1889 - mirescu, d. - curs elementar de geometrie practic - pentru usul claselor ncepetore de...

7/25/2019 1889 - Mirescu, D. - Curs elementar de geometrie practic - Pentru usul claselor ncepetore de ambe-sexe.pdf

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M S C ' E L E M E N T A R C

P R

G 1 E O V E T R I E f l I A C T I C A

C U M C I D T : P R I : N . 0 M , D E R A T I O N A M E N T O

y

C O P E R E N E E

M V O M A R E N U M R R O D E P R O B L E M E G R A F I C E

N U M E R I C E , R . E S O L V A T E

P E N T R U U S U L O C L A S E L O I N C E P E T O R E D E A M B E - S E X E

D E

D . M I R E S C I J

P r o l e s P i e d e m a t h e m a t i c e l a g y m n a s i u l a L a z a r

I n t e n u i l a b o r .

V i r g .

A c e s t a l u c r a r e e s t e

I n s t r u c t i u n i i

a p r o b a t a , c a c a r t e d i d a c t i c s , p r i n ; d e c i s i u n e a o n o r .

n i s t e r i f t a l i t

p u b l i c N r . 1 9 8 0 , p u b l i c a t a I n , M o n i t o r u l i i O l i -

c i a l t , d i n 2 0 F e b r u a r i e 1 8 8 5 .

E d i f i n n e a V a

B U C U R E S C i

T I P O O R A F I A A C A D E M I E I R O M A N E ( L A B O R A I O R L I R O M A N I

4 2 .

S T R A D A C O L T E I ,

4 2 .

1 8 8 9

P r e t u l a 1 J e l l i 5 0 b a n i .

4

1

S

' "

f r

F I

i g o e i , 4 , -

.

.

4 1 "

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C 1 1 , 1 1 8 1 7 1 E L D I E N T A R i l

D E

G E O N E T R I E

P R A C T I C A

C U M i d D E P R I N D E R I D E R A T I O N A I 1 E N T t

C O P E I N p E N D C L N U M A R E N U N E R O D E P R O B L } . M E G R A F 1 0 E

N U m E R I C E R E s O L v A T E

H M I L s L l e C L I S E L O R f l I M M U R E D E A I I B E - S E X E

D E

D . M I R E S C U

P r o l e a m i l d e m a t h e m a t i c e l a g y m n a s i u M L a z a r

I n t e n u i l a b o r

V i r g .

A c e s t A l u c r a r e e s t e a p r o b s t a , c a c a r t e d i d a c t i e d , p r i n d e c i s i u n e a o n o r . M i -

n i s t e r t i a i d I n s t r u c t i u n e l p u b l i c e N r . 1 9 8 0 , p u b l i c a t a i n M o n i t o r i a b l O l i -

e i a l t i ` d i n 2 0 F o b r u a r i e 1 8 8 5 .

E d i t i u n e a V - a

B U C U R E S C I

T I P O G R A F I A A C A D E M I E 1 R O M A M E ( L A L O R A T O R A R O M A N I )

4 2 .

S T R A D A C O L T E L

4 2 .

1 8 8 9

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T o t e e x e m p l a r e l e v o r a p u r t a s e m n a t i t r a p l e a .

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P R E P A T A

I n a c e s t a e d ; t i u n e . c a s i i n c e l e p r e c e d e n t e m e

m i t r g i n e s c i i n u m a i a a t r a g e a t e n t i u n e a D - l o r n i n -

s t i t u t o r s a s u p r a . G e o m e t r i e s i n s p a p , c a r e s e c o m -

p u n e d i n p a t r n c a p i t o l e :

M a t e r i a c o p r i n s a i n

e e l e d i n t a i u d o n e c a p i t o l e ,

f i i n d u u l s i m p l y d e s c r i e r e a f o r m e l o r n e x t e r i u r e a l e

c o r p n r i l o r i i g e o m e t r i c e , s e p S t e p r o p u n e e h i s r s i e l -

p i i l o r n

c u t o t u l n i n c e p e t o r i , p r e c u m s t i n t c e i d i n

c l a s e l e p r i m a r e . c a r o r a , b i n e i n t e l e s u , I n s t i t u t o r u l n

p a t r u n s i i d e d a t o r i a s a . l e v a f a e i l i t a f o r t e m u l t i s t u -

d i u l t

a c e s t o r n p a r t i

e x p l i c a n d u - l e f o r m a f i e - c a r o l '

c o r p n , m a i i n t a i n d u p a f i g u r e l e , d e l e m n i i i a p o i d u p l .

d e s e m n u l n l o r i i , a s u p r a c a r u i a v a i n s i s t . % c a s a s e

f a c a c a t i l s e v a p u t e a m a i b i n e , - - s i o r m a r i n c l i t c o n -

t i n e " s c o p u l i i c a e l e v u l t i : s a a j u n g a i i i s t a r e a p r i -

c e p e s i d i n d e s e m n i t f o r m e l e c o r p u r i l o r n g e o m e t r i z e ,

p e e a r l * l e a v e d u t i l m a i i n t a i n i n b u c a t i d e l e m n i t

L a c e l e d i n u r m d d o n e c a p i t o l e , c a r e t r a t e z a d e s p r e

m e s u r a s u p r a f e t e l o r n s i a v o l u m e l o r i l c o r p u r i l o r i l g e o -

m e t r i c e , a m u i m p a r t i t i l m a t e r i a l o r i i i n d o n e .

:

t i a p a r t e m a i f a . c i l a . s i t o f u n a d a t a c h i a r c . a i n i t n e -

c e s a r a , p e c a r e a n u s c r e z u t o , e a s e p O t e p r o p u n e

p a r t t

k i i

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I V

c o p i i l o r a c u t o t u l t i i n c e p e t o r l , a m a i m p r i m a t ' o c u c a -

r a c t e r e m a i m a i l . u a a d o u a p a r t e i n s a , c a r e l a u n i i

p r i m a s t u d i o s e p a t e p r o p u n e i n c e p e t o r i l o r i i n u m a i

d n p a r e s u m a t e l e i n d i c a t e i n t e x t s ( p a g . 1 1 7 , 1 4 4 ) s a t

s e p a t e c h i a r o m i t e c u t o t u l k a m a i m p r i m a t ' o C u

c a r a c t e r e m a U m i c Y ,

$ i t o t s u a d a t a a m i l a t r a s a

a t e n t i u n e a d o m n i l o r t I n s t i t u t o f f , g r i n n o t e , p u s e i n

j o s u l t i p a g i n e l o r k a s u p r a a c e s t o r a p a r t i .

C o p i i l o r i i c e v a m a i i n v e r s t k p r e c u m s u n t i l e e l ' d i n

p r i m e l e c l a s e s e c u u d a r e , s i e e l d i n s c a l e l e s p e c i a l e e -

l e m e n t a r e ,

l i s e p a t e p r o p u n e f o r t e w i l l i n t r e g u l i i

c u r s t , d i n c a r e , c r e d i t C a v o r t d o b a n d i a t e l a n o -

t i u n i l e n e c e s a r e o r s - c a r u i i n e e p u t i l d e u a m e s e r i e ,

c a n t $ i b a z a p e c a r e m a i t a r z i a s a p a i d a s e q a c u

s u c c e s i l s t u d i u l a t e o r e t i c i i a l i t a c e s t e i s c i i n t . e .

D . M .

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E L E M E N T E D E G E O M E T R I E P R A C T I C A

C A R T E A I - a

G E O M E T R I A P L A N A

C A P I T O L U I l l I .

L I N I A D R E P T A

D E S C R I E R E A P U N C T U L U 1 .

1 . P u n e t u l d . P u n e l u 1 4 g e o m e t r i a s e i n s e m n e z a

p r i n u r m a , s a l s e m n u l i t c e f a c e m i i c u m a t c o n d e i i 2 ,

s a i l c u u n i t v i r r u a s c u ( i t a , a n d i n t e p l i m g , s a g i m -

p u n g e m a c u d e n s u l i t p e W I h a r t i e , s a l t p e u n i t c o r p i i

o r e - c a r e .

2 . A c e s t d s e m n d p O t e s I f i e o n - c a t s d e m i e n

y a n g v o i , a s t i r - f e l d I n M g a b i a s . 1 5 p u t e m d v e d e a .

S . D e m d r i m e a , s a d d e i n t i n d e r e a s e m n u l u i p r i n

c a r e e x p r i m ' a m d p u n c t u l d n u n e o c u p I r n d n i c i I I I -

d a t a , c a i c a n d 6 1 1 6 ' n ' a r i t a y e n i c i u s c i i n t i n d e r e .

E s e m p l u . P r i n s e m n e l e

.

e x p r i m I m d n i s c e p u n c t e

E x e r c i t i l .

I . S I s e f a c t a n d B i r d d e 7 p u n c t e , d e l a s t a n g a

s p r e d r e p t a .

R e s p u n s

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2

I I . S a s e f a c a d i n c i t e 3 p u n t e d o u a s i r u r i , a -

p l e c a t e s p r e d r e p t a .

R e s p u n s a .

I I I . S a s e f a c i i d i n c o t e 4 p u n c t e t r e d s i r u r i , a -

p l e c a t e s p r e s t a n g a .

R e s p u n s a .

I V . S s e f a c a d o n e " s i r u r i d e p u n c t e , c a r d s a s e

i n t a l n e s c a l a c i t e n a i l c a p e t i l a l a l o r a .

B e s p u n s a .

V . S a s e f a c a t r e i s i r u r i d e p u n c t e , c a r d s a s e

i n t a l n e s c a t o t e n u m a i l a n u l l c a p a t e i t i a m l o r e .

R e s p u n s a .

.

.

.

I v

I N ,

. .

. . .

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3

I V . S A s e f a c I t r e i s i r u r l d e p u n c t e , e a r l s A s e

i n t a l n e s c A I n t r o e l e l a a m e n d o u e c A p A t e e l e .

R g s p u n s i l .

,

V I I . S A s e f a c g d i n 4 5 i r u r i d e d i e ` 4 p u n c t e ,

f o r m a m u f f o c h i I d e g 6 m i l .

R e s p u n s t i .

V I I I . S A s e f a c A i i a c r u c e d i n 9 p u n c t e .

R e s p u n s a .

I X . S A s e f a c A c u p u n c t e f o r m a u n e i u s i .

R e s p u n s t i .

A

S .

.

.

.

.

.

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4

X . S A s e f a c a c u p u n c t e f o r m a u n u i o i l .

R e s p u n s i l .

I

D E S C R I E R E A L I N I E T

4 . L i n i e a . L i n i e a s e e s p r i m d p r a n u r m a , s a i l s e m , -

n u l i i , c e l a s h p e u a h a r t i e , s a i l p e u n i t c o r k i l o r e -

c a r e , u n i t v i r t u a s c u f i t i t , s a t u n i t c o n d e i 1 , G a u d F i t

d e l a u n i t p u n c t i t l a a l t u l a .

E s e m p l e . P r i n s e m n e l e a c e s t e a :

C

e s p r i m ' a m i l n i s c e l i n i T , d i n t r e e a r l c e a d ' i n t A i l l s e c i -

t e s c e : H u l a A B , i a r c e a d e a d o u a :

l i n i a C D .

5 . L i n i e a s e n u m e s c e d r e p t A , a n d m e r g e d e l a u n i t

p u n c t i i l a a l t u l i t , f a r c e s i t o c o l e s c d , s a i i s i t s e a b a t I t i n

0 ' 0 p a r t e s a i l b a t e a l t a .

.

.

m i s c a m i i

- - - - \ ,

- - - - - - - - B

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5

E s e m p l u . L i n i a A B .

A

e s t e u a l i n i e d r e p t a , c a d m e r g e d e l a p u n c t u l i i A

l a p u n c t u l i i B , M I A s a f a c a v r e - u n t i c o l a .

6 . L i n i a s e n u m e s c e s t r a m b a , s a i l e u r b k , a n d n u

m e r g e d r e p t a d e I a u n a p u n c t i l l a a l t u l i i , c i o c o l e s c e .

E s e m p l u . L i n i a D E e s t e o l i n i e

c u r b s , c a d

m e r g e d e l a p u n c t u l i l D I a p u n c t u l t i E o c o l i n d a .

E

7 . D a c a i n t r e d o n e p u n c t e A i B d u c e m i l u a l i n i e

. d r e p t a . A n B , g i m a i d u c e m a

o r i - c e a t t ' d l i n i e

. c u r b e i A m B , s e v e d e , c a l i n i e a c e a d r e p t i t e s t e m a i

s e u r t t i d e a t t i c c e a c u r b s , f i i n d i l - c a l i n i e a d r e p t a A n B

n u o c o l e s c e , c a n d m e r g e d e l a p u n c t u l a A l a p u n c -

t u l t i B , p e a n d l i n i a c u r b s A m B o c o l e s c e .

E s e m p l u .

1 7 1

7 1

A .

. B

A s a d a r e s t e e v i d e n t a , c a :

8 . L i n i e a d r e p t a e s t e d r u m u l i i c e l t i m a i s c u r t i i

- i n t r e d o n e p u n c t e .

C O N S T R U C T I U N E A L I M E ' D R E P T E .

9 . L i n i e a d r e p t A s e c o n s t r u e s c e c u a j u t o r u l r i B i g T e i .

1 0 . R i g l a . R i g l a e s t e u a b u c a t a s u b i r e d e l e m n f i r ,

g i

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s a t . d e m e t a l i i , m a i m u l t i " l u n g s d e c a t t i l a t r t , c a r e a r e

m a r g i n i l e c e l e l u n e d r e p t e . F o r m a c e a m a i o b i c i n u i t a

a r i g i d e s t e c a c e a d i n f i g u r a a c e s t a A B .

C u r i g l a d u c e m t i u a l i n i e d r e p t a i n t r e

d o u 6 p u n c t e , e a r l s u n t i i m a i a p r O p e i n t r e

e l e , d e c a t t i l u n g i m e a

T e r i f i c a r e a r i g l e i . I a t A c u m p u t e m i l

c u n O s c e d a c a r i g l a e s t e b u n g , s a i l d a c a

a r e m a r g i n i l e s a l e d r e p t e :

4 e d a m i l r i g l a p e u a h a r t i e i c u d e g e -

t e l e d e l a m a n a s t a n g a a p a s a m t i p e d e n s a ,

c a s a o t i n e m i l l i p i t a d e a c e a h a r t i e ; i a r

B

c u m a n a d r e p t a t r a g e m i l u a l i n i e p e m a r -

g i n e a r i g l e i e u n c o n d e i t i ( c r e i o n ) ,

c u u n t v i r a l a s c u t i t u , p e c a r e i n m i s c a r e a

s a 1 1 6 t i n e m t i , c a s a a t i n g a c u v e r f u l r i h a r -

t i a ,

i a r c u u a m a r g i n e a s a s a " a t i n g a

m a r g i n e a r i g l e Y .

D u p a a c e e a r e s t u r n a m t i r i g l a i m p r e -

g i u r u l t i m a r g i n e T , p e c a r e a m t i t r a s i l l i n i e a ,

a s t i r - f e l t i c a f a t a , c a r e e r a p e h a r t i e , s a

v i n a d ' a s u p r a ,

c e a c a r e e r a d ' a s u p r a s a

v i t a l p e h a r t i e ,

F a r a c a a c e a m a r g i n e

s a p a r t i s s e a l i n i e a t r a s a . T r a g e m A a p o i

c u c o n d e i u l t i p e a c e e a ' 1 m a r g i n e a r i g l e i

i a r a I

c l a c k ' a c e s t a l i n i e s e

a p z a , p e r f e c t t i i n t a l i i n t i n d e r e a e l p e s t e

c e a d ' a n t a i t i , a t u n c i r i g l a e s t e d r e p t a , -

1 q i a r d a c a n u s e a s e z g , a t u n c i r i g l a n u e s t e

d r e p t a q i p r i n u r m a r e n u p u t e m t d u c e

l i n i i d r e p t e c u & L i s a .

. i

r i g i d .

s a i l

s i

n l i n i e , - - s i

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7

1 1 . a n d p u n c t e l e , i n t r e

e a r l ' v o i m t s a d u c e r n i i

u a l i n i e d r e p t a , s u n t t p r e a d e p a r t a t e i n t r e d e n s e l e

p e u a s u p r a f a t a , p r e c u m s e i n t a m p l a i n l u c r a r i l e d e

z i d a r i e i d e d u l g h e r i e , a t u n c i , c a s a d u c e m i l u a l i n i e

d r e p t a i n t r e a c e l e p u n c t e , l u a m i l n s f O r a , p e c a r e

o i m m u i a m i l i n c e r n e l a s a t i n o n - c e a l t a y a p -

s e a ; f i x a m i l u n t c a p a t a i t o l t e i c u o t i n t a i n

u n u l t d i n c e l e d o n e p u n c t e , s i

o i n t i n d e m i l b i n e

p a n g l a c e l t - a l t i l p u n c t t , i n c a r e o f i x a m i l d i n n o t .

D u p a . a c e e a o a p u c a m t c u d e g e t e l e c a m d e p e l a j u -

m a t a t e , s i o r i d i c a m i l W i n d i n s u s t i , i n t i m y a n d ' o ,

a p o i ' I d a m i l d r u m u l t r e p e d e . S f O r a v i n e a t u n c i d e

l o v e s c e a c e a s u p r a f a t a , i d e s c r i e i n t r e c e l e d o n e

p u n c t e I A l i n i e d r e p t a . .

1 2 . A s e m e n e a l a c e l e m a i m u l t e s t o f e , u n u l t s a t

m a i m u l t e f i r e , e a r l ' a l l u a c o l e i r e d e o s e b i t a . , i c a r

s u n t i l t e s u t e u n e l e l a . n g a a l t e l e , f o r m e z a n i s c e v a r g i

i n f o r m a d e l i n i i d r e p t e .

1 3 . I n t r e d o n e p u n c t e d e p e s a p r a f a t a p a r n e n t u l u i ,

d e p a r t a t e i n t r e e l e a s t i r - f e l i l i n c a t i l d i n u n u l t s a p u -

t e m i l v e d e u n i l s e m n i l o r e - c a r e , p u s i l i n c e l l ? ' a l i t

p u n c t i l , d u c e m t u a l i n i e d r e p t a a s t i r - f e l t :

I n f i g e m i l i n a m b e l e p u n c t e , i n t r e e a r l v o i m i l s d u -

c e m t l i n i e a d r e p t a . c a t e u n t b a s t o n t d r e p t i i , c a r e

W t a l a c a p e t u l t d e s u s s c a t e o t a b l i 4 6 c o l o r a t a . N e

a m l a m t a p o i l a o d i s t a n t a d e c a t i - v a p a . , I i n f a t a

u n e i t a b l i t e i n t r ' o p o s i t i u n e a o . , i n c a t i l , c a n d n e

u i t a m i l l a d e n s a , b a s t o n u l i l e l ' s a a c o p e r e d i n n a i n -

t e a v e d e r e i n O s t r e b a s t o n u l t i n f l p t i l

l a

c e l i i - a l t t

p u n c h ) . D u p a a c e e a t r a m i t e m t u a p e r s O n d c u m a i

m u l t e b a s t O n e c u a s e m e n e a t a n t e , c a r i a ' I f a c e m i l

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e r

-

5 -

u p e z # 6 1

8

s e c o n d s p r e d r e p t a , s a d s p r e s t d n g a , c a s a

l e i n f i g a i n t r e c e l e d o u d p u n c t e ,

a s t i l - f e l t

i n c d t d b a s t o n u l d , l a c a r e n e u i t a m d n o i , s s

l e a c o p e r e i n p r i v i r e p e b i t e , d u p a c u m a -

c o p e r e a p e e d i t d i n p u a c t u l d c e l l m a i d e -

p d r t a t i l .

V e n i m d a p o i c u o s f O r d , p e c a r e o i n t i n -

d e m i l d e l a p r i m u l i i p u n c t d p d . n d l a c e l d d e

a l t d o u i l e a , $ i t r a g e m d u s l i n i e d r e p t d , s g d -

r i i n d i l s u p r a f a t a p a m e n t u l u i i n l u n g u l d a c e -

l e l s c o f f c u a n d t e r u s i l a s c u t i t d . T o t i i

a s t u -

f e l d t r a g e m i l d e l a p u n c t u l d a l d d o u i l e a p a . n d

l a c e l l d e t i l t t r e i l e a ; a p o i d e l a c e l i i d e a l d

t r e i l e a p a n g l a

d e l i i d e a l t i p a t r u l e a , a t e .

S e i n t e l e g e , c a l i n i a d u s d a s t i r - f e l l e s t e c u

a t A t i l m a i d r e p t d , c u c a t i i t e r e n u l t i e s t e m a i

p o t r i v i t d ,

c u c a t s a m d i n f i p t i l m a i m e l t e

b a s t O n c i n t r e p u n c t e l e e i e x t r e m e .

N U M I R I L E L I N I I L O R U

D R E P T E D U P A P O S I T I U -

N E A L O R D .

1 4 . ' A i d a v e r t i c a l A . L i u i e a

s e n u m e s c e v e r t i c a l s , c a n d

a r e p o s i p u n e a c e o i s a n d f i r d

d e a t a s u b t i r e , t i n u t d c u n r i n a

d e c a p a t u l d c e l i i d e s u s d a l d

i a r c e l l d e j o s t i e s t e

t r a s i l d e a d g r e u t a t e O r e - c a r e ,

l e g a t d d e d e n s u l t i .

5

A

B a

e i

a d d ,

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9

E s e n i p l u . L t n i e a A B e s t e v e r t i c a l s , & l e i a r e a c e i a 0

p o s i t i u n e c u a f i r u l u T t r u s t ' d e g r e u t a t e .

1 5 . L i n i e a o r i z o n t a l a . L i n i e a s e

n u m e s e e o r i z o n t a b

C

D

c a r e d a r e p o s i t i u n e a u n e i r i g l e d r e p t e , c a r e p l u t e s c e

p e s u p r a f a t a u n e i a p e l i n i t i t e . S . e . l i n i e a C D e s t e

o r i z o n t a l a , c a c i a r e a c e i a 0 p o s i t i u n e c u r i g l a A B ,

c a r e p l u t e s c e l a s u p r a f a t a a p e s d i n v a s u l t V .

. .

1 6 . L i n i e a o b l i c a . L i n i e a s e n u m e s c e o b l i c a , c a n d

C

i n t a l n e s c e p e a l t a

i s t a a p l e c a t a m a i

m u l t i l i n t e u a p a r -

t e , d e M i l i n c e a -

A

D

B

a l t a . S . e . l i n i e a C D

e s t e u ' d l i n i e o b l i c a , c a d e a i n t a l n e s c e p e l i n i e a A B , '

i s t a a p l e c a t a m a i m u l t i l s p r e A , d e c a t i l s p r e B .

O b s e r v a r e . D i n t r ' u n 5 p u n e t i l o a l i t u n e i l i n i i d r e p t e

A

r a m p u t e m i l d u -

c e a t a t g i n s u s ,

c a t i l S i i n j o s i l ,

A G n v

o r i - c a t e l i n i i o -

b l i c e v o m i t v o i :

u n e l e a p l e c a t e

f

e l

s p r e n , i a r a l t e l e

s p r e M . S . e . l i n i i l e j o , a o , f o s u n t t i o b l i c e , a p l e c a t e

s p r e n ; e a r l i n i i l e c o , d o s u n t i t o b l i c e , a p l e c a t e s p r e n h

a ,

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1 0

1 7 . L i n i e a p e r p e n d i e n i a r i l . L i n i e a s e n u m e s c e p e r -

9 1

p e n d i c u l a r a , c a n d f a t e d -

n e s c e p e a l t a , i n u s e a -

p l e c a m a i m u l t i i n t e n s

p a r t e , d e O l t I n c e a -

a l t a . S . e . l i n i e a n o e s t e

A _

0

1 p e r p e n d i c u l a r s

p e l i n i a

A B , & A d n u s e a p l e c t m a i m u l t i s p r e A , s a t s p r e B .

O b s e r v a r e . D i n t e u n i c p u n e t i i o a t a u n e i l i n i i d r e p t e

A B , n u p u t e m i d u c e d e d i l a n u m a i u t i p e r p e n d i e u -

l a r d p e a c g s t e i d r e p t a , c a c i o n - c e a l t a l i n i e , c a r e p l e a t

d i n o , c a s a f i e d i f e r i t A d e o n , t r e b u e s ' d s e p i e c e m a i

m u l t i s p r e A s a t s p r e B , p r i n u r m a r e e a n u m a i

e s t e p e r p e n d i c u l a r A p e l i n i e a A B .

1 8 . L i n i T p a r a l e l e . D o n e , s a t m a i m u l t e t a i l d r e p t e

A

B

C

D

E

s e O i c i l p a r a l e l e , c a n d f i i n d t w d a t e p e s u p r a f a t a

u n e i W i l l i , a u n e i t a b l e , a u n u i p e r e t e , e t c . , o n - c a . t 5

d e m u l t i ' l e v o m i l p r e l u n g i , n u s e i n t a l n e s c i l , c i p i t -

s t r e z a i n t O t A i n t i n d e r e a l o r t a c e e a 0 d e p a r t a r e i n t r e

S

/ / /

r

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1 1

N X P . 7 1 V

d e n s e l e .

P a r a l e l e l e

p o t t i f i

t o t i l d e u a -

d a t a s i : v e r t i c a l e , o -

r i z o n t a l e , o b l i c e , s a t i

p e r p e n d i c u l a r e . S . e .

l i n i i l e A , B , s u n t i l p a -

r a l e l e v e r t i c a l e ;

I T

n i i l e C , D , E s u n t i l

p a r a l e l e o r i z o n t a l e ;

l i n i i l e F , 0 , 1 1 s u n t i l p a r a l e l e s i

o b l i c e l a l i n i e a S T ; i a r l i n i i l e N , D I , P , R , U s u n t t i

p a r a l e l e s i p e r p e n d i c u l a r e p e l i n i a G V .

C O N S T R U C T I U N E A P E R P E N D I C U L A R E L O R t 1 S I A

P A R A L E L E L O R I I

1 9 . L i n i i l e p e r p e n d i c u l a r e s i p a r a l e l e s e d u c t i e x a c t t i

c u a j u t o r u l 5 u n t i l i n s t r u m e n t t i n u m i t t i e c h e r t i .

2 0 . E c h e r n l i l . E c h e r u l i l e s t e u a b u c a t i l s u b t i r e d e

A .

l e m n t i , c a r e a r e t r e T c o l t u r T , s i t r e T

m a r g i n i d r e p t e , c a m a r g i n i l e u n e l r i g l e

s i n e e g a l e i n t r e e l e . M a r g i n e l e c e l e m a i

s c u r t e A B s i B e s u n t i l p e r p e n d i c u l a r e

I n t r e d e n s e l e . F o r m a e c h e r u l u l e s t e c a

c e a d i n f i g u r a A B C .

2 1 . T e r i f i c a r e a e e h e r n l u i . P e n t r u

c a s a n e a s i g u r a m i l , d a t a u a b u c a t a

d e l e m n t i d e a c e s t a f o r m a e s t e e c h e r i c e x a c t i i ,

a s e -

l a m a c u m a r g i n e a s a c e a m a i s c u r t a B C p e u a l i n i e

d r e p t a N H , s i d u c e m i l c u u n u c o n d e i t i u a , l i n i e d r e p t a

i n l u n g u l i l m a r g i n i l A B . R a s t u r n a m a a p o i e t h e r u l t i

d i n p o s i t i n n e a A B C ,

c a c o l u l i i B s a n u

s t i r - f e l l

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1 2

' s i s c h i m b e l o c u l u s i l a t u r e a B C s a s e a s e d e t o t i t p e

l i n i a H N , i n p o s i t i u n e a B D . D a c a d u p g a c 6 s t a r e ' s -

A r

t u r n a r e d u c e m i l d i n n o n u a l i n i e t o t e p e m a r g i -

n e a

. . 4 B , s i d a c r t a c e s t a " l i n i e s e a s a d a e x a c t a i n W M '

i n t i n d e r e a e i p e s t e l i n i a , c a r e o d u s e s e m i l l a i n c e p u t u ,

a t u n d e c h e r u l i i e s t e b u n t i ; S i l i n i a c a r e o d u c e m i l p e

m a r g i n e a s a A B , e s t e p e r p e n d i c u l a r a p e l i n i a H N .

2 2 . P r o b l e m a I . D i n f r u r n i p u n c t i i l u a t t i p e u c i l i n i e

d r e p t i t , s a d u c c m g u d . p e r p e n c l i c u l a r i i c u a j u t o r u l i l

e c h e r i t h a .

F i e l i n i a d r e p t i l M N ; i t u n i t p u n d i t a l i t s e l l B , d e

i f

C

o

1 1

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u n d e v o i l a s d u c e m i i p e r p e n d i c u l a r a . P u n e m f i e -

c h e r u l a c u l a t u r e a s a c e a m a i s c u r t a p e d r e p t a M N ,

Q i c u v e r f u l u c e l f i m a i l a t t i i n p u n c t u l f i B ; d u p a a c e e a

a m l a m i l i n l u n g u l t i m a r g i n i i s a l e A B u a r i g i d , p e a

c a r e t m a r g i n e o a l a t u r a m i l b i n e d e m a r g i n e a e c h e r u -

I n t T i n e m u c u m a i m s t a n g a f i x u r i g l a i n a c e s t a p o -

s i t i u n e , i a r c u m a n a d r e p t d , d ' a m i l m a i i n t a i t i e c h e -

r u l f i l a o p a r t e , d u p a a c e e a t r a g e m i l c u c o n d e i u l f i

u a l i n i e d r e p t d p e m a r g i n e a i n n a r i g l e i ,

a c e a l i n i e

v a f i p e r p e n d i c u l a r d l a d r e p t a M N , i n p u n c t u l f i B .

P r o b l e m a 1 1 . S e t s e d u c t s c u a j u t o r u l a e c h e r u l u i

u a p e r p e n d i c u l a r s l a u d l i n i e d r e p t a ,

d i n t r ' u n 4

p u n c t i t

,

l u a t a i n a f a r a a c e l e U n i t .

F i e t a i l l i n i a d e m a i u s i l M N , 0 p u n c t u l f i P i n

a f a r a e l , d e u n d e v o i m a s a d u c e i n t i p e r p e n d i c u l a r a .

C a s d u c e m t i a c e s t a p e r p e n d i c u l a r a ,

e -

c h e r u l d c u m a r g i n e a s a c e a m a i s c u r t a p e l i n i e a

M N ,

a l a t u r a m i l a p o i u a r i g i d c u m a r g i n e a m n d e m a r g i n e a

A B a e c h e r u l u i . D u p d a c e e a m i v a r n f i e c h e r u l f i i m -

p r e u n d c u r i g l a

i n l u n g u l t i l i n i e i M N , p e n d c a n d

c e a - a l t s m a r g i n e a r i g l e i s a t r e e d p r i n p u n c t u l t i P .

T i n e m u a p o i r i g l a f i x d i n a c e s t a p o s i t i u n e c u m a m a

s t a n g a , i a r c u m a m a d r e p t d d u c e m i l c u u n c o n d e f i i

n i l l i n i e p r i n p u n c t u l f i P . A c e s t d l i n i e I n t a l n e s c e p e

d r e p t a M N ,

e s t e p e r p e n d i c u l a r d p e d e n s a .

P r o b l e m s I I I . P r i n t r ' u n a p u n c t a , l u a t a i n a f a r a

t o l d U n i t d r e p t e , s a s e d u c t s u a p a r a l e l a l a a c e a

d r e p t a , c u a j u t o r u l i t e c h e r u l u i .

F i e l i n i a A B ,

i n a f a r a e l p u n c t u l t i c , p r i n c a r e

v o i m u s a d u c e m f i p a r a l e l a l a A B . D u c e m i l m a i i n t a i u

d i n p u n c t u l t i c p e r p e n d i c u l a r a e n l a l i n i e a A B , ( i n t o c -

w d a m i t

l a

e i

e i

0

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1 4

m a i d u p a c u m a m r t f a c u t t i l a p r o b l e m a I I ) , D u p a a -

c e i a r i d i c a m t i , i a r a s i c u e c h e r u l t i , f n p u n c t u l t i c a l u

A

1 1

d r e p t e i e n u a p e r p e n d i c u l a r s c D ( i n t o n m a i d u p a c u m

a m u f a c u t i l l a p r o b l e m a I ) . A c e s t a d r e p t a c D e s t e

p a r a l e l a c u d r e p t a d a t a A B .

P r o b l e m a 1 V . F a s e d y e d c u a j u t o n a d e e h e r u -

l u t m a m a t e l i m i t p a r a l e T e

o b l i c e p e a c e e a f t l i -

n i e d r e p t a A B .

A

1 ?

K p v

A s e q a m t i m a i I n t a i t i e c h e r u l t i c u l a t u r e a s a c e a

m a i s c u r t a R K , p e l i n i e a d r e p t a

p e m a r g i n e a

s a c e a m a i l u n g E K , d u c e m i l l i n i a a t . D u p a a c e e a

m i s c a m a e c h e r u l t i l p u t i n t i c a t e p u t i n u s p r e p u n c t u l t i A ,

P a r a c a l a t u r e a R K s a p a r a s e s c a d r e p t a A B ,

t r a -

g e m i l t o t e p e m a r g i n e a s a E K d r e p t e l e h p , i n n , e t c . ,

X

g v h

o

\ \ \

4 "

p i

A B , s i

0

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1 5

e a r l ' s u n t u p a r a l e l e i n t r e e l e , s i

o b l i c e

p e d r e p t a d a t a A B .

P r o b l e m T . S i t s e d u c a c u a j u t o r u l i i e c h e r u l u i

m a i t n i a t e l i n i i p a r a l e l e i n t r e e l e s i t o t i i d e ? A d d a t a

p e r p e n d i c u l a r e p e a c e e a q i l i n i e d r 4 p t e t A B .

A

7 1 .

R a

C a s a d e s l e g a m i i a c e s t a p r o b l e m s , a s e d g m i i m a i

M O R I e c h e r u l i i c u m a r g i n e a s a c e a m a i s c u r t g K R

p e l i n i a d r e p t g A B , s l d u c e m i l p e m a r g i n e a s a E R

l i n i e a h d . D u p g a r e a m i u t a m i l e c h e r u l i i p u t i n g , e a t e

p u t i n t i s p r e p u n c t u l i i A , M I % c a l a t u r e a s a K R s a

p a r A s e s c a l i n i a A B , t r a g e m i i t o t e p e m a r g i n e a s a

E R d i f e r i t e d r e p t e s e , m b , n a , c a r s s u n t i l t o t e p a r a -

l e l e i n t r e d O n s e l e , s i t o t s u a d a t g p e r p e n d i c u l a r e p e

d r e p t a d a t a A B .

2 3 . P e p a m e n t i i s e d u c 5 p e r p e n d i c u l a r e m a i l e s n e

c u a j u t o r u b l u n u T i n s t r u m e n t i i , n u m i t g E c h e r u l f i

C M C C .

2 4 . E c h e r u l d e n c r u c e . E c h e r u l q c u c r u c e e s t e n a l

i n s t r u m e n t i i f O r t e s i m p l u , p e c a r e

p o t e c o n s t r u i

c i n e - v a c h i a r u i n l o c u l u , u n d e a r e t r e b u i n t g d e d e n -

s u l a . E l i l s e c o m p u n e d i n d o n e r i g l e g r O s e , d r e p t e

m a t l u n g i d e c a t i l r i g l e l e o b i c i n u i t e . A c e s t e r i g l e s u n t i l

p r i n s e l a c e n t r u l i l

i m p r e j u r u l t i

t o t i i - u a - d a t a

E

C u

V i

l o r d i n t r ' u n g m o l l ,

c g -

s

b C

d 3

s i

' l i t

g i

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1 6

r u i a s u n t 5 a s e -

l a t e p e r p e n d i -

c u l a r t i u n a , p e

a l t a i n f o r m a

u n e Y c r u e l . A -

c e s t i l i n s t r u -

m e n t i l

s t a " p e

u n i i b a s t o n r i ,

l u n g a c a d e u n

s

m e t r u s i j u m e -

1

t a t e , s i a s c u t i t r i

l a c a p i l t u l r i s e r i

i n f e r i o t h , a s t r i -

i . .

,

4 e l t i , c a s ' a s e

p o t s i n f i g e v e r t i c a l t i i n p 6 m e n t i i .

L a

e x t r e m i t i t t i l e

l o r a ,

r i g l e l e

p O r t a c a t e u m i c a . v e r g e l u 0 a ,

b , c , d , i n f i p t e v e r t i c a l t i p e d e n -

s e l e .

I a t a c u m d u c e t m l c u a c e s t r i

i n s t r u m e n t i l u t i . p e r p e n d i c u l a r s

d i n t f u n t i p u n c t r i A , p e l i n i e a

d r e p t a d e p e p a m e n t r i B C :

' , f k

i

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1 7

I n f i g e m t e x t r e m i t a t e a i n f e r i o r d a p i c i o r u l u i s e l l i n

p a m e n t i l , l u t f u n d p u n c t u O r e - c a r e a l d l i n i e i A B , s i

i n t O r e e m i l c r u c e a s a a s t i r - f e l t i n O l t , c a n d n e v o m i l

, u i t a p r i n e x t r e m i t a t e a a s p r e C , v e r g e l u s a a s a a c o p e r e

v e r g e l u s a d i n b , c a t s i o p r a j i n a d r e p t a , i n -

f i p t i t i n C . A s e m e n e a c a n d n e v o m d u i t a p r i n e x -

t r e m i t a t e a b s p r e B , a t u n c i v e r g e l u s a d i n b s a a -

c o p e r e a t d t i l v e r g e l u s a d i n a , c a t t s i n a l t s p r d -

j i n d d r e p t d , i n f i p t d i n p u n c t u l d B . P u r t a m i l a p o i

i n s t r u m e n t u l i i , a s e d a t t a s t i r - f e l t i n t e n d ' p a r t e , s a d

i n c e a - a l t d , i n l u n g u l d l i n i e i B C , p a n d c a n d ' I d a -

s e d d i n t , p e a c e s t a d r e p t d i n t e u n t p u n d i t a s a i n -

O t t , a n d n e v o m i l u i t a

p r i n e x t r e m i t a t e a c

s p r e A , v e r g e l u s a d i n c , . s a . a c o p e r e g a l a p e c e a

d i n d , c a t s s i p r a j i n a i n f i p t a i n p u n c t u l i i A .

D u p a a c e i a t r A m i t e m i l o p e r s O n a c u m a i m u l t e

p r a j i n i , p e c a r e o c o n d u c e m i l p r i n s e m n e , c a s a l e

i n f i g a i n l i n i e d r e p t d i n t r e c 0 A . C u m o d u l d a c e s t a

d e t e r m i n d i n d o n a t e p u n c t e v o m d v o i d i n l i n i e a O A ,

s i p r i n u r m a r e p u t e m d t r a g e a c e s t a l i n i e , c a r e e s t e

p e r p e n d i c u l a r a c e r u t d .

M E S U R A L I N I I D R E P T E .

U N I T A T I D E L U N G I M E

2 5 . U n i t a t e a p r i n c i p a l s d e l u n g i m e e s t e m e t r u l t .

M e t r u l d a r e f o r m a u n e i r i g l e , c a r e s e f a c e d e l e m u r ' ,

d e m e t a l d , s a t d e u s p a n g l i c a . L u n g i m e a m e t r u l u i

2

a t a t g

i

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1 8

e s t e f O r t e a p r O p e e g a l i l c u a o e c e a m i l i O n e p a r t e d i n

s f e r t u l i i m e r i d i a n u l u i p i i m e n t e s c r i .

M a i s u n t i l s i a l t e u n i t a r i d e l u n g i m e , n u m i t e m i l -

t i p / i a i m e t r u l u i , f i i n d i l - c a s n a i l f o r m a t e d i n m a i

m u l t i m e t r i . A s e m e n e a a v e n i t i s i s u b - m u l t i p l i m e -

t r u l u i , f o r m a t i d i n s u b - i m p a r t i r i , s a i l d i n f r a g m e n t e

a l e m e t r u l u i .

N u m i r i l e , i n s e i n n t i r i l e p e s c u r t i i , s i v a l o r i l e a c e -

s t o r i l m u l t i p l i s i s u b - m u l t i p l i a i m e t r u l u i s e c o p r i n d t

i n t a b l o u l u u r m i l t o r i i :

N u m e l e

i n s e m n .

v a l o r e a

M i r i a t n e t r u l i i .

. M m . .

. 1 0 0 0 0 m a r l

K i l o m e t r u l k .

.

.

K m .

.

.

1 0 0 0

i l l u l t i p l i I

. .

E m . .

.

1 0 0

D e c a m e t r u l t i .

. D m .

. .

1 0

N e t r u l l i

. . i n .

1

r d e c i m e t r u l t i

.

. d i n .

0 , 1

S u b - m u l l i p l i T I c e n t i m e t r u l i t . . c m .

0 , 0 1

i m i l i m e t r u l a

. . m m .

0 , 0 0 1 ,

l l a c a o b s e r v a m i i a c e s t i i t a b l o t i v e d e m i l , c a v a l o r i l e

m u l t i p l i l o r i i s i s u b - m u l t i p l i l o r i i m e t r u l u i d e l u n g i m e ,

m e r g i l d e l a e e l ' m a i m a r l , c a r e e e l m a i m i d i d i n 4 e c e

i n t i n e d e s c r e s c a n d i l , i n t o c m a i d u p c i , c u m m e r g i c q i

u n i t a t i l e d e i n t r e g t f i d e f r a g m e n t e d e l a n u m e r e l e

c l e c i m a l e . A s a d a r :

O r c e l u n g i m e v o m i t m e s u r a c u m u l t i p l i f q i s u b -

m a t i p l i i m e t r u l u i , s e v a a r e t a p r i n t r ' u n i i n u m e r i c ; l e -

c i m a l i i , i n c a r e f i e - c a r e m u l l i p l u q i s u b - m u l t i p l u a l i t

1

1

) E c t o m e t r u l i i

. . .

. . .

.

.

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1 9

l n e t r i d u l c l e l u n g i m e v a f i e x p r i n z a t i i g r i n c e d e u t i

f r d a a c e l u i n u m e P .

2 6 . 1 1 1 6 s n r a l i n l e i d r e p t e . A m e s u r a u a l i n i e d r e p t i l

v a s a M i c a a a f l a c a t i m e t r i , s a t c a t I m u l t i p l i s i s u b -

m u l t i p l i

m e t r u l u i s e c o p r i n d i t i n a c e a

L i n i e a , c e V O i l l I r l s a m e s u r i l m t i , p O t e f i t r a s a p e p a -

m e n t i i , s a t p e h A r t i e :

2 7 . P e p i t m e n t i t l u n g i m e a l i n i i l o r t i s e m e s O r a m a i

a d e s e a c u u n t l e n t i l , c a r e a r e u ' a l u n g i m e d e u n t

d e c a m e t r u ( 1 0 m . ) L a n t u l t i e s t e p u r t a t ; . d e d o n e

t i e r s - O n e . c a r e ' i t s i n e i n t i n s t f i e - c a r e d e c a t e u n t d -

p e t a i t i , s i

a s e d a i n l u n g u l t l i n i e l d r e p t e d e 1 ) 0 p t . -

m e n t i l d e e a t e o f f s e p O t e c o p r i n d e e l u i n t r e g t i . D a d

m a i r e m a n e , d i n l u n g i m e a d c e l e i l i n i i s i u n t r e s t s m a i

m i t t d e c a t s u n i i d e c a m e t r u , ' l i t m e s u r 6 m 6 e u m e -

t r u l t i ;

d a c t i m a i a v e m i l i a r e s i u n t i r e s i t , ' l i t m e -

s u r t m t i c u s u b - m u l t i p l i i m e t r u l u i , a d i c r t c u d e c i -

m e t r u l t , a p o i c u c e n t i m e t r u l t , e t c .

E s e m p l u . D a d p r e s u p u n e m t i c a a v e m i l p e

m e n t i t

d r e p t a A G , p e c a r e v o i m t i s ' o m e s u r a m t ,

a v d t m i l l a n t u l t c u u n i t c a p i t a l

a l i t s e t i n c a p e -

t u l t i A a l i t

i n t i n d e m t l b i n e i n l u n g u l t

l i -

n i e i , a s t i l - f e l t c a c u c e l l

a l t i i c e . p e t a i t s e . a j u n g i t

i n t r ' u n t i p u n c t i l O r e c a r e B a l t

l i n i e i .

P e r s o n a

c a r e p O r t a l a n t u l t i d e c a p t t u l t i , c a r e a a j u n s i l l a B ,

i n f i g e i n a e e s t i l p u n c l u u a v e r g e s m i c a d e f e r t , n u -

m i t t & A .

E l s a l a u n t i c t . p e l a i t e s t e a s c e l i t i i . ,

i a r l a

a r e u n t i n e l t i , d e u n c l e s e O l e a p u c a c u i n -

l e s n i r e . l l u p t i a c e i a p e r s O n e l e , c a r d u c t l a n t u l i t ,

f i -

a i

p a -

l i n i e r , s n i t

n e t t -

a k i n

t a l e .

' I t

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2 0

p i e c e i n a i n t e

i n l u n g u l t i l i n i e i ,

e i c a n d p e r -

P e n a d e l a A a a j u n s e l a f i g , s e o p r e s c e , s c e t e

f i s a , t i a e a z a c a p e t u l e l a n t u l u i i n l o c u l A u n d e

e a f u s e s e i n f i p t A ,

t i n e f i x i t P e r s o n a r a r e

p e r t A c a p e t u l e B i n t i n d e b i n e l a n t u l e , c a r e

a j u n g e p a n A i u p u n c t u l t i G , u n d e i n f i g e i a r r t e i

u f i s a .

A s t i r - f e l t i u r m a n d t i m a i d e p a r t e , s e , p r e s u -

p u n e m e , c a d e l a p u n c t u l i i A , p a n e , l a p i n e -

t u l t i F , l a n t u l t i

s ' a c o p r i n s t i d e 5 o r T , a d i c r t

A F , e s t e d e 5 d e c a m e t r e . R e s t u l t i F G , c a r e

e s t e m a i m i c e d e c A t t i d e c a m e i r u l i i , ' l e m e -

s u r r t m i t c u m e t r u l u ,

s i s e , p r e s u p u n e m u , c e ,

d e t o F p A n t i l a n

a t n t i . a l g a 4 m e t r i ;

i n

f i n e r e s t u l t i n G , m e s u r A n d u a c u d e c i m e t r u l i i

s e , p r e s u p u n e m r t c a a m t i

a f l a t r i 7 d e c i m e t r i .

I k e a d a r l i n i e a

i n t r e g e . A G , e s t e d e 5 D m . ,

4 m , 7 d m . , c e i a c e s e s c r i e i n n u m e r u l e d e -

c i m a l r t :

5 4 ' 1 1 , 7 .

M e s u r a u n e i l i n i i f a c u t a a s t i r - f e l r i p e p e . -

m e n t t i , e s t e c u a t a t i l m a i e s a c t a , c u c a t t i s u -

p r a f a t a p t i m e n t u l u T e s t e m a i p l a n e , , S i c u c a n

l a n O l u a f o s t i l m a i b i n e i n t i n s a ,

S i a e e d a t t i

p e a c e a l i n i e .

2 8 . P e h f t r t i e l u n g i m e a r e a l e i a u n e T l i n i i

d r e p t e s e m e s e r r t c u o r i g l a , a c a r e m a r i n e

e s t e i m p A r t i t A i n d e c i m e t r i , c e n t i m e t r i ,

u n e -

o r e i i n m i l i m e t r i .

C a s e , m e s u r r t m e u a l i n i e d e p e h a r t i e c u

u a a s t i r - f e l r i d e r i g l a , n ' a v e t n i l d e a t e s A a -

i ' l l i

i

T e o

i

t

I

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2 1

s e c l a m i l r i g l a c u u n a d i n m a r g i n e l e , c a r e p O r t d s u b -

d i v i s i u n i l e , i n l u n g u l t i a c e l e f l t n t i , s i a p o l s t n u m d -

f a r a d c a f e d e c i m e t r i s i m i l i m e t r i s u n t t i p e m a r g i n e a

' r i g l e i d e l a u n i t c a p e t d a l i t l i n t e l , p a n a l a c e r n - a l i t ] .

2 9 . I n t o t e d e s e m n u r i l e , e a r l ' r e p r e s i n t a u a c a s k

u a m a r i n a , h a r t a u n t i l l o c k e t c . , l i n i i l e d e p e h a r t i e

r e p r e s i n t a l i n f f f o r t e m a r l ' d i n n a t u r a . A s t t i - f e l t i p r i n

l i n i e a A B p u t e m i l r e p r e s i n t a u a l i n i e , c a r e a r e p e

p a m e n t i l s . e . 2 0 m e t r i . A t u n c l , p e n t r u c a s a

c a a c e s t a l i n i e d e p e h a r t i e r e p r e s i n t a p e p a m e n t t i

2 0 m . , t r e b u e c a s a r e p r e s i n t a m d l u n g i m e a m e t r u l u l

A

a

d i n n a t u r a p r i n t e u a l i n i e m i c a a b , c a r e s a s e c o p r i n -

. d a i n A B d e 2 0 d e o r l . S e i n t e l e g e , c a d a t a p r i n a b

r e p r e s e n t a m d 1 0 m e t r i , a t u n c l l i n i e a A B e s t e d e 2 0 0

m e t r i .

U n i t a t e a r e d u s a , c u c a r e s e m e s O r a l i n i i l e

d e p e o h a r t i e , s a d d e p e a n d d e s e m n i l o r e - c a r e , s e

n u m e s c e s c a r s . C a s a v e d e m d d e e k e o n u n i t a t e a

d e p e o s c a n t s e c o p r i n d e i n t r ' u a l i n i e , n e s e r v i i n t i

d e a n d i n s t r u m e n t d n u m i t t i c o i n p a s i i .

3 0 . C o m p a s u l l C o m p a s u l d e s t e a n d i n s t r u m e n t i l

d e a l a m a g a l b e n a . e c n n p u s i t d i n d o n e " v e r g e l e n u -

m i t e m a t a d e s e a p i c i o r e l e c o m p a s u l u t . P i c i O r e l e c o i n -

p a s u l n i l a c a p e t a i e l e i n f e r i O r e s u n t i l t e r m i n a t e c u

n i s c e v e r f u r i a s c u t i t e d e o t e t d , e a r l a c e l e s u p e r i O r e

s u n t i l u n i t e p r i n t e u n d s u r u p t i . I m p r e g i u r u l d a c e s t u t

N o t i t .

s c i m i l ,

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2 2

s u r u p u p u t e m i l m i s c a p i c i O r e l e c o m p a s u -

l u i a s t i l - f e l t i , i n c a t t v e r f u r i l e a s c u t i t e s a "

s e m a i a p r o p i e , s a i l s a s e m a i d e p a r t e -

z e i n t r e e l e .

C a s a v e d e t n a d e c a t e - o r i l i n i e a a h

s e c o p r i n d e i n A B , l u a m i l i n t r e v e r f u r i l e

c o m p a s u l u T l u n g i m e a l i n i i a b , s i o t r a n s -

p o r t a m i i , d e c a t e o r T s e v a p u t e a p e s t e

A B . A q a d a r c o m p a s u l i l n e s e r v e s c e ,

c a s u m e s u r a m a l u n g i m e a l i n i i l o r u d r e p t e ,

s a i l d e p a r t a r e a i n t r e d o n e p u n c t e O r e -

c a r i .

T a i t e n c o m p a s u l i l n e s e r v i r m l , c a s a

d e s c r i e m i l l i n i e a c u r b s , n u m i t a a r u m -

f e r e n t i i

O

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2 : s

C A P I T O L U L U H .

L I N I E A C U R B A .

C I R C U M F E R E N T A .

3 1 . D e s c r i c r e a c i r c u m f e r e n t e l . C a s a d e s c r i e m i l

u a c i r c u m f e r e n t a , a s e d r u n a c o m p a s u l t i c u v e r f u l t i a -

s c u t i t i l a l i l u n u i p i c i o r 6 a l e

s e i l , I n p u n c t u k i c , c a r e v o -

i m i l s a f i e c e n t r u l a c i r c u n t l e -

r e n ( e i , j a r v e r f u l i t c e l u i a l t o

p i c i o r 5 a l a W I , c a r e a r e a n t i

c o n d e i t i ( c r e i o n t i )

m i s c a m i l

i m p r e j u r u l t i l u l c , a t i n g e n d i l

n e c o n t e n i t i l t a r t i a .

A c e s t i l

v e r f i l m o b i l e d e s c r i e c i r c u m f e r e n t a , S i

s t s a d e u r t -

p o t r i v 4 d e p a r t a t i l d e c e n t r u l t i c , c a d i n a c e s f a m i s -

c a r e n i c i n u m a i i n c h i d e m i l , n i c i n u m a i d e s c h i d e r a i

c o m p a s u l t i . D e a c i s e v e d e c a :

3 2 . C i r c u m f e r e n t a e s t e u t i l i n i e c u r b a i n c h i s i t , c a r e

a r e t o t e p u n c t e l e

a l e n i t p o t r i e d d e p i i r t a t e d e u n i t

p u n c r a d i n n a u t r u l a e i , n u i n i t a c e n t r e .

' I d

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2 4

L I N I I

D R E P T E D U S E I N C I R C U M F E R E N T A

3 3 . R a p . L i n i e a d r e p t a O A , d u s l a d e l a c e n t r u l t i

c i r c u m f e r e n t e T , l a u n i l p u n c t i l O r e - c a r e d e p e c i r c u m -

f e r e n t a s e n u m e s c e r a g a , c a r e s e c i t e s t e : r a g a O A .

a

D e l a

c e n t r u l i l

c i r -

c u m f e r e n t e i p u t e m i i

d u c e o r i O l e r a g e v o m i i

v o i ,

i t o t e r a d e l e s u n t i t

e g a l e , c a d t O t e p u n c t e l e

c i r c u m f e r e n t e T s u n t i l d e

u g , p o t r i v g d e p A r t a t e d e

c e n t r u . A s t - f e l t i a v e m i l

r a g a O A = r a 4 a . 0 . 7 3 : - _ - _

r a g a O C , e t c .

L i n i e a d r e p t t i M N , c a r e t r e c e p r i n

c e n t r u l a c i r c u m f e r e n t e T s i s e o p r e s c e c u e x t r e m i t t l -

t i l e s a l e N , M , p e c i r c u m f e r e n t k s e n u m e s c e d i a m e t r i c .

I n t r ' u a c i r c u m f e r e n t a p u t e m u d u c e o n - s a t e d i a -

m e t r e v o m i t v o i s i :

t o t e d i a m e t r e l e s u n l i t e g a l e , c 6 e l '

t O t e s e c o m p u n t i d i n e a t e d o n e r a g e .

3 5 . U n a d i a m e t r u i m p a r t e c i r c u m f e r e n t a i n d o u ' d

y a r t 1 e g a l e ,

D o n e d i a m e t r e p e r p e n d i c u l a r e i n t r e

- e l e i m p a r t i l c i r c u m f e r e n t a i n p a t r u p a r t i e g a l e .

3 4 . D i a m e t r u .

i t

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2 5

3 6 . C o r d s . L i n i e a d r e p t a L H , c a r e u n e s c e

p u n c -

t e l e L i H , l u a t e p e c i r c u m f e r e n t a ,

s e n u m e s c e c o r d .

T

U l f c o r d s e s t e c u a t a t a

m a i m a r e , c u c a t a s e

a p r o p i e m a i m u l t a d e

c e n t r a l c i r c u m f e r i n t e i .

3 7 . S e c a n t i t . L i n i e a

d r e p t a A S , c a r e t a i e c i r -

c u m f e r i n t a I n d o u e

p u n c t e m , m , r a r a s a s e

o p r e s c a l a e l e ,

s e n u -

A

C r

m e s c e s e c a n U t .

3 8 . T a n g e n t i L L i n i a d r e p t a T G . c a r e a t i n g e c i r -

c u m f e r e n t a n u m a i i n t e u n t i s i n g u r a p u n c t a c ,

s e n u , -

m e s c e t a n g e n t t i P u n c t u l i t c , u n d e a t i n g e c i r c u m f e -

r e n t a , s e n u m e s c e p u n d i t d e c o n t a c t &

3 9 . A r e a . U a p a r t e O r e - c a r e d i n c i r c u m f e r e n t a ,

s e

n u m e s c e a r c i i ; s . e . i n f i g u r a p r e c e d e n t s : m L , L H ,

l i e , s u n t a n i s c e a r e n a .

4 0 . G a u d a r c u l a e s t e c h i l i u a j u m e t a t e d e c i r c u m -

C

f e r e n t a , s e n u m e s c e s e -

m i - c i r c u m f e r e n c e ;

i a r

a n d e s t e e g a l a

e n a

p a t r a p a r t e d i n c i r c u m -

f e r e n t a ,

s e n u m e s c e

q u a r t d e c i r c u m f e r e n -

t a . S . e . a r c u r i l e A C B

A D B , s u n t a s e m i c i r -

c u m f e r e n t e , i a r a r c u r i l e

A C , C B , B D D A s u n t

q u a r t u r i d e c i r c u m f e r e . . i t t i ,

3

,

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2 6

D I V I S I U N E A C I R C U M F E R E N T E I I N G R A D E .

4 1 . O r T - c e c i r c u m f e r e n t t i s e

i m p a r t e i n 3 6 0 d e

p a r t i e g a l e , n u m i t e g r a d e ; f i e - c a r e g r a n s e I m p a r t e

i n 6 0 d e p a r t . T e g a l e , n u m i t e m i n u t e , s i f i e - c a r e m i -

n u t e i n 6 0 p a r t i e g a l e , n u m i t e s e c u n d e . A s a d a r c i r -

c u m f e r e n t a a r e 3 6 0 g r a d e , s a i l 3 6 0 X 6 0 = 2 1 6 0 0 m i -

n u t e , s a i l 2 1 6 0 0 X 6 0 = 1 2 9 6 0 0 0 s e c u n d e .

C a s a a r a t a m i i , c a u n u n u m e r i l O r e - c a r e r e p r e -

p r e s i n t a g r a d e d e c i r c u m f e r e n t a , I T p u n e m i l u a m i c a

n u l a i n p a r t e a d r e p t a a s a , s i c e - v a m a i s u s t i ; c a s a

a r a t a m i l , c a . n u m e r u l i l e x p r i m a m i n u t e , ' T p u n e m a

u n i i a c c e n t i l '

,

s i e a s a a r a t a m t i . e a n u m e r u l i i e x -

p r i m a s e c u n d e , I T p u n e m i l d o u e a c c e n t e " . S . e . n u -

m e r e l e 2 4 , 1 5 ' , 3 7 " , i n s e m n e z a : 2 4 g r a d e , 1 5 m i -

n u t e s i 3 7 s e c u n d e .

O b s e r v a r e . C i r c u m f e r e n t e l e d e s c r i s e c u f a d e m a i

m a r l , a u u a l u o g i m e m a i m a r e d e c a t i l c e l e d e s c r i s e

c u r a g e m a i m i c T ; c u t o t e a c e s t e a s i u n c l e s i a l t e l e

s e i m p a r t i l t o t i l i n 3 6 0 . N u t r e b u e d a r s a c o n f u n -

d a m n l u n g i m e a c i r c u m f e r e n t e i , c u n u m e r a l g r a d e -

l o r u

D E S P R E M I S U R A I N G R A D E A U N L I T A R M

D E C I R C U M F E R E N T A .

4 2 . A m e s u r a u n i t a r e a d e c i r c u m f e r e n t a , v a s c i

d i e d a a f l a d e c a t e o r i s e p o l e c o p r i n d e i m e t a u a l u n -

g i n i e O r e c a r e , l u a t a c a u n i t a t e d e m e S u r a .

i n s t i p e u n i l a r c i l d e c i r c u m f e r e n t t i n u s e p O t e

e T .

a -

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0 7

e e d a n i c i u a l i n i e d r e p t a , n i c i u n i i a n t i d e s e r i s t i e n

u a a l t s r a g a . A s a d a r u n i t a t e a d e m e s u r a a u n i a r c h

t r e b u e s a f i e i a r a s i u n i t a r c t i c ,

d e s c r i e r & c u a c c e n i

r a r y t , c a s i a r c u l t i c e

s i t m a s u r t i m r c . D e a c i y e -

d e m i i ,

a r c u l f i l u a t u c a u n i t a t e d e m e s u r a , e s t e u r t

s u b d i v i d i u n e a c i r c u m f e r e n t e l , d i n c a r e e l l f a c e p a r t e ,

e a r l s u b d i v i d i u n i s c i m i l , c a s n n t i l g r a d e , m i n u t e s i

s e c u n d e .

4 3 . N u m e r a l g r a d e l o r t i ( m i n u t e l o r i i , s e c u n d e l o r a )

u n u i a r c h d e e i r c u m f e r e n t a s e a f l a c u r a p o r t o r u l t i .

4 4 . R a p o r t o r u l i t R a p o r t o r u i r t e s t e u n i t i n s t r u m e n t s

d e a l a m r i , s i . 1 d e o s t i . F o r m a s a e s t e , e a a u n e i s e m i -

e i r c u m f e r e n t e , i m p A r t i t e i n 1 8 0 , a l e c a r e e x t r e -

m i t i l t i s u n t i l u n i t e p r i n t e u n t i d i a m e t r u . I n c e n t r a l

a c e s t u i d i a m e t r u e s t e i n s e m u a t i l c e n t r u l t i

s e i n i c i r -

c u m f e r e n t e i r a p o r t o r u l u i .

4 5 . C a s a m e s u r a m t i u n i t a r c t l A B c u r a p o r t o r u l t i ,

d u c e m i l m a i 1 n t a i t i d i n c e n t r u l u 0 a l i t a c e l u t a r c h ,

( t o i l e r a v e l a e x t r e m i t a t i l e s a l e A s i B , p e e a r l ' l e p r e -

l u n g i n g , c a s a f i e

t o t e - d ' a u n a m a i l u n g d e c a t t i

c a i r n

c h

g i

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2 8

r a 4 a r a p o r t o r u l u i . A s e c l a m i l a p o l r a p o r t o r u l l c u c e n -

t r u l t i s a l i n c e n t r u l t i 0 a l l a r c u l u T , s i s e m i - c i r c u m f e -

r e n t a s a o c u l e a m i l s p r e a r c u l l A B . D u p a a c e e a n u -

m e ' r a m i l g r a d e l e d e p e m a r g i n e a r a p o r t o r u l u i , c a r e

e s t e c a p r i n s a i n t r e r a c l e l e O A s i O B a l e a r c u l u T A B ,

A s t i t f e l l d a d a p r e s u p u n e m l , c a a t n u g a s i t l 4 5 g r a -

d e , a t u n c l

e a s i a r c u l l A B e s t e d e 4 5 g r a d e .

O b s e r v a r e . D a c a d i n e e n t r u l l 0 a l l a r c u l u T A B .

v o m i t d e s c r i e s i a l t e a r c u r i g 1 t , n u n , e t c . , c u r a c e m a i

m a r l . s a l m a i m i d i d e c a l l r a g a O A . a a r c u l u i A B ,

s e v e d e c a d i a t r e a c e s t e a r c u r i , g i t e s t e m a i m a r e ,

i a r i n n e s t e m a i m i c a i n l u n g i n s e d e c a l l a r c u l l A B .

C u t o t e a c e s t e a r a p o r t o r u l d n e a r a t a , c a t o t e a c e s t e

a r c u r i s u n t i i t u t u d e c a t e 4 5 ' ) . N u t r e b u e a s a d a r , s a

c o n f u n d a m i l n u m a r u l i l d e g r a d e a l l u n u T a r c a c u

l u n g i m e a s a .

C a s a a f l a t n d l u n g i m e a u n t i l a r c a e x p r i m a t a i n m e -

t r i , t r e b u e m a i i n t a i l s a c u n O s c e m t i m e s u r a s a

p r i m a t a i n g r a d e .

M g S U R A I N M E T R E A L U N G I M I I C E R C U M F E R E N

T E T

A L U N G I M I I U N U T A R C a .

4 6 . S u a r i m a t t e o b i e c t e , s a i l l u c r u r T c a r a r a ( ) m e -

a l l e - a u d a t a f o r m e c i r c u l a r e . s u n t i l r O t e l e

t r a s u r i l o r i i s i a l e m a s i u e l o r t i ; c e r c u r i l e s i f u n d u r i l e

v a s e l o r t i ; f o r m e l e m o n e t e l o r l , a l e

o r o l o g i e l o r t i , a l e

u n o r l s c a u n e , m e s e , e t c . , e t c .

C a s a f l a m l l u n g i m e a e i r c u m f e r e n t e i u n u i a d i n

a c e s t e o b i e c t e d e f o r m a c i r c u l a r a ,

s . e . l u n g i m e a

c i r c u m f e r e n t e T u n e T r o t e , n ' a v e m a d e c a t t l s a d u c e m l

. e x -

A s t i r - f e l l

d i c e m a ,

$ 1

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2 9

m a t i n t a i l u a l i n i e d r e p t a ,

x y p e u a s c a n d u r a n e

s a i l p e u n u p a -

m e n t i l

b i n e

p o t r i v i t i l .

D u p a a c e i a s a p u n e m u

r o t a i n p o s i t i u n e v e r t i -

c a l s , c u u n n p u n c t i l A

a l u c i r c u m f e r e n t e i s a l e

p e l i n i e a d r e p t 5 . * . x y . A p o i

s a r o s t o g o l i m i l r o t a i n

l u n g u l t t l i n i e T x y , p a n s

c a n d p u n c t u l i l A v i n e

d i n n o i l p e l i n i e a d r e p t a .

I n f i n e s a m a s u r a m i l l i -

n i e a d r e p t a A A c u m e -

s u b d i v i c l i u n i l e

$ i r e s u l t a t u l i l c e a -

t i a r a ' e x p r i m a l u n g i m e a

c i r c u m f e r e n t e a c e l e i r o -

t e . A s t - f e l i i d a t a p r e s u -

p u n e m i l , c a a m u a f l a t i l

l i n i e a A A d e 4 m , 3 5 7 , a -

t u n c i t l i c e m u , c a l u n g i -

m e a c i r e u m f e r e n t e i a c e -

l e i r o t e e s t e d e 4 ' m , 3 5 7 .

A c e s t a p r o c e d a r e p e n -

t r u a f l a r e a l u n g i m i T c i r -

c u m f e r e n t e i n u s e p O t e

a p l i c a , d e c a t i l n u m a i l a

a c e l e

o b i e c t e ,

s a i l l u -

c r u r i , p e c a r i l e p u t e m i i

H

t c

t e d g ,

I t i i ,

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3 0

r n i s c a d i n l o c u l t i 1 o r u , s i

a s t f e l i i

p r i n r o s t o g o l i r e

s a l e d e s f e i f u r t i n u i i n E l l i e d r O p t a .

4 7 . C a n d I n s a c i r c u m f e r e n t e l e n u s e p a l m i s c a d i n

l o c i l , p r e c u m s u n t i l c i r c u m f e r e n t e l e d e s e m n a t e p e

h a r t i e , c i r c u m f e r e n t e l e b a s i n u r i l o r t i , a l e a r i i l o r r t d e

t r e e r a t r t , a l e u n o r i l b r a s d e d e f l o r i , e t c . , a t u n c l n u

m a i p u t e m i l a f l a l u n g i m e a c i r c u m f e r e n t e i p r i n d e s r a i -

s u r a r e .

I n a c e s t a c a s i l l u n g i m e a c i r c u m f e r e n t e l s e

a f l a c u a j u t o r u l i l o b s e r v a t i u n i T u r m a t O r e :

0 b s e r v a r e . D a c a n f O s u r a m a l u n g i m e a A A a c i r c u m -

f e r e n t e I d i n f i g u r a p r e c e d e n t s , c u u n i t d i a m e t r u a l s e i l ,

g a s i m i i c a d i a m e t r u l i t s e c o p r i n d e a p r O p e d e 3 , 1 4 o n

i n l u n g i m e a a c e l e i c i r c u m f e r e n t e . d e u n d e r e s u l t s c a . :

h i n y i t n e a c i r c u m f e r e n f e i e s t e e g a l i i

d i c o n e t r u l e i s ' e i t

" i n t m u l t z t i i c u " . 7 , 1 4 . A v e s t i l e a i t i

a i r t a p : w a i t c o n s t a n t i l

3 , 1 1 , d i n t r e l u n g i m e a c i r c u m f e r e n ( e i s i d i a m e t r u l i t s e t t

s e i n s e m n e z a i n m a t e m a t i c e p r i n l i t e r a g r e c e s c a i s ( p i ) .

A s a d a r , d a t a i n s e r n n a m i l p r i n R , r a c l a u n e l c i r c u m -

f e r e * O r e - c a r e , l u n g i m e a e i v a 1 1 : d i a m e t r u l i t

i m m u l t i t u c u 7 C . A d i o s :

e i r c u m f e v e n t a = 2 7 r 1 1 .

A P L I C A T I U N r .

4 8 . P r o b l e m I . s r t s e a f l e l u n g i m e a u n e T c i r c u m -

f e r e n t e , c a r e a r e d i a m e t r u l t i d e 1 z n , 7 5 .

C a s a d e s l e g a m i l a c d s t a p r o b l e m s , s c i m i l d e l a o b -

s e r v a t i u n e a p r e c e d e n t s , c a l u n g i m e a c i r c u n f l e r e n t e i

e s t e e g a l a c u d e 3 , 1 4 o n l u n g i m e a d i a m e t r u l t i f s e a

, 7 5 . A v e m i l d a r : e i r c u m f e r e n t a = 1

S i n , 4 9 5 .

l m

c c

2 R ,

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P r o b l e m 1 1 . D i a m e t r u l t u n e i m o n e t e d e 1 0 b a n i

e s t e d e 3 0 m i l i m e t r i ; c a r e e s t e l u n g i m e a c i r c u m f e r e n -

t e i s a l e ?

L u n g i m e a c i r c u m f e r e n t e i a m u c l i s u , c a e s t e e g a l a

c u d e 3 , 1 4 o n l u n g i m e a d i a m e t r u l u i s e r i 3 0 m i n .

A v e m i l d a r :

l u n g i m e a c i r c u m f e r e n t e i m o n e t e l d e

1 0 b . = . 3 0 m m X 3 , 1 4 = 9 4 m m

, 2 0 .

P r o b l e m a I I I . R o t a d e d i n d a . r a t i i a u n e i t r a s u r i a r e

d i a m e t r u l i i W I d e l m , 4 5 , i a r r o t a d e d i n a i n t e a r e d i a -

m e t r u l a d e 1 n 1 , 1 8 . C u c a t u e s t e m a i l u n g s c i r c u m f e -

r e n t a r O t e i d e d i n d a r a t i l , d e c a t a a a c e l e l d e d i n a i n t e ?

I n a c e s t a p r o b l e m s t r e b u e m a i m a i n s a a f l a m u

l u n g i m i l e c i r c u m f e r e n t e l o r a r O t e l o r t i ,

S i a p o i s a f a -

c e i n a d i f e r e n t a i n t r e e l e :

L u n g i m e a c i r c u m f e r e n t e i r e t e i d e d i n d a r a t t i e s t e

d e . .

.

.

.

.

1 m , 4 5 X 3 , 1 4 = _ - 4 m , 5 5 3 0

L u n g i m e a c i r c u m f e r e n t e i

r e t e i d e d i n a i n t e e s t e d e .

1 m , 1 8 X 3 , 1 4 = 3 m , 7 0 5 2 .

A s a d a r

d i f e r i n ( a d i n t r e l u n g i m i l e

c i r c u n i f e r e n t e l o r a e s t e d e

0 m , 8 4 7 8 .

P r o b l e m a I V . C i r c u m f e r e n t a m u f f b a s i n f i G i n d u

d e 2 4 m , 6 5 8 , s a s e a f l e l u n g i m e a d i a m e t r u l u i s e g .

S e l m a e a c i r c u m f e r e n t a 2 4 m , 6 5 8 , e s t e c a t i i d e 3 , 1 4

o n d i a m e t r u l t s e a ;

a t ; a d a r , d a t a v o m i t l u a a 3 , 1 4

p a r t e d i n c i r c u m f e r e n t a 2 4 1 ' 1 , 6 5 8 , a c e s t a v a f i l u n g i -

m e a d i a m e t r u l u i . A v e i n a d a r 2 4 ' 1 1 , 6 5 8 : 3 , 1 4 = 7 m , 8 5 2 ,

a d i c a : d i a m e t r u l i t a c e l u l b a s i n i l e s t e d e 7 m , 8 5 2 .

P r o b l e m a V . D i a m e t r u l i i r e t e i u n e i t r a s u r i e s t e

d e 1 m , 5 8 . D e c a t e o n s e v a i n v e r t i a c e a r o t a m e r -

g e n d i a d r e p t a u a d i s t a n t . d e 2 c h i l o m e t r i ?

C a s a a f l a n n i d e c a t e o n s e i n v e r t e s c e a c e a r o t a

t r e b u e , c a s a a f l a m i l d e c a t e o n s e c o p r i n d e i n e e l 2 k m ,

R l

,

:

. . . . .

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3 2

s a t i n 2 0 0 0 m e t r i , l u n g i m e a c i r c u m f e r e n t e i s a l e

c a r e e s t e 1 . " ' , 5 8 > < 3 , 1 4 7 : 4 f f ' , 9 6 1 2 . A v e m t d a r :

2 0 0 0 : 4 , 9 6 1 2 = 4 0 2 i n v e r t i t u f l ,

a p r O p e

d i n -

W O . i n v e r t i t u r a .

M E S U R A L U N G I M I I U N U I A R C O

P r o b l e m s I . C a r e e s t e l u n g i m e a a r c u l t i f u n u i r a -

p o r t o r t , a l l c a l l a d i a m e t r u e s t e d e u m ) d e c i m e t r u ?

R a t i o n a m t a s h - I - f e l t :

A r c u l t r a p D r t o r u l u l f i i n d u c a t t i u l j u m e t a t e d e

c i r c u r n f e r e n t a , v a a v e a u a l u n g i m e e g a l t c u j u -

m e t a t e a l u n g i m e i c i r c u m f e r e n t e i ; a d i c a a c e l t a r c a

e s t e =

l t h n * > e 3

' 1 4

= 1 4 . . , 5 7 .

2

O b s e r v a r e . C a s a a f l a m i l l u n g i m e a a r c u l u t d e 1 " d i n

c i r c u m f e r e n t a , a l t c t r u ' i d i a m e t r u ' I t e u n n s c e m i i

n ' a v e m i l d e c a . t i l s e t i m p a r c i m i l c u 3 6 0 l u n g i m e a 2 r 1 1

2 1 t R a R

: 3 6 0 = 1 8 0

a c c l e f c i r c u m f e r e n c e , c e i a - c e d a

A p o i , c a s t a f l a m e l u n g i m e a u n u a r c a . d e m e i m u l t e

g r a d e , s . e . d e n g r a d e : i m m u l t i m u l u n g i m e a a r c u l u i d e

u n u g r a d e c u n u n t 6 r e d g r a d e l o r r t a c e 1 2 4 a r a , c e i a - c e

i r R n

0

8 '

a : A d i c t : l u n g i m e a L a a r c u l l 4 d e n g r a d e e s t e :

T C R I 1

L _ 1 8 0

1 8 0

P r o b l e m s I I . D i a m e t r a l q u a d r a n u l t i l u n t i l o r o l o g i i l

e s t e 4 d n 3 , , 2 5 . S a s e a f l e l u n g i m e a a r c u l u i d e s c r i s a

d e m a n , c a r e a r a t a m i n u t e l e , i n t i m p i l d e 1 5 m i n u t e .

R a t i o n a m n a s t - f e l t :

I n t i m p t l d e 1 5 m i n u t e a c a l p e r c u r g e a 4 - a p a r t e

s i

t e a s

I

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3 3

d i n c i r c u t n f e r e n t a q u a d r a n u l u T , a d i c a 3 6 0 : 4 = 9 0

A c e s t i i a r c i l i i i n d u a 4 - a p a r t e d i n c i r c u m f e r e n t a ,

l u n g i m e a s a v a f i c a t ] a 4 - a p a r t e d i n l u n g i m e a c i r -

c u m f e r e n t e T , a d i c a c a t ]

4 , 2 5 X 3 1 . 4 = 3 d m , 3 3 6 .

,

4

P r o b l e m s I I I . S a s e a f l e l u n g i m e a u n u i a n t i d e

1 8 g r a d e , a c A r u i r a l a e s t e d e 2 m , 3 7 .

M a i I n t a i t o b s e r v a m t c a d i a m e t r u l i l c i r c u m f e r e n -

t e T a c e l u T a r c i l e s t e 2 X 2 , 3 7 . A p o T r a t i o n g m i l a s a :

D a c A c e l e 3 6 0 a l e c i r c u m f e r e n t e i , d i n c a r e a r c u l a

d a t i l f a c e p a r t e , a n o l u n g i m e d e 2 X 2 , 3 7 X 3 , 1 4 ,

l u n g i m e a a r c u l u T , d e 1 , v a

f i

a 3 6 0 p a r t e d i n

2 X 2 , 3 7 X 3 , 1 4 a d i c a :

2 X 2 , 3 6 0

s i p r i n u r m a r e

7 X 3 , 1 4

a r c u l i i d e 1 8 v a f l

d e 1 8 o r T m a i l u n g ] , a d i c a :

a r c u l a d e 1 8 a r e l u n g i m e a d e :

2 X 2 , 3 7 X 3 , 1 4 X 1 8

3 6 0

7 m , 4 4 1 8 .

5 0 . E g a l i t a t e a a r c u r i l o r t D o u g a r c u l l d e a t e u n i 4

a c e l a 0 n u m e r i c d e g r a d e , f i d e m i s e C u a c e i q i r a d i i ,

& a n t i c e g a l e i n l u n g i m e . 1

. . , ,

m a f i e - c a r e d i n e l e n u e d e c a t u r e p e t i r e a d e -

s e m n u l u T c e l u i a l t i l .

3

3 6 0

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3 4

C A P I T O L U L t i I I I .

D E S P R E U N G H I U R I .

1 . D E F I N I T I U N I .

5 1 . 1 . U n g h u I l . S e n u m e s c e 1 4 . n g h i i i s p a t i u l i i c o -

p r i n s i l i n t r e d o u 6 U n i t , c a r e p l e d i d i n a c e l a q i p u n c t i l

i n d i r e c f i u n i d i f e t i t e

E s e m O l u . S p a t i u l i l c o p r i n s i l i n t r e

l i n i i l e A B . i B C , e a r l ' p l e a ' d i n

p u n c t u l i l B , e s t e u n i l u n g h i i l . L i n i i l e

A B i B C s e n u m e s c i l l a t u r i l e u n -

g h i u l u T .

j a r p u n c t u l i i B , d e u n d e

A ,

p l e a a c e s t e l a t u r i , s e n u m e s c e v e r -

l u l u u n g h i u l u T .

5 2 . U n t i u n g h i u s e c i t e s c e C u c e l e t r e i l i t e r e a l e

s a l e , s p u n e n d U p e c e a d e l a v e r f i l l a m i j l o c i l . A s t l i -

f e l i i u l t p . n d u - n e p e f i g u r A , c i t i m i l : u n g h i u l i l A B C

s a i l C B A . S e c i t e s c e u n t i l u n g h i i l q i n u m a T c u l i t e r a

v e r f u l t i i s ' e i l , a d i c a :

u n g h i u l g B .

5 3 . . 2 1 1 a r i m e a u n u i u n g h i i i 2 2 . 1 s t d i n l u n g i m e a l a -

t u r i l o r i s a l e , c i i n d e s c h i d e r e a , s a l t c l e p c i r t a r e a l o r e

i n a p r o p i e r e d e v e r f u i t i u n g h i t t l u i .

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3 5

A

e

A s t u - f e l a u n g h i u l i i A B C , c a r e a r e l a t u r i l e s a l e

m a i s c u r t e , e s t e m a i m a r e d e c a t i i u n g h i u l t i D E F ,

c a r e a r e l a t u r i l e m a i l u n g i , p e n t r u a l a t u r i l e u n g h i u -

l u i B s u n t i i m a i d e s c h i s e l a v e r f u l t i B , d e c A t i l l a -

t u r i l e u n g h i u l u i E .

5 4 . I I . U n g h i n r a d i a c e n t e . S e n a m e c u u n g h i u 4

a d i a c e n t e d o u e u n g h i u r i , c a r i a u v e r f u l t i & a - 4 i n a c e -

l a f l p u n e t a q i t a t l a t u r e c o m u n e t .

E s e m p I u . U n g h i u r i l e C A B i D A B s u n t i l u n g h i u r i

a d i a c e n t e , p e n t r u c A a u v e r f u l i l l o r i l i n a c e l a s T p u n c t i l

A , s i

' I A

l a t u r e c o m u n A A B l a a m e n d o u g u n -

s h i u r i l e .

C

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3 6

5 5 . M . U n g h i d a s e n t i t d i u n g h i d o b t u s d . C a n d

u g l i n i e d r e p t a o b l i e d , I n t f d n e s c e p e 0 a l t a l i n i e d r e p t A

I n t r ' u n n

p u n c t i l

O r e -

D

c a r e , f o r m e z a d e u s

p a r t e s i d e a l t a d o u 6

u n g h i u r i

a d i a c e n t e . s i

A .

C

3 B

n e e g a l e , d i n t r e e a r l ' :

U n g h i u i r c e d i t m a i m i d i , s e n u m e s c e u n g h i i t a -

s e t t l i t a , i a r c e l l - 4 m a i m a r e u n g h i i i o b t u s i . 4 .

E s e m p l u . L i n i e a a n d . D C i n t A l n e s c e p e l i n i e a A B

I n p u n c t u l C , s i f a c e d o n e u n g h i u r i a d i a c e n t e : D C B

s i D C A . D i n t r e a c e s t e u n g h i u r i , D C B c a r e e s t e m a t

m i e n , s e n u m e s c e u n g h i i i a s e u f i t i i , i a r D C A , c a r e

e s t e m a i m a r e , s e n u m e s c e u n g h i a o b t u s e .

O b s e r v a r e . D i n t r e d o u e u n g h i u r i a d i a c e n t e a c e l a e s t e m a t

m i c a , c a r e e s t e i n p a r t e a , s p r e c a r e s t i t a p l e c a t a ( A l i a m a i

m u l t d .

A s t d - f e l d o b l i c a C D , c a r e s e a p l e c i m a i m u l t d

s p r e d r e p t a ,

f a c e i n a c e s t a p a r t e u n d u n g h i d D C B , m a t

m i c e , d e c l t d u n g h i a l d D C A d e s p r e s t i n g a e T .

5 6 . I Y . U n g h i d d r e p t i l . C a n d t a i l l i n i e d r e p t a ,

e s t e p e r p e n d i c u l a r A p e u s a l t s l i n i e d r e p t A , a t u n d t

f o r r n e z a d e o p a r t e s i d e a l t a a e i d o u e u n g h i u r i

a d i a c e n t e , e a r l s e n u m e s c e u n g h i u r i d r e p t e .

E s e m p l u .

L i n i e a

c

d r e p t i l C D , c a r e e -

s t e p e r p e n d i c u l a r s p e

A B I n p u n c t u l t i D r

f o r m e z a u n g h i u r i l e

A

. 7 )

2

a d i a c e n t e C D A q i

C D B , m e i s e n u m e s c e u n g h i u r i d r e p t e .

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3 7

I I . E G A L I T A T E A U N G H I U R I L O R e .

5 7 . P r o p r i e t a t e a 1 . D o u a u n g h i u r i s u n t a e g a l e

c a n d s u n l i t e g a l e a r c u r i l e c o p r i n s e i n t r e l a t u r i l e l o r a

d e s c r i s e e a a e e i a g r a p d i n v e r f u r i l e l o r a c a

c e n t r e .

C a s a p r o b a m t i a c e -

s t a p r o p r i e t a t e , 1 0 [ 0

d o u e u n g h i u r i A 0 B

d i n v e r f u r i l e l o r t i c a c e n

t r e , d e s c r i e r n f i c u u a a -

c e i a s i r a d a A h a r c u r i l e

s P t

P ' h n s i m p . P i c e i n t c a

d a c a a r c u l t i h n e s t e e -

g a l f i c u a r c u l t i m p , a -

t a n d u n g h i u l t i A v a f l e g a l t i c u u n g h i u l t i B ; c a d :

, d a t a l u a m u u n g h i u l u B c u r a d a B m

p e s t e e g a l a s a A h , a t u n c i a r c u l A n i p s e a s e d I s i e l t 1

p e s t e e g a l u l f i

p u n c t u l t i p s e o p r e s c e i n

p u n c t u l I l

d a r s i c e a - a l t s r a g a B p , a u n -

g h i u l u i B , s ' a a s e d a t t i p e s t e r a g a A n a u n g h i u l u i A ,

d e O r e - c e e x t r e m i t a t i l e B , i p , a l e r a d e i B p s u n t a a -

4 e d a t e i n e x t r e m i t d t i l e A 0 n , a l e r a d e i A n . P r i n u r -

m a r e u n g h i u l u B a s e d e n d u - s e e s a c t i l p e s t e u n g h i u 1 4

A , r e s u l t s c a e l e s a f i e e g a l e .

5 8 . P r o p r i e t a t e a I I . D e c o t e o n a r c u l u d e s c r i s e d i n

v e r f u N u n u T u n g h i u , c a c e n t r u , e s t e m a T m a r e d e c a t i l

a r c u l a , c l e s c r i s t i c u a c e i a f i r a p , d i n v e r f u l e a l l u t

u n g h i a , t a l i d e a t a t e a o r s

q i p r i m u l a u n g h i a e s t e

n i a T m a r e d e c a t a c a r t d e a l i t d o u i l e a

a s e d a m i l

s e l l

n . A s a

u n g h i a .

g i

h a , s i

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3 8

C e s i t d e r n o n s t r A m i l a c e s t a p r o p r i e t a t e , f i e u n g h i u l t i

A s i u n g h i u M B . - - D i n v e r f u r i l e ] o r i , c a c e n t r e , d e -

s c r i e m u c u a c e i a s i r a g a O A R u n i l a r c h D C i E F ,

s i d a t a m e s u r a m g a r c u l i l D C c u a r c u l t i E F , i p r e s u -

p u n e m i l e a a r c u l t i E F s ' a c o p r i n s i i i n a r c u l i l D C d e

9 o r T , a t u n c i s e v e d e c a r e u l i i D C e s t e d e 9 o r i m a T

m a r e d e M i l E F .

A p o i d a t a d i n p u n c t e l e d e i m p g r t i r e m , n , p , e t c . ,

a l e a r c u l u l D C , d u c e m i l r a g e l e A m , A n , A p . , e t c . , a - ,

t u n c i v e d e m i l c a u n g h i u l t A s ' a d e s c o m p u s t i i n 9 - u n -

g b i u r i e g a l e c u u n g b i u l t B , c a d t o t e a c e s t e u n g h i u r T

a l l i n t r e l a t u r i l e l o r t a r c u r T e g a l e c u a c e l a s i a r e f i E F

a l i i u n g h i a l u l B ( P r o p r . 1 ) .

P r i n u r m a r e s i u n g h i u l i l A e s t e d e 9 o r T m a T m a r e

d e M u u n g h i u l a B , d u p a c u m e r a s i a r c u l i l D C a -

s e m e n e a d e 9 o n m a i m a r e d e M u a r c u l i i E F .

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M E S L T R A U N G H I U R I L O R V .

1 1 1 U N I T i T I D E I v I P S U R A .

5 9 . U n i t a t e a d e m e s u r A , c a r e s e i n t r e b u i n t e z A m a i

d e s i l l a m e s u r a u n g h i u r i l o r t i , e s t e u n g h h i l t i , c a r e c o -

p r i n d e i n t r e l a t u r i l e s a l e u n t i a r c t i d e u n i t g r a d i l ,

c a r e a r c i l e s t e d e s c r i s t i d i n v e r f u l u u n g h i u l u i c a c e n -

t r u , c u u a r a p o r e - c a r e .

M e h l u n g h i t i s e d i c e

u n g h i i i d e u n i t g r a d i i .

U n g h i u l i l d e 1 s e s u b i m p a r t e , c a s i a r c u l t i d e l o -

i n 6 0 u n g h l u r i e g a l e d e O t t ' u n t i m i n u t i l , s i u n -

g h i u l i l d e u n i t m i n u t i l s e s u b i m p a r t e s i O f i n 6 0 u n -

g h i u r i e g a l e d e c a t e u t t s e c u n d a .

6 0 . A m e s u r a u n i t u n g h i i i , v a s i t ; l i c i t a a f l a c a t s

u n g h i u r t d e m i r e g r a c i l e , d e u n i t m i n u t i l , e t c . , s e c o -

p r i n d i t i n a c e l t i u n g l i i i t .

M e s u r a u n g h i u l u i s e f a c e c u r a p o r t o r u h l .

6 1 . 1 1 I 6 s u r a u n u T u n g h i I l . . 3 1 6 s u r a u n u i u n g h i i i e s t e

e g a l a c u m

1889 - mirescu, d. - curs elementar de geometrie practic - pentru usul claselor ncepetore de...

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