2 logica predicatelor de ordinul i

5/26/2018 2 Logica Predicatelor de Ordinul I

1/45

1 Logica predicatelor de ordinul I

Prof. univ. dr. Dumitru

GHEORGHIU


2/45

Sintaxa LPOILimbajul LPOI:n operatori propoziionali: (negaie), & (conjuncie),

(disjuncie), (condiional), (bicondiional)n constante individuale: a, b, c, ...n variabile individuale: x, y, z, n simboluri de funcii: f, g, h,

n

simboluri de predicate: F, G, H, ...n cuantorul universal, ", citit pentru orice, i

cuantorul existenial, $, citit existn semne tehnice: (, ), [, ], {, }

2


3/45

Sintaxa LPOIn Fiecare simbol de funcie sau de predicat are o aritaten 1,

datde numrul de argumente care pot sapardupsimbolulrespectiv

n Dacn= 1, Feste unar, dacn= 2, Feste binar, dacn= 3, Feste ternar etc.

n Se numete termen:n orice constantindividual;n orice variabilindividual;n dacfeste un simbol de funcie de aritate ni t1, , tnsunt

termeni, ft1, , tneste un termen.n DacFeste un simbol de predicat de aritate ni t1, , tnsunt

termeni, Ft1, , tneste un atom.

3


4/45

Sintaxa LPOIn Se numete formula LPOI orice ir de simboluri construit

conform urmtoarelor reguli:

(R1) Orice atom este o formul(R2) DacAeste o formul, atunci Aeste o formul(R3) DacAi Bsunt formule, atunciA&Beste formul(R4) DacAeste o formuli xeste o variabilindividualcareapare nA, atunci "xAi $xAsunt formule

n Operatorii , , . Pentru oricare douformuleAi B:n ABprescurteaz(A& B)n ABprescurteaz(AB)n ABprescurteaz[(AB) & (BA)]

4


5/45

Sintaxa LPOIn Fab, Fxy, "xFxy, $xFxy, "x$yFxy, $x(Fx Gx) i "xFx

$xFxsunt formule ale LPOIn ntr-o formulde forma QxA, unde Qeste un cuantor,Ase

numete domeniul cuantorului Qn n $yFxy, domeniul cuantorului existenial este Fxyn n "x$yFxy, fiecare cuantor are ca domeniu Fxyn n "x($yFyFx), domeniul cuantorului universal este $yFy

Fxi domeniul cuantorului existenial este Fyn Daco variabil, x, apare n domeniul unei formule QxA, atunci

se spune cxeste legat de cuantorul Qn Variabilele care nu sunt legate se numesc libere

5


6/45

Sintaxa LPOIn O formuln care nu apare nici o variabilliberse numete

propoziie sau formulnchisn O formuln care apare cel puin o variabilliberse numete

formuldeschisn "x(Fx&Gxyz) i "x$y(FxGxyz) sunt formule deschise, iar Fa,

FaGabi "x$y$z(FxGxyz) sunt propoziiin Una i aceeai apariie a unei variabile individuale nu poate fi

legatde cuantori diferii, ca n "x(Fx $xFx)n Una i aceeai variabilnu poate saparatt liber, ct i

legatn aceeai formul, ca n $xFxGxyn Daceste nclcatcel puin una dintre aceste restricii, atunci

se spune cs-a comis eroarea coliziunii variabilelor

6


7/45

Sintaxa LPOIn Se numete redenumire operaia prin care ntr-o formulA, o

variabilxlegatde un cuantor Qse nlocuiete n tot domeniulcuantorului Qcu o variabily, cu condiiile:

1.ynu apare libernAi2. dacQapare n domeniul altui cuantor, Q , atunci ytrebuie sdifere de variabila legatde Q

n "x(Fx $xFx). Prin aplicarea redenumirii obinem:n "y(Fy $xFx) saun "x(Fx $yFy)

n $xFxGxy. Prin aplicarea redenumirii obinem:n $zFzGxy

7


8/45

Semantica LPOIn O structur Mpentru o propoziie A constdin:

n un univers non-vid Umpreuncun

o atribuire de funcii i relaii simbolurilor de predicate dinA

,conform aritii acestora in o atribuire de indivizi din Uconstantelor individuale din A

n O structur Mpentru o propoziie A este un tuplu (U, P1, , Pn,d1, , dm), unde:n Ueste universul structurii,n P1, , Pnsunt funcii i relaiile atribuite simbolurilor de

predicate F1, , Fndin A conform aritii acestora in d1, , dmsunt indivizii din Uatribuii constantelor c1, , cm

din A

8


9/45

Semantica LPOIn O structurMeste un model al unei propoziii A, dacA ia

valoarea 1n Mn "x$yFyx= pentru orice xexistyastfel cxstn relaia Fcu yn Fie structura (Z,


10/45

Semantica LPOIn O propoziie este realizabil, dacare cel puin un model i este

nerealizabil, dacnu are nici un modeln O propoziie A este valid, dacorice structureste un model al

propoziiei A. Cu alte cuvinte, A este valid, dacia valoarea 1indiferent de universul Uconsiderat i de interpretareasimbolurilor de predicate i a constantelor individuale din A

n "xFxFaeste valid: dacoriceindivid dintr-un univers Uareo proprietate F, atunci individul particular din Ula care se refer

constanta individualaare proprietatea Fn Fa $xFxeste valid: dacindividul particular din Ula care se

referconstanta individualaare proprietatea F, atunci existcel puin un individ n Ucare are proprietatea F

10


11/45

Semantica LPOIn O propoziie Beste consecinlogica

propoziieiA,AB, dacorice model al

propoziieiAeste model al propoziiei Bn Se spune cdoupropoziiiA, Bsunt

echivalente logic,AB, dacorice model alformuleiAeste model al formulei Bi reciproc

n Teorema nlocuirii este valabili pentrulogica predicatelor (cu propoziien loc deformul)

11


12/45

Unele reguli semantice ale LPOIn FieA(x) o formuln care xeste liber. Urmtoarele dou

echivalene sunt generalizri ale regulilor lui De Morgan:

(1) $xA(x) "xA(x) importarea (2) "xA(x) $xA(x) importarea

n 1. "x$y"z[(Fxy&Gyz) Hxyz]2. $x$y"z[(Fxy&Gyz) Hxyz] din 1, prin (2)

3. $x"y"z[(Fxy&Gyz) Hxyz] din 2, prin (1)4. $x"y$z[(Fxy&Gyz) Hxyz] din 3, prin (2)

12


13/45

Unele reguli semantice ale LPOIn FieA(x) i B(x) formule n care xeste liber:

(3)"xA(x) &"xB(x) "x(A(x) &B(x))

(4)$xA(x) $xB(x) $x(A(x) B(x))

n FieA(x) o formuln care xeste liberi Co formulcare nuconine variabila x:

(5)"xA(x) &CC&"xA(x) "x(A(x) &C)(6)"xA(x) CC "xA(x) "x(A(x) C)(7)$xA(x) &CC&$xA(x) $x(A(x) &C)(8)$xA(x) CC $xA(x) $x(A(x) C)

13


14/45

Unele reguli semantice ale LPOIn Un prefix este omogen, daceste alctuit din cuantori de

acelai feln Un prefix este eterogen, daceste alctuit din cuantori de tip

diferitn Orice prefix omogen este comutativ:

(9) "x"yA(x, y) "y"xA(x, y)(10) $x$yA(x, y) $y$xA(x, y)

n Un prefix eterogen nu este comutativ:"x$yIubete(x, y) = oricine iubete pe cineva$x"yIubete(x, y) = cineva iubete pe oricine

14


15/45

Forme normale prenexen O propoziie n formnormalprenex (FNP) este o propoziie

de forma Q1x1Q2x2QnxnA, unde fiecare Qieste un cuantor ($sau ") iAeste o formulcare nu conine cuantori

n Secvena Q1x1Q2x2Qnxnse numete prefix, iarAse numetematrice

n "x$y"z[(FxyGyz) Hxyz] este n FNPn "x$y"zeste prefixul propoziiei, [(FxyGyz) Hxyz] este

matricea propoziiein Algoritmul de aducere a unei propoziii la FNP folosete

echivalenele logice (1)(8)n FieAo propoziie iA FNP a propoziieiA.Aeste echivalent

logic cuA

15


16/45

Forme normale prenexen "xFx $xGx

1. Eliminm :"xFx $xGx

2. Importm :$xFx $xGx

3. Redenumim pe xdin prima parte a disjunciei ca y:$yFy $xGx

4. Aducem $yn fa, conform (8):$y(Fy $xGx)5. Aducem $xn fa, conform (8):

$y$x(FyGx) FNP

16


17/45

Forme normale prenexen "x$yFxy&$y"xFxy1. Redenumim pe xi pe yn prima parte a conjunciei, respectiv,ca zi w:

"z$wFzw&$y"xFxy2. Aducem "zn fa, conform (5):

"z($wFzw&$y"xFxy)3. Aducem $wn fa, conform (7):

"z$w(Fzw&$y"xFxy)4. Aducem $yn fa, conform (8):

"z$w$y(Fzw&"xFxy)5. Aducem "xn fa, conform (5):

"z$w$y"x (Fzw& Fxy) FNP

17


18/45

Forme normale Skolemn O propoziie n formnormalSkolem este o propoziie n FNP

din care cuantorii existeniali sunt eliminai din prefix, de ladreapta la stnga, prin urmtorul algoritm:

1. Dac$ nu este precedat de vreun cuantor universal, atunci$ se elimini n locul variabilei legate de $ se pune, peste totunde ea apare, o constantindividualcare nu apare npropoziie;2. Dac$ este precedat de ncuantori universali, atunci $ se

elimini n locul variabilei legate de $ se pune, peste tot undeea apare, o funcie de nargumente care nu apare npropoziie, unde cele nargumente sunt, n ordine, variabilelelegate de cei ncuantori universali.

18


19/45

Forme normale Skolemn $x"y"z(Fxy&Gxz). Prin skolemizare obinem

"y"z(Fay&Gaz)n "x"y$z(Fxy&Gxz). Prin skolemizare obinem

"x"y(Fxy& Gxf(x,y))n FieAo propoziie iA FNS a propoziieiA.Aeste

nerealizabilddacA este nerealizabil

n

Propoziiile aduse la FNS pot fi scrise fr", ntructpresupunem corice variabileste cuantificatuniversal

n Fxy& Gxf(x,y)

19


20/45

Forme clauzalen Pentru a aplica metoda rezoluiei n LPOI, propoziiile se aduc la

forma clauzal (FC) prin urmtorii pai:

1. Se elimini , nlocuind BCcu (BC) & (CB) i BCcu BC2. Se aduc pe termeni, nlocuind (B &C) cu B C,(BC)cu B& C, $xA(x) cu "xA(x) i "xA(x) $xA(x)3. Se elimin, nlocuind Bcu B

4. Se standardizeazvariabilele prin redenumire, astfel nctfiecare cuantor slege propria sa variabil. De exemplu, $yFydevine $zFz, dacyapare deja n domeniul altui cuantor5. Se aduce propoziia la FNP

20


21/45

Forme clauzale6. Se elimincuantorii existeniali din prefix prin skolemizare7. Se scrie propoziia frcuantori universali8. Se aduce propoziia la FNC, folosind algoritmul de normalizaredin LPCn Fiecare pas pstreazechivalena logic, cu excepia pasului 6

(skolemizarea), care pstreaznumai realizabilitatean "x{[Fx"y(FyFxy)] & "y(GxyFy)}

1. Eliminm :"x{[Fx "y(FyFxy)] & "y(GxyFy)}2. Importm :"x{[Fx "y(FyFxy)] & $y(GxyFy)}

21


22/45

Forme clauzale3. De Morgan pentru :"x{[Fx "y(FyFxy)] & $y(Gxy& Fy)}4. Eliminm :"x{[Fx "y(FyFxy)] & $y(Gxy& Fy)}5. Standardizm variabilele:"x{[Fx "y(FyFxy)] & $z(Gxz& Fz)}6. Aducem formula la FNP:

"x"y$z[(Fx FyFxy) & Gxz& Fz]7. Eliminm $zi scriem propoziia frcuantorii universali:(Fx FyFxy) & Gxf(x, y) & Ff(x, y) FC

22


23/45

Metoda rezoluiei n LPOIn Un literal este un atom sau negaia unui atomn Se numesc literali complementari doi literali care nu diferntre

ei dect prin aceea cunul este i cellalt nu este precedat de

negaien Fxyi Fxy, Gxf(y) i Gxf(y) sunt perechi de literali

complementarin Rezolventul n Fxyal clauzelor {Fxy, Gz} i {Fxy, Hw} este

clauza {Gz,Hw}n Se numete clauza vid, , mulimea vidde literali. Pentru

orice atom x, poate fi obinutnumai ca rezolvent al clauzelor{x}i {x}

n Rezolventul n Fxyal clauzelor {Fxy} i {Fxy} este

23


24/45

Metoda rezoluiei n LPOIn Pentru a obine literali complementari n clauze la

care vrem saplicm rezoluia se recurge la unificare

n

Unificarea este o operaie de substituire uniformavariabilelor n doi literali, astfel nct sse obinliterali complementari

n O variabilxpoate fi substituitcu un termen t, x/ t,numai dacxnu apare n t

n Substituia poate fi vid, n sensul cse poatesubstitui o variabilcu ea nsi i dacapar numaiconstante, atunci nu se substituie, de fapt, nimic

24


25/45

Metoda rezoluiei n LPOIn Fie clauzele unitare {Px} i {Pf(x)}. Pentru a aplica rezoluia,

procedm dupcum urmeaz:

n

Redenumim variabila xdin Pf(x) ca yi obinem {Pf(y)}n Unificm atomii Pxi Pf(y) prin x/ f(y) i obinem Pf(y),

care este complementarul lui Pf(y), unde substituia estevid

n Rezolventul n Pf(y) al clauzelor {Pf(y)} i {Pf(y)} este

Sobservm c, dacnu am fi redenumit variabila x, nu am fiputut efectua unificarea, deoarece Pxi Pf(x) nu pot fiunificate

25


26/45

Metoda rezoluiei n LPOIn n anumite cazuri, unificarea trebuie sfie combinatcu o alt

operaie, numitfactorizaren Dacdoi sau mai muli literali (cu acelai semn) dintr-o clauz

pot fi unificai, atunci clauza astfel obinut, din care sunteliminai literalii-duplicat, se numete factor al clauzei iniiale

n Pentru a obine prin rezoluie {Faf(a)} din {Fxa, Fxy, Fyx}i {Fzf(z), Fza}, procedm dupcum urmeaz:n Factorizm {Fxa, Fxy, Fyx} prin x/a, y/ai obinem

{Faa, Faa, Faa} , care se reduce la factorul {Faa}n Unificm Faai Fzaprin z/ai obinem {Faf(a), Faa}n Rezolventul n Faaal clauzelor {Faa} i {Faf(a), Faa} este

{Faf(a)}

26


27/45

Metoda rezoluiei n LPOIn Pentru a stabili daco propoziieAeste sau nu valid:

1. Negm propoziiaA(Aeste validddac Aestenerealizabil)2.Aducem Ala FC, considernd apoi clauzele ca mulimi deliterali i ntreaga formulca o mulime de clauze3. Standardizm din nou variabilele prin redenumire, astfelnct fiecare clauzsconinnume de variabile care nu aparn nici o altclauz

4. Efectum rezoluii, precedate eventual de unificri ifactorizri5. Dacobinem , atunci Aeste nerealizabil, deciAestevalid

27


28/45

Metoda rezoluiei n LPOIn Sse arate c"x$y(Fyx Fyy) este valid

1. Negm propoziia:"x$y(Fyx Fyy)2. Eliminm :"x$y[(Fyx Fyy) & (FyyFyx)3. Eliminm :"x$y[(Fyx Fyy) & (FyyFyx)

4. Eliminm :"x$y[(Fyx Fyy) & (FyyFyx)5. Importm :$x"y[(Fyx Fyy) & (FyyFyx)

28


29/45

Metoda rezoluiei n LPOI6. Eliminm :$x"y[(Fyx Fyy) & (FyyFyx)]7. Eliminm $xprin skolemizare i scriem formula fr"y:(Fya Fyy) & (FyyFya) FC8. Avem urmtoarele clauze:{Fya, Fyy}, {Fzz,Fza}9. Factorizm prima clauzprin y/ai a doua clauzprin z/a:

{Faa}, {Faa}10. Rezolventul n Faaal acestor douclauze este

Ce obineam dacnu am fi aplicat factorizarea?

29


30/45

Metoda rezoluiei n LPOIn Pentru a decide dac{A1, ,An} B:

n formm conjunciaA1 &&An& Bn aducem aceastconjuncie la FNC in aplicm metoda rezoluiei asupraA1 &&An& B

n Dacobinem , atunci {A1, ,An} Bn Sse deciddac"x(FxGx) "xFx "xGx

1. "x(FxGx) & ("xFx"xGx)

2. Eliminm :"x(FxGx) &("xFx"xGx)3. De Morgan pentru i eliminarea :"x(FxGx) &"xFx&"xGx

30


31/45

Metoda rezoluiei n LPOI4. Importm :"x(FxGx) &"xFx&$xGx5. Standardizm variabilele prin redenumire:"x(FxGx) &"yFy&$zGz6. Aducem propoziia la FNP:"x"y $z[(FxGx) &Fy& Gz]7. Eliminm $zi scriem propoziia frcuantorii universali:

(FxGx) &Fy& Gf(x, y) FC8. {Fx,Gx}, {Fy}, {Gf(x, y)}9. Redenumim n {Gf(x, y)} pe xca zi pe yca w:{Fx,Gx}, {Fy}, {Gf(z, w)}

31


32/45

Metoda rezoluiei n LPOI{Fx,Gx}, {Fy}, {Gf(z, w)}

10. Unificm literalii Fxi Fyprin y/x:

{Fx,Gx}, {Fx}11. Rezolventul n Fxal clauzelor {Fx,Gx} i {Fx} este {Gx}12. Unificm literalii Gf(z, w)i Gxprin x/f(z, w):{Gf(z, w)}, {Gf(z, w)}13. Rezolventul n Gf(z, w) al clauzelor {Gf(z, w)}, {Gf(z, w)}

este ntruct am obinut , "x(FxGx) "xFx "xGx

32


33/45

Probleme ale formalizrii

33

Propoziiacategoric

Forma logic Formula

Toi Fsunt G Pentru orice x, dacxeste Fatunci xeste G

"x(FxGx)

Nici un Fnu este G Pentru orice x, dacxeste F, atunci xnu

este G

"x(Fx Gx)

Unii Fsunt G Existcel puin un x

astfel nct xeste Fixeste G

$x(Fx& Gx)

Unii Fnu sunt G Existcel puin un xastfel nct xeste Fi

xnu este G

$x(Fx& Gx)


34/45

Probleme ale formalizriin Orice informatician priceput este specialist apreciat

1. Fx= xeste informatician Hx= xeste specialist

Gx= xeste priceput Ix= x este apreciat2. Pentru orice x, dacFxi Gx, atunci Hxi Ix3. "x[(Fx& Gx) (Hx& Ix)]

n Tot ce-i bun este ilegal, imoral sau ngra

1. Fx= xeste bun Hx= xilegalGx= xeste imoral Ix= xngra

2. Pentru orice x, dacFx, atunci Gxsau HxsauIx3. "x[Fx (GxHxIx)]

34


35/45

Probleme ale formalizriin Deputaii i senatorii primesc indemnizaie

1. Fx= xeste deputat Hxy= xprimete y

Gx= xeste senator Iy= y este indemnizaie2. Pentru orice x, dacFxsauGx, atunci existyastfel nct Iyi Hxy3. "x[(FxGx) $y(Iy& Hxy)

Dacam fi pus Fx& Gxn loc de FxGx, am fi obinut"x[(Fx&Gx) $y(Iy&Hxy),

ceea ce ar fi nsemnat c oricine este att deputat, ct isenator (n acelai timp) primete indemnizaie

35


36/45

Probleme ale formalizriin Orice guvern adopthotrri i ordonane

1. Fx= xeste guvern Hy= yeste hotrre

Gxy= xadopty Iy= y este ordonan2. Pentru orice xexistyastfel nct dacFxi (Hysau Iy),atunci Gxy3. "x$y{[Fx& (HyIy)] Gxy}

Dacam fi pus "yn loc de $y, am fi obinut"x"y{[Fx& (HyIy)] Gxy},

ceea ce ar fi nsemnat corice guvern adopttoate hotrrilei ordonanele din univers.

36


37/45

Analiza bazelor de date n LPOIn O bazde date (sau bazde cunotine) este o

colecie de fapte i reguli

n

Un fapt enuno informaie care este necondiionatadevratdespre o situaie de interesn O regul enuno informaie care este condiionat

adevratdespre o situaie de interesn Bazele de date pot fi utilizate punndntrebri despre

informaiile pe care le conin

37


38/45

Analiza bazelor de date n LPOIn BD1: 1. Anca este mama Ioanei fapt

2. Anca este n via fapt3. Orice mam este printe regul4. Orice printe n via este mai

n vrst dect progenitura sa regul

n BD1n LPOI:1. Mam(Anca,Ioana)2. n via(Anca)3. "x"y(Mam(x,y) Printe(x,y))4. "x"y((Printe(x,y) & n via(x)) n

vrst(x,y))

38


39/45

Analiza bazelor de date n LPOIn ntrebare: Anca este mai n vrst dect Ioana?

n Avem de demonstrat:n vrst(Anca,Ioana) el

n Aducem la FC:1. {Mam(Anca,Ioana)}2. {n via(Anca)}3. {Mam(x,y),Printe(x,y)}4. {Printe(z,w),n via(z)),n vrst(z,w)}5. Negaia elului: {n vrst(Anca,Ioana)}

39


40/45

Analiza bazelor de date n LPOI1. Unificm literalii

Mam(Anca,Ioana), Mam(x,y), Printe(x,y)prin x/Ancai y/Ioana:

{Mam(Anca,Ioana)}, {Mam(Anca,Ioana), Printe(Anca,Ioana)}

2. Rezolventul n Mam(Anca,Ioana) din clauzele obinute n 1 este{Printe(Anca,Ioana)}

3. Unificm literaliiPrinte(Anca,Ioana), Printe(z,w), n via(z),n vrst(z,w)

prin z/Ancai w/Ioana:{Printe(Anca,Ioana)}, {Printe(Anca,Ioana), nvia(Anca), n vrst(Anca,Ioana)}

40


41/45

Analiza bazelor de date n LPOI{Printe(Anca,Ioana)}, {Printe(Anca,Ioana), nvia(Anca), n vrst(Anca,Ioana)}

4. Rezolventul n Printe(Anca,Ioana) din clauzele obinute n 3 este{n via(Anca),n vrst(Anca,Ioana)}

5. Rezolventul n n via(Anca) din {n via(Anca)}i clauzele obinuten 4 este

{n vrst(Anca,Ioana)}

6. Rezolventul nn v

rst(Anca,Ioana) din negaia elului, {

nvrst(Anca,Ioana)}i clauza obinutn 5 este

ntruct am obinut , din BD1 rezultcAnca este mai n vrstca Ioana

41


42/45

Analiza bazelor de date n LPOIn ntrebare: Fa de cine este Anca mai n vrst?

n Avem de demonstrat:$xn vrst(Anca,x) el

n Negaia elului: $xn vrst(Anca,x)

n FC:1. {Mam(Anca,Ioana)}2. {n via(Anca)}3. {Mam(x,y),Printe(x,y)}4. {Printe(z,w),n via(z)),n vrst(z,w)}5. Negaia elului: {n vrst(Anca,u)}

42


43/45

Analiza bazelor de date n LPOIn n pasul 5 de mai sus am obinut


n Unificm literaliin vrst(Anca,Ioana), n vrst(Anca,u)

prin u/Ioana:

{n vrst(Anca,Ioana)}, {n vrst(Anca,Ioana)}

Rezolventul n n vrst(Anca,Ioana) din aceste dou

clauze este n ntruct demonstrarea elului a cerut u/Ioana, rspunsul la

ntrebarea puseste Ioana

43


44/45

Analiza bazelor de date n LPOIn ntrebare: Cine este mai n vrst fa de cine?

n Avem de demonstrat:$x$yn vrst(x,y) el

n Negaia elului: $x$yn vrst(x,y)

n FC:1. {Mam(Anca,Ioana)}2. {n via(Anca)}3. {Mam(x,y),Printe(x,y)}4. {Printe(z,w),n via(z)),n vrst(z,w)}5. Negaia elului: {n vrst(u,v)}

44


45/45

Analiza bazelor de date n LPOIn n pasul 5 de mai sus am obinut


n Unificm literaliin vrst(Anca,Ioana), n vrst(u,v)

prin u/Anca, v/Ioana:

{n vrst(Anca,Ioana)}, {n vrst(Anca,Ioana)}

Rezolventul n n vrst(Anca,Ioana) din aceste dou

clauze este n ntruct demonstrarea elului a cerut u/Anca, v/Ioana,

rspunsul la ntrebarea puseste Anca este mai nvrst dect Ioana

45

2 logica predicatelor de ordinul i

Documents