1

LUCRAREA NR. 1

PREZENTAREA GRAFIC A ANALIZELOR STATISTICE

1. Prezentarea lucrrii

1.1 Prezentarea caracteristicilor calitative

Caracteristicile calitative ale unei populaii, reprezentate printr-un eantion relev informaii despre populaia respectiv, fr a elabora interpretri, relaii de conexiune ntre date sau prognoze de evoluie. Caracteristicle calitative surprind starea populaiei la un moment dat, privind un anumit aspect i sunt utile n luarea unor decizii privind aciuni de viitor.

Variabilele calitative, n general, nu au uniti msurabile (se refer la apartenena la un loc geografic, preferina pentru un sport, o culoare etc.)

De exemplu, un vnztor de computere personale, pentru a-i dimensiona corect, conform cererii pieei, stocul de calculatoare, face un sondaj pe un eantion de 500 de persoane, privind utilizarea calculatorului i a tipului de sistem de operare, n cazul n care repondentul deine un calculator.

Cea mai simpl prezentare a datelor sondajului este cea tabelar (tab. 1.1).

Din tabelul 1 rezult urmtoarele informaii:

din 500 de repondeni numai 415 (83%) dein deja un calculator

355 (71%) dintre cei intervievai utilizeaz sistemul de operare Windows

60 (12%) de persoane din eantion prefer sistemul Macintosh

Tabelul 1.1

Sistem de operare

Frecvena absolut

Frecvena relativ

Nici un sistem 85 0.17

Macintosh 60 0.12

Windows 355 0.71

Total 500 1

Aceste date pot fi prezentate mai sugestiv sub diverse forme grafice, ilustrate n figurile urmtoare (1.1 Grafic de tip bare verticale pentru frecvena absolut, 1.2 - Grafic de tip bare orizontale pentru frecvena absolut, 1.3 - Grafic de tip linie pentru frecvena absolut, 1.4 - Grafic tip bare orizontale pentru frecvena relativ, 1.5 - Grafic tip pie 3D pentru frecvena relativ, 1.6- Grafic de tip pie pentru frecvena relativ, cu exprimare procentual).

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Nici un sistem Macintosh Windows

Fre

cven

ta a

bso

luta

Fig. 1.1 Grafic de tip bare verticale pentru frecvena absolut

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Nic

i u

n s

iste

mM

acin

tosh

Win

do

ws

Frecventa absoluta Fig. 1.2 Grafic de tip bare orizontale pentru frecvena absolut

2

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Nici un sistem Macintosh Windows

Fre

cven

ta a

bso

luta

Fig. 1.3 Grafic de tip linie pentru frecvena absolut

Frecventa relativa

0.17

0.12

0.71

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Nici un

sistem

Macintosh

Windows

Fig. 1.4 Grafic tip bare orizontale pentru frecvena relativ

Frecventa relativa

0.17

0.12

0.71

Nici un sistem

Macintosh

Windows

Fig. 1.5 Grafic tip pie 3D pentru frecvena relativ

Frecventa relativa

17%

12%

71%

Nici un sistem

Macintosh

Windows

Fig. 1.6 Grafic de tip pie pentru frecvena relativ, cu exprimare procentual

1.2 Prezentarea caracteristicilor cantitative

Caracteristicile cantitative sunt, n general, rezultatul msurrii unor mrimi (lungime, mas, timp, temperatur, vitez etc.). Sunt descrise, n continuare, prin exemple, cteva dintre cele mai utilizate moduri de prezentare grafic a analizelor statistice.

graficul trunchi ramuri

n tabelul 1.2 este redat un ir de date care reprezint durata de funcionare, exprimat n milioane de cicluri, a 31 de produse de acelai tip.

Tabelul 1.2

37, 33, 33, 32, 29, 28, 28, 23, 22, 22, 22, 21, 21, 21, 20, 20, 19, 19, 18, 18, 18, 18, 16, 15, 14, 14, 14, 12, 12, 9, 6

n figura 1.7 este prezentat o variant a graficului trunchi ramuri. n partea stng a graficului este trunchiul, coninnd numrul zecilor. Ramurile, separate de trunchi printr-o bar vertical, se afl la dreapta

3

acestuia. De exemplu prima linie a graficului trebuie interpretat ca incluznd numerele 32, 33, 33, 37. Prin ramuri, se realizeaz o ordonare descresctoare a numerelor din tabel. Forma graficului este sugestiv pentru distribuia numerelor din ir.

3|2337 2|001112223889 1|2244456888899 0|69

Fig. 1.7 Grafic de tip trunchi ramuri

Datorit lungimii ramurilor din liniile 2 i 3 se poate face o rafinare a reprezentrii, n care ramurile cu uniti mai mici, respectiv mai mari dect cinci s apar pe linii separate. n acest fel, se pune mai bine n eviden distribuia datelor (fig. 1.8).

3|7 3|233 2|889 2|001112223 1|56888899 1|22444 0|69

Fig. 1.8 Grafic de tip trunchi ramuri rafinat

Graficul poate fi utilizat pentru compararea aceleiai caracteristici pentru dou loturi diferite. De exemplu, n figura 1.9 sunt comparate performanele a dou loturi de cte 31 de produse de acelai tip.

11

332 8865

44331110 987776665

321 7

4 3 3 2 2 1 1 0

7 233 889 001112223 56888899 22444 69

Fig. 1.9 Garfic trunchi ramuri de tip comparativ

histograma

Histograma este o form de reprezentare grafic, util n cazul unui numr mare de observaii, care necesit mprirea irului de date n clase (echidistante) i numrarea unitilor statistice din fiecare clas.

Spre exemplu, asupra unui eantion de 642 de uniti de produs s-au fcut teste de anduran, pentru care s-a atribuit, pe diverse criterii, un punctaj cuprins ntre 46 i 167. Intervalul de 121 de puncte a fost mprit n 13 clase cu extinderea de 10 puncte. Pentru fiecare clas s-au numrat punctajele cuprinse n intervalul corespunztor clasei, rezultnd frecvena absolut a acesteia (tab. 1.3).

Tabelul 1.3

Limita inferioar a intervalului

Limita superioar a intervalului

Frecvena clasei

39.5 49.5 3

49.5 59.5 10

59.5 69.5 53

69.5 79.5 107

79.5 89.5 147

89.5 99.5 130

99.5 109.5 78

109.5 119.5 59

119.5 129.5 36

129.5 139.5 11

139.5 149.5 6

149.5 159.5 1

159.5 169.5 1

n figura 1.10 este transpus, mai intuitiv, informaia din tabelul 1.3.

4

Fig. 1.10 Histograma frecvenelor

poligoanele de frecvene

Poligoanele de frecvene, ca i histogramele, indic forma distribuiei unei serii de date, dar se mai utilizeaz i pentru trasarea poligonului frecvenelor cumulate, care este intuitiv pentru funcia de probabilitate.

Pentru trasarea poligonului de frecvene se procedeaz similar trasrii unei histograme: se mparte irul n clase echidistante i se numr unitile statistice din fiecare clas. n plus, se calculeaz valoarea medie a fiecrei clase. Poligonul se traseaz prin puncte determinate de media clasei i frecvena asociat clasei.

Spre exemplu, se prezint poligonul frecvenelor corespunztor histogramei din figura 1.10, respectiv tabelului 1.3.

Poligonul frecvenelor cumulate presupune adugarea frecvenei unei clase la suma celor anterioare. Ultimul punct al graficului are ordonata egal cu numrul total al produselor testate 642.

Fig. 1.11 Poligonul frecvenelor

Poligonul frecvenelor cumulate este reprezentat n figura 1.12.

Fig. 1.12 Poligonul frecvenelor cumulate

2. Desfurarea lucrrii Pentru datele din tabelul 1.1 se realizeaz 6 tipuri de reprezentri grafice disponibile n programul MS Excel.

Pentru datele din tabelul 1.3 se reprezint histograma frecvenelor, poligonul frecvenelor i poligonul frecvenelor cumulate.

5

LUCRAREA NR. 2

FUNCII DE REPARTIIE. INDICATORI STATISTICI

1. Prezentarea lucrrii 1.1 Funcia densitate de repartiie (probabilitate) i funcia de repartiie (probabilitate)

n teoria probabilitilor, orice rezultat al unui experiment se numete eveniment. Fiecrui eveniment i se poate asocia o valoare numeric, numit probabilitate a evenimentului. Probalibilitatea, ca descriere intuitiv, este o msur a ansei de realizare a unui eveniment. Probabilitatea este o mrime adimensional, normat, notat cu P(x), unde P reprezint probabilitatea de realizare a evenimentului x. Valorile extreme P(x)=1 i P(x)=0 caracterizeaz un eveniment sigur, respectiv imposibil. Celelalte valori ale probabilitii, cuprinse n intervalul deschis (01) caracterizeaz evenimente a cror ans de realizare este egal cu raportul dintre numrul manifestrilor evenimentului n cazurile favorabile i numrul total al evenimentelor posibile:

posibilecazurilornumarul

favorabilecazurilornumarulxP . (2.1)

De exemplu, la jocul loto 6 din 49, n cazul alegerii a ase numere exist

combinatii81698313

6496

49C649 ..

!!

!

(evenimente posibile). Avnd n vedere faptul c numai o singur

combinaie este ctigtoare (reprezint un eveniment favorabil), rezult c probabilitatea de a ctiga este

81698313

1P

.. .

n cazul aplicaiilor tehnice, studiile sunt preponderent de tip experimental i se realizeaz prin efectuarea unor msurri repetate.

Se consider c evenimentul de interes este valoarea x a unei mrimi fizice, msurate pe un lot de piese sau ntr-un proces, n condiii identice. Dup eliminarea valorilor afectate de erori aberante i sistematice, rezult un ir de n valori, care sunt influenate numai de erorile aleatoare i se afl ntr-un interval de valori cuprins

ntre xmin i xmax. mprind acest interval n clase (subintervale egale) de lime x, se poate calcula frecvena relativ cu care rezultatele apar n diferite clase:

xn

nh ii

, (2.2)

unde ni este numrul de date cuprinse n intervalul i.

Reprezentarea hi=f(x) se numete histogram (fig. 2.1). La limit, pentru n i x0, f(x) este o