A. Mrimi fiziceA.1. Mrimi fizice scalare A.2. Mrimi fizice vectorialeA.3. Adunarea (compunerea) vectorilorA.4. Scderea vectorilorA.5. Inmulirea unui vector cu un scalarA.6. Descompunerea vectorilor. Axe de coordonateA.7. Dependena funcional a marimilor fizice scalareA.8. Funcia putere i radicalA.9. Funcii trigonometriceA.10. Derivata unei funciiA.11. Funcia exponential i logaritmicA.12. Numere complexeA.13. Formula lui EulerA.14. Derivarea funciilor compuseA.15. Funcii vectorialeA.16. Aplicaii: a. Compunerea vectorilor perpendicularib. Compunerea vectorilor n cazul general

Mrimile fizice

sunt de doua feluri:Mrimi scalareMrimi vectoriale

A.1. Mrimi fizice scalare

sunt caracterizate de valoare (pozitiv sau negativ)

Exemple: timpul, masa, volumul, densitatea, presiunea, energia, puterea

A.2. Mrimi fizice vectorialesunt caracterizate de: valoare, direcie, sensExemple: viteza, acceleraia, foraVectorii se noteaz cu litere ngrosate: v sau cu litere obinuite cu sageat desupra: v Vectorul este reprezentat de o sageatSensul este spre dreapta sau stnga pe aceast direcieDirecia sa este determinat de dreapta suport

A.3. Adunarea (compunerea) vectorilor a + b = c

abcse face dupa regula paralelogramului:suma a doi vectori este egal cu diagonala paralelogramului avnd drept laturi cei doi vectori

Regula de adunare a triunghiuluiVectorii se pozitioneaz astfel ncat originea celuide-al doilea s coincid cu capatul primului.Suma vectorilor este egal cu vectorul care uneteoriginea primului cu capatul celui de-al al doilea

abc

A.4. Scderea vectorilora + b = c b = c - a

baceste operaia invers adunrii i se face astfel nctvectorul diferent c s uneasc capetele celor doi,cu sensul dinspre scztor (a) spre desczut (c)

A.5. Inmulirea unui vectorcu un scalar este operaia de multiplicare a vectorului de ori b = a ab

Dac 0 vectorul rezultant are acelai sensDac 0 vectorul rezultant are sens opus

Vectorii se pot descompune n plan dupa doua componente.Un caz important este descompunereadupa direciile unui sistem de axede coordonate perpendiculare (X,Y),numit i sistem cartezien:

a=ax+ay =axex+ayey

Aici am definit vectorii unitari:ex ey

drept vectorii pe directiile X si Ycare au marimea 1axexey

A.6. Descompunerea vectoriloreste operaia inversa compuneriiXYayRezulta ca un vector n planeste echivalent cu a defini opereche de marimi scalare (ax,ay)numite componentele vectoruluidupa axele X si Y

A.7. Dependenta funcionala mrimilor fizice scalare

Doua mrimi fizice scalare pot depinde una de cealalt,definind astfel o funcie de o variabil.Reprezentare grafic a funciei ntr-un sistem decoordonate perpendiculare este dat de mulimea punctelor reprezentate de curba: y=f(x)Funcia invers: x=f-1(y): este curba simetrica fa de prima bisectoare: y=xdeoarece rolul celor doua axe se schimb reciprocy=x

A.8. Funcia putere i radical Funia putere: y(x)=xn, unde n este numr natural datFuncia invers radical: y-1(x)=x1/nprima bisectoare

A.9. Funcii trigonometricedefinite n triunghiul dreptunghic90o90o-a (catet)b (catet)c (ipotenuza)cateta opus / ipotenuz

cateta alturat / ipotenuz

cateta opus/ catata alaturatSuma unghiurilor norice triunghi este 180o

Cercul trigonometriceste un cerc de raza 1 n careunghiurile se masoar n sens orar inversyxOAFunciile trigonometricesunt definite ca de obicei:sin = AP / OP = APcos = OA / OP = OADin teorema lui PitagoraAP2 + OA2 = OP2 = 1rezult: sin2 + cos2 = 1sin cos

Masurarea unghiurilor n radiani

Corespondenta cu gradele obinuite se face astfel: 360o 2R/R=2180o 90o /2Numrul iraional 3.141593 este egalcu raportul dintre lungimea cercului i diametru

a. Caz particular: =45osau nradiani:45o45oaaTeorema luiPitagora:c2=2a290oc

b. Caz particular: =30o si 60osau nradiani:60o60o60o30o30o60oabbbbFolosind teorema luiPitagora n triunghiul dreptunghic ABC exprimm latura a funcie de latura bIpotenuza ACeste diagonalcare se imparten doua segmenteegale: c=2bABCDCompletm triunghiul dreptunghic ABC cutriunghiul egal ACD formnd dreptunghiul ABCD

Ecuaii trigonometrice simple

cos sin /2+2n-/2+2n(2n+1)2nABCDA,CDB,DACB

A.10. Derivata unei funciise definete ca limita raportului dintre variaia funciei i variaia argumentuluix: este variaia argumentuluiy: este variaia funciei,dy: este variaia pe dreapttangenta in x.Observaie: x=dx

Concluzie:derivata n punctul M(x,y)este tangenta trigonometric a unghiului dintre dreapta tangenta la curba n punctul M i axa Oxdreapta secant MM1 la limitadevine dreapta tangent la M

Exemplu de utilizare a derivaeiCalculul punctelor de extrem (maxime, minime):

y=f(x)xunde derivata de ordinul doieste derivat derivatei:funciacretefunciascadederivata scade,deci derivatade ordinul doieste negativ:

Derivarea funciei putere

In cazul generalFuncia putere y(x)=xnse deriveaz dupa formula:Caz particular: pentru n=0obinem o constanta y(x)=CCaz particular:y(x)=x2Observaie: n poate fi oricenumr real pozitiv sau negativProdusul dintre o constanti o funcie se deriveaz astfel:Derivata sumei de funcii este:

A.11. Funcia exponentialsi logaritmic

Numarul irational e2.71828 se poate defini ca bazaa funciei exponentiale y(x)=ex, pentru care derivata coincide cu funcia:

sau cu alte cuvinte: rata de cretere a acestei mrimieste egal cu marimea nsi n fiecare punct x.

Funcia invers funciei exponeniale n baza e notata: y(x)=ln x (evident echivalenta cu: x=ey)se mai numete logaritm natural .Derivata funcei inverse se calculeaz astfel:

Funcia exponenial (albastru): f(x) = ex, e 2.71828Funcia invers logaritmic (rou): f-1(x) = loge(x) = ln(x)Argumentul funcieilogaritmice trebuiesa fie pozitiv !

Valori particulare

Operaii cu exponeniale si logaritmiSchimbarea bazei cu numarul real a>0Observaie: ultimele egaliti sunt valabile chiar daca numarul n are valori realeToate relaiile de mai sus sunt valabile n orice baz

Logaritmul zecimalLogaritmul n baza a=10 se numete logaritm zecimal,care se poate calcula folosind logaritmul natural:Urmatoarele relaii sunt utile:Invers, logaritmul naturalse poate calcula folosind logaritmul zecimal:

A.12. Numere complexeUn numar complex este definit asfel:Numarul i se numete unitate imaginar.Numarul complex z poate fi reprezentat de un vector cu doua componente (a,b)avnd mrimea (denumit i modul) ri formnd unghiul cu axa Xabzr

A.13. Formula lui EulerUn numr complex avnd modulul r=1poate fi reprezentat de relaia de mai jos,care poart numele de formula lui EulerFormula permite definirealogaritmului din numere negativeImportante sunt urmatoarelecazuri particulare:

Leonard Euler (1707-1783)Matematician de origine elveianacare a trit n St. Petersburg (Rusia)

Derivarea funciilor trigonometrice

poate fi facut folosind formula lui EulerIdentificand partea reala i cea imaginarobinem formulele de derivare ale funciilor sin i cossau egalitatea echivalenta:

Concluzie:Prin derivare faza numarului complex zi a funciilor trigonometrice crete cu /2+/2

Relaiile trigonometricepot fi deduse n mod simplufolosind formula lui EulerIdentificand parile reale i maginare din egalitate obinem:Cazul particular = conduce la relaiile (folosind sin2+cos2=1):

A.14. Derivarea funciilor compusef(x)=f(g(x))se face nmulind i mparind cu dg:Exemple

A.15. Funcii vectorialeVectorul dependent de timppoate fi considerat ca o funcie vectorialdependent de un scalar (timpul)Exemplu: vectorul de poziie r(t)este un vector cu originea fix, al crui capt se mic pe o curb numit traiectorie

r(t)

b. Funcia de dou variabilepoate fi considerat o funcie scalar, care depindede un vector bidimensional, definitde cele doua coordonate (x,y)

Reprezentare grafic a funciei de 2 variableeste suprafaa z=z(x,y)=f(x,y)Curba de nivel: mulimea punctelor (x,y) pentru care funcia are o valoare data

A.16. Aplicatiia. Compunerea vectorilor perpendiculari

F1 (cateta)F2 (cateta)Marimile celor doi vectori sunt respectiv: F1=3 si F2=4Conform teoremei lui Pitagora:Patratul ipotenuzei este egal cu suma patratelor catetelordeci marimea rezultantei este:F (ipotenuza)

b. Compunerea vectorilor n cazul generalse face completand triunghiul de adunare a vectorilor OAB cu triunghiul dreptunghic ABC, astfel nct s rezulte triunghiul dreptunghic OBC.Notm cu unghiul ntre vectorii F1 si F2

F1F2F

OCABF2cos F2sin Aplicnd teorema lui Pitagora n triunghiul OBC obinem: