Modelul matematic şi modelarea matematică

Modelele matematice au un rol deosebit în cercetările ştiinţifice moderne.

Materialul de construcţie al acestor modele îl constituie noţiunile şi simbolurile

matematice. Practic, fiecare noţiune matematică, fiecare obiect matematic, pornind de

la noţiunea de număr, este un model matematic. La construirea modelului matematic

se scot în evidenţă acele caracteristici ale obiectului modelării care, pe de o parte, sunt

informative, iar pe de altă parte, admit formalizarea matematică. Formalizarea

presupune posibilitatea de a pune în corespondenţă caracteristicilor originalului

noţiuni matematice adecvate: numere, funcţii, matrice etc. În această ipoteză,

legăturile depistate şi cele ipotetice dintre componentele obiectului în studiu pot fi

descrise cu ajutorul relaţiilor matematice: ecuaţii, inecuaţii, formule etc. În urma

formalizării matematice se obţine un model matematic.

Modelul matematic reprezintă un sistem de relaţii matematice, care descriu

proprietăţile esenţiale ale originalului. Deci soluţionarea unei probleme reale poate fi

redusă la soluţionarea unei probleme matematice.

Metoda modelării matematice a fenomenelor a luat naştere şi s-a dezvoltat n

fizică. De exemplu, cunoscuta formulă S=vt reprezintă modelul matematic al mişcării

rectilinii uniforme, unde S – distanţa parcursă de mobil, v – viteza lui, iar t – durata

mişcării. Legea atracţiei universale este un model al interacţiunii Soarelui cu

planetele.

Modelarea matematică este o activitate creativă, din care motiv este foarte

complicat de a o înscrie într-un cadru formalizat.

În formă generală ea poate fi reprezentată pe etape conform figurii 2.1.

1

Figura 2.1. Etapele principale ale modelării matematice

La rezolvarea problemelor concrete, etapele modelării se subdivizează în

blocuri mai mici în funcţie de formularea problemei şi scopurile modelării.

Problemă: Lovirea ţintei

Etapa I. Formularea problemei.

Descrierea problemei.

Un grup de copii a decis să dezbată balonul, prins între crengile copacului, prin

aruncarea pietricelelor. Baschetbalistul îşi doreşte să arunce mingea în coş, săritorul în

înălţime – să depăşească bara, artileristul vrea ca proiectilul lansat să nimerească în

ţintă.

Fiecare din aceste tendinţe se asociază cu ideea cercetării mişcării corpului sub

acţiunea forţei de greutate. Dacă se neglijează rezistenţa aerului, mişcările amintite

pot fi descrise prin formule cunoscute comune.

Scopul modelării. Modelarea mişcării corpului lansat sub unghiul faţă de

orizont cu viteza iniţială v0; selectarea unor astfel de valori iniţiale pentru mărimile

şi v0, încât corpul să nimerească în ţintă.

Formalizarea problemei. Pentru simplitate se presupune:

2

Etapa I. Formularea problemei

Etapa II. Elaborarea modelului

Etapa III. Experimentul computerizat

Etapa IV. Analiza rezultatului modelării

Rezultate satisfăcătoare Rezultate nesatisfăcătoare

corpul se consideră punct material, adică este fără dimensiuni;

suprafaţa Pământului se consideră plană;

se neglijează rezistenţa aerului şi rotaţia Pământului;

acceleraţia căderii libere (g) este constantă;

ţinta este imobilă (coordonatele xt şi yt sunt cunoscute);

corpul loveşte ţinta, dacă distanţa dpt dintre el şi centrul convenţional al

ţintei nu depăşeşte o valoare dată ∆, numită precizie a lovirii, ce ţine de

dimensiunile ţintei.

Fie sistemul de coordonate xOy, a cărui origine coincide cu punctul de

lansare, axa absciselor e orientată de-a lungul suprafeţei Pământului în direcţia

lansării corpului, iar axa ordonatelor este orientată vertical în sus.

Figura 2.2. Parametrii mişcării corpului

Modelul mişcării corpului este ilustrat în figura 2.2., unde v0x=v0cos şi

v0y=v0sin reprezintă respectiv componenta orizontală şi cea verticală a vitezei

iniţiale, iar dz este punctul de aterizare.

Etapa II. Elaborarea modelului

3

V0y

V0xO

(x,y)

(xt,yt)

x

y

V0

α

Modelul informaţional. Conform formalizării, coordonatele x şi y ale poziţiei

corpului în momentul de timp t, precum şi distanţa curentă dintre corp şi ţintă se

determină respectiv după formulele:

{x=v0 t cosα , ¿ {y=v0 t sin α−gt 2/2 , ¿¿¿¿(1)

care reprezintă modelul matematici al fenomenului studiat. Acest model ne

permite cercetarea comportamentului proiectilului în diverse situaţii.

Algoritmizarea. Pentru cercetarea ulterioară, va fi utilă ecuaţia traiectoriei

mişcării corpului

y=xtg α−x2 g

2v02cos2 α

,(2)

care se obţine din primele două ecuaţii ale sistemului (1). În acelaşi context,

substituind y=0 în (2) şi rezolvând ecuaţia pătrată obţinută, determinăm punctele de

intersecţie ale parabolei cu axa absciselor: x1=0 este punctul de start şi x2=

v02

gsin2 α

-

punctul de aterizare, adică dz=x2.

Modelul computerizat.

Program P2_1; {Cercetarea miscarii corpului}Var v0, alfa,r,dz,h,x,y,xt,yt,t,dt: real; Const g=9.81;Function f(x:real): real;Begin

f:=x*sin(r)/cos(r)-sqr(x)*g/(2*sqr(v0)*sqr(cos(r))); End;Function DistPT(x,y: real): real; {Distanta proiectul tinta}Begin

DistPT:=sqrt(sqr(x-xt)+sqr(y-yt));End;Function DistZbor: real; {Punctul de aterizare}Begin

DistZbor:=sqr(v0)/g*sin(2*r);End;

4

BeginWrite(‘v0=’); Readln(v0);

Write(‘Alfa in grade=’); Readln(alfa);

Write(‘xt=’); Readln(xt);

Write(‘yt=’); Readln(yt);

R:=Pi*alfa/180;

Dz:=DistZbor; Writeln(‘Distanta de zbor a proiectilului =’,dz:6:3);

Write(‘Pasul de cronometrizare dt=’); Readln(dt);

H:=v0*dt*cos(r); x:=0; t:=0; {h – pasul pe component orizontala}

Writeln(‘ t x y DistPT(x,y)’); Writeln;

While x<=dz do

Begin

Y:=f(x); Writeln(t:7:3, x:7:3,y:8:3, DistPT(x,y):8:3);

X:=x+h; t:=t+dt;

End;

End.

Etapa III. Experimentul computerizat.

Planul experimentării:

Testarea modelului computerizat (P_1_3_1) folosind un set de date

iniţiale, pentru care rezultatele sunt apriori determinate pe altă cale.

Experimentul 1. Cercetarea mişcării corpului, determinând valorile: a)

distanţa de zbor a corpului; b) timpul mişcării până la aterizare; c) înălţimea maximă

de zbor Hmax; d) timpul mişcării până la Hmax.

Experimentul 2.Variaţia mişcării corpului la schimbarea: a) vitezei

iniţiale (unghiul de lansare e constant);

Experimentul 3.Cercetarea situării curbei mişcării proiectilului faţă de

ţintă, în funcţie de viteza iniţială şi unghiul de lansare.

5

Experimentul 4.Selectarea valorilor iniţiale pentru a nimeri în ţintă;

precizia Δ de lovire a ţintei nu trebuie să depăşească jumătatea dimensiunii maximale

a ţintei.

Etapa IV. Analiza rezultatelor modelării

Conform schemei din Figura 2.1., procesul modelării este iterativ. În cazul

obţinerii rezultatelor nesatisfăcătoare la experimentare, se face revenirea la una din

etapele anterioare, care ar fi putut influenţa elaborarea modelului nereuşit. Aceasta ar

putea să se întâmple din cauza că s-a neglijat rezistenţa aerului.

Rezultatele şi concluziile, obţinute la experimentare, se prezintă sub formă de

raport într-un document textual.

6