Proiect didactic al leciei de matematic

Grupa: C221, profil real

Profesor: Pelevaniuc Natalia

Data: 31.01.2013

Numrul leciei n modul (conform proiectrii didactice de lung durat): 75-76/128

Durata leciei: 80 de minute

Modulul: Aplicaii ale derivatelor

Subiectul leciei: Probleme de maxim i minim. Optimizri. Or de sintez

Competene:

C1:

C2:

Subcompetenele curriculare:

S1:

S2:

S3:

S4:

Obiectivele leciei. La finele leciei elevii vor fi capabili:

O1: s recunoasc probleme de maxim i minim;

O2: s recunoasc i s utilizeze n rezolvarea problemelor practice algoritmul determinrii extremului global al funciei;

O3: s utilizeze derivata funciei la rezolvarea unor probleme simple de maxim i minim;

O4: s evidenieze, n procesul rezolvrii de probleme, avantajele pe care le ofer matematica n abordarea, clarificarea i

rezolvarea unor probleme practice sau situaii cotidiene.

O5: s manifeste curiozitate i imaginaie n crearea strategiilor de rezolvare a problemelor;

O6:

O7:

Tipul leciei: Lecie de formare a capacitilor de dobndire a cunotinelor.

Tehnologii didactice:

) forme de nvare:

- frontal;

- n perechi;

- n grup;

- individual;

b) metode de predare:

- metoda expunerii problematizate;

- metoda exerciiului;

- metoda asaltului de idei;

) mijloace de nvmnt:

1) Manualul Matematica pentru clasa a XI-a, autori: I. Achiri, .a., Editura Prut Internaional, Chiinu, 2010.

2) Fie de lucru pregtite de profesor;

Evaluare: formativ, evaluri orale i n scris, lucrare independent (fr aprecieri cu note).

Scenariul leciei

Nr.

d/o

Secvenele leciei

Tim

pu

l

Ob

iect

ivel

e

Activitatea profesorului Activitatea elevilor

Evalu

are

a

1. Moment

organizatoric

2

min.

Salut elevii. Noteaz absenele n registru.

Formuleaz subiectului i obiectivele leciei.

Pregtesc rechizitele pentru lecie. Elevul deserviciu anun elevii abseni de la or. Elevii scriu n caiete data i tema leciei de azi.

Vizual

2. Verificarea

temei pentru

acas

7

min.

-Care a fost tema pentru acas?

-Numii funcia, care ai obinut la rezolvarea punctului 2.a, cum ai lucrat pentru a o determina?

-Ce reprezint grafic funcia obinut?

-Cum ai lucrat pentru a determina aria maxim a acestui triunghi?

-Cum altfel se putea de rezolvat ultimul

punct al problemei?

-Explic succint paii efectuai.

-De repetat algoritmul de determinare a

extremelor globale i locale ale funciei. -De rezolvat problema 2, de la pagina 158,

punctul B.

, - ( ) ( )

-Am notat o catet prin x, atunci cealalt va fi a - x. Aria triungiului dreptunghic l

determinm ca semiprodusul catetelor. -Graficul acesteia reprezint o parabol, cu

vrful n .

/, care interesecteaz axa Ox

n puntele ( ) ( ), i axa Oy n puntul ( ). -Deoarece funcia obinut este una de gradul II, cunoatem c ea admite un extrem n

vrful parabolei, adic n punctul .

/,

unde xmax=

, i deci

.

-Aplicnd derivata.

-Calculm derivata funciei ( ), obinem

( )

, egalm derivata cu 0 i

obinem

, deoarece ( ) ,

Evaluare

oral

Apreciez

corectitu-

dinea

rezolvrii

punct de maximum local, i prin

urmare ( )

este maximul local al

funciei, la extremele intervalului avem

( ) ( ) , deci rmine maximul funciei i prin urmare i aria maxim

.

3. Reactualizarea

cunotinelor i a

capacitilor

15

min.

O2

O3

-S ne amintim algoritmul de determinare a extremelor globale ale funciei

, - .

Activitatea cu fia din Anexa 1. -Formm grupuri a cte 4-5 elevi, din bncile vecine. Avei la dispoziie 5 minute pentru fia de lucru propus. -Se solicit determinarea extremelor globale ale funciei:

a) , - ( ) ; b) ( ) ( ) ;

c) ( )

;

(Rspusurile corecte sunt prezentate n Anexa 2)

Cum ai procedat n fiecare situaie?

-Se afl valorile funciei la capetele intervalului.

-Se afl punctele critice ale funciei f, adic

se rezolv ecuaia ( ) . Se calculeaz valorile funciei f n punctele critice determinate i se compar valorile acesteia la capetele intervalului.

Cea mai mic din aceste valori va fi minimul global al funciei f date. Cea mai mare din aceste valori maximul

global al funciei date.

Elevii lucreaz la nsrcinarea propus de profesor.

Grupurile de elevi care au avut una i aceeai nsrcinare, verific rspunsurile obinute. Se explic succint rezolvarea fiecrui grup.

Evaluarea

oral Verific

corectitu-

dinea

expunerei

Urmresc lucrul

fiecrei echipe

Apreciez

rspunsu- rile

4. Preadarea-

nvarea materiei noi

15

min.

O1

O2

O3

O4

O5

Crearea situaiei problem: -Din antichitate s-a pstrat legenda despre o problem, cunoscut ca problema Didonei.

Regina Finikhiei (sec. IX . Hr.) a hotrt s organizeze o colonie pe malul golfului tunisian din Africa de Nord. Ea l-a

convins pe conductorul tribului local s-i dea doar o poriune de pmnt, care poate fi mprejmuit de pielea unui bivol. Ostaii Didonei au tiat n fii nguste pielea respectiv i Didona a mprejmuit cu frnghia format din fiile tiate o poriune de pmnt de pe malul golfului. Astfel a fost instituit oraul Karphaghen. Aadar, problema Didonei a constat n determinarea hotarelor lotului de pmnt cu aria maximal, care trebuie s aib lungimea dat. Aceast problem aparine clasei de probleme numite probleme de

minim i maxim. -Aceste probleme au o mare importan aplicativ. Ne vom convinge n cadrul leciei de astzi, n continuare lucrnd cu aa tip de probleme. S examinm problema citit adugnd, careva date la problem, fie c lungimea frnghiei obinute era de 75 m. S determinm algoritmul rezolvrii problemei. Discutai n perechi i peste 2 minute accept variantele de algoritmi

propui pentru a rezolva problema. - Ce algoritm de rezolvare a problemei

propunei? Se accept orice idee propus. Se face generalizarea:

Lucrnd cte 2, analizeaz rezolvarea pro-blemei.

Noteaz algoritmul respectiv pe o foaie A4. Astfel apar mai multe soluii de rezolvare a problemei.

Expun pe rnd ideile aprute.

Evaluarea

oral

Urmresc cum

progresea-

z efecturarea

nsrcinrii

Apreciez

ideile

propuse

- Pentru a transpune rezolvarea problemei

de maxim sau minim n limbajul

matematic cu ajutorul unei funcii de o singura variabil ne vom folosi de urmtorul algoritm: 1. Vom alege un parametru convenabil

(de exemplu x) i vom exprima marimele din problem prin x. 2. Pentru mrimea, ce trebuie s ating valoarea maxim sau minim, vom alctui o funcie de variabila x. 3. Vom gsi intervalul pe care funcia trebuie s ating valoarea maxim (sau minim). 4. Cu ajutorul derivatei vom determina

punctele de maxim sau minim pe

intervalul obinut. 5. Vom afla mrimea necunoscut din problem i dac se cere i valoarea maxim sau minim. -Deci s revenim la cazul particular din problema noastr.

-Ce vom nota cu x?

-Cum vom determina cealalt latur?

-Cum vom alctui funcia de x, aplicnd care formul?

-De ce anume aceast relaie aplicm?

-n continuare cum vom proceda?

Monitorizeaz rezolvarea problemei.

Elevii i fixeaz n caiete algoritmul de rezolvare a problemelor de maxim i minim.

Un elev trece la tabl. Scrie condiiile problemei i reprezint desenul.

-Una din laturile dreptunghiului ngrdit. -tiind c perimetrul dreptungiului este 75

m, vom obine c cealalt latur este

.

-Vom aplica formula pentru calculul ariei

unui dreptunghi, deci ( )

.

-Pentru c ne intereseaz lotul de pmnt cu suprafaa maxim, deci merge vorba de arie. Rezolvare:

Ghidez

lucrul la

tabl

x

( )

, iar din ( ) avem

, i deoarece ( )

punct de maxim local al

funciei date, deoarece ea este o funcie de gradul II, acesta este unicul punct de maxim

al ei. ( )

m2.

5. Consolidarea

materiei i formarea

capacitilor

15

min.

O1

O2

O4

O5

Activitate frontal: Aplicm algoritmul analizat la rezolvarea unei alte probleme:

-De gsit aa un numr strict pozitiv, pentru care diferena dintre el i cubul su s fie maxim. De aflat diferena maxim. -Citii primul punct al algoritmului de rezolvare a problemelor de maxim i minim. Ce trebuie s efectum urmrind acest pas?

-Citii punctul doi al algoritmului de rezolvare a problemei.

-Cu ajutorul crei funcii, problema se traduce n limbaj matematic?

-Ce ne propune punctul trei al

algoritmului?

-Ce metod nvat poate fi utilizat pentru a determina valoarea lui x, ct i valoarea maxim a funciei d? -Citii punctul patru al algoritmului. Ce urmeaz s efectum?

-Ce concluzie putei face?

Noteaz condiia problemei.

Un elev citete din caiet primul punct al algoritmului.

-Notm numrul necunoscut prin x.

Un elev citete al doilea punct al algoritmului respectiv.

-Pentru diferen obinem funcia d(x) = x - x

3 .

Pentru valorile lui x vom pune urmtoarea condiie x (0, +). -Pentru a afla valoarea lui x, unde diferena i atinge valoarea maxim, vom cerceta aceast funcie cu ajutorul derivatei nti.

-Aflm ( ) , rezolvm ecuaia ( )

[

.

Aflm semnul lui ( ), deoarece ( )

trecnd prin 3

3 i schimb semnul de la +

Exerciii orale i n

scris

Apreciez

rspunsurile elevilor

-Citind ultimul punct din algoritm i fcnd concluzia din cele determinate pn acum, ce vom scrie n rspunsul problemei?

la rezult, c x = 3

3 este unicul punct de

maxim pe intervalul (0, +) .

Deci diferena i atinge valoarea maxim n

punctul x =3

3, iar diferena maxim dintre

x i cubul su este .

/

.

/

.

6. Evaluarea 10

min.

O1

O2

O3

O5

Lucrare independent Se solicit rezolvarea problemei: Legea de micare a unui mobil este

( ) . S se determine: a) momentul n care acceleraia sa este nul; b) valoarea minim a vitezei mobilului. Amintim c relaiile dintre distan, vitez, acceleraie sunt redate prin

formulele: ( ) ( ) ( ) ( ). Rezolvarea problemei propuse este

prezentat n Anexa 3. Peste 5 minute profesorul afeeaz pe o coal de hrtie, rezolvarea corect a problemei.

-Care a fost dificultatea ntlnit la aceast problem?

Elevii rezolv independent problema n caiete.

Elevii verific rezolvrile personale a problemei cu rezolvarea de pe tabl, corec-teaz greelile. -Rspund la ntrebrile profesorului.

Lucrare

indepen-

dent

Verific

corectitudi-

nea

rezolvrilor

7. Bilanul leciei

15

min.

a) bilanul cantitativ: -Care este algoritmul de rezolvare a

problemelor de maxim i minim?

Elevii rspund la ntrebrile formulate.

ntrebri orale

b) bilanul calitativ: -Cum considerai, ce obiective au fost realizate astzi la lecie? -Care dintre obiectivele realizate anterior

au fost necesare la lecia de astzi? -S ne amintim cele studiate n modulul dat.

* care este rolul primei derivate n studiul

funciei?

*definii noiunea de punct critic;

*formulai teorema despre monotonia unei funcii derivabile;

*descriei algoritmul de determinare a puntelor de extrem local i a extremelor locale;

*descriei algoritmul de determinare a extremelor globale;

*care este rolul derivatei a doua n studiul

funciei?

-Aplicnd derivata de ordin nti, putem

stabili intervalele de monotonie a funciei i puntele de extrem local, i extremele ei locale;

-Punctele n care derivata funceiei ia valoarea zero, se numesc puncte critice ale

funciei date; -Funcia f este cresctoare (descresctoare)

pe un interval, dac i numai dac ( ) ( ( ) ). -Se calculeaz derivata funciei f, se rezolv

ecuaia ( ) , se determin semnul funciei ( ) pe intervalele pe care ea nu se anuleaz, se stabilesc intervalele pe care

( ) i pstreaz semnul, se determin punctele de extrem local i extremele locale ale funciei f. -Se afl valorile funciei f la capetele

intervalului , -, ( ) i ( ), se afl punctele critice ale funciei f, se calculeaz valorile funciei n punctele critice determinate i se compar cu valorile acesteia la capetele intervalului, cea mai

mic (mare) din aceste valori va fi minimul

(maximul) global al funciei f pe , -. -Aplicnd derivata de ordinul doi, putem

stabili intervalele de convexitate i concavitate a funciei i puntele de inflexiune a acesteia;

-Funcia se numete convex, dac tangenta la graficul funciei f se afl sub acest grafic. -Funcia se numete concav, dac tangenta

*definii noiunea de funcie convex;

*definii noiunea de funcie concav;

*formulai teorema despre convexitatea, concavitatea unei funcii de dou ori derivabile;

*definii noiunea de punt de inflexiune;

*descriei algoritmul de determinare a intervalelor de concavitate, de

convexitate;

*enumrai tipurile de asimptote a graficului unei funcii; *definii noiunea de asimptot orizonatal;

*definii noiunea de asimptot oblic;

*definii noiunea de asimptot vertical;

*descriei paii parcuri n reprezentarea grafic a unei funcii;

la graficul funciei f se afl deasupra acestui grafic.

-Funcia se numete concav, dac tangenta la graficul funciei f se afl deasupra acestui grafic.

-Dac o funciei este continu pe , -, de dou ori derivabil pe ( ) i ( ) ( ( ) ) pentru orice x de pe ( ), atunci aceast funcie este convex (concav) pe acest interval. -Punctul x0 este punct de inflexiune al

funciei f, dac n acest punct funcia trece din concav n convex, sau invers.

-Se calculeaz ( ) i se rezolv ecuaia ( ) ale crei soluii pot fi puncte de inflexiune ale funciei f, se stabilesc

intervalele pe care ( ) are semn constant, se determin punctele de inflexiune ale funciei f. -Graficul unei funcii poate avea asimptote orizontale, oblice, verticale.

-Dreapta de ecuaie y = l este asimptot

orizontal la a graficului funciei f, dac | ( ) | . -Dreapta de ecuaie y = mx + n, , este asimptot oblic la a graficului funciei f, dac | ( ) | . - Dreapta de ecuaie x = a, este asimptot vertical pentru graficul funciei f, dac ea este asimptot vertical la stnga, la dreapta sau de amble pri. -Se stabilete domeniul de definiie a unei funcii, se determin semnul funciei i eventualele semetrii ale graficului, se

calculeaz limite la capetele intervalelor, se

Se fac concluzii privind activitatea

elevilor n cadrul leciei. Se trec notele n registru.

stabilete continuitatea funciei, se determin asimptotele, se studiaz funcia cu ajutorul derivatei de ordin nti, cu ajutorul derivatei a

doua, se completeaz tabloul de variaie, se traseaz graficul funciei.

8. Tema pentru

acas 1

min.

De nvat paragraful 4 din modulul 6, iar pentru repetare luai paragrafele 1-3, pentru c la ora ce urmeaz vom scrie prob de evaluare. Pentru rezolvare luai problema B4, de la pagina 164.

- Poftim ntrebri privind subiectul leciei de azi.

Noteaz tema pentru acas n caiete.

Anexa 1

Determinai extremele globale ale funciei:

Grupul 1

a) , - ( ) ;

Grupul 2

b) ( ) ( ) ;

Grupul 3

c) ( )

.

Anexa 2 Soluia exerciiilor propuse:

a) , - ( ) ;

Rezolvare:

Calculm valoarea funciei la capetele intervalului: ( ) , ( )

.

Calculm derivata funciei ( ) , ( ) .

Determinm punctele critice al funciei date, adic rezolvm ecuaia ( )

( ) 0

[

puntele critice ale funciei date.

Calculm valorile funciei n punctele critice determinate: ( ) ( )

, ( ) .

Determinm din valorile obinute minimul i maximul global al funciei f:

* ( ) ( ) ( ) ( )+ * + , valoarea minim a funiei i

* ( ) ( ) ( ) ( )+ * + , valoarea maxim a funciei.

Rspuns: minimul global al funciei f este m = -13, maximul global al funciei f este M = 3.

b) ( ) ( ) ;

Rezolvare:

Calculm valoarea funciei la capetele intervalului: ( ) , (

) ,

Calculm derivata funciei ( ) , ( )

.

Determinm punctele critice al funciei date, adic rezolvm ecuaia ( )

{

{

punctul critic al funciei date.

Calculm valoarea funciei n punctul critic determinat: ( )

Determinm din valorile obinute minimul u maximul global al funciei f:

( )

( ) * + , ( ) ( ) *

+ i aceaste valori nu sunt atinse.

Rspuns: minimul global al funciei f este m = - , maximul global al funciei f este M = e -

2.

c) ( )

.

Rezolvare:

Calculm valoarea funciei la capetele intervalului:

,

,

Calculm derivata funciei ( )

, ( )

( )

( )

( ) .

Determinm punctele critice al funciei date, adic rezolvm ecuaia ( )

( ) {

( )

{

punctele critice ale funciei date.

Calculm valoarea funciei n punctele critice determinate: ( )

, ( )

Determinm din valorile obinute maximul global al funciei f: ( )

{

}

, ( ) {

}

i aceast valoare este atins.

Rspuns: minimul global al funciei f este m =

, maximul global al funciei f este M =

.

Anexa 3 Legea de micare a unui mobil este ( ) . S se determine:

a) momentul n care acceleraia sa este nul;

b) valoarea minim a vitezei mobilului.

Amintim c relaiile dintre distan, vitez, acceleraie sunt redate prin formulele: ( )

( ) ( ) ( ).

Rezolvare:

a) Determinm acceleraia funciei din relaia: ( ) ( ), observm c mai nti trebuie s

determinm v(t) din relaia: ( ) ( ), ( ) . Prin urmare acceleraia ( )

( ) . Determinm valoarea timpului t pentru care a(t) este nul adic

.

b) Punctul de minim al vitezei, poate fi punctul determinat din relaia ( ) , , i

deoarece ( ) , punct de minim pentru funcia ( ), iar valoarea minim al

funciei este ( )

Rspuns: momentul n care acceleraia funciei date este nul, este t = 2, valoarea minim a

vitezei mobilului este -12.

Anexa 4

Harta Conceptual, tema Rolul derivatei I la studiul funciei

Harta Conceptual, tema Rolul derivatei II la studiul funciei

Harta Conceptual, tema Asimptotele graficului funciei

Harta Conceptual, tema Reprezentarea grafic a funciei