+2s+1

]

;

6. T (s) =

[

s(s−1)2

ss+1

s2

(s+1)23s−2s−1

7ss2−1

5s+2s+1

]

;

7. T (s) = s+1(s−1)(s+2)(s+3) .

Lista de figuri

129

384

Documents