1 . p o l u a r e a a e r u l u i d a t o r i t Ă p a r t...

11 .. PP OO LL UU AA RR EE AA AA EE RR UU LL UU II

DD AA TT OO RR II TT ĂĂ PP AA RR TT II CC UU LL EE LL OO RR

1.1. Particule poluante

În general, poluanţii aerului sub formǎ de particule dispersate pot fi clasificaţi în două mari categorii: naturali şi artificiali. Printre sursele naturale ale particulelor poluante sunt: praful purtat de vânt, gazele şi cenuşa vulcanică, ozonul provenit din trăsnete şi din stratul de ozon, diverse hidrocarburi provenite din vegetaţie, fumul, gazele şi cenuşa zburătoare din incendierea pădurilor, polenul şi alte aero–alergice, gazele şi mirosurile din activităţi biologice, radioactivitatea naturală. Aceste surse naturale au produs poluarea de până acum şi constituie acea parte a problemei poluării, asupra căreia activităţile de control pot avea efect redus sau chiar nici un efect.

Sursele poluante artificiale datorate activităţilor umane, de realizare a bunurilor şi confortului necesar vieţii, contribuie esenţial la poluarea aerului urban. Prin urmare, poluanţii aerului rezultă ca urmare a generării energiei electrice, a funcţionării milioanelor de vehicule, a materialelor aruncate de populaţie şi realizării a numeroase produse necesare traiul zilnic. Primele cinci mari clase de poluanţi sunt: particulele, dioxidul de sulf, oxizii de azot, compuşii organici volatili şi monoxidul de carbon. Anual, sunt generate sute de milioane de tone de aer poluant. În general, fiecare categorie de sursă de poluare are o contribuţie diferită la creşterea nivelului uneia dintre cele cinci clase principale de poluanţi.

Poluanţii aerului pot fi clasificaţi în funcţie de origine şi starea materiei. Originea poluanţilor poate fi primară, când sunt emişi în atmosferă dintr-un proces sau secundară, când sunt formaţi în atmosferă, ca rezultat al unei reacţii chimice. Poluanţii aerului se pot gǎsi în stare gazoasă, lichidǎ sau solidǎ. Se preferă clasificarea poluanţilor în gazoşi (gaze şi vapori) şi particule poluante (solide şi lichide).

Poluanţi gazoşi. Poluanţii gazoşi pot fi clasificaţi în organici şi anorganici. Categoria poluanţi anorganici include: • gaze sulfuroase - dioxid de sulf, trioxid de sulf, hidrogen sulfurat; • oxizi de carbon - monoxid de carbon şi dioxid de carbon; • gaze azotoase - monoxid de azot, dioxid de azot şi alţi oxizi de azot; • halogenuri, hidruri - acid fluorhidric, acid clorhidric, cloruri, fluoruri,

tetrafluorura de siliciu;

18 DISPERSIA PARTICULELOR POLUANTE

• produşi fotochimici - ozon, oxidanţi; • cianuri - acid cianhidric; • compuşi cu azot - amoniac; • clorofluorocarburi – diclor, diclorodifluormetan, triclor, trifluoretan,

triclorofluor-metan, tetrafluoretan, clorodifluormetan, clorpentofluoretan; Sunt considerate substanţe organice poluante: • hidrocarburile precum: parafine - metan, etan, octan, acetilena, alefine -

etilena, butadiena, aromatice (benzen, toluen, xilen, stiren); • compuşi alifatici oxigenaţi ca: aldehide – formaldehide, cetona - acetona,

metiletilcetona, acizi organici, alcooli - metanol, etanol, izopropanol, hidruri organice, sulfuri organice - dimetil sulfat, hidroxizi, peroxizi - nitriţi sau nitraţi (denumiţi generic PAN).

Particule poluante pot fi definite ca materie solidă sau lichidă, al cărei diametru efectiv este mai mare decât al unei molecule, dar mai mic de 100 µm. Particulele dispersate în mediul gazos sunt definite, în mod colectiv, drept aerosoli.

Aerosolii sunt suspensii de particule mici în gaze, fiind formaţi prin conversia gazelor în particule sau prin dezintegrarea solidelor sau lichidelor. Aceştia pot fi, de asemenea, rezultaţi din resuspensia materialelor prăfoase sau prin ruperea aglomeratelor. Formaţiunea din faza gazoasă tinde să producă mult mai multe particule fine decât procesul de dezintegrare (cu excepţia cazului când condensarea are loc direct cu existenţa particulelor). Particulele formate direct din gaz sunt, de obicei, de diametre mai mici de 1 µ m. (1 micron = 1 micrometru = 10-

4 cm, desemnat de simbolul 1 µ m). Termenul de praf, fum, ceaţă, abur este în mod comun folosit pentru a descrie

diferite tipuri de comportament, caracteristic particulelor dispersate. Fumul, praful, ceaţa, aburul, funinginea sunt toţi termeni folosiţi pentru

poluanţii aerului, cu diferite sensuri populare. Astfel, praful se referă la particule solide produse prin procesul de dezintegrare, în timp ce particulele de fum sunt, în general, mici şi formate din faza gazoasă. Particulele de ceaţă sunt compuse din picături. Funinginea se referă, de obicei, la particule mici de carbon generate în arderea combustibilului, dar termenul este folosit frecvent şi în descrierea particulelor fine solide de silicaţi şi alţi oxizi anorganici, generaţi în procesele industriale. Totuşi, implicăm rareori aceşti termeni speciali, datorită dificultăţii unei definiţii exacte şi a complexităţii unor sisteme reale, compuse din mixturi de particule. În locul acestor termeni, considerăm ca termen generic aerosolul, să descrie sistemele de particule din aer sau din gaze.

Particulele suspendate într-o masă dată de aer nu sunt nici toate de aceeaşi mărime sau formă, nici nu au aceeaşi compoziţie chimică. Cele mai mici particule suspendate au o mărime de aproximativ 2 nm, apropiată de lungimea moleculelor gazoase tipice, cuprinsă între 0.1 nm şi 1 nm. Atunci când picăturile mici de apă din atmosferă se contopesc în particule mai mari decât această valoare, ele

Poluarea aerului datorită particulelor 19

corespund picăturilor de ploaie şi cad din aer atât de repede, încât nu sunt considerate ca fiind “suspendate”. Domeniile de mărime ale tipurilor comune, [1], de particule suspendate, sunt ilustrate în figura 1.1.

Diametrul particulelor este proprietatea lor cea mai importantă. Din punct de vedere calitativ, particulele individuale sunt clasificate în grosolane şi fine, în funcţie de diametrul lor, dacă este mai mare sau mai mic de 2.5 µm.

Fig. 1.1. Mărimile tipice pentru particulele atmosferice aeropurtate.

Aerosolii sunt frecvent multicomponenţi şi joacă un rol important în: poluarea aerului şi dispersia particulelor în atmosferă; producţia industrială de pigmenţi şi pulberi metalice; fabricarea fibrelor optice; industria sanitară ; controlul contaminării în industria electronică si farmaceutică.

Prezenţa aerosolilor într-o anume aplicaţie, poate fi considerată ca dorită sau nedorită, dar aceeaşi concepţie de bază se aplică ambelor situaţii. Specialiştii din diferite domenii se folosesc de concepte teoretice similare şi tehnice, experimentale, pentru rezolvarea problemelor aerosolilor. Aceste concepte comune sunt baza acestei cărţi.

Procesele timpurii din ştiinţa aerosolilor au fost în strânsă legătură cu


dezvoltarea conceptelor fizice fundamentale. De exemplu, teoria transportului aerosolilor se bazează pe legea lui Stokes, care include corecţiile semiempirice făcute de Millikan, în cazul măsurătorilor sarcinii electrice. În cazul formulării Browniene, teoria lui Einstein joacă un rol principal în difuzia aerosolilor. Mişcarea Browniană are loc mai întâi prin coagulare, consideraţie teoretică afirmată şi explicată pentru prima dată de Smoluchowski [2]. Proprietăţile optice ale aerosolilor se bazează pe teoriile lui Rayleigh şi Mie, privind împrăştierea particulelor sferice. Conversia formaţiunii aerosolilor din gaz în particule a fost pentru prima oară studiată cantitativ de C.T.R. Wilson, folosind camera de răcire, la sfârşitul secolului trecut, [3].

Ştiinţele moderne privind aerosolii permit extinderea concepţiilor teoretice de bază şi introducerea unor noi descrieri, mai complexe, referitoare la comportarea aerosolilor. Dezvoltarea teoretică a fost însoţită de dezvoltarea instrumentelor necesare pentru măsurarea proprietăţilor acestora. Ştiinţa aerosolilor este un domeniu vast, care implică mai multe ramuri: fizică, chimie şi chiar biologie.

1.1.1. Comportarea particulelor poluante - aerosolilor

În mod intuitiv, se poate crede că toate particulele trebuie să se stabilească şi să se depună rapid pe suprafaţa Pământului sub influenţa gravitaţiei, însă, acest lucru nu este adevărat pentru particulele mai mici. Conform legii lui Stoke, viteza cu care particulele cad creşte cu pătratul diametrului lor. Cu alte cuvinte, o particulă care are jumătate din diametrul alteia, cade de patru ori mai încet. Particulele mici cad atât de încet, încât ele sunt suspendate aproape nedeterminat în aer, dacă nu se lipesc de vreun obiect pe care îl întâlnesc. Cele foarte mici se aglomerează, pentru a forma particule mai mari, de obicei tot din categoria celor de mărime fină. Astfel, particulele fine rămân de obicei în aer timp de zile întregi sau săptămâni, pe când cele grosolane se depun destul de rapid. Pe lângă acest proces de sedimentare, particulele mai pot fi îndepărtate din aer prin absorbţia lor în picăturile de ploaie în cădere, [4].

Mărimea particulei, concentraţia şi compoziţia chimică sunt, de obicei, proprietăţile aerosolilor care prezintă cel mai mare interes. De asemenea, importante în aplicaţii sunt sarcinile particulei, structura cristalină şi proprietăţile optice. În industrie, particulele sunt colectate, pentru a stabili un produs dorit sau pentru a reduce emisiile şi expunerile ocazionale. Eficienţa filtrelor, a scruberelor şi alte asemenea aparate, depinde de mărimea particulelor. De asemenea, depunerea particulelor în plămâni depinde de mărimea particulei.

Interacţiunea particulelor mici cu lumina este, de asemenea, în funcţie de mărimiea particulei senzitive şi proprietăţile optice. Dispersia luminii pe unitatea de masă a aerosolilor trece adesea printr-un maxim, în funcţie de mărimea particulei pentru radiaţia incidentă. Procesele atmosferice şi chimice ce conduc la acumularea particulelor produc cele mai severe şi vizibile degradări. Dacă pentru vizibilitatea atmosferică acest proces este nedorit, sunt şi cazuri când acumularea


aerosolilor este dorită pentru realizarea unor pigmenţi pentru colorare. Compoziţia chimică a particulei este un concept toxicologic, reflectat în

limitele expunerii ocazionale, standardele emisiei poluării aerului şi standardele calităţii aerului ambiental.

Obiectivul avut în vedere este de găsire a unor modele şi metode matematice pentru caracterizarea mărimii aerosolilor şi proprietăţilor chimice. Acestea sunt necesare pentru furnizarea unor baze comune, pentru discutarea domeniilor largi ale proprietăţilor aerosolilor şi mecanismele de formare, sau modificările temporale sau spaţiale în aerosoli, ceea ce înseamnă „procesul de transport al aerosolilor şi dinamica aerosolilor”. Cercetările din domeniul aerosolilor au făcut posibilă determinarea celor mai importanţi parametrii ce caracterizează aerosolii. Totuşi, rămân multe de făcut în dezvoltarea mijloacelor de cercetare în domeniul aerosolilor, la fel de bine ca în industrie şi aplicaţiile atmosferice.

1.1.2. Mărimea particulelor

Pentru particule solide neregulate, metoda obişnuită pentru caracterizarea particulei este de a introduce un „diametru echivalent”, acesta fiind diametrul unei particule sferice, care are acelaşi comportament.

Diametrul aerodinamic este unul dintre cele mai comune diametre echivalente. Poate fi definit ca diametrul unei sfere cu aceeaşi viteză ca cea a sferei care trebuie măsurată. Diametrul aerodinamic este folosit în mod frecvent pentru a descrie mişcarea particulelor în diverse sisteme. Oricum, mişcarea neregulată a particulelor poate să nu fie caracterizată precis cu ajutorul diametrului echivalent, din cauza rotaţiei şi translaţiei complexe a mişcării neregulate a particulelor comparate cu sfera. Poate fi însă posibil să existe o sferă cu un anumit diametru şi densitate şi cu aceleaşi caracteristici, [5].

Particulele solide ultrafine şi aglomerate pot avea dimensiuni de ordinul micronilor. Particulele individuale care compun aglomeratele se numesc particule

primare. Se presupune că particulele primare au o formă uniformă, această presupunere nefiind concludentă.

Dimensiunile particulelor aglomerate sunt de obicei măsurate, folosind un analizator electronic.

În plus faţă de mişcarea particulelor şi alte proprietăţi pot fi caracterizate cu un diametru echivalent.

Cu excepţii ocazionale, mărimea particulei se referă la diametrul acesteia. Acesta este, de obicei, cazul indicat în literatura de specialitate, dar se vorbeşte din când în când şi despre raza de acţiune a particulei. În aplicaţii sunt utile atât volumul, cât şi aria particulei. Diametrele particulei ce interesează în fenomenul de aranjare al aerosolilor sunt de ordinul diametrului moleculelor, 1 nm. În aplicaţiile din poluarea aerului, particulele mai mari de 1 µm se numesc „particule aspre”. Particulele cu diametrul < 1 µm pot fi împărţite în domenii variate. Modul de acumulare, important în poluarea aerului, apare preponderent pentru diametrul


particulei în domeniul 0.1 ÷ 2.0 µm. Particulele mai mici de 100 nm (0.1 µm) sunt numite „ultrafine”. Domeniul nanometric se referă la particule de la 10 la 50 de ori mai mici de 1 nm.

Pentru picături lichide sferice, diametrul (dp) este un element de măsură univoc al particulelor. Particulele sferice sunt prezente frecvent în atmosfera poluată, datorită creşterii nucleului, prin condensarea lichidului din faza gazoasă. Pentru particulele ce nu sunt sferice, asemenea fragmentelor de cristal, fibră sau conglomerate, o mărime caracteristică a acestora este mult mai dificil de definit. În cazul special al similarităţii geometrice, particulele au mărimi diferite, cu aceeaşi formă, aşa că un parametru cu aceeaşi lungime duce la caracterizarea oricărei clase de mărimi. Mărimile particulelor neregulate, cum sunt conglomeratele, pot fi definite ca particule cu acelaşi diametru.

Mecanismul de încălzire, de transfer de masă şi transferul de moment dintre particulă şi sursa gazoasă, depind de numărul Knudsen 2 lp/dp, unde lp este drumul liber al moleculelor de gaz, iar dp este diametrul echivalent. Drumul liber, distanţa pe care o parcurg moleculele între două coliziuni succesive, poate fi calculat din teoria cinetică a gazelor. Pentru o componentă de gaz compusă din molecule care se consideră sfere elastice rigide, drumul liber este aproximat prin, [6, 7]:

lp = 0.707 / π nm σ2

(1. 1)

unde: nm = densitatea moleculară; σ = diametrul molecular. Pentru temperaturi şi presiuni normale, drumul liber în aer este de aproximativ 0.65 µm.

Densitatea moleculară depinde de presiune şi temperatură prin relaţia gazului ideal:

nm = p / kT (1. 2)

unde: k = constanta lui Boltzmann şi T = temperatura absorbită.

Drumul liber pentru majoritatea gazelor la presiune şi temperatură constantă şi la nivelul solului este de ordinul 10-5 cm. În straturile superioare ale atmosferei, unde presiunea este de ordinul a 0.01 torr, drumul liber este de ordinul a 1 cm.

Analizăm cazul unei particule sferice, care se deplasează cu viteză constantă printr-un gaz. Când diametrul particulei este mult mai mic decât drumul liber (lp/dp >> 1), moleculele balansează pe suprafaţă şi uneori se ciocnesc cu principalii curenţi moleculari, departe de sferă. Majoritatea moleculelor lovesc suprafaţa sferei venind din masa gazului şi nu sunt afectate prin prezenţa sferei. Rata schimbului de căldură, de masă şi transferul de moment, dintre particulă şi sursa gazoasă poate fi estimată din teoria coliziunii moleculare. Distanţa potrivită (lp/dp >> 1) este cunoscută ca distanţa moleculară liberă. Când diametrul particulei este mult mai mare decât trecerea liberă (lp/dp << 1), moleculele, lovind suprafaţa, sunt puternic


afectate de cele care pleacă. Gazul se comportă ca un mediu continuu cu o viteză egală cu zero, condiţie la limită, la suprafaţă, când gazul este în mişcare relativă faţă de o particulă fixă. Pentru o curgere continuă, urma de gaz a unei particule sferice poate fi calculată cu ajutorul ecuaţiei Navier-Stokes pentru fluidele în mişcare. Trecerea dintre razele moleculelor continue şi cele libere are loc continuu, dar teoria acestei treceri presupune mari dificultăţi [7].

1.1.3. Indici de calitate ai aerului pentru substanţa sub formă de

particule

Măsura cea mai obişnuită a concentraţiei particulelor suspendate este indexul PM (Particulate Matter = substanţă sub formă de particule), ceea ce înseamnă cantitatea de substanţă, sub formă de particule, prezentă într-un volum dat, [1]. Deoarece substanţa implicată este de obicei neomogenă, nu se poate utiliza masa sa molară, şi de aceea, concentraţiile sunt date în termeni de masă ai particulelor şi nu ca număr de moli.

Unităţile uzuale sunt micrograme de substanţă în particule, pe metru cub de aer (µg/m3). Având în vedere că particulele mai mici au un efect nociv mai mare asupra sănătăţii oamenilor decât cele mai mari, de obicei, doar cele care au un anumit diametru sau mai mic decât acesta, sunt colectate şi raportate. Acest diametru limită, în µm, este listat ca indice la simbolul PM.

În ultimii ani, agenţiile guvernamentale din multe ţări au monitorizat PM10, adică concentraţia totală a tuturor particulelor cu diametre mai mici de 10 µm, ceea ce corespunde tuturor domeniilor de particule fine, plus clasele cele mai mici de la particulele grosolane, toate acestea fiind numite, particule care pot fi inhalate. O valoare tip a PM10 , într-o aşezare urbană, este 30 µg/m3.

Se utilizează acum tot mai mult indicele PM2.5, care cuprinde toate particulele fine, cu diametre sub 2.5 µm, numite şi particule respirabile.

Noul termen, superfine, este aplicat particulelor cu diametre foarte mici, de obicei mai mici de 0.05 µm (50 nm), deşi diferiţi savanţi utilizează valori diferite. În trecut, în locul indicelui PM se raportau particulele totale suspendate (TSP), reprezentând concentraţia tuturor substanţelor sub formă de particule din aer.

Particulele al căror diametru este egal cu valoarea lungimii de undă a luminii vizibile şi anume, 0.4÷0.8 µm, pot interfera cu transmisia luminii în aer, reducând claritatea vizuală, vizibilitatea la distanţă mare şi cantitatea de lumină care ajunge la nivelul solului.

De exemplu, o concentraţie mare în aer, de particule cu diametre între 0.1 µm şi 1 µm, produce pâcla. Într-adevăr, o tehnică clasică de a măsura poluarea unei mase de aer, de către particule, constă în determinarea înceţoşării acesteia. Pâcla este datorată aerosolilor sulfat, provenind din arderea cărbunelui.

Înceţoşarea accentuată în timpul verii se datorează în mare măsura aerosolilor sulfat, provenind din zonele industrializate.


1.2. Concentraţia particulelor

Concentraţia particulelor, a aerosolilor, este definită în diferite moduri, în funcţie de aplicaţii.

Numărul concentraţiei

Concentraţia particulelor într-un punct este exprimată ca numărul de particule pe unitatea de volum, într-un volum mare δV, înconjurând punctul P, din gaz (fig.

1.2), la un anumit timp. Cât timp volumul δV se micşorează spre punctul P, media concentraţiei poate ori să se mărească, ori să scadă, depinzând de gradientul concentraţiei din volumul δV. Această valoare constantă este concentraţia particulei în punctul P. Cât timp volumul continuă să se micşoreze, numărul particulelor devine atât de mic, încât media concentraţiei fluctuează ca în fig 1.3.

Fig 1.2 Volumul δV cu δN particule din jurul punctul P.

Fig 1.3. Dimensiunile regiunii δV.

Camerele curate, folosite la fabricarea circuitelor microelectronice, sunt menţinute la nivele scăzute ale concentraţiei particulelor. De exemplu, pentru o


cameră curată de clasă 1, numărul concentraţiei particulelor de 0.1 µm trebuie menţinut sub 103 particule/m3. Numărul concentraţiei de particule, într-o zonă normal poluată, poate fi de 105 particule/ cm3, în timp ce concentraţiile din zone mai puţin poluate sunt de 104 , până la 5 x 104 particule/cm3, [8].

Concentraţia masei

Concentraţia masei aerosolilor este, de obicei, determinată prin filtrarea unui volum cunoscut de gaz şi cântărirea particulelor colectate. Concentraţia masei, ρ, se determină prin împărţirea masei măsurate la volumul de gaz filtrat. Standardele pentru aerul atmosferic şi, în unele cazuri, pentru emisiile industriale, sunt exprimate în termeni ai concentraţiei masei. Nu există relaţii simple între masă şi numărul concentraţiei, decât dacă toate particulele sunt de aceeaşi dimensiune.

Concentraţia volumetrică

Concentraţia volumetrică se referă la raportul dintre volumul particulelor într-un volumul total de aer, fiind similar fracţiei volumetrice din amestecurile de gaze, considerând, în acest caz aerosolul, un amestec de gaze. O importanţă deosebită are această concentaţie pentru stabilirea vâscozităţii aerosolului.

Vâscozitate aerosolului, funcţie de concentraţia volumetrică a acestuia, φ, este dată de relaţia lui Einstein:

µ = µ0 (1 + 5/2 φ) (φ << 1) (1. 3)

unde: µ - vâscozitatea aerosolului; µ0 - vâscozitatea gazului; φ - funcţie subunitară foarte mică (în mod normal φ < 0.004). Prin urmare, creşterea vâscozităţii, datorată prezenţei aerosului, este mai mică de 1%.

Coagularea

Suspensiile de particule mici din gaze sunt instabile, având o mişcare dezordonatǎ, de tip brownian. Datorită forţelor de atracţie, particulele aderă una de alta într-un proces, denumit de coagulare. Particulele mai mari se pot depune sau se pot depozita sub efectul forţelor de inerţie şi de gravitaţie. Pentru evaluarea fenomenului de coagulare se introduce timpul pânǎ la care concentraţia particulelor se reduce la 1/10 din valoarea iniţialǎ, notat t1/10. Pentru un aerosol monodispers cu diametrul mediu al particulei dp = 0.1µm, aflat la tepreratura t = 20 °C, timpul de reducere a concentraţiei, prin coagulare, depinde de concentraţia iniţialǎ, N0 , a aerosolului, ca în tabelul 1.1, [7].


Tabel 1.1.

Timpul t1/10 de reducere a concentraţiei unui aerosol monodispers

N0 cm -3

t1/10 (aprox.) N0 cm -3

t1/10 (aprox.) N0 cm -3

t1/10 (aprox.)

1010 1.2 sec 108 2 min 106 3.5 h 109 12 sec 107 20 min 105 34 h

1.3. Distribuţia particulelor într-o mostră de aer

Particulele suspendate în atmosferă au origini şi compoziţii diferite şi s-au format în decursul unor perioade de timp, în moduri întâmplătoare, astfel că există o largă distribuţie a dimensiunilor de particule existente în orice masă de aer.

Determinarea distribuţiei dimensiunilor constă în punerea într-un grafic a numărului de particule, cu diametre date, funcţie de diametru, ca de exemplu în figura 1.4, [1], pentru o mostră tipică de aer urban.

Fig. 1.4. Distribuţia numărului de particule de aerosoli într-un mediu tipic urban.

Se observă că s-a utilizat pe amândouă axele scara logaritmică, pentru ca să poată fi văzute clar detaliile de distribuţie a particulelor de multe dimensiuni. Vârful distribuţiei apare la aproximativ 0.01 µm şi are “umeri” la aproximativ 0.1 µm şi la 1.0 µm; după cum arată liniile întrerupte, distribuţia netă apare ca fiind


suma a trei distribuţii simetrice (“forma de clopot”), ale căror vârfuri sunt la diametrele de 0.01, 0.1 si 1 µm. Particulele distribuţiei la cel mai mic diametru (vârful de 0.01 µm) se formează prin condensarea vaporilor de poluanţi produşi prin reacţii chimice, asemenea acidului sulfuric, format prin oxidarea bioxidului de sulf gazos şi particulelor de funingine, formate prin ardere.

Particulele care se formează în acest fel, se spune că se constituie după modul nucleic. Coagularea acestor particule în particule mai mari (ceea ce se poate întâmpla în decurs de câteva minute), dă naştere la modul prin acumulare, mod intermediar de distribuţie (cu vârful la 0.1 µm), [9]. Particulele asociate celei de a treia distribuţii, numită modulul particulelor grosolane, chiar dacă include şi câteva particule fine şi are vârful la 1 µm, sunt în principal formate din cenuşă, nisip sau alte materiale, produse de dezintegrarea mecanică a particulelor de sol etc.

Distribuţia particulelor suspendate în aer are vârful în regiunea micrometrică, deoarece particulele mai mici coagulează, spre a forma particule de această mărime, iar cele mai mari se aşează repede pe sol. În figura 1.5 este ilustrată perioada medie de timp pe parcursul căreia, particulele de diverse mărimi, rămân suspendate în aer [10].

Fig. 1.5. Timpul mediu cât particulele de diverse mărimi rămân suspendate în aer.

Graficul cu numărul de particule poate fi înşelător pentru anumite finalităţi,


deoarece particulele minuscule cu masa şi aria suprafeţei foarte mici domină mostrele şi, în consecinţă, distribuţiile.

O metodă alternativă de reprezentare a datelor, în mod semnificativ, este aceea de a pune în grafic masa totală a tuturor particulelor, de o anumită dimensiune, dintr-o mostră de aer, faţă de diametru, pentru a vedea cum se prezintă distribuţia masei pe diverse dimensiuni. Acest tip de grafic, pentru o masă de aer urban, [11], se prezintă în figura 1.6; din motive tehnice, se prezintă pe grafic volumul şi nu masa, însă, pentru particulele de aceeaşi densitate, distribuţiile sunt identice.

Funcţia distribuţiei pentru masă este deplasată către diametre mai mari, în comparaţie cu aceea a numerelor de particule. Masa (sau volumul) unei particule este proporţională cu cubul diametrului său d, astfel încât înălţimea curbei pentru orice diametru al distribuţiei din figura 1.6, corespunde valorii pentru distribuţia de număr, pentru această masă de aer, înmulţită cu d3.

În consecinţă, înălţimile vârfurilor pentru particulele mai mari sunt scoase mai mult în evidenţă decât cele ale particulele mai mici, în distribuţiile de masă, iar întreaga distribuţie pare a se deplasa spre un diametru mai mare. Două curbe simetrice de distribuţie, una centrată în regiunea particulelor fine la aproximativ 0.3 µm, iar cealaltă în regiunea celor grosolane, la aproximativ 7 µm, apar suprapuse pentru a produce distribuţia finală “bimodală”. De fapt, curbele corespund celui de al doilea şi al treilea vârf din distribuţia pe numere, iar vârful modulului nucleic nu apare de loc în acest grafic, deoarece masa totală (şi volumul) a particulelor minuscule este foarte mică.

Fig. 1.6. Distribuţia volumului particulelor, pentru un model tipic de aerosol urban

Se spune că substanţele care se dizolvă în corpul unei particule sunt absorbite de aceasta, iar acelea care pur si simplu se lipesc pe suprafaţa particulei, sunt adsorbite. Prin absorbţie se înţelege pătrunderea şi repartiţia mai mult sau mai puţin uniformă a unei substanţe, în toată masa altei substanţe. Proprietatea unei


componente, dintr-un amestec de gaze sau dintr-o soluţie, de a se acumula pe suprafaţa solidă sau lichidă, în concentraţie mai mare decât în restul gazului sau al soluţiei, se numeşte adsorbţie. Un material, de obicei nevolatil, capabil să fixeze pe suprafaţa sa alte substanţe, se numeşte adsorbent, iar substanţa adsorbită, un adsorbat. Figura 1.7 evidenţiază diferenţa dintre absorbţie şi adsorbţie, [12].

Mult utilizaţi ca adsorbenţi sunt cărbunele, aşa-numit activ, silicagelul, oxidul de aluminiu şi mulţi alţii.

Un exemplu important pentru cel de al doilea caz, este dat de adsorbţia moleculelor organice mari pe particulele de cărbune activ.

Cărbunele activ se obţine din lemn, prin carbonizare în prezenţă de gaze, ca vapori de apă şi CO2, care reacţionează la temperatură înaltă cu carbonul, dând naştere unor granule de cărbune străbătute de un număr mare de canale sau pori de diferite diametre.

Multe particule aeriene insolubile sunt înconjurate de o peliculă de apă, care poate dizolva şi alte substanţe.

Fig. 1.7. Diferenţa dintre adsorbţia şi absorbţia moleculelor

1.4. Caracterizarea datelor aleatoare

În practică apar nenumărate experienţe concrete, cărora li se poate ataşa un sistem de evenimente. Se numeşte sistem de evenimente o mulţime de evenimente care pot apărea dintr-o anumită experienţă. Un sistem de evenimente poate fi mulţimea tuturor evenimentelor care corespund unei experienţe date sau numai o parte oarecare a sa. Totodată, un sistem de evenimente poate fi finit sau infinit, după cum conţine un număr finit sau infinit de evenimente. Un câmp de evenimente este o mulţime ce conţine elementul sigur sau total, contrar unui eveniment oarecare, elementul imposibil şi reuniunea unor evenimente.

După definiţia clasică, probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile şi numărul cazurilor posibile, în ipoteza că toate cazurile sunt egal


favorabile. Astfel, probabilitatea ca la o aruncare cu zarul să apară faţa 5 este 1/6. Frecvenţa ca să apară una dintre feţele cu un număr par de puncte este 3/6=1/2.

Această definiţie clasică a probabilităţii este insuficientă, deoarece, chiar pentru câmpuri finite de evenimente, nu întotdeauna se poate vorbi de cazuri egal posibile. Astfel, dacă zarul nu este complet simetric, fie din punct de vedere geometric, fie în privinţa repartiţiei masei, nu mai putem presupune că apariţia oricărei feţe este egal posibilă. Frecvenţa este numărul de evenimente favorabile dintr-un şir de evenimente, iar frecvenţa relativă este raportul cazurilor favorabile şi cazurilor totale. De exemplu, luând la întâmplare 100 piese, se constată că 93 corespund standardului, iar 7 nu, sunt rebuturi. Frecvenţa absolută este 93, iar frecvenţa relativă 0.93. Repetând operaţia, obţinem alte frecvenţe, de exemplu 0.97, 0.98, 0.95, 0.94 etc. Cu cât vom repeta această operaţie de un număr mai mare de ori, cu atât vom putea aprecia mai bine că frecvenţele sunt grupate în jurul unui număr, de exemplu 0.95. Acest număr se numeşte probabilitatea ca, luând o piesă la întâmplare, acea piesă să fie reuşită.

Se numeşte variabilă aleatoare (întâmplătoare sau statistică) o funcţie X, definită pe un sistem complet de evenimente. La aruncarea unui zar poate apărea una dintre cele şase feţe. Dacă notăm cu (1) evenimentul apariţiei feţei cu un punct, cu (2) apariţia feţei cu două puncte etc, atunci sistemul (1), (2), (3), (4), (5), (6) este un sistem complet de evenimente. Probabilităţile celor şase evenimente sunt toate egale cu 1/6. Pe acest sistem de evenimente definim o variabilă aleatoare X, cu valorile 654321 ,,,,, xxxxxx . Probabilitatea cu care variabila xk ia fiecare valoare, la apariţia unui eveniment, este 1/6.

Ansamblul format din valorile variabilei aleatoare X şi probabilităţile elementelor corespunzătoare, se numeşte distribuţia variabilei X şi se notează

n

n

ppp

xxxX

,...,,

,...,,

21

21 , care în exemplul anterior devine:

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1654321

X .

Se numeşte valoare medie (sau speranţă matematică) a unei variabile aleatoare X numărul, [13]:

∑∑

∑=

=

= ⋅=

⋅

=+++

⋅++⋅+⋅==

n

k

kkn

k

k

n

k

kk

n

nn xp

p

xp

ppp

xpxpxpxXM

1

1

1

21

2211

...

...)(

(1. 4)

deoarece ∑=

=n

k

kp1

1 . Se observă că valoarea medie a variabilei X este media

ponderată a valorilor sale, cu ponderile nppp +++ ...21 . Contribuţia unei valori xk

în determinarea valorii medii x este cu atât mai mare, cu cât probabilitatea pk este mai mare.


Valoarea medie x a variabilei X este cuprinsă între cea mai mică şi cea mai mare valoare pe care le ia X.

Valoarea medie de ordinul k a variabilei X se notează cu kM şi este:

( )[ ] ( )kk

nn

kkk

k

k xpxpxpXMM1

2211

1

... ⋅++⋅+⋅==

(1. 5)

Valoarea medie de ordinul al doilea, pentru k=2,

2222

2112 ... nn xpxpxpM ⋅++⋅+⋅=

(1. 6)

se numeşte şi valoarea medie pătratică a variabilei X.

Valoarea medie de ordinul 1 (k=1) este chiar valoarea medie )(1 XMM = . Valoarea medie de ordinul k = -1 este media armonică,

1

2

2

1

11 ...

−

−

+++=

n

n

x

p

x

p

x

pM

(1. 7)

care pentru n

ppp n

1...21 ==== , devine:

nxxxM

N 1...

11

211

+++=−

(1. 8)

Pentru k = 0 se obţine media geometrică,

np

n

ppxxxM ⋅⋅⋅= ...21

210

(1. 9)

care pentru n

ppp n

1...21 ==== , se reduce la:

nnxxxM ⋅⋅⋅= ...210

(1.10)

Se numeşte abatere a variabilei X, variabila aleatoare xXU −= , care ia valorile xxu kK −= , adică:

xxuppp

uuuU kk

n

n −=

,

,...,,

,...,,

21

21

(1.11)

Valoarea medie a abaterii, M(U), este nulă. Prin urmare, M(U) nu ne poate da nici o indicaţie asupra împrăştierii valorilor

xk ale variabilei X. Pentru a stabili un indicator al împrăştierii sau dispersiei acestor


valori, se poate considera variabila U , care se numeşte abatere absolută a

variabilei X, având distribuţia

n

n

ppp

uuuU

,...,,

,...,,

21

21

(1.12)

Momentul de ordinul k al variabilei X se notează cu ( )kXM şi este:

( ) întreg. ,...2211 kxpxpxpXMknn

kkk ⋅++⋅+⋅=

(1.13)

Se numeşte moment centrat de ordinul k al variabilei aleatoare U, momentul de ordinul k al abaterii sale xXU −= , adică

( ) ∑=

⋅=n

i

k

ii

k xpUM1

(1.14)

În practica prelucrării statistice a datelor prezintă interes, mai ales, momentele centrate de primele patru ordine şi în special, momentul de ordinul doi.

Momentul centrat de ordinul doi al variabilei X se notează cu 22 sau ),( σµXD , şi se numeşte dispersia sau varianţa variabilei aleatoare X,

[14],

∑=

⋅===n

i

ii upXD1

222 )( σµ

(1.15)

Rădăcina pătrată a dispersiei,

2222

211 ... nn upupup ⋅++⋅+⋅== σµ

(1.16)

se numşte abaterea medie pătratică sau deviaţia standard a variabilei X.

Dispersia (varianţa) şi abaterea medie pătratică (deviaţia standard) sunt indicatorii cei mai utilizaţi pentru a caracteriza împrăştierea valorilor unei variabile aleatoare. Acestea dau o indicaţie asupra gradului de concentrare a valorilor unei variabile aleatoare X în jurul valorii medii.

Principalele proprietăţi şi consecinţe ale definiţiilor anterioare sunt: • a). dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare independente, atunci

( ) )()( YDXDYXD +=+

(1.17)

• b). pentru orice variabilă aleatoare X şi orice constantă k,


( ) )(2 XDkXkD ⋅=⋅

(1.18)

• c). dacă variabilele aleatoare nXXX ,...,, 21 sunt independente şi nλλλ ,...,, 21 sunt constante, atunci

( ) )(...)()(... 22

221

212211 nnnn XDXDXDXXXD ⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅ λλλλλλ

(1.19)

• d). valoarea medie pătratică a unei variabile aleatoare X este mai mare decât modulul valorii sale medii, deoarece ( ) 0≥XD , rezultă

( ) ( ) xXMxXM ≥⇒≥ 222

(1.20)

care se mai poate scrie şi

nnnn xpxpxpxpxpxp ⋅++⋅+⋅≥⋅++⋅+⋅ ...... 2121122

22211

(1.21)

• e) dacă 2σ este dispersia variabilei aleatoare X, probabilitatea ca modulul abaterii să ia valori mai mari decât un număr 0>L este mai mică decât

2

2

L

σ, respectiv ( )

2

2

LLxXP

σ≤≥− (inegalitatea lui Cebîşev).

În relaţiile de mai sus valoarea medie se calculează cu

∑=

=n

i

ixn

x1

_ 1

(1.22)

unde n este numărul elementelor.

Pentru caracterizarea unei distribuţii, în statistică se utilizează mediana şi dominanta, definite prin frecvenţele constatate experimental. Mediana unei variabile este valoarea pentru care funcţia de repartiţie este 1/2 şi valoarea medie a abaterilor absolute, în raport cu aceasta, este minimă. Valoarea variabilei care are cea mai mare frecvenţă de apariţie se numeşte dominantă sau valoare modală.

Pentru două variabile aleatoare X, Y, definite pe două sisteme complete de evenimente, având abaterile U şi respectiv V, valoarea medie a produsului VU ⋅ se numeşte corelaţia variabilelor X şi Y şi se notează, de regulă, cu XYC ,

)( VUMC XY ⋅=

(1.23)

Între corelaţia XYC , valoarea medie a produsului YX ⋅ şi valorile medii ale celor două variabile există relaţia,

yxYXMYMXMYXMCXY ⋅−⋅=⋅−⋅= )()()()(

(1.24)


Principalele consecinţe ale corelaţiei sunt: • dacă două variabile aleatoare X, Y au corelaţia nulă, atunci valoarea medie a

produsului YX ⋅ este egală cu produsul yx ⋅ al valorilor lor medii şi

reciproc dacă yxYXM ⋅=⋅ )( , cele două variabile aleatoare X, Y au corelaţia nulă;

• dacă două variabile aleatoare X, Y sunt independente, corelaţia lor este nulă, dar reciproca nu este adevărată;

• dacă corelaţia XYC ete nulă, se spune că cele două variabile nu sunt corelate sau că sunt necorelate.

Coeficientul de corelaţie sau raportul de corelaţie a două variabile aleatoare X, Y este raportul,

)()(

)(22

VMUM

VUMC

YX

XY

⋅

⋅=

⋅=

µµρ

(1.25)

unde Xµ şi Yµ sunt abaterile medii pătratice ale celor două variabile X, Y.

Coeficientul de corelaţie satisface inegalităţile 11 ≤≤− ρ .

1.5. Funcţii de distribuţie pentru aerosoli

Prin luarea de măsuri speciale, este posibil să generăm aerosoli compuşi din particule de toate dimensiunile. Acestea se numesc monodispersii sau aerosoli omogeni. În cele mai multe cazuri practice, pentru sursele de emisie şi în atmosferă, aerosolii sunt compuşi din particule diferite şi de mai multe mărimi. Aceştia se numesc aerosoli polidispersaţi sau heterodispersaţi.

Cea mai importantă caracteristică fizică a sistemelor polidispersate este distribuţia lor particulară. Această distribuţie poate avea două forme; prima este distribuţia discretă, în care se iau în considerare doar anumite mărimi ale particulelor. Se consideră o suspensie care se compune din agregate de particule uniforme, ce se formează prin coagulare. Atunci particulele vor fi compuse din numere integrale ale acestor particule unitare, iar mărimea distribuţiei poate fi definită ca o cantitate ng, unde g = 1, 2,…, k, reprezintă numărul particulelor unitare ce compun agregatele.

De obicei, cel mai folosit este conceptul mărimii distribuţiei continue. Fie dN, numărul de particule pe unitatea de volum a gazului, într-o poziţie

dată din spaţiu, reprezentată prin distanţa r, şi la un anumit timp distanţa diametrului particulei între dp şi dp + d(dp):

dN = nd(dp, r, t) d (dp) (1.26)

Această expresie defineşte mărimea particulei, funcţie de numărul


particulelor nd (dp, r, t), unde diametrul particulei poate fi considerat diametrul echivalent pentru particulele nesferice. De menţionat că, dimensional, nd ≡ L

-3 l-1

, simbolul L şi l referindu-se la o dimensiune de lungime pentru gaz şi respectiv pentru mărimea particulei. Volumul de aer (gaz) este măsurat în m3 sau cm3, iar diametrul particulei în µm sau nm. De menţionat că, dimensiunile lungimii nu se pot schimba între ele.

În analizele dimensionale ale ecuaţiilor în care intervine funcţia de distribuţie a mărimii, amândouă caracteristicile de lungime trebuie tratate independent.

Pentru aplicaţiile teoretice, în special coagularea, este convenabil să introducem o distribuţie a numărului de particule cu volumul particulei, v, ca parametru,

dN = n (v, r, t) dv (1.27)

unde dN este concentraţia particulelor, având volumul cuprins între v şi v + dv .În acest caz, dimensional, n ≡ L-3

l-3. Relaţiile dimensionale sunt foarte importante în

stabilirea ecuaţiei legilor pentru funcţia de distribuţie. Această ultimă formă a distribuţiei este utilă, deoarece volumul total al

particulelor se conservă când două particule se ciocnesc şi aderă în procesul de coagulare.

Relaţiile care leagă funcţiile de distribuţie

Cele două funcţii de distribuţie n şi nd nu sunt egale, dar sunt legate între ele. Pentru o particulă sferică, între volumul şi diametrul particulei există relaţia,

6

3pd

v⋅π

=

(1.28)

astfel încât,

)(2

2

p

pdd

ddv

⋅π=

(1.29)

Înlocuind această relaţie în formula (1.27) obţinem :

)(2

)(2

p

pdd

vnddN

⋅⋅π=

(1.30)

unde am renunţat la dependenţa în funcţie de poziţie şi de timp. Prin identificarea termenilor din ecuaţia (1.30) cu cei ai ecuaţiei (1.26), se

obţine, fără a considera dependenţa de poziţie şi timp:


2

)()(

2vnd

dnp

pd

⋅⋅π=

(1.31)

De menţionat că, funcţia de distribuţie a mărimii particulei poate fi definită folosind aria suprafeţei ca o variabilă distributivă.

În descrierea datelor mărimilor de distribuţie este foarte convenabil să implementăm o scară logaritmică pentru (dp), deoarece variaţia diametrului este într-un domeniu foarte larg. De exemplu, în literatura de specialitate meteorologică este obişnuit să se utilizeze axe logaritmice atât pentru dn , cât şi pentru pd ,

respectiv log nd , funcţie de log dp . În acest fel, în cazul tunetului, relaţia dintre nd şi dp este liniară.

Alt mod de a prezenta datele este pdddV log⋅ funcţie de versus pdlog ,

unde concentraţia volumică cumulată a aerosolului este dată de,

∫ ⋅⋅=v

dvvnV0

(1.32)

Aria de sub curbele astfel trasate este proporţională cu masa aerosolilor, raportată la o mărime a razei, ceea ce arată că densitatea particulei este constantă, independentă de mărime.

Distribuţia volumului aerosolilor în cazul particulelor sferice, având volumul

6

3pd

v⋅π

= , este dată de relaţia:

12

)(3.2

log

62vnd

dd

dV p

p

⋅⋅π⋅=

⋅

(1.33)

În mod similar cu distibuţia volumului, ţinând seama de relaţia dintre masă şi volum, se poate da distribuţia masei de aerosol,

p

p

p dd

dV

dd

dm

loglog ⋅⋅ρ=

⋅

(1.34)

unde ρp , este densitatea particulei. Exemplificarea funcţiilor mărimilor de distribuţie se face în figura 1.8.a şi

figura 1.8.b. Figura 1.8.a, [15], prezintă distribuţia unimodală a numărului de particule de siliciu produse în mod comercial în funcţie de fracţia de particule din

jurul mărimii razei dp, adică ( )

∞∞

=⋅ N

dn

ddN

dN pd

p )(, unde ∞N este concentraţia

totală a particulelor.


Fig. 1.8.a. Distribuţiei unimodală a particulelor de Si.

Siliciul comercial obţinut în urma oxidării SiCl4 este folosit ca filtru aditiv în fabricarea cauciucului. Amândouă axele de coordonate din figura 1.8.a sunt liniare şi fiecare arie de sub curbă trebuie să fie normalizată la unitate, fracţia de particule având mărimea dintre două diametre. Ruperea particulelor în mărimi de raze în oricare două diametre 1pd şi 2pd , este proporţională cu aria dintre cele două curbe.

O distribuţie bimodală a volumului, având un minim al mărimii particulei de 1µm este arătată în figura 1.8.b. Distribuţiile de acest fel sunt foarte des observate pentru aerosoli atmosferici; volumul aerosolilor pe unitatea de volum a gazului, pentru particule cu diametrul mai mic de 1µm, are o distribuţie foarte asemanătoare, fiind egală, ca mărime cu aria de sub curbă. Distribuţiile bimodale sunt, de asemenea, foarte des observate în aerosolii produşi de instalaţiile de ardere.

Fig. 1.8.b. Distribuţia bimodală.

Distribuţia cumulativă a numărului de particule, având diametre mai mici decât pd , este definită de expresia:


∫=pd

ppdp dddndN0

)()()(

(1.35)

Deoarece

( )p

p

ddd

ddNn

)(=

(1.36)

funcţia de distribuţie poate fi obţinută prin diferenţierea funcţiei de distribuţie cumulativă în raport cu pd .

Când aerosolii sunt amestecaţi la o presiune constantă, mărimea distribuţiei rezultată, în absenţa coagulării, din media volumului este:

ii

iii

Q

Qnn

Σ

Σ=

(1.37)

în care ni este mărimea distribuţiei, Qi este volumul de gaz ce corespunde aerosolului i.

Funcţia medie a distribuţiei temporare, pentru un punct fix, este :

∫ ′′=t

pdpd tdtrdnt

rdn0

),,(1

),(

(1.38)

unde media este calculată pentru intervalul de la 0 la t.

Momentul centrat al funcţiei de distribuţie a dimensiunii particulei poate fi definit de expresia:

∫∞

νν =

0)(),( ppd dddntrM

(1.39)

unde ν , este ordinul momentului. Parametrul ν nu trebuie să fie neapărat un număr întreg. Multe momente apar

în expresiile aerosolilor ca proprietăţi fizice sau optice, sau în transportul lor. În continuare sunt prezentate interpretările fizice ale primelor şase momente

date sub formă integrală. Momentul centrat de ordinul zero, 0M , este:

∞

∞

== ∫ NddnM pd

0

0 )(

(1.40)

şi reprezintă concentraţia totală a particulelor din aerosoli, într-un anumit punct şi pentru un timp dat. Momentul centrat de ordinul întâi, 1M , este:


∫∞

=0

ppd1 )d(ddnM

(1.41)

Divizat de momentul de ordinul zero, dă diametrul mediu al particulei,

0

1

0

pd

0

ppd

pM

M

)d(dn

)d(ddn

d ==

∫

∫∞

∞

(1.42)

Momentul centrat de ordinul doi, 2M , dispersia variabilei, este proporţional cu aria suprafeţei particulelor ce compun aerosolul,

AdddnM ppd =⋅⋅⋅π=⋅π ∫∞

0

22 )(

(1.43)

unde A este aria totală a suprafeţei, pe unitatea de volum a sistemului dispersat.

Media ariei suprafeţei, pentru o particulă, este dată de ∞

=⋅π

N

A

M

M

0

2 . Turbiditatea

aerosolilor, compuşi din particule mult mai mari decât lungimea de undă a luminii incidente este, de asemenea, proporţională cu acest moment.

Momentul centrat de ordinul trei, 3M , este proporţional cu volumul total al

particulelor de aerosol din unitatea de volum a gazului:

φ=⋅⋅π

=⋅π

∫∞

0

33 )(66 ppd dddn

M

(1.44)

unde

==φ 3

3

m

m

V

Vp este fracţia volumetrică a particulelor dispersate, [ ]3mpV este

volumul parţial ocupat de particulele de aerosol, iar [ ]3mV este volumul amestecului de aer şi aerosol. Dacă densitatea particulei este independentă de mărime, momentul de ordinul trei este proporţional cu concentraţia masei particulelor conţinute.

Volumul mediu v , al particulei este definit de:

0

3

6 M

M

Nv

⋅

⋅π=

φ=

∞

(1.45)

Momentul centrat de ordinul patru, 4M , este proporţional cu proiecţia ariei


totale de material sedimentat, dintr-un fluid staţionar. Forţa de rezistenţă F, pentru o particulă solidă de aerosol de formă sferică, cu

diametrul m 1µ>pd , care se mişcă lent în fluidul gazos, este dată de relaţia lui

Stokes, [16]:

2

66 p

ssp

dccrF ⋅µ⋅π⋅=⋅⋅µ⋅π⋅=

(1.46)

unde

µ 3m

N este vâscozitatea dinamică a gazului, [ ]mpr este raza particulei,

[ ]mpd este diametrul particulei, iar

s

msc este viteza particulei de aerosol.

Aplicând această relaţie şi neglijând forţa ascensională, se poate calcula viteza maximă de cădere liberă a particulei de aerosol, considerată sferică,

µ⋅

⋅⋅ρ=

18

2gd

cpp

s

(1.47)

unde, în plus,

2s

mg este acceleraţia gravitaţională.

Rezultă că viteza, în 1s− , cu care o suprafaţă orizontală este acoperită de particulele materiale de aerosol care se depun, este dată de:

40

22

72)()(

184M

gdddn

gdd p

ppd

ppp

µ⋅

⋅ρ⋅π=⋅⋅

µ⋅

⋅⋅ρ⋅

⋅π∫

∞

(1.48)

Momentul centrat de ordinul cinci, 5M , este proporţional cu fluxul masic de

material sedimentat dintr-un fluid, flux măsurat în

2m

kg,

5

0

3

108)()

6M

gdd

dcn

p

p

pp

sd∫∞

=µ

πρπρ

(1.49)

Momentul centrat de ordinul şase, 6M , este proporţional cu lumina totală de împrăştiere a particulelor, când ele sunt mai mici decât lungimea de undă a luminii incidente. Eficienţa împrăştierii, scatK , unei particule sferice, mică şi singură, care este o fracţiune din lumina incidentă a unei particule, când este împrăştiată, este dată de:


2

2

24

2

1

3

8

+

−⋅

λ

⋅π⋅=

m

mdK

p

scat ( )λ<<pd

(1.50)

unde m este indicele de refracţie al particulei, iar λ este lungimea de undă a luminii incidente. Aceasta este cunoscută ca împrăştierea lui Rayleigh.

Atunci împrăştierea totală, scatb , a unui aerosol compus din particule foarte

mici (dp<<λ ), este dată de:

60

6

2

2

2

4

5

)(2

1

3

2MdddnI

m

mb ppdscat ≈⋅⋅⋅⋅

+

−

λ

π= ∫

∞

(1.51)

unde I, este intensitatea luminii razei incidente. Împrăştierea lui Rayleigh, de obicei, nu contribuie semnificativ la împrăştierea luminii de către particulele mici în atmosferă. Majoritatea împrăştierilor particulelor atmosferice se găsesc în mărimea razei dp ≈ λ, pentru care trebuie folosite legi ale împrăştierii mult mai complexe, [18, 19].

Contribuţia la momentele centrate de diverse ordine diferă în funcţie de dimensiunea particulelor de aerosol. Într-o atmosferă urbană poluată, concentraţia numerică sau momentul zero este cel mai adesea dominat de particule având raza între 0.01 şi 0.1µm, aria suprafeţei este adesea dominată de particule cu raze de la 0.1 la 1.0 µm, iar contribuţiile majore la concentraţia volumică se încadrează în cele două mărimi ale razelor de la 0.1 la 1.0 şi de la 1.0 la 10 µm.

1.6. Legi de distribuţie a probabilităţii Pentru prelucrarea datelor experimentale obţinute din analiza particulelor ce

compun un aerosol, se utilizează diverse funcţii de deistribuţie. Alegerea unei anume funcţii de distribuţie depinde de aplicaţia specifică. În toate cazurile, dimensiunile funcţiei de distribuţie trebuie să fie conformă dimensional.

Legea normală (Laplace şi Gauss)

O variabilă aleatoare ξ , care ia o infinitate de valoari, se supune unei legi de

probabilitate dacă densitatea de repartiţie a variabilei ξ este:

( )( )

22

2

2

1 σ

−−

πσ=ρ

mx

ex

(1.52)

unde m şi σ , sunt doi parametri. În statistică se spune că o distribuţie satisface o lege normală dacă frecvenţele empirice sunt apropiate de probabilităţile date de (1.52).

Semnificaţia parametrilor m şi σ este următoarea: m este valoarea medie a


variabilei, iar σ este dispersia acestei variabile, adică:

( ),ξ= Mm

( )ξ=σ D2

(1.53)

Pentru fiecare pereche de valori m şi σ , obţinem o lege normală pe care o notăm, de regulă, cu ( )σ,mN .

Pentru particulele de aerosol, distribuţia normală a numărului de particule

dn , de un anumit diametru pd , este dată de:

]2/)(exp[)2(

)( 222/1 σ−−

σ⋅π= ∞

pppd ddN

dn

(1.54)

unde pd , este media aritmetică a diametrului,

)()(0

ppdpp dddndd ⋅⋅= ∫∞

(1.55)

iar σ2 , pătratul deviaţiei diametrului particulei pd , faţă de diammetrul mediu,

)()()()(0

222ppdpppp dddndddd ∫

∞

−=−=σ

(1.56)

Această formă este folosită în tehnologia aerosolilor pentru a caracteriza particulele care sunt foarte aproape de monodispersie, ca şi sferele din polistiren folosite în studiile de laborator şi în calibrarea instrumentală. Valoarea lui pd poate fi calculată folosind ecuaţia momentului (1.39). Pentru integrare, este necesar să considerăm o limită minimă a diametrului 0→pd , şi să presupunem că

distribuţia respectă (1.54).

Distribuţiile mărimii aerosolilor au adesea deviaţii standard mari. Aceste distribuţii pot fi aproximativ reprezentate de funcţia de distribuţie lognormală, [20]:

( )( )

( )

σ

−−

σ⋅⋅π= ∞

g

pgp

gp

pd

dd

d

Ndn 2

2

2/1 ln2

lnlnexp

ln2

(1.57)

unde diametrul mediu geometric pgd , este:

( ) ( )∫∞

⋅⋅==0

lnlnln ppdpppg dddnddd

(1.58)


iar varianţa logaritmului diametrului,

( )22 lnlnln pgpg dd −=σ

(1.59)

cu σg , deviaţia standard geometrică. Distribuţia lognormală este astfel o distribuţie normală, în care funcţia de

distribuţie este 0

logp

pg

d

d, unde 0pd este o mărime de referinţă care este luată adesea

ca fiind dpg. Mediana şi deviaţia geometrică standard depind preponderent de mărimea particulelor.

Distribuţia lognormală este probabil, cea mai utilizată pentru analiza datelor în cazul aerosolilor. Pentru distribuţia lognormalǎ, momentul general al funcţiei mărimii de distribuţie (1.39) este dat de [3] :

gpgdM σν

+⋅ν=ν2

2

ln2

lnln

(1.60)

Funcţia de distribuţie lognormală poate fi interpretată fizic ca rezultat al procesului de spargere continuă a particulelor mari în particule mai mici, particule care respectă o distribuţie normală a mărimii acestora. Distribuţiile lognormale se pot aplica şi procesului de coagulare, caz în care valoarea deviaţiei standard este determinată de forma funcţiei care descrie frecvenţa coliziunii.

Legea de distribuţie la o putere

Legea de distribuţie la o putere poate fi reprezentată de relaţia :

m

ppd dAdn ⋅=)(

(1.61)

unde A, este o constantă a cărei dimensiune depinde de exponentul m, care este de obicei negativ.

Această distribuţie este folosită peste o mărime a razei limită, care include mărimile particulei ce ne interesează în anumite aplicaţii particulare. Este evident că trebuie să fie o reducere în mărimea particulei pentru aceste funcţii, pentru a fi îndeplinite condiţiile,

,)( ∞→pd dn

când

,0→pd iar

0<m

(1.62)

Legea de distribuţie la o putere este, în mare măsură, folosită în aplicaţiile meteorologice, pentru a aproxima porţiuni ale distribuţiei mărimii particulei a aerosolilor atmosferici. Pentru m ≈ -4, (1.61) se numeşte distribuţia Junge, după numele celui care a propus-o, [21].

Distribuţia cumulativă pentru legea puterii este:


1

1)( +

+= m

pp dm

AdF

(1.63)

şi se aplică analizei „camerelor curate”, pentru care se consideră 2.21 −≈+m , adică, 2.3−≈m .

Funcţii de distribuţie adimensionale (normalizate-similare)

Mărimea distribuţiilor măsurate în diferite locaţii şi/sau timpi, chiar în atmosferă sau în procese gazoase, poate fi uneori normalizată prin introducerea unui diametru caracteristic al particulei, bazat pe momentele funcţiei de distribuţie. De exemplu, presupunând că funcţia de distribuţie depinde doar de două din aceste momente, să spunem N∞ şi φ, în asociere cu diametrul particulei:

( ) [ ]ppd d,φNfdn , ∞=

(1.64)

Cele patru mărimi nd , N∞ , φ şi dp , care apar în (1.64) au două dimensiuni, L şi l, corespunzînd coordonatelor spaţiului şi mărimii particulei. Totuşi, în termeni dimensionali, există două grupuri adimensionale, care nu pot fi exprimate numai prin aceste mărimi. Grupurile pot fi exprimate astfel:

( ) ( )ηψφ

= ∞dpd

Ndn 3/1

3/4

(1.65)

unde

,p

p

d

d=η

316

⋅π

φ⋅=

∞Nd p

(1.66)

Funcţia adimensională ( )ηψd , depinde doar de raportul dintre diametrul

particulei şi media diametrului particulei. Graficul funcţiilor ( )ηψd , în raport cu η nu depinde de spaţiu şi timp, fiind aceeaşi curbă. Distribuţiile care se comportă în acest fel se numesc identice. Forma ψd (η) depinde de procesele fizico-chimice care controlează distribuţia mărimii particulei.

1.7. Compoziţia chimică Aerosolii sunt frecvent multicomponenţi, adică sunt compuşi din specii

chimice diferite. Acesta este cel mai obişnuit caz pentru aerosolii nedoriţi, generaţi în procesele industriale de ardere sau incinerare. Aerosolii atmosferici sunt un alt exemplu multicomponent. Aerosolii produşi intenţionat în industrie au, de asemenea, multicomponenţi.

O singură particulă de aerosol poate fi compusă din mai multe grupuri chimice şi întreg aerosolul poate exista ca un amestec de particule de compoziţii


chimice diferite. Pentru aerosolii multicomponenţi, sunt considerate două cazuri limită: a) aerosoli amestecaţi intern, atunci când toate particulele au aceeaşi compoziţie chimică; b) amestecaţi extern, atunci când componenţii chimici sunt segregaţi, astfel că particulele depind chimic de sursele lor. Cele două cazuri limită se pot evidenţia prin măsurarea compoziţiilor chimice ale particulelor individuale. Modul de amestecare al aerosolului, intern sau extern, are implicaţii majore în comportamentul aerosolilor, incluzând proprietăţile optice ale norilor de particule, efectele asupra sănătăţii şi proprietăţi fizico-chimice de bază ale materialelor prăfuite, fabricate în procesele aerosolilor.

Funcţia “densitatea compoziţiei probabile”

În general, sunt posibile un număr infinit de cazuri intermediare între modul de amestecare, strict intern şi strict exter.

Pentru a fi folosită variaţia compoziţiei chimice de la particulă la particulă, funcţia de distribuţie a mărimii particulei trebuie generalizată, şi pentru aceasta a fost introdusă funcţia densitaţii compoziţiei probabile, [22].

Fie dN numărul de particule pe unitatea de volum a gazului ce conţine cantitǎţi molare din fiecare element chimic, având raze cuprinse între ni şi ni + dni , cu i = 1, 2, …,k, unde k, este numărul total al elementelor chimice. Se presupune că în orice punct al volumului, de la v la v + dv, compoziţia chimică a particulelor este distribuită continuu. Atunci, funcţia densităţii compoziţiei probabile (p.d.f.), g, este definită de, [22, 23]:

kk dndndvtrnnvgNdN ⋅⋅⋅⋅= ∞ ...),,,...,,( 22

(1.67)

Acesta este un exemplu de funcţie de distribuţie de legatură sau simultană, [24]. Nu este necesar să includem n1 ca una din variabilele independente, pentru că între v şi ni există relaţia:

∑ ⋅=i

ii vnv

(1.68)

unde iv , este volumul molar parţial al speciei i. Aceastǎ descriere este adecvatǎ pentru cazul când este cunoscutǎ compoziţia chimicǎ. Totuşi, în acest mod de abordare nu se ţine seama de efectele structurale, cum ar fi straturile suprafeţei particulei şi caracteristicile morfologice ale aglomeratelor.

Deoarece integrala lui dN pentru toate v şi ni este egală cu N∞ , obţinem:

( ) 1...,,...,... 22 =⋅⋅⋅⋅∫ ∫v knkk dndndvtrnnvg

(1.69)

De asemenea, mărimea funcţiei de distribuţie poate fi găsită din g, prin integrare peste toţi constituenţii chimici ai aerosolilor:


( ) ( )∫ ∫ ⋅⋅⋅⋅= ∞2

22 ...,,...,...,,n kn

kk dndndvtrnnvgNtrvn

(1.70)

Compoziţia chimică medie

Filtrarea cu eficienţă înaltă este cea mai obişnuită metodă de colectare a particulelor materiale, pentru determinarea compoziţiei chimice. Analizele chimice ale mostrelor filtrate furnizează informaţii despre compoziţia aerosolilor, fiind o medie între mărimea tuturor particulelor şi intervalul de timp al mostrelor. Pentru o constantă a mostrelor gazului, concentraţia masei tipurilor i, este o medie dintre mărimea particulei şi timp şi este legată de funcţia probabilistică a mărimii compoziţiei densitaţii, după cum urmează:

[ ]∫ ∫ ∫ ∫∞

∞ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=t

kiii

i dtdvdndndnngNt

M

0 02 .........ρ

(1.71)

unde ρi , este concentraţia instantanee a masei tipurilor i, pe unitatea de volum a gazului, medie a mărimilor particulei, iar Mi este greutatea moleculară a tipurilor i.

Concentraţia instantanee a tipului i, în faza particulară, este dată de fracţia masei:

ρ

ρ iic =

(1.72)

unde ρ, este masa totală a materialului particular pe unitatea de volum a gazului. Valoarea ic , pentru un timp mediu, poate fi obţinută în principiu prin media dintre

valorile instantanee ale lui ic , măsurate în perioada de probă. Totuşi, valorile

instantanee ale lui ic nu pot fi obţinute prin măsurătorile normale de filtrare. Însă,

fracţia medie a masei este dată ca raportul dintre valorile medii ale iρ şi

ρ ,respectiv ρρ /i .

Distribuţia compoziţiei chimice funcţie de mărimea particulei

Există instrumente cu care se poate măsura compoziţia particulelor individuale şi este posibil, eventual, să determinăm densitatea compoziţiei probabile. În mod curent, asemenea măsurători sunt făcute în centrele de cercetare. În practică, compoziţia medie a particulelor, într-un interval discret, este determinată prin colectarea probelor de aerosoli, pe o perioadă de câteva ore, folosind un impactor de tip cascadă şi analizând fiecare fazǎ chimică a materialului. Concentraţia măsurată în acest fel este legată de g (v, n2 ,…, nk , r, t) prin:


[ ]∫ ∫ ∫ ∫ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∆ ∞

t v

vkii

ii dtdvdndndnngN

t

M

0

2

12 ........ρ

(1.73)

unde iρ∆ , este masa speciilor i pe unitatea de volum a aerului ,având mărimea

razei de la v1 la v2. Pentru 01 →v şi ∞→1v , iρ∆ devine concentraţia care ar trebui măsurată de

un filtru total. Distribuţia masei discrete poate fi pusă sub forma p

i

dlog∆

∆ρ funcţie

de pdlog . Un exemplu al acestor tipuri de distribuţie este arătat în figura 1.9 şi

figura 1.10, pentru emisiile de aerosoli dintr-un incinerator municipal pentru ape reziduale, echipat cu un scrubǎr de tip ciclon. Aria de sub această histogramă dintre cele două valori ale lui pd , este proporţională cu masa chimică a speciilor (sau

masa totală) a particulelor considerate sferice, având raza între cele douǎ valori ale lui pd .

În figura 1.9 se prezintǎ distribuţia masei particulei ca o funcţie de mărimea particulei la admisia şi evacuarea scrubǎrului. Distribuţia masei la admisie, care depinde de incinerator, este de tip bimodal. Particulele cele mai fine şi mici, având diametrul în jur de 0.2 µm, rezultă, probabil, din condensarea componentelor gazoase ce se volatilizează în timpul combustiei. Particulele mai mari, cu diametre între 5 şi 50 µm, sunt, probabil, cenuşa reziduală de la materia cu care se alimenteazǎ incineratorul. Dupǎ scrubǎr, distribuţia diametrului particulelor este în majoritate cu diametre cuprinse între 0.2 şi 0.5 µm, indicînd faptul că scrubǎrul este eficient pentru îndepǎrtarea particulelor grosiere.

Fig. 1.9. Distribuţia mărimii particulei la admisia şi evacuarea din scrubǎr.

În figura 1.10 se prezintǎ distribuţia particulelor de cadmiu şi calciu la ieşirea din incinerator şi intrarea în scrubǎr.


Fig. 1.10. Distribuţia cadmiului şi calciului la ieşirea din incinerator.

Formele de cadmiu care se pot volatiliza sunt foarte mici şi pot creşte prin coagulare şi adsorbţie pe particulele apǎrute prin condensare. Totodatǎ, se observǎ cǎ distribuţia particulelor de cadmiu este unimodalǎ, având un maxim la diametrul de 0.2 µm. Distribuţia particulelor de calciu, la ieşirea din incinerator, dupǎ diametrul acestora, este de tip bimodal, cu un maxim în apropierea unui diametru de 0.2 µm şi un mod grosier mai larg, cu diametre de la 2 la 50 µm.

Aceste rezultate ilustrează că emisiile combustiei tind să se mărească pentru anumite elemente, unele toxice, relativ cu compoziţia iniţială a alimentării.

Un exemplu de distribuţie a particulelor obţinute prin arderea cărbunelui este redatǎ în tabelul 1.2, [8].

Tabel 1.2

Elementele din particulele de praf rezultate prin arderea cǎrbunelui

Diametrul

particulei

Pb Ti Sb Cd Se As Ni Cr S

µm µg/g %

> 11.3 1100 29 17 13 13 680 460 740 8100 7.3-11.3 1200 40 27 15 11 800 400 290 9000 4.7-7.3 1500 62 34 18 16 1000 440 460 6600 3.3-4.7 1550 67 34 22 16 900 540 470 3800 2.1-3.3 1500 65 37 27 19 1200 900 1500 15000 1.1-2.1 1600 76 53 35 59 1700 1600 3300 13000

0.65-1.1 - - - - - - - - -

1.8. Caracterizarea dinamicǎ a aerosolilor

Caracteristicile aerosolilor, discutate în acest capitol, aratǎ o fotografie a aerosolilor la o poziţie şi timp dat. Fotografia ne dă informaţii despre mărimea particulei şi despre proprietăţile chimice ce determină mai multe efecte ale aerosolilor, atât cele bune, cât şi cele rele. Totuşi, distribuţia mărimii şi proprietăţile chimice, de obicei, se schimbă cu timpul şi poziţia în procesele


gazelor industriale sau în atmosferă. Considerănd un volum mic al gazului, asociind particule şi urmărind

mişcările lor prin sistem, (atmosfera sau procesele industriale), procesele fizice şi chimice ce afecteazǎ distribuţia mǎrimii particulei sunt prezentate sintetic în figura

1.11. Aceste procese sunt: nuclearea, difuzia, coagularea, condensarea şi sedimentarea.

Modificarea distribuţiei n (v, r, t) în timp, poate fi exprimată ca sumă a doi termeni:

ei dt

dn

dt

dn

dt

dn

+

=

(1.74)

Primul termen, din dreapta, reprezintă procesele care au loc în interiorul (notat cu indicele i) elementului de volum considerat, incluzând conversia gaz - particulă şi coagularea. Al doilea termen reprezintă fenomenele de transport în jurul limitelor elementului de volum considerat (notat cu indicele e) în timpul proceselor de difuzie sau sedimentare.

Pentru început, se face o prezentare a proceselor de transport ce au lor la interfaţa volumul de control, iar apoi sunt analizate şi procesele interne de coagulare şi conversie gaz – particule. În final, este utilǎ ecuaţia generală dinamică pentru n (v, r, t), încorporând amândouă procesele interne şi externe. În anumite cazuri, este posibil să se obţină soluţii simple, adesea aproximate. În altele, sunt necesare metodele numerice.

Fig 1.11. Procesele dinamice care influenţeaza distribuţia mărimii particulei.

CC AA PP 22 .. PP RR OO PP RR II EE TT ĂĂ ŢŢ II LL EE DD EE TT RR AA NN SS PP OO RR TT AA LL EE PP AA RR TT II CC UU LL EE LL OO RR

2.1. Elemente de dinamică pentru particule Proiectarea echipamentelor de curăţare a gazelor şi a instrumentelor de

colectare şi măsurare a diverşilor tipuri de aerosoli necesită o cunoaştere bună a transportului particulei de la un punct la altul într-un gaz. Totodată, extragerea unei materii particulare din atmosferă prin procese de depunere uscată şi umedă este influenţată şi de procesele de transport ale particulei.

A fost studiată, în principal, mişcarea particulelor mici, de formă sferică, sub acţiunea unui câmp de forţe extern, care crează un anume gradient (electric, de presiune, de concentraţie, termic, etc). S-a preferat considerarea particulelor sferice, deoarece acestea permit obţinerea unor relaţii mai simple şi pot fi considerate cazuri ideale; sunt luate în discuţie particulele neregulate ca şi deviaţii de la comportamentul sferic.

În orice punct al unui spaţiu tridimensional cantitatea de o anumită proprietate (masă, concentraţie, presiune, electricitate, cantitate de căldură, etc), poate fi descrisă printr-o funcţie scalară )(r

rϕ , numită gradient, unde r

r este

vectorul distanţă. Caracterizarea comportării funcţiei scalare )(rr

ϕ , asociată la fiecare punct al spaţiului tridemensional, în imediata vecinătate a oricărui punct, se realizează cu ajutorul vectorului ϕgrad , definit de:

( ) nr

dgradd ⋅ϕ=ϕ

(2. 1)

în care nr

este o direcţie oarecare, normală la suprafaţă. Prin urmare, variaţia mărimii scalare )(r

rϕ , în timp ce se trece din punctul )(rP

r în punctul )d( nrQ

rr+ , se obţine

dacă înmulţim scalar vectorul )(d nr

cu vectorul ϕgrad . Dacă ecuaţia (2.1) este pusă sub forma, [1]

( )V

A

n Vn

∫ ⋅

=⇒=∂

∂

→

rd

limgradgrad0

ϕ

ϕϕϕ

(2. 1a)

Se observă că variaţia mărimii scalare ϕ , raportată la unitatea de lungime, luată într-o direcţie oarecare n

r, rezultă ca proiecţia vectorului ϕgrad pe direcţia n

r,

ceea ce în coordonate carteziene se poate scrie:

Proprietatile de transport ale particulelor 51

kz

jy

ix

rrr⋅

∂

ϕ∂+⋅

∂

ϕ∂+⋅

∂

ϕ∂=ϕgrad

(2. 1b)

unde kjirrr

,, reprezintă versorii cordonatelor. Pentru a caracteriza comportamentul unui vector, sau al unei funcţii

vectoriale, s-au introdus douǎ funcţii şi anume, rot vr

, rotor şi div vr

, divergenţǎ, ambele fiind în directǎ legǎturǎ cu mǎrimile fizice mǎsurabile.

Divergenţa unui vector este:

V

Av

v A

V ∆

⋅

=∫

→∆

rr

r

d

lim div0

(2. 2)

Prin urmare, divergenţa funcţiei vectoriale ( )rvr

, într-un punct oarecare al câmpului, se obţine înconjurând punctul cu o suprafaţǎ închisǎ, fomând integrala de suprafaţǎ a vectorului, împǎrţind integrala la volumul delimitat şi analizând limita acestei fracţii, în cazul când suprafaţa închisǎ tinde sǎ se reducǎ la punctul respectiv. La formarea integralei de suprafaţǎ, considerǎm pozitivǎ normala derivatǎ din interiorul volumului spre exterior. Pe baza acestei definiţii, în coordonate carteziene, rezultǎ:

z

v

y

v

x

vv zyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

r div

(2. 3)

ceea ce constituie suma termenilor din diagonala principalǎ a tensorului derivatǎ,

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

v

zzz

yyy

xxx

vr

r

r

rddT

(2. 4)

care apare în descrierea comportamentului unei funcţii vectoriale ( )rvvrr

= , în vecinǎtatea unui punct din spaţiu,

nvvr

rrr r

r dTd dd ⋅=

(2. 4a)

Definiţia rotorului unei funcţii vectoriale ( )rvr

este,

DISPERSIA PARTICULELOR POLUANTE 52

( )V

vA

vA

lv

v L

V

L

An

∫∫ ×

=⇒∆

⋅

=→∆→∆

rr

r

rr

rd

limrot

d

limrot 00

(2. 5)

Pentru a obţine componenta după o direcţie oarecare nr

,a vectorului vr

rot , într-un punct al spaţiului, se aşeazǎ prin punctul respectiv un plan perpendicular pe direcţia datǎ, se formeazǎ integrala vectorialǎ dupǎ o curbă închisă, care se gǎseşte în acest plan şi înconjoară punctul respectiv şi apoi, se împarte aceastǎ integralǎ la suprafaţa delimitatǎ de curbă. Considerǎm apoi limita acestei expresii pentru cazul când curba tinde cǎtre punctul respectiv. De menţionat cǎ, la formarea integralei de-a lungul curbei, sensul de parcurgere al acesteia trebuie corelat cu sensul vectorului n

r, ca sensul de rotire al unui burghiu drept ce înainteazǎ.

Componentele vectorului rotor în coordonate carteziene sunt:

( )

( )

( ) ,rot

,rot

,rot

y

v

x

vv

x

v

z

vv

z

v

y

vv

xy

z

zxy

yzx

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂−

∂

∂=

r

r

r

(2. 5a)

ceea ce relevă faptul cǎ, componentele vectorului rotor coincid cu partea antisimetrică a tensorului derivatǎ.

Prin introducerea operatorului diferenţial ∇ (nabla), definit de vectorul simbolic,

xk

yj

xi

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅=∇

ϕrrr

(2. 6)

se poate scrie:

vvvvrrrr

×∇=∇=ϕ∇=ϕ rot ,div ,grad

(2. 7)

Gazul real, conţinând aerosoli, este numit generic fluid. Cantitatea de fluid (sau de orice substanţă oarecare) care străbate în unitatea

de timp o anumită suprafaţă constituie fluxul de fluid sau debitul de fluid (de substanţă) prin acea suprafaţă. Se deosebesc un flux volumetric, respectiv un flux masic, după cum fluxul de fluid se exprimă în volum, respectiv în masă. Dacă

vQ este debitul volumetric, mQ este debitul masic şi ρ densitatea fluidului, se poate scrie:

vm QQ ⋅ρ=

(2. 8)


Debitul volumetric al unui fluid printr-un element de arie Ar

d , dintr-o suprafaţă A , este egal cu volumul fluidului conţinut într-un ciclindru drept cu baza

Ad şi înălţimea numeric egală cu viteza vr

,

AvdQv

rrd⋅=

(2. 9)

iar debitul masic,

AvdQm

rrd⋅⋅ρ=

(2.10)

Aplicând principiul conservării masei - masa unui volum material nu variază

în timp, [2], se obţine ecuaţia de continuitate fără generare de masă în volumul considerat:

0 div0 grad div0)( div =+∂

ρ∂⇔=ρ⋅+⋅ρ+

∂

ρ∂⇔=⋅ρ+

∂

ρ∂j

tvv

tv

t

rrrr

(2.11)

unde vjrr

⋅ρ= este densitatea de flux. De menţionat că, ecuaţia de continuitate este o relaţie pur cinematică; cu

ajutorul ei poate fi determinat fluxul (debitul) de fluid printr-o suprafaţă, deci viteza fluidului, [3]. Ea nu face nici o referire la cauzele care produc mişcarea fluidului.

Pentru caracterizarea unui fluid în mişcare se aplică teorema cantităţii de mişcare pentru sistemul de puncte materiale (particule de aerosol), valabilă şi pentru fluidul oarecare: în orice moment, derivata în raport cu timpul a cantitaţii de mişcare a unui volum material este egală cu suma forţelor exteriore aplicate volumului material, [2]. Prin urmare,

fpvgradvt

v rrrr

+ρ

−=⋅⋅+∂

∂ grad

1)(

(2.12)

unde fr

este suma forţelor pe unitatea de masă. Relaţia (2.12) este ecuaţia fundamentală a dinamicii fluidelor şi se numeşte ecuaţia lui Euler. Prin suma forţelor se înţelege, în general, suma forţelor exterioare, dar nu se exclud nici forţele interne (în special de frecare), luate adecvat, ca semn şi valoare.

Procesele fizice care au cea mai mare influenţă asupra transportului de particule sunt difuzia, sedimentarea şi migraţia într-un câmp electric sau termic. Se menţionează că, în principal, pentru particulele de aerosol este esenţial procesul de transfer de masă produs de variaţia spaţială a concentraţiei. Intensitatea sa variază cu gradientul concentraţiei, cât şi cu rezistenţa opusă mediului, [4].

În general, transferul de masă se poate face în două moduri: • prin difuzie moleculară, când viteza de deplasare a fluidului este nulă,

0=vr

, în lipsa oricărei forţe externe, iar procesul se datorează tendinţei


naturale a unui fluid ca, prin mişcarea dezordonată a moleculelor sau atomilor, să-şi reducă diferenta de concentraţie între diferitele puncte din volumul ocupat;

• prin difuzie turbulentă, adică prin procesul de transfer de masă în mişcare relativă a fluidului faţă de alt fluid sau suprafaţă şi cu intensitate variabilă, funcţie de proprietaţile de transport ale fluidului şi caracteristicile hidromecanice ale procesului.

Difuzia moleculară este un proces analog cu transferul de căldură prin

conducţie şi cu transferul de impuls în curgerea laminară. Ea reprezintă transferul de masă la nivel molecular în cadrul unui sistem, realizat doar prin mişcarea dezordonată a moleculelor în tendinţă naturală de uniformizare a concentraţiilor.

Acest transport macroscopic de masă este independent de existenţa vreunei mişcări convective în sistem şi este efectul a trei procese:

difuzia obişnuită produsǎ de diferenţele de conentraţii ; difuzia termică, bazată pe efectul Soret, conform căruia moleculele de

masă mai mare tind să se deplaseze către regiunile cu temperatură mai coborâtă, producând un gradient de concentraţie ;

difuzia de presiune cauzată de diferenţele de presiune.

Difuzia turbulentă este un proces analog transferului de căldură prin convecţie şi este însoţită întotdeauna de difuzia moleculară.

În acest capitol luăm în consideraţie difuzia browniană, sedimentarea, migraţia într-un câmp electric sau câmp termic. Se ţine seama că prezenţa aerosolilor conduce la gaze reale, pentru care ecuaţia de stare ia în considerare şi forţele Van der Walls. Analiza se limitează la transportul particulei în gaze staţionare.

Procesele de transport aerosol, incluzând căldura, masa, momentul şi transferul de sarcină, au loc la două nivele diferite, dar care interacţionează. La nivelul particulei individuale, schimbul de masă, căldură, moment şi sarcină, poate avea loc între particule şi gazul înconjurător. La o scară mai mare, norii de particule se mişcă sub influenţa concentraţiei, a temperaturii şi a gradienţilor de câmp electric, la viteze care depind de mărimea şi proprietăţile particulei. Este posibil să existe o puternică interacţiune între cele două nivele, pentru că fluxul particulei este proporţional cu produsul gradientului la scară mare şi cu un coeficient care depinde de procesele de transport la scară de particulă.

Analiza transportului la nivel de particulă este relativ simplă în cazuri limită, [5], ce corespund numerelor Knudsen foarte mari şi foarte mici. Numǎrul Knudsen caracterizeazǎ gradul de rarefiere al fluidului, fiind definit prin relaţia:

0

Knl

l=

(2.13)


unde l este drumul liber mediu al moleculelor de gaz, iar 0l este dimensiunea caracteristicǎ (de exemplu, diametrul secţiunii de curgere). Dacǎ numere Knused sunt mici, 0.001Kn < (corespunzǎtor unor particule mari), procesele de transfer sunt descrise prin ecuaţiile difuziei, transferului de căldură şi ale mecanicii fluidului în medii continue. La numere Knudsen mari, 10Kn > (corespunzǎtor unor particule mici, gaz rarefiat), procesele de transfer au loc în regimul moleculei libere în care prezenţa particulelor nu afectează distribuţia de viteză a moleculelor ce se mişcă spre suprafaţă. Pentru moleculele ce se mişcă în direcţia opusă (dinspre suprafaţă), funcţia de distribuţie depinde de legile de reflecţie sau evaporare a moleculelor de pe suprafaţa particulei. Intervalele de numere Knudsen intermediare, 10Kn001.0 <> sunt, de obicei, tratate prin formule de interpolare semiempirice.

2.2. Ecuaţia difuziei Particulele mici, suspendate într-un fluid, manifestă o mişcare dezordonaţă,

ce rezultă din forţele fluctuante exercitate asupra lor de moleculele vecine, cunoscută ca mişcare brownianǎ, dupǎ numele celui care a descoperit-o în 1827, Robert Brown. Fenomenul este general valabil, fiind o proprietate a materiei, independent de originea ei – organică sau nu. Mişcarea browniană, redată în figura

2.1, [6], este consecinţa mişcărilor termice ale particulelor de gaz ce lovesc particulele de aerosol, mişcându-le în toate direcţiile. Particulele de aerosol primesc, la un moment dat, un impuls mai puternic dintr-o anumită direcţie, în urma căruia se mişcă în direcţia opusă. Efectul acesta este cu atât mai puternic şi mai frecvent cu cât particula este mai mică. În timp ce vitezele moleculelor gazoase sunt la temperatura camerei, de ordinul sutelor de metri pe secundă, viteza mişcării browniene a unei particule abia este perceptibilă, fiind de ordinul milimetrilor pe secundă.

Fig. 2.1. Drumul parcurs de o particulă, într-un interval de timp dat.

Ca rezultat al mişcării aleatoare a moleculelor, apare o migraţie netă de particule din regiunile cu concentraţie ridicată către cele cu concentraţie scăzută, proces cunoscut sub numele de difuzie propriu-zisǎ.

Pentru deducerea ecuaţiei se considerǎ un volum elementar zyx δδδ ,, , de fluid staţionar într-un sistem rectangular de axe (figura 2.2), care conţine mici particule în mişcare brownianǎ, prin care difuzia se manifestă în toate direcţiile.

Se fac următoarele ipoteze:


concentraţiile sunt reduse ; se neglijeazǎ curgerea datoratǎ difuziei ; gradienţii concentraţiei au aceeaşi mărime.

Fig. 2.2. Volum elementar de fluid, fixat în spaţiu.

Pentru a calcula fluxul de particule ce intră şi iese din volumul considerat

este necesară introducerea densităţii curentului de difuzie, un flux de particule,

notat cu

⋅sm

particule nr.2J

r, care are o direcţie şi este numărul mediu de particule ce

trece efectiv printr-o suprafaţă unitară într-o secundă. Aici, planul suprafeţei considerate este normal la direcţia curentului de difuzie. Trecerea efectivă înseamnă mai multe particule într-un sens al normalei la plan (normala pozitivă), decât în cealaltă. Densitatea curentului de difuzie este un vector; el are o direcţie. Este adevărat că particulele se mişcă dezordonat, dar ele se mişcă în medie, pe o direcţie preferenţială.

Considerăm pentru început cele două feţe opuse ale căror normale sunt în direcţia x a elementului de volum zyx δδδ ,, din figura 2.2.

Fie x

J componenta densităţii medii a curentului de difuzie a particulelor Jr

în direcţia x. Atunci, numărul de particule ce intră într-o secundă în volumul considerat prin suprafaţa din stânga, ABCD, de coordonată x este ( ) zyxJ x δ⋅δ⋅ . La partea dreaptă, prin planul de coordonată xx δ+ , respectiv faţă A’B’C’D’, ies

( ) zyxxJ x δ⋅δ⋅δ+ particule. La fel se poate raţiona pentru celelalte două perechi de plane. Însumând numărul de particule ce intră sau ies prin suprafeţele volumului considerat se obţine variaţia numărului de particule, n , care rămân în volumul

zyx δδδ ,, într-o secundă,


( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

yxzJzzJ

zxyJyyJ

zyxJxxJzyxt

n

zz

yy

xx

δ⋅δ⋅−δ+−

δ⋅δ⋅−δ+−

δ⋅δ⋅−δ+−=δ⋅δ⋅δ⋅∂

∂

(2.14)

Însumând şi trecând la limită în expresia de mai sus se obţine,

zyxz

J

y

J

x

Jzyx

t

n zyx δ⋅δ⋅δ⋅

∂+

∂+

∂−=δ⋅δ⋅δ⋅

∂

∂

(2.14a)

Împarţind prin zyx δ⋅δ⋅δ , rezultă

Jz

J

y

J

x

J

t

n zyxr

⋅−∇=

∂+

∂+

∂−=

∂

∂

(2.14b)

care este ecuaţia difuziei sau de conservare a speciilor în termenii vectorului flux, J, cu componentele Jx, Jy, Jz.

În această ecuaţie, putem să înlocuim din nou densitatea curentului de particule J, cu fluxul de particule n. Pentru un regim izoterm şi stationar s-a constatat că viteza cu care particulele sunt transportate de la concentraţii ridicate la

joase (particule/m2 .s) este proporţională cu gradientul concentraţiei locale, x

n

∂

∂:

(2.15)

în care D este un factor de proporţionalitate, numit coeficient (sau constantă) de difuzie. În general, coeficientul de difuzie, este o variabilă depinzând de mărimea particulei, temperatură şi concentraţie; dependenţa sa de concentraţie poate fi adesea neglijată. Ecuaţia (2.15) este cunoscută sub denumirea de prima lege a lui Fick. Dacă proprietăţile fluidului sunt aceleaşi în toate direcţiile, se spune că este izotropic. Acesta e cazul obişnuit şi atunci D , are aceeaşi valoare a difuziei în orice direcţie.

Înlocuind expresiile (2.15) în ecuaţia (2.14b), se obţine:

care este cunoscută ca a doua lege a difuziei a lui Fick şi este analogă cu legea lui Fourier pentru conducţia căldurii.

Coeficientul de difuzie este o funcţie de mărimea particulei, particulele mici difuzând mai rapid decât cele mari. Pentru un aerosol polidispersat variabila concentraţiei poate fi considerată egală cu ( ) ( )ppd ddtrdn ⋅,,

r sau ( ) dvtrvn ⋅,,

r şi

nDz

n

y

n

x

nD

t

n 22

2

2

2

2

2

∇⋅=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅=

∂

∂

(2.16)

z

nDJ

y

nDJ

x

nDJ zyx

∂

∂⋅−=

∂

∂⋅−=

∂

∂⋅−= ; ;


ambele părţi ale ecuaţiei (2.16) pot fi împărţite prin ( )pdd sau dv . Prin urmare,

ecuaţia difuziei descrie schimbările în distribuţia mărimii particulei cu timpul şi poziţia ca rezultat al proceselor difuzive. Sunt date soluţii analitice ale ecuaţiei de difuzie pentru diferite condiţii limită în absenţa curgerii, [7,8].

2.3. Coeficientul de difuzie Coeficientul de difuzie (sau difuzivitatea masică) D, măsurat în m2/s este

unul dintre proprietăţile de transport ale particulelor într-un aerosol. O expresie a lui D poate fi obţinută ca o funcţie de mărimea particulei, proprietăţile gazului şi depinde de temperatura, presiunea şi compoziţia acestuia.

Luăm în considerare difuzia într-o singură dimensiune. Presupunem că un nor de particule fine, toate de aceeaşi mărime, este eliberat asupra unei zone înguste în jurul planului corespunzător lui 0=x . Concentraţia în oricare alt punct în gaz este zero. În timp, particulele difuzează ca urmare a mişcării browniene. Împrăştierea particulelor browniene, concentrate în jurul planului 0=x , este simetrică (figura 2.3) în absenţa unui câmp de forţe externe, care ar acţiona asupra particulelor.

Fig. 2.3. Împrăştierea particulelor concentrate iniţial în jurul lui x=0.

Împrăştierea particulelor în timp poate fi determinată soluţionând ecuaţia unidimensională a difuziei:

Soluţia pentru distribuţia concentraţiei este dată de formă gaussiană:

2

2

x

nD

t

n

∂

∂⋅=

∂

∂

(2.17)


unde N0 este numărul particulelor eliberate la x = 0 pe unitatea de suprafaţă de-a lungul secţiunii. Media pătratului deplasării particulelor de la x = 0 la momentul t este:

Înlocuind (2.18) în (2.19) se obţine:

Astfel, media pătratelor deplasării particulelor aflate în difuzie este proporţională cu timpul scurs.

O expresie pentru x2 poate fi obţinută, de asemenea, dintr-un echilibru de forţe asupra unei particule aflată în mişcare browniană, care pentru o mişcare unidemensională are forma:

unde m este masa particulei, u este viteza acesteia, f este coeficientul de frecare, F(t) este o forţă fluctuantă în timp, iar t este timpul.

După cum rezultă din ecuaţia (2.21) forţa care acţionează asupra particulei este compusă din doi termeni. Primul termen, din dreapta, este rezistenţa la frecare a fluidului şi se presupune a fi proporţională cu viteza particulei. Pentru particulele sferice, mult mai mari decât drumul liber mediu al gazului, coeficientul de frecare f bazat pe legea Stokes este, [ 9]:

unde [ ]sPa ⋅µ este vâscozitatea dinamică, iar [ ]mpd diametrul particulei. Mai pot fi

folosite şi alte formule pentru calculul coeficientului de frecare. Termenul F(t) reprezintă o forţă fluctuantă, rezultată din mişcarea termică a

moleculelor fluidului ambiant. Forţa )(tF se presupune a fi independentă de viteza

u, cât şi de valoarea sa medie, )(tF , întrucât un număr mare de particule similare dar independente dispare la orice moment dat. De asemenea, se presupune că )(tF variază mult mai rapid în funcţie de timp decât de u. Astfel, pe parcursul unui interval de timp t∆ , u va fi practic neschimbată, timp în care practic nu va exista nici o corelaţie între valorile lui )(tF de la începutul şi sfârşitul intervalului.

( )( )

⋅⋅

−⋅

⋅⋅π⋅=

tD

x

tD

Ntxn

4exp

2,

2

210

(2.18)

( )∫∞

∞−⋅⋅= dxtxnx

Nx ,

1 2

0

2

(2.19)

Dt

xtDx =⇒⋅⋅=

22

22

(2.20)

)(tFufdt

dum +⋅−=⋅

(2.21)

pdf ⋅µ⋅π⋅= 3

(2.22)


Acestea sunt ipoteze foarte restrictive, justificate prin recurgerea la modele bazate pe teoria moleculară, dar există anumite dificultăţi conceptuale, [10], privind ecuaţia (2.21).

Să luăm în considerare grupul de particule mici, iniţial situat în apropierea planului 0=x la 0=t (fig. 2.3). La un moment ulterior, aceste particule se îndepărtează, ca rezultat al mişcării browniene şi formează un nor simetric în jurul lui 0=x , aşa cum se vede în figură.

Făcând notaţiile ( )m

tFtA

)(= ,

m

f=β şi înmulţind ambii termeni ai ecuaţiei

(2.21) cu x, ecuaţia deplasării de la planul x = 0, pentru o singură particulă, este:

Prin rearanjare obţinem:

deoarece dt

dux

dt

dxu

dt

dux+= şi că .u

dt

dx=

Integrând ecuaţia (2.24) de la 0=t la t , se obţine:

unde t’ este o variabilă de integrare care reprezintă timpul. Am ţinut seama că 0=ux la 0=t . Făcând o medie pentru toate particulele din câmp se obţine,

deoarece 2u se presupune a fi constant şi 0=⋅ xA , deoarece nu există nici o corelaţie

între forţa instantanee şi deplasarea particulei. Trebuie reţinută şi următoarea relaţie,

Deoarece, derivata mediei în raport cu timpul pentru particule, este egală cu media derivatei.

Egalând (2.26) cu (2.27) şi integrând încă o dată de la 0=t până la t obţinem:

Axxudt

dux ⋅=⋅⋅β+⋅

(2.23)

xAuuxdt

dux+=β+ 2

(2.24)

∫∫ββ−ββ− ⋅⋅+⋅⋅=

tttt

tt

dtexAedteueux0

''

0

2 ''

(2.25)

( )te

uux

β−−β

= 12

(2.26)

dt

xd

dt

dx

dt

dxxux

22

21

2==

⋅=

(2.27)


Pentru t >> β-1 această relaţie devine:

Introducem o importantă prezumţie a fizicii, făcută prima dată de Einstein în 1905, care face o legătură între mişcarea browniană observabilă a particulelor mici şi mişcarea moleculară a moleculelor de gaz. Deoarece particulele împrumută mişcarea termo-moleculară a fluidului, principiul echipartiţiei energiei se presupune că se aplică energiei de translaţie a particulelor:

Ţinând seama de ecuaţia (2.20), se obţine:

Aceasta este expresia Stokes - Einstein pentru coeficientul de difuzie şi are avantajul că realizează o legătură între D, proprietăţile fluidului şi particulă, prin coeficientul de frecare.

Ecuaţia Stokes - Einstein a fost verificată experimental pentru emulsii de picături mici (cca 0.4 µm), permiţând calculul numărului lui Avogadro:

unde R este constanta de gaz, iar avN numărul lui Avogadro. Valoarea medie a

numărului lui Avogadro calculată în acest fel era de aproximativ 23100.7 ⋅ , valoare

apropiată de cea acceptată de 2310023.6 ⋅ , confirmând teoria.

2.4. Coeficientul de frecare Coeficientul de frecare este un element fundamental pentru majoritatea

proceselor de transport ale particulei. Coeficientul pdf ⋅µ⋅π⋅= 3 , din legea lui

Stokes, este valabil pentru o sferă rigidă care se mişcă printr-un fluid la o viteză

( )1eutu

2

x t

2

222

−+= −β

ββ

(2.28)

β

tu

2

x22

=

(2.29)

f

Tk

t

xTkx

t

m

m

fTktu

t

mTkum ⋅=⇒

⋅=⋅⋅⇒

⋅=

β⋅β⇒

⋅=

⋅

22222222

2222

(2.30)

f

kTD

t

x==

2

2

(2.31)

23

2

xd

TRtN

p

av

⋅⋅µ⋅π⋅

⋅⋅⋅=

(2.32)


constantă, cu un număr Reynolds 1<<ν

⋅Ud p foarte mic; aici U este viteza, iar v

este vâscozitatea cinematică. Particula trebuie să fie la multe diametre distanţă de orice suprafaţă şi mult mai mare decât drumul mediu liber al moleculelor de gaz, lp,

care este de aproximativ 0.065 µm la 25 ºC. Pe măsură ce mărimea particulei se micşorează către punctul în care pp ld ≈ ,

frecarea pentru o viteză dată devine mai mică decât valoarea preconizată de legea Stokes şi continuă să se micşoreze proporţional cu mărimea particulei. În intervalul

pp ld << , intervalul moleculei libere, expresia coeficientul de frecare se poate

obţine din teoria cinetică, [11]:

unde ρ este densitatea gazului, iar m este masa moleculară a moleculelor gazului. Coeficientul de acomodare α , reprezintă fracţia de molecule de gaz care

părăsesc suprafaţa, în echilibru cu aceasta. Fracţia α−1 este reflecţia în oglindă, altfel spus, viteza normală la suprafaţă este inversată. La fel ca în cazul legii Stokes, frecarea este proporţională cu viteza sferelor. Totuşi, pentru intervalul

moleculei libere, coeficientul de frecare este proporţional cu 2pd în timp ce, în

regimul continuu ( pp ld >> ) este proporţional cu pd . Coeficientul α trebuie, în

general, să fie evaluat experimental, dar are valoarea uzuală 0.9 pentru transferul de moment (valorile diferă pentru transferul de căldură şi masă). Coeficientul de frecare calculat din ecuaţia (2.33) este doar 1% din acel rezultat din legea lui Stokes, pentru o particulă cu diametrul de 20 Å. Este des folosită o formulă de interpolare, pentru a acoperi întreaga gamă de valori ale numărului lui Knudsen

(p

p

d

l2) ,de la regimul continuu la cel liber. Se introduce ca o corecţie la coeficientul

Stokes al frecării:

unde factorul de corecţie al alunecării C este dat de:

iar 1A , 2A şi 3A sunt constante. Factorul de corecţie C este în esenţă o formulă de

α⋅π+

⋅⋅π⋅⋅ρ⋅=

81

232 2

1

2

m

Tkdf p

(2.33)

C

df

p⋅µ⋅π⋅=

3

(2.34)

⋅−⋅++=

p

p

p

p

l

dAAA

d

lC

321 exp

21

(2.35)


interpolare care permite introducerea mai facilă a limitărilor. Pentru pp ld >> , 1→C

şi f se apropie de (2.22), în timp ce pp ld << , f se apropie de forma expresiei teoriei

cinetice (2.33). Valorile constantelor 1A , 2A şi 3A se obţin prin măsurări experimentale.

Conform celor cunoscute până prezent, 257.11 =A , 400.02 =A , 55.03 =A , [12]. Aceste valori conduc ca în ecuaţia (2.33) 084=α . Pe baza celor de mai sus, pentru diverse diametre ale particulei, ecuaţiile (2.31), (2.34) şi (2.35), permit calculul coeficientului de difuzie, prezentat în tabelul 2.1, împreună cu numărul Schmidt şi corecţia pentru alunecarea relativă. Numărul Schmidt reprezintă raportul dintre

difuzivitatea moleculară a impulsului şi difuzivitatea moleculară a masei, D

Scυ

= .

Datele prezentate sunt pentru particule sferice în aer la presiunea normală de o atmosferă, temperatura de 20 ºC şi densitatea particulei, 1=ρ p kg/m3.

Tabelul 2. 1.

Proprietăţile de transport ale aerosolului

dp C D Sc = ν/D cs

µm m2 / s m/s

0.001 216.0 5.14 x 10-6 2.92 0.002 108.0 1.29 x 10-6 11.6 0.005 43.6 2.07 x 10-7 72.5 0.01 22.2 5.24 x 10-8 287.0 0.02 11.4 1.34 x 10-8 1.12 x 103 0.05 4.95 2.35 x 10-9 6.39 x 103 0.1 2.85 6.75 x 10-10 2.22 x 104 8.62 x 10-7 0.2 1.865 2.22 x 10-10 6.76 x 104 2.26 x 10-6 0.5 1.326 6.32 x 10-11 2.32 x 105 1.00 x 10-5 1.0 1.164 2.77 x 10-11 5.42 x 105 3.52 x 10-5 2.0 1.082 1.31 x 10-4 5.0 1.032 7.80 x 10-4

10.0 1.016 3.07 x 10-3 20.0 1.008 1.22 x 10-2 50.0 1.003 7.58 x 10-2

100.0 1.0016 30.3 x 10-2

Aşa cum evidenţiam anterior, legea lui Stokes se obţine pentru rezistenţa la mişcare a particulei în stare statică. Se pune întrebarea dacă aceasta s-ar aplica la mişcarea browniană, în care particula este continuu accelerată. Se consideră că se aplică, deoarece acceleraţia este foarte mică, astfel încât se poate presupune că, la


orice moment există o stare cvasistatică. Pentru particule nesferice frecarea depinde de orientarea particulei, pe

măsură ce aceasta se deplasează prin gaz. Atunci când pp ld >> , frecarea poate fi

calculată prin rezolvarea formei Stokes a ecuaţiilor Navier – Stokes pentru corpuri cu forme neregulate. În calcularea coeficientului de difuzie este necesar a se face o medie a tuturor orientărilor posibile, datorită naturii stocastice a mişcării browniene. Pentru un elipsoid rezultat din mişcarea de revoluţie a unei elipse de semiaxe a şi b în jurul semiaxei a, coeficientul de difuzie este, [13]:

Pentru 1<= abz - elipsoid alungit pe linia care uneşte polii,

pentru 1>= abz - elipsoid turtit la poli,

unde 0D este coeficientul de difuzie al unei sfere care are acelaşi volum cu elipsoidul.

Dacă 0a este raza sferei, atunci 320 zaa ⋅= . Coeficientul de difuzie al elipsoidului

este întotdeauna mai mic decât acela al unei sfere cu acelaşi volum. Cu toate acestea, în intervalul 1.010 >> z coeficientul pentru elipsoid este întotdeauna mai mare decât 60 % din valoarea pentru sferă. Aceste rezultate nu sunt direct aplicabile pentru difuzia particulelor suspendate într-un câmp de forţe orientate, deoarece orientările particulei nu mai sunt în mod egal probabile.

2.5. Coeficientul de difuzie al aglomeratului Considerăm un aerosol compus din aglomerări de particule primare, cu raza

0pa . Orice aglomerare încorporează pN particule primare, iar valorile lui pN

variază de la o aglomerare la alta. Un grup de aglomerări cu acelaşi număr pN ,de

particule primare se constituie ca un subset al aerosolului total. Acest subset poate avea aglomerări cu numeroase structuri diferite. Structura se referă la modul în care particulele primare sunt aranjate una faţă de alta. Pe baza unor date experimentale, [13], pentru valorile imediate de particule aglomerate, se consideră că cea mai bună corelaţie a datelor este:

( )( )

z

z

z

z

D

D212

212

32

0

11ln

1

−+⋅

−=

(2.36)

( ) ( ) 212212

32

0 1tan

1

1 −⋅

−=

zz

z

D

D

(2.37)

fD

p

pa

RAN

⋅=

0

(2.38)


unde R este raza aglomerării, 0pa este raza particulei primare, A este o constantă

adimensională, specifică modului de aranjare a particulelor în aglomerare, iar exponentul fD , cunoscut ca dimensiune fracţională, este o măsură a “arcuirii”

aglomerării. De exemplu, 3→fD corespunde unui agregat compact, aproape sferic,

în timp ce 1→fD corespunde unei structuri în formă de lanţ.

Pentru aglomerări compacte ( 3→fD ), circulaţia curentului de gaze (în care

este dispersată aglomerarea) este mult îngreunată, făcându-se numai prin porii aglomerării, în timp ce aglomerarea îşi execută mişcarea browniană. În această situaţie, coeficientul de difuzie poate fi estimat din relaţia Stokes–Einstein, cu raza particulei dată de ecuaţia (2.38).

Pe măsură ce fD scade, aglomerarea devine mai deschisă şi mai extinsă, aşa

încât o parte din gazul din afara aglomerării poate curge prin porii acesteia. Acest lucru măreşte frecarea şi micşorează coeficientul de difuzie al aglomerării pentru o valoare dată a lui pN . Pentru această situaţie, coeficientul de frecare în aglomeraţie

se consideră, [14], egal cu D , iar aglomerarea este considerată ca un corp poros, având porozitatea distribuită neuniform spaţial. Valori ale lui D în funcţie de pN ,

calculate pentru diferite valori ale lui fD , sunt evidenţiate în figura 2.4.

Fig. 2.4. Coeficienţi de difuzie pentru aglomerări de tip fracţional.

Numărul total de particule primare în agregat este pN , iar fD este


dimensiunea fracţională. Rezultatele se păstrează pentru regimul continuu, în care semiaxa elipsei care aproximează particula pp la >>0 , [14]. Rezultatele din figura

2.4 se aplică regimului continuu, în care atât raza aglomerării, cât şi cea a particulei primare sunt mai mari decât lungimea drumului liber mijlociu (sau mediu) al gazului. Drumul liber mijlociu este distanţa pe care o parcurge o particulă în medie, înainte de a suferi o ciocnire, fiind invers proporţional cu densitatea materialului şi secţiunea eficace. În regimul moleculei libere, atunci când aglomerările sunt mai mici decât lungimea drumului liber mediu al gazului, iar 2<fD , majoritatea

particulelor primare din aglomerări sunt expuse la coliziunea cu moleculele de gaz. În acest caz, coeficientul de frecare al aglomerării poate fi estimat însumând toate cele pN particule primare ce compun aglomerarea, folosind coeficientul de frecare

al moleculei libere dat de ecuaţia (2.33).

2.6. Lungimea drumului unei particule browniene Pentru molecule care se comportă ca şi sfere rigide elastice drumul liber

mijlociu este o mărime bine definită care poate fi calculată din teoria cinetică clasică, [15]. Între coliziuni, mişcarea moleculelor este constituită din segmente liniare drepte. Pentru a estima lungimea medie a drumului unei particule în mişcare browniană într-un gaz, prima tendinţă ar fi folosireasă drumului liber mediu al particulei calculat, de exemplu, din modelul teoriei cinetice pentru mixturi de sfere rigide elastice. Când facem acest calcul pentru particule de 100 Å prezente în concentraţii temporare în aer, la o temperatură şi presiune normale, se descoperă că distanţa între coliziunile cu moleculele gazului este de doar câţiva angstromi. Premiza unei concentraţii temporare este potrivită, întrucât concentraţiile particulelor aerosolului sunt, în general, extrem de mici în comparaţie cu concentraţia moleculelor gazului. Cu toate acestea, distanţa calculată în acest fel nu ia în calcul tendinţa particulelor grele (în comparaţie cu moleculele gazului) de a se deplasa într-o manieră direcţionată, pe o distanţă mult mai mare decât aceea dintre coliziunile unei particule cu moleculele. Acest efect e cunoscut în teoria cinetică ca “persistenţa vitezelor”, [14].

O mai bună estimare a gamei de lungimi a particulelor poate fi obţinută plecând de la presupunerea că mişcarea particulelor este aproape continuă: schimbarea rezultată din coliziunea cu o moleculă a gazului înconjurător este atât de mică, încât mişcarea particulei depinde exclusiv de efectul integrat al unui număr mare de coliziuni cu moleculele. Astfel, se poate folosi teoria difuziei pentru mişcări continue, [15], pentru a obţine gama de lungimi a mişcării particulei. Deşi teoria a fost iniţial concepută pentru a se aplica în difuzia turbulentă, relaţia matematică dintre coeficientul difuziei, gama de lungimi a particulei şi media pătratică a vitezei (rădăcina pătrată a mediei aritmetice a pătratelor vitezelor) se menţine pentru orice proces difuziv continuu. Conform teoriei Taylor, [15],


coeficientul de difuzie al particulei este:

unde 2u este dat de relaţia 2.30. Gama de lungimi a particulei, pal , este definită prin

relaţia ,

unde ( )θR este coeficientul Lagrange, de corelare a vitezei pentru mişcarea particulei.

Astfel, gama de lungimi pal , este distanţa pe care există o corelaţie semnificativă între

mişcarea particulei la 0=θ şi un moment ulterior. Dacă egalăm ecuaţia 2.39 cu relaţia

Stokes-Einstein (2.31), mTku ⋅=2 şi rezolvăm pentru pal obţinem:

unde m este masa particulei.

Pentru particule cu diametre între 0

10 A şi 1 µm şi densitatea de 10-3 kg/m3, lungimea drumului particulei, pal , trece printr-un minim când 2.0≈pd nm. Pentru

valori mici ale lui pd avem 21−

≈ pp dl , iar pentru valori mari ale lui pd avem

21

pp dl ≈ . De menţionat că, valoarea pal diferită în funţie de metoda şi ipotezele

avute în vedere, [ 13,17].

2.7. Migraţia într-un câmp de forţe exterioare Câmpurile de forţă care prezintă cel mai ridicat interes în transportul

particulei, sunt cele gravitaţionale, electrice şi termice, ultimul fiind produs de gradienţii de temperatură în gaz. Dacă există local un echilibru în gaz, între câmpul de forţe şi frecarea pe particulă, acestea două pot fi echivalate rezultând:

unde c este viteza de migrare sau alunecarea în câmp, F este forţa, iar f este coeficientul de frecare.

Pentru câmpul gravitaţional,

paluD ⋅= 2

(2.39)

( ) θ⋅θ= ∫∞

dRulpa0

2

(2.40)

f

Tkmlpa

2

1

)( ⋅⋅=

(2.40a)

f

Fc =

(2.41)


unde ρ şi pρ sunt densităţile gazului, respectiv particulei, iar g acceleraţia

gravitaţională. Viteza de migrare este în acest caz numită viteza terminală de aplanare :

De obicei, pρ

ρ poate fi neglijat în această ecuaţie. Valori ale cs sunt date în

tabelul 2.1. Fluxul de particule rezultat din difuzia şi migrarea simultană într-un câmp

extern de forţe poate fi obţinut însumând cele două efecte,

pentru cazul unidimensional. În formă vectorială obţinem:

Acelaşi rezultat se obţine din teoria mişcării browniene luând în calcul câmpul extern de forţe. Câmpul extern de forţe F poate fi obţinut din gradientul unui potenţial φ :

Înlocuind (2.46) în (2.45a) cu relaţia Stokes-Einstein (2.31), obţinem fluxul în termeni de gradient de potenţial:

Înlocuind (2.47) în (2.46), ecuaţia conservării speciilor în prezenţa unui câmp extern de forţe devine:

Sunt date soluţii ale acestei ecuaţii pentru aplicaţii particulare şi diverse constante D şi c, [7,10].

( ) gd

F p

p⋅ρ−ρ⋅

⋅π=

6

3

(2.42)

ρ

ρ−⋅⋅

µ⋅

⋅⋅ρ=

p

pp

S Cdg

c 118

2

(2.43)

ncx

nDJ xx ⋅+

∂

∂⋅−=

(2.44)

nnD ⋅+∇⋅−= cJ

(2.45)

φ−∇=F

(2.46)

( )[ ]nnD ⋅φ∇+∇⋅−=J

(2.47)

nnDt

n⋅⋅∇−∇⋅⋅∇=

∂

∂c

(2.48)


2.8. Migraţia electrică Forţa pe o particulă încărcată cu i unităţi elementare de sarcină, în C, într-un

câmp electric de intensitate E, în mV este dată de:

unde e este sarcina unui electron, în electroni volţi, eV . De menţionat că,

J 101.602eV 1 -19⋅= . Atunci când forţa electrică este egalată de frecare, se obţine o viteză de

migraţie stabilă:

Uneori este convenabil a se folosi mobilitatea electrică,

care este coeficientul de proporţionalitate dintre viteza migraţiei şi intensitatea câmpului.

Încărcarea electrică a particulei poate apărea prin: 1) ataşarea unor mici ioni, 2) electrizarea statică, 3) încărcare termo-ionică provocată prin încălzirea până la punctul în care particulele emit ioni sau electroni şi 4) auto-încărcare datorată emisiei radioactive a componenţei particulei, [18]. Cea mai uzuală metodă este ataşarea unor mici ioni care este analizată mai departe.

Ataşarea ionilor depinde, într-un mod complex, de atmosfera ionică, câmpul electric şi mărimea particulei. În curăţarea gazului prin precipitarea electrostatică şi în anumite tipuri de analizatori ai mobilităţii electrice, particulele sunt încărcate electric prin expunerea la ioni generaţi într-o descărcare de tip “corona”. În electrofiltrele industriale, fenomenul corona este produs prin descărcare de la un electrod încărcat negativ. Electronii se ataşează singuri la moleculele oxigenului şi ale altor gaze electronegative pentru a forma ioni. Încărcarea electrică, prin expunerea la ioni de un singur semn, se numeşte încărcare unipolară. În atmosferă, atât ionii pozitivi cât şi cei negativi sunt generaţi de raze cosmice şi procese de dezintegrare radioactivă. Expunerea la ioni micşti conduce la încărcarea bipolară a particulelor. Luăm mai întâi în considerare încărcarea unipolară, în condiţii care produc particule multiple încărcate, apoi formarea particulelor ultrafine simplu încărcate. În final, se face o discuţie despre încărcarea bipolară.

2.8.1. Încărcarea în câmp

Atunci când o particulă dielectrică sau conductoare este plasată într-un câmp electric, liniile câmpului tind să se concentreze în preajma particulei (figura 2.5). În

EeiF ⋅⋅=

(2.49)

f

Eeice

⋅⋅=

(2.50)

f

ei

E

cZ e ⋅

==

(2.51)


figura 2.5 a) se prezintă cazul unei sfere conductoare neîncărcate într-un câmp uniform, iar în figura 2.5 b) cazul unei sfere conductoare parţial încărcate într-un câmp uniform. Ionii prezenţi în câmp migrează de-a lungul liniilor de forţă electrică, iar aceia care, mişcându-se de-a lungul liniilor de câmp, intersectează suprafaţa, tind să intre în coliziune cu sfera. Pe măsură ce particula devine încărcată, liniile câmpului se distorsionează în aşa măsură, încât procesul de încărcare încetineşte, [19].

Fig. 2.5 Linii de câmp electric (____) şi echipotenţial (------) în jurul unei sfere.

Particulele devin încărcate electric prin coliziunea cu ionii ce se mişcă de-a lungul liniilor de câmp care intersectează suprafaţa particulei. Acest proces este cunoscut sub numele de încărcare în câmp. Pe măsură ce particula devine încărcată electric, ea tinde să respingă ionii adiţionali de acelaşi semn, iar distribuţia câmpului electric şi a liniilor echipotenţiale se schimbă. Distribuţia câmpului poate fi calculată din teoria electrostatică, pentru regiunea ce înconjoară o particulă sferică încărcată electric. Din distribuţia câmpului se poate calcula mai departe fluxul de curent orientat către particulă, la orice moment. Numărul de sarcini electrice acumulate de particulă, en , rezultat prin integrarea curentului până la orice moment t, este, [19]:

unde iZ este mobilitatea ionilor, ∞in este concentraţia ionilor la distanţă foarte mare

(la infinit) de particulă, pε este constanta dielectrică a particulei, iar t este timpul de

expunere al particulei în câmp. Pentru timpi suficient de lungi, sarcina pe o particulă se apropie de o valoare

e

dE

tnZe

tnZei

p

p

p

ii

ii

⋅

⋅⋅

+ε

−ε+⋅

+⋅⋅⋅⋅π

⋅⋅⋅⋅π=

∞

∞

42

121

1

2

(2.52)


de saturaţie:

În condiţii normale de funcţionare, apropierea de sarcina limită se face după un timp scurt, în comparaţie cu timpul de staţionare al gazului într-un electrofiltru.

Combinând (2.53) cu (2.50), rezultă că, viteza de migraţie pentru încărcarea în câmp creşte liniar, o dată cu mărimea particulei, atunci când f este dată de legea Stokes:

Factorul 2

121

+ε

−ε+

p

p este o măsură a distorsiunii câmpului electrostatic

produsă de particulă. Pentru 1=ε p , nu există nici o distorsiune, în timp ce pentru

∞→ε p , factorul se apropie de 3 (valoare pentru particule conductoare). Pentru

materialele dielectrice obişnuite, 10<ε p , fiind de circa 2.3 pentru benzen şi de 4.3

pentru cuarţ.

2.8.2. Încărcarea unipolară prin difuzie

Chiar şi în absenţa unui câmp electric aplicat, particulele singure, expuse la un nor ionic, devin încărcate electric. Coliziunile ioni-particule rezultă din mişcarea termică a ionilor, cu menţiunea că mişcarea termică a particulei poate fi neglijată prin comparaţie. Acest mecanism este numit încărcare prin difuzie. Expresii ale sarcinii electrice, preluate de particulă prin acest mecanism, au fost obţinute pentru cazurile limită ale particulelor mult mai mici sau mult mai mari decât drumul liber mediu al ionilor; pentru ioni, drumul liber mediu variază între 10 şi 60 nm în gaze, la presiune şi temperatură normală.

Pe baza teoriei cinetico-moleculare, pentru diametrul particulei în limita moleculei libere (respectiv dp << drumul liber mediu al ionilor), se poate aproxima distribuţia ionilor în vecinătatea particulei, prin legea de distribuţie a lui Boltzmann, [3,19]. Pentru ioni simpli încărcaţi avem,

unde e este sarcina electronică (pentru încărcare negativă), φ este potenţialul

( )∞→⋅

⋅⋅

+ε

−ε+=∞ t

e

dEi

p

p

p 42

121

2

(2.53)

2

22

121

1

⋅⋅

+ε

−ε+⋅=

p

p

p

e

dE

fc

(2.54)

⋅

φ⋅−⋅=

∞Tk

enn ii exp

(2.55)


electrostatic în gazul ce înconjoară particula, iar ∞in este concentraţia ionilor la

distanţă mare de particulă, într-o regiune în care 0=φ . Întrucât particula şi norul ionic au aceeaşi sarcină electrică, concentraţia de

ioni este redusă la interfaţa particulă/gaz şi apoi creşte până la valoarea sa maximă

∞in . Potenţialul în gaz este determinat prin ecuaţia lui Poisson,

unde ρ este densitatea sarcinii. Practica uzuală este să se neglijeze ρ , în zona din afara particulei, dar nu şi

în interiorul partculei. Rezultatul este că, pentru un punct exterior, efectul unei sfere conductoare este acelaşi, ca şi cum întreaga sarcină s-ar concentra în centrul acesteia. Astfel, pentru zona exterioară particulei avem,

unde ie este sarcina pe particulă. Potenţialul electrostatic în zona din apropierea suprafeţei particulei este:

Împreună cu (2.55), această expresie determină concentraţia ionilor la suprafaţa particulei. Schimbarea în sarcina particulei este dată de viteza de coliziune a ionilor cu suprafaţa particulei, presupunând că fiecare ion care loveşte suprafaţa este captat:

în care im este masa ionului, iar im

Tk

⋅π⋅

⋅

2 este expresia teoriei cinetice pentru viteza

medie cu care ionii lovesc suprafaţa particulei. Dacă integrăm cu condiţia iniţială 0=i la 0=t , rezultatul este:

Sarcina electrică obţinută de o particulă, de o mărime dată, depinde de produsul tni ⋅

∞ şi este independentă de proprietăţile fizico-chimice ale particulei.

ρ⋅π⋅−=φ∇ 42

(2.56)

r

ie2

=φ

(2.57)

p

ad

ie22

=φ

(2.58)

⋅⋅

⋅⋅−

⋅π⋅

⋅⋅π⋅=

∞Tkd

ie

m

Tkdn

dt

di

pi

pi

221

2 2exp

2

(2.59)

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

π⋅+⋅

⋅

⋅⋅=

∞tned

Tkme

Tkdi ip

i

p 22

1

2

21ln

2

(2.60)


Pentru ∞→t , i se apropie logaritmic de infinit. Fizic vorbind, acest lucru nu poate fi adevărat, deoarece există o limită a sarcinii pe care o particulă o poate transporta şi în plus, transportă numai sarcini discrete. Totuşi, pentru valori ale

tni ⋅∞

întâlnite în practică (~108 ioni sec cm3), expresia (2.60) oferă rezultate în

concordanţă calitativă cu datele experimentale disponibile, [20]. Atunci când diametrul particulei este semnificativ mai mare decât drumul

liber mijlociu al ionilor, viteza de încărcare electrică este controlată printr-o difuzie continuă a ionilor către suprafaţa particulei. Este probabil ca acest mecanism să fie cel mai important pentru 10.d p > µm. Plecând de la premisa simetriei radiale,

fluxul de ioni către o particulă sferică este,

unde Di este coeficientul de difuzie al ionilor, iar in şi φ au fost definiţi mai sus. Mişcarea browniană a particulei poate fi neglijată, în comparaţie cu difuzia

ionilor. Condiţiile la limită sunt ∞= ii nn pentru ∞→r şi 0=in la par = , pe

suprafaţa particulei. În starea cvasi-stabilă, viteza de transport a ionilor către

particule este independentă de r , deoarece ( ) .constrJrF ii =⋅⋅π⋅= 24

Multiplicând ambii termeni ai ecuaţiei (2.61) cu 24 r⋅π⋅ şi integrând, se obţine ecuaţia liniară, cu condiţiile la limită enunţate mai sus:

Înlocuind (2.57) în (2.62) şi făcând dtdiFi = , viteza de acumulare a sarcinii electrice pe particulă este dată de:

Integrând ecuaţia (2.63), cu condiţia iniţială 0=i la 0=t , rezultă i ca o funcţie implicită de t :

⋅

φ+⋅−= i

iii n

dr

d

dr

dnDJ

(2.61)

∫∞

∞

⋅

⋅

φ⋅

⋅⋅π⋅=

pa

iii

drTk

expr

nDF

2

1

4

(2.62)

−

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅π⋅= ∞

12

42

2

Tkd

eiexpTk

einD

dt

di

p

ii

(2.63)


Calculele arată, [19, 21], că ecuaţia (2.64) ne oferă aproape aceeaşi relaţie între i şi t ca şi ecuaţia (2.60), la temperatura normală, pentru 110 << pd. µm şi

⋅<⋅< ∞ 3

87

cm

sion 1010 tni . Astfel că, în acest interval de variabile, ce prezintă

interes pentru precipitarea electrostatică industrială (adică electrofiltre industriale), cea mai simplă ecuaţie explicită este (2.60) şi poate fi folosită atât pentru transportul moleculei libere, cât şi pentru cel continuu, cu condiţia ca 1>i .

Vitezele de migraţie ale particulei, calculate pe baza ecuaţiilor (2.53) şi (2.60) ţinând seama de ecuaţia (2.50) , sunt evidenţiate în figura 2.6. Pentru calcul

s-a considerat

⋅=⋅∞ 3

8

cm

sion 10tni şi [ ]K 300=T . Pentru o intensitate a câmpului

electric de

=

cmkV

2E , tranziţia de la încărcarea prin difuzie la încărcarea în câmp

apare, în aceste condiţii, pentru un diametru al particulei de aproximativ 0.75 µm.

Fig. 2.6 Viteza de migraţie.

Condiţiile anterioare aproximează foarte bine situaţia reală dintr-un electrofiltru industrial. Încărcarea în câmp este mecanismul care controlează particulele mai mari, în timp ce încărcarea prin difuzie este mecanismul care controlează particulele mai mici, chiar şi în prezenţa unui câmp aplicat. Pentru

Tk

tneD

Tkd

ei

!mm

ii

m

pm ⋅

⋅⋅⋅⋅π⋅=

⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅∞

∞

=

∑22

1

421

(2.64)


încărcarea în câmp, viteza de migraţie creşte liniar, odată cu diametrul particulei. Pentru încărcarea prin difuzie, mobilitatea creşte pe măsură ce diametrul particulei descreşte ,datorită formei corecţiei C a alunecării din ecuaţia (2.35). Tranziţia dintre mecanismele preponderente în controlul migraţiei particulelor apare, de obicei, în intervalul 0.1÷1 µm. Se pot utiliza şi teorii mai exacte ale încărcării prin difuzie, care iau în calcul forţele-imagine dintre ioni şi particule, dar sunt necesare calcule numerice mai extinse, [20, 22].

2.8.3. Teoria stochastică a încărcării prin difuzie unipolară

Pentru particule mai mici decât 0.05 µm, teoria încărcării prin difuzie, discutată anterior, nu mai este valabilă, deoarece numărul calculat de sarcini pe particulă scade până la o valoare mai mică decât unitatea, ceea ce este fizic inacceptabil. Doar o parte a acestor particule capătă o sarcină unitară, pentru valori

ale produsului

⋅<⋅∞ 3

8

cm

sion 10tni , în intervalul de interes al unor aplicaţii

precum precipitaţia electrostatică şi măsurarea aerosolului. Cazul limită al particulelor foarte mici, dintre care doar puţine devin încărcate electric, este cel mai uşor de tratat pe baza teoriei cinetice. Rata coliziunilor reuşite între ionii de sarcină şi concentraţie unitară şi particule neîncărcate de concentraţie 0N este:

unde β este funcţia de frecvenţă a coliziunii.

Integrând de la ( )000 NN = la 0=t până la ( )tNN 00 = la tt = , obţinem eficienţa reţinerii particulelor (fracţia modificării):

Au fost propuse mai multe modele teoretice pentru β , testate experimental,

[23]. Pentru

⋅⋅≅⋅∞ 3

76

cm

sion 10103 Ltni s-a observat o scădere a eficienţei

încărcării electrice a aerosolului, cu cât diametrul particulei se micşorează, ajungând de la aproape 1% pentru particule de 50 nm, la circa 5÷15 %, pentru particule de 5 nm.

Valori ale lui β , calculate din măsurarea lui cf şi ecuaţia (2.66) sunt în concordanţă cu valorile calculate prin alte metode, [22], pentru particule mai mici decât circa 10 nm. Odată cu creşterea valorilor lui dp, valorile măsurate ale lui β scad, [5,22]. Rezultatele teoretice şi experimentale indică faptul că eficienţa

∞⋅⋅β=− inNdt

dN0

0

(2.65)

( )( )

tin

c eN

tNf

⋅∞⋅β−−== 100

0

(2.66)


electrofiltrului pentru reţinerea particulelor fine, cu nm 5<pd şi valori ale lui

⋅≈⋅∞ 3

7

cm

sion 10tni , este foarte redusă. Din păcate, astfel de particule tind să se

formeze în procese cu temperaturi înalte cum ar fi: combustia cărbunelui, incinerarea şi topirea zăcămintelor.

2.8.4. Încărcarea bipolară

Un important exemplu de încărcare bipolară este aerosolul atmosferic, expus atât la ioni pozitivi cât şi negativi. Aceşti ioni sunt generaţi în atmosferă de către razele cosmice şi de dezintegrarea radioactivă a gazelor, precum radonul. În mod normal, concentraţia ionilor în aer este în jurul valorii de 500 /cm3, la nivelul solului. Se bănuieşte că ionii sunt formaţi din molecule simplu încărcate, înconjurate de un grup de câteva molecule neutre. Raportul dintre concentraţiile ionilor pozitivi şi negativi este în jur de 1.2, deoarece mobilităţile ionilor negativi sunt puţin mai ridicate decât cele ale ionilor pozitivi. Un interes special prezintă: a) numărul de sarcini însuşit de particule în prezenţa ionilor bipolari, ca o funcţie de mărimea particulei şi b) fracţiunea de particulă care se încarcă electric. Aceste valori îşi găsesc aplicaţie pentru particulele atmosferice şi pentru aparatele de măsură folosite pentru aerosoli.

Pentru a simplifica aceste calcule se presupune că mobilităţile, concentraţiile şi alte proprietăţi ale ionilor pozitivi şi negativi sunt egale şi că, concentraţiile ionilor şi ale particulelor încărcate au atins o stare stabilă. Luăm în considerare un grup de particule cu mărime uniformă si considerăm că nu apare nici o coagulare, astfel că, un aerosol polidispersat poate fi tratat ca un set de particule monodispersate necuplate. Vitezele la care ionii de ambele semne se ataşează particulelor, se presupun a fi independente una de cealaltă. În stare stabilă, ionii sunt generaţi şi distruşi la aceeaşi viteză, prin ataşarea la particule. Calculele indică faptul că, recombinarea ionului nu este un mecanism important pentru pierderea de ioni în atmosferă, [24]..

Fie iN concentraţia particulelor ce poartă i sarcini, toate de acelaşi semn,

iar 0N concentraţia particulelor neutre din punct de vedere electric. Simetria

problemei cere ca şi concentraţia particulelor cu sarcina i− să fie tot iN . Particulele care poartă o sarcină i , îşi măresc sarcina până la 1+i , cu viteza

ii N⋅β , unde iβ este rata coliziunilor reuşite dintre ioni încărcaţi pozitiv şi particulele ce poartă i sarcini. Particulele cu sarcină 1+i , se ciocnesc cu ionii

negativi, pentru a se alătura clasei i , cu rata 1+⋅β i'i N . Premisa stării stabile este

satisfăcută egalând cele două viteze, obţinând următoarele serii de ecuaţii:

i'iii

''NN.......;;NN;NN ⋅β=⋅β⋅β=⋅β⋅β=⋅β −− 1122111100

(2.67)


unde iN este concentraţia în stare stabilă a particulelor cu i sarcini. Ecuaţiile (2.67) au forma echilibrului ce apare în teoria clasică. Totuşi,

acesta nu este un sistem în echilibru, deoarece procesul este condus de viteza cu care ionii sunt generaţi de razele cosmice şi dezintegrarea radonului.

În regimul continuu ( m 10 µ>> .d p ), fluxurile de ioni iβ şi 'iβ pot fi

estimate din soluţiile în stare stabilă ale ecuaţiei difuziei (2.61), în prezenţa unui câmp de forţe coulombian ce înconjoară particulele, neglijind imaginile forţelor, [25]:

unde D este coeficientul de difuzie al ionilor, ∞in este concentraţia ionilor în gaz, iar

Tkd

ei

p

i⋅⋅

⋅⋅=λ

22.

Din relaţiile de mai sus rezultă:

Multiplicând egalităţile (2.67) şi rearanjând, obţinem:

iar dacă se ţine seama de (2.71), rezultă:

şi înlocuind pentru Tkd

ei

p

i⋅⋅

⋅⋅=λ

22, obţinem:

1

2

−λ

⋅λ⋅⋅⋅π=β

∞

i

iip

iexp

ndD

(2.68)

( )i

iip'

iexp

ndD

λ−−

⋅λ⋅⋅⋅π=β

∞

1

2

(2.69)

∞⋅⋅⋅π=β ip ndD20

(2.70)

( )i'i

i exp λ−=β

β

(2.71)

01

1

1

100

1

0

2

1

1

21 N....N....N''

i

i

'i

i

i'''

i

i

'i

ii ⋅

β

β

β

β⋅

β

β⋅

β

β=⋅

β

β⋅

β

β

β

β⋅

β

β=

−

−

−

−−

(2.72)

λ−⋅

λ

λ⋅= ∑−

i

k

i

i expexp

NN1

10

(2.73)


Considerând suma seriei ( )

21−

=∑ii

k şi înlocuind mai sus se obţine:

Înlocuind (2.75) în (2.72) obţinem:

astfel că, distribuţia încărcării particulei este aproximată de ecuaţia Boltzmann. Această expresie este ideală pentru particule mai mari decât 1 µm. Pentru

particule mai mici, termenii fluxului din ecuaţiile (2.68, 2.69, 2.70), în baza teoriei transportului continuu, trebuie modificaţi semiempiric. Rezultatele calculării fracţiunii de particule încărcate sunt date în tabelul 2.2, [25]. Fracţiunea se referă la particulele cu o sarcină de un semn dat.

Tabel 2.2.

Distribuţia sarcinii pe particulă în stare stabilă într-o atmosferă ionizată bipolar.

Diametrul particulei (nm) 2 6 20 60 200

Fracţiune de particule neîncărcate Fracţiune de particule cu o sarcină Fracţiune de particulă cu 2 sarcini Fracţiune de particulă cu 3 sarcini Fracţiune de particulă cu 4 sarcini

0.99 0.01 - - -

0.95 0.05 - - -

0.76 0.24 - - -

0.51 0.45 0.04 - -

0.29 0.44 0.20 0.06 0.01

Distribuţia în stare stabilă este independentă de concentraţia ionică. Totuşi,

viteza de apropiere de starea stabilă depinde de concentraţia ionică şi alte proprietăţi ale sistemului. Rezultatul net poate fi însumat. Ionii sunt în mod stabil generaţi de raze cosmice şi procese de dezintegrare radioactivă. Aceştia se ataşează suprafeţelor de particule, unde sunt neutralizaţi cu o viteză egală cu cea a formării

⋅

⋅⋅−=

λ− ∑∑

k

p

i

k kTkd

eexpexp

1

2

1

2

(2.74)

⋅⋅

⋅−⋅

⋅⋅

⋅−=

λ−∑

Tkd

ieexp

Tkd

ieexpexp

pp

i

k

222

1

⇓

λ−⋅

⋅⋅

⋅−=

λ−∑ 2

22

1

i

p

i

k expTkd

ieexpexp

(2.75)

⋅⋅

⋅−⋅=

Tkd

eiexpNN

p

i

22

0

(2.76)


lor. Distribuţia sarcinii particulei este determinată de relaţia în stare stabilă dintre particulele separate de o sarcină, [26,27]. În atmosferă, procesul de echilibrare durează aproape 30 minute. Viteza echilibrării poate fi mărită prin creşterea concentraţiei de ioni, folosind un generator de ioni bipolari sau surse de ioni radioactivi, precum 85Kr.

2.9. Difuzia termică (termodifuzia) Transferul de masă prin difuzie termică se bazează pe efectul Soret, conform

căruia moleculele de masă mai mare tind să se deplaseze către regiunile cu temperatură mai coborâtă, producând un gradient de concentraţie. Prin urmare, particulele mici, într-un gradient de temperatură, sunt conduse de la regiunile cu temperaturi ridicate la cele cu temperaturi joase. De multe ori, este cunoscut şi ca transmitere termică, referindu-se la „curgerea” sau „transferul” particulelor datorită câmpului termic.

De regulă, fenomenul de termodifuzie este un proces mai complex, fiind însoţit şi de o difuzie în sens contrar, datorită gradientului de concentraţie care ia naştere. Acesta depinde de forma legii care exprimă interacţia dintre molecule, o mică schimbare în expresia acestei legi putând schimba sensul difuziei. Totodată, termodifuzia depinde de temperatura medie la care are loc fenomenul, cât şi de cele două temperaturi, între care se stabileşte gradientul de temperatură căruia i se datorează difuzia.

Fenomenul de termodifuzie poate fi folosit pentru a realiza o îmbogăţire parţială a unui amestec binar de gaze, într- unul dintre componenţi. Difuzia termică îşi găseşte aplicaţie şi în reţinerea de particule mici din gaze. Alegând o geometrie potrivită de curgere, particulele pot fi depozitate pe o suprafaţă, pentru un studiu ulterior. Dacă se utilizează un separator, alcătuit dintr-un tub al cărui pereţi sunt răciţi şi care conţine în lungul axei un fir metalic ce poate fi încălzit prin trecerea unui curent electric, în tub se realizează o termodifuzie dinspre axă către pereţi, însoţită de o mişcare ascendentă a gazului încălzit în contact cu firul şi o mişcare descendentă a gazului răcit în contact cu pereţii. În regiunea superioară a tubului, de regulă, gazul se îmbogăţeşte în componentul mai uşor, iar în regiunea inferioară în componentul mai greu; fracţiile îmbogăţite pot fi evacuate prin conducte laterale şi supuse, eventual, unei noi operaţii de îmbogăţire. Procedeul este folosit pentru separarea izotopilor.

Depunerea prin difuzie termică cauzează probleme în aplicaţiile de proces, atunci când gazele fierbinţi, conţinând particule mici suspendate, curg deasupra unor suprafeţe reci. De exemplu, în rafinarea petrolului, gazele fierbinţi din paturile fluidizate poartă particulele produse de uzura catalizatorilor şi din condensare. Atunci când aceste gaze traversează un schimbător de căldură, particulele se depozitează pe suprafaţa rece, ducând la formarea de cruste şi la reducerea coeficientului de transfer al căldurii.


Pentru pp ld << , mecanismul de transport al particulei, într-un gradient de

temperatură, este uşor de înţeles: particulele sunt bombardate cu molecule de o energie superioară pe partea lor „fierbinte” şi astfel, conduse către zone de temperaturi mai joase. Viteza lor de transmitere termică poate fi calculată din teoria cinetică a gazelor, [28], în cazul pp ld << :

unde semnul negativ indică faptul că, mişcarea este în direcţia descreşterii temperaturii, ν este vâscozitatea cinematică, iar α este coeficintul de acomodare, cu valori în jur de 0.9. Viteza de transmitere termică, pentru pp ld << , este independentă de mărimea

particulei. Ea depinde, până la un anumit punct, de proprietăţile fizico-chimice prin intermediul coeficientului de acomodare α .

Este mai dificil de explicat mişcarea particulelor mai mari decât drumul liber mijlociu. În acest caz, trebuie considerată şi viteza de alunecare tangenţială ce se dezvoltă la suprafaţa unei particule, în prezenţa unui gradient de temperatură, [29]. Această viteză este direcţionată către partea cu temperaturi ridicate, propulsând particula în direcţia temperaturilor mai joase. Se poate determina şi o expresie a vitezei de transmitere termică, bazată pe ecuaţii ale mecanicii fluidelor cu condiţii limită, prevăzute cu o corecţie a alunecării, [30]. O formulă de interpolare pentru

viteza de transmisie termică, pentru 10.d

l

p

p< , este dată de, [30, 31]:

unde C este dat de ecuaţia (2.35); sC , tC , şi mC sunt coeficienţi adimensionali, ce

pot fi calculaţi din teoria cinetică; gk şi pk sunt conductivităţile termice ale gazului şi

respectiv particulei. Valorile sugerate pentru coeficienţii teoriei cinetice, pentru o difuzie termică completă, sunt, 171.Cs = , 182.Ct = , 141.Cm = . Temperatura medie a gazului în vecinătatea particulei este T0.

Viteza de transfer termic adimensională, pentru diverse numere Knudsen,

pp dlKn ⋅= 2 , ca parametru, sunt prezentate în figura 2.7.

T

Tt

⋅

α⋅π+⋅

∇⋅ν⋅−=

814

3c

(2.77)

⋅⋅⋅+⋅+⋅

⋅⋅⋅+

⋅⋅

⋅⋅+⋅ν⋅⋅

=

p

p

t

p

g

p

p

m

p

p

t

p

g

s

t

d

lC

k

k

d

lC

T

dz

dT

Cd

lC

k

kC

c2

2212

31

22

0

(2.78)


Fig. 2.7. Viteza de transfer termic funcţie de numărul Knudsen .

Pentru numere ale lui Knudsen mai mari decât unitatea dependenţa vitezei de transmitere termică adimensională faţă de mărimea particulei şi natura chimică, este mică. Captarea particulelor, bazată pe transferul termic, în acest interval, oferă avantajul că particulele nu sunt depozitate în mod selectiv, în concordanţă cu mărimea lor.

Vitezele de transfer termic pot fi măsurate pentru particule singure, suspendate într-o celulă de tip Millikan, cu control asupra potenţialului electric şi gradienţilor de temperatură. Diametrele particulelor sunt, de obicei, mai mari decât 0.8 µm, pentru o convenabilă observaţie optică.

2.10. Forţele London-van der Waals Suprafeţele solidelor au proprietatea de a atrage şi de a reţine molecule din

faza gazoasă sau lichidă. Fenomenul se numeşte adsorbţie, spre deosebire de absorbţie, care constă în pătrunderea sau dizolvarea unei substanţe în interiorul sau în masa alteia. Reacţiile de contact sau de cataliză eterogenă se petrec în stratul de substanţă adsorbită pe suprafaţa catalizatorului solid.

Se disting două feluri de adsorbţie: prin forţe fizice şi prin legături chimice. Adsorbţia fizică sau fizioadsorbţia, [6], constă în fixarea unor molecule din mediul înconjurător gazos sau lichid, pe suprafaţa unui solid, prin forţe van der Waals. Aceste molecule pot, la rândul lor, fixa altele, tot prin forţe van der Waals, formând un înveliş de mai multe straturi de molecule adsorbite. Fizioadsorbţia are un rol important în cataliza eterogenă, dar nu poate explica specificaţia catalizatorilor, adică proprietatea de a provoca sau accelera numai anumite reacţii. Din acest motiv, se consideră că apare şi adsorbţia chimică sau chimioadsorbţia, care constă


în formarea de legături chimice între atomii de pe suprafaţa catalizatorului cu moleculele reactanţilor sau cu atomii sau ionii proveniţi din disocierea acestora. Nu este uşor şi ,de multe ori, nu este posibil a distinge între fizioadsorbţie şi chimioadsorbţie. Căldurile de adsorbţie, măsurate experimental, variază mult, funcţie de natura catalizatorului şi a gazului adsorbit. De menţionat că, fizioadsorbţia descreşte când creşte temperatura, deoarece presiunea de vapori a stratului adsorbit creşte, pe când viteza chimioadsorbţiei creşte cu temperatura.

Forţele gravitaţionale, electrice şi de transmitere termică, acţionează de-a lungul unor distanţe comparabile cu mărimea particulei.

Forţele London-van der Waals, de atracţie în natură, acţionează de-a lungul unor distanţe mai mici, căzând repede către zero, la o distanţă de o suprafaţă. Acestea sunt forţele responsabile pentru efectele de tensiune la suprafaţă şi pentru deviaţiile de la legea gazului perfect, [3]. Forţele van der Waals rezultă din aceea că, atomii (molecule) neutri din punct de vedere electric dezvoltă dipoli instantanei, cauzaţi de fluctuaţiile în norii de electroni ce înconjoară nucleul. Aceşti dipoli instantanei induc dipoli în atomii sau moleculele vecine.

În general, pentru un sistem de n puncte materiale, considerate ca sfere rigide, particulele se atrag după o lege invers proporţională cu o putere a distanţei. Modelul cel mai utilizat care aproximează potenţialul, din care derivă forţele pentru un câmp conservativ, este modelul Lennard-Jones, în care potenţialul este considerat ca diferenţa dintre un termen datorat forţelor de respingere şi cel datorat forţelor de atracţie,

unde ε este valoarea lui )r(U , corespunzătoare minimului curbei potenţial, deci adâncimea gropii de potenţial, iar σ este valoarea pentru care 0=)r(U , figura 2.8.

Fig. 2.8. Variaţia potenţialului pentru o particulă

Energia de atracţie ce rezultă între molecule, calculată din teoria cuantică este de forma,

σ−

σ⋅ε⋅=

612

4rr

)r(U

(2.79)


unde C este o constantă care depinde de material, iar r este distanţa ce separă atomii. Pentru această funcţie este posibil a se obţine energiile de interacţie Van der

Waals în vacuum (sau, aproximativ, în gaze la presiuni normale), pentru perechi de corpuri de forme diferite. Ca o primă aproximare, acest lucru poate fi făcut însumând energiile de interacţie ale atomilor (sau moleculelor) dintr-un corp cu cele ale atomilor din celălalt corp, [32]. Pentru o particulă sferică, în vecinătatea unei mase infinite, limitată de o suprafaţă plată (figura 2.9), energia de interacţie este, [33]:

unde A este constanta Hamaker, [32] cu dimensiuni ale energiei, pdxs = , x este

distanţa celei mai bune apropieri a particulei de suprafaţă, iar pd diametrul particulei.

Semnul negativ indică faptul că energia este de atracţie. Pe măsură ce particula se apropie de suprafaţă, la 0→x , energia de

interacţie devine,

Fig. 2.9. Interacţia unei particule sferice cu un corp mare limitat de o suprafaţă plată

Astfel, energia de atracţie devine infinită, pe măsură ce particula se apropie de o suprafaţă plană. Din acest motiv se presupune că o suprafaţă se comportă ca o cuvă perfectă în teoria difuziei aerosolului; mai precis, atunci când o particulă penetrează până la o distanţă de o rază de la suprafaţă, particula aderă. Acest lucru se aplică perfect pentru particulele submicronice, ce se mişcă la viteze termice. Ricoşeurile apar pentru particule mai mari, ce se mişcă la viteze ridicate. Această analiză nu ia în calcul efectele rugozităţii suprafeţei particulei sau suprafeţei.

6r

C−=φ

(2.80)

+⋅+

++−=φ

s

sln

ss

A

12

111

12

(2.81)

( )0 12

→⋅

⋅−=φ x

x

dA p

(2.81a)


Asemenea factori pot fi importanţi în aplicaţiile practice.

2.11. Condiţiile la limită pentu difuzia particulei Luăm în considerare transportul particulei dintr-un gaz ,către un corp cu o

suprafaţă limitatoare plană, prin difuzie browniană, sub influenţa forţelor Van der Waals, exercitate de către corp. În continuare, se estimează contribuţiile relative ale celor două mecanisme.

Fluxul total normal către suprafaţă este dat de componenta x a fluxului,

Soluţia pentru distribuţia concentraţiei, presupunând că xJ este constant în apropierea suprafeţei, este, [34]:

unde n este considerat nesemnificativ de mic, pentru 0=x . Făcând notaţia:

şi substituind din (2.83) obţinem:

Dacă considerăm funcţia φ definită de ecuaţia (2.81) şi rearanjăm, obţinem:

unde xTk

dAm

p

⋅⋅⋅

⋅=

12.

Pentru 1=m rezultă 1≈γ 1, sau altfel spus, contribuţiile la flux ale forţelor de difuzie şi de dispersie sunt aproape egale.

Considerând 1=m , obţinem

⋅

φ+⋅−=

kT

n

dx

d

dx

dnDJ x

(2.82)

∫ ⋅⋅−= ⋅

φ−

⋅

φ− x

'TkTkx dxeeD

Jn

0

(2.83)

dx

dnTk

n

dx

d

⋅⋅

φ

=γ

(2.84)

11

0+γ

γ=⋅⋅

φ⋅⋅

⋅ ∫ ⋅

φ−

⋅

φ− x

'TkTk dxedx

de

Tk

(2.85)

∫∞ −

γ+

γ=⋅⋅

m

'

'

'm

mdm

m

eme

122

(2.86)


Valorile uzuale a lui A sunt între 10-19 şi 10-20 J, iar pentru temperatura camerei (25 ºC), rezultă pd.x ⋅= 20 , care satisface condiţia impusă de (2.81),

respectiv 0→x . Pentru 10.d p = µm avem °

= A 200x , sau cei doi termeni ai

fluxului contribuie aproape egal. Pe măsură ce mărimea particulei descreşte, distanţa descreşte în mod corespunzător.

Deoarece forţele de dispersie sunt de atracţie, ele tind să mărească viteza de transport a particulei către suprafaţă. Atunci când drumul mediu de difuzie este mai mare în comparaţie cu aria de operare a forţelor de dispersie, efectele de atracţie pot fi neglijate (figura 2.10). Totuşi, condiţia limită a gropii de potenţial este reţinută, iar fluxul de particule poate fi calculat soluţionând ecuaţia difuziei în absenţa unui câmp de forţe externe, cu condiţia 0=n , la o distanţă 2pd de

suprafaţă:

În fine, atunci când dp este mult mai mic decât lungimea drumului mediu de difuziei, aceste condiţii devin 0=n la 0=x (pe perete), iar fluxul de particule este:

Aceasta este condiţia limită obişnuită pentru difuzia moleculară către suprafeţe în gaze şi lichide, pentru o suprafaţă perfect absorbantă.

Fig. 2.10. Lungimea de difuzie comparativ cu raza de acţiune a forţelor de dispersie.

xTk

dA

Tk

p

⋅⋅⋅

⋅=

⋅

φ

12

(2.87)

2pdx

xx

nDJ

=

∂

∂⋅−=

(2.88)

0=

∂

∂⋅−=

x

xx

nDJ

(2.89)

33 .. DD II FF UU ZZ II AA CC OO NN VV EE CC TT II VV ĂĂ

Transferul de particule convectiv, respectiv prin difuzie turbulentă, implică

transportul de substanţă (masă) între o suprafaţă şi un fluid în mişcare sau, în general, între două fluide nemiscibile, aflate in mişcare relativă.

Mecanismul transferului de masă convectiv implică atât un transfer de masă prin difuzie moleculară prin stratul de fluid stagnant, cât şi un transfer de masă prin stratul de fluid în mişcare. Dacă curgerea este turbulentă, există o deplasare a unor particule transversal pe liniile de curent, care accelerează transferul de substanţă.

Difuzia convectivă are loc în sensul reducerii diferenţei de concentraţie. Depunerea particulelor pe suprafeţe prin difuzie convectivă este de o

importanţă fundamentală pentru funcţionarea echipamentelor de curăţare a gazelor, precum scrubere sau filtre, cât şi pentru sistemele de măsurare a aerosolilor, ca bateriile de difuzie şi anumite filtre. Difuzia convectivă contribuie la curăţarea din atmosferă a particulelor fine cu ajutorul picăturilor de ploaie, cât şi la îndepărtarea acestora prin depunerea pe suprafeţele vegetaţiei. Are însă şi un efect nociv, fiind un important mecanism de depunere a particulelor în plămâni. Dimensiunile particulelor pentru care difuzia convectivă este eficace depind de câmpul vitezei şi al forţelor exterioare. În general, dimensiunile acestor particule sunt mai mici de un micron.

Mişcarea brownină este cu atât mai rapidă, cu cât vâscozitatea fluidului este mai mică şi temperatura mai înaltă, nedepinzând de natura substanţei din care sunt alcătuite particulele, [1]. După cum s-a aratat, intensitatea mişcării browniene creşte pe măsura descreşterii dimensiunilor particulelor. Ca rezultat, eficienţa colectării prin difuzie, pentru particule mai mici de 0.5 µm, creşte cu descreşterea mărimii particulelor, fenomen ce stă la baza unor dispozitive de curăţare a gazelor, mai eficiente pentru îndepărtarea particulelor de dimensiuni foarte mici.

Pentru deducerea ecuaţiei difuziei convective se porneşte de la ecuaţia difuziei deduse anterior şi se ia în considerare efectul curgerii. Pentru particule punctiforme ( 0=pd ), rata difuziei convective poate reieşi din teorie sau din

experimente, deoarece, conform criteriului Schmidt, au acelaşi ordin de mărime. De menţionat că, numărul sau criteriul Schmidt (Sc) reprezintă raportul dintre difuzivitatea moleculară a impulsului şi difuzivitatea moleculară a masei. Criteriul Schmidt este analog criteriului Prandtl din transferul de căldură prin convecţie, [2].

Pentru difuzia particulelor, se face o distincţie de teoria obişnuită a difuziei convective, datorită condiţiilor la limită, care impun concentraţii nule la o distanţă de o rază a unei particule, faţă de suprafaţă. Acest lucru are un efect important

Difuzia convectivă 87

asupra gradului de depunere a particulelor şi cauzează greutăţi considerabile în teoria matematică. Formularea matematică poate fi simplificată prin includerea razei particulei în condiţiile la limită ale difuziei.

Coeficienţii de difuzie ai particulelor sunt mici în comparaţie cu vâscozitatea cinematică a unui gaz (numere Schmidt mari), deci regiunea de curgere a gazului aproape de suprafaţă, de la care fiecare particulă este încetinită este, de obicei, foarte îngustă. În această regiune îngustă, concentraţia stratului limită este foarte importantă pentru transportul particulelor şi este analizată în detaliu în continuare.

Prezenţa unui câmp de forţe exterioare are un efect major asupra transportului particulelor. Exemple practice importante implică termodifuzia şi transportul electric, combinate cu curgerea şi difuzia.

3.1. Ecuaţia difuziei convective

Uneori este posibil de prevăzut rata de depunere prin difuzie, prin analiza ecuaţiei difuziei convective. Ecuaţia difuziei convective se deduce asemănător cu ecuaţia difuziei staţionare, pornind de la un volum elementar de fluid, fixat în spaţiu (figura 2.2). Prin acest volum curge gaz, transportând mici particule aflate în mişcare browniană.

Viteza de variaţie a numărului de particule transportate prin curgere, din interiorul volumului elementar ce intră prin suprafaţa ABCD este, [3]:

( )

∂

∂⋅

δ−⋅δδ

x

nuxnuzy

2

(3. 1)

unde n este concentraţia particulelor (numărul pe unitatea de volum) şi u este viteza pe direcţia x .

Viteza de variaţie a numărului de particule transportate prin curgere, din interiorul volumului elementar, ca urmare a parăsirii volumului prin suprafaţa opusă este:

( )

∂

∂⋅

δ+δδ

x

nuxnuzy

2

(3. 2)

Viteza de variaţie a numărului de particule din interiorul volumului elementar, ca urmare a curgerii pe direcţia x este:

x

nuzyx

∂

∂⋅δδδ−

(3. 3)

Analog, se obţin expresiile şi pentru celelalte patru feţe. Însumând pentru toate cele trei direcţii, acumularea netă de particule în

volumul elementar este:


vr

nzyxz

nw

y

nv

x

nuzyx ⋅∇δδδ−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅δδδ−

(3. 4)

Acumularea netă de particule în volumul elementar zyx δ⋅δ⋅δ ,luând în considerare curgerea, difuzia şi câmpul de forţe extern, este obţinută prin însumarea celor trei efecte:

( )nnDzyxnzyxt

zyxncvrr

−∇⋅⋅∇δδδ+⋅∇δδδ−=∂

δδδ∂

(3. 5)

unde D este coeficientul de difuzie şi c este viteza de deplasare a particulei, rezultată din câmpul forţelor exterioare.

Împărţind ambele părţi prin δxδyδz şi ţinând seama că 0=⋅∇ vr

, pentru un fluid incompresibil, ecuaţia devine:

nnDnt

ncvrr

⋅∇−∇=∇⋅+∂

∂ 2

(3. 6)

atunci când coeficientul de difuzie este constant. Acest rezultat este valabil pentru aerosolii monodispersaţi şi polidispersaţi. În

cazul polidispersiei, n este mărimea funcţiei de distribuţie, iar D şi cr

depind de mărimea particulei. Aglomerarea şi creşterea sau evaporarea nu sunt luate în considerare; acestea sunt prezentate într-un capitol următor.

Valorile lui D şi cr

sunt determinate de maniera prezentată în capitolul anterior. Viteza de curgere a gazului, v

r, este determinată de regimul hidrodinamic

al fluidului. De fapt, dacă cr

este viteza particulei, vr

este viteza relativă a particulei urmărite în deplasare, în raport cu celelalte molecule. În unele cazuri, v

r

este obţinut prin rezolvarea ecuaţiilor pentru mişcarea fluidului (ecuaţiile Navier – Stokes), [4,5] În multe cazuri, cum ar fi transportul în atmosferă şi în dispozitive complexe de curăţare a gazelor, pot fi necesare date experimentale pentru distribuţia vitezei gazului. În acest capitol, distribuţiile de viteză sunt introduse fără a fi determinate, dar cu referire la literatură. În toate cazurile se presupune că, concentraţia particulei nu influenţează distribuţia de viteză. Acest lucru este adevărat pentru concentraţii mici ale aerosolilor.

Soluţionarea ecuaţiei (3.6) în cazul general este practic imposibilă. În cazuri particulare, de regimuri de curgere şi forme geometrice, au fost deduse soluţii particulare, [5, 6].

Rezultate ale transferului de căldură sunt aplicate pentru transfer de masă sau de difuzie, dacă coeficientul de difuzie D este substituit de coeficientul

difuzivităţii termice, pC

k

ρ, unde k este conductivitatea termică, ρ este densitatea


gazului, iar pC este căldura specifică a gazului. Rezultatele sunt direct aplicabile

aerosolilor pentru particule “punctiforme”, adică cu 0=pd .

3.2. Consideraţii de similitudine pentru difuzia

aerosolilor

3.2.1. Similitudinea modelelor

Proprietatea fundamentală a unui model este adecvarea lui, respectiv gradul de reflectare al procesului sau sistemului original. Cu cât gradul este mai adecvat, cu atât corespondenţa lui cu originalul este mai bună, [7].

În literatura de specialitate, proprietatea de abordare a unui model se numeşte similitudine şi ea poate fi de natură structurală sau funcţională. În primul caz accentul se pune pe asemănarea geometrică dintre model şi prototip, urmărindu-se o realizare la scară cât mai exactă a modelului în raport cu originalul. În cel de-al doilea caz, accentul se pune pe realizarea unei corespondenţe între ecuaţiile care descriu procesul original şi cele care descriu procesul aferent modelului, din punctul de vedere al desfăşurării proceselor în timp, precum şi a tuturor mărimilor fizice sau chimice care intervin în fenomenul cercetat.

Cea mai simplă şi intuitivă formă de similitudine este cea geometrică. Între model şi prototip există o similitudine geometrică dacă este asigurată proporţionalitatea lungimilor omoloage şi egalitatea unghiurilor. Astfel, unui punct al modelului îi corespunde un singur punct al prototipului şi reciproc. Punctele aflate in corespondenţă se numesc puncte omoloage şi ele pot determina drepte omoloage, suprafeţe omoloage şi volume omoloage. Modelul şi originalul constituie astfel două sisteme amorfe.

Pentru fenomenele variabile în timp este necesară introducerea noţiunii de timpi omologi. Timpii omologi sunt timpii în care se produc aceleaşi fracţiuni din fenomenul cercetat, atât pe model cât şi pe prototip, [8]. În cazul proceselor care au loc în timpul difuziei convective este necesară realizarea unei similitudini de transfer de proprietate (cinematice, dinamice, termohidrodinamice, etc). Aceasta înseamnă că, la fiecare pereche de puncte omoloage, la timpi omologi, fiecare mărime fizică trebuie să determine un raport constant între valoarea ei pe model şi valoarea corespunzătoare din procesul real. Aceste rapoarte constante se numesc scările mărimilor fizice sau rapoarte de similitudine sau coeficienţi de trecere, de la original la model şi invers, [2,7,8].

În general, pentru mărimile din sistemul fundamental (lungime, masă, timp, intensitatea curentului electric, temperatură termodinamică, intensitate luminoasă, cantitate de substanţă) şi suplimentare (unghi plan, unghi solid) scările definite se numesc fundamentale şi se notează, de regulă, cu litera k, însoţită de un indice care precizează mărimea fizică fundamentală. Scările fundamentale sunt raportul dintre


mărimile omoloage de pe model şi procesul real. Scările mărimilor derivate se numesc scări derivate şi se notează tot cu litera k, însoţită de un indice care precizează mărimea fizică corespunzătoare. Scările derivate pot fi stabilite uşor, în funcţie de scările fundamentale.

3.2.2. Teoreme fundamentale

Teoria similitudinii a ajuns astăzi la un stadiu de elaborare foarte avansat, îndeosebi în cazul cerinţelor impuse de unele tehnologii de vârf, precum ingineria aerospaţială şi ingineria nucleară. În continuare, se prezintă două teoreme fundamentale ale teoriei similitudinii, cu implicaţii directe în analiza experimentală.

Prima teoremă se referă la definirea proprietăţilor de similitudine dintre două fenomene sau procese. Două femomene sau prosese sunt similare dacă, fac parte din aceeaşi clasă şi dacă, între mărimile omoloage cu care se descriu aceste fenomene există relaţii de corespondenţă, sub forma unor relaţii de proporţionalitate,

x

x

iN

iM Sx

x

α==

1

(3. 7)

unde: x este o mărime oarecare, cu ajutorul căreia se descrie fenomenul; indicele M se referă la model, iar indicele N la natură; indicele i arată locul, momentul şi modul de definire a mărimii x , în raport cu punctul i considerat; xS este scara

mărimilor x ; xα este coeficientul de similitudine pentru mărimile x .

Pentru mărimile de aceeaşi dimensiune, scara xS este constantă în timp şi în spaţiu. De aici decurge şi prima teoremă a similitudinii: la două fenomene similare,

toate complexele sau grupurile adimensionale omoloage sunt identice. Cea de-a doua teoremă se referă la condiţiile necesare şi suficiente pentru a

avea o corespondenţă de similitudine între două fenomene sau procese şi se enunţă astfel: pentru ca un fenomen M, să fie similar cu un fenomen determinant N,

trebuie ca ambele să fie de aceeaşi natură, să aibă criterii determinante identice,

precum şi condiţii iniţiale si la limită identice. Această teoremă exprimă deci, necesitatea ca fenomenele sau procesele similare să poată fi exprimate din punct de vedere funcţional prin aceleaşi ecuaţii matematice.

Cele două teoreme prezentate, împreună cu consecinţele lor directe în practica cercetării experimentale, fac posibilă studierea în laborator a fenomenelor complexe din naturăşi precizează circumstanţele în care rezultatele obţinute pot fi extinse la o întreagă clasă de fenomene asemănătoare.

În teoria similitudinii se folosesc mărimi complexe adimensionale, formate din mărimile fizice care intervin în desfăşurarea fenomenului studiat. Aceste mărimi complexe adimensionale se numesc criterii de similitudine sau invarianţi


de similitudine. Pentru prezentarea dependenţei funcţionale, sub formă adimensională, se

utilizează analiza dimensională, care are la bază principiul că, între mărimile care determină un fenomen fizic există relaţia funcţională:

( ) 021 =pA,,A,AF L

(3. 8)

unde pA,,A,A L21 sunt toate mărimi fizice care determină procesul.

Aplicarea analizei dimensionale necesită transcrierea mărimilor fizice în formula dimensională a acesteia, care este expresia unităţii de masură a acelei mărimi fizice, în funcţie de unitaţile de măsură fundamentale. Dimensiunea unei mărimi fizice A, în raport cu o unitate fundamentală de măsură, este puterea acelei unitaţi de măsură fundamentală, în formula dimensională a lui A. Dacă mărimile fundamentale se găsesc toate la puterea „0”, atunci mărimea este adimensională, altfel fiind dimensională.

Analiza dimensională se bazează, între altele, pe principiul omogenităţii dimensionale şi teorema produselor.

Enunţul principiului omogenităţii dimensionale este: o relaţie între mărimi fizice are sens fizic numai dacă termenii săi sunt omogeni în raport cu unitaţile de masură fundamentale, oricare ar fi sistemul de unităţi de măsură utilizat, adică toţi termenii trebuie să aibă aceeaşi formulă dimensională, respectiv aceleaşi dimensiuni.

Acest principiu poate fi utilizat, în primul rând, pentru verificarea oricǎrei relaţii stabilite între mărimile fizice. Pentru ca o astfel de relaţie sǎ fie corectǎ, este necesar, dar nu şi suficient, ca ea sǎ fie dimensional omogenǎ. Pe de altă pate, dacǎ o relaţie între mǎrimi fizice conţine constante experimentale, acestea sunt, în general, mărimi dimensionale. Dimensiunile unei constante experimentale se determinǎ din condiţia ca, termenul în care intervine constanta respectivă sǎ aibă aceleaşi dimensiuni ca ceilalţi termeni ai relaţiei considerate. Totodatǎ, principiul omogenitǎţii dimensionale poate fi utilizat pentru stabilirea unor relaţii între mǎrimile fizice care caracterizează un fenomen fizic.

Relaţie (3.8), între mărimile care determină un fenomen fizic, va fi numitǎ completǎ dacǎ este dimensional omogenǎ şi dacǎ pA,,A,A L21 sunt toate mărimile

fizice (variabile sau constante) care determinăfenomenul. A doua teoremǎ este cunoscutǎ sub denumirea de teorema produselor sau

teorema Π, ori teorema lui Buckingham. Această teoremă ne indică numǎrul de grupuri adimensionale care sunt necesare pentru exprimarea relaţiei funcţionale de descriere a unui fenomen, cu ajutorul datelor experimentale.

O relaţie completǎ ( ) 021 =pA,,A,AF L , între mărimile fizice pA,,A,A L21

care determinǎ un fenomen fizic poate fi scrisǎ sub forma,


( ) ( )qpkkqp ,,,,,, −− ΠΠΠϕ=Π⇔=ΠΠΠϕ LL 2121 0

(3. 9)

unde qp−ΠΠΠ ,,, 21 L sunt produse adimensionale, independente între ele, formate cu

mǎrimile pA,,A,A L21 ; q este rangul matricei dimensionale a acestor mărimi, iar

qpk −= ,,2,1 L . Relaţiile funcţionale dintre aceste grupuri adimensionale independente, urmeazǎ a fi stabilite pe cale experimentalǎ.

Realizarea unei analize dimensionale necesitǎ parcurgerea a trei etape, [7]: • selectarea parametrilor care să descrie cât mai bine fenomenul cercetat

experimental: • folosirea teoremei Π pentru obţinerea numǎrului de grupuri

adimensionale independente, care sǎ caracterizeze fenomenul respectiv; • determinarea, pe cale experimentalǎ, a relaţiilor funcţionale dintre

grupurile adimensionale stabilite.

3.2.3. Criterii de similitudine (adimensionale)

Deşi obţinerea grupurilor adimensionale are la bază o serie de procedee matematice, fiecare dintre ele are o anumită semnificaţie fizică. Aceasta rezultǎ prin combinarea semnificaţiilor fizice ale mărimilor grupate, care descriu procesul analizat. Se prezintǎ, în continuare, semnificaţia fizică pentru cele mai importante grupuri adimensionale, sau criterii utilizate în dispersia particulelor poluante.

Criteriul Reynolds (Re), caracterizeazǎ regimul de curgere al fluidului şi se defineşte ca raportul dintre forţele de inerţie şi forţele de vâscozitate, pentru unitatea de volum,

η

ρ

ν

⋅⋅=

⋅=

LULURe

(3.10)

unde:

s

mU - viteza particulei sau a fluidului în care este antrenatǎ; [ ]mL - lungimea

caracteristică a curgerii;

s

m 2

ν - vâscozitatea cinematicǎ;

3m

kgρ - densitatea ;

⋅

2m

sNη - vâscozitatea dinamicǎ. Criteriul de similitudine Reynols trebuie respectat

atunci când efectul vâscozităţii fluidelor nu poate fi neglijat, în mişcările sub presiune. Criteriul Peclet (Pe), se defineşte ca raportul dintre fluxurile prin convecţie,

respectiv conducţie, la acelaşi gradient. De meţionat cǎ, sunt utilizate un numǎr Peclet pentru transferul de caldurǎ,


a

LU ⋅=Pe

(3.11)

şi un numǎr Peclet pentru transferul de masǎ,

D

LU ⋅=Pe

(3.11a)

unde:

s

m 2

a - coeficient de difuzivitate termicǎ;

s

m 2

D - coeficient de

difuzivitate al masei. Criteriul Prandtl (Pr), caracterizează proprietăţile fizice ale fluidului şi

reprezintă raportul dintre difuzivitatea moleculară a impulsului şi difuzivitatea moleculară a căldurii, respectiv raportul dintre distribuţia vitezei şi distribuţia de temperaturǎ,

λ

ην pc

a

⋅==Pr

(3.12)

unde

⋅ Ckg

J0pc - căldura specifică la presiune constantǎ;

⋅ Cm

W0

λ -

conductivitatea termicǎ. Criteriul Schmidt (Sc), reprezintǎ raportul dintre difuzivitatea molecularǎ a

impulsului şi difuzivitatea molecularǎ a masei,

DD ⋅==

ρ

ηνSc

(3.13)

Criteriul Lewis (Le), reprezintǎ raportul dintre difuzivitatea molecularǎ a cǎldurii şi difuzivitatea molecularǎ a masei,

DcD

a

p ⋅⋅==

ρ

λLe

(3.14)

Criteriul Grashof (Gr), se foloseşte în procesele de convecţie liberǎ şi caracterizeazǎ acţiunea reciprocă a forţelor ascensionale şi a forţelor de vâscozitate. Se defineşte un numǎr Grashof pentru transferul termic,

( )2

3

Grν

β ∞−⋅⋅⋅=

TTLg

(3.15)

şi un numǎr Grahof pentru transferul de masǎ,


( )2

*

2

3

Grν

β

νρ

ρ ∞−⋅⋅=

⋅

∆⋅⋅=

CCgLg

(3.15a)

unde:

K

1β - coeficient de dilatare volumicǎ;

pTC ,

* 1

K

1

∂

∂−=

ρ

ρβ - coeficient

de dilatare masicǎ;

2s

mg - acceleraţia gravitaţionalǎ; [ ]KT - temperatura; [ ]K∞T -

temperatura la distanţǎ foarte mare de particulǎ; C - concentraţia; ∞C - concentraţia la distanţǎ foarte mare de particulǎ.

Criteriul Knudsen (Kn) este utilizat în transferul de moment şi masǎ la presiune redusǎ,

L

l=Kn

(3.16)

unde [ ]ml - lungimea drumului liber al particulei. Criteriul Weber (We) este util pentru analiza curgerii în film şi formarea

picăturilor şi bulelor, fiind raportul dintre forţele de inerţie şi de tensiune superficialǎ,

σ

ρ LU ⋅⋅=

2

We

(3.17)

unde

2s

kgσ - tensiunea superficialǎ.

Criteriul Nusselt (Nu) este raportul dintre transferul termic convectiv şi conductiv,

λ

α L⋅=Nu

(3.18)

unde

⋅ Cm

W02

α este coeficientul de convecţie.

Criteriul Sherwood (Sh) este analog cu criteriul Nusselt (Nu), din convecţia termică şi reprezintă raportul dintre rezistenţa la transferul de masă convectiv şi rezistenţa la transferul de masǎ molecular sau raportul dintre lungimea caracteristică şi stratul limitǎ difuziv,

D

Lk ⋅=Sh

(3.19)


unde

s

mk - coeficientul de transfer de masǎ.

Numǎrul Stokes (Stk), caracterizeazǎ mişcarea particulelor suspendate şi este raportul dintre distanţa de oprire a particulei şi dimensiunea caracteristică a obstacolului,

cd

U 0Stk⋅

=τ

(3.20)

unde [ ]sτ - timp de relaxare al particulei

s

m0U - viteza fluidului înaintea

obstacolului; [ ]mcd - dimensiunea caracteristicǎ a obstacolului.

3.2.4. Consideraţii privind difuzia aerosolilor

Se consideră curgerea unui gaz incompresibil, de proporţii infinite, peste un corp cu o formă dată, orientat pe direcţia curgerii, ceea ce constituie o aşa numitǎ curgere exterioară. Corpuri cu forme date se presupun a fi asemănătoare din punct de vedere geometric atunci când pot fi obţinute unul din celălalt, schimbând dimensiunile liniare în acelaşi procent. Aşadar, este suficient să fixăm o lungime caracteristică, L, pentru a specifica dimensiunile corpului. Aceasta, ar putea fi în mod convenabil, diametrul unui cilindru sau sferă, dar orice dimensiune ar fi la fel de bună pentru corpul de formă arbitrară. Considerente similare se aplică pentru curgeri interioare prin conducte sau ţevi.

Pentru o curgere exterioară se presupune că fluidul are o viteză uniformă U, mai puţin în regiunea perturbată de corp. Dacă concentraţia în interiorul jetului de fluid este ∞n , putem defini o concentraţie adimensională,

∞

=n

nn1

(3.21)

În condiţii statice, ecuaţia difuziei convective, în absenţa unui câmp de forţe exterioare, poate fi exprimată în formă adimensională astfel:

12

1111 Pe

1nn ∇=∇⋅v

(3.22)

unde U

vv =1 şi ∇=∇ L1 , iar Pe este numărul Peclet (Pe) pentru transfer de masă.

În multe cazuri, câmpul de viteze poate fi considerat independent de câmpul difuzional. Curgerea izotermă, stabilă, a unui fluid vâscos (aer, de exemplu) într-un sistem cu o geometrie dată, depinde doar de numărul Reynolds, Re, când viteza este mică în comparaţie cu viteza sunetului.


Condiţiile la limită pentru difuzia particulelor diferă de cele ale difuziei moleculare, datorită diametrului finit al particulei. Pentru anumite clase de probleme, cum ar fi curgeri peste cilindrii şi sfere, concentraţia particulelor se presupune a fi „0”, la distanţa de o rază a particulei faţă de suprafaţă:

0=n la RL

a

L

l p==

(3.23)

unde l este coordonata măsurată de la suprafaţa corpului, L

aR

p= este cunoscut ca

parametru sau numǎr al intercepţiei; particulele aflate la distanţa ap, faţă de suprafaţă va fi interceptată chiar şi în absenţa efectelor difuziei.

Astfel, distribuţia concentraţiei adimensionale poate fi exprimată astfel:

= R

L

rfn ,PeRe,,11

(3.24)

Două regimuri de difuzie convectivă sunt similare dacă numerele Re, Pe şi de intercepţie R, sunt la fel.

Fluxul local (rata locală) de transfer a particulelor prin difuzie la suprafaţa corpului este,

Rtp

n

L

DnnDJ

=

∞

=

∂

∂−=

∂

∂−=

1

1

ααα αα

(3.25)

Notând coeficientul local de transfer de masă ∞

=n

Jk şi rearanjând, rezultǎ:

( )RPefD

Lk,Re,Sh 2=

⋅=

(3.26)

Coeficientul de transfer al particulei k, are dimensiunile vitezei şi este denumit, de obicei, viteză de depunere, fǎcând parte din criteriul Sherwood. Numǎrul Sherwood este o funcţie de numerele Re, Pe şi R, de intercepţie. Vitezele (ratele) de depunere a particulelor, măsurate într-un fluid, pentru un domeniu de valori al Pe, Re şi R, pot fi folosite pentru a prezice rata de depunere de la un alt fluid, la aceleaşi valori ale grupurilor adimensionale. În unele cazuri este mai bine

să se lucreze cu numărul Schmidt, Re

Pe==

DSc

ν, deoarece numǎrul Sc, depinde

numai de natura fluidului şi de particulele în suspensie. Pentru 0→R (particule “punctiforme”) se poate aplica fie teoria difuziei

particulelor, fie teoria difuziei moleculelor, acestea fiind echivalente. Numerele Sc,


pentru difuzia particulelor sunt mult mai mari decât unitatea, deseori de acelaşi ordin de mărime ca şi pentru difuzia moleculară în lichide. Principiul similitudinii dimensionale ne spune că, rezultatele experimentelor difuziei în lichide pot fi folosite pentru a prezice ratele difuziei particulelor punctiforme în gaze, pentru acelaşi nnumăr Re.

Pentru anumite regimuri este posibil să se reducă numărul grupurilor adimensionale, necesare pentru a caracteriza un sistem prin combinarea corectă a lor. Mai mult, aceasta simplifică colectarea de date şi interpretarea în unele cazuri, de o importanţă practică considerabilă.

3.3. Stratul limită difuziv

Curgerea normală la un cilindru circular drept reprezintă modelul de bază pentru teoria filtrării aerosolilor prin filtre cu fibre sau filtre tip sac şi colectarea particulelor cu ajutorul conductelor şi a tuburilor într-o curgere.

Concentraţia aerosolilor la distanţe mari faţă de suprafaţă este uniformă, iar la distanţa de o rază a unei particule faţă de suprafaţă, concentraţia devine practic nulǎ. Pornind de la ecuaţia difuziei convective (3.22), se observǎ cǎ este interesant sǎ se analizeze importanţa relativǎ a difuziei comparativ cu convecţia.

Numărul Pe, pentru curgerea în jurul unui cilindru de diametru d este o măsură a importanţei relative a celor doi termeni. Pentru Pe << 1, transportul realizat de curgere poate fi neglijat şi rata de depunere poate fi determinată aproximativ, prin rezolvarea ecuaţiei de difuzie într-un fluid staţionar cu condiţiile la limită, [9,10].

Când numărul Pe este mai mare, situaţia fizică este destul de diferită. Curgerea jetului de fluid transportă majoritatea particulelor peste cilindru. În imediata vecinătate a cilindrului, procesul difuzional este important, din moment ce cilindrul se comportă ca un canal de scurgere pentru particule.

Totuşi, la numere Pe mari, există două regiuni de transport diferite: a) la distanţǎ de vecinătatea cilindrului, transportul convectiv de către jetul de fluid predomină şi conduce particulele mai departe în aval; b) aproape de suprafaţă, concentraţia scade rapid de la valoarea iniţială la 0, la distanţa de o rază a particulei de suprafaţă (figura 3.1). Coordonata curbilinie x, luată paralel la suprafaţă, este măsurată de la punctul de stagnare A. Concentraţia particulelor creşte de la 0, la

paar += , aproape de concentraţia fluidului (spre exemplu, până la 99 %), în

vârful stratului limită. Regiunea peste care concentraţia particulelor scade de la valoarea ei la zero,

lângă suprafaţă, este cunoscută sub numele de strat limită. Fenomenul de transfer prin difizie, în această regiune, este similar cu cel al curgerii unui fluid pe lângă un cilindru, curgere la numere Re mari. Pentru difuzia în stratul limită, se utilzează criteriul Pe, servind ca un criteriu similar cu numărul Re. Rolul concentraţiei stratului limită este fundamental pentru înţelegerea şi prezicerea ratei de transport a


particulelor browniene la suprafaţă. Folosirea acestui concept nu este limitată pentru curgerea în jurul cilindrilor. Se aplică şi la curgeri în jurul altor corpuri, cum ar fi sfere şi pene, curgeri în interiorul canalelor în anumite condiţii asemănătoare. Concentraţia stratului limită se poate dezvolta în curgeri cu viteze mici sau mari, în jurul obiectelor de colectare. Ambele cazuri sunt discutate în paragrafele ce urmează.

Fig. 3.1. Stratul limită difuziv care înconjoară un cilindru (sau sferă) aşezat într-o curgere care transportă prin difuzie particule mici.

3.4. Difuzia peste cilindrii la numere Re mici

3.4.1. Ecuaţia concentraţiei stratului limită

Pentru început, considerăm cazul unui singur cilindru, corespunzător unei curgeri la Re mic. Această configuraţie este de importanţă majoră pentru funcţionarea cu eficienţă maximă a filtrelor cu fibre, pentru echipamente de curăţare a gazelor. Filtrele cu fibre sunt alcătuite din fibre fine, poroase şi mate, de obicei conţinând mai puţin de 10 % material solid. Spaţiul dintre fibrele individuale este mult mai mare decât diametrul particulelor filtrate. În absenţa efectelor electrice, particulele fine sunt colectate prin difuzie de către fibre. Particulele grosiere sunt îndepărtate prin depunere inerţială. Când diametrul fibrelor este mult mai mare decât principala direcţie de curgere, se aplică teoria pentru curgerea gazului peste fibre, care pot fi considerate cilindrice. Ecuaţia difuziei convective, pentru starea staţionară, are următoarea formă, în coordonale cilindrice:


θ∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂=

∂

∂⋅+

θ∂

∂θ 2

2

22

2 11 n

rr

n

rr

nD

r

nv

r

nv r

(3.27)

unde θv şi rv , reprezintă componentele tangenţiale şi radiale ale vitezei.

Pentru particule de rază pa , ce difuzează în cilindrul de rază a , condiţiile la

limită sunt:

∞=⇒∞=

=⇒+=

nnr

naar p

0

(3.28)

Pentru fibre cu diametre mai mici de 10 µm şi viteze ale aerului mai mici de

s

m 0.1 , numărul Re este mult mai mic decât unitatea. Pentru cilindrii izolaţi,

funcţia de curent (principală pentru curgere) poate fi aproximată prin:

+

−θ⋅⋅⋅=ψ

r

a

a

rln

a

rsinaUA 12

(3.29)

unde constanta A, se poate aproxima cu ( )( )[ ] 1Reln22 −−⋅=A , [11]. În cazul

considerării a mai multor fibre, se dezvoltă corelaţii care ţin seama de interacţiunea dintre acestea, prin relaţii de aproximare de tip “model celule”.

Cu toate că numărul Re este mic, există multe situaţii practice în care ScRePe ⋅= este mai mare, deoarece numărul Schmidt, Sc, pentru aerosoli este

foarte mare. Concentraţia stratului limită care se dezvoltă peste suprafaţa cilindrului are cea mai îngustă porţiune în apropierea următorului punct de stagnare.

Pentru Pe >> 1, pot fi făcute două mari simplificări în ecuaţia difuziei convective:

• difuzia pe direcţie tangenţială poate fi neglijată, în comparaţie cu transportul convectiv,

θ∂

∂<<

θ∂

∂ θ n

r

v

r

nD

22

2

(3.30)

• atunci când grosimea concentraţiei stratului limită este mai mică decât raza cilindrului, ecuaţia difuziei convective este simplificată la o formă cunoscută, pentru coordonate ortogonale, [5]:

2

2

y

nD

y

nv

x

nu

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

(3.31)


unde x şi y, sunt coordonatele curbilinii ortogonale. Axa x este dusă paralelă la suprafaţa cilindrului şi măsurată de la punctul de stagnare. Axa y este perpendiculară la x şi se măsoară de la suprafaţă. Componentele vitezei u şi v, corespund coordonatelor x şi y (figura 3.1).

Când concentraţia stratului limită este redusă, cele mai multe dintre componentele vitezei cad într-o regiune unde funcţia (3.28) poate fi aproximată prin primul său termen, în extinderea sa, funcţie de y:

⋅⋅⋅=ψ

a

xsin

a

yUaA

2

2

(3.32)

Componentele vitezei se pot calcula cu expresiile:

yu

∂

ψ∂= ,

xv

∂

ψ∂−= (3.33)

Substituind ψ din (3.32) obţinem:

⋅⋅−=

⋅⋅=

a

xcos

a

yUAv

a

xsin

a

yUAu

2

2

4

(3.34)

3.4.2. Difuzia în cazul particulelor punctiforme

Pentru difuzia particulelor punctiforme ( 0→R ), cea mai potrivită condiţie la limită pentru (3.40) este:

∞=⇒∞=

=⇒=

nny

ny

0 0

(3.35)

Condiţia la limită pentru concentraţie, ∞= nn se aplică la ∞=y , chiar dacă expresia stratului limită din ecuaţia difuziei convective este valabilă doar în apropierea suprafeţei cilindrului. Aceasta se justifică prin faptul că, nimic în afară de concentraţie nu aproximează ∞n foarte aproape de suprafaţă, pentru numere Pe mari.

Dacă x şi ψ sunt considerate variabile independente, în locul lui x şi y, atunci:

x

nuD

x

n

ψ∂

∂

ψ∂

∂⋅=

∂

∂

ψ

(3.36)

Componenta pe direcţia x a vitezei este:


ψ⋅

⋅⋅=

∂

ψ∂= 2

1

12

12

1

8xsin

a

UA

yu

(3.37)

unde a

xx =1 .

Înlocuind în (3.45) obţinem:

ψ∂

∂ψ

ψ∂

∂

⋅⋅=

∂

∂

1

2

1

11

n

UAa

D

X

n

(3.38)

unde:

∫ ⋅=χ 112

1

dxxsin şi UaA ⋅⋅⋅

ψ=ψ

21 (3.39)

Condiţiile la limită în coordonatele transformate devin:

∞=⇒∞=ψ

=⇒=ψ

nn

n

0 i)cilindrulu (suprafata 0 la

1

1

(3.40)

Prin verificare în (3.38), obţinem o soluţie triplă în care n, depinde numai de

variabila 3

21

χ

ψ=ξ . Pentru aceasta se înlocuisc expresiile:

ξχ

ξ−=

χ∂

∂

d

dnn

3

2 (3.41)

şi

ξχ

=ψ∂

∂

d

dnn

3

21

1

(3.42)

în (3.38). Rezultă o ecuaţie diferenţială ordinară:

ξξ

ξ=

ξξ

⋅⋅−

d

dn

d

d

d

dnePA 2

1

3

(3.43)

cu condiţiile la limită 0=n la 0=ξ şi ∞= nn la ∞→ξ . Aceasta sprijină

presupunerea că n este dependent doar de variabila ξ . Integrând ecuaţia (3.43) obţinem:


∫

∫∞

ξ

∞

⋅⋅−

⋅⋅−⋅

=

0

3

21

0

3

Pe9

2

Pe9

2

dzzAexp

dzzAexpn

n

(3.44)

unde D

Ud ⋅=Pe cu d - diametrul cilindrului.

Integrala pe domeniul de definiţie poate fi exprimată în termeni ai funcţiei Γ:

( ) ( ) 3

1

3

13

1

Pe451Pe3

1

3

1

2

9 −−

⋅⋅=⋅

Γ⋅

A.A

(3.45)

Viteza (rata) depunerii difuzionale pe unitatea de lungime a cilindrului este:

∞

=

π

⋅⋅π⋅=

∂

∂⋅ ∫ ndkdx

y

nD av

y

1

010 1

2

(3.46)

care defineşte coeficientul global mediu de transfer de masă, avk , pentru cilindru. Gradientul concentraţiei pe suprafaţă se obţine prin diferenţierea (3.44), în

funcţie de y:

( )

3

11

2

1

3

1

011451

Pe

χ⋅

⋅⋅⋅=

∂

∂ ∞

= .

xsinnA

y

n

y

(3.47)

Înlocuind în (3.46) şi rezolvând integrala în funcţie de x1, obţinem:

( )3

1

Pe171 ⋅⋅=⋅

A.D

dkav

(3.48)

Gradientul concentraţiei la suprafaţă poate fi exprimat la limită, prin grosimea stratului limită, cδ , astfel:

cy

n

y

n

δ=

∂

∂ ∞

=0

(3.49)

Înlocuind în (3.24), rezultă:

( ) 3

1

Pe−

⋅≅δ

Ad

c

(3.50)


cu o constantă de proporţionalitate de ordinul unităţii, aproape de următorul punct de

stagnare. Deci, grosimea stratului limită este invers proporţională cu 3

1

Pe ; numerele Peclet mari duc la concentraţii ale stratului limită mici, aşa cum s-a discutat în capitolul precedent.

Expresia teoretică (3.48) este în deplin acord cu datele despre difuzia în soluţii apoase, până la numere Pe mari, intrând în domeniul de interes al depunerii aerosolilor. Ţinând cont că ReScPe ⋅= , (3.48) poate fi rearanjată pentru a obţine:

( )3

1

3

1Re171 ⋅⋅=

⋅

A.

D

v

D

dkav

(3.51)

pentru cazul numerelor Re mici. Pentru numere Re mari, este o formă diferită a funcţiei pentru dependenţa de

numărul Re, având expresia generală:

( )Re3

1f

D

v

D

dkav

=

⋅

(3.52)

care trece peste domeniul extins al numerelor Reynolds. Forma funcţiei este prezentată în figura 3.2, atât pentru numere Re mici, cât

şi pentru numere Re mari.

Fig. 3.2 Difuzia unei particule punctiforme peste un cilindru, pe direcţia de curgere.


Curba teoretică pentru numere Re mici este în deplină concordanţă cu datele obţinute experimental, pentru difuzia în soluţii apoase, [5]. Curba pentru numere Re mari se bazează pe datele transferului de căldură pentru aer, [5], corectate prin

împărţirea numărul Nusselt la 3

1

D

v. Acesta este echivalent cu presupunerea

aplicabilităţii teoriei stratului limită laminar. Eficienţa îndepărtării particulelor, ηR, este definită ca fracţia particulelor

colectate dintr-un volum de fluid:

3

-2

3

1

Pe683 ⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅π⋅=η

∞

∞ A.dUn

ndkavR

(3.53)

Deoarece A variază relativ puţin în funcţie de numărul Re, eficienţa variază

aproximativ cu 3

-2

d , ceea ce înseamnă că fibrele fine sunt mai eficiente colectoare de aerosoli decât cele grosiere.

Deoarece D

Ud ⋅=Pe , 3

2−

≈η pR d şi 3

4−

pd pentru domeniul continuu şi pentru

domeniul moleculelor libere. Deci, particulele mici sunt mai eficient puse în

mişcare prin difuzie, decât particulele mari, în domeniul pd < 0.5 µm. Eficienţa

folosirii unui singur filtru de fibre pentru colectare, pentru a demonstra această teorie ,este prezentată într-un paragraf următor.

3.4.3. Legea similitudinii pentru particule de diametre finite

Pentru particule cu diametru finit, efectele intercepţiei devin importante. O utilitate a legii similitudinii care ia în considerare atât difuzia, cât şi intercepţia, poate fi demonstrată prin concentraţia stratului limită, atunci când funcţia de distribuţie este dată de (3.34), [12].

Înlocuind (3.34) în (3.31) obţinem următoarea ecuaţie, pentru difuzia convectivă:

2

22

24y

n

UA

D

y

n

a

xcos

a

y

x

n

a

xsin

a

y

∂

∂

⋅=

∂

∂

−

∂

∂

(3.54)

Vom introduce următoarele variabile adimensionale:

,n

nn

∞

=1

,a

yy

p

=1

a

xx =1

(3.55)

unde pa este raza particulei şi a este raza cilindrului.


Aceste coordonate curbilinii normale şi paralele la suprafaţa cilindrului sunt adimensionalizate prin diferite caracteristici de lungime. Atunci (3.54) devine:

21

12

3

2

1

11

21

1

111 24

y

n

aUA

aD

y

nxcosy

x

nxsiny

p ∂

∂

⋅⋅

⋅=

∂

∂⋅⋅⋅−

∂

∂⋅⋅⋅

(3.56)

cu condiţiile la limită:

1

0 1 la

11

11

=⇒∞=

=⇒=

ny

ny

(3.57)

Luând a

aR

p= , apare numai un grup adimensional pe care-l considerăm, prin

convenţie, ca fiind:

( )3

1

3

2

3

1

Pe

−

⋅⋅

⋅≅⋅⋅=Π

paUA

aDAR

(3.58)

ce apare în (3.56) şi are condiţii la limită pur numerice. Deci, distribuţia de concentraţie este:

),y,x(fn Π= 111

(3.59)

În aproximarea stratului limită, rata depunerii de particule pe unitatea de lungime a cilindrului este:

Udndxy

nn

a

aD R

yp

⋅⋅⋅η=

∂

∂⋅⋅

⋅⋅ ∞

=

π

∞ ∫ 1

110 1

12

(3.60)

Introducând (3.59) în (3.60) obţinem relaţia funcţională:

( )Π=⋅⋅

=⋅⋅ 2Pe fD

dkR

pav

R

πη

(3.61)

Aceasta este legea similitudinii pentru difuzia particulelor cu diametre finite, dar cu 1<R în curgere laminară. Pentru numere Re fixate, expresia Pe⋅⋅ RRη

trebuie să aibă o singură valoare, în funcţie de 3

1

Pe⋅R , în afara domeniului în care această teorie este aplicabilă (Pe >> 1, Re < 1, R << 1). Datele experimentale obţinute pentru diferite particule şi diametre ale cilindrului şi viteza şi vâscozitatea gazului trebuie să se afle pe aceeaşi curbă, atunci când sunt reprezentate grafic diversele curbe date de (3.61).


În cazul limită, 0→R , Rη este independentă de parametrul R. Prin

verificarea în (3.61), acest rezultat este obţinut dacă funcţia 2f variază liniar în

funcţie de argument, Π≈2f :

3

2

3

1

1

−

⋅⋅⋅= PeACR πη

(3.62)

Constanta 68.31 =⋅πC , în acord cu ecuaţia (3.48). În cazul limită, ∞→Pe , particulele urmează fluidul şi se depun când liniile de curent trec cu mai puţin de o rază la suprafaţă. Acest efect se numeşte intercepţie directă. Eficienţa se obţine prin integrarea ecuaţiei (3.34), pentru componenta perpendiculară a vitezei, jumătatea superioară a suprafeţei cilindrului:

2

2

0 2 RAaU

dxvpay

R ⋅=⋅

⋅

=∫ =

π

η

(3.63)

Un rezultat al acestei forme poate fi obţinut din (3.61), prin rezolvarea pentru ∞→Pe şi Rη ,independentă de Pe. Atunci funcţia 2f trebuie să fie proporţională

cu cubul argumentului său, Π (3.58). Ecuaţiile (3.62) şi (3.63) sunt valorile limitǎ rezultate din aplicarea legii

pentru domeniile fiecărei difuzii şi respectiv domeniul de control al intercepţiei directe. Ele arată că, pentru viteze şi diametre ale fibrelor fixate, eficienţa mai întâi scade cu scăderea lui pd , creşte odată cu creşterea coeficientului de difuzie (3.62),

apoi creşterea lui pd conduce la creşterea lui Rη , deoarece d

dR

p= creşte în

conformitate cu (3.63). Rezultatul este minim în domeniul eficienţei, deaorece este funcţie doar de diametrul particulei. În domeniul mărimii particulei, aproape de minim, eventual intercepţia ne dă modul de impact şi/sau sedimentare, ca mecanism dominant al depunerii particulelor. Grupul adimensional

( )3

1

Pe AR ⋅⋅=Π este proporţional cu ordinul de mărime al diametrului particulei din stratul limită, a cărui grosime este dată de (3.50), respectiv,

( )3

1

Pe ARd

c

p⋅⋅=

δ

(3.64)

Atâta timp cât ordinul de mărime este mic, depunerea este controlată de difuzie. Pentru particule mari, în comparaţie cu grosimea stratului limită difuzional, depunerea este controlată de intercepţie. O soluţie analitică la relaţia (3.56) nu pare a fi posibilă, dar se poate obţine o soluţie pentru regiunea din apropierea


următorului punct de stagnare (figura 3.1). Aproape de linia continuă, în planul de simetrie care conduce la punctul de stagnare, 1sin x dispare şi 1cos 1 ≅x ,

( )0 Pe 121

12

1

121

3 →=⋅⋅⋅⋅− xdy

nd

dy

dnyRA

(3.65)

cu următoarele condiţii la limită:

1

0 1 la

11

11

=⇒∞=

=⇒=

ny

ny

(3.65a)

Soluţia pentru ecuaţia (3.65), cu aceste condiţii la limită dă, pentru coeficientul de transfer de masă, în punctul de stagnare, următoarea expresie:

∫∞

−

∞

=

⋅

⋅⋅⋅−

⋅

=

⋅−

=

1

33

3

Pe3

110

3Peexp dz

zRA

ea

D

n

dy

dnD

k

AR

py

(3.66)

Cu toate că acest rezultat corespunde lui 01 =x , viteza depunerilor este mai mare în acest punct şi ilustrează dependenţa generală de numerele Pe şi Re, pe tot cilindrul.

3.4.4. Compararea teoriei cu datele experimentale

În figura 3.3 se prezintǎ depunerile particulelor de diametre 1.305 µm pe fibre de sticlǎ cu diametru 8.7 µm, în funcţie de timp, [11]. Fibrele de sticlǎ sunt aşezate normal pe direcţia curgerii aerosolilor şi expuse la perioade de timp diferite. Viteza de curgere a aerului, conţinând aerosoli, a fost de 0.138 m/s,iar concentraţia de particule de aproximativ 1000 cm-3. Pe măsură ce particulele se depun apar structuri fracţionare.

Procesul de depunere a fost, probabil, dominat de procesul de intercepţie directă. Cu toate că aceste poze sunt instructive, experimentele directe ale teoriei depunerii particulelor, pentru o curgere a aerosolilor în jurul unui singur cilindru, sunt dificile. Oricum, teoria fusese folosită pentru a corela date privind eficienţa îndepărtării unei singure fibre, date ce pot fi determinate, măsurând o fracţiune a particulelor, colectate într-un pat de fibre.

Legătura între teorie şi experimente poate fi făcută după cum urmează. Într-o secţiune regulată de fibre, cu diametrul uniform d şi o fracţie a solidelor α , cu o concentraţie medie N , la distanţa z, faţă de intrarea în filtru a particulelor de diametru pd (figura 3.4), pentru o singură fibră, eficienţa de îndepărtare este:


d

bR =η

(3.67)

unde: b este lăţimea corespunzătoare regiunii în care a avut loc curgerea totală a particulelor, peste cilindrul.

Pe distanţa diferenţială, dz , în direcţia curgerii sunt

4

2d

dz

⋅

⋅

π

αfibre pe unitatea

de lăţime, iar îndepărtarea de pe distanţa dz a fiecărei fibre este:

( ) NdbN

d

dz

dNR ⋅⋅==

⋅

⋅

−η

π

α

4

2 (3.68)

Fig. 3.3 Depunerea unor particule de pe fibre de sticlă dispuse normal pe direcţia curgerii.

Fig. 3.4. Diagrama schematică a filtrului de fibre.


Rearanjând şi integrând de la 0=z la Lz = , grosimea filtrului este dată de,

2

1ln4 N

N

L

dR

⋅⋅

⋅=

α

πη

(3.69)

Deoarece diametrele fibrelor nu sunt, în general, egale şi fibrele sunt aranjate într-un mod mai mult sau mai puţin întâmplător, rezultă că Rη ar trebui interpretat ca un randament efectiv al fibrelor, care poate fi calculat din ecuaţia (3.69) şi care are la bază un diamteru mediu, d , luat de regulǎ ca media aritmetică. Într-o determinare experimentală a lui Rη , trebuie măsurate N1, respectiv N2, concentraţia la intrare, respectiv concentraţia la ieşire a aerosolilor monodispersaţi, care au trecut prin filtru. Diametrul mediu al fibrelor d , poate fi determinat printr-o examinare microscopică.

Datele mǎsurate pentru randamentul depunerii, [12,13], au fost extrapolate pe

domeniile: 4108.2Pe62 ⋅<< ; 29.006.0 << R ; 23 107.7Re104.1 −− ⋅<<⋅ ;

37.0Stk102.5 4 <<⋅ − şi prezentate în figura 3.5.

Fig. 3.5 Comparaţia observaţiilor experimentale ale depunerilor de particule.


Numărul Stokes, fa

Um

⋅

⋅=Stk Stk = mU/af, unde m este masa particulei, este o

măsură a efectelor inerţiei şi trebuie să fie mic pentru aplicarea teoriei difuziei – intercepţiei. Pentru setul de date de mai sus, analiza a fost satisfăcătoare pentru

37.0Stk < . Majoritatea datelor au aparţinut domeniului 13 10Re10 −− << ;curbele teoretice pentru punctul de stagnare sunt reprezentate pentru valorile limită ale numărului Re. Există un dezacord evident între experiment şi teorie. Trebuie ca datele experimentale, bazate pe depunerea medie pe suprafaţa fibrelor, să cadă undeva sub curbele teoretice ale punctului de stagnare. În ultimele studii, [14,15 ], pentru aerosoli cu dimensiuni 3.1035.0 << pd µm (numite DOP), la viteza

particulelor 1 < U < 30 cm/s şi filtre din fibre cu diametre ale fibrelor de la 11 la 12.9 µm, a fost studiatǎ dependenţa lui ηR de α , iar datele au fost corelate, folosind similitudinea transformării (3.61). După cum ne aşteptam de la teorie, ηR trece printr-un minim, cu o creştere a diametrului particulei, corespunzătoare tranziţiei de la regimul difuzional (3.62), la îndepărtarea particulelor prin intercepţie directă (3.63), după cum se prezintă şi în figura 3.6. Curbele teoretice pentru Re = 10-1

şi Re = 10-3, au fost calculate din (3.66). Particulele foarte mici sunt controlate de

fenomenul de difuzie, conform relaţiei 3.38 şi relaţiei 32

DR ≈η . Curbele din figură rezultă din efectul vitezei. În şirul de puncte datorate intercepţiei, conform

relaţiei (3.63), 2

pR d≈η , şi este practic independent de viteza gazului.

Fig. 3.6 Randamentul de reţinere a unei singure fibre pentru particule de diametru finit.


S-a propus următoarea corelaţie petru eficienţa de colectare a unei singure fibre:

( )( )RK

R

K

R+

+

⋅−

=

−

16,0

1

Pe6.1

2

3

1

3

2

3

2

α

η

(3.70)

unde: ( ) 2

4

1

4

3ln

2

1αααα −+−−=K , iar α este fracţia solidelor.

Acestea sunt limitele pentru dependenţa de Pe şi R, date de (3.38) şi (3.39). Succesul analizei, corelată cu datele experimentale pentru filtrele curate, oferă un suport convingător pentru teoria difuziei convective la suprafeţe ale particulelor cu diametru finit. În funcţie de acumularea particulelor în filtru, atât eficienţa îndepărtării, cât şi presiunea de cădere cresc şi analiza nu mai este valabilă. Câteva date rezultate din acest experiment se găsesc în literatura de specialitate. În aplicaţiile practice trebuie să se aibă în vedere aceste rezultate, datorită pierderilor prin orificiile filtrelor şi pierderilor pe suprafaţa cilindrului.

Pentru toate punctele, numărul Stk a fost mai mic decât 0.5. Din teorie, punctul de stagnare ar trebui să cadă mai sus decât cel provenit din experimente (acesta este deasupra suprafeţei fibrelor). Figura foloseşte similitudinea transformării (3.61). Porţiunea de jos a curbei corespunde procesului de difuzie, porţiunea de sus corespunde procesului de intercepţie directă.

3.5. Difuzia şi intercepţia la numere Re mari

3.5.1. Captarea particulei de către un singur element

O analiză similară cu cea a depunerilor de particule într-o curgere cu viteză mică, poate fi făcută pentru curgeri în jurul unor obiecte teşite, cum ar fi cilindrii sau sfere, [15,16], curgeri caracterizate de numere Re mari. În acest caz, stratul limită se dezvoltă în jurul obiectului. Nu mai departe de limita aerodinamică, o mică parte a concentraţiei se află aproape de suprafaţă. Analiza ia în calcul atât difuzia cât şi intercepţia directă – deci, şi diamterul finit al particulelor. Rezultatele sunt importante pentru depunerea particulelor în cazul: a) cilindrilor cu diametre mult mai mari decât cele pentru care filtrele au un randament ridicat (filtre cu sârmă groasă sau plasă) sau în cazul b) tuburilor schimbătoare de căldură, perpendiculare pe curgerea aerosolilor. O altă aplicaţie importantă este depunerea din atmosferă, depunerea uscată pe suprafaţa pământului, care este considerată aerodinamic rugoasă, [18]. Asprimea elementelor, precum frunzele de iarbă ascuţite şi pietrişul, pot fi tratate ca şi colectarea şi intercepţia.

Pentru simplificare, s-a ales o geometrie bidimensională, corespunzând curgerii normale pe un corp abrupt, de o formă arbitrară. Originea coordonatelor


este luată în punctul de stagnare, axa y este normală la suprafaţă în fiecare punct, punctul y este 0 la suprafaţă. Generalizarea la geometria tridimensională este realizată şi lasă principala concluzie neschimbată.

Cîmpul vitezelor cu numere Re mari, într-o regiune fără vâscozitate, apropiată punctului de stagnare, este dat de, [5]:

( ) ( )yxv,u ω−ω=

(3.71)

şi cu limita de vâscozitate,

( );fxu η′⋅⋅ω=

( ) ( )η⋅ω⋅−= fvv 2

1

(3.72)

unde ω este o constantă, a cărei valoare depinde de forma obiectului (bandă sau cilindru), ν - vâscozitatea cinematică, η este coordonata stratului limită,

2

1

ν

ω=η y

(3.73)

Comportarea funcţiei f ,în apropierea peretelui, pentru η << 1 este:

( ) ;f2

2

1η⋅β=η

( ) ;'f η⋅β=η

( ) 232610 ."f =β=

(3.74)

Aşadar, suficient de aproape de punctul de stagnare:

;xu η⋅β⋅⋅ω=

( ) 22

1

2

1η⋅β⋅ω⋅ν−=v

(3.75)

În regiunea din apropierea peretelui, curgerea nu are separat regimul de tranziţie de cel turbulent, şi, prin urmare, relaţiile de mai sus pot fi generalizate, departe de punctul de stagnare, prin:

( ) ;xKau η⋅⋅⋅ω= 1

( ) ( ) 212

1

2

1η⋅⋅ω⋅ν−= x'Kv

(3.76)

unde 1x este adimensionalizat, prin împărţirea la lungimea caracteristică a obstacolului,

a

xx =1

(3.77)

iar K, rezultă din,


1dx

dKK ='

(3.78)

Pentru numere Re mari, funcţia K, depinde de forma particulară a obstacolului şi poate fi calculată după metodele standard ale teoriei stratului limită, [5]. În acest caz, ecuaţia difuziei convective în stratul limită este:

( ) 02

12

1

12

2

=∂

∂⋅ω⋅ν−

∂

∂⋅η⋅⋅ω+

∂

∂−

y

n'K

x

nK

y

nD

(3.79)

Cînd definim distanţa (adimensională) de la suprafaţă în acelaşi fel ca pentru curgerea la viteze mici:

pa

yy =1

(3.80)

ecuaţia (3.79) devine,

023 1

21

11

1

23

=∂

∂⋅⋅+

∂

∂⋅⋅⋅−

∂

∂Π −

y

ny'K

x

nyK

y

n

(3.81)

unde Π este un grup adimensional pentru depunerea particulelor pentru curgeri caracterizate de numere Re mari,

2

3

33

6

1

ω⋅⋅

ν⋅=Π

va

Dp

(3.82)

Această ecuaţie trebuie rezolvată cu condiţiile la limită ale teoriei difuziei – intercepţiei:

1 la 0

pentru

1

1

==

∞→= ∞

yn

ynn

(3.83)

Soluţia pentru orice obstacol dat, respectiv pentru ( )1xK fixat, este:

( )Π=∞

,y,xFn

n11

(3.84)

şi ţinând seama de ecuaţiile (3.60)şi (3.61) rezultă,

( )Π=⋅

=⋅⋅η 2Pe FD

akR

pav

R

(3.85)

unde Rη este randamentul îndepărtării particulelor pentru un singur cilindru, iar


numărul Re este dat de,

v

a2

Re ⋅ω≈

(3.86)

După înlocuirea în (3.82) rezultă:

6

1

3

1

RePe ⋅⋅≈Π R

(3.87)

undea

aR

p= .

Parametrul Π este legat de corespondenţa cu numerele Re mici:

( )3

1

1 Pe ARRe ⋅=Π <

(3.88)

Datorită variaţiei slabe funcţiei mărimii A

6

1

Re se poate considera,

ARe

Re6

1

1

1 Re≈

Π

Π

<

>>

(3.89)

Ca şi în cazul curgerii caracterizate de numere Re mici (3.58), corespondenţa Π de numerele Re mari, la care apare stratul limită, este legată de raportul dintre diametrul particulei şi grosimea statului limită al concentraţiei:

6

1

3

1

RePe ⋅⋅≈δ

Rd

c

p

(3.90)

Pentru 1<<δc

pd depunerea este controlată de difuzie; pentru 1>>

δc

pd

depunerea este controlată de intercepţie. Expresia aproximativă pentru ηR , pentru un singur cilindru şi o singură sferă

este, [19]: - pentru cilindrii:

2

123

2

6

1

Re800PeRe881 ⋅⋅+⋅⋅=η−

R..R

(3.91)

- şi pentru sfere:

2

123

2

6

1

Re101PeRe402 ⋅⋅+⋅⋅=η−

R..R

(3.92)


Domeniul recomandat pentru aplicare este 42 10Re10 << şi numere Stokes mai mici decât valorile critice pentru impact, de 1/8 pentru cilindii şi respectiv 1/12 pentru sfere.

3.5.2. Aplicaţii la depunerea pe suprafeţe rugoase

Rezultatele analizei pentru numere Re mari, discutate în paragraful precedent, nu au fost testate direct pentru curgerea peste un singur cilindru. Oricum, au fost aplicate unui grup substanţial de date experimentale, provenite de la experimente din conducte de aerisire, pentru depunerea particulelor de gaz pe suprafeţe rugoase alcătuite din iarbă ascuţită, pietriş şi alte elemente rugoase similare. Datele au fost colectate pentru aplicaţii în depunerea uscată în atmosferă.

O mare parte din aria disponibilă pentru transportul masic, către pereţi acoperiţi cu elemente rugoase, compactate, nu este aproape de fundul suprafeţei care ancorează elementele rugoase, dar ele însele ies în afară. Deoarece mişcarea convectivă este mult mai intensă în jurul lor, mai adânc în stratul rugos, o mare parte (fracţie) din transferul de materie (molecule sau particule de gaz) se aşteaptă să ocupe elementele rugoase. Ca atare, pot fi vizualizate ca o masă “scufundată”, distribuită volumetric în câmpul curgerii, iar procesul de transport poate fi modelat ca şi în cazul filtrării gazelor, discutat în paragraful anterior. Pornind de la această ipoteză, corelată cu rezultatele asupra depunerii particulelor, din curgerea peste suprafeţe ascuţite, s-a realizat, [17,20], un strat artificial de iarbă, folosind (3.85) şi

comparând D

ak pav ⋅ versus 3

1

6

1

PeRe ⋅⋅R , aşa cum este prezentat în figura 3.7.

Rezultatele au fost corectate pentru sedimentarea gravitaţională. Două linii frânte (---) cu pantele 3 şi 1 (corespunzând regiunilor asimptotice de intercepţie şi difuzie) sunt reprezentate prin puncte. Linia continuă () arată eficienţa colectării unui singur element în punctul de stagnare al unui strat infinit, la nivelul curgerii potenţiale. Datele sunt de mai mică importanţă decât teoria pentru un singur element, probabil datorită efectelor corpurilor ascuţite învecinate, prezente în măsurătorile conductelor de aerisire.

Această figură a fost trasată în ipoteza că, depunerea pe suprafeţele rugoase (incluzând depunerea uscată) este un proces de tip filtrare, în care elementele rugoase servesc drept colectoare de particule. Măsurătorile au fost făcute cu elementele rugoase, alcătuite din iarbă tăioasă, creată artificial (teflon), cu aceeaşi formă şi mărime. Date pentru elementele rugoase de alte tipuri, inclusiv pietriş, pot fi corelate într-un stil asemănător, [21]. În pregătirea corelaţiei, viteza caracteristică

∞U , a fost considerată ca fiind *u. ⋅32 , valoare măsurată în vârful tăişului simulat,

unde *u este viteza de frecare. Lungimea caracteristică, aleasă pentru colector, a fost dimensiunea transversală a liniilor formate din elementele tăioase artificiale, a = 0.5 cm. Figura 3.7 arată cum pot fi reprezentate datele printr-o curbă cu două


linii, una corespunzând domeniului de difuzie şi alta domeniului intercepţiei. Reprezentarea cuprinde 6 particule de diametre diferite (32, 19, 5, 2, 1 şi 0.08 µm) şi două specii de molecule.

Fig. 3.7. Viteza de depunere a particulelor adimensionale pe iarba artificială.

Viteza de depunere măsurată vd , a fost folosită în locul lui kav. În aplicarea analizei din paragraful anterior a fost necesară presupunerea unei valori pentru coeficientul ω , care apare în (3.71) pentru curgerea fără vâscozitate pe un element rugos:

a

Ub ∞⋅=ω

(3.93)

unde b este o constantă care depinde de geometria corpului, U∞ este viteza în curent liber, iar a este lungimea caracteristică a colectorului. În figura 3.7, b = 2, cea ce corespunde unei suprafeţe plane normală la raza incidentă, cu toate că orice ordin de mărime ar fi rezonabil.

De asemenea, pentru comparaţie, este prezentată curba teoretică corespunzătoare depunerii la punctul de stagnare, unde funcţia ( )1xK este:

( ) 11 xxK ⋅β=

(3.94)

şi x1 este aproape 0. Cu acestea, funcţia F2 din (3.85) poate fi obţinută analitic:


( )

( )∫∞

ξξ⋅Π−

Π−==

⋅

1

33

3

2

exp

exp

d

FD

ak pav

(3.95)

Comportarea asimptotică a lui F2 este dată de: 0→Π , Π→2F (limita difuziei);

∞→Π , 32 Π→F (limita intercepţiei)

(3.96)

Comportarea asimptotică a lui Π necesită o pantă logaritmică în concordanţă cu datele. Panta rezultă pentru valori mici ale lui Π , pâna la 1. Corelarea funcţionează sub limitele de validare aşteptate, deoarece la particule de dimensiuni mai mari sunt foarte probabile efecte inerţiale semnificative. La fel ca în cazul curgerilor la numere Re mici, eficienţa de îndepărtare a elementului atinge un minim pe măsură ce dimensiunea particulei creşte de la domeniul submicronilor la dimensiuni de ordinul micronilor. Totuşi, pentru depuneri uscate din atmosferă, obiectele de colectare (iarbă tăioasă, altă vegetaţie, pietre, etc.) au forme şi dimensiuni variate; acest lucru , probabil, rezultă dintr-o vagă aluzie cu privire la dimensiunile particulei, în comparaţie cu cazul colectorilor uniformi.

3.6. Difuzia în curgerea laminară într-o conductă Se consideră că diametrul particulei este mult mai mic decât al conductei (sau

grosimea substratului vâscos pentru curgerea turbulentă), astfel încât parametrul de intercepţie, care a fost important în paragraful anterior, nu mai are nici un rol.

Când un gaz intră într-o conductă netedă, dintr-un rezervor de dimensiuni mari, printr-o secţiune de control, se formează un strat limită laminar de-a lungul pereţilor. Profilul vitezei în secţiunea principală a curgerii rămâne uniform distribuit. Viteza stratului limită creşte cu distanţa în aval de intrare, până ce conducta se umple. Dacă numărul Re corespunzător diametrului conductei este mai mic de 2 100, stratul limită al conductei rămâne laminar. Curgerea este considerată dezvoltată complet, atunci când profilul vitezei nu mai variază cu distanţa în direcţia curgerii. Profilul devine aproape total dezvoltat la o distanţă de la intrare de

aproximativ ( )Re040 d. ⋅ . De exemplu, pentru Re = 1000, lungimea de intrare în conductă creşte cu peste 40 de diametre de conductă.

Particulele mici, prezente în curentul de gaz, difuzează către pereţi ca un rezultat al mişcării lor browniene. Deoarece numărul Schmidt, ν/D, este mai mare decât 1, difuzia stratului limită este mai mică decât viteza stratului limită, iar profilul concentraţiei tinde să rămână în totalitate perpendicular pe distanţe mai mari, în aval de intrare, decât profilul vitezei. Ca o aproximare rezonabilă pentru analiza matematică, se presupune că la intrarea în conductă, profilul concentraţiei este plat, în timp ce profilul vitezei este deja dezvoltat – adică parabolic.


Problema difuziei către pereţii unui canal (conductă), a unei curgeri laminare, este formal identică cu problema transferului de căldură, [2], când dimensiunile particulelor sunt mici în comparaţie cu dimensiunile canalului ( 0→R ). Pentru un profil al vitezei paraboliccomplet dezvoltat, în condiţii staţionare, ecuaţia difuziei convective ia următoarea formă, în coordonate cilindrice:

∂

∂+

∂⋅

∂

∂∂

=∂

∂2

2

x

n

rr

r

nr

Dx

nu

(3.97)

unde

−⋅⋅=

2

12a

rUu av şi avU este viteza medie.

Pentru condiţiile la limită, se presupune concentraţia constantă de-a lungul conductei şi 0 pe pereţi, la r = a:

0 la

pentru 0 la

1

1

==

<==

nar

arnnx

(3.98)

Când Pe > 100, difuzia pe direcţia axială poate fi neglijată. Pentru distanţe mici de la intrarea în conductă, se dezvoltă o concentraţie a stratului limită pentru distribuţia particulelor.

O soluţie analitică pentru ecuaţia difuziei convective dă următoarea expresie pentru fracţia de particule care trece prin conducta de lungime L , fără să se depună:

......n

nP +Π⋅+Π⋅+Π⋅−== 3

4

3

2

1

2 17670215621

(3.99)

cu 020.Q

LD<

⋅⋅π=Π unde Q este debitul volumetric de aer care trece prin

conductă. La distanţă mare de la intrarea în conductă, fracţia de particule este obţinută

rezolvând (3.97) şi folosind metoda separării variabilelor:

( ) ( )

( ) .....

....n

nP

+Π⋅−⋅+

+Π⋅⋅+Π⋅−⋅==

057exp03250

322exp09750663exp81901

2

(3.100)

pentru 020.>Π , [22]. Aceste rezultate pot fi aplicate în cazul depunerilor în conducte tip, pentru


proiectarea bateriei de difuzie, ca dispozitiv pentru măsurarea dimensiunilor mai mici de 1 micron ale particulelor de aerosoli.

Bateria poate fi alcătuită dintr-un mănunchi de tuburi capilare sau dintr-un set de plăci plane, paralele şi aşezate apropiat, prin care aerosolul trece în curgere laminară. Concentraţiile de particule care intră şi părăsesc bateria de difuziune sunt măsurate cu un contor de particule condensate. Pentru valori măsurate ale concentraţiei reduse, valoarea lui Π poate fi determinată din (3.99) sau (3.100) sau echivalentul lor pentru plăci plane. Valoarea lui D , din care rezultă dp, poate fi calculată, deoarece x, a şi U sunt cunoscute în sistem. Pentru aerosoli polidispersaţi, metoda oferă un diametru mediu al particulei, care depinde de distribuţia mărimii particulei. Teoria are, de asemenea, aplicabilitate în calculele de eficienţă pentru anumite tipuri de filtre, [23], alcătuite din foi de material polimeric, penetrat de către o mulţime de pori cilindrici mici.

3.7. Difuzia în curgerea turbulentă într-o conductă Atunci când numărul Reynolds, corespunzător conductei, este mai mare de

aproximativ 2100, viteza stratului limită ce se formează la intrarea în conductă devine turbulentă, pe măsură ce gazul traversează conducta. Profilul vitezei se dezvoltă complet, adică, forma distribuţiei încetează să se mai schimbe la aproximativ 25 – 50 diametre ale conductei, faţă de intrare. Particulele fine, antrenate într-o astfel de curgere, sunt transportate de mişcarea turbulentă şi de cea browniană către perete. Într-un volum de aer atmosferic ce trece prin conducte lungi, peretele îşi pierde efectele datorate difuziei turbulente. Straturile de particule acumulate vor afecta transferul de căldură între gaz şi pereţii conductei.

În analiza transportului turbulent, este de dorit să se împartă curgerea în conductă în trei zone diferite, pe o distanţă perpendiculară pe perete (figura 3.8).

Curgerea este împărţită în trei regiuni. Cea mai mare parte a conductei este plină de miez turbulent, unde viteza creşte rapid deasupra substratului vâscos. Concentraţia scade mai rapid decât viteza, deoarece D este mult mai mic decât v şi difuzia turbulentă aduce particulele mai aproape de perete, înainte ca mişcarea browniană să poată să acţioneze efectiv.

Mijlocul conductei este o regiune cu o turbulenţă ridicată, în care difuzia moleculară este neglijabilă, în comparaţie cu transportul de către vârtejuri turbulente. Aproape de perete este o zonă de tranziţie, unde atât difuzia moleculară cât şi cea prin vârtejuri sunt importante. Lângă peretele propriu-zis există un substrat subţire, în care transferul momentului mecanic este dominat de către forţe vâscoase, iar efectul fluctuaţiilor turbulente slabe poate fi neglijat. Acest lucru se aplică şi în cazul transferului de căldură şi de masă pentru gaze; numerele Schmidt şi Prandtl sunt aproape unitare, ceea ce înseamnă că masa şi căldura sunt transportate la aceleaşi rate ca şi momentul mecanic. Conform teoriei Prandtl, se consideră că lungimea de amestec este, respectiv, distanţa parcursă de particulă


pâna când diferenţa dintre viteza în punctul iniţial şi final al acestei distanţe este egală cu viteza de agitaţie din mişcarea turbulentă, [17]. De asemenea, se consideră că lungimea de amestec este proporţională cu constanta universală a turbulenţei, introdusă de Prandtl.

Situaţia este complet diferită în cazul difuziei particulelor. În acest caz,

1>>D

v şi chiar fluctuaţiile slabe din substratul vâscos contribuie semnificativ la

transport.

Fig. 3.8. Structura curgerii turbulente printr-o conductă.

Considerăm o conductă cu curgere turbulentă. În regiunile apropiate de perete, curbura poate fi neglijată, iar fluxul instantaneu de particule poate fi scris după cum urmează:

vny

nDJ y ⋅+

∂

∂⋅−=

(3.101)

unde y este distanţa măsurată normal la suprafaţă şi v este viteza pe direcţia y. Pentru descrierea matematică a mişcǎrii turbulente, aceasta se descompune

într-o mişcare medie (notată barat) şi o mişcare de pulsaţie (notatǎ cu indice prim).

0 ; ; =′+=′+= vnnnvvv

(3.102)

Valorile medii se calculeazǎ ca medii temporale într-un punct fix, pentru un interval de timp suficient de mare, pentru ca valoarea medie calculatǎ să nu depindă de timp. Timpul iniţial este ales arbitrar.

Substituind în (3.101) şi luând timpul ca valoare medie, obţinem:


vny

nDJ ′⋅+

∂

∂⋅−= '

(3.103)

Coeficientul de difuzie turbulent (al vârtejului), ε , este definit de:

y

nvvn

∂

∂⋅−=⋅ ε'

(3.104)

Pentru coeficientul de difuziune al vârtejului într-un substrat vâscos s-a propus relaţia, [16],

;5.14

3

⋅=

+y

νε

v

f

Uy

y

2

1

2

⋅

=+

(3.105)

unde U este viteza medie, f factor de frecare şi v , vâscozitatea cinematică. Expresia

pentru ε este valabilă atunci când , 5.0<+y , [18].

Ţinând seama de cele de mai sus, expresia generală pentru fluxul de difuziune este:

y

nDJ

∂

∂+−= )( ε

(3.106)

Pentru difuzia particulelor, 1>>D

ν. Comparativ cu transferul momentului

mecanic, particulele pătrund mai aproape de perete prin mişcare turbulentă, înainte ca mişcarea browniană să devină importantă.

Concentraţia particulelor, care dispare la perete, creşte rapid, practic atingând

valoarea maximă, ∞n , în interiorul substratului vâscos, în care ε este dat de formula (3.105).

Distribuţia concentraţiei şi fluxul de depuneri pot fi obţinute prin integrarea (3.106) şi, presupunând că J este funcţie numai de x şi nu de y, distanţa de la suprafaţă. Condiţiile la limită sunt:

∞=∞=== nnyny la ; 0 0 la

(3.107)

Rezultatul integrării este:

3

1

2

1

ScRe042.0 ⋅⋅⋅=⋅

fD

dk

(3.108)


unde coeficientul de transfer de masă (sau viteza de depunere a particulelor) este

definit prin relaţia 0=∞

∂

∂⋅

−=

yy

n

n

Dk .

Rezultatul este valabil pentru o conductă cu pereţi netezi. Pot apărea valori mai mari pentru suprafeţe aspre, de exemplu, când straturile de particule s-au depus deja.

3.8. Depunerea particulelor provenite din bule

Când o bulă de aer se ridică într-un lichid, particulele foarte fine difuzează la interfaţa gaz/lichid, unde se depun. Bulele mai mici de 0.01 cm se comportă ca nişte sfere rigide şi respectă legea lui Stokes, pe măsură ce se ridică, atunci când numărul Reynolds este mai mic decât 1. Bulele mai mari rămân sferice, dar rezistenţa la înaintare este mai mare decât prevede legea lui Stokes.

Pe măsură ce numărul Reynolds creşte la aproximativ 500, corespunzător diametrului bulelor de aproape 1 mm, bulele încep să se deformeze, luând forma unui elipsoid turtit. Drumul bulelor ce se ridică nu mai este liniar, ci devine spiralat. Legea de rezistenţă pentru bulele sferice ce se ridică o urmăreşte pe cea a unui solid sferic. În condiţii normale, suprafaţa bulelor este contaminată de substanţele dizolvate în lichid, care migrează la interfaţǎ, cu energie foarte mare. Prezenţa contaminatorilor are tendinţa să stabilizeze interfaţa, prevenind mişcări relative şi micşorând circulaţiile interne în bulă.

Pentru o bulă nesfericǎ, rata de depunere a aerosolilor poate fi calculată cu binecunoscutele soluţii ale ecuaţiei difuziei cu simetrie sferică:

rr

r

nrD

t

n

∂⋅

∂

∂⋅⋅∂

=∂

∂2

2

(3.109)

Concentraţia aerosolilor în bulă, la momentul 0=t este uniformă şi are valoarea ∞= nn . Pentru 0>t la suprafaţa bulei, ar = , concentraţia este 0=n , iar soluţia ecuaţiei difuziei este, [9]:

∑∞

=

+

⋅π⋅⋅

⋅⋅π⋅−⋅

−

⋅π

⋅⋅=

12

22

10 sinexp

12

p

p

a

rp

a

tDp

p

)(

r

na)t,r(n

(3.110)

Numărul total de particule din bulă, la momentul t ,se obţine integrând după r,

drrn)t(Na

⋅⋅π⋅= ∫3

04

(3.111)


în timp ce numărul iniţial din bulă este:

( )3

40 0

3na

N⋅⋅π

=

(3.112)

Când substituim (3.110) în (3.111) şi integrăm termen cu termen, ţinând seama de (3.112) proporţia din masa de aerosoli ce a rămas în bulă, la orice moment t, faţă de masa iniţială, este:

( )( ) ∑

∞

=

⋅⋅π⋅−⋅⋅

π=

12

22

22exp

16

0 p a

tDp

pN

tN

(3.113)

Timpul necesar concentraţiei să scadă la e

1, faţă de valoarea iniţială este

D

a.d

2

050 ⋅=τ . Concentraţiile medii şi centrale pentru bule sunt reprezentate în

figura 3.9, în cazul unei bule necirculare. Numărul iniţial de particule din bulă, N(0), iar concentraţia la suprafaţa bulei este 0.

Fig. 3.9 Fracţia de particule îndepărtată dintr-o bulă.

Dacă sunt luate precauţii speciale, pentru a evita contaminarea suprafeţei bulelor, depunerea de particule prin difuzie la suprafaţa apei este intensificată prin circulaţia internă. Curgerea internă poate fi calculată pentru numere Reynolds


foarte mici. O soluţie a ecuaţiei difuziei convective, pentru cazul circulaţiei interne pe

suprafeţe de concentraţie constantă, pornind de la situaţia fără curgere, este, [24]:

∑∞

=

⋅⋅⋅µ−⋅⋅=

12

2 16exp

8

3

0 p

pna

tDA

)(N

)t(N

(3.114)

unde 67811 .=µ , 8392 .=µ şi 3211 .A = , 7302 .A = . Timpul necesar concentraţiei de

aerosoli din bulă să scadă la e

1, faţă de valoarea iniţială, este

D

a.

'd

2

0220=τ adică, 40

% din valoare, în cazul unei bule necirculante.

3.9 Difuzia convectivă într-un câmp de forţe exterioare

3.9.1. Mişcarea de antrenare-drift

Să presupunem că într-un gaz neutru este dispersat un ansamblu de particule încărcate, cu densitate mică, astfel ca interacţiunile între particulele încărcate să fie neimportante în comparaţie cu interacţia cu particulele neutre, iar energia particulelor încărcate să fie isuficientă pentru producerea ciocnirilor inelastice (ionizare). Particulele neutre existente, cuprinse în spaţiul considerat, prin ciocniri reciproce, ajung la o distribuţie de echilibru a vitezelor, distribuţia Maxwell-Boltzmann, f, care nu prezintă o variaţie temporală sau spaţială, ci depinde numai de marimea nv şi nu de orientarea sa, astfel că numărul de particule

nvdN , cu

viteza cuprinsă între, v şi dvv + , este dat de :

( ) dvvvfNdN nnnv ⋅⋅⋅⋅π= 204

(3.115)

unde ( )nvfN ⋅0 este densitatea, iar funcţia f este dată de,

( ) ;v

v

v

vfn

n

n

−⋅

π⋅

=20

2

2

33

0

exp1

2

1

02

⋅⋅=

n

nm

Tkv

(3.116)

cu 0nv , viteza cea mai probabilă ;în acest caz 0=vr

. Prin introducerea unui număr mic de particule încărcate electric, de masă m şi

viteză v, în lipsa câmpului electric, se stabileşte echilibru, adică,

22

2

1

2

1nnn vmvm ⋅⋅=⋅⋅

(3.117)

Aplicarea unui câmp electric Er

, face ca după scurt timp, să apară situaţia în


care,

22

2

1

2

1nn vmvm ⋅⋅>⋅⋅

(3.118)

unde v , nu mai este distribuită după distribuţia Maxwell şi 0≠vr

. Pe lăngă fenomenul de difuzie a particulelor încărcate apare şi mişcarea de

ansamblu a acestora, centrul de masă a ansamblului mişcându-se cu viteza de antrenare sau de drift,

vurr

=

(3.119)

paralelă cu Er

. Distribuţia de viteze este modificată. În cazul cel mai simplu, se poate face

ipoteza că, componentele vitezelor după direcţia câmpului, de exemplu după axa Ox, adică vx, au crescut cu cantitea V, astfel că,

θ⋅⋅=⋅+≈ cosVvVv

vvv x

11

(3.120)

cu θ , unghiul dintre v şi vx. Pentru elementul din spaţiul vitezelor, din jurul unui punct oarecare P , avem:

( ) ( ) ( )dv

dfV

v

vvfV

v

vvfvfv,vF xx

x ⋅−≈

⋅+≈= 1

(3.121)

Numărul de particule cu viteza cuprisă între , v şi dvv + , este dat de :

( ) ( ) ( ) ( ) dvvvfNdv,vFvdvN x ⋅⋅⋅⋅π⋅=θ⋅θ⋅⋅⋅⋅π⋅ ∫π

20

0

20 4sin2

(3.122)

Valoarea medie a lui xvv =r

, pentru particule cu viteza cuprinsă între v şi

dvv + este,

dv

df

f

Vvvx ⋅⋅

⋅−=

1

3

(3.123)

Valoarea medie a lui vx , pentru întreg ansamblul, adică viteza de drift , u , este dată de integrala:

( ) ( )Vvdv

dvdv

dv

dfVvdvvvvfu x ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅

π−=⋅⋅⋅⋅π⋅= −

ππ

∫∫32

0

32

03

1

3

44

(3.124)

În cazul electronilor care se ciocnesc elastic cu particule neutre din gaz se


poate lua pentru V , valoarea,

vm

eEV

⋅

λ⋅⋅=

(3.125)

unde m

eE ⋅ este acceleraţia căpătată de electron în câmpul E, λ este drumul liber

mijlociu, iar v

λ este timpul mediu între două ciociniri.

Deci, cu cele de mai sus, viteza de drift, în funcţie de drumul liber mijlociu, v, şi de viteza de agitaţie, este:

λ+

λ⋅

⋅

⋅=

dv

d

vm

eEu

2

3

(3.126)

Mişcarea unui ion în propriul său gaz, sub influenţa unui câmp electric static slab E, este o mişcare de antrenare în lungul câmpului electric, ionul ciocnindu-se elastic de moleculele de gaz şi parcurgând traiectorii succesive parabolice. În această mişcare simplă se admite că ionul, după fiecare ciocnire, are aceeaşi viteză ca şi o moleculă oarecare din gaz (nu există o persistenţă a vitezei), mişcarea de antrenare sau de drift fiind o mişcare suprapusă mişcării haotice cinetice, cu precizarea că, energia de câmp a ionului ( π⋅⋅ eE )este neglizabilă faţă de energia termică,

TkEem

m

m

m i

i

⋅<<λ⋅⋅⋅

+

(3.127)

unde m şi mi sunt masele moleculei şi ale ionului , λ , drumul liber mijlociu în direcţia câmpului şi e , sarcina electronului.

În cazul unui nor de electroni, modelul se poate aplica pentru ansamblu, obţinându-se mişcarea de drift a ansmblului.

Mobilitatea µ se defineşte ca fiind viteza de antrenare de drift, în direcţia câmpului electric E, egală cu unitatea. Mobilitatea este proporţională cu temperatura şi invers prporţională cu presiunea şi masa particulei.

3.9.2. Precipitare electrostatică

Precipitarea electrostatică este folosită cu mare răspândire, pentru îndepărtarea particulelor din gazele dintr-o centrală electrică. În majoritatea tipurilor de precipitatori industriali existenţi, gazul pulverulent curge printre plăcile de electrozi paraleli, care, totuşi, pot avea geometrii destul de complexe, care ajută la acapararea depozitelor de particule şi minimizează împrăştierea lor. Particulele sunt încărcate cu ioni generaţi într-o descărcare corona, care înconjoară electrozi suspendaţi între plăci. Lângă electrozi, potenţialul gradientului este foarte ridicat,


având loc o descărcare de electroni şi ionizarea gazului. La o oarecare distanţă de electrozi, potenţialul gradientului scade sub valoarea necesară menţinerii descărcării. Sistemul funcţionează , de obicei, cu o descărcare negativă a electrodului, deoarece acest lucru permite o stabilitate de operare mai mare şi un voltaj mai mare înainte de descompunere. Norul de ioni şi electroni negativi, formaţi în urma descărcării, se îndreaptă către grupul de electrozi. Particulele sunt încărcate de către câmp sau difuzie, încărcarea depinzând de mărimea lor.

Cu spaţiul între plăci de 0.15÷0.40 m şi o viteză a gazului de 1÷3 m/s, [25], corespunzând numerelor Reynolds de 104 sau chiar mai mari, curgerea devine turbulentă.

Pentru curgerea turbulentă şi Re > 104, fluxul instantaneu de particule pe direcţia normală este:

ncnvy

nDJ e ⋅−⋅+

∂

∂⋅−=

(3.128)

unde ce este o cantitate pozitivă pentru migrarea către placă. Luând timpul ca valoare medie şi substituind (3.104), obţinem:

ncy

n)D(J e ⋅−

∂

∂⋅ε+−=

(3.129)

Viteza de migrare electrică, considerată constantă pentru a simplifica calculul, variază de fapt, deoarece depinde de mărimea câmpului, care este funcţie de poziţie şi de timpul de încărcare. Vom presupune, în continuare, că n variază de la zero la suprafaţa colectorului, la ∞n . Pentru o valoare dată a lui x , în direcţia de

curgere, fluxul J poate fi considerat constant pe întreaga regiune a peretelui şi (3.129) poate fi integrată pentru a obţine:

( )

ε+⋅−−

⋅−=

∫∞

∞

0

exp1D

dyc

nc)x(J

e

e

(3.130)

Fluxul de particule este negativ pentru depunerea la suprafaţă.

Integrala ( )∫

∞

ε+=

0D

dyvd reprezintă viteza de migrare a particulei, rezultată

din combinarea mişcării browniane şi turbulente. Valoarea lui vd , poate fi calculată din (3.108), pentru o curgere turbulentă peste o suprafaţă netedă.

Pentru vd >> ce , fluxul mediu este ∞⋅= nvJ d şi, prin urmare, difuzia

controlează procesul de transport. În modelele de calcul pentru electrofiltre, se


consideră , de obicei, că migrarea electrică este mult mai rapidă decât transportul difuzional, astfel că ce >> vd.

Termenul exponenţial de la numitor poate fi neglijat şi se obţine ∞⋅= ncJ e .

Eficienţa electrofiltrului poate fi calculată în funcţie de materialele componente (figura 3.10) , urmărindu-se îndeplinirea relaţiei dxcnndbU e ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ∞∞ 2

Fig. 3.10. Balanţa de material a unui element al precipitatorului.

Rezultatul este:

⋅

⋅−−=

−

∞

∞∞

bU

Lc

n

)nn( e2exp1

1

21

(3.131)

unde L este lungimea precipitatorului, b este spaţiul dintre plăci, şi U viteza medie a gazului. Aceasta reprezintă expresia folosită , în mod curent , în calculele de proiectare ale electrofiltrului.

Viteza de migrare atinge un minim, corespunzător unui particule, cu dimensiunile în zona de tranziţie dintre difuziune şi încărcarea câmpului Prin diferenţierea relaţiei (3.131), vom observa că eficienţa trebuie să atingă, de asemenea, un minim la acelaşi diametru al particulei.

A fost observat experimental, un minim pentru eficienţa electrofiltrului, cu creşterea dimensiunilor particulei (figura 3.11). Minimul vitezei de migrare este de de aproximativ 0.5 µm şi rezultă, probabil, din forma de tranziţie a difuziei către încărcarea câmpului. Scăderea eficienţei particulelor mai mari de 3 µm poate rezulta din recirculare.

În practică, nu este posibilă efectuarea unor astfel de calcule ale lui ce, în primul rând datorită complexităţii interacţiunilor dintre particule şi descărcarea corona. Comportamentul mecanic şi electric al straturilor de praf depuse este ,de asemenea, greu de caracterizat. În acest mod, teoria oferă o orientare pentru proiectare dar în practică, experienţa şi testele îşi menţin supremaţia.


Fig. 3.11. Eficienţa ca funcţie de dimensiunea particulei pentru un precipitator electric.

3.10. Difuzia termică - termodifuzia

Când un corp încălzit cum ar fi un cilindru orizontal sau o placă verticală este plasat într-o încăpere conţinând un aerosol şi slab iluminată, în jurul corpului apare o regiune aparent fără particule, [26]. Acest spaţiu „fără praf” se dezvoltă ca rezultat al balanţei dintre curgerea de gaz care transportă particulele spre suprafaţă şi forţa termodifuziei care îndepărtează particulele.

Pentru placa verticală şi cilindrul orizontal încălzite, curgerea rezultă din convecţia naturală. Configuraţia de stagnare este o curgere forţată. În fiecare caz curgerea este de tipul strat limită. Soluţii analitice simple pot fi obţinute atunci când grosimea spaţiului fără praf este mult mai mică decât cea a stratului limită. În acest caz, viteza de distribuţie a gazului poate fi aproximată prin primul termen al distanţei normală la suprafaţă, [27,28,29].

3.10.1 Placă verticală

Se consideră că placă verticală este montată într-un volum (infinit) foarte mare de aer ca conţine particule fine. Placa este încălzită, şi un strat de aer cald se ridică la suprafaţă. Componenta vitezei aerului paralelă la suprafaţă creşte de la zero la suprafaţă, la o valoare maximă şi apoi scade la zero, valoare departe de placă. Un important parametru adimensional pentru acest tip de curgere este numărul Grashof:

∞

∞

⋅

−⋅=

Tv

)TT(LgG w

2

3

(3.132)

unde g este acceleraţia gravitaţională, L este lungimea plăcii, şi Tw şi T∞ se referă la


temperatura la perete şi respectiv, la o distanţă mai mare faţă de perete. Pentru aerul situat la un nivel de 104 < G < 108, curgerea este de tipul stratului limită laminar. La valori mai mari ale lui G curgerea devine turbulentă, iar pentru valori mai mici stratul devine prea subţire pentru a se putea aplica teoria startului limită.

Pentru stratul limită laminar a fost elaborată o soluţie matematică asupra unei plăci plate cu proprietăţile gazului independente de temperatură, şi rezultatele au fost verificate experimental, [5]. Gradientul de temperatură la perete este :

( ) 4

1

0

5080−

∞ ⋅⋅−⋅−=

∂

∂xCTT.

y

Tw

(3.133)

unde x = distanţa de la fundul plăcii, iar C este,

( ) 4

1

24

⋅

−⋅=

∞

∞

Tv

TTgC w

(3.134)

Componenta normală a vitezei la placă, fyv , este îndreptată către suprafaţă.

Lângă suprafaţă, această componentă poate fi reprezentată prin primul termen din expresia:

)y(xyCv.v/

fy

34323 03380 +⋅⋅⋅−= −

(3.135)

unde semnul minus indică faptul că, curgerea este către placă. Distanţa y este măsurată normal la suprafaţa plăcii. Neglijând difuzia şi

inerţia particulei, putem pune în ecuaţie termodifuzia ce acţionează asupra particulelor conform legii lui Stokes pentru a afla locul suprafeţei unde normala vitezei la suprafaţa particulei dispare:

( )0=

∂

∂⋅⋅−−

y

fyyy

T

T

Kfvvvf

(3.136)

unde y

T

∂

∂ este evaluată la suprafaţă. Viteza particulei dispare la finalul

spaţiului fără praf.

Când înlocuim (3.135) pentru vfy şi (3.134) pentru 0=

∂

∂

yy

T , dimensiunea

spaţiului fără praf determinat de coordonatele vy = 0 este dat de :


2

14

1

2

1

231 KC

x

T

TT.

w

wdf ⋅⋅

−⋅=δ ∞

(3.137)

Grosimea spaţiului fără praf creşte o dată cu distanţa de la capătul plăcii verticale. Valoarea lui K poate fi obţinută din capitolul anterior, (2.56).

3.10.2. Curgere staţionară

Termodifuzia poate fi folosită pentru a suprima depunerea de particule pe perete în timpul operaţiilor de curăţare în camere în industria microelectronicelor. Pentru a estima efectul unui gradient de temperatură aplicat pe o depunere de particule, curgerea sau aerul filtrat peste suprafaţa unei pecete orizontale poate fi aproximat printr-o curgere staţionară (figura 3.12). Atât pentru curgerea plană cât şi curgere staţionară axial simetrică, componenta normală la suprafaţă a vitezei gazului şi temperatura câmpurilor depind numai de distanţa faţă de suprafaţă.

Fig. 3.12. Temperatura şi distribuţia de viteză în curgerea staţionară.

În absenţa convecţiei naturale, normala la suprafaţă a vitezei gazului în vecinătatea planului curgerii staţionare este:

23

61630 yv

a.v f −=

(3.138)

Gradientul de temperatură la perete este, [5]:

( )TTv

a.

dy

dTw

y

−⋅−=

=

49500

(3.139)

în care s-a ţinut seama că pentru aer numărul Prandtl este Pr= 0.7. Pentru curgeri plane peste o bandă plată infinită, normal la curgere a = U/R, unde U este normala la suprafaţă a vitezei gazului, departe de suprafaţă, şi R este raza plăcii.


Egalând forţa de rezistenţă a aerului asupra particulelor cu forţa termodifuziei şi neglijând acceleraţia particulelor:

( ) 2

1

2

12

1

90

−⋅

⋅=δ

w

wdf

T

TTK

a

v.

(3.140)

Astfel, dfδ este proporţional cu rădăcina pătrată a coeficientului termodifuziei,

diferenţei de temperatură, şi cu rădăcina pătratică a vâscozităţii gazului şi este invers proporţional cu rădăcina pătrată a vitezei gazului.

Valorile lui dfδ bazate pe primul termen al expansiunii vitezei în apropierea

suprafeţei pot fi comparate cu valorile calculate numeric bazate pentru viteza totală şi distribuţiile de temperatură. Calculele lui dfδ pentru particule de aluminiu şi

cupru (0.5 < dp < 2 µm) indică faptul că pentru diferenţe de temperaturi de ordinul 100C spaţiul fără praf ar fi destul de subţire încât să prevină depunerea particulelor.

3.10.3 Efectele mişcării browniene asupra depunerilor

Până acum, analiza nu a luat în considerare efectele mişcării brauniene care întotdeauna permite pierderi prin dispersie difuză în „spaţiul fără praf” ale suprafeţei încălzite.

Ecuaţia pentru convecţie, difuziune, termodifuzie şi sedimentare simultane pentru o configuraţie unidimensională a curgerii staţionare este:

( )dy

nccd

dy

ndD

dy

dnv ts ⋅+⋅

+⋅=⋅2

2

(3. 141)

unde cs şi ct se referă la vitezele de sedimentare şi respectiv de termodifuzie. De notat că termodifuzia este un mecanism de control a transportului de

particule în fabricarea de fibre optice prin modificarea procesului de depunere vaporilor chimici. În această aplicaţie, particule de silice de ordinul submicronilor şi asociaţii de oxizi de aerosoli sunt depozitaţi pe interiorul unui tub de cuartz.

44 .. TT RR AA NN SS PP OO RR TT UU LL II NN EE RR ŢŢ II AA LL ŞŞ II

DD EE PP UU NN EE RR EE AA

PP AA RR TT II CC UU LL EE LL OO RR

Datorită inerţiei, particulele aflate în suspensie nu ar putea urmări mişcarea de acceleraţie a unui gaz. Acest efect este important, mai ales pentru particulele mai mari de 1µm. Procesul denumit „depunerea inerţială” duce la depunerea particulelor pe suprafeţe.

Acest proces reprezintă, de cele mai multe ori, mecanismul de control pentru îndepărtarea particulelor de dimensiuni mari în sistemele de curăţare a gazelor, ca de exemplu, filtrele inerţiale şi separatoarele ciclon.

În filtre, depunerea inerţială intervine atunci când gazul curge în jurul fibrelor sau al compozitelor granulare din alcătuirea acestora. Particulele ce nu pot urmări curenţii de aer, se lovesc de elementele colectoare. În scrubere, elementele colectoare sunt picăturile de apă, pe când în separatoarele ciclon, curentul de aer rotativ depozitează particulele pe pereţi. În fiecare dintre cazuri, acceleraţia gazului este aceea care conduce la depunerea particulelor. Un rol important îl au efectele inerţiale în procesele atmosferice, cum ar fi ploile, depunerile pe vegetaţie, cât şi pe construcţiile făcute de om.

Spre deosebire de difuzie, în transportul turbulent apare şi o micşorare a razei inerţiale a particulelor. Calculul depunerilor inerţiale se bazează sau pe un bilanţ al forţelor ce acţionează asupra unei particule, fie pe o analiză directă, bazată pe ecuaţiile de mişcare ale unui fluid. Fiind mai simple, soluţiile exacte ale ecuaţiilor fundamentale sunt disponibile şi, de obicei, necesare în analizele dimensionale şi/sau calcule numerice, [1]. Transportul şi depunerile particulelor din curgerile turbulente, datorate forţelor inerţiale, nu sunt foarte bine înţelese şi au fost subiectul atât al unor experimente importante, cât şi al studiilor teoretice.

Pentru particule < 1µm, difuzia devine foarte importantă, iar metodele de calcul sunt cele expuse anterior. Este dificilǎ tratarea teoreticǎ rigurosǎ pentru particule de dimensiuni mai mari, în care atât difuzia, cât şi efectele inerţiale, sunt importante.

4.1. Interacţiunile particulă – suprafaţă la viteze mici

Dacă două suprafeţe se apropie una de cealaltă, atunci fluidul ce se află între acestea trebuie dislocuit. Mai întâi, vom considera cazul a două plane paralele circulare, sub formă de disc, ce se apropie unul de cealălalt, de-a lungul axei lor


comune, ca în figura 4.1. Discurile sunt cufundate într-un fluid în care presiunea este po. Discul de jos este fix iar cel de deasupra avansează cu viteza U, care poate fi variabilă în timp. Se poate presupune că, unul dintre discuri este fix iar celălalt are o mişcare relativă. Mişcarea este suficient de înceată, astfel încât să se poatǎ controla termenii inerţiali şi cei instabili din ecuaţia mişcării fluidelor. Curgerea este asimetrică şi, pentru viteze mici, gradientul presiunii de pe direcţia z, dp/dz, poate fi neglijat, astfel încât presiunea este funcţie doar de r. Ecuaţia de mişcare se reduce numai la componentele vitezei pe direcţia r,

r

p

z

v

r

v

rr

v

r

v rrrr

∂

∂=

∂

∂+−

∂

∂+

∂

∂⋅ )(

2

2

22

2

µ

(4. 1)

iar ecuaţia de continuitate este,

01

=∂

∂+

∂

⋅∂

z

v

z

vr

r

zr

(4. 2)

cu condiţiile la limită:

0 ;

; ;0 ;

;0 ;0

ppar

Uvvhz

vvz

zr

zr

==

−===

===

(4. 2a)

unde h este distanţa dintre discuri, iar po este presiunea externă. În continuare, se considerǎ pentru viteză,

)(zzrvr ⋅=

(4. 3)

iar distribuţia de presiune este datǎ de,

rBdr

dp⋅=

(4. 4)

unde B este o constantă.

Fig. 4.1 Curgerea spre exterior, printre două discuri plate de rază a.

Transportul inerţial şi depunerea particulelor 135

Prin substituirea în ecuaţia de mişcare se obţine :

Bdz

zd2

2

=µ

(4. 5)

şi integrând cu condiţiile la limită (4.2), pentru a obţine z(z), rezultă următoarea expresie pentru viteza radială:

)(2

1hzz

dr

dpvr −⋅⋅⋅

⋅=

µ (4. 6)

Dacă relaţia de continuitate (4.2) este integrată prin respectarea lui z de-a lungul spaţiului dintre discuri, făcând uz de condiţiile la limită ale lui vz, rezultă:

∫ −==

h

rdr

dpr

dr

d

r

hdzrv

dr

d

rU

0

3

)(12

1

µ (4. 7)

Dacă se integrează de două ori şi se reţine că U nu este funcţie de r, funcţia care dǎ variaţia presiunii este :

)(3 22

30 rah

Upp −⋅

⋅⋅+=

µ

(4. 8)

care este în acord cu ipoteza (4.4), pentru distribuţia presiunii. Forţa care trage discul în mişcare rezultǎ prin integrarea diferenţei dintre

presiunea din interiorul şi exteriorul discului, pe toatǎ suprafaţa exterioarǎ a circumferinţei acestuia, [2],

∫ ⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅−=

a

oh

aUdrrppF

03

4

2

32)(

µππ

(4. 9)

Rezistenţa devine infinit de mare, pe măsură ce discurile se apropie unul de celălalt, datorită forţelor van der Waals. Pentru interacţiunea a două plane, o formă aproximativă poate fi derivată din expresia forţei de atracţie, [3]:

36 h

AFvdw

⋅⋅−=

π (4. 10)

unde constanta A este constanta Hamaker, explicată anterior. Introducând în ecuaţie rezistenţa în faţa mişcării discului, rezultă:

2ag

AU

⋅⋅⋅=

µπ (4. 11)

unde U este viteza constantǎ rezultată, iar cele două discuri vin în contact într-o


perioadă finită de timp. Forţa de împingere a unei sfere, ce se apropie de un plan, se poate calcula

prin rezolvarea ecuaţiei de mişcare a fluidului, fără a ţine seama de forţele de inerţie,

⋅⋅⋅⋅⋅=

p

pd

hGUdF µπ3

(4. 12)

Forţa de împingere G, are dimensiunile unei forţe, iar h este minimul distribuţiei dintre sferă şi plan. Funcţia adimensională G(h/dp), care se comportă ca un factor de corecţie pentru legea Stokes, este prezentată în tabelul 4.1, [4, 5]. Pe măsură ce sfera se apropie de suprafaţă, forţa de împingere creşte până la o valoare infinită, la contact. Pentru a testa teoria, s-au făcut experimente cu sfere de nylon ce cad în ulei siliconic.

Tabelul 4. 1.

Funcţia de corecţie pentru legea lui Stokes.

(h+ap)/ap G (h+ap)/ap G

1 ∞ 3.76 1.413 1.128 9.25 6.13 1.221 1.543 3.04 10.07 1.125 2.35 1.837 ∞ 1

O bună legătură între teorie şi experiment a fost găsită la o anumită distanţă de perete (figura 4.2). Din datele experimentale, rezultă că variaţia funcţiei 1/G este,

Ud

F

dp

hG

p ⋅⋅µ⋅π⋅=

3 pentru apropierea unei sfere de o suprafaţă plană, funcţie de

distanţa h, de la suprafaţă. Datele reprezentate sunt pentru sfere de naylon, cu raza

m 105881 3⋅= .ap , care cad în ulei siliconic cu vâscozitatea de 104 sPa ⋅ , [5].

Pentru h/dp << 1, forţa de împingere pe o sferă se apropie de forma, [6],

h

Ud

2

3F

2

pπµ=

(4. 13)

În cazul unui gaz, când particulele ajung la un punct anume pe suprafaţă, teoria continuităţii, pe care se bazează calculele de rezistenţă, nu se mai aplică. Influenţa forţelor van der Waals ce contribuie la adeziune, fac ca efectele anterior discutate să nu mai intervină. Există, de altfel, şi pelicule fine de lichid absorbite, prezente pe suprafeţele solide. Aceste pelicule permit reţinerea particulelor mici, atunci când acestea lovesc suprafaţa.


4.2. Respingerea particulă – suprafaţă

La viteze mici de impact, particulele ce lovesc o suprafaţă pot rămâne acolo, dar pe măsură ce viteza creşte pot apare respingeri, [7]. Pentru a simplifica problema, vom considera cazul unei particule sferice, care se mişcă normal către suprafaţă, spre o ţintă semi–infinită, prin vid. În acest fel, efectele mecanice ale fluidului sunt eliminate. Intervin doar atunci când energia cinetică este suficient de mare, pentru a face particulele să se distanţeze de suprafaţă şi să lase )z(1φ , să fie funcţie de energia potenţială, pentru interacţiunea particulă–suprafaţă, unde z este distanţa până la suprafaţă.

Energia cinetică a particulei, cE , aproape de suprafaţă, exact ca înainte de contact, este:

10

21

2φ+

⋅= ∞vm

Ec

(4. 14)

unde m este masa particulei, ∞1v este viteza iniţială a particulei la distanţă mare de

suprafaţă, iar ( )0110 φ=φ este energia potenţială a particulei în momentul impactului.

Viteza de respingere, 20v , imediat după impact, rezultă din,

φ+

⋅⋅=

⋅ ∞10

21

220

22

vmc

vmi

(4. 15)

unde, ic este un coeficient de interacţiune. La distanţă mare de suprafaţa de impact, deci în zona unde nu mai acţionează

forţele interfaciale, viteza particulei după impact, ∞2v , rezultă din legea conservării energiei:

22

220

20

22 vmvm ⋅

=φ+⋅ ∞

(4. 16)

Raportul vitezelor particulei după impact şi înainte de impact este:

2

1

21

1020

1

2

2

⋅

φ⋅−φ−=

∞∞

∞

vm

cc

v

v ii

(4. 17)

Atunci când 02 =∞v , particula nu se poate desprinde de suprafaţă, rămânănd lipită de aceasta, forţele de atracţie fiind mai mari decât cele de respingere. Viteza

critică de apropiere, *v ∞1 , care să permită „lipirea” particulei pe suprafaţă, respectiv


care corespunde lui 02 =∞v , este dată de:

( )2

1

102012

φ⋅−φ⋅

⋅=∞ i

i

*c

cmv

(4. 18)

Particulele cu viteze mari sunt respinse, iar cele cu viteze mici rămân lipite. Considerând energia potenţială a particulelor egală înainte şi după impact, 02010 φ=φ=φ , relaţia anterioară devine:

2

1

01

12

−⋅

φ⋅=∞

i

i*

c

c

mv

(4. 18a)

Coeficientul de impact, ic , depinde de proprietăţile mecanice ale particulei şi

suprafeţei. Pentru coliziuni perfect elastice 1=ic , astfel încât energia particulei este conservată după impact.

Din studiul interacţiunii în vid a unor particule de poliester cu diametrul de 1.27 µm cu o suprafaţă de cuarţ netedă, [7], a rezultat un coeficient de interacţiune

980.ci = , atunci când energia potenţială a particulei înainte şi după impact a fost egală şi mult mai mare decât cea dată de forţele van der Vaals.

Un model complet pentru interacţiunile particulă-suprafaţă trebuie să includă atât efectele mecanice ale fluidelor, în timp ce acestea se apropie de suprafaţă, cât şi forţele elastice şi de suprafaţă. Prezenţa filmelor de lichid şi neregularităţile suprafeţelor complică situaţia.

4. 3. Interacţiunea particulă-suprafaţă la numere

Reynolds mici

Când o particulă sferică se află în mişcare la o viteză constantă, într-un fluid în repaus, forţa de atracţie la numere Reynolds mici (Re << 1) este dată de legea lui Stokes. Pentru o mişcare rectilinie accelerată, a unei sfere, în linie dreaptă, printr-un fluid în repaus, forţa de atracţie la numere Re, se obţine din ecuaţiile Navier-Stokes:

( )∫∞− ′−

′

′⋅

π⋅⋅ρ⋅π−⋅⋅ρ⋅π−⋅⋅µ⋅π−=

t

ppp

tt

td

td

duvd

dt

dududF

2

1

2

1

23

2

3

12

13

(4. 19)

unde ρ este densitatea fluidului, [2,8]. Primul termen din dreapta este echivalent cu forţa rezistentă Stokes.


Termenul al doilea şi al treilea derivă din acceleraţia particulei, dt

du. Termenul al

doilea reprezintă rezistenţa pe care o opune un fluid unei sfere cu mişcare

accelerată. Formal, este acelaşi lucru dacă se adaugă 3

12

1pd⋅ρ⋅π la masa particulei,

ceea ce constituie jumătate din masa unui volum echivalent de fluid. Ultimul termen din dreapta depinde de ceea ce s-a întâmplat cu sfera înainte. Calculele numerice ale mişcării rectilinii a particulelor în gaze pot fi uşor făcute folosind formula (4.19).

Această analiză nu este aplicabilă mişcării reale a particulelor, care este o mişcare curbilinie. Pentru a se putea înţelege depunerea particulei din curgerea gazelor peste obstacole, cum ar fi cilindri sau sfere, forţa de absorbţie exprimată de (4.19) este de obicei simplificată, păstrând doar termenul Stokes, ud p ⋅⋅µ⋅π3 şi

neglijând ceilalţi termeni. Această aproximare poate fi testată prin compararea datelor experimentale cu cele teoretice sau prin aproximarea mişcării curbilinii cu o mişcare rectilinie. Pentru particule sferice în câmp gravitaţional, ecuaţia de mişcare rezultă din echilibrul forţelor, [9],

gmFdt

dum D ⋅+=⋅

(4. 20)

Înlocuind forţa rezistentă, FD, în relaţia (4.19) şi trecând în mărimi adimensionale, rezultă:

∫τ

θ′−θ

θ′

θ′π−−=

θ

−γ

0

11

9

12 d

d

dUU

d

dU

(4. 21)

unde tsuuU = cu tsu viteza finală, ρ

ρ=γ

p şi 2pa

t⋅υ=θ cu υ vâscozitatea cinematică.

Punând condiţia ca 0=U la 0=t , din relaţia de mai sus se observă că viteza particulei în cădere depinde doar de aportul densităţii particulei pρ , la densitatea

gazului, prin ρ

ρ=γ

p , şi nu la mărimea particulei sau la vâscozitate. Pentru

particule de densitate unitară în aer, în condiţii normale, respectiv la 20oC şi 1 atm,

raportul 830p

=ρ

ρ.

Dacă se consideră cazul simplificat, în care forţa de atracţie asupra particulei este reprezentată de termenul Stokes, pD dF ⋅µ⋅π−= 3 , atunci:


mguddt

dump +⋅⋅µ⋅π−=

⋅3

(4. 22)

A cărei soluţie cu condiţiile iniţiale 0=u la 0=t este:

⋅ρ

⋅µ⋅=

218

exp1

pd

p

t-u

(4. 23)

Pentru 310≅γ , diferenţa dintre valorile date de soluţia aproximativă (4.23) şi

soluţia exactă (4.21) este foarte mică, pentru tsu.u ⋅= 90 , dar creşte pe măsură ce

u se apropie de tsu . Calculul exact indică faptul că, este necesar mai mult timp

pentru a egala tsu , decât în cazul simplificat, în care s-a întâmplat efectul integral şi al masei suplimentare.

În cazul în care o particulă intră cu viteza 0u , într-un fluid în repaus, distanţa parcursă până la oprire rezultă din integrarea ecuaţiei,

ufdt

dum ⋅−=⋅

(4. 24)

cu condiţiile iniţiale, 0uu = , 0xx = la 0=t ,

−⋅τ⋅=⇒== τ

−

τ

− tt

euxeudt

dxu 100

(4. 25)

în care µ

ρ=τ18

2p

p

d este constanta de timp a mişcării.

Distanţa, S, parcursă de particulă pănă la oprire, atunci când ∞→τt , este:

µ

⋅⋅ρ=

180

2ud

Spp

(4. 26)

în care se evidenţiază aportul numărului Stokes.

4.4. Similitudinea în cazul particulelor Stokesiene

Când un aerosol trece peste un obiect, în drumul său, viteza gazului scade pe măsură ce se apropie de suprafaţă. Componentele tangenţială şi normală a vitezei gazului dispar la suprafaţa unui corp solid fixat. Datorită forţei de inerţie, particulele nu pot urmări mişcarea gazului. Dacă ajung la o distanţă egală cu raza unei particule de suprafaţă, ele se pot aşeza pe această suprafaţă, funcţie de raportul


dintre forţele de atracţie şi respingere. O versiune ideală a acestei situaţii este redată în figura 4.2. La distanţe mari de colector, viteza gazului este uniformă, iar viteza particulelor este egală cu cea a gazului. Particula nu poate urmări linia de curgere a fluidului, datorită inerţiei. Forţa de atragere de pe particulă este calculată presupunând că este poziţionată într-o curgere uniformă, cu viteza egală cu cea a fluidului.

Fig. 4.2. Impactul unei particule sferice cu un cilindru plasat normal în calea curgerii.

Când particulele sunt mult mai mici decât elementul colector şi într-o concentraţie scăzută suficient, câmpurile de curgere pentru particulă şi colector pot fi separate. Pentru câmpul de curgere al gazului în jurul colectorului, distribuţia vitezelor este determinată de numărul Reynolds, bazat pe diametrul colectorului, independent de prezenţa particulelor. Particula se presupune a fi localizată în curgere cu o viteză la infinit (viteza la distanţă mare de colector), egală cu viteza locală, pentru curgerea nedisturbată a fluidului în jurul colectorului, iar forţa de atragere a particulei este determinată de relaţiile vitezei locale dintre particulă şi gaz.

Când curgerea particulei se face la numere Reynolds mici, forţa de frecare Stokes echilibrează practic forţa de atracţie. Pentru direcţia x , avem,

( )fuufdt

dum −⋅−=⋅

(4. 27)

iar pentru vectorul viteză, ur

:

( )ff

dt

dm uu

u rrr

−⋅−=⋅

(4. 28)

unde, ur

este viteza particulei, fur

este viteza locală a fluidului, iar f este coeficientul

de frecare Stokes.


Particulele ce se încadrează în această ecuaţie a mişcării se numesc particule Stokesiene. Ecuaţia de mai sus este asemănătoare cu cea Navier-Stokes, dacă se neglijează termenii acceleraţiei ce conţin densitatea gazului.

În formă adimensională, ecuaţia de mişcare a particulei poate fi scrisă astfel:

( )11Stk fd

duu

u1rr

r

−−=θ

⋅

(4. 29)

unde 1urşi 1fu

r sunt vitezele adimensionale ale particulei şi respectiv gazului, ţinând

cont de viteza, U, la distanţe mari de suprafaţă, iar L

Ut ⋅=θ , în care L este lungimea

caracteristică a mişcării. Grupul adimensional, α⋅µ⋅

⋅⋅ρ=

18Stk

Ud pp , este numărul Stokes

care a fost discutat anterior. Pentru ca două sisteme în care au loc interacţiuni particulă–fluid să fie

similare, este necesar ca traiectoria, geometria şi hidrodinamica particulei să fie similare. Similaritatea hidrodinamică este obţinută stabilind numărul Reynolds pentru curgerea în jurul colectorului. Similaritatea traiectoriilor depinde de numărul Stokes. Totodată, similaritatea traiectoriilor implică, ca distanţa dintre particulă şi suprafaţă să fie similară, ceea ce înseamnă că trebuie menţinut constant parametrul de intercepţie LdR p= .

Pentru particule Stokesiene, două regimuri de impact sunt similare, atunci când numerele Stokes, cel de intercepţie şi Reynolds, sunt aceeleaşi. Eficienţa impactului, rη , ca şi în cazul difuziei, este definită ca partea de particule din volumul de gaz rămas, raportat la numărul de particule iniţiale. Particulele sunt colectate de elementul colector aflat pe direcţia curgerii. Dacă toate particulele se aşează pe colector, se obţine:

( )ReStk ,R,fR =η

(4. 30)

În apropierea suprafeţei, interacţiunea dintre particulă şi aceasta nu mai poate fi descrisă doar de legea Stokes, fiind necesară luarea în considerare şi a forţelor van der Waals.

4.5. Impactul particulelor Stokesiene asupra cilindrilor

şi sferelor

Fluidul ce curge pe lângă cilindrii simpli, este modelul elementar pentru filtrul sac şi totodată este modelul cu geometria cea mai apropiată de depunerea particulelor pe conducte, racorduri şi alte astfel de elemente, ale unui sistem de filtrare sau de transport a fluidelor, conţinând impurităţi sub formă de particule. În funcţie de debitul de fluid care curge prin secţiunea în care se găseşte o suprafată


de interacţiune, sub formă de cilindru sau sferă, se modifică numărul Reynolds şi, prin aceasta, eficienţa de depunere şi deci reţinere a filtrului.

Se consideră cazul particulelor mici, care urmează legea Stokes în mecanismul ei, cu respectarea vitezei locale a gazului în lungul traiectoriei.

Pentru Re > 100, distribuţia vitezei în afara stratului limită de separaţie nu se poate estima prin teoria fluidelor nevâscoase. În acest caz, se consideră că distribuţia vitezei are un maxim în partea terminală frontală a cilindrului, care controlează eficienţa impactului. Componentele vitezei în direcţia de curgere principală a fluidului, x şi pe direcţia normală de curgere, y, sunt:

221

21

21

21

1 )(1

yx

xyu f

+

−+=

221

21

111

2

)yx(

yxv f

+

⋅−=

(4. 31)

unde axx =1 şi ayy =1 , iar x şi y sunt măsurate de la axa cilindrului. Calculul numeric al impactului Stokesian al particulelor se bazează pe

expresia vitezei de distribuiţie, din relaţiile (4.31). Calculul impactului particulelor cu un cilindru se bazează pe ipoteza că, viteza particulelor la o distanţă mare de cilindru este egală cu viteza aerului. O formă liniarizată a acestor ecuaţii aproximeză foarte bine soluţia reală, pentru o regiune cuprinsă între 11 −=x şi

51 −=y . Pentru regiunea cuprinsă între 11 −=x şi suprafaţa cilindrului, se poate obţine o bună soluţie numerică.

O problemă asemănătoare a impactului particulelor asupra sferelor a fost studiată pentru aplicarea acesteia la reţinerea particulelor din gazele poluate. Înainte de a compara calculul numeric cu datele experimentale, este de reţinut limitarea teoretică a valorilor limită ale numărului Stokes, pentru impactul cu cilindrii şi sfere.

4.5.1. Numărul Stokes critic pentru fluide nevâscoase

Analizând compoziţia particulelor mici în regiunea punctului de stagnare, ele pot fi prezentate asemeni unui lichid nevâscos, pentru care teoria prezice că, impactul nu are loc până când nu este atins un anumit număr Stokes. Pentru un lichid nevâscos, primul termen al distribuţiei vitezei în lungul stratului limită de separaţie, în planul de simetrie care atinge punctul de stagnare, este:

( )11 +⋅⋅−= xUbu f

(4. 32)

unde constanta dimensională b, depinde de forma şi dimensiunile coordonatelor, iar coordonata adimensională axx =1 este negativă (fig. 4.2).

Pentru o particulă Stokes, ecuaţia momentului în lungul liniei de curent


stagnante preia forma :

0Stk 11

21

2

=′⋅+θ

′+

θ

′⋅ xb

d

xd

d

xd

(4. 33)

unde 111 +=′ xx şi a/Ut ⋅=θ . Soluţia acestei ecuaţii este :

θ⋅λθ⋅λ ⋅+⋅=′ 22

111 eAeAx

(4. 34)

unde 1A şi 2A sunt constante de integrare, iar 1λ şi 2λ sunt rădăcini ale ecuaţiei caracteristice,

0Stk 2 =+λ+λ⋅ b

(4. 35)

şi sunt date de :

( )

⋅⋅−±

⋅−=λ 2

1

21 Stk411Stk2

1b,

(4. 36)

Din ecuaţia (4.34), viteza poate fi determinată ca o funcţie de 1x , în regiunea alăturată punctului de stagnare, unde aproximarea liniară (4.32) este continută.

Pentru numărul Stokes b

crit⋅

=>4

1StkStk , rădăcinile sunt complexe şi

conjugate, iar diagrama u–v are un focar sau un punct spirală în punctul de stagnare, cum se observă din figura 4.3.a). Viteza particulei la suprafaţă (x = 0) este pozitivă şi eficienţa impactului este nesperată. Prima intersecţie a spiralei cu axa u corespunde vitezei finite în punctul de stagnare. Pentru restul spiralei nu există o semnificaţie fizică, deoarece particula nu poate trece de suprafaţa colectorului.

Pentru critStkStk < , rădăcinile sunt reale şi ambele sunt negative. Diagrama u–v are un punct nodal, care corespunde vitezei zero a particulei, până la următorul punct de stagnare şi eficienţă zero a impactului, ca în figura 4.3.b). Viteza particulei variază de-a lungul suprafeţei şi eficienţa de impact este zero.

Fig. 4.3. Impactul particulei cu cilindru la diverse numere Stokes.


Pentru critStkStk = , rezultatele sunt egale şi sistemul precedent are un nod, care este singular.

Astfel, b

crit⋅

=4

1Stk reprezintă limita minimă a eficienţei impactului dintre

particulă şi cilindru, respectiv a reţinerii particulelor. Pentru fluidul nevâscos din jurul cilindrilor, b = 2 şi 81Stk =crit , iar pentru o sferă, b = 3 şi 121Stk =crit , datorită radiaţiei colectorului.

Aceste analize arată o anumită dependenţă a eficienţei impactului de numărul Stokes. Modul de impact descris pentru particulele Stokesiene este valabil şi pentru particule ne-Stokesiene, deoarece punctul eficienţei care se apropie de zero, corespunde unei eficienţe zero, relative dintre gaz şi particulă. Aşadar “Stokesul redus” poate fi utilizat pentru a aproxima mişcarea în apropierea punctului de stagnare. Aceasta este una dintre problemele de impact pentru care este posibilă o soluţie analitică.

Pentru majoritate fluidelor reale (vâscoase), în regiunea apropiată punctului

de stagnare, viteza este ( )21 1+≈ xu f , deoarece condiţiile de nealunecare spre

frontieră se neglijează. Din acest motiv, nu se poate aplica relaţia (4.32), ecuaţia particulei nu poate fi pusă în forma (4.33) şi analiza prezentată anterior nu mai este

validă. Calculele numerice pentru regimul de curgere vâscos ( )21 1+≈ xu f , indică

creşterea eficienţei spre o valoare finită pentru toate valorile 0Stk → , [10]. Variaţia randamentului depunerii particulelor, ca urmare a impacului cu un

singur cilindru, este redată în figura 4.4.

Fig.4.4. Variaţia randamentului cu numărul Stokes pentru cilindru.


Curba trasată este pe baza calculelor teoretice cu relaţiile anterioare, [11,12], pentru particule într-o curgere nevâscoasă şi Re aparţinând intervalului 100–300.

Punctele de pe diagramă sunt rezultate din studii experimentale făcute pe baza impactului particulelor de acid sulfuric, cu diametrul m 4130 µ<< .d. p , pe

un cilindru de 77µm în diametru, într-o curgere carcterizată de numărul Re în intervalul 62-500, [12,13]. Se observă o bună corelaţie între valorile experimentale şi cele teoretice pentru numărul ( )3 0.8,Stk ∈ . Datele experimentale nu mai

urmăresc previziunile teoretice pentru 5Stk ≥ , iar pentru valorile critice ale numărului Stokes, Stk=1/8,, unde eficienţa tinde spre zero, nu au fost realizate experimente. Rezultatele obţinute nu sunt aplicabile direct filtrelor sac de înaltă eficienţă, care sunt folosite, de obicei, la o valoare mult mai redusă a numerelor Reynolds.

Variaţia randamentului depunerii picăturilor mici, m 1590 µ<< pd. , pe sfere

de oţel de câţiva mm în diametru, la viteza aerului în intervalul 7–28 m/s, sunt redate în figura 4.5. Curba este trasată pe baza calculelor teoretice, considerând curgerea nevâscoasă, cu 500Re ≈ .

Fig.4.5. Variaţia randamentului cu numărul Stokes pentru sferă.

S-au considerat sfere cu Ds = 3.2, 6.6 şi 9 mm. Pentru Stk > 0.5, există o bună legătură între datele teoretice şi experimentale. Pentru experiment, numărul


Reynolds a fost în intervalul (1400-1700), raportat la diametrul sferei. Pentru numere Stk < 0.2, datele teoretice şi exerimentale au o bună corelaţie, pâna la numărul Stokes critic, 121StkStk crit /=< , [9,14].

4.6. Impactul particulelor ne-Stokesiene

Pentru viteze mari ale curgerii în jurul unui colector, particulele cu inerţie mare au tendinţa de a-şi conserva viteza, ca şi cum ar aproxima suprafaţa, iar numărul Reynolds poate fi prea mare, raportat la legea Stokes, pentru a putea fi aproximat. Aproximarea preia rezulatele precedente, care trebuie să modifice calculul pentru a analiza aceste aspecte la interacţiunea dintre particule şi suprafaţa cilindrică. Problema impactului particulelor ne-Stokesiene are o importanţă deosebită pentru elicele avioanelor şi elicopterelor, care zboară încet la altitudini mici, asemeni turboreactoarelor.

Determinarea unei ecuaţii care să aprecieze impactul particulelor ne-Stokesiene cu un cilindru, se bazează pe o particulă sferică având, în momentul impactului, viteza uniformă, U, egală cu cea a gazului, [11]. Forţa de impact este,

22

8UC

dF D

p⋅⋅

⋅π⋅ρ=

(4. 37)

în care DC defineşte coeficientul de frecare raportat la cilindru, care este o funcţie de numărul Reynolds, bazată pe diametrul particulelor şi viteza gazului. Pentru curgerea la

1Re << , se aplică legea Stokes şi CD = 24/Re. Rescriind (4.37) pentru a include forma Stokes, se obţine:

( )UdReC

F pD ⋅⋅µ⋅π

⋅= 3

24 (4. 38)

În general, este necesar să se utilizeze rezultate experimentale şi corelaţii semiempirice, pentru a calcula coeficientul de frecare de cilindru, în funcţie de numărul Reynolds:

⋅+= 3

2

Re1580124

.R

Ce

D

(4. 39)

valabilă pentru Re < 1000. Pentru a descrie echilibrul curgerii unui aerosol în jurul unui colector, precum

un cilindru sau o sferă, se scrie ecuaţia de mişcare pentru o particulă, considerând viteza de curgere a fluidului uniformă, fuuU −= .

Vectorial avem,


( )fpD d

C

dt

dm uu

u−⋅⋅µ⋅π⋅⋅

⋅−= 3

24

Re

(4. 40)

unde CD este o funcţie a unui număr Reynolds local al particulei,

11ReRe fp

fp

v

duu

uu−⋅=

−⋅=

(4. 41)

şi:

( ) ( ) ( )[ ]2

1222

ffff wwvvuu −+−+−=− uu

(4. 42)

în care u, v, w sunt componentele vectorului viteză. Nimărul Reynolds relativ la particulă este definit de :

ν

⋅=

Ud p

pRe

(4. 43)

iar vitezele sunt:

,U

uu =1

U

f

f

uu =1

(4. 44)

unde U este viteza gazului, la o distanţă mare de colector. Asemeni cazului particulelor Stokesiene, contribuţia accelerării particulelor

de către cilindru a fost neglijată. Aplicarea ecuaţiei (4.40) necesită o validare experimentală riguroasă, deoarece nu este foarte bine argumentată teoretic.

Forma adimensională a ecuaţiei (4.40) poate fi scrisă astfel:

( )11111

Stk

1

24

Reff

pDC

d

duuuu

u−⋅−⋅⋅

⋅−=

θ (4. 45)

unde:a

Ut ⋅=θ şi

a

Ud pp

⋅µ⋅

⋅⋅ρ=

18Stk

2

. Viteza gazului, 1fu este o funcţie de numărul

Reynolds, calculat pe baza diametrului colectorului. Coeficientul de frecare al

cilindrului este o funcţie de 11Re fp uu −⋅ . Din acest motiv, traiectoriile particulelor

ne-Stokesiene sunt determinate de numerele Re, Stk şi Rep, unde apare, în plus, Rep, din teorema particulelor Stokesiene.

Eficienţa impactului pentru curgeri nevâscoase, în jurul unor elemente singure, între diverse variate aranjamente, se poate determina rezolvând numeric ecuaţia (4.45). Rezultatele numerice ale calculelor sunt arătate grafic în figura 4.6, [11]. Aplicaţiile acestui tip de impact sunt, de exemplu, pentru gheaţa de pe aripile avioanelor.


Deoarece dimensiunea picăturii nevâscoase şi ne-Stokesiene care produce impact cu depunere pe suprafeţe nu este cunoscută, a fost introdusă o nouă mărime

adimensională a grupului: p

p auP

ρ⋅µ

⋅⋅ρ⋅==

18

Stk

Re2

, independentă de mărimea

picăturii. Acest nou grup este format prin combinarea celor două grupuri în funcţie de dependenţa eficacităţii depunerii, de gradul de curgere nevâscoasă. Pornind de la faptul că analiza dimensională este permisivă, din figura 4.6 se poate determina eficacitatea, funcţie de grupurile adimensionale Stk şi P. Dacă eficienţa colectării este cunoscută, atunci se poate determina din figură mărimea particulelor.

Fig. 4.6. Eficienţa colectării pentru cilindrii, într-un fluid nevâscos.

4.7. Depozitarea particulelor la curgere circulară într-un

separator ciclon

Depozitarea particulelor ce au o mişcare de rotaţie (circulară) se utilizează într-un echipament denumit separator ciclon, prezentat în figura 4.7. Acesta este utilizat frecvent pentru înlăturarea particulelor mai mari de câţiva micrometrii din gazele impurificate cu particule. Gazul “prăfuit” este introdus în colectorul de praf printr-o admisie tangenţială, prelungindu-se în jos, într-o mişcare circulară spiralată până la secţiunea conică, de unde apoi se mişcă în sus, spre secţiunea de ieşire. Particulele mai grele cad pe la partea inferioară.

Gazul are o mişcare de rotaţie în spirală, coborând de-a lungul peretelui


exterior, după care începe să crească, continuându-şi rotirea până la ieşirea din tub. Particulele se deplasează către pereţii exteriori datorită forţelor centrifugale. Ele cad într-o mişcare lentă spre stratul pereţilor. Cicloanele nu sunt scumpe şi pot fi construite din tablă în ateliere locale. Cicloanele nu au părţi în mişcare şi cer o întreţinere redusă. Sunt folosite adesea pentru curăţarea preliminară a fracţiunilor aspre, înainte ca gazul să treacă prin elemente eficiente, ca de exemplu, precipitatorii electrostatici. O aplicaţie uzuală este aceea ce constă în înlăturarea deşeurilor rezultate din pulverizarea cărbunelui, folosit drept combustibil în termoenergetică.

Fig.4.7. Schema unui colector de praf.

O analiză aproximativă asupra mecanismului particulelor şi a performanţei ciclonului, poate fi realizată utilizând rezultanta forţelor care acţionează asupra particulelor Stokesiene în direcţia radială,

( )rfrpr vvddt

dr

dt

rdmF −⋅⋅µ⋅π⋅−=

θ⋅−⋅= 3

2

2

2

(4. 46)

unde r şi θ sunt axele colectorului de praf, reprezentat în coordonate cilindrice.


Pentru particule mai mici, termenul acceleraţiei 2

2

dt

rdpoate fi neglijat, fiind

reţinut doar termenul secund din membrul stâng, care reprezintă forţa centrifugă. Neglijând componenta radială a vitezei gazului, rfv , rezultă:

2

3

θ⋅

⋅µ⋅π⋅

⋅==

dt

d

d

rm

dt

drv

p

r

(4. 47)

Traiectoria particulei este determinată prin rearanjarea termenilor din relaţia anterioară,

pd

vm

d

dr

⋅µ⋅π⋅

⋅=

θθ

3 (4. 48)

Pentru mişcarea în direcţia θ, se consideră că viteza gazului este egală cu cea a particulei, fvv θθ = . Dacă este cunoscută viteza de distribuţie a gazului, fvθ , prin

rezolvarea ecuaţiei (4.48), este posibilă găsirea unei soluţii pentru traiectoriile particulei.

Presupunem că acest gaz ar face un număr bine definit de întoarceri în spaţiul inelar, înainte de a părăsi colectorul. Fără a specifica natura fluidului de curgere, numărul de cercuri complete necesar a fi executate pentru înlăturarea tuturor particulelor aflate în colectorul de praf, de mărime pd , prezentat schematic în

figura 4.7, se obţine integrând (4.48):

∫θ⋅

⋅µ⋅=

π⋅

θ=

b

a f

p

tv

dr

m

dN

2

3

2 (4. 49)

Diametrul particulei este neglijat în comparţie cu dimensiunile canalului. Acest rezultat este independent de regimul de curgere, care poate fi laminar sau

turbulent. Totodată, se poate obţine diametrul celor mai mici particule, tN , care pot fi

înlăturate din gaz:

2

1

2

1

min 9

⋅

⋅ρ⋅π

µ⋅= ∫

θ

b

a ftp

pv

dr

Nd

(4. 50)

Particulele mici sunt înlăturate într-o prelungire direct proporţională cu distanţa lor de la perete la intrare. Analiza aerodinamică exactă este prea complexă pentru determinarea vitezei particulei şi, din acest motiv, este preferată o expresie semiempirică aproximativă pentru exprimarea lui fvθ , [15],


2

1

min

⋅ρ

−⋅µ≈

⋅ UN

)ab(d

tp

p

(4. 51)

unde U este viteza medie a gazului în tubul inelar. Numărul de rotaţii ale gazului, Nt, este folosit în general pentru determinările

empirice. Pentru o viteză dată a gazului la intrare eficienţa de colectare performanţele de reţinere sunt direct proporţionale cu diametrul colectorului.

Pentru diametre reduse ale ciclonului este necesară, în vederea menţinerii eficienţei, reducerea componentei radiale a vitezei gazului.

4.8. Mişcarea turbionară a particulelor şi coeficienţii de

difuzie

Difuzia turbulentă a particulelor mici din gaze este rezultatul mecanismului de turbion (mişcare turbionară).

Coeficientul particulei de difuzie turbionară este, în general, diferit de coeficientul gazului transportat.

O expresie pentru particulele difuziei turbulente poate fi dată pentru particula Stokesiană, neglijându-se mecanismul brownian. Se presupune că turbulenţa este omogenă, iar aici nu există o valore medie pentru viteza gazului. Proprietăţile statistice ale sistemului nu suferă modificări în timp. Esenţial este că, regimul este staţionar, de o turbulenţă uniformă, într-o zonă largă. Aici găsim o interpretare aproximativă a centrului tuburilor de curgere turbulentă a instalaţiei, dacă există viteza medie a curgerii.

Analiza este asemănătoare cu cea folosită anterior (capitolul 2), în care s-a determinat relaţia Stokes-Einstein pentru coeficientul de difuzie. Se consideră situaţia unidimensională. Particulele iniţiale sunt prezente într-o grosime diferenţiată x = 0, desprinzându-se din fluid ca rezultat al turbulenţei.

Ecuaţia particulei pentru „particula Stokesiană”, este:

( )fuufdt

dum −⋅−=⋅

(4. 52)

unde fu este viteza locală a gazului turbulent.

Distanţa parcursă de o particulă în timpul t este obţinută prin integrare:

∫ ′′=β

−+

t

f td)t(uuu

x

0

0

(4. 53)

unde:m

f=β .


Multiplicând în membrul stâng cu udt

du+⋅

β

1 şi în membrul drept cu fu , se

obţine:

( ) ( ) ( )∫ ′′⋅=β

⋅−+

⋅β

⋅−+⋅+

⋅β

⋅t

ff tdtutuuuu

dt

duuuux

dt

dux

0

02

20

(4. 54)

Se rearanjează relaţia de mai sus astfel ca,

2u

dt

uxd

dt

dux−

⋅=

⋅

(4. 55)

Coeficientul de difuzie turbionară al particulei este dat de:

02

1 2

=⋅=⋅=εdt

xduxp

(4. 56)

şi nu mai variază cu timpul, după un interval suficient de lung de la startul procesului de difuzie.

De aici:

0 ∞→=⋅

tdt

uxd

(4. 57)

Deoarece proprietăţile statice ale sistemului nu se schimbă în timp:

02

1 2

==⋅

dt

ud

dt

duu

(4. 58)

După o lungă perioadă de timp, nu mai există nici o corelaţie de timp între particula accelerată şi viteza iniţială a acesteia :

00 ∞→=⋅

tdt

duu

(4. 59)

sau între vitezele ei finale şi cele iniţiale:

00 ∞→=⋅ tuu

(4. 60)

Calculând media pentru particule se obţine:

∫∞→

′′⋅=ε

t

fp td)t(Ru

0

2

(4. 61)

Coeficientul de corelare, R, dintre viteza gazului în vecinătatea particulei la


două perioade diferite, t1, t2, şi viteza medie este definită de relaţia:

)tt(Ru)t(u)t(u fff 122

21 −⋅=⋅

(4. 62)

unde : 2

fu are semnificaţia mediei vitezei gazului , în funcţie de traiectoria particulei.

Valoarea coeficientului de corelare este aproapiată ca valoare când t2 → t1 şi devine foarte mică în intervalul crescător (t2 – t1). Integrala din (4.61) are dimensiunea unui timp şi aleasă astfel încât să aproximeze limita rapid.

Coeficientul de difuzie turbulentă este proporţional cu viteza medie a

fluidului, multiplicată de scala timpului ∫∞→

′′t

td)t(R

0

,expresia fiind asemănătoare cu

expresia dată de Taylor, [16]. Coeficientul de corelare este aplicat vitezei gazelor. Particulele grele se mişcă greoi şi nu pot urma vârtejul fluidului, care se mişcă anormal în jurul lor. Astfel, scala timpului poate fi “angajată” în relaţia (4.61) conţinând raze dintre scala Lagrange, pentru particulele uşoare şi scala lui Euler pentru particulele greoaie, [17,18].

Una dintre mărimi, care dă o anume informaţie dacă o particulă este uşoară

sau grea este raportul dintre caracteristica de timp µ⋅

⋅ρ

18

2pp d către cea mai mică scală a

timpului, ce caracterizează procesul suferit de fluid 2

ε

υ

d

, unde υ este vâscozitatea

cinematică a gazului şi dε , reprezintă energia turbulentă de disipare, în 3

2

s

m . Pentru

o particulă greoaie, raportul va fi mult mai mare decât unitatea, [19].

4.9. Decantarea turbionară

Când un gaz turbulent duce particule cu un diametru aerodinamic mai mare decât 1 µm, iar acesta curge paralel cu o suprafaţă, depozitarea particulelor este determinată de fluctuaţia vitezei componentelor normale la suprafaţă.

Particulele nu pot urma mecanismul turbionar şi, de aceea, sunt proiecatate către pereţi, datorită repausului relativ al fluidului din vecinătatea suprafeţei. Rata de depozitare depinde de rata relativă de transport şi de reantrenare, [20].

Pentru corelarea datelor experimentale a fost introdus un coeficient de

transfer al particulei, ∞

=n

Jk , [20], unde J este fluxul de particule într-un punct

de pe peretele conductei şi ∞n este media concentraţiei particulelor din fluid măsurată în acest punct al secţiunii. Coeficientul de transfer are dimensiunea vitezei şi este câteodată numit viteză de depozitare.


În figura 4.8 se prezintǎ modul de depunere a unor particule sferice de fier cu diametrul de 0.8 µm pe o conductǎ cu diametrul de 0.58 cm, [20]. Numerele Reynolds arată tipul de curgere în conducte. În apropierea intrării în tub, limita de separaţie a lichidului devine turbulentă, iar depozitarea creşte până când se atinge valoarea corespunzatoare turbulenţei maxime a fluidului în conductă.

Fig. 4.8. Depunerea unor particule la curgerea prin conductǎ.

Numărul Reynolds se bazează pe diametrul conductei, tranziţia de la laminar la turbulent fǎcându-se la Re ≈ 2100.

Transformarea, în general, derivă dintr-un număr Reynolds, bazat pe distanţa

de la intrare, Rex, care este încadrat în intervalul ( )65 10,10Re∈ , funcţie de diametrul de intrare şi rugozitatea peretelui. Aşa cum se arată în figura 4.8, rata de depunere tinde să urmeze evoluţia limitei turbulenţei. Rata de depunere se stabilizeazǎ în regimul de turbulenţǎ maximǎ.

Pentru regiunea turbulentǎ, viteza de depunere depinde de un numǎr adimensional, care este funcţie de viteza de frecare, *u , vâscozitatea cinematicǎ,

υ , şi timpul de relaxare al particulei, fm :

),( *,f

mufk υ=

(4. 63)

k şi *u au dimensiunile în funcţie de viteză, iar υ şi fm sunt dimensionate în (lungime)2/timp şi respectiv timp.

Efectele care apar datoritǎ diametrului finit al particulelor, precum ale unei


interceptări şi erorile sunt neglijate, ca o primă aproximaţie. Se pot construi douǎ noi grupuri adimensionale cu cele patru mǎrimi,

⋅

=

⋅

⋅==+

*

*2*

*

u

f

um

ff

umf

u

kk

υυ (4. 64)

Grupurile dimensionale care apar în membrul drept, sunt distanţa pânǎ la

oprirea particulei, f

um *⋅, şi lungimea caracteristica a turbulenţei,

*u

υ. Pentru

dimensionarea „distanţei opririi” se utilizeazǎ grupul υ

τ⋅

⋅=≡ ++

f

umS

2* , care se

poate interpreta ca o relaţie de dimensionare a timpului τ+, unde m/f este o

caracteristică pentru mecanismul particulei şi 2

u*

ν caracterizează timpul pentru o

fluctuaţie turbulentă. De aici rezultă: S+= τ

+. Substratul vâscos este o regiune din apropierea peretelui neted unde energia

cinetică transportată este dominată de forţele de vâscozitate, care sunt comparate, la scară largă, cu difuzia turbionară a energiei cinetice.

Urmând practicile normale şi vorbind despre grosimea substratului, acesta se

extinde la 5=+y ;particulele având 5<+

S , nu vor atinge peretele dacă substratul este stagnant, [20, 21].

Sunt două modalitǎţi prin care particulele dintr-un regim turbulent pot

perturba substratul vâscos şi se depoziteazǎ, chiar la 5<= ++ τS , respectiv „particulele fierbinţi”, cu viteze mai mari decât vitezele de fluctuaţie şi atunci când viteza redusǎ de fluctuaţie a gazului dă naştere la particule „suficient de închise” pantru ca inerţia sǎ nu le mai desprindǎ de perete, [22]. Prin urmare, concentaţia particulelor în apropierea peretelui este mai mare decât în miezul turbulent.

Pentru depozitarea particulelor se considerǎ urmatoarele corelaţii: • depunerile turbionare cu S+ = τ+< 10 au k+

~ S+ ;

• pentru monocomponent se considerǎ k+ ~ 6 x 10-4 S+2 ; • pentru depunerea unor componenţi polidespersaţi se considerǎ k+

~ S+4.

4.10. Aerosoli arborescenţi

Aerosolii arborescenţi sunt strâns legaţi de particulele mici, la presiuni mici ale gazului. Ei sunt formaţi când un aerosol se destinde de la o presiune înaltă, aflată într-un rezervor, printr-un ajutaj, într-o cameră cu o presiune redusă.


Caracteristicile aerosolilor arborescenţi depind de mărimea particulelor, configuraţia ajutajelor (convergente sau capilare), [23], cât şi de raportul presiunilor.

Se pot forma aerosoli arborescenţi de diverse forme ca cele din figura 4.9. Existǎ trei cazuri diferite min00 pp << , min00 pp ≈ şi min00 pp >> , cǎrora le corespunde o dispersie de aerosoli arborescenţi diferitǎ.

În cazul în care min00 pp << , particulele urmăresc mecanismul lor iniţial şi

traseul lor încrucişat, determinând un arbore divergent, în cazul min00 pp ≈ se produce un arbore centralizat (focalizat), particulele având o mǎrime intermediarǎ, iar in cazul min00 pp >> se produce un arbore divergent, particulele mici urmǎrind traseul gazului de antrenare.

Fig 4.9. Diagrama schematică a traiectoriilor particulelor.

Datorită distanţei reduse dintre particule, mai mici decât raza acestora, comportamentul acestor aerosoli diferǎ de particulele singure.

4.11. Tranziţia de la difuzie la razele inerţiale

La o viteză fixă a gazului, în absenţa forţelor exterioare câmpurilor, difuzia browniană controlează depozitarea particulelor mici.

Fibrele singure colectează eficient ceea ce trece cu un debit mic cu mărimi ale particulelor în creştere, când intercepţia devine importantă.

Pentru particulele mari efectele inerţiale sunt dominante. Pentru particulele mai mari de un micrometru, eficienţa creşte o dată cu scăderea eficienţei, datorită intercepţiei şi impactului. Adesea, rezultatul este o „fereastră” pe curba eficienţei, pentru particulele situate în intervalul 0.1 µm şi 1.0 µm. Limita minimă a fost observată în studiile experimentale ale performanţelor filtrelor. Un regim similar a fost observat în studiile depozitelor aerosolilor, la o bifurcaţie sub condiţiile simulate, către curgerea ştrangulatǎ.


Pentru curgerea turbulentă, un minim însoţeşte tranziţia de la difuzie la regimurile de depunere turbulentă.

Particulele cel mai greu de colectat sunt acele a căror mărime corespunde tranziţiilor de la depunerea prin difuzie la depunerea inerţialǎ, de obicei cuprinse între 0.1 µm şi 1 µm.

Tranziţia poate fi mai puternică atunci când este influenţată direct de intercepţie (diametrul finit al particulelor) şi depinde de dimensiunile sistemului.

Calculul eficienţei colectării în regiunile de tranziţie, când sunt importante atât inerţia cât şi difuzia, este foarte dificil de realizat.

În practica uzualǎ calculele se efectueazǎ separat, pentru fiecare efect în parte şi după aceea, sunt aduse pentru a compune o curbă de eficienţă asemănătoare unei funcţii raportate la mărimea particulei.

Prin utilizarea simulǎrilor numerice şi testǎrilor experimentale au fost efectuate analize mai complexe în zona de tranziţie. O importanţǎ deosebitǎ o are simularea mişcǎrii browniene, [24,25], care apare în toate situaţiile de depunere, într-o formǎ mai mare sau mai redusǎ.

55 .. II NN FF LL UU EE NN ŢŢ AA PP AA RR TT II CC UU LL EE LL OO RR

AA SS UU PP RR AA DD II SS PP EE RR SS II EE II

LL UU MM II NN II II

Dispersia luminii de către aerosoli joacă un rol major în nivelul vizibilitǎţii,

al temperaturii la nivelul solului şi în proiectarea sistemelor de măsurare a aerosolilor. Fenomenul de dispersie constă în variaţia indicelui de refracţie cu frecvenţă, deci cu lungmea de undă. Pe baza teoriei electromagnetice a lui Maxwell, indicele de refracţie este raportul dintre viteza luminii în vid şi în mediu.

Problema dispersiei luminii, de către norii formaţi din particule mici, poate fi formulată astfel: dispersia exercitată de o particulă depinde de mărimea, indicele de refracţie, forma acesteia şi de lungimea de undă a razei incidente, [1-5]. Totalul de lumină dispersată de o rază de lumină este obţinut prin însumarea dispersiei exercitate de particule de diferite mărimi şi indici de refracţie. În practică, sursele de lumină şi distanţa acestora sunt distribuite în mod complex în spaţiu, iar intensitatea radiaţiei în orice punct este determinată de modul de distribuire a surselor, a distanţei faţǎ de aerosoli, distribuţia spaţială a aerosolior, de mărimea distribuţiei şi compoziţia radiaţiei. În studiile de laborator este posibil să se controleze aceste variabile, iar pentru anumite configuraţii relativ simple, se poate obţine o bună legătură între teorie şi experiment. Aplicaţiile pentru gazele din procesele industriale şi pentru transferul radiaţiei prin atmosferă sunt mult mai complicate. Câteodată, ele pot fi analizate, utilizând ecuaţia transferului prin radiaţie.

5.1. Dispersia luminii de către o singură particulă

Când particulele de aerosol interacţionează cu lumina, pot apărea două tipuri diferite de procese. Într-un proces, energia primită poate fi re-radiată de particulă în aceeaşi lungime de undă. Re-radiaţia poate avea loc în toate direcţiile, de obicei cu diferite intensităţi. Acest proces se numeşte dispersie. Într-un alt proces, energia radiantă primită poate fi transformată în alte forme de energie, precum: căldură şi energie rezultată din reacţii chimice. Acest proces se numeşte absorbţie. În spectrul vizibil, atenuarea luminii prin absorbţie predomină în cazul fumului negru, în timp ce dispersia se aplică pentru picăturile de apă.

Este convenabil să se analizeze procesul de atenuare a luminii, considerând o singură particulă, de mărime şi formă oarecare, iradiată de o undă electromagnetică plană, ca în figura 5.1.

Direcţia dispersiei pentru orice rază r este caracterizată de unghiul de


dispersie, θ , măsurat relativ cu direcţia razei incidente şi unghiul φ . Efectul produs de o particulă este de a diminua amplitudinea undei plane. La o distanţă mare, comparativ cu diametrul particulei, şi cu lungimea de undă, energia dispersată apare ca o undă sferică centrată pe particulă şi având o fază diferită de cea a razei incidente.

Fig. 5.1. Direcţia dispersiei unei unde incidente.

Energia totală pierdută de undele plane este egală cu energia dispersată în unda sferică, plus energia de absorbţie. În multe aplicaţii, cea mai importantă caracteristică a undei dispersate este intensitatea proprie, I, exprimată în W/sr (watt pe steradian). Steradianul (sr) este unghiul solid cu vârful în centrul unei sfere, care delimitează pe suprafaţa sferei o arie egală cu aria unui pătrat a cărui latură este egală cu raza sferei.

La distanţe mari de origine, energia care trece prin elementul de suprafaţă

sferică este φ⋅θ⋅θ⋅⋅ ddrI sin2 . Această energie curge radial şi depinde de θ şi φ , dar nu şi de r. Ea este proporţională cu intensitatea razei incidente I0 şi poate fi exprimată astfel:

( ) φ⋅θ⋅θ⋅λφθ

π

λ=φ⋅θ⋅θ⋅⋅ dd,,FIddrI sin

2sin

2

02

(5. 1)

sau,

Influenţa particulelor asupra dispersiei luminii 161

( )2

0

2

λ

⋅π

λφθ⋅=

r

,,FII

(5. 2)

Lungimea de undă a razei incidente, λ , este introdusă la numitor pentru ca funcţia dispersiei, F(θ ,φ , λ ),să devină adimensională. În general, F(θ ,φ , λ )

depinde de lungimea de undă a razei incidente şi de mărimea, forma şi proprietăţile optice ale particulelor, dar nu şi de r. Pentru particulele sferice nu există dependenţă faţă de φ . Valorile relative ale lui F pot fi trecute într-o diagramă

polară, funcţie de θ , pentru un plan în direcţia razei incidente. O curbă de acest fel se numeşte diagrama dispersiei pentru o particulă.

Funcţia dispersiei poate fi determinată din teoria pentru anumite cazuri speciale. Caracteristica de opacitate a unei particule depinde de variaţia funcţiei dispersiei cu poziţia unghiulară şi este utilizată în construirea unor detectori.

În particular, funcţia intensitate nu este suficientă pentru a caracteriza dispersia luminii. De asemenea, este nevoie de polarizarea şi faza luminii dispersate.

Pentru multe aplicaţii, incluzând dispersia atmosferică şi proiectarea instrumentelor optice, parametrii cei mai importanţi sunt funcţia intensităţii şi energia totală dispersată în toate direcţiile de particulă, care este egală cu energia razei incidente pe aria Csca:

( )∫ ∫∫ ∫π ππ π

φ⋅θ⋅θ⋅λφθ⋅

λ

π=φ⋅θ⋅θ⋅⋅⋅⋅=

2

0 0

2

0 02

2

0

sin2

1sin

1dd,,FddrI

ICsca

(5. 3)

Aceasta defineşte dispersia în secţiunea transversală Csca, care are dimensiunea ariei, dar, în general, nu este egală cu aria secţiunii transversale a particulei. Întradevăr, se obişnuieşte să se definească eficienţa dispersiei ca:

g

scasca

s

CQ =

(5. 4)

unde sg este secţiunea transversală geometrică. Din ecuaţiile (5.3) şi (5.4) obţinem:


( )

g

sca

s

dd,,F

Q

⋅

λ

π

φ⋅θ⋅θ⋅λφθ⋅

=∫ ∫π π

2

2

0 0

2

sin

(5. 5)

Eficienţa dispersiei reprezintă raportul dintre energia dispersată de particulă şi raza incidentă interceptată de secţiunea geometrică transversală a particulei (Qsca poate fi mai mare ca unitatea).

Similar, eficienţa absorbţiei este definită ca, raportul dintre raza incidentă absorbită şi unitatea ariei secţiunii transversale a particulei.

Energia totală îndepărtată din radiaţia incidentă, energia dispărută, este suma dintre energia dispersată şi energia absorbită, [2,5]:

absscaext QQQ += (5. 6)

În continuare, este discutată dependenţa eficienţei dispersiei de mărimea particulei, luând în considerare particulele foarte mici şi cele foarte mari.

5.2. Dispersia luminii de către particule mici comparativ

cu lungimea de undă

Lumina, o undă electromagnetică, este caracterizată de vectorii câmpului electric şi respectiv magnetic. Pentru simplificare, considerăm cazul unei unde plane, polarizată liniar, incidentă pe o particulă mică, sferică. Lungimea de undă a luminii în spectrul vizibil este de 0.5 µ m. Pentru particule mult mai mici decât lungimea de undă, câmpul electric local, produs de undă, este aproximativ uniform în orice moment. Acest câmp electric aplicat, induce un dipol în particulă. Deoarece câmpul electric oscilează, dipolul indus oscilează şi în acord cu teoria clasică, dipolul radiază în toate direcţiile, [2,6]. Acest tip de dispersie se numeşte dispersia Rayleigh.

Momentul dipolului, p , indus în particulă, este proporţional cu vectorul câmpului electric instantaneu, [8]:

Ep ⋅α= (5. 7)

Această expresie defineşte polarizabilitatea, α , care are dimensiunea unui volum şi este un scalar pentru o particulă sferică izotropă.

Din energia câmpului electric produs de dipolul oscilant, poate fi derivată o expresie pentru intensitatea radiaţiei dispersate:


( )02

242

2

cos1I

r

kI ⋅

⋅

α⋅⋅θ+=

(5. 8)

unde k = 2π / λ este numărul undei. Dispersia este simetrică faţă de direcţia razei incidente, cu maxime egale în direcţiile înainte şi înapoi şi cu minim la unghiuri drepte.

Deoarece intensitatea luminii dispersate variază invers proporţional cu lungimea de undă la puterea a patra, lumina albastră (care are lungime de undă scurtă), este dispersată preferenţial până la lumina roşie. Această dependenţă puternică face ca, cerul să aibă culoarea albastră (în absenţa particulelor de aerosol) şi trece spre roşu în momentul apusului, când este observată lumina roşie transmisă.

Într-o atmosferă poluată, dispersia moleculară este în general mică, comparativ cu dispersia aerosolilor. Principala contribuţie la dispersie apare într-un domeniu mai larg de mărimi de particule, în care teoria Rayleigh nu se aplică.

Pentru o particulă izotropă, sferică, se consideră că:

( )( ) ν⋅

+⋅π⋅

−⋅=α

24

132

2

m

m

(5. 9)

unde m este indicele de refracţie al particulei şi 63pd⋅π=ν este volumul

particulei. Acest rezultat este valabil indiferent de forma dispersiei, atâta timp cât particula este mult mai mică decât lungimea de undă a luminii.

Când are loc dispersia fără absorbţie, factorul de eficienţă este obţinut substituind (5.9) şi (5.8) în (5.5) şi integrând:

2

2

24

2

1

3

8

+

−⋅⋅=

m

mxQsca

(5. 10)

unde 6d⋅π=ν este parametrul optic adimensional al particulei. Dispersia şi absorbţia pot fi luate în calcul prin scrierea indicelui de refracţie

în domeniul complex:

'ninm ⋅−= (5. 11)

unde ε=+ 22'nn şi c'nn σ⋅λ=⋅ , unde ε este constanta dielectrică, σ este

conductivitatea, λ este lungimea de undă în vacuum şi c este viteza luminii. Termenul imaginar exprimă creşterea absorbţiei, care se neglijează pentru

particule neconductoare ( 0=σ ). Atât ε cât şi σ , depind de λ , iar la frecvenţe joase au valori apropiate.

Eficienţa dispersiei a particulelor mici sferice absorbante este dată de:


2

2

24

2

1Re

3

8

+

−⋅⋅=

m

mxQsca

(5. 12)

Eficienţa absorbţiei este :

+

−⋅⋅−=

2

14 2

2

m

mImxQabs

(5. 13)

Pentru particule foarte mici de material absorbant, coeficientul de extincţie al particulei variază numai cu x la puterea întâi, iar extincţia totală pe particulă, obţinută prin multiplicarea lui Qabs pe secţiunea transversală, este proporţională cu volumul particulei.

Pentru dispersie, o dezvoltare a factorului de eficienţă în funcţie de x, bazată pe teoria lui Mie de împrăştiere, este:

+⋅

+

−⋅+⋅

+

−⋅⋅= K

22

22

2

24

2

1

5

61

2

1

3

8x

m

m

m

mxQext

(5. 14)

unde m = 1.5 corespunde anumitor lichide organice şi mai multor săruri metalice, iar al doilea termen din a doua paranteză este mai mic decât 0.1 pentru x < 0.53. Astfel, forma Rayleigh poate fi folosită, cu o eroare mai mică de 10 %, pentru lumina verde ( λ =0.5 µ m), când dp < 0.084 µ m şi m = 1.5.

5.3. Dispersia luminii de către particule mari

Pentru particule mult mai mari decât lungimea de undă a luminii incidente, pentru care x >> 1, eficienţa dispersiei se apropie de valoarea 2. O particulă mare îndepărtează din radiaţie de două ori cantitatea de lumină interceptată de aria secţiunii transversale a particulei. Aceast fenomen se numeşte paradoxul extincţiei, [2,8].

Pentru lumina care interacţionează cu o particulă mare, radiaţia incidentă poate fi considerată ca făcând parte dintr-un set de raze de lumină separate. Dacă aceste raze trec printr-o arie definită de secţiunea transversală a unei sfere, o parte dintre ele vor fi reflectate de suprafaţa particulei, iar cealaltă parte va fi refractată. Razele refractate pot reieşi, posibil, după mai multe reflecţii interne. Oricare rază incidentă, care nu reiese, este pierdută în particulă, prin absorbţie. Prin urmare, toată energia incidentă de pe suprafaţa particulei este îndepărtată de rază prin dispersie sau absorbţie, socotind factorul de eficienţă egal cu unitatea.

Există, totuşi, o altă sursă de dispersie din partea razei incidente. Porţiunea de raze care nu este interceptată de sferă, este un front de unde plane din care o regiune corespunzând ariei secţiunii transversale a sferei lipseşte. Acest lucru este


echivalent cu efectul produs de un obstacol circular aşezat normal la fascicol. Rezultatul, în acord cu principiile opticii clasice, este un tip de difracţie prin aria

umbră, la distanţe mari de obstacol, [1,2,5]. Apariţia luminii prin aria umbră este motivul pentru care difracţia este câteodată comparată cu îndoirea razelor de lumină în jurul obstacolului.

Intensitatea distribuţiei prin modelul difracţiei depinde de forma perimetrului şi de mărimea particulei, relativ la lungimea de undă a particulei. Ea este independentă de compoziţia, indicele de refracţie sau de natura reflecţiei suprafeţei. Cantitatea totală de energie care apare în acest tip de difracţie este egală cu energia în fascicol, interceptată de secţiunea transversală a particulei. Prin urmare, factorul total de eficienţă, bazat pe aria secţiunii transversale, este egal cu 2.

Utilizarea factorului 2, pentru eficienţă, necesită ca toată lumina dispersată să se ia în calcul, inclusiv cea la unghiuri mici ale direcţiei razelor. În general, observaţia trebuie să se facă la o distanţă mare de particulă, comparativ cu mărimea acesteia. Din acest motiv, un ghiveci pus la fereastră blochează doar lumina care cade pe el. De asemenea, un meteorit, de aceeaşi mărime, aflat în spaţiu, între o stea şi un telescop (aflat pe Pământ), va îndepărta de două ori cantitatea de lumină stelară care cade pe el. Deoarece distanţa detectorului faţă de o particulă de aerosol dispersantă este mare, comparativ cu diametrul particulei, Qsca → 2.0 pentru x >> 1.

5.4. Dispersia luminii în domeniul particulelor

intermediare

Dispersia unei raze de lumină pentru x << 1 şi legea extincţiei particulelor mari pentru x >> 1 prevăd relaţii utile, care limitează eficienţa factorului.

În mod frecvent, domeniul x ~ 1 este foarte important. De exemplu, vizibilitatea atmosferică este limitată de particulele a căror mărime este de acelaşi ordin de mărime cu lungimea de undă a luminii în spectrul vizibil, de la 0.1 la 1 µ m în diametru, [9]. În acest domeniu, teoria lui Rayleigh nu este aplicabilă, deoarece câmpul nu este uniform peste volumul întreg al particulei. Chiar şi asemenea particule sunt prea mici pentru a fi aplicată teoria dispersiei particulelor mari. Prin urmare, este necesar să se folosească o teorie mult mai complicată (denumită teoria lui Mie), care tratează problema generală a dispersiei şi absorbţiei unei unde plane de către o sferă omogenă.

Expresiile pentru dispersie şi extincţie sunt obţinute prin rezolvarea ecuaţiilor lui Maxwell pentru regiuni din interiorul şi exteriorul sferei, cu condiţiile la limită. S-a constatat că factorii de eficienţă depind doar de x şi m. Aceasta reprezintă o legătură generală gradată pentru dispersia luminii, de către sferele izotropice. Calculele eficienţei dispersiei au fost făcute numeric, iar rezultatele pentru multe cazuri au fost tabelate, [4,5,8].

Pentru apă, m = 1.33, deşi pentru lichidele organice este de multe ori


aproximat cu 1.5. Eficienţa dispersiei pentru aceste două valori ale lui m sunt prezentate în figura 5.2, ca o funcţie de factorul x adimensional.

Pentru x → 0, este aplicabilă teoria lui Rayleigh. Curbele arată o succesiune a maximelor şi minimelor amplitudinii, tipic pentru sferele neabsorbante, cu 1 < m < 2. Într-adevăr, luând abscisa curbei pentru m = 1.5, ca 2x(m-1), toate curbele extincţiei pentru domeniul 1 < m < 2 sunt reduse la aproximativ aceeaşi curbă. Maximele corespund întăririi luminii transmise şi difractate, în timp ce minimele corespund interferenţei.

Pentru sfere absorbante, curba pentru Qext este de o formă mai simplă, având o ascensiune rapidă, până atinge maximul la valori mici ale lui x, descrescând apoi uşor, până se apropie de valori mari ale lui x.

În figura 5.3 se prezintă eficienţa extincţiei pentru sfere de carbon cu m = 2.00(1-0.33i). Pentru valori mici ale lui x, extincţia se datorează în principal absorbţiei, iar pentru x mare, dispersia şi absorbţia sunt aproape egale ca importanţă. Pentru asemenea particule, aproape întreaga dispersie se datorează difracţiei, în timp ce toată lumina incidentă este absorbită.

Fig. 5.2. Curba extincţiei pentru m = 1.5 şi m = 1.33.

Fig. 5.3. Eficienţa extincţiei pentru particule de carbon.


Indicele de refracţie pentru sferele absorbante variază, de obicei, cu lungimea de undă şi acest lucru se observă, de asemenea, în variaţia lui Qext. Aşa cum se observă din tabelul 5.1, [10], variaţia peste spectrul vizibil nu este importantă.

Tabel 5.1.

Qext pentru sferele de carbon la două lungimi de undă diferite

5.4.1. Dispersia unghiulară

Dispersia Mie de particule individuale, iradiate de surse convenţionale laser, este suficient de puternică ca să fie detectată la semnale sonore înalte, pentru particule mai mari decât aproximativ 0.1µm. Zgomotul rezultă din dispersia Rayleigh de către moleculele de gaz şi de la instrumentele electronice. Semnalul depinde, într-un mod complex, de unghiul detectorului, respectînd particula dispersantă, mărimea acesteia şi indicele de refracţie.

Dependenţa unghiulară a dispersiei luminii poate fi calculată din teoria lui Mie. Pentru valori ale lui x ~ 1 şi pentru valori mici ale lui m (< 2.0), apare o asimetrie ce favorizează dispersia înainte. Pentru valori foarte mari ale lui m, corespunzînd particulelor opace sau reflectante, există o asimetrie a dispersiei în spate. Pentru x >> 1, dispersia înainte creşte mai puternic (figura 5.4), prezentând schimbări foarte rapide pentru creşteri mici ale unghiului dispersiei, θ.

Se poate considera că lumina dispersată în limita x >> 1, constă în cele trei componente interpretate conform teoriei clasice a difracţiei, reflexiei şi refracţiei.

Unele dintre aceste caracteristici sunt ilustrate în figura 5.4, care prezintă distribuţia unghiulară a luminii dispersate de picături de apă de diferite diametre, când sunt iluminate cu lumină nepolarizată, cu λ = 0.55µm, [9]. Picăturile foarte mici (x < 0.6 sau dp < 0.106µm) urmăresc modelul dispersiei Rayleigh, cu simetrie în faţă şi în spate şi cu unghi de minim 900. Pentru x >0.6, minimul se mută spre spate. Pentru x > 3, apar, în plus, minime şi maxime şi se dezvoltă o puternică asimetrie, cu dispersia înainte mai puternică cu câteva ordine de magnitudine decât dispersia în spate. Pentru valori mai mari ale lui x, lobul din faţă, pentru θ < 300

rezultă, în special, din difracţie şi este aproape independent de indicele de refracţie parţial. Prin urmare, dispersia în faţă este câteodată preferată în crearea numărătoarelor optice de particule, pentru a elimina efectul indicelui de refracţie

x = πdp/λ λ = 0.436µm λ = 0.623 µm x = πdp/λ λ = 0.436µm λ = 0.623 µm

0.2 0.20 0.18 1.5 2.82 2.94 0.4 0.46 0.42 2.0 3.00 3.09 0.6 0.86 0.82 4.0 2.68 2.68 0.8 1.45 1.44 6.0 2.56 2.57 1.0 2.09 2.17 8.0 2.46 2.46


asupra măsurării mărimii particulei.

Fig. 5.4. Dispersia unghiulară pentru picături de apă iluminate de lumină nepolarizată.

Variaţia dispersiei unghiulare cu mărimea particulei este importantă în crearea numărătoarelor optice de particule, [11].

5.5. Dispersia luminii de către norii de aerosoli

Pentru a pune în evidenţǎ dispersia luminii de cǎtre norii de aerosoli se consideră cazul unui aerosol iluminat de o sursă de lumină de o lungime de undă dată, cu un dispozitiv ca cel din figura 5.5. Un fotometru de acest tip, instalat într-un coş de fum sau o conductă, ar fi potrivit pentru măsurarea atenuării luminii produse de cǎtre aerosoli. Scopul este de a măsura numai lumina transmisă, nu şi lumina dispersată de particule. În practică, lumina de intensitate mică, de la sursă, este măsurată împreună cu o anumită cantitate de lumină, dispersată la unghiuri mici faţă de direcţia înainte a particulelor, [11].

La concentraţii cu interes, în multe aplicaţii, particulele sunt separate de distanţe mari, comparativ cu diametrul lor, şi sunt distribuite în spaţiu în mod


aleator. Lumina dintr-o rază incidentă, dispersată într-o direcţie dată de diferite particule, va fi compusă din unde de diferite faze. Energia totală a undei dispersate, pe unitatea de arie (respectiv intensitatea undei dispersate într-o direcţie dată), va fi egală cu suma intensităţilor particulelor individuale din acea direcţie. Acest tip de comportament se mai numeşte dispersie independentă, care simplifică calculul dispersiei totale de către sisteme granulate.

Fig. 5.5. Măsurarea extincţiei produse de un nor de particule mici.

Funcţia dispersiei pentru o singură sferă omogenă, ce interacţionează cu un câmp electromagnetic plan, este obţinută prin rezolvarea ecuaţiilor lui Maxwell pentru gaz şi sfere, cu condiţiile la limită. Cu cât particulele se apropie una de cealaltă, soluţia pentru o singură particulă trebuie modificată. Ecuaţiile lui Maxwell trebuie rezolvate în interiorul şi exteriorul fiecărei particule, în timp ce se satisfac condiţiile la limită pe suprafeţele particulelor. Acesta este un calcul mult mai complicat. Interacţiile devin importante atunci când distanţa dintre particule este mai mică de 5 diametre. Acestea corespund la concentraţii volumetrice de ordinul 10-2 (volumul solidului pe unitatea de volum a gazului), care sunt mult mai mari chiar decât concentraţiile de aerosol din reactoarele industriale prezente.

Folosirea teoriei dispersiei la o particulă cere, de asemenea, ca radiaţia dispersată să înainteze direct spre detector, fără să mai interacţioneze cu alte particule. Aceasta este dispersia multiplă, şi trebuie neglijată. Această cerinţă este mai stringentă decât cea a dispersiei independente şi ea depinde de concentraţie şi de lungimea drumului.

5.5.1. Coeficientul de extincţie sau turbiditatea

Dacă există dN particule în domeniul de mărime pd , până la ( )pp ddd + , pe

unitatea de volum de aer, acestea corespund unei particule cu aria totală a secţiunii

transversale de ( ) dzdNd p ⋅⋅⋅ 42π , situatǎ pe lungimea drumului parcurs de lumină,

dz, şi unitatea de arie normală la fascicol. Atenuarea luminii, peste această lungime, este dată de relaţia:


dzdddnmxQd

dI ppdext

p⋅

⋅⋅⋅

⋅=− ∫

∞

0

2

)()(),(4

π

(5. 15)

unde )()( ppd dddndN ⋅= .

Prin urmare, cantitatea:

∫∞

⋅⋅⋅⋅

=⋅

−=0

2

)()(),(4 ppdext

pdddnmxQ

d

dzI

dIb

π

(5. 16)

reprezintă fracţia dispersiei luminii incidente şi absorbţiei de către norul de particule, pe unitatea de lungime a drumului. Acesta se numeşte coeficient de

extincţie (câteodată, se mai numeşte şi coeficient de atenuare sau turbiditate) şi joacă un rol important în comportamentul optic al norilor de aerosoli.

Coeficientul de extincţie (sau de atenuare ori turbiditate) se poate scrie ca suma contribuţiilor dispersiei şi absorbţiei,

abssca bbb += (5. 17)

unde fiecare termen este înţeles ca fiind o funcţie de lungimea de undă. Contribuţia la b(λ) , a unui domeniu dat de mărimi de particule, depinde de

extincţia transversală şi de funcţia distribuţiei mărimilor de particulă. Integrala (5.16) poate fi rearanjată astfel:

pp

ext

p

p

p dd

dV

d

Q

dd

dbdd

dd

dbb

log2

3

loglog

log=

⋅⇒⋅

⋅= ∫

∞

∞−

(5. 18)

Această funcţie poate fi evaluată pentru o distribuţie a mărimii particulei măsurată şi depinde de mărimea particulei. Aria de sub curbă este proporţională cu b. Figura relevǎ faptul cǎ, principala contribuţie la b o au particulele din domeniul de mărimi 0.1 pâna la 3µm., specifice pentru aerosolii urbani.

Reducerea în intensitate a fascicolului de lumină care trece prin aerosol este obţinută prin integrarea lui (5.16) între oricare două puncte, z=L1 şi z=L2:

τ−⋅= eII 12 (5. 19)

unde ∫ ⋅=2

1

L

Ldzbτ este o mǎrime adimensionalǎ, având sensul unei grosimi optice

(grosime de atenuare), iar b a fost păstrat sub integrală, pentru a arăta că poate varia cu poziţia, ca rezultat al variaţiei spaţiale în concentraţie a aerosolilor.

Ecuaţia (5.19) este o formă a legii lui Lambert, care are aplicabilitate limitatǎ pentru dispersia multiplă, analizatǎ în funcţie de valorile lui τ, [5].


Pentru τ < 0.1 este acceptată presupunerea unei dispersii singure, în timp ce pentru 0.1 < τ < 0.3 poate fi necesară o corecţie pentru dispersia dublă.

Pentru τ > 0.3 trebuie luată în calcul dispersia multiplă, [12]. Pentru particulele din domeniul Mie, sunt valabile metode aproximative

pentru calculul dispersiei, peste multiparticulă, [13]. Pentru o regiune urbană poluată, unde predomină dispersia pe aerosoli,

valoarea lui bsca este de ordinul lui 10-3 m-1. Luând τ < 0.1, drept criteriu pentru dispersia singulară, distanţa maximă pentru drumul unui fascicol, în care predomină dispersia singulară, este 0.1(10)3 sau 100 m.

5.6. Dispersia peste domeniul de lungimi de undă vizibil

În multe cazuri de interes practic, lumina incidentă (de exemplu radiaţia solară) este distribuită ţinând seama de lungimea de undă. Contribuţia integralei intensităţii I, din domeniul lugimii de undă λ, până la d λ, este:

λλ dIdI ⋅= (5. 20)

unde Iλ este intensitatea funcţiei ditribuţiei. Pierderea în intensitate în domeniul vizibil, luând în calcul doar dispersia

singulară, este determinată prin integrarea lui (5.20), peste lungimea de undă:

dzdIbdId ⋅

⋅−=

⋅ ∫∫

2

1

2

1

)(λ

λ

λ

λ

λ

λ λλλ (5. 21)

unde λ1 şi λ2 , se referă la începutul şi sfârşitul spectrului vizibil, iar b este o funcţie de λ.

Este util sǎ se determine intensitea pierdutǎ, datoritǎ prezenţei în volumul respectiv a domeniului de mărimi rezultat din funcţia distribuţiei mărimilor particulelor. Pentru o densitate a aerosolilor constantă, aceasta este echivalentă cu masa din fiecare domeniu de mărime. Cunoscând contribuţiile diferitelor componente chimice asupra masei, în fiecare domeniu de mărime, poate fi făcută o legătură cantitativă între extincţie şi componentele aerosolului. Înlocuind (5.18) şi (5.19) în (5.20) rezultă:

∫ ∫∞

∞−

⋅=⋅⋅=2

1

loglog

)()()(λ

λ

λλλ p

p

p dddd

dVdGdfbb

(5. 22)

unde,


λλ

λ

λ

dfmxQd

dG ext

p

p ⋅⋅⋅

= ∫2

1

)(),(2

3)(

(5. 23)

şi în care ( )λλ df ⋅)( este o parte din radiaţia incidentă în domeniul λ, până la

λλ d+ , iar )(λf , a fost normalizată în conformitate cu intensitatea totală, cuprinsă în domeniul λ1 , până la λ2.

Cantitatea G(dp), reprezintă extincţia peste toate lungimile de undă dintre λ1 şi λ2 , pe unitatea de volum a aerosolului, în domeniul de mărimi al particulelor, dintre dp şi ( )pp ddd + . Această mǎrime nu depinde de funcţia de distribuţie a mărimii

particulei. Pentru un indice de refracţie m = 1.5, G(dp) a fost evaluat pentru distribuţia standard a radiaţiei solare, la nivelul mării, utilizînd funcţiile dispersiei Mie, iar rezultatul este prezentat în figura 5.6 , ca o funcţie de mărimea particulei. Limitele integrării pe lungimea de undă sunt 0.36 până la 0.68 µm. Limitele luminii vizibile sunt aproximativ 0.35 până la 0.70 µm. Curba este independentă de distribuţia mărimii particulei, [14].

Un număr de caracteristici interesante sunt prezentate în această curbă, dar oscilaţiile funcţiilor Mie nu mai sunt prezente din cauza integrării pe lungimea de undă. Pentru dp → 0 în domeniul dispersiei Rayleigh, G(dp) ~ dp

3. Pentru valori mari ale lui dp, funcţia G(dp) tinde spre zero, datorită apropierii lui Qsca de o valoare constantă (circa 2), la toate lungimile de undă şi, prin urmare, în acest caz, avem G(dp) ~ dp

-1 , pentru dp → ∞.

Fig. 5.6. Dispersia luminii pe unitatea de volum a aerosolui.

Cea mai eficientă mărime pentru dispersia luminii corespunde vârfului curbei care, pentru m = 1.5, apare în domeniul de mărime dintre 0.5 şi 0.6 µm. Particulele de 0.1 µm în diametru, pe de o parte şi cele de 3µm, pe de altă parte, contribuie doar la o zecime din dispersia pe o masă egală. Această distribuţie de


volum pdd

dV

log, a aerosolilor atmosferici, adesea prezintă un vârf în domeniul 0.1

până la 3µm. Aceasta întăreşte importanţa domeniului dispersiei totale a luminii.

5.7. Distribuţia mărimii particulelor

O importantă clasă de distribuţii de mărime a particulelor similare ),( tvn , poate fi reprezentată prin ecuaţia de forma:

)()/(),( 2 ηψφ ⋅= ∞Ntvn (5. 24)

unde: ∞N - concentraţia numărului total de aerosoli; φ - concentraţia volumetrică;

η =( )tv

v=η ; ( )

∞

=N

tvφ

- volumul mediu al particulei; )(ηψ - forma similară

adimensională a funcţiei distribuţiei. Distribuţiile mărimii acestei forme sunt adesea întălnite în aerosolii

coagulanţi, când mai apar şi alte procese. În domeniul Rayleigh, dispersia luminii este proporţională cu pătratul volumului particulei şi, prin urmare, când două particule de aceiaşi mărime se combină, pentru a forma o particulă mare; totalul luminii dispersate se dublează. Acest lucru este adevărat atâta timp cât cele două particule originale sunt separate de o distanţă mult mai mare decât lungimea de undă a luminii incidente. În acest caz, cele două particule dispersează independent şi în afara fazei, energia luminii dispersate este suma energiilor dispersate separat, de către cele două particule. Când cele două particule sunt combinate, dar mărimea rezultatǎ este mai mică decât lungimea de undă a luminii, câmpul electric dispersat va fi suma celor două câmpuri electrice în fază. Rezultă că va fi dispersată de două ori amplitudinea unei singure particule sau de patru ori energia unei singure particule. Deci, lumina dispersată de o particulă mică, coagulantă, de aerosol, creşte cu timpul.

Pentru distribuţiile de mărimi ale particulelor similare, mărimea medie a unei particule poate fi determinată direct, prin măsurarea extincţiei. Dispersia totală în domeniul Rayleigh este:

∫∞

⋅⋅=0

2)( dvvvnBbsca (5. 25)

unde,

2

2

2

4

3

1

124

+

−=

m

mB

λ

π

(5. 26)


Înlocuind forma similară pentru funcţia distribuţiei de mărime, se obţine:

∫∞

⋅⋅⋅⋅⋅=0

2)( ηηηψφ dvBbsca (5 .27)

Integrala din relaţia (5.27) este o constantă care depinde de forma funcţiei distribuţiei de mărimi. Pentru cazul special al coagulaţiei (aerosolii fuzionaţi, compuşi din particule sferice), integrala are valoare 2.01 şi atunci,

vBbsca ⋅⋅⋅= φ01.2 (5. 28)

Deci, pentru un aerosol coagulant, cu φ constant, intensitatea luminii

dispersate este proporţională cu volumul mediu instantaneu al particulei, ( )N

tvφ

= .

Astfel, prin măsurarea instincţiei, se poate determina volumul mediu al unei

particule, v . Nici o constantă arbitrară nu apare în această analiză. Dacă sunt mai multe particule mai mari decăt domeniul Rayleigh, calculele

bazate pe (5.28) subestimează mărimea particulei. Dispersia de către particulele mai mari, măsurată în general, va fi mai mică decât valoarea calculată, presupunând că particulele erau în domeniul Rayleigh.

5.7.1. Distribuţii ale mărimii aerosolilor

Distribuţiile mărimii aerosolilor pot fi reprezentate de relaţia legii de putere în subdomeniul de mărime 0.1 < dp < 3µm, unde apare majoritatea contribuţiei lor la dispersia luminii:

p

ppd d~)d(n− (5. 29)

Asemenea distribuţii sunt adesea folosite pentru a reprezenta aerosolii atmosferici.

Fără a pierde generalitatea, ecuaţia anterioară poate fi scrisă în funcţie de

diametrul mediu al particulei, [ ] 316 /

p N/d ∞πφ= ,:

p

p

p

p

dd

d

d

NAn

−

∞

⋅=

(5. 30)

unde A este un factor adimensional, care împreună cu pd , poate fi o funcţie de

timp şi poziţie. Concentraţia volumetrică 1φ , corespunde subdomeniului de dispersie a luminii (0.1 < dp < 3µm).

În realitate, ecuaţia de mai sus se poate considera semiempiricǎ, ea rezultând


din procese variate, care afectează distribuţia de mărime. Substituind ecuaţia (5.30) în expresia coeficientului de extincţie (5.16), se obţine:

∫−

−

∞−

∞−

⋅=

2

1

23

1

2

3

),(6

4

x

x

psca

p

p

p

sca dxxmxQN

NAb

π

φ

π

λ

(5. 31)

unde x1 şi x2 , corespund limitelor inferioare şi superioare, respectiv limitele peste care legea de putere este valabilă.

Pentru aerosolul atmosferic, limita inferioară de aplicare a legii de putere este de 0.1 µm sau mai puţin. Aceasta corespunde lui x1 < 1 şi pentru acest domeniu, Qsca este foarte mic (find domeniul Rayleigh), deci x1 poate fi considerat zero. Contribuţia la integrală, pentru valori mari ale lui x, este de asemenea mică, deoarece p este mai mare decât 3 sau 4 şi Qsca se apropie de constanta 2. Prin urmare, limita superioară x2 , poate fi infinit. Rezultă:

3

1

3

43

1

2

1

2

3)1(

2

3

),(6

4

−−

∞−−

−

∞−

∞−

⋅=

⋅= ∫

pp

p

x

x

psca

p

p

p

sca NAAdxxmxQN

NAb φλ

π

φ

π

λ

(5. 32)

unde A1 este o constantă definită prin această expresie. Dacă distribuţia se supune legii de putere, ordinul p, poate fi determinat prin

măsurarea dependenţei lungimii de undă de coeficientul de extincţie. Mai mult, pentru distribuţia legii de putere, dependenţa lungimii de undă de bsca este independentă de forma curbei de extincţie, cu menţiunea că, aceasta satisface relaţiile asimptotice limitatoare, discutate anterior. Experimental s-a descoperit că, uneori:

φ⋅= 2Absca (5. 33)

unde A2 este o constantă. Aceasta corespunde lui p = 4 şi A constant, astfel încât din (5.30) se obţine,

4

6

p

dd

An

⋅

⋅=

π

φ

(5. 34)

o lege a puterii care, adesea, se menţine aproximativă pentru subdomeniul dispersiei luminii al aerosolilor atmosferici.

Totuşi, relaţia de mai sus nu se poate extinde şi pentru particulele cu diametre infinit de mari, deoarece concentraţia volumetrică a aerosolilor devine infinit logaritmică. Ecuaţia (5.33) se aplică mai bine când valoarea lui φ, corespunde subdomeniului 0.1 < dp < 1µm, decât în cazul concentraţiei volumetrice totale, dar diferǎ constantele.

S-a găsit experimental că, dependenţa lui bsca de λ, pentru aerosolii


atmosferici, poate fi reprezentată de o ecuaţie de forma:

13

scab−λ~ (5. 35)

corespunzând pentru p = 4.3, care este apropiată de o valoare obsevată prin măsurare directă a funcţiei distribuţiei de mărime. Ecuaţia indică mai multă dispersie în culoarea albastră (lungime de undă scurtă) decât în culoarea roşie (lungime de undă lungă), cu rezultatul că, în domeniul de vizibilitate al atmosferei înceţoşate, este mai mare pentru lumina roşie decât pentru lumina albastră.

5.8. Dispersia luminii cvasi-elastice

În teoria clasică a dispersiei luminii, lumina monocromatică este dispersată în toate direcţiile, cu aceeaşi frecvenţă cu cea a razei incidente, 0ω . Dacă particula

este în mişcare faţă de un observator fix, situaţia se schimbă. Cel mai important exemplu este mişcarea brawniană, în care particulele micrometrice îşi schimbă direcţia şi viteza. Totuşi, particulele în mişcare dispersează lumina cu aceeaşi frecvenţă cu cea a razei incidente; un observator fix sau un detector va observa o frecvenţă puţin diferită, ω∆ωω += 0 , unde schimbarea frecvenţei ω∆ este o

schimbare optică Doppler. Schimbarea frecvenţei datorită miscării sursei sau receptorului constituie efectul Doppler-Fizeau.

Dacă particula emiţătoare se mişcă spre detector, lumina pe care o emite apare mai mult spre albastru; dacă se mişcă particula dinspre detector, apare mai mult spre roşu. Schimbarea Doppler depinde doar de viteza particulei şi nu de proprietăţile materialului sau optice. Particulele de dimensiuni date au o distribuţie a vitezei maxweliene determinată de principiul echipartiţiei şi de temperatura absolută.

Schimbarea Doppler este foarte mică, comparativ cu frecvenţa principală. Cu o bună aproximaţie se dă:

0ωωc

v=∆

(5. 36)

unde υ este viteza particulei faţă de detector şi c este viteza luminii. Datorită vitezei termice medii a unei particule de 0.1 µm, de ordinul a

10cm/s, este clar că schimbarea Doppler este foarte mică. Din acest motiv, această viteză poate fi neglijată în studiile clasice ale dispersiei luminii. Totuşi, cu instrumente potrivite, este posibilă detectarea schimbării medii peste particule şi determinarea mărimii particulei prin acest mod. Fenomenul este numit dispersia

luminii cvasi-elastice, dar schimbarea de frecvenţă este atât de mică, încât dispersia este aproape elastică, [15,16].

Dispersia luminii cvasi-elastice mai este cunoscută şi sub numele de dispersia


dinamică a luminii şi poate fi folosită pentru măsurarea mărimii particulelor monodispersate, în domeniul de mărime de la 0.01 până la câteva zecimi de microni, [16].

Dacǎ într-un sistem de dispersie a luminii cvasi-elastice un fascicol laser este trecut printr-un nor de particule brawniene, lumina este dispersată în detector, care este aşezat la un unghi θ, faţă de raza incidentă. Volumul dispersiei este definit de intersecţia dintre incidentă şi unghiurile solide ale detectorului. Intensitatea instantanee a luminii dispersate, cu un drum dat I(t), poate fi scrisă ca suma dintre

intensitatea medie I şi intensitatea fluctuantă ( )tI ′ :

)(')( tIItI += (5. 37)

Intensitatea dispersiei într-un timp mediu, I , este baza tehnicilor convenţionale ale dispersiei luminii, folosită pentru măsurarea aerosolilor.

Fluctuaţiile intensităţii, datorită mişcării brawniene, au loc la o scară de timp mult mai rapidă decât instrumentele fotometrice de masurǎ convenţionalǎ sau decât poate detecta ochiul uman. Variaţia în intensitatea fluctuantă a dispersiei luminii, cu timpul, seamănă cu un semnal sonor, ce poate fi analizat în raport de funcţia corelaţiei faţă de timp. Practica uzuală constă în a măsura funcţia intensităţii polarizate, corelate în timp, care este în raport cu coeficientul de difuzie pentru particule monodispersate,

⋅⋅⋅+⋅=+= ∞

22 )(1)()()( ξαβξξ gNAtItIG (5. 38)

unde A - constantă standardizată; β - constanta instrumentului; α - polarizabilitatea molară a particulelor; g(ξ) - funcţia autocorelată, normalizată pentru mişcarea brawniană de translaţie; N∞ - concentraţia medie de particule.

Pentru particulele monodispersante

)exp()( 2Dqg ⋅⋅−= ξξ (5. 39)

unde D este coeficientul de difuzie al particulei şi ( ) ( )2/sin/4 θλπ ⋅=q . Funcţia de autocorelare g(ξ) este parametrul ce trebuie aflat şi din acesta se

deduce coeficientul de difuzie; prin urmare, poate fi obţinut diametrul particulei. Procedurile au fost îmbunătăţite considerabil pentru aplicaţiile la soluţii simple şi la soluţii polimerice, cu greutate moleculară mare, [16].

Rearanjând (5.38), rezultă funcţia de autocorelaţie, în funcţie de variabilele măsurate experimental , G(ξ)

[ ] 212 )(1

)( AGA

gN −⋅

=∞ ξβ

ξα (5. 40)


Sunt folosite mai multe metode pentru determinarea coeficientului de difuzie. De exemplu, după o scădere a constantei A, G(ξ) poate fi corelată unei funcţii exponenţiale, pentru a permite calculul constantei q

2D, deci calculul mărimii

particulei. Pentru aerosoli polidispersaţi, expresia simplă (5.39) a funcţiei de autocorelare trebuie să fie o medie peste funcţia de distribuţie a mărimii particulelor,

∫∞

∞ ⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅0

26 )()exp()()( pppd ddDqddngN ξξ (5. 41)

Nu există nici o metodă generală exactă pentru extragerea funcţiei distribuţiei mărimii aerosolului, nd(dp), şi funcţia măsurată experimental G(ξ), unde forma lui nd(dp) , nu este cunoscută. În metoda cumulării, cea mai folosită metodă pentru a estima distribuţiile de mărime ale soluţiilor apoase din această integrală, logaritmul funcţiei de autocorelare g(ξ) , este dezvoltarea în ξ a funcţiei:

K+⋅−⋅=2

)(ln2

21ξ

ξξ KKg (5. 42)

Coeficienţii lui ξ sunt denumiţi cumulanţi. În practică, doar primii doi cumulanţi pot fi determinaţi cu acurateţe, din datele experimentale:

;21 DqK ⋅= ( )24

2 DDqK −⋅= (5. 43)

Media este dată de 6

pd , iar pentru moleculele de aerosol libere, avem D~ 2

pd− ,

deci D este proporţional cu al patrulea moment al distribuţiei de mărime al particulei. Dacă forma funcţiei de distribuţie este cunoscută, cumulanţii pot fi folosiţi pentru a evalua parametrii distribuţiei.

5.9. Ecuaţia transferului prin radiaţie

În cazul general, al interacţiilor aerosol-lumină în atmosferă sau în spaţiu închis, lumina nu este nici unidirecţională, nici monocromatică şi fiecare element de volum este penetrat în toate direcţiile de radiaţie. Aceasta cere o definire mai atentă a intensităţii radiaţiei. Pentru analiza acestui caz este aleasă o arie mică, orientată arbitrar, σd , cu o normală n (figura 5.7). La un unghi θ, făcut cu normala, desenăm o linie S, axa conului elementar, cu unghiul solid σd . Dacă prin fiecare punct al suprafeţei σd este trasă o linie paralelă cu cea mai apropiată generatoare a conului ωd , rezultatul este un trunchi de con semi-infinit Ωd , similar cu conul ωd . Aria secţiunii transversale, perpendiculare la S , în punctul P, va fi θσ cosd .


Fie dE, cantitatea totală de energie ce trece în timpul dt, prin aria σd , în lungimea de undă cuprinsă în intervalul, λ până la λ + dλ. Pentru σd şi ωd mici, energia care trece prin σd , înăuntrul lui Ωd , va fi proporţională cu σd ωd .

Intensitatea specifică a radiaţiei λI este definită de relaţia :

λωθσλ

dddtd

dEI

⋅⋅⋅⋅=

cos

(5. 44)

Fig. 5.7. Factorii geometrici care determină intensitatea specifică a radiaţiei.

Intensitatea este, în general, o funcţie de poziţia în spaţiu a punctului P, de direcţia s, de timpul t şi de lungimea de undă λ:

),,,( λλλ tsPII = (5. 45)

Dacă λI , nu este o funcţie de direcţie, câmpul intensităţii se numeşte

izotropic. Dacă λI nu este o funcţie de poziţie, se numeşte omogen. Intensitatea

totală a radiaţiei este,

λλ dII ⋅= ∫∞

0

(5. 46)

în care s-a renunţat la indicele λ, de la λI , pentru a simplifica notaţiile. Considerăm energia radiantă traversând lungimea, ds, împreună cu direcţiile

în care intensitatea este definită. Apare o schimbare în rezultatele intensităţii, din combinarea efectelor extincţiei (absorbţie şi dispersie) şi emisiei:

)()(),( emisiedIextinctiedIsPdI += (5. 47)

Pierderea prin extincţie poate fi scrisă ca şi înainte, în funcţie de coeficientul de extincţie b:


bIdsextinctiedI −=)( (5. 48)

Emisia de către atomii şi moleculele dispersate, excitate în aer, este de obicei mică în domeniul vizibil, comparativ cu radiaţia solară. Radiaţia termică este importantă în domeniul infraroşu îndepărtat, dar nu şi în domeniul vizibil. Prin urmare, emisiile gazoase pot fi neglijate în aplicaţiile uzuale ale poluării aerului.

Într-un aerosol există o emisie virtuală, din cauza redispersiei în direcţia s, a radiaţiei dispersate, de către volumele înconjurătoare. Câştigul emisiei este scris sub forma unui termen sursă:

dsJbemisiedI ⋅⋅=)( (5. 49)

Această ecuaţie defineşte funcţia sursă, J. Prin urmare, bilanţul energiei pentru drumul de lungime ds, ia forma:

JIdsb

dI−=

⋅−

(5. 50)

care este ecuaţia transferului prin radiaţie. Această ecuaţie este utilǎ în definirea vizibilităţii atmosferice. Aplicaţiile

detaliate au nevoie de o expresie pentru funcţia sursă J, care poate fi derivată în funcţie de proprietăţile optice ale particulei.

5.9.1. Soluţia formală a ecuaţiei transferului radiativ

Ecuaţia transferului radioactiv este un bilanţ energetic. Problemele fizice de interes apar prin reducerea coeficientului şi a funcţiei sursei. Pentru a deduce soluţia formalǎ se considerǎ figura 5.8. Lumina în punctul 0 ajunge în orice punct s, conform legii lui Lambert. Lumina este împrăştiată de la s, de particulele dintre s şi 0, ca, de pildă, cele din punctul s’.

Fig. 5.8. Drumul integrării în lungul vectorului s.

Soluţia formală a ecuaţiei de transfer se obţine prin integrarea de-a lungul drumului punctului s = 0:

∫ ⋅⋅⋅+⋅= −−s

sssdsbesJeIsI

0

)',()0,( ')'()0()( ττ (5. 51)


unde τ (s,s’) este stratul optic al mediului dintre punctele s şi s’,

∫ ⋅=s

s

dsbss

'

)',(τ (5. 52)

Sursa funcţiei J(s’), peste intervalul, 0 s, trebuie cunoscută pentru a o integra. Interpretarea formulei de mai sus este simplǎ: intensitatea lui s este egală cu suma a doi termeni. Primul termen din dreapta corespunde legii lui Lambert, adesea folosit pentru atenuarea fascicului de lumină, difuzându-l în mediu. Al doilea termen reprezintă contribuţia intensităţii la s, survenită de la oricare element radiant de lângă 0 şi s. În absenţa sursei exterioare de lumină şi dacă difuzia secundară a aerosolului înconjurător poate fi neglijată, funcţia sursei J, devine 0. Aceasta este situaţia pentru configuraţia propriu-zisă a transmisiometrului, care este folosit pentru a măsura atenuările fasciculului de raze prin ceaţa care pluteşte într-un coş de fum şi în alte aplicaţii din industrie.

Când extinderea medie este la ∞− în direcţia lui s şi nu este altă sursă în direcţia lui s, nu este convenabil să oprim integrarea în punctul 0,

∫∞−

− ⋅⋅⋅=s

ssdsbesJsI ')'()( )',(τ

(5. 53)

Astfel, intensitatea observată la s este rezultatul dispersiei la toate particulele care sunt de-a lungul liniei superficiale.

5.10. Vizibilitate ca efect al transmisiei luminii prin

atmosferă

O importantă şi interesantă aplicaţie a teoriei de transfer radioactiv este în definiţia vizibilităţii atmosferice. Termenul vizibilitate şi parcurs vizibil pot fi folosiţi şi schimbaţi, însemnând distanţa la care este posibilă distincţia unui obiect întunecat lângă orizont. Problema este stabilă, [17], folosind relaţiile teoretice dintre lumină, ochi, ţintă şi atmosferă, permiţând calcularea în orice moment a parcursului vizibil şi se pot măsura parametrii necesari, suficient de repede şi exact. Rezolvând ecuaţia transferului radioactiv, se scoate în evidenţă atribuirea privind răspunsurile umane la obiectele neclare.

Majoritatea informaţiilor pe care le obţinem prin sistemul vizual depind de percepţia diferitelor intensităţi ale culorii, dintre variatele părţi ale câmpului de expunere. Un obiect este recunoscut datorită culorii sau strălucirii diferitelor forme care le înconjoară şi, de asemenea, din cauza variaţiei de culoare sau strălucire a suprafeţei. Forma obiectelor este cunoscută de observator din aceste variaţii.

Diferenţa de intensitate este importantă în particular şi este baza principală a clasicei teorii a vizibilităţii, [18]. Un obiect izolat în teren, de exemplu o clădire,


este văzută la distanţă de-a lungul liniei orizontale, ca în figura 5.9. Unghiul dintre liniile de vedere corespund lui I1 şi I2 şi este foarte mic.

Fig. 5.9. Aşezarea relativǎ observator, obiect şi linia orizontală în definiţia vizibilităţii.

Intensitatea contrastului dintre testul obiect şi cerul orizontal vecin, este definită prin relaţia:

2

21

I

IIC

−=

(5. 54)

unde 2I este intensitatea fondului şi 1I este intensitatea obiectului, ambele măsurate la aceeaşi distanţă de observator.

Expresia intensităţii poate fi obţinută integrând ecuaţia transferului radiativ, peste distanţa orizontală de la testul obiect la punctul de observare. Dacă b şi J, nu sunt funcţii de s, rezultatul integrării este:

[ ]bsbseJeIsI

−− −⋅+⋅= 1)0()( (5. 55)

unde s = 0 , corespunde locaţiei testului obiect. Ţinând seama de aceasta se obţine:

[ ])0(

)()(

)(

)0(

2

21

2

2

I

sIsI

sI

IC

−⋅=

(5. 56)

şi substituind în (5.55) pentru ( ) ( )[ ]sIsI 21 − rezultă:

[ ] bsbs

eCsI

I

I

eII

sI

IC

−−

⋅⋅=⋅−

⋅= )0()(

)0(

)0(

)0()0(

)(

)0(

2

2

2

21

2

2 (5. 57)

unde ( )0C este contrastul la testul obiect. În vizualizarea liniei orizontale a cerului, observatorul vede emisiile virtuale,

J, rezultate de la lumina solară. Acestea se referă câteodată la lumina ambiantă sau la supralumină. Prin presupunere, lumina ambiantă nu este o funcţie de s. Presupunem două linii de vedere în direcţia orizontală. Intensitatea în orice plan


normal al liniei de privire este egală cu emisiile virtuale sau lumina ambiantă J ; pentru aceasta, ( ) ( ) === J0IsI 22 constant şi (5.57) devine:

bseCC

−⋅= )0( (5. 58)

Dacă testul obiect este perfect negru, atunci ( ) ( ) 100,C0I1 −== , şi:

bseC

−= (5. 59)

Semnul minus din expresie rezultă deoarece testul obiect este mai întunecat decât fundalul.

Parcursul vizual sau, mai comun, vizibilitatea, este definită ca distanţa la oricare test obiect distins de fundal. De aici, contrastul minim, pe care ochiul îl poate distinge, trebuie cunoscut pentru a-l introduce în identificare. Acest contrast

este indicat de ∗C şi vizibilitatea corespunzătoare este ∗= ss . Pentru un obiect

negru ∗= ss .

)exp( **sbC ⋅−−= (5. 60)

sau:

)ln(1 **

Cb

s −⋅−= (5. 61)

Parametrul ∗C este, uneori, numit început de contrast sau contrast psihofizic,

deoarece depinde de percepţia umană. Bazată pe date de viteză medie, răspuns de la un grup de indivizi, această valoare ajunge la valoarea 0.02, astfel încât,

bbs

912.302.0ln

1* =⋅−= (5. 62)

De aici, vizibilitatea este invers proporţională cu coeficientul extins. Deoarece b este o funcţie a lungimii de undă, vizibilitatea definită în acest sens depinde şi de lungimea de undă.

Contribuţia luminii ambientale la obscurarea distanţei obiect vine, de cele mai multe ori, de la aerosolul din vecinatatea observatorului. Lumina ambiantă din mai multe părţi ale liniei de privire este, ea însăşi, redusă de aerosolul dintre regiunea de origine şi observator. De exemplu, dacǎ parcursul vizual este de 1 km, jumătate din obscuritate va fi produsă de 0.18 km de aerosol, din apropierea observatorului. Duritatea evaluării aerosolului din apropierea observatorului este un motiv din cauza căruia analiza teoretică idealizată, deasupra liniei orizontului, este în mare măsură aşa cum este. Atâta timp cât aerosolul este destul de uniform în vecinătatea observatorului, condiţiile de dincolo de el au o mică influenţă.


Totalul extincţiei atmosferice este suma contribuţiilor pentru aerosol, dispersia moleculelor şi probabil absorbţia gazului de la o oarecare lungime de undă, precum 2NO :

molecularaerosol bbb += (5. 63)

Coeficientul de dispersie moleculară pentru aer se prezintă în tabelul 5.2. Pentru lungimea de undă de 0.5 µm, vizibilitatea calculată din (5.62), este aproximativ 220 km. Din acest motiv, vizibilitatea la câţiva kilometri sau chiar mai puţin, oferă observatorului în mediul urban cu umiditate scăzută, extincţia de aerosol primar cuvenit. În câteva cazuri poate să apară contribuţia absorbţiei de NO2.

Tabel 5.2

Coeficientul de dispersie pentru aer în condiţii normale, [19].

λ

(µm)

bscat x 10-8

(cm-1

)

λ

(µm)

bscat x 10-8

(cm-1

)

λ

(µm)

bscat x 10-8

(cm-1

)

λ

(µm)

bscat x 10-8

(cm-1

)

0.2 954.2 0.35 79.29 0.5 18.10 0.65 6.217

0.25 338.2 0.4 45.40 0.55 12.26 0.7 4.605 0.3 152.5 0.45 27.89 0.6 8.604 0.8 2.684

5.11. Difuzia combinată

Discuţiile precedente au fost limitate la procesul de difuzie, în care lungimea de undă incidentă şi difuzată sunt egale (sau aproape egale), aceasta fiind difuzia elastică. Lumina poate fi difuzată la lungimi de undă diferite, din cauza fasciculului da raze incident (difuzie neelastică), ca rezultat al efectelor mecanice continue. Fenomenul este cunoscut ca difuzia Raman, ilustrată în figura 5.10, care rezumă absorbţia şi variaţiile procesului de difuzie.

Fig. 5.10. Ilustrarea schematică a diagramei absorbţiei în infraroşu şi dispersia Raman elastică şi inelastică, a unei molecule cu 2 stări de cuantum oscilant.


Două amplitudini de vibraţie cuantică sunt prezente în moleculele difuzate: starea fundamentală V = 0 şi starea excitatǎ, V=1. Energia fasciculului de raze incident este cu puţin mai mare decât diferenţa energetică dintre cele 2 niveluri energetice.

Protonii din fasciculul de raze incident pot duce la creşterea energiei moleculelor de la 0 la 1, la o stare vizuală care nu corespunde nici unei stări. Sunt posibile trei situaţii:

• molecula se poate întoarce la starea originală (0,1) prin emisia de foton cu aceeaşi energie cu a fasciculului incident, ceea ce constituie o ciocnire elasticǎ;

• molecula din starea 0 poate trece la starea 1, prin absorbţia unui foton, dar cu emisia unui alt foton cu mai puţină energie decât cel absorbit, prin emisie Stockes;

• molecula iniţială din starea energeticǎ suprioarǎ 1 poate cădea în starea energeticǎ inferioarǎ 0, prin emisie de fotoni, cu energie mai mare decât fasciculul incident, prin emisie anti Stockes. Emisia apare la frecvenţă redusă şi cu intensitate mai mică, cu frecvenţă ridicată decât aceea a fascicululul incident. Intensitatea efectului Raman este, de obicei, de ordin mai mic decât la difuzia elastică.

Spectrul Raman are un număr de caracteristici care simplifică interpretarea.

1. Diferenţele dintre frecvenţele luminilor incidente şi difuzate sunt independente de frecvenţa luminii incidente;

2. La o primă aproximare, schimbarea Raman este independentă de starea (gaz, lichid sau solid) mediului de difuzie;

3. Energia corespunzătoare frecvenţei schimbării Raman, vrh , este egală

cu diferenţa dintre energiile a două stări diferite ale difuziei moleculare, care pot fi obţinute din absorbţia sau emisia spectrală a mediului difuzat.

5.11.1. Difuzia Raman de către particule

Sunt câteva metode potrivite pentru analiza chimică directă a particulelor din aerosol.

Spectroscopia Raman oferă posibilitatea de a se identifica specii chimice în particulele de aerosol, pentru că spectrul este specific pentru structura moleculară din material, în special modurile de vibraţii şi rotaţiile moleculelor.

Spectrul Raman a fost obţinut pentru fiecare particulă de granulă - micron de pe suprafaţă, prin balanţa electrodinamică sau prin monodispersia aerosolilor suspendaţi în răspândirea gazului. Au fost făcute, de asemenea, căteva măsurători pentru amestecurile chimice şi polidispersia aerosolilor.

Spectrul Raman a unei particule sferice se deosebeşte prin încărcătura


materialului, datorită rezonanţei morfologiei dependente, care rezultă când dispersia Raman, a fotonilor urmează dispersia Mie în particule. Metodele au fost desfăşurate pentru a calcula modificarea spectrală, [20].

Măsuratorile şi calculelebazate pe teoria Raman, indică faptul că, intensitatea dispersiei este aproximativ proporţională cu volumul particulei (sau masa) peste un indice refractiv sigur şi valorile, 0.2πdp/λ > .

În figura 5.11 se prezintă măsurătorile experimentale ale intensităţii Raman, din monodispersia şi polidispersia aerosolului, [21]. Valorile sunt calculate pentru diferite unghiuri de dispersie şi m = 1.5.

Particulele au avut diametrul între 0.4 - 1.8 µm şi masa materialului creşte de la 0.4 la 13 g/m3. Figura arată că spectrul Raman este aproximativ independent de mărimea distribuţiei peste acest rând şi este proporţional cu întreaga concentraţie masică.

Încărcătura masei în aceste stadii este ridicată, aproximativ 0.4 g/m3. Această concentraţie scade pe parcurs la aerosolii industriali şi terapeutici, dar câţiva au mărime superioară la concentraţiile din aerosolii atmosferici.

Este posibilǎ determinarea unei dependenţe aproximative a difuziei în volumul particulei, pentru o singură picătură suspendată ( 66µ6d25 p << ), [22].

Fig. 5.11. Valorilor intensităţii dispersiei Raman.

Aceste rezultate sugerează că, într-o masă suficientă de substanţă este posibil să se supravegheze concentraţia masei speciilor active chimice ale lui Raman, în polidispersia scurgerii de aerosoli, compuşi din particule mari.

66 .. FF UU ZZ II OO NN AA RR EE AA

PP AA RR II CC UU LL EE LL OO RR PP RR II NN

CC II OO CC NN II RR EE ŞŞ II CC OO AA GG UU LL AA RR EE

Anterior, dimensiunea funcţiei de distribuţie, n(v), s-a considerat o cantitate

cunoscută. Totuşi, procesul de depunere a rezultat în urma pierderilor particulelor preferenţiale, din punctul de vedere al dimensiunilor. Astfel, procesele care au loc în mediul gazos, includ procesele de coagulare şi conversia gazului în particule, prin modificarea funcţiei de distribuţie n(v). Acest fenomen are loc permanent, de exemplu, la producerea pigmentului de titaniu, în evoluţia atmosferică a aerosolilor, dar şi în incinte artificiale, cum ar fi incineratoarele şi unităţile de combustie internă.

Se va considera ciocnirea dintre particulele coalescente, proces denumit coagulare.

Din punctul de vedere al coagulării, aerosolii sunt particule instabile. Reducerea suprafeţei dintre particule, în procesul de coalescenţă, corespunde reducerii energiei libere a lui Gibbs, în condiţii constante de presiune şi temperatură. Procesul de determinare a ratei de coagulare a aerosolilor este în doi timpi. În primul rând se derivează matematic expresia care ţine cont de ciocnirea particulelor, ca funcţie de dimensiunea acestora. Aceasta încorporează o expresie generală a funcţiei de frecvenţă a ciocnirii. Apoi, această funcţie este introdusă în ecuaţia care ţine cont de ciocnirea propriu-zisă.

Mecanismul de ciocnire are la bază mişcarea browniană, în regim laminar şi turbulent. De asemenea, se iau în considerare şi forţele de interacţiune dintre particulele din interiorul domeniului considerat. Datorită faptului că procesele sunt neliniare, apar mari dificultăţi în punerea în practică a teoriei matematice.

Se va considera mai întâi coagularea aerosolilor monodisperşi, pentru care soluţiile analice sunt uşor de pus în aplicare. Rezultatele acestor calcule pot fi suficient de exacte pentru anumite aplicaţii, în special în cele care au un timp redus de expunere, [1,2,3]. Apoi, soluţiile pentru perioade lungi de timp („buna-păstrare” a distribuţiei mărimii) se aproprie asimptotic, fiind discutate ulterior.

În cazul teoriei clasice a coagulării, coalescenţa are loc instantaneu, după ce două particule interacţionează, formându-se o nouă sferă.

Termenul aglomerare se utilizează în cazul producerii procesului de noncoalescenţă a ciocnirii, [4].


6.1. Funcţia de frecvenţă a fuzionării

Coliziunea şi coagularea conduc la o reducere a numărului total de particule şi o creştere în mărimea medie. O expresie pentru rata de schimbare a dimensiunilor unei particule poate fi obţinută după cum urmează.

Fie Nij numărul de coliziuni care au loc în unitatea de timp, pe unitatea de volum dintre cele două clase de particule, de volume vi , respectiv vj. Toate particulele sunt considerate sferice, ceea ce înseamnă că i şi j sunt unice, reprezentând diametrele sferelor.

Când cele două particule intră în coliziune, conform modelului simplificat, se unesc (coagulează) şi formează o a treia particulă, a cărui volum este egal cu suma celor două iniţiale.

Din punct de vedere al concentrării de particule ni şi nj, cu volumele vi şi vj , frecvenţa de coliziune este:

( ) jijiij nnv,vN ⋅⋅β=

(6. 1)

unde: β (vi, vj),este funcţia de frecvenţă a coliziunii, depinzând de mărimea particulelor din coliziune, de temperatura şi presiunea gazului şi de caracteristicile fluidului.

Dependenţa funcţională a acestor variabile este determinată de mecanismele prin intermediul cărora particulele vin în contact.

În cazul unui spectru discret, rata formării particulelor de mărime k, prin

ciocnirea particulelor de dimensiuni i şi j este ∑ =+ kji ijN2

1, unde notaţia i + j = k

indică însumarea celor două particule care fuzionează, adică:

kji vvv =+

(6. 2)

Factorul 1/2 este introdus deoarece fiecare coliziune este considerată de două ori în sumă.

Rata pierderii dimensiunilor particulei k, prin fuziune cu alte particule, este

∑∞

=1i ikN .

Ştiind că rata netă de generare a particulelor de dimensiune k, este:

∑ ∑=+

∞

=

−=kji i

ikijk NN

dt

dn

12

1

(6. 3)

dacă înlocuim (6.1) în (6.3) atunci rezultă că:

∑ ∑=+

∞

=

⋅β−⋅⋅β=kji i

ikikjijik n)v,v(nnn)v,v(

dt

dn

12

1

(6. 4)

Fuzionarea particulelor prin ciocnire şi coagulare 189

şi reprezintă ecuaţia dinamică pentru dimensiunile discrete ale spectrului, atunci când se ia în considerare coagularea. Este numită şi ecuaţia lui Smoluchowski.

Soluţia (6.4) depinde de forma β(vi,vj), care este determinată de mecanismul de fuziune al particulelor.

Teoria spectrului discret include expresiile frecvenţiei de fuziune a funcţiei pentru coagularea browniană, în regim laminar, [4].

6.2. Coagularea Browniană

Particulele mai mici de un nanometru se ciocnesc, ca urmare a mişcării lor browniene. Cele mai multe studii teoretice şi experimentale ale coagulării sunt bazate pe studiul acestui mecanism. Pentru particulele mai mari, cea mai mare parte a acestora fiind constituită din gaz, există evidenţe experimentale, în care se arată că procesul de fuziune este limitat difuzional.

Considerăm o sferă de rază ai , fixată la originea sistemului de coordonate, într-un mediu infinit, conţinând particule sferice în suspensie, de rază aj.

Particulele aj sunt în mişcarea browniană şi difuzează la suprafaţa particulelor ai, fiind perfect scufundate.

Ştiind că concentraţia particulelor fuzionate aj, este r = ai + aj , atunci, în coordonate sferice, ecuaţiei de difuzie devine:

rr

t

nr

Dt

n

∂∂

∂∂

=∂

∂2

2

(6. 5)

Pentru acest caz, condiţiile iniţiale sunt:

r = ai + aj , n = 0 (pentru oricare t); r > ai + aj , t = 0, n = n∞ (6. 5a)

Fie:

+⋅

−=

∞

∞

ji aa

r

n

nnw

(6. 6)

şi

( )ji

ji

aa

aarx

+

+−=

(6. 7)

Substituind în relaţia (6.5) rezultă:


( ) 2

2

2ji x

w

aa

D

t

w

∂

∂

+=

∂

∂

(6. 8)

cu condiţiile la limită: x = 0, w = 1 (pentru oricare t); x > 0, t = 0 şi w = 0. Cu aceste condiţii, ecuaţia (6.8) corespunde difuziei monodimensionale într-

un spaţiu semiinfinit, a cărei soluţie este:

( )

( )2

1ji

2

aaerf1

tD

xw

⋅

+⋅−=

(6. 9)

unde erf, reprezintă eroarea funcţiei, când t → ∞, w → 1 – erf(0) = 1 şi

r

aa

n

nn ji +→

−

∞

∞ (6. 10)

ceea ce reprezintă faza fixă a soluţiei pentru concentraţia de distribuţie, obţinută şi prin

considerarea 0=∂

∂

t

n în ecuaţia (6.5), rezolvată pentru n.

Din cauză că fluxul de particule aj , asupra unei particule ai , este:

jaiarr

nD

+=

∂

∂⋅−

(6. 11)

rata de coliziune a particulelor aj ,cu o particulă ai , este:

jaiarr

nrD)t(F

+=

∂

∂⋅⋅π= 24

(6. 11a)

Prin diferenţierea ecuaţiei (6.9) şi substituind-o în ecuaţia (6.11) obţinem:

( )( )

⋅π

++⋅⋅+⋅⋅π= ∞

2

114tD

aanaaD)t(F

ji

ji

(6. 12)

Aceasta este rata pentru care particulele de dimensiune aj , se ciocnesc cu o particulă fixă de mărime ai, într-un timp destul de lung (t >> (ai + aj)

2/D).

Particulele apropiate, de tipul j, s-au coagulat sau difuzat, iar viteza locală de coagulare este:

( ) ∞⋅+⋅⋅π= naaD)t(F ji4

(6. 13)

care este echivalentă cu soluţia de la ecuaţia (6.10), în stare staţionară.


Dacă particula centrală este, de asemenea, în mişcare browniană, constanta de difuzie, D, ar trebui să descrie mişcarea relativă a două particule.

Mişcarea relativă este dată de xi – xj, unde xi şi xj sunt deplasările celor două particule în direcţia x, faţă de un plan de referinţă.

Difuzia constantă, în mişcarea relativă, poate fi obţinută din coeficientul de difuzie, din ecuaţia lui Einstein:

( )

ji

jjiiji

ij DDt

x

t

xx

t

x

t

xxD +=+

⋅−=

−=

22

2

22

222

(6. 14)

Cantitatea 0xx ji = este independentă, datorită mişcării dintre două particule.

Frecvenţa de fuziune este prima derivată a funcţiei lui Smoluchowski şi se obţine prin substituire în ecuaţia (6.13):

( ) ( ) ( )jijiji aaDDv,v +⋅+⋅π=β 4 (6. 15)

Pentru particule cu raza mai mică de 1 µm, timpul caracteristic ( )( )ji

ji

DD

aa

+

+2

este de 10-3 secunde şi utilizarea soluţiei, în regim staţionar, este de interes practic. Dacă pentru determinarea coeficientului de difuzie se foloseşte relaţia lui

Stockes – Einstein şi dp >>l, această expresie devine:

( )

+⋅

+

µ

⋅=β 3

13

1

31

31

11

3

2ji

ji

ji vv

vv

Tkv,v

(6. 16)

Forma ecuaţiei (6.16) se bazează pe presupunerea că, coeficienţii de difuzie ai particulelor fuzionate nu se modifică, pe măsură ce particulele se apropie una de cealaltă.

Pentru particule mult mai mici, frecvenţa fuziunii se obţine prin derivarea expresiei din teoria cinetică a gazelor, în cazul fuziunii particulelor sferice, cu comportare rigidă din punct de vedere elastic:

( )2

31

312

1

2

1

6

1

116

4

3

+⋅

+⋅

ρ

⋅⋅

π=β ji

jip

ji vvvv

Tkv,v

(6. 17)

în care ρp este densitatea particulei. S-a propus o interpolare generală a formulei pentru β, care ia în calcul

tranziţia de la regimul moleculei libere (6.17), la regimul continuu (6.16), [5].


Variaţia funcţiei frecvenţă de coliziune β(a1,a2), cu mărimea particulelor cu frecvenţa a1/a2 pentru aer, la temperatura de 23°C şi 1 atm, [5], calculate prin interpolarea ecuaţiei, se prezintă în figura 6.1.

Valoarea lui β(a1,a2) este mai mică pentru particule monodisperse, de mărime egală (a1/a2=1). Pentru a1/a2=1, β are valori până la o valoare maximă a numărului Knudsen, apropiată de 5, [6].

Valoarea lui β(a1,a2) este mai mare pentru interacţiunea dintre particule cu dimensiuni diferite. Curbele joase corespund regimului continuu.

Fig. 6.1. Variaţia funcţiei frecvenţă de coliziune cu mărimea particulelor.

6.3. Dinamica distribuţiei aleatoare pentru un aerosol

monodispers iniţial

O soluţie simplă a ecuaţiei cinetice, pentru alipirea browniană, poate fi obţinută pentru sisteme aproape monodisperse.

Fixând vi = vj , în ecuaţia (6.16), funcţia de frecvenţă a coliziunii este dată de:

( ) KTk

vv ji =µ

⋅==β

3

8

(6. 18)

În cazul în care K = β, independent de dimensiunile particulei, poate fi obţinută o soluţie analitică simplă pentru distribuţia aleatoare a unui aerosol, iniţial monodispers. Prin substituirea în ecuaţia (6.4) rezultă:


∑ ∑=+

∞

=

⋅−⋅=kji i

ikjik nnKnn

K

dt

dn

12

(6. 19)

Fie ∞

∞

=

=∑ Nni

i

1

, numărul total de particule pe unitatea de volum de fluid.

Când se însumează toate valorile lui k, rezultă:

;NKnnK

dt

dN

k kji

ji2

12 ∞

∞

= =+

∞ ⋅−⋅= ∑ ∑

2N

2

K

dt

dN∞

∞ −=⇒

(6. 20)

Prin integrare rezultă:

( )( )

⋅⋅+

=∞

∞∞

2

01

0tNK

NN

(6. 21)

unde N∞ (0) este numărul total de particule la t = 0. Pentru K= 1 ecuaţia cinetică este:

∞⋅⋅−= NnKdt

dn1

1

(6. 22)

din care rezultă:

( )21

1

0

τ+

= ∞

t

Nn

(6. 23)

unde,

( ) ( )04

3

0

2

∞∞ ⋅⋅

µ⋅=

⋅=τ

NTkNK

(6. 24)

iar pentru k=2 rezultă,

( )32

1

0

τ+

τ⋅

=∞

t

tN

n

(6. 25)

În general:


( )

1

1

1

0

+

−

∞

τ+

τ⋅

=k

k

kt

tN

n

(6. 26)

care este ecuaţia pentru distribuţia discretă a mărimii, pentru un aerosol considerat iniţial monodispers şi având funcţia de frecvenţă a fuziunii independentă de dimensiunile particulei.

Variaţiile lui N∞, n1, n2, … cu timpul de dispersie iniţial al aerosolului sunt redate în figura 6. 2. La orice perioadă de timp t, distribuţia aleatoare este monoton descrescătoare în funcţie de k. Numărul total al concentraţiei, N∞, şi concentraţia lui n1, amândouă descresc monoton vertical , odată cu creşterea timpului. Concentraţia lui n2 … trece printr-o valoare maximă, [4].

Fig. 6.2. Variaţiile lui N∞, n1, n2, … cu timpul de dispersie iniţial al aerosolului.

Deoarece funcţia (6.25), care dă frecvenţa coliziunilor este constantă, analiza ar trebui să prezinte cele mai bune rezultate pentru valori mici ale raportului t/τ, în timp ce aerosolul este aproape monodispersat.

Soluţia ecuaţiei (6.26) poate fi interpretată ca distribuţia mărimii particulelor într-un sistem, la un timp t, după începerea procesului de coagulare. Pentru undele mecanice, aceasta este echivalentă cu distribuţia timpului de contact t, în curgerea de tip piston, unde t = x/U, x este distanţa de la intrarea în tub şi U viteza medie.

Suportul pentru teoria alipirii difuzive controlate a apărut ,original, din


experimentele cu aerosoli polidisperşi, [7]. Prin măsurarea coeficientului de coagulare K, s-a constatat că acesta ar fi aproximativ independent de natura chimică a materialului aersolului şi cu o valoare apropiată de cea teoretică. Experimentele de la baza acestei teorii au fost făcute urmărind coagularea aerosolilor monodisperşi, generaţi de un generator de aerosoli de condensaţie, [8]. Valorile măsurate experimental, ale coeficientului de coagulare, au fost comparate cu valorile calculate teoretic. Asemenea experimente au asigurat sprijinul necesar pentru folosirea teoriei nucleului lui Smoluchowski, în teoria coagulării.

6.4. Efectul câmpului de particule în coagularea

browniană

Frecvenţa de coliziune este modificată atunci când particulele exercită forţe, una asupra celeilalte, [5]. Câmpul de cel mai mare interes rezultă din forţele van der Waals, care sunt întotdeauna prezente şi forţele Coulomb, care apar când particulele sunt încărcate electric. În continuare sunt luate în considerare ambele tipuri de forţe. Forţele van der Waals sunt forţe slabe, de atracţie între moleculele gazelor comprimate şi ale lichidelor, [9]. Sub denumirea de forţe van der Waals sunt cuprinse forţele de dispersie mecanic cuantice, forţele iono-dipoli şi dipoli-dipoli. Forţele coulombiene sunt forţe de atracţie electrostatică dintre electron, cu sarcina negativă şi nucleu, cu sarcina protonului pozitivă.

Considerăm o particulă de rază ia , cu care difuzează particulele de rază ja .

În acest caz, particula ia exercită o forţă A(r), pe unitatea de masă a particulei aj , în mişcare browniană, în fluidul înconjurător. Presupunând particulele sfere perfecte, fluxul de difuzie al particulelor ja , pe suprafaţa particulelor ia , este:

( ) ( )n

f

rA

r

nDrJ +

∂

∂−=

(6. 27)

În regim staţionar, numărul de particule care traversează fiecare suprafaţă sferică , concentrică cu particula centrală, este constant:

( )f

nrAr

r

nrDF.constJr

⋅⋅π⋅+

∂

∂⋅π⋅⋅−=−==⋅⋅π

222 4

44

(6. 28)

unde f este coeficient de frecare (fricţiune). În loc de a folosi forţa A(r), este mai convenabil a introduce energia

potenţială a două particule, în funcţie de distanţa lor de separare, Ф(r):

dr

)r(d)r(A

Φ−=

(6. 29)

substituind, se obţine:


Φ

⋅+⋅⋅π⋅=

dr

d

Tk

n

dr

dnDrF

24

(6. 30)

Soluţia acestei ecuaţii, cu F = const., este:

( )( ) ( )

∫∞

∞

⋅

Φ−

⋅π

⋅

Φ−⋅

+

⋅

Φ−⋅=

r

dxx

Tk

r

D

Tk

rF

Tk

rnn 2

exp

4

expexp

(6. 31)

unde n ∞ este concentraţia la r = ∞. Dacă n = 0 la r = ai + aj, fluxul total a particulelor spre centrul sferei este,

( )

( )( )

( )W

aanD

dxx

Tk

x

aa

aanDF

ji

jaiaji

ji +⋅⋅π=

⋅

Φ

+

+⋅⋅π=

∞

∞

+

∞

∫

4

exp

4

2

(6. 32)

Comparând această ecuaţie cu fluxul de particule, în absenţa unui câmp de forţe exterioare, observăm că rezultatul a fost modificat cu un factor de corecţie, W.

Termenul energiei potenţiale, Ф(r), poate fi pozitiv sau negativ şi depinde în mai multe feluri de r, pentru diferite tipuri de forţe ale câmpului.

Când Ф este pozitivă, apare fenomenul de respingere, iar când este negativă apare fenomenul de atracţie. Efectul forţelor specifice asupra frecvenţei de coagulare poate fi determinat evaluând integralele adecvate, aşa cum s-a prezentat mai sus.

6.4.1. Efectul forţelor van der Waals

Forţele de atracţie dintre moleculele nepolare, neîncărcate, rezultă din dipolii produşi de fluctuaţiile din norul de electroni. Energia de atracţie poate fi calculată din teoria cuantică a propietăţilor moleculelor şi a distanţei dintre acestea, [10].

Energia de atracţie, Ф, dintre două particule sferice, se calculează prin integrarea interacţiunilor dintre perechile de molecule, în particulele separate.

Pentru două particule sferice de rază ai şi aj, atracţia Ф este, [1,12]:

( ) ( )( )( )

−−

+−+

−−

⋅+

+−

⋅−=Φ 22

22

2222ln

22

6ji

ji

ji

ji

ji

ji

aar

aar

aar

aa

aar

aaA

(6. 33)

unde r este distanţa dintre centrele sferelor, iar A este constanta lui Hamaker, care are dimensiunile energiei. Valorile lui A, pentru diferite substanţe, sunt date în tabelul 6.1.

Pentru două particule sferice care au aceeaşi rază, a, energia de atracţie se


determină prin înlocuirea ai = aj = a în ecuaţia (6.33),

−+

−+

−=Φ 2

2

22

224

1ln4

22

6 r

a

ar

a

r

aA

(6. 34)

Substituind în factorul de corecţie W, care apare în ecuaţia (6.32), se obţine:

( );dx

Tk

xfAW ∫

⋅

⋅−=

1

0 6exp

−+

−+= )x1ln(

)x1(2

x

2

x)x(f

2

2

22

(6. 35)

iar x =r/a. Pentru fuziunea particulelor de acelaşi diametru, efectul forţelor van der

Waals nu depinde de mărimea acestora, ci de raportul A/kT.

Integrala ecuaţiei (6.35), prezentată în figura 6.3, redă creşterea ratei de coliziune a particulelor de diametru egal, sub acţiunea forţelor de atracţie van der Waals, [13].

Tabel 6.1.

Constantele lui Hamaker pentru două substanţe identice ce interactionează în vid

Substanţă A(10-20

J) Substanţă A(10-20

J) Substanţă A(10-20

J)

Apă 3.7 Polistiren 6.5 Oxid de fier (Fe2O3)

21

Ciclohexan 5.2 Quart topit 6.3 Oxid de titaniu (TiO2)

43

Benzen 5.0 Oxid de aliminiu (Al2O3)

14 Metale (Au,Ag,Cu)

25-40

Fig. 6.3. Rata de coliziune a particulelor sub acţiunea forţelor Van der Waals.

Respectând ecuaţia atracţiei energiei (6.34), există două cazuri aparte care prezintă interes.


1.) Când distanţa dintre sfere este foarte mică în comparaţie cu raza particulei,

s

aA

12

⋅−≅Φ

(6. 36)

unde s = r - 2a, este cea mai scurtă distanţă dintre suprafeţele celor două particule. În cazul în care s se apropie de 0, Ф se apropie de infinit.

Deseori se presupune că, distanţa dintre particule este de ordinul a câtorva o

A , pentru a obţine valori finite rezonabile ale lui Ф, petru particulele aflate aproape în contact.

2.) Când distanţa între particule este foarte mare (r >> a), energia de interacţiune este:

6

6

9

16

s

aA ⋅−≅Φ

(6. 37)

În acest caz, interacţiunile pe distanţă lungă au o formă similară cu cea a interacţiunilor dintre molecule, mai precis, energia variază invers proporţional cu distanţa dintre centrele particulelor, la puterea a şasea.

6.4.2. Efectul forţelor Coulomb

În cazul particulelor încărcate electric, expresia completă pentru forţa de interacţiune dintre particule include termeni pentru forţa de inducţie, adăugată la termenul principal pentru forţa lui Coulomb. Deseori este posibil să se neglijeze forţele de inducţie, ceea ce duce la o energie potenţială de interacţie de forma:

r

ezz ji

⋅ε

⋅⋅=Φ

2

(6. 38)

unde zi şi zj , reprezintă numerele atomice, e este sarcina electronului şi ε este constanta dielectrică a mediului.

Factorul de corecţie W, va fi:

)1e(y

1W y −=

(6. 39)

unde:

( )ji

ji

aaTk

ezzy

+⋅⋅⋅ε

⋅⋅=

2

(6. 40)

y fiind cantitatea de energie potenţială electrostatică, la kT. Când particulele sunt de


semn opus, y va fi negativ iar factorul de corecţie pozitiv şi subunitar. Rezultatul evidenţiază producerea mai rapidă a coliziunii, în comparaţie cu cazul particulelor neutre din punct de vedere electric.

Depinzând de mecanismul de încărcare, aerosolii pot fi compuşi din particule unipolare sau bipolare şi magnitudinea încărcărcării poate varia. Pentru

y <<1, sarcina poate fi numită slabă, iar pentru y >>1 este puternică.

Aerosolul atmosferic are o sarcină bipolară slabă, cu un număr egal de particule încărcate pozitiv şi negativ. Pentru un asemenea aerosol, efectele frecvenţei de coliziune pot fi estimate calculând separat rata de coliziune a particulelor de acelaşi semn şi de semn opus şi apoi mediind ratele.

Pentru aerosolii puternic bipolari ( y >>1), această compensare nu are loc.

Creşterea mare a coliziunii, rezultată din forţele de atracţie, depăşeşte scăderea cauzată de respingere.

6. 5. Frecvenţa coliziunii în stratul laminar de curgere

Particulele dintr-un fluid, aflat în curgere laminară, se ciocnesc din cauza mişcării lor relative. Liniile de curent sunt considerate drepte şi mişcarea particulei este rectilinie. Aceasta este o prezentare simplificată a ceea ce se întâmplă datorită efectului particulelor asupra curgerii şi a faptului că, mişcarea lor nu râmane rectilinie. Modelul este folosit pentru un calcul aproximativ.

Figura 6.4.a) prezintă expresia derivatei funcţiei frecvenţei de coliziune, pentru o singură particulă, într-un mediu cu raza ai, care interacţionează cu particule de raze aj (figura 6. 4.b). În figura 6.4 a) se prezintă modelul ideal de coliziune a particulelor în câmpul de curgere. Particula din partea de sus se mişcă cu o viteză mai mare şi interacţionează cu particule cu viteze mai mici. În figura 6.4.b) se prezintă geometria coagulaţiei în mişcare laminară, în care particula cu raza ai, are originea în centrul de coordonate al sistemului. Gradientul de viteză du/dx este constant şi viteza relativă a centrului sferei la axa x, este x(du/dx).

Fig. 6.4. a) Modelul ideal de coliziune; b) geometria coagulaţiei în mişcare laminară.


Viteza unei particule la suprafaţă este dx

dux şi ca urmare, parcursul particulei

în zona dx, este:

dxaadx

duxnF jij ⋅θ⋅+⋅= sin)(

(6. 41)

Deoarece ( ) θcosji aax += , numărul total de particule care plutesc în sfera

centrală este:

( ) ( ) θθ⋅θ⋅+⋅⋅⋅= ∫π

ddx

duaanF

/

jij cossin22 22

0

3

(6. 42)

Prin integrare se obţine:

( ) jji ndx

duaaF ⋅⋅+=

3

3

4

(6. 43)

Frecvenţa de coliziune este:

( ) jijiij nndx

duaaN ⋅⋅+=

3

3

4

(6. 44)

Frecvenţa de coliziune pentru coagularea în regim laminar este:

( )dx

duaa)v,v( jiji

3

3

4+=β

(6. 45)

Acest rezultat a fost obţinut pentru prima dată de Smoluchowski. Această analiză nu ia în considerare pierderile locale care apar la curgerea din regiunea dintre particulele apropiate.

Substituind în (6.19), ecuaţia coagulării în regim laminar, pentru un spectru discret, devine:

( ) ( ) kiki

ikji

jijik nn

dx

duaann

dx

duaa

dt

dn⋅⋅+−

⋅⋅+= ∑∑

∞

==+

3

1

3

3

4

3

4

2

1

(6. 46)

Dacă sistemul este compus din particule cu dimensiuni aproximativ egale, adică ai ≈ aj = a, atunci ecuaţia (6. 45) devine

23

3

16∞

∞ ⋅−= Nadx

du

dt

dN

(6. 47)

dar:


constNa =Φ=⋅⋅π ∞3

3

4

(6. 48)

deci:

∞∞ ⋅

π

Φ−= N

dx

du

dt

dN 4

(6. 49)

Trebuie reţinut că rata de scădere este proporţională cu ∞N , în cazul coagulării datorate mişcării Browniene, în regim continuu.

( )t

dx

du

N

N⋅⋅

π

Φ=

∞

∞ 40ln

(6. 50)

6.6. Curgere laminară simultană cu mişcarea browniană

Au fost făcute experimente referitoare la coagularea aerosolilor, în prezenţa unei curgeri laminare şi a unei mişcări browniană, [14]. Pe baza acestor experienţe se consideră că viteza de modificare a concentraţiei de particule este:

∞∞∞

π

Φ⋅α⋅−

µ

⋅α−= N

GN

Tk

dt

dN tsbm 4

3

4 2

(6. 51)

unde αbm este un coeficient empiric, de coeziune pentru mişcarea browniană, αls este coeficientul de coeziune în mişcarea staţionară, iar G = du/dx.

Integrând ecuaţia (6.51), considerându-se αbm = αls, rezultă:

π

⋅Φ⋅⋅α⋅=

+

+

∞

∞

∞

∞ tG

R)(N

)(N

N

RN 4

0

0ln

(6. 52)

unde R = 3GΦµ/kT. Valoarea coeficientului αbm este 0.375 în experimentele care au loc în absenţa stratului liniar.

În figura 6.5 se prezintă valorile coeficientului G, din ecuaţia (6.52), iar în figura 6.6 se prezintă valorile corectate ale aceluiaşi coeficient. Liniile drepte au fost obţinute pentru diferite rate de curgere, în concordanţă cu teoria, însumând efectele mişcării browniene în curgere. Punctele reprezintă rezultatele experimentale. Când curgerea coagulantă domină, o linie a log N∞ în raport cu t, ar trebui să fie o linie dreaptă. Acest lucru a fost confirmat experimental, la nivel ridicat al curgerii, cu un hidrosol monodispers.


Fig. 6.5. Curgere laminară simultană cu dispersia browniană.

Fig 6.6. Curgerea coagulantă dominantă.


6.7. Coagularea turbulentă

6.7.1. Microscala Kolmogorov pentru dinamica turbulenţei

În practică, coagularea are loc, în principiu, în curgeri turbulente. Pot fi date ca exemplu sistemele de combustie, scurgeri de gaze şi chiar în atmosferă. Coagularea turbulentă devine importantă pentru particule mai mari, de câţiva microni, dar poate avea mare importanţă pentru aerosolii submicronici, la nivele de turbulenţă ridicată.

Efectele turbulenţei asupra coagulării sunt înţelese parţial. Există neclarităţi în teoria fundamentală a turbulenţei şi în mişcarea particulelor mici, în apropierea curentului de curgere turbulent.

Analiza teoretică se bazează pe concepte care derivă din ipoteza energiei în cascadă a unei curgeri turbulente, [15,16]. Conform acestei ipoteze, curentul turbulent este iniţial format din turbioane mari, a căror mărime generează turbulenţa. Energia este transferată de la vârtejurile mari la cele mici.

Pentru mişcarea turbionilor mari, efectul vâscozităţii nu este important şi nu generează decât pierderi forte mici ale acestor structuri.

Când numărul Reynolds (bazat pe mărimea şi viteza turbioanelor) este suficient de mare, raza de disipare a energiei este statistic independentă de dinamica turbionilor mari. În acest caz, mişcarea la scală foarte mică este omogenă şi izotropă, adică este independentă de direcţia mişcării. Astfel, mişcarea este influenţată de rata energiei disipate pe unitatea de masă de fluid, dε (dimesional

L2T-3) şi de υ , vâscozitatea cinetică a fluidului. Bazându-ne pe εd şi ν, se poate considera din punct de vedere dimensional o

lungime de scară 4

13

ε

υ=λ

d

k , cunoscută sub denumirea de microscala

Kolmogorov. Conform ipotezei energiei în cascadă, disiparea vâscoasă are loc la scări mult

mai mici decât kλ şi la numere Reynolds suficient de mari. Pentru analiza coagulării, de către curenţii turbulenţi, şi efectele turbulente

inerţiale, este necesară o concentrare a particulelor, N, suficient de ridicată, pentru ca distanţa dintre particulele aflate în ciocnire să fie mai mică de λk, altfel, particulele ar fi prea îndepărtate pentru a se putea descrie mişcarea lor relativă, folosind teoria mişcării la scară mică.

De exemplu, concentraţiile atmosferice de microni şi particule mai mari sunt, de obicei, mai mici de 103 particule pe cm-3.

Aceasta corespunde la distanţe medii între particule, nu mai mari de 0.1 cm, mult mai mari decât λk , pentru atmosferă.


6.7.2 Coagularea în regim turbulent

Coliziunile dintre particulele distribuite într-un gaz turbulent se pot realiza ca rezultat al curgerilor unor curenţi mici pe distanţe mai mici decât λk. Acest proces este analog cu coagularea în regim laminar, discutată mai sus. Formarea nucleului de coagulaţie poate fi determinată prin analiză dimensională (regim turbulent).

Funcţia de frecvenţă a coliziunii β(vi,vj) (dimensional L3T-1, und L – lungime şi T -timp), este presupusă a fi funcţie a distanţei de interacţiune (ai + aj), şi un gradient al vitezei caracteristice.

Pentru turbulenţă izotropică, gradientul de viteză este dat de ecuaţia, [17]:

2

12

15

2

ν

ε=

∂

∂ d

mx

ul

(6. 53)

unde ℓ şi m, fac referinţă la coordonate ortogonale. Deoarece gradientul de viteză are dimensiunea de timp T-1, atunci se cere o

analiză dimensională,

( ) ( )32

1

31 jid

ji aa.v,v +

ν

ε=β

(6. 54)

unde constanta 1.3 este o valoare constantă, [18], bazată pe o ipoteză plauzibilă cu privire la dinamica fluidului turbulent. Rezultatul este foarte asemănător cu cel pentru curent laminar, din ecuaţia (6.44).

Turbulenţa poate conduce, de asemenea, la coagulare, ca urmare a efectelor inerţiale. Când particulele de mărimi (mase) diferite sunt prezente în acelaşi turbion accelerat, o mişcare relativă este indusă între particulele care s-ar putea ciocni. Din nou scala de mişcare a particulei este considerată mai mică decât λk.

Pentru determinarea vitezei relative dintre particule se utilizează, cu aproximaţie, forţele Stockes dintre particule:

( )ffdt

dm uu

u−−=⋅

(6. 55)

unde u şi fu sunt viteza particulei şi respectiv viteza fluidului- gazului.

Introducând viteza relativă dintre particule şi gaz în relaţia (6.55) se obţine:

fR

f

RR ,

dt

d

dt

duuu

uu

u−=−β−= unde

(6. 56)

Când caracteristica de timp fm=β−1 este mică în comparaţie cu scala

timpului celui mai mic turbion, în cazul particulelor de aerosol, termenul dtd Ru poate fi neglijat, rezultând:


dt

d f

R

uu

β−=

1

(6. 57)

Viteza pătratică medie a două particule i şi j , de mase diferite, este dată de:

( )22

2 11

β−

β=−

dt

d f

ji

ji

uuu

(6. 58)

Pentru turbulenţele izotropice, la numere Reynolds foarte mari, pătratul acceleraţiei medii a turbioanelor care fluctuează, este:

2

1

2

32

vdt

ddf ε

≈

u

(6. 59)

Presupunând o formă gaussiană, frecvenţa de coliziune a nucleului este, [18]:

( ) ( )4

1

4

3

2 11811

v

aa.v,v d

ji

jiji

ε

β−

β+π⋅=β

(6. 60)

unde ( )2ji aa +π , reprezintă secţiunea de coliziune. Această analiză este limitată la

particulele cuprinse în microscala Kolmogorov. Rata de coliziune pentru particulele mai mari este puţin diferită, [19].

Modelele pentru coagularea în curent laminar şi turbulent, ca şi în curent turbulent inerţial, sunt de formă geometrică în natură. S-a presupus că particulele sunt sfere rigide, care urmăresc curgerea fluidului şi nu s-au luat în considerare curgerile locale în regiunea din apropierea particulelor. Aceste curgeri locale presupun reducerea eficienţei de coliziune din cauza rezistenţei crescute la mişcare, pe parcurs ce particulele se apropie una de alta. Eficienţa maximă este dată de ecuaţia de mai sus. Există incertitudini cu privire la eficienţa ciocnirii, necesare pentru a corecta modelele geometrice discutate mai sus. Câteva chestiuni ale acestei probleme pot fi obtinuţe din calcule de coagulare a diferitelor sedimente. În acest proces, particulele sedimentare mici sunt absorbite de particulele mai mari şi mai rapide.

Frecvenţa de coliziune poate fi scrisă:

( ) ( ) ( )22tjtijidxji ccaav,v −+π⋅α=β

(6. 61)

unde dxα este eficienţa coliziunii şi restul ecuaţiei reprezintă mişcarea particulei printr-o

secţiune de coliziune, π(ai +aj )2. Termenul (cti – ctj), reprezintă viteza particulelor mari


în comparaţie cu cea a particulelor mici. Eficienţa de coliziune dxα , a fost evaluată

numeric luând în considerare efectul interacţiunii particulelor la înaintarea acestora, [3,20]. Frecvenţele de coliziune, calculate pentru cazul în care cea mai mare particulă sedimentară este de 10 µm, sunt, de obicei, mai mici decât 0.1.

S-au realizat teste experimentale ale previziunilor teoretice asupra coagulării turbulente, în condiţii controlate, [21]. Pentru curgerea unor particule de latex (de 0.6 mm) suspendate în soluţie apoasă şi în curgere turbulentă cu numere Reynolds între 17000 şi 51000, printr-o conductă, la milocul ţevi turbulenţa a fost aproape izotropică, [21], iar disiparea de energie pe unitatea de masă se poate calcula cu relaţia:

teava

3

dD

v4 *=ε

(6. 62)

cu v* viteza de fricţiune (frecare) şi Dteava , diametrul ţevii. Viteza de fricţiune poate fi calculată din căderea de presiune.

Există o mare discrepanţă între predicţiile teoretice ale eficienţei de coliziune, pentru coagularea în aerosoli de către diferite sedimentări şi măsurătorile experimentale ale coagulării, pentru curentul turbionar. Nu se cunoaşte dacă această discrepanţă se datorează diferenţelor de bază din mecanismul coagulării sau diferitelor fenomene necunoscute care acţionează în fluid.

Diferitele mecanisme de coliziune sunt comparate în figura 6.7, care prezintă funcţia frecvenţei de coliziune pentru o particulă 1 µm, care interacţionează cu alte particule de mărimi diferite cu diametre între 0.1 şi 10 µm.

Fig. 6.7. Comparaţie între mecanismele de coagulare.


Coagularea prin segmentare are la bază 5=εd şi 1000 cm²/s³. Curbele de sedimentare diferenţiale au fost obţinute prin aproximarea calculelor presupunând curgerea Stokes în jurul celei mai mari dintre sferele în cădere, [22]. 5=εd cm²/s³ corespunde unei înălţimi în atmosferă de 100 m , [23]. La înălţimea de 1 m,

1000≈εd cm²/s³ şi segmentarea devine mecanismul dominant al coagulării pentru particule mari. Pentru o regiune de ţeavă unde curgerea este turbulentă (rata

energiei disipate, pe unitatea de masă de fluid este dată de 32

3

2

4U

f

dd

=ε , unde

f este factorul Fanning de fricţiune, d este diametrul ţevii şi U este viteza gazului. Pentru o ţeavă subţire de 10 cm în diametru, cu aer la 20°C şi Reynolds de 50000,

dε este aproximatv 20000 cm²/s³.

6.8. Ecuaţia coagulării în cazul funcţiei de distribuţie

continuă

Pentru funcţia de distribuţie continuă, rata de coliziune dintre particule în

razele de la v la v + dv şi de la v la v+d v este dată de :

( ) ( ) ( ) vddvvnvnv,v ⋅⋅⋅⋅β=coliziune de rata

(6. 63)

unde formele funcţiei frecvenţei de coliziune discutate anterior sunt aplicabile. Rata formării particulelor de mărime v prin coliziunea particulelor mai mici

de mărime v - v şi v este dată de:

dvvd)vv(n)v(n)vv,v(dvv

⋅

⋅−⋅⋅−β= ∫02

1 razaîn formarea

(6. 64)

Aici am folosit rezultatul unde iacobian pentru transformarea din coordonata

sistemului (v, v - v ) la ( v , v) este reprezentat de unitate. Factorul 1/2 e introdus doar în cazuri discrete deoarece coliziunile sunt luate câte două în integrală.

Rata pierderii particulelor de mărime v prin coliziune cu alte particule (exceptând monomerii) este:

dvvd)v(n)v(n)v,v(dv ⋅

⋅⋅⋅β= ∫

∞

0 razaîn pierderea

(6. 65)

Rata netă de formare a particulelor de mărime v este:


dvvd)v(n)v(n)v,v(

dvvd)vv(n)v(n)vv,v(t

)dvn( v

⋅⋅⋅β−

⋅−⋅⋅−β=

∂

⋅∂

∫

∫∞

0

0

2

1

(6. 66)

Împărţind prin dv se obţine:

vd)v(n)v(n)v,v(vd)vv(n)v(n)vv,v(t

n v

⋅⋅⋅β−⋅−⋅⋅−β=∂

∂∫∫

∞

002

1

(6. 67)

ceea ce reprezintă ecuaţia coagulării pentru funcţia de distribuţie continuă, pentru care s-au dat unele metode de rezolvare, [1,2,3]. Nu au fost obtinuţe soluţiile pe cale analitică care să aibă sens fizic.

Ca şi în cazul distribuţiei discrete, soluţiile ecuaţiei (6.67) reprezintă subiectul a două interpretări fizice importante. Ele reprezintă schimbările cu timpul a aerosolului, într-o cameră în absenţa convecţiei sau depuneri pe pereţi. Alternativ, pot fi interpretate ca soluţie sigură pentru un aerosol ce curge printr-o conductă şi aici, fără interacţiuni cu pereţii. În acest caz ∂n/∂f = U(∂n/∂x), unde U reprezintă viteza uniformă în conductă, iar x este distanţa în direcţia curgerii.

6. 9. Soluţie similară pentru coagularea în regim

continuu

O metodă de rezolvare a multor probleme de coagulare a fost descoperită bazându-se pe folosirea transformărilor de similaritate, pentru funcţia de distribuţie a mărimilor (Swift şi Friedlander,1964; Friedlander şi Wang 1966)[30;8]. Soluţiile astfel găsite sunt forme asimtotice, ce se apropie după durate mari, şi acestea sunt independente de distribuţia iniţială a mărimilor. Soluţiile de tip închis, pentru maxime şi minime ale distribuţiei, pot fi uneori obţinute astfel, iar metodele numerice pot fi folosite pentru a fixa soluţiile pentru mărimi intermediare ale particulelor. În mod alternativ, Monte Carlo şi metodele discrete ale secţiunilor, au fost folosite pentru aflarea unor soluţii. Transformarea de similaritate pentru distribuţia mărimii particulelor se bazează pe presupunerea că, fracţii din particule, la o mărime a razei dată, sunt funcţie numai de volumul particulei normalizat prin volumul mediu al acesteia:

⋅

ψ=

⋅

∞ v

vd

v

v

N

dv)t,v(n

(6. 68)

unde v = φ/N∞, reprezintă volumul mediu al particulei iar ψ, este o funcţie adimensională, a cărei formă nu se schimbă cu timpul. Ambii termini ai (6.68) sunt adimensionali.

Prin rearanjare obţinem:


)(N

)t,v(n ηψ⋅φ

= ∞2

(6. 69)

unde η = v/ v = N∞v/φ. Există, de altfel, relaţii integrale:

∫∞

∞ ⋅=0

dvnN

(6. 70)

şi

∫∞

⋅⋅=φ0

dvvn

(6. 71)

unde n = n(v,t). Este necesar ca n(v)=0 pentru v→0 şi respectiv v→∞. În termenii funcţiei de distribuţie nd (dp, t), transformarea de similaritate ia

forma:

)(dN

)t,d(n d/

/

pd η⋅ψφ

= ∞31

34

(6. 72)

unde ηd = dp(N∞/φ)⅓. Atât N∞ cât şi φ , sunt în general, funcţii de timp. În cel mai simplu caz, nici un material nu se adaugă sau nu se pierde din sistem iar φ este constant. Numărul concentraţiei N∞, scade pe moment ce coagularea are loc.

Dacă distribuţia corespunde orcărei valori ale N∞ şi φ este cunoscut, distribuţia pentru alte valori ale lui N∞, corespunzând altui moment, poate fi determinată din (6.69) dacă ψ(η) este cunoscut. Formele distibuţiei, la momente diferite de timp, sunt similare când se face reducerea la scală. Din acest motiv distribuţia se spune că este autoconservatoare.

Determinarea formei lui ψ, se face în doi paşi. Primul, forma specială a funcţiei (6.69) este testată prin substituirea în ecuaţia coagulării pentru distribuţia continuă (6.67) a funcţiei de coeziune a frecvenţei. Dacă transformarea este consistentă cu ecuaţia, este obţinută o ecuaţie normală pentru ψ ca fiind funcţie de η. Următorul pas este să găsim soluţia acestei ecuaţii în (6.70) şi (6.71) şi totodată să fie găsite limitele la n(v).

6.10. Soluţie similară pentru coagularea browniană

Pentru coagularea browniană în raza continuă, funcţia de coliziune a frecvenţei este dată de (6.16). Substituţia unei forme similare (6.69) reduce ecuaţia de coagulare pentru distribuţia continuă (6.67) cu (6.16) sub următoarea formă:


( )

η

η

+

η

⋅

η+ηηψηψ

µ−

η

η−η

+

η

⋅

η−η+ηη−ηψηψ

µ

=

η

ψη+ψ

∫

∫

∞

−η

∞

∞

d)()(kT

d)()()(kT

d

d

dt

dN

N

3

1

3

13

1

3

1

0

3

1

3

13

1

3

1

0

11

3

2

11

3

21

(6. 73)

Schimbarea cu timpul a numărului de concentraţie se obţine integrând peste toate coliziunile:

∫ ∫∞ ∞

∞ ⋅⋅⋅⋅β−=0 0

50 vddv)v(n)v(n)v,v(.dt

dN

(6. 74)

Factorul 0.5 este introdus deoarece integralele duble numără fiecare coliziune de două ori: prin substituirea (6.69) şi (6.16) în (6.74) se obţine:

213

2∞

∞ ⋅⋅+µ

⋅−= N)ba(

Tk

dt

dN

(6. 75)

unde:

η⋅ψ⋅η= ∫∞

da0

3

1

(6. 75a)

şi

η⋅ψ⋅η= ∫∞

−

db0

3

1

(6. 75b)

Ecuaţia următoarea, (6.76) provine din aceeaşi formă, ca şi (6.21), pentru scăderea numărului total de concentraţie într-un sistem monodispers, diferind constanta:


( )

( ) 01

21

31

0

3

1

3

1

=η

η

η−η+ηψ⋅η−η⋅ψ

+ψ⋅

η⋅−η⋅−⋅+

η

ψη⋅+

∫∞

d)(

abbad

dba

/

(6. 76)

care este o soluţie integrodiferenţială normală pentru ψ cu η, fiind o variabilă independentă.

În acelaşi mod, transformarea de similaritate (6.69) reprezintă o posibilă soluţie particulară a ecuaţiei de coagulare, împreună cu mecanismul de coagulare a mişcării browniene. Totuşi, este încă necesar a arăta că poate fi găsită o soluţie pentru ecuaţia transformării (6.76) cu (6.70) şi (6.71).

Soluţiile analitice ale (6.76) dau minimele şi maximele distribuţiei, prin aproximări corespunzătore.

Distribuţia completă poate fi obţinută numeric prin potrivirea distribuţiilor pentru maxime şi minime, subiectele integrării formelor (6.70) şi (6.71) fiind :

10

=η⋅ψ∫∞

d

(6. 76a)

şi

10

=η⋅ψ⋅η∫∞

d

(6. 76b)

Rezultatele calculului numeric sunt prezentate în figura 6.8 unde sunt comparate cu calculele numerice extrase pentru spectrul discret, începând cu un sistem monodispers. Există o bună concordanţă între cele două metode de calcul. Alte calcule indică faptul că, forma similarităţii este o soluţie asimtotică independentă de distribuţiile iniţiale studiate până acum.Valorile lui a şi b, au fost găsite ca fiind 0.9046 respectiv 1.248. Prin (6.75) găsim o corespondenţă de 6.5, creştere a constantei de coagulare comparată cu valoarea aerosolilor monodisperşi (6.21). Rezultatele mai multor calcule recente, folosind o metodă secţională discretă, sunt cuprinse în tabelul 6.2. Pentru a preciza mărimea distribuţiei unui aerosol ce coagulează într-o cameră fără depuneri, se aplică următoarea procedură: concentraţia volumetrică a aerosolului este presupusă constantă şi egală cu valoarea ei iniţială (cunoscută). Schimbarea numărului concentraţiei cu timpul se calculează cu relaţia (6.75).

Mărimea distribuţiei în orice moment, poate fi aflată pentru orice valoare a v=φη/N∞, din relaţia n = ( N∞

2/ φ) ψ(η). Calculul este reaizat pentru o rază de

valoare η. A fost măsurată, [24], schimbarea funcţiei de distribuţie a mărimii particulei cu timpul, pentru coagularea fumului unei ţigări. Fumul ieşit de la o ţigară a fost repede amestecat cu aer curat, iar amestecul a fost introdus într-un


recipient de 12 litri, unde a avut loc coagularea.

Rata de diluare a fost de 294 volume de aer la 1 volum de fum dens. Pentru a urma procesul de coagulare, mostrele de fum au fost luate din balon la intervale egale de 4 minute şi au fost transferate într-un colector centrifugal de aerosoli, unde au fost clasificate.

Fig. 6.8. Distribuţia particulelor autoconservante pentru coagularea browniană.

Tabel 6. 2.

Valorile distribuţiei mărimii autoconservante pentru (ψc) - molecule continue şi (ψf )-

molecule libere, [25,26].

η ψf ψc η ψf ψc

0.006 0.0408 0.1218 0.080 1.0486 0.8384 0.007 0.0632 0.1581 0.090 1.0605 0.8559 0.008 0.0891 0.1933 0.1 1.0649 0.8678 0.009 0.1176 0.2271 0.2 0.9668 0.8755 0.010 0.1479 0.2592 0.3 0.8351 0.8563 0.015 0.3079 0.2895 0.4 0.7232 0.7883 0.020 0.4560 0.4170 0.5 0.6309 0.7156 0.025 0.5809 0.5124 0.6 0.5542 0.6466 0.030 0.6830 0.5852 0.7 0.4895 0.5830 0.035 0.7654 0.6418 0.8 0.4344 0.5252 0.040 0.8315 0.6868 0.9 0.3871 0.4730 0.045 0.8846 0.7230 1 0.3459 0.4259 0.050 0.9271 0.7525 1.5 0.2041 0.3834 0.060 0.9880 0.7766 2 0.1247 0.2271 0.070 1.0261 0.8132 2.5 0.0777 0.1348


Mărimile curbelor de distribuţie au fost măsurate, împreună cu valoarea totală a numărului de particule, pe unitatea de volum, obţinându-se astfel, prin integrare, grafică a mărimii distribuţiei curbelor. Fracţiunea de volum a

materialului din aerosol a fost 71011.1 −×=φ . Teoria şi experimentul sunt comparate în figura 6.9 şi figura 6.10.

Fig. 6.9. Comparaţie pentru distribuţia experimentală a mărimii pentru fum de tutun.

Fig. 6.10. Date experimentale şi teoretice pentru fumului de tutun din aerosol.

În figura 6.9 punctele experimentale de îmbătrânire la fiecare 30 de secunde


sunt prezentate sub o formă teoretică de prezicere. În această comparaţie cu ipoteza spectrului mărimii autoconservante s-a considerat φ=1.11*10 -7, N∞=1.59*107 cm-3.

În figura 6.10 sunt prezentate rezultatele măsuratorilor schimbărilor în funcţia de distribuţie a timpilor măsuraţi, în comparaţie cu teoria. În concluzie, convenţia este corectată. Rezulatele experimentale scad semnificativ de mult faţă de teorie în partea de sus a spectrului, (particule de dimensiuni mari). Calcul a considerat φ=1.11*10 -7 şi valoarea experimentală a lui N∞.

6.11. Soluţii similare pentru coagularea în regimul

moleculelor libere

În general, când frecvenţa ciocnirilor β(v, v ) este o funcţie omogenă a particulelor de volum, se poate efectua transformarea într-o ecuaţie diferenţială întreagă.

Funcţia β(v, v ), se spune că este omogenă şi depinde de gradul λ, dacă β(αv,

α v ) =λα β(v, v ). Oricum, chiar dacă transformarea e posibilă, o soluţie a ecuaţiei

transformate nu poate să existe, astfel încât să satisfacă o condiţie la limită şi o integrală la limită.

Când particulele sunt aşa de mici, astfel încât să fie o cale liberă, frecvenţa funcţiei de coliziune este dată de (6.17):

2

3

13

12

12

1

6

1

116

4

3

+

+

ρ

π=β

−

vvvv

kT)v,v(

p

(6.77)

care este o funcţie omogenă de ordinul 1/6 dintr-o particulă de volum. O transformare similară se poate efectua şi poate fi găsită o soluţie a

transformatei ecuaţiei, [28]. Valoarea mărimii adimensionale a funcţiei de distribuţie ψ(η), pentru

moleculele libere şi a regimului continuu, sunt de asemeni date în tabelul 6.2. Pentru regimul moleculelor libere, schimbarea numărului total de particule cu

timpul este:

6

11

6

12

1

6

1

6

4

3

2 ∞∞

−= N

kT

dt

dN

p

φρπ

α

(6. 78)

în care constanta α este o funcţie integrală de ψ şi se găseşte ca fiind 6.67, din calcule numerice.

Pentru coagularea unor particule ultrafine există o bună concordanţă a datelor experimentale cu cele simulate prin metoda Monte Carlo.


6.12. Timpul de atingere al autoconservării distribuţiei

Timpul necesar pentru a ajunge la forma de autoconservare depinde de distribuţia iniţială. Cu cât distribuţia iniţială ajunge mai aprope de forma asimptotică, cu atât se măreşte viteza de apropiere.

Pentru aerosolii iniţiali monodisperşi perioada de timp necesară pentru a ajunge la autoconservare este, [29]:

( )

1

6

1

0

2

1

6

1

06

4

35

−

∞

⋅

ρ

π=τ Nv

kT

p

ad

(6. 79)

pentru regimul de molecule libere unde v0 , reprezintă volumul iniţial al particulei. Pentru regimul continuu avem:

( )1

3

0213

−

∞

µ

⋅⋅=τ

NTkad

(6. 80)

Criteriul necesar atingerii formei de autoconservare a fost reprezentat de faptul că, deviaţia geometrică standard (σg), a funcţiei de distribuţie, ar trebui să fie aproximativ ± 1% din asimptotica de autoconservare σg.

Având în vedere acest lucru, ar trebui reţinut faptul că, distribuţia autoconservării poate fi aproximată cu o funcţie de distribuţie cu σg =1.44 şi 1.46, pentru regimurile continue şi ale molecului libere.

Când mărimea distribuţiei iniţiale este normală, timpul de atingere a autoconservării depinde puternic de cât de departată este σg iniţial, de valoarea pentru forma asimptotică.

În figura 6.11 se prezintă timpul necesar τf pentru distribuţia normală, timp necesar pentru a atinge autoconservarea prezentat sub forma unei funcţii de σg0:

( )

1

6

1

0

2

1

6

1

06

4

3

−

∞

ρ

πτ= Nv

kTt

p

fad

(6. 81)

Pentru un aerosol monodispers, cu un diametru iniţial al particulei de 1nm şi o concentraţie iniţială de 1018 particule pe cm3 la 1800 K, timpul necesar atingerii autoconservării este de 34 nsec.

Pentru o concentraţie iniţială de 1016 avem timpul de 3.4 µsec. În practică, fiecare volum de gaz poate avea numeroase schimbări de

temperatură în timp.


Fig. 6.11. Timpul necesar atingerii autoconservării.

La concentraţii mari de particule, distribuţia de mărime, în orice volum de gaz, se poate autoconserva, dar diferit, în comparaţie cu distribuţia din alte volume de gaz. Din această cauză distribuţia se poate autoconserva local. Aria autoconservării va fi mai extinsă decât pentru orice autodistribuţie individuală. Mărimea distribuţiei funcţiei de autodistribuţie în cazul aerosolurilor combinaţi poate fi diversificată, ca mod de obţinere, dacă există o serie de perioade clar diferite. Aceasta înseamnă că autodistribuţia poate fi autoconservată local. Mostre din multe particule de gaz sau colectate din curgerea gazului, vor produce o compoziţie de autoconservare a distribuţiei locale. Expansiunea compoziţiei distribuţiei va fi mai mare decât orice altă autoconservare a distribuţiei, ceea ce reprezintă un minim.

77 .. DD II NN AA MM II CC AA CC OO MM PP UU ŞŞ II LL OO RR ::

FF OO RR MM AA RR EE ŞŞ II

RR EE SS TT RR UU CC TT UU RR AA RR EE

După cum se cunoaşte, ciocnirea particulelor sferice conduce la formarea unor particule mai mari, prin fenomenul de coalescenţă (aglomerare sau coagulare). De regulă, termenul de coagulare este utilizat pentru a desemna unirea unor molecule lichide, astfel încât particula rezultată este în principiu, sferică. Aglomerarea, în general, desemnează alipirea fizică a particulelor, astfel încât particula rezultată nu este, de regulă, sferică; nu este exclusă nici posibilitatea unor alipiri chimice şi formarea de particule sferice. Particulele iniţiale care se ciocnesc sunt numite particule primare şi sunt, în majoritate, generate din procese industriale sau naturale. Procesul de sfărâmare a aglomeratului în particule mai mici, care, în general, nu coincid cu cele iniţiale din care s-a format aglomeratul, este denumit restructurare.

Particulele primare generate de procesele industriale sau naturale sunt aproape polidisperse. În analiza teoretică a aglomeratelor compuse din astfel de particule, acestea se presupun a fi monodisperse. Aglomeratele pot varia ca mărime, de la câţiva microni la 100 nm.

Aglomeratele apar în emisiile de la surse, cum ar fi, motoare diesel şi combustia cărbunelui pulverizat, în producţia comercială de particule fine. Emisiile particulare care provin din combustia cărbunelui şi din incinerare pot fi produşi direct din fragmente de cenuşă anorganică oiginală sau prin volatilizarea selectivă a unui compus din cenuşă.

Practic, s-a demonstrat că, de cele mai multe ori, aglomeratul se restructurează în particule mai mici şi apoi se poate reforma un nou aglomerat. Acest proces este permanent şi dinamic.

Pentru a analiza dinamica mărimii distribuţiei particulei rezultate, deci a aglomeratului format, este necesară stabilirea unor metode de caracterizare a structurii aglomeratului şi influenţa mişcării browniene sau câmpurilor de forţe externe, asupra formării şi structurii aglomeratului.

Dinamica mărimii de distribuţie depinde puternic de structura aglomeratelor, de mărimea particulelor primare şi de mărirea volumului de aerosol.

Modul în care se comportă dinamica aglomeratelor diferă semnificativ de cea a particulelor sferice, mai ales în domeniul molecular liber (dp << lp). Aglomeratele nu sunt structuri rigide. Evidenţa restructurării interne a aglomeratelor aerosol şi flexibilitatea nanoparticulelor înlănţuite sunt importante pentru analiza comportamentului acestor aglomerate.


7.1. Caracterizarea aglomeratului

Structura unui aglomerat este destul de neregulată după cum se observă din figura 7.1 , în care este prezentată imaginea unor aglomerate de aluminiu, generate de oxidarea aluminiului trimetil, în flamă de metan-aer. Cea mai lungă dimensiune a aglomeratelor este cca 0.25µm.

Fig. 7.1. Structura unor aglomerate de aluminiu.

Un aglomerat poate fi considerat a fi compus din particule primare Np , de rază ap0. De obicei, există variaţii de mărime ale particulelor primare, dar teoretic se neglijează. Structura aglomeratelor are o rază caracteristică, R, care în figura 7.1 este de ordinul a câteva zecimi de microni.

S-a determinat experimental că, în multe cazuri de interes practic, numărul total al particulelor primare Np , într-un aglomerat, este raportat la R , printr-o expresie de forma:

fD

p RN ≈

(7. 1)

unde exponentul Df este dimensiunea fracţională sau dimensiunea H (Hausdorff). Această relaţie este, de obicei, adevărată din punct de vedere statistic,

rezultată din calculul mediei aritmetice a mai multor aglomerate cu acelaşi Np. Valoarea lui Df depinde de detaliile procesului de formare a aglomeratului.

Pentru aglomerate compacte avem Df → 3, în timp ce pentru structurile înlănţuite avem Df → 1.

De regulă, Df poate fi raportat la aranjarea particulelor primare în cadrul aglomeratelor.

7.1.1. Funcţii de corelare

Formarea controlată a aglomeratelor este întâlnită în procesele industriale de depunere a unor pelicule metalice, cât şi de topire a unor filamente electrice încălzite. Pe baza măsurătorilor efectuate, [3], în urma experimentelor de depunere

Dinamica compuşilor: formarea şi restructurarea 219

browniană a vaporilor din filamente în atmosferă de heliu, s-a constata formarea unor aglomerate din particule primare de circa 7 nm.

Aglomeratele particulelor primare, formate de ciocnirea browniană, au fost analizate la microscopul electronic şi au fost caracterizate măsurând densitatea medie a punctelor ocupate de particule, la o distanţă r , de fiecare punct ocupat, pentru toate valorile lui r. Fotografiile aglomeratelor depozitate sunt proiecţii bidimensionale ale obiectelor tridimensionale.

Când Df < 2, proiecţia bidimensională are aceeaşi valoare a lui Df , ca aglomeratul tridimensional original, datorită unei mici suprapuneri printre particulele primare compatibile cu Df ≤ 2.

Pe baza acestor date s-a propus o funcţie a densităţii autocorelate, între perechi de particule primare.

Pentru un aglomerat tridimensional, considerăm ρ(r’) , densitatea la punctul de referinţă a vectorului r’ şi ρ(r’+r) , densitatea la r’ + r , cu observaţia că ρ = 1, dacă locul este ocupat şi ρ = 1 , dacă nu este ocupat.

Funcţia c(r), densitatea medie a punctelor ocupate la o distanţă r , de orice alt punct ocupat , este:

∑ +ρ⋅ρ='rp

)r'r()'r(N

)r(c1

(7. 2)

unde r este magnitudinea distanţei dintre puncte, iar Np este numărul total de perechi al particulelor numărate.

Această funcţie se presupune că depinde doar de distanţa r , ce separă cele două puncte. Numărătoarea este limitată la valori ale lui r mult mai mici decât mărimea aglomeratului şi mult mai mari decât particulele primare.

O relaţie simplificată a funcţiei de corelaţie este de forma, [3]:

Brrc −≈)(

(7. 3)

unde B este determinat prin măsurători, [4,5,6]. Tendinţa aglomeratelor de a urmări o lege a puterii a fost confirmată de

comportamentul aglomeratelor compuse din diverse materiale. Dacă se consieră funcţia de corelare (7.3), numărul total de particule într-un

aglomerat tridimensional de rază R ,este:

∫−⋅⋅π≈ drrrN

Bp

24

(7. 4)

care după integrare conduce la, fD

p RN ≈ , identică cu (7.1), sau fDpNR

1

≈ , dacă

poaR >> şi în care , BD f −= 3 .

Din panta funcţiei de autocorelare, poate fi obţinută valoarea lui Df. Alte metode de determinare a lui Df sunt din imagini ale aglomeratelor, [3, 7].


Valoarea lui c(r) nu defineşte complet structura aglomeratului. Funcţiile corelate de ordin mai mare vor fi necesare pentru o mai completă definire a structurii aglomeratului. Astfel, Df reprezintă doar o descriere parţială a morfologiei.

Aglomeratele sunt fracţionale din punct de vedere statistic. Ecuaţia (7.1) descrie raza medie a multor aglomerate cu acelaşi Np şi cu aceeaşi mărime a particulelor primare. Aglomeratele nu sunt fracţii adevărate, pentru că nu sunt pe o scară infinit invariantă. Limita inferioară a mărimii unui aglomerat este particula primară (Np = 1).

Pentru multe aplicaţii practice, relaţia puterii (7.1) necesită o constantă sau un coeficient proporţional adecvat.

Se consideră cazul particulelor primare monodispersate, de rază ap0 , care se supun unei corelaţii la o putere şi considerăm că procesul de aglomerare este independent de ap0. Proprietăţile statistice ale aglomeratelor produse de acest proces nu depind de magnitudinea lui ap0. Deci, dacă ap0 ar fi multiplicat cu un factor de zece, valoarea lui Df nu ar fi afectată şi nici alte funcţii corelate ale particulelor de ordin înalt nu ar fi luate în considerare în această analiză. Aceasta înseamnă că sistemul ar trebui să măsoare R/ap0, astfel că (7.3) devine:

fD

p

pa

RAN

⋅=

0

(7. 5)

Constanta A depinde de modul în care R, raza caracteristică a aglomeratelor, este definită şi, de asemenea, mai depinde de procesul prin care aglomeratele se formează şi de numărul lui Knudsen. Valoarea lui A poate varia pentru diferite valori ale lui Df. Dacă r → ap0 (Np → 1), atunci A are valoare unitară. Totuşi, pentru Df ≠ 3, relaţia (7.5) se aplică doar pentru valori mari ale lui Np, unde R >> ap0.

Mărimea aglomeratului caracteristic, cel mai des folosită, este variaţia diametrului, definit ca diametrul unei sfere cu acelaşi coeficient de frecare ca şi al aglomeratului, în condiţii dinamice similare, astfel că raza de rotaţie este:

∑∑ ⋅

=i

i i

gm

rmR

2

(7. 6)

unde m este masa particulei primare, iar ri este distanţa particulei primare din centrul masic.

Diametrul variabil este valoarea care, de obicei, este raportată la studii experimentale, pentru că este uşor de măsurat şi depinde, în mod complex, de mecanica fluidului şi/sau de interacţiunile moleculare între gaz şi aglomerat. Raza de rotaţie este un parametru geometric, care depinde doar de dispunerea spaţială a particulelor în aglomerate.


Diametrul variabil este, de obicei măsurat, folosind un analizor variabil diferenţial. În intervalul moleculelor libere, diametrul variabil, măsurat în acest fel, nu este influenţat de direcţia câmpului electric. Mişcarea browniană conduce la orientarea aleatorie a aglomeratelor şi diametrul variabil va fi calculat ca valoare medie. Acest diametru ar trebui să fie apropiat de calculele din viteza de formare a aglomeratelor. În regim continuu aglomeratele pot deveni orientate, ca şi cum se mişcă în interiorul gazului, sub un potenţial aplicat. Aceasta va afecta măsurarea diametrului variabil şi poate cauza erori în calculul vitezei de formare a aglomeratului prin agitaţie browniană.

În intervalul moleculei libere este important diametrul sferei, cu aceeaşi proiecţie a ariei cu a aglomeratului. Relaţiile dintre diametrul variabil, raza de rotaţie şi diametrul echivalent a proiecţie ariei aglomeratului, au permis determinarea coeficientului A. Valoarea factorului A , pentru molecule libere şi regim continuu, este cuprinsă între 0.95 şi 1.43, [8]. Valorile mai mari ale lui A au fost raportate în regimul tranzitoriu, [9]. Valorile lui A şi R , luate ca raze de rotaţie, sunt cuprinse între 1.05 şi 1.59 , pentru agregarea aglomeratelor deja formate. Aceste valori au fost calculate pentru ambele regimuri ale moleculelor, regimul continuu şi regimul moleculei libere. Pentru aglomeratele de negru de fum, formate în flacăra metan-aer, A = 1.23 ± 0.07, [10].

7. 2. Modelarea şi simularea formării aglomeratelor

În simularea computerizată a formării aglomeratelor, particulele eliberate în anumite poziţii în spaţiu se mişcă într-o manieră specificată, înainte de a veni în contact. Sunt necesare unele ipoteze simplificatoare în ceea ce priveşte natura aglomerării între ciocniri şi natura proceselor de ciocnire. Aceste ipoteze pot aproxima ciocnirile aglomeratelor reale sau pot fi versiuni idealizate ale proceselor reale. Simularea computerizată aduce informaţii despre structura aglomeratelor din care pot fi obţinute dimensiuni fracţionale, cât şi informaţii ale distribuţiilor mărimilor aglomeratelor.

Au fost construiţi algoritmi de calcul pentru a simula procesul de aglomerare, [11]. Calculele bazate pe aceşti algoritmi produc structuri ale căror valori ale lui Df tind să se apropie de o limită asimptotică, care depinde de algoritm. Se consideră 3 tipuri de algoritmi, fiecare având două subcazuri. Aceste 6 exemple sunt ilustrate în figura 7.2.

7. 2.1. Agregarea prin difuzie browniană

Sunt posibile două tipuri de agregare prin difuzie browniană. În primul, la originea agregatului format (bidimensional sau tridemensional)

stau numai particule primare individule. O particulă primară este considerată fixă şi o altă particulă este eliberată dintr-o poziţie aleatorie, într-un volum care înconjoară particula fixă. Particula nou eliberată îşi însuşeşte un mers aleatoriu, până când se


ciocneşte cu particula fixă sau iese din volum. O altă particulă este apoi eliberată şi procesul este repetat la infinit. Aglomeratele generate în acest mod au o dimensiune fracţionară de 2.5 şi au un centru mai mult sau mai puţin bine definit.

Aglomeraţia de aerosoli nu este limitată la ciocnirea dintre particula primară şi aglomerate. Al doilea submod de formare a agregatului este având la bază aglomeratele formate, care se ciocnesc brownian.

Calculul începe cu particula primară, distribuită într-o poziţie de structură tridimensională. Aceste particule execută o mişcare aleatorie şi formează aglomerate care se ciocnesc, de asemenea, pentru a forma aglomerate mai mari. Structurile rezultate sunt înlănţuite (Df = 1.80)

Fig. 7.2. Comparaţie a structurii aglomeratelor formate prin simulare numerică.

7. 2.2. Agregarea prin ciocnire plastică

În procesele ciocnirii plastice se consideră că particulele de aerosol se mişcă liniar între două ciocniri. În momentul ciocnirii, particula care are o viteză mai mare intră mai adânc în particula sau agregatul format, care se mişcă cu o viteză mai redusă, producând structuri compacte, cu Df = 3.0. Direcţia şi mărimea traiectoriei liniare este aleatoare.

În cazul ciocnirii plastice a două aglomerate de particule, se produc structuri înlănţuite, cu Df ≈ 1.95. Ca şi în agregarea prin difuzie browniană, ciocnirile dintre agregate produc aglomerate cu valori mai mici ale lui Df decât iniţial.

Nanoparticula de funingine (negru de fum) şi cuarţul, sunt produse comercial în cantitaţi mari, sub formă de aditivi, pentru fabricarea cauciucului şi alte procese industriale din procesarea aerosolului la temperaturi înalte. Aglomerateleproduse


comercial seamană cu produsele agregatului aglomerat – aglomerat.

7. 2.3. Agregarea prin adeziune limitată

În ambele modele de agregare prezentate anterior, prin difuzie browniană şi ciocnire plastică, se produce întotdeauna un agregat compus prin adeziune. Acesta este, de obicei, cazul când particulele submicronice de aerosoli se ciocnesc, cu condiţia ca acestea să nu aibă încărcări de aceeaşi mărime. Atunci când particulele care se ciocnesc au sarcini electrice de acelaşi fel, poate exista o barieră la adeziunea particulă-particulă rezultată, de exemplu, de la stratul dublu electric.

Rezultatul barierelor la adeziune poate fi simulat în calcule computerizate extinzând modelul de difuzie, pentru a necesita ciocniri repetate înainte de lipire. Acest proces, cunoscut ca agregarea prin adeziune limitată, conduce la structuri mult mai compacte decât modelele anterioare.

În acest caz, agregatul produs de două particule sau o partciculă şi un agregat are valoarea lui Df apropiată de 3, în timp ce pentru agregatul aglomerat–aglomerat, Df se apropie de 2. Valoarea asimptotică apropiată de Df , depinde de numărul ciocnirilor care sunt cerute înainte ca fuziunea să aibă loc.

7. 2.4. Numărul de coordonare şi dimensiunea fracţionară

Un număr de coordonare al aglomeratului, cN , poate fi definit ca număr mediu de contacte al particulelor, în structura unui aglomerat. Numărul de coordonare este important pentru a înţelege mecanica aglomeratelor şi proprietăţile lor electronice. De asemenea, valoarea lui cN poate fi legată de termodinamica restructurării aglomeratelor.

Formarea unui aglomerat reduce suprafaţa totală a energiei libere a unui nor de particule elementare, neataşate, cu energia liberă a legăturilor prezente în aglomerat.

Informaţia despre cN este mult mai limitată decât cea referitoare la Df. La fel ca Df şi cN , depinde de algoritmul de calcul care determină procesul aglomeratului. Oricum, nu există o relaţie unică între cN şi Df , cu excepţia structurilor înlănţuite, pentru care Df = 1 şi cN = 2 (neglijând capetele înlănţuirii).

Pentru structurile aglomeratelor compacte Df = 3 şi cN poate avea valori mult mai mari, în funcţie de mecanismul de formare şi restructurarea internă succesivă.

Variaţia lui cN cu Np , a fost studiată utilizând simulările pe calculator a formaţiunilor aglomeratelor prin metodele prezentate, [12, 13]. Utilizând simulările aleatoare de tip Monte Carlo, aglomeratele particulelor primare au fost generate prin cele trei tipuri de agregare.

Tipul reţelei (cubic/hexagonal) pentru mersul aleatoriu, a afectat cN, dar nu şi Df. Pentru a micşora probabilitatea de lipire, cN şi Df cresc datorită faptului că, particulele primare penetrează mult mai adânc în aglomerate. Numărul de coordonare este, de asemenea, influenţat de numărul particulelor primare pe aglomerat, Np.


7. 2.5. Simulări de aglomerate

În simularea agregării prin difuzie browniană, timpul şi mărimea intervalelor, de obicei, nu sunt direct legate de mărimea particulelor şi proprietăţile gazului. O legătură directă a fost făcută, [7], pe baza calculelor ecuaţiilor 2.38–2.40, prin introducerea vâscozităţii gazului, a temperaturii şi diametrului primar al particulelor, [4,7].

Calculele pentru traiectoriile particulelor acoperă şi moleculele libere şi intervalele continue. Pentru a stabili poziţia iniţială a particulelor în regiunea cubică în spaţiu, a fost folosit un generator de numere aleatorii. Tendinţele particulei iniţiale au fost stabilite folosind un număr aleatoriu, pentru a produce numere normal distribuite pentru particulele care sunt în echilibru termic cu gazul purtător. Condiţiile legăturii periodice au fost folosite pentru a elimina influenţa suprafeţei cubului în mişcarea aglomeratului.

Parametrul de control analizat este timpul de relaxare al particulei,

f

m=β−1

(7. 7)

unde m şi f sunt masa, respectiv coeficientul de frecare. Coeficientul de frecare al unui aglomerat compus din Np , particule primare

cu diametrul ap0 , a fost considerat, pornindu-se de la coeficientul de frecare al unei singure particule, ca fiind:

pp Ndf ⋅≅ 20

(7. 8)

Făcând acestă aproximare, efectul înlănţuit al celorlalte particule primare este neglijat. Atât masa particulei cât şi coeficientul de frecare sunt proporţionale cu Np şi deci, β ,este independent de mărimea aglomeratului.

În intervalul moleculelor libere, aglomeratul modifică diametrele unora dintre particule, înainte de a-şi schimba direcţia, în timp ce în regim continuu aglomeratul difuzează o mică parte din diametrul particulei, înainte de o schimbare a direcţiei, semnificativă. Estimarea duce la mişcarea particulei pentru descrierea translaţiei, dar nu pentru rotaţie.

Studiile au arătat efecte semnificative ale rotaţiei aglomeratului în dimensiunea fracţională. Valoarea lui Df , pentru aglomerate a fost determinată în funcţie de R şi Np şi este cuprinsă între 1.89 şi 2.07 , în intervalul moleculelor libere.

Calculele pentru regimul continuu dau valori lui Df , similare cu cele pentru regimul moleculelor libere. Aceste valori se încadrează în intervalele determinate pentru ciocnire plastică şi aleatorie ale agregaţiei cu adeziune limitată, [4].

Mărimea estimată a distribuţiilor aglomeratelor, date de agregatele aglomerat – aglomerat, se poate apropia de o formă de autoconservare, [14].


7. 3. Distribuţia mărimii aglomeratului

Distribuţia mărimii aglomeratului poate fi ,de asemenea, calculată folosind o formulă aproximativă pentru coliziunea nucleului. Este o diferenţă fundamentală între această aproximare şi simularea numerică directă a procesului de coagulare. În simularea pe calculator, valoarea lui Df este determinată de algoritmul coliziunii şi necesită mai întâi o alegere a valorii lui Df , care apare în coliziunea nucleului. În intervalele moleculei libere, forma elementară a coliziunii nucleului este presupusă a fi aceeaşi ca la teoria cinetica a coliziunii sferelor rigid elastice,

( ) ( )2

1

2

1

2 11

2

+⋅

π⋅

⋅+π=βji

pjpijimm

Tkddv,v

(7. 9)

unde ( )2pjpi dd +π este coliziunea peste secţiunea aglomeratelor de clase i şi j, iar

2

1

2

1

11

2

+⋅

π⋅

ji mm

Tk este tendinţa relativă medie între aglomeratele ciocnite.

Deci, frecvenţa de coliziune ( )ji v,vβ este echivalentă cu volumul de gaz

degajat pe unitatea de timp, de către ciocnirea aglomeratelor. Expresia pentru tendinţa relativă medie este bazată pe presupunerea că, aglomeratele sunt în echilibru termic în relaţia puterii aglomeratului,

fD

p

pa

RA

v

vN

⋅==

00

(7.10)

unde ap0 este raza particulei primare într-un aglomerat şi v este volumul solidelor în aglomerate.

Valoarea determinată statistic pentru R mediu, calculat pentru mărimea mai multor aglomerate Np (sau v) este folosită ca raza coliziunii în ecuaţia (7.9).

Dacă dimensiunea fracţionară a aglomeratelor este între 2 şi 3, proiecţiile plane ale secţiunilor transversale ale aglomeratelor sunt date de:

secţiunea transversală ~ (Ri + Rj)2

(7.11)

sau ţinând seama de (7.10),

secţiunea transversală ~ (i1/Df

+ j1/Df

)2, (2 ≤ D f ≤ 3)

(7.12)

Pentru Df > 2 sau j >> i, secţiunea transversală calculată în (7.12), creşte mai rapid decât liniaritatea lui j. În acest caz, secţiunea transversală a aglomeratului va fi mai mare decât suma secţiunilor transversale ale particulei primare care compune


aglomeratul. Acest caz nu este posibil, pentru că unele dintre particulele interne din aglomerat sunt ecranate de alte particule. Deci, aplicarea relaţiei (7.12) este limitată la Df > 2.

În simularea pe calculator discutată anterioar, dimensiunea fracţionară şi distribuţia mărimii aglomerate sunt determinate de algoritmul coliziunii. În calculele bazate pe ecuaţiile de distribuţie, valoarea lui Df este stabilită anterior şi distribuţia aglomeratului este calculată independent. Se presupune că Df este constantă. Această presupunere s-a dovedit corectă, prin simularea pe calculator a aglomeratului.

Pentru că volumul aglomeratului este 3

3

4Rπ , rezultă că densitatea

aglomeratului, 3

3

4R

N p

a

π=ρ , este proporţională cu

3−fDR .

Cum parametrul 3−fD este negativ, rezultă că ρa trebuie să descrească cu

creşterea mărimii particulei, [11]. În analizele care urmează se presupune că A este constant în (7.10) şi este

egal cu unitatea, pentru a simplifica calculele ; această constantă este introdusă în ( )ji v,vβ . Această ipoteză este corectă dacă există informaţii mai precise despre A.

Considerând A = 1, relaţia (7.9) devine:

( ) )R(,vvvv

aTk

v,v pfD

jfD

i

ji

fD

pji l<<

+

+

π

ρ⋅

=β−λ

11

4

36211

2

16

2

0

2

1

(7. 13)

unde 2

12−=λ

fD.

Pentru intersecţia domeniilor, Df = 3, expresia se reduce la simpla coagulare. Ecuaţia (7.13) poate să nu fie valabilă pentru ciocnirea unei particule mari cu o particulă mică. Diametrul ciocnirii între o particulă şi un aglomerat, în ipoteza adeziunii limitate, depinde de numărul Knudsen , Kn, la fel ca Df, [15].

În analiza prezentă s-a presupus că diametrul coliziunii se măsoară doar cu Df. Pentru că rata coliziunii între aglomeratele mari şi particulele primare este ridicată, alimentarea cu particule primare este rapid epuizată. Efectul numărului Kn rămâne cel mai important în timpul primelor etape ale coliziunii. În concordanţă cu acestea, relaţia (7.13) nu este valabilă pentru Df < 2, în regimul moleculei libere, propunându-se alte modele, [16,17].

În regimul continuu, frecvenţa de coliziune pentru aglomerate este bazată pe expresia:


( ) ( ) ( )jipjpiji DDddv,v +⋅+⋅π=β 4

(7. 14)

unde dpi este diametrul coliziunii. Pentru Np >> 1000, coeficienţii de difuzie ai aglomeratelor Di , se apropie de valoarea Stokes – Einstein, pentru o sferă impermeabilă cu diametrul egal cu cel al coliziunii dpi, [18].

Astfel, pentru legea puterii aglomeratelor, frecvenţa de coliziune devine:

( ) ( )1000 11

3

211

11 >>

+⋅

+µ⋅

=β pfD

jfD

i

fD

jfD

i

ji N,vv

vv

Tkv,v

(7. 15)

7. 4. Autoconservarea distribuţiei mărimii aglomeratelor

Frecvenţa de coliziune pentru aglomerate, considerând legea puterii, este funcţie omogenă de volumele particulelor care se ciocnesc:

( ) ( )jiji v,vv,v β⋅α=⋅α⋅αβ λ

(7. 16)

unde i şi j sunt numerele particulelor primare în aglomerate şi λ este gradul de

omogenitate, 2

12−=λ

fD. Pentru regimul moleculelor libere avem λ = 0, pentru

regimul continuu, deci independent de Df. Proprietatea omogenităţii face posibilă utilizarea autoconservării pentru

soluţionarea distribuţiei mărimii asimptotice a legii puterii aglomeratelor. Rezultatele au avantajul asigurării relaţiilor simple, uşor de interpretat şi testat, pentru dependenţa funcţiei de distribuţie a mărimii particulei în timp. Aşa cum am notat anterior, valoarea lui Df este independentă, nu poate fi determinată fără a face câteva ipoteze simplificatoare.

Ecuaţiile de autoconservare primară se determină introducând variabile similare în ecuaţiile folosite în teoria pentru coagularea particulelor:

( )ηψ⋅φ

= ∞2

N)v(n

(7. 17)

undev

v=η ,

∞

φ=

Nv şi v este volumul solidelor în particulele aglomerate. Ca şi în

teoria autoconservării clasice, se presupune că, concentraţia volumetrică a solidelor, φ ,este constantă. Această presupunere poate fi micşorată în cazuri determinate, precum condensarea, când rata de condensare urmăreşte relaţii specifice.

Rata de descreştere a numărului de unităţi N∞ ,a particulei, este dată de:


( )∫ ∫∞ ∞

∞ ⋅⋅⋅⋅β−=0 02

1jijiji dvdvnnv,v

dt

N

(7. 18)

Acestă expresie poate fi evaluată pentru distribuţia autoconservării în regimul moleculelor libere, ţinând seama de relaţiile (7.13) şi (7.17),

λ−∞

λ∞ ⋅φ⋅⋅−= 2

2

1Nca

dt

N

(7. 19)

unde fD

pakT

c

62

0

2

1

4

36 −λ

π

ρ= , iar coliziunea integrală adimensională a , este:

( )∫ ∫∞ ∞

ηηψψη+η

η+

η=

0 0

2112

1

11

2

1jiji

fD/

jfD/

i

ji

dda

(7. 20)

Pentru a evalua a este necesar să se rezolve autoconservarea, care depinde de Df. Valorile lui a , pentru regimul moleculei libere, variază puţin cu Df, între 2 şi 3, ca în tabelul 7.1, pe aceeaşi direcţie cu 1/Df ,ca şi momentul funcţiei de distribuţie, µ1/Df, [19,20].

Tabel 7.1.

Momentele de distribuţie a mărimii de autoconservare

Df

2.0 2.2 2.5 2.8 3.0

µ1/Df 0.827 0.843 0.867 0.886 0.896 a 7.037 6.748 6.607 6.560 6.552

Pentru Df ≠ 3, c este funcţia particulei primare de mărimea, ap0. Pentru cazul moleculei libere, distribuţia de autoconservare devine mai lată cu scăderea Df, în timp ce îngustarea distribuţiei continuă cu descreşterea Df. Pentru că a fost presupus că Df e constant, λ, c şi a sunt şi ele constante. Dacă Df variază uşor în timp, analizele încă pot fi făcute, chiar dacă timpul de a atinge distribuţia de autoconservare este scurt. Calculele anterioare sunt limitate în domeniul 2 < Df ≤ 3 pentru coliziunea nucleului moleculelor libere. Simulările făcute pe calculator, pentru agregatul aglomerat-aglomerat şi măsurătorile experimentale indică că Df este, în general, mai mic ca 2.

7.4.1. Timpul de a atinge forma conservării

Timpul necesar unui aerosol iniţial, monodispersat, pentru a ajunge la distribuţia de autoconservare, este arătat în figura 7.3. În figură este prezentat


timpul în regimul moleculei libere τf şi continue τc , ca o funcţie de dimensiunea fracţională Df, [20].

Fig. 7.3. Timpul necesar pentru atingerea distribuţiei de autoconservare.

Timpul pentru atingerea distribuţiei de autoconservare este ca, deviaţia standard să fie de 99 % din deviaţia geometrică standard. În regimul moleculei libere acest timpul este:

( )2

1

0

6

1

63

4

0

1

⋅⋅ρ

π=τ

∞ p

faTkN

(7. 21)

iar, în regim continuu este,

( )02

3

∞⋅⋅µ

=τNTk

c

(7. 22)

unde N∞(0) , se referă la numărul concentraţiei iniţiale. În regimul moleculei libere, τf scade de la 4.31, pentru Df =3, la 3.24 pentru

Df = 2. În regimul continuu, τc scade de la 12.68, pentru Df = 3, la 5.8 , pentru Df = 2. Astfel, în ambele cazuri, aglomeratele ajung la distribuţia autoconservării mai

repede decât echivalentul particulelor sferice.


7. 5. Efectul mărimii particulei primare în dezvoltarea

aglomeratului

Mărimea particulelor primare, ce compun aglomeratele, are un efect profund în dinamica dezvoltării aglomeratului, [21]. Au fost analizate particulele rezultate din ardere şi vaporii oxidaţi, pentru a forma particule foarte mici, aglomerate, în gazele arse, [21]. În figura 7.4 a) se prezintă variaţia în timp a diametrului mediu de mobilitate al aerosolului, iar în figura 7.4 b) variaţia în timp a razei de aglomerare, [21].

Fig.7.4. Evoluaţia diametrului de mobilitate şi a razei de aglomerare.

Precursorul aerosolului a fost acetatul de magneziu, nitratul de zinc şi acidul boric. Aglomeratele au fost compuse din MgO şi ZnO, formate din gaze arse. Topirea particulelor de B2O3 fuzionează şi nu formează aglomerate. Aglomeratele de MgO au fost mai mari decât aglomeratele de ZnO, dar au fost compuse din particule mici. Doar un punct a fost obţinut pentru topirea particulelor de oxid boric, care fuzionează ca să formeze particule sferice mici, în loc de aglomerate. Figura 7.4 b) arată că aglomeratele compuse din particule primare mici (raza = ap0) cresc mult mai rapid decât aglomeratele ap0 , mai mari pentru acelaşi φ, Df şi T. Aceasta rezultă în punctul de intersecţie a două curbe care cresc. Rezultatele se aplică la regimul molecular liber. Analizele se reduc la numerele particulelor în aglomerate şi se aproximează cu unitatea (R → ap0).

Aceste rezultate experimentale pot fi explicate calitativ, analizând dinamica aglomeratelor bazate pe rezultatele teoriei autoconservării.

Analizele se limitează la intervalul moleculelor libere. Înlocuind (7.10) şi


(7.17) în (7.19) şi integrând, creşterea volumului mediu ∞

φ=

Nv în timp este,

λ−λ−

⋅φ⋅⋅λ−

+=1

1

10 2

1tcavv

(7. 23)

iar creşterea razei medii este,

z

fD

pzp taa

TkaR

⋅φ⋅⋅⋅

π

ρ⋅λ−

+=−

2

93

0

2

11

0 4

36

2

1

(7. 24)

unde )( λ−

=1D

1z

f

.

Expresiile (7.23) şi (7.24), pentru v şi R , nu sunt pentru un interval scurt de timp, când aglomeratele sunt compuse din câteva particule primare, înainte ca structura legii puterii să fie stabilită. Oricum, aceste expresii pot fi folosite pentru a exprima calitativ tranzacţia de la aglomeratele mici la cele mai mari, cum se arată în figura 7.4.b).

Aglomeratele de particule primare foarte mici (cu raza de circa 1nm), cresc mult mai rapid decât particulele mai mari (cu raza de circa 5nm), cu aceeaşi dimensiune fracţională. Aceste rezultate sunt valabile pentru intervalul moleculelor libere.

Pentru un timp lung (R >> ap0), rata creşterii volumului mediu numeric poate fi aproximat de:

λ−

⋅φ⋅

1

1

2

1

3

4

0 tTa~v

q

p

(7. 25)

iar raza medie a aglomeratului poate fi aproximată de:

( )0

2

2

1

0 pqp aR,tTa~R >>

⋅φ⋅

(7. 26)

cu

3

4D

3Dq

f

f

−

−= .

Când Df = 3, exponentul q = 0, iar mărimea aglomeratului este independentă de mărimea particulelor primare. Acesta este cazul particulelor unite.


Când Df < 3, q este negativ, după cum se remarcă şi din figura 7.5. Pentru aceleaşi valori ale lui T, φ, Df şi t, aglomeratele sunt formate din particule primare mai mici.

Efectul mărimii particulelor primare devine mai important, odată cu descreşterea lui Df ,deoarece magnitudinea lui q creşte.

Când Df = 2, q = -3/2 ,iar mărimea particulei primare are o influenţă majoră asupra creşterii aglomeratelor.

Fig. 7.5. Dependenţa exponentului q ,asupra lui Df , pentru formarea aglomeratului în regim liber, molecular, este mult mai sensibilă decât în regim continuu.

Experimentele cu aglomeratele MgO şi ZnO (figura 7.4.a) au oferit un suport calitativ acestei analize. O transmisie fotomicrografică a aerosolului MgO, a arătat un număr mare de aglomerate compuse din particule primare mici, de circa 5 nm în diametru.

Aspectul aerosolului ZnO este destul de diferit. Aglomeratele ZnO au fost mult mai mici decât particulele MgO, dar au fost compuse dintr-un număr mai mare de particule primare, de aproximativ 10 nm în diametru. S-au observat efecte similare în cazul aglomeratelor produse de către reactorii industriali de aerosol, [22]. În regim continuu, efectul mărimii particulelor primare asupra creşterii aglomeratelor nu este la fel de puternic ca în cazul regimului moleculelor libere.

Dintr-o analiză asemănătoare asupra ciocnirii continue, fD

q3

1−= .

Exponentul este încă negativ, dar arată o funcţiune mai mică a lui Df (figura 7.5). În cazul regimului continuu, mărirea rezultată din creşterea razelor de captare

este echilibrată de mobilitatea mai mică a ciocnirilor. Volumul mediu v , creşte linear, odată cu timpul şi este independent de dimensiunea fracţională sau de


mărimea particulelor primare. Valoarea razei medii, R, este exprimată prin Df şi ap0.

7. 6. Efectul lui Df asupra mărimii aglomeratelor Valoarea lui Df are un efect lărgit asupra distribuţiei prevăzute a mărimii

aglomerării, în cadrul regimului moleculelor libere, [19]. Figura 7.6 arată distribuţiile aglomerărilor pentru valori diferite ale lui Df, bazate pe distribuţiile de măsuri de autoconservare, în cazul regimului moleculelor libere. Distribuţia de mărime, pentru Df=3, este îngustă, în timp ce pentru Df=2 este mult mai largă şi include o proporţie mai mare de particule largi. Rezultatele sunt calulate pentru

nm 50 =pa , 810−=φ , K 1500=T , 3cm

g 2=ρ p , s 50.t = , [19]. Calculele au fost

făcute pentru o încărcare volumetrică, temperatură, mărime a particulelor primare date şi timpul aglomerării cu Df ,fiind luat drept parametru.

Fig. 7.6. Distribuţia mărimii în funcţie de Df.

Valorea selectată pentru încărcarea volumului de aerosol φ , a fost aleasă pe considentul că emisiile industriale de aerosol, ca cele de la combustia cărbunelui, au, în mod frecvent, o distribuţie bimodală a mărimii particulelor. Masa brută este compusă din material nonvolatil, iar masa netă este compusă din particule submicronice, formate din condensări de vapori. Amestecul de aerosol, în cazul masei nete, reprezintă, în mod tipic, cam 1 % din masa totală. Încărcările aerosolilor cu particule submicronice variază de la 1 la 400 mg/m3 , pentru centralele electrice pe cărbune şi aproximativ 7 mg/m3 pentru uzinele de oţel. Din punct de vedere al volumului, acestor concentraţii le corespund valori de la 10-9 la


10-7 de material aerosol pe cm3 de gaz. Calculele au considerat φ =10-7. Pentru aceleaşi condiţii şi timp de rezidenţă, o valoare scăzută a lui Df

produce o distribuţie largă, cu o proporţie mărită a masei, la mărimea particulelor mari. Creşterea în diametru median al masei, cu timpul, este prezentată în figura

7.7, cu Df luat drept parametru. Rata de creştere este mult mai mare pentru valori mici ale lui Df.

Fig. 7.7. Rata de creştere a diametrului median al masei.

Rata de reducere a densităţii numărului particulei poate fi obţinută integrând (7.19):

( )( ) tNca

N

N⋅⋅φ⋅⋅

λ−+=

λ−∞

λ

−λ

∞

∞ 11

02

11

0

(7. 27)

Pentru ∞→t rezultă,

1

11

1

2

1 −λ−λλ

∞ ⋅

φ⋅⋅λ−

→ tcaN

(7. 28)

care este o dependenţă de tip logaritmic. Acestuia îi corespund valorile asimptotice de – 2 şi –6/5 pentru Df = 2 şi

respectiv 3, după 0.3 secunde (figura 7.8). Dimesiunea fracţională poate fi, în principiu, estimată prin măsurarea înclinaţiei ratei deprecierii la un lot logaritmic al


concentraţiei numărului de particule. Aglomeratele au crescut foarte rapid din şirul moleculelor libere, deci, trebuie avută mare grijă la extrapolarea acestor rezultate, pe perioade lungi de timp.

În aceste analize, s-a presupus că exponentul energetic (dimensiunea fracţionară), este constant pe parcursul procesului aglomerării. Nu este neapărat necesar, ca în cazul observaţiilor experimentale discutate în următoarea secţiune.

Fig. 7.8. Deprecierea numărului densităţii particulei.

7. 7. Restructurarea aglomeratelor Aglomeratele formate de procesele industriale, sub una dintre formele

prezentate, nu au o structură rigidă. Forma lor se poate schimba ca urmare a: a) condensării şi evaporării vaporilor; b) încălzirii şi c) presiunii mecanice. Capacitatea agregatelor de a-şi schimba forma, are implicaţii importante asupra transportului şi disipării luminii lor, cât şi asupra utilizării nanoparticulelor în fabricarea de noi materiale. O importanţă deosebită o are restructurarea termică şi electrică.

7. 7.1. Restructurarea termică

Când aglomeratele de nanoparticule sunt încălzite ”în situ” (suspensie în gaz) există două tipuri limitate de comportament. Aglomeratele particulelor, strâns legate, pot păstra propria structură generală pe timpul încălzirii. În acest caz, mărimea aglomeratelor descreşte în timp ce mărimea principală a subunităţilor


creşte, ca rezultat al topirii particulelor mai mari, [23]. Pe de altă parte, aglomeratele particulelor primare, slab legate, tind să se restructureze şi devin mai compacte (Df mai mare) când sunt încălzite, [24].

Gazul în care există aglomeratele a fost apoi încălzit la temperaturi variabile, pentru perioade fixate. În figura 7.9 se prezintă diametrul variabil al aglomeratelor, format din 16 nm particule de argint, măsurat cu un analizator diferenţial variabil, ca o funcţie de temperatură, pentru patru clase de mărimi iniţiale diferite (particule primare pe aglomerat) şi un timp de referinţă de 3.12 secunde.

Valoarea dimetrului variabil începe să descrească la 100 0C şi apoi ajunge la aproape 350 0C, pentru că aglomeratele au ajuns la o stare de legatură închisă, cu Df aproape 3.

Fig. 7.9. Diametrul de mobilitate al aglomeratelor.

Din cauză că numărul total de particule elementare pe aglomerat Np , nu se schimbă în timpul rearanjamentului, ecuaţia (7.6) poate fi folosită să redea starea compactă a aglomeratului (Df = 3), la un aranjament de tensiune joasă. Astfel, a fost obţinută variaţia lui Df cu T , din figura 7.10. Figura prezintă variaţia lui Df cu temperatura, pentru aglomerate încălzite la o temperatură dată şi un timp de 3.12 secunde.

Restructurarea este condusă de deviaţia energiei libere a aglomeratului, cu dimensiune fracţionară mică de la valoarea stării compacte. Presupunând că deviaţia este proportională cu diferenţa numărului cN a particulelor elementare în


dimensiunea fracţionară joasă şi înaltă a aglomeratelor, rata de schimb cN ,a fost estimată de schimbarea lui Df. Aceasta se prezintă în figura 7.10 ca o funcţie de 1/T pentru aglomeratele de Ag.

Fig. 7.10. Variaţia lui Df cu temperatura.

Fig. 7.11. Rata de restructurare a particulelor.


Rata de restructurare a particulelor de argint urmăreşte o formă Arhenius, cu o caracteristică de energie de restructurare. Rezultatele indică faptul că, restructurarea este un proces activ şi energia de activare a restructurării a fost calculată de la panta curbei. Energia de activare a fost independentă de numărul de particule primare pe aglomerat, care varia între 19-270.

Energiile de activare pentru Ag şi Cu au fost similare şi de un ordin de magnitudine slabă, faţă de energiile de legatură calculate cu constanta Hamacker şi un spaţiu presupus între particulele elementare. Aceasta sugerează căa restructurarea, probabil, se produce atunci când aglomeratele se rotesc în jurul legăturilor slabe şi nu din particulele elementare singure, care se detaşează şi se realocă. Rotaţia poate fi influenţată de către ratele de intensificare a difuziei stării solide, pe regimurile de suprafaţă de înaltă tensiune.

7. 7.2. Restructurare sub tensiune

Nanoparticulele agregatelor înlănţuite de titan se întind sub presiune şi se contractă când tensiunea se relaxează, [24] Aceste particule de titan au fost generate prin descompunerea termică a vaporilor de tetraizopropoxid de titan, în vapori de nitrogen, la 800 0C. Dimensiunea fracţionară a agregatelor înlănţuite era de circa 2.3 şi de mărime individuală de 7 nm. Agregatele înlănţuite, cu lungime de câteva sute de nm, au fost depozitate pe o grilă a microscopului electronic pentru observaţie. Au fost analizate: forma iniţială figura 7.11. a), forma depusă pe un film în care este practicată o nişă figura 7.11. b) şi vibrarea filmului figura 7.11. c).

Fig. 7. 12. Restructurarea unor particule de titan.

88 .. PP RR OO PP RR II EE TT ĂĂ ŢŢ II LL EE

TT EE RR MM OO DD II NN AA MM II CC EE AA LL EE

PP AA RR TT II CC UU LL EE LL OO RR

Aerosolii sunt, prin natura lor, multifazici şi echilibrul termodinamic asigură

condiţii şi restricţii limită ale interacţiunii particulelor cu mediul de gaz înconjurător. Factorii termodinamici joacă un rol principal în procesele de formare de nuclee, incluzând ceaţa şi formaţiunile noroase. Aceste proprietăţi sunt, de asemenea, importante în sinteza particulelor solide mici, afectând mărimea particulelor şi proprietăţile cristaline.

Calitatea particulelor mici, de a funcţiona ca nucleu de condensaţie, depinde într-un mod complex de traiectoria termodinamică a gazului (presiunea şi temperatura ca funcţii de timp), de curba caracteristică de presiune a vaporilor şi de proprietăţile particulelor. Anumite procese pot conduce la o stare de suprasaturare, numită expansiune izentropă sau de amestecare a vaporilor fierbinţi cu gaze reci.

Presiunea la care coexistă gaz şi lichid, la o anumită temperatură, se numeşte presiunea de vapori a lichidului la acea temperatură, [1]. De menţionat că, prin termenul vapori, se desemnează un gaz sub temperatura sa critică. Temperatura

critică este temperatura maximă până la care un gaz poate fi lichefiat. O particulă de dimensiune mică, aflată în suspensie în vapori, se poate afla în

echilibru cu vaporii la o presiune care este mai mică sau mai mare decât valoarea echivalentă, depinzând de tensiunea superficială a particulelor, şi/sau compoziţia chimică. Aceaşi factori reduc, de asemenea, şi temperatura de topire a particulelor solide, de dimensiuni mici şi influenţează compoziţia amestecului de gaz reactiv, în echilibru cu particulele mici.

Proprietăţile termodinamice ale interacţiunilor norilor de fascicule de molecule sunt importante pentru echilibrul mărimii distribuţiei, într-o stare de condensare de vapori nesaturaţi.

8.1 Curba caracteristică a presiunii vaporilor şi starea

de suprasaturaţie

8.1.1 Raportul de saturaţie

Pentru un singur component, un sistem bifazic, cum ar fi lichid şi vapori ai aceleiaşi substanţe, relaţia între presiunea vaporilor ps şi temperatură este, de


obicei, de forma celei prezentate în figura 8.1. Zona din dreapta curbei reprezintă vaporii nesaturaţi, în timp ce zona din

stânga reprezintă lichidul sub presiune. De-a lungul curbei, vaporii şi lichidul coexistă în stare de echilibru. Observaţii similare se aplică şi în cazul echilibrului solid-vapor.

Fig. 8.1. Forma obişnuită a curbei presiunilor de vapori, la umiditate constantă.

O expresie a înclinării curbei caracteristice a presiunii vaporilor se poate obţine din observaţii termodinamice fundamentale, [2,3].

vT

H

dT

dps

∆⋅

∆=

(8. 1)

unde ∆H este căldura molară a vaporizării, ∆v este diferenţa de volum la mol, la distanţă de punctul critic, ps este presiunea de saturaţie, iar T temperatura absolută.

Dacă gazul este ideal, panta curbei caracteristice este:

2TR

pH

dT

dp ss

⋅

⋅∆=

(8. 2)

care este cunoscută ca ecuaţia lui Clapeyron. Deoarece căldura de vaporizare este aproximativ constantă peste o bandă

largă de temperaturi, presiunea vaporilor poate fi reprezentată cu aproximaţie de expresia:

.ln constRT

HpS +

∆−≈

(8. 3)

Rezultatele sunt aproximativ egale, chiar şi în prezenţa unui gaz inert, cum

Proprietăţile termodinamice ale particulelor 241

este aerul, atunci când sistemul se comportă ca un amestec de gaz ideal. Curbele din diagrama (p,T), de un interes deosebit, sunt destinderea

adiabată reversibilă şi amestecarea cu aer mai rece, la concentraţii mai mici. Ambele procese pot duce la formarea unui aerosol format din mici picături de lichid.

Dacă sunt insuficienţi nucleii de condensaţie şi/sau suprafeţele pe care să condenseze, condensarea este întârziată şi sistemul trece într-o stare nestabilă, chiar şi când se găseşte în partea lichidă a curbei de echilibru. Raportul presiunii actuale a vaporilor, către starea de echilibru a presiunii vaporilor, la temperatura respectivă, este dat de raportul de saturaţie (sau umiditatea relativă):

)(Tp

pS

S

= (8. 4)

Raportul de saturaţie este mai mare decât unitatea, atunci când p şi T corespund unei stări de vapori pe partea lichidă a curbei de echilibru vapori-lichid. Pentru S>1, sistemul se numeşte suprasaturat. Suprasaturaţia este dată de formula (p-ps)/ps.

Odată ce sistemul trece peste starea nestabilă (S>1), devine instabilă în

raport cu suprafaţa plană a fazei de condensare. Suprafaţa plană este în echilibru cu presiunea vaporilor ps. O întreagă gamă de stări de echilibru există între particulele aflate în diferite stări de energie şi vapori, pentru care S ≠ 1 adică, presiunile vaporilor sunt ori mai mici ori mai mari decât ps.

8.1.2. Condensarea prin destindere adiabată

Destinderea adiabată poate fi efectuată ca o serie de procese într-o cameră cu ceaţă sau ca un proces de curgere uniformă, în secţiunea divergentă a ajutajului turbinei de abur sau tunelului aerodinamic. Dacă procesul este realizat reversibil (este adesea o aproximaţie bună), condiţiile de-a lungul drumului , pentru un gaz ideal, sunt exprimate de relaţia:

( )1

1

2

2

1

−

=

γγ

T

T

p

p

(8. 5)

unde p1, p2 şi T1, T2 sunt presiunile totale şi temperaturile totale înainte şi după destindere şi γ este exponentul adiabatic, respectiv raportul dintre căldura

specifică la presiune constantă şi căldura specifică la volum constant. Deoarece γ > 1, destinderea adiabată reversibilă conduce la o scădere atât a temperaturii, cât şi a presiunii gazului iniţial nesaturat, până la punctul de condensare. În lipsa condensării, presiunea parţială este proporţională cu presiunea totală, astfel că relaţia (8.5), reprezintă ,de asemenea, raportul de presiuni parţiale. Drumul


procesului de destindere adiabată este arătat în figura 8.2 , cu curba de presiune a vaporilor. În figură se prezintă destinderea adiabată reversibilă, de la o stare iniţială nesaturată, care duce vaporii de-a lungul curbei de saturare, până în regiunea unde starea stabilă este lichidă.

Există două mecanisme de formare de nuclee, [4]: 1) condensarea pe ioni, la un raport relativ scăzut al saturaţiei şi 2) condensarea pe fascicule moleculare neîncărcate, la rapoarte de saturaţie mai mari.

A interesat, în principal, condensarea pe ioni şi aplicaţiile ei în măsurările de mare energie a particulelor nucleare.

Fig. 8.2. Destinderea adiabată reversibilă.

În natură există exemple importante de destindere adiabată. Norii sunt

formaţi în atmosferă prin destindere adiabată, atunci când mase de aer calde şi

umede se ridică şi se răcesc adiabatic. Pe măsură ce masele de aer devin

suprasaturate, vaporii de apă condensează pe particulele de aerosoli din atmosferă.

Acestea eliberează suprasaturaţia, care atinge o valoare maximă, de obicei, mai

mică de 1%. Condensarea vaporilor are loc în destindere adiabată din ajutajele

turbinelor, conducând la formarea de picături mici, care pot cauza eroziunea

paletelor turbinei. Un proces similar are loc în tunelele aerodinamice, pentru

studiul curgerii supersonice, unde apar efecte nedorite asupra numărului lui Mach

şi asupra distribuţiei presiunii, [5].


8.1.3. Condensarea prin amestecare

Condensarea poate rezulta atunci când un gaz cald, purtând un vapor de condensaţie, este amestecat cu un gaz rece. Acest proces are loc în fasciculul de gaze, pe măsură ce se amestecă cu aerul combinat sau cu aerul expirat, care este saturat la temperatura corpului, atunci când iese din plămâni.

Pe măsură ce amestecarea dintre cele două gaze are loc, temperatura scade, favorizând condensarea. Spre deosebire de destinderea reversibilă adiabată, amestecarea este un proces ireversibil. Dacă condiţiile de saturaţie sunt atinse în timpul amestecării, depinde de rata relativă de răcire şi diluaţie, din timpul procesului de amestecare, [6].

În lipsa condensării, distribuţia concentraţiei în gaz este determinată de ecuaţia difuziei convective pentru un amestec binar de gaz,

cDVct

c∇ρ⋅∇=∇⋅ρ+

∂

∂ρ v

(8. 6)

unde ρ este densitatea masei de gaz (g/cm3), c este fracţia masică a genului de difuzie (g/g gaz) şi D este coeficientul de difuzie a genului de condensare.

Distribuţia temperaturii este determinată de ecuaţia energiei:

TkTCt

TC PP ∇⋅∇=∇⋅ρ+

∂

∂ρ v

(8. 7)

unde Cp este capacitatea de căldură la presiune constantă şi k este conductivitatea termică.

Sistemul de amestec, cel mai analizat experimental, este jetul fierbinte de amestec condensabil de vapori-aer, care este amestecat cu aer la o temperatură joasă. Condiţiile limită pentru geometria jetului pot fi scrise ca: în aerul ambiental orificiul jetului

jetului orificiul la 00 TT,cc ==

ambiental aerulîn ∞∞ == TT,cc

(8. 8)

Când Cp este constant, ecuaţiile pentru concentraţie şi temperatură satisfac condiţiile la limită şi:

∞

∞

∞

∞

−

−=

−

−

TT

TT

cc

cc

00

(8. 9)

simultan cu cele satisfăcute de k/Cp= ρ D sau k/ ρ CpD=1. Grupul adimensional

k/ ρ CpD ,cunoscut sub numele de numărul Lewis, este ,în mod obişnuit, de ordinul unităţii, pentru amestec de gaze.


În tabelul 8.1 sunt valori ale numărului lui Lewis pentru vaporii de aer şi apă, ca funcţie de temperatură.

Pentru k/ ρ CpD=1, relaţia dintre concentraţie şi temperatură (8.9) este independentă de natura curgerii, indiferent dacă este laminară sau turbulentă. Se aplică simultan şi timpului mediu al concentraţiei şi temperaturii câmpurilor, dar numai în zone în care condensarea nu a avut loc. Când ecuaţiile de transport, pentru jetul de curgere, sunt reduse de la forma folosită la curgerea turbulentă, difuzitatea moleculară şi difuzitatea termică sunt, de obicei, neglijate, în comparaţie cu difuzivitatea turbulentă. Acest lucru este acceptabil pentru studiile brute ale transportului şi ale mediei de timp a compoziţiei şi temperaturii. Cu toate acestea, presupunerea nu este corectă din punctul de vedere al dimensiunilor proceselor moleculare, precum formarea de nuclee şi condensarea, care depind de proprietăţile de transport ale moleculelor.

Conform tabelului 8.1 , drumul urmat de sistemul de condensare, pe o diafragmă de fracţie masică, în raport cu temperatura, este o linie dreaptă, determinată de condiţiile de la orificiu şi din mediul ambiant. Pentru c<<1, presiunea parţială este aproximativ proporţională cu fracţia masică.

Tabelul 8.1.

Numărul Lewis pentru indicatorii vaporilor de apă în aer

Drumul urmat este prezentat în figura 8.3 , cu ajutorul curbei de presiune a vaporilor.

Figura prezintă amestecul de vapori-aer, la trei surse de condiţii diferite (c0,T0), cu aer din aceleaşi condiţii ambiante (c∞,T∞). Nu are loc condensarea pentru sursa din dreapta, pe când poate avea loc (depinzând de disponibilitatea de nuclee şi de procesul de amestecare), pentru cel din stânga. Linia din mijloc arată o situaţie limită, când numărul Le = k/ρCpD=1.

T(k) Nr. Schmidt

υ/D

Nr Prandth

Cpµ/k

Nr. Lewis

k/ρCpD

300 0.604 0.708 0.854 400 0.650 0.689 0.945 500 0.594 0.680 0.873 600 0.559 0.680 0.822 700 0.533 0.684 0.780


Fig. 8.3. Amestecul de vapori-aer la trei surse de condiţii diferite.

Este posibilă plasarea unor limite ale concentraţiilor şi temperaturilor, care trebuie să existe la orificiul jetului, pentru ca condensarea să aibă loc. Linia amestecului trebuie să fie măcar tangentă la curba de presiune a vaporilor, pentru ca, condensarea să aibă loc pe particule deja prezente în gaz. Cu toate acestea, în cazul în care linia este tangentă, supersaturaţia nu va fi suficient de înaltă pentru ca formarea omogenă de nuclee să aibă loc. Pentru a se forma nuclee în gaz, va fi necesar ca linia amestecului să treacă printr-o porţiune echivalentă unei mult mai mari suprasaturaţii.

8.2. Efectul substanţelor dizolvate asupra presiuni

vaporilor

Prezenţa substanţelor dizolvate nevolatile, într-o soluţie apoasă, tinde să reducă presiunea vaporilor săi de apă la o cantitate care depinde de natura şi concentraţia substanţei dizolvate. În geometria de bază, sunt mai puţine molecule de solvenţi în suprafaţa stratului decât în cazul unei picături de solvent pur. Această concluzie conduce la o reducere a presiunii vaporilor, proporţională cu concentraţia şi aceasta se observă pentru soluţiile ideale. Efectele chimice specifice dintre substanţele dizolvate şi solvent pot conduce la o reducere pe viitor a presiunii vaporilor. Reducerea presiunii vaporilor face posibil ca, particulele de aerosoli să încorporeze cantităţi semnificante de soluţii apoase, în echilibru cu aerul, a cărei


umiditate relativă este sub 100 %. Apa asociată cu particule de aerosoli afectează puternic difracţia luminii şi poate contribui la realizarea componentelor chimice dizolvate, prin depozitarea particulelor pe suprafeţe, cum ar fi plămânii.

Un exemplu important, referitor la aerosolii atmosferici, este o picătură mică ce conţine sulfaţi dizolvaţi, care se formează ca rezultat al oxidării SO2 în soluţie. Sulfaţii pot fi prezenţi ca acid sulfuric sau în formă parţial neutralizată, ca săruri de amoniu sau săruri metalice şi pot apărea din surse, cum ar fi cenuşile zburătoare. Distribuţia mărimilor picăturilor şi compoziţia lor chimică sunt determinate de o combinaţie de procese termodinamice şi procese de formare. În continuare, se consideră că doar echilibrul termodinamic afectează presiunea vaporilor unei picături.

Pentru soluţii diluate, relaţia dintre presiunea parţială şi compoziţie poate fi determinată cu ajutorul teoriei, în arii de concentraţii mai mari, sau ,în general, să se determine relaţia prin experimente. Acestea au fost făcute pentru soluţii ale diferitelor săruri şi acizi.

Pentru o soluţie binară de compoziţie constantă, se găseşte o expresie ce o caracterizează, de forma expresiei (8.1), pentru panta curbei de presiune a vaporilor, ca funcţie de temperatură, în care căldura latentă de vaporizare este rezultatul soluţiei. Soluţia curbelor de presiune a vaporilor poate fi reprezentată de un set de curbe parametrice, la compoziţie constantă ,pe diagrama de presiune a vaporilor.

Pentru soluţii binare, picăturile pot fi distribuite în funcţie de mărime, dar la starea de echilibru toate au aceeaşi compoziţie. Pentru amestecuri ternare, situaţia este mai complicată; aceleaşi mărimi ale picăturii pot rezulta de la diferite compoziţii chimice, aflate în starea de echilibru, la o umiditate relativă.

Atunci când echilibrul dintre volumul gazului şi faza picăturilor nu există, pentru o substanţă chimică, se consideră că este un echilibru local între fazele interfeţei.

8.3 Presiunea vaporilor unei particule de mici

dimensiuni

8.3.1. Relaţia lui Kelvin

Dacă o particulă este prea mică, energia liberă de suprafaţă a particulei este

dată de relaţia σ⋅⋅π 24 r , unde r este raza particulei şi σ este tensiunea superficială. Energia liberă Gibbs, pentru sistemul compus din vapori şi din particule este dată de relaţia, [3,7]:

σ⋅⋅π+µ⋅+µ⋅= 24 r)T,p(n)T,p(nG BBAA (8. 10)

unde nA şi nB , reprezintă numărul de moli din vapori, respectiv numărul de moli


din fazele particulei . Aµ (p,T) şi Bµ (p,T) reprezintă potenţialele chimice corespunzătoare (ale unui mol) la temperatura T, iar p este presiunea externă în faza vaporilor.

Presiunea din interiorul unei particule poate fi mult mai mare decât cea externă.

Se va considera o variaţie în energia liberă, datorată transferului de moli de la vapori la particulă, respectiv AB dndn −= .

Condiţia de echilibru, δG = 0, rezultă din expresia:

042

=σ⋅π+µ−µB

BAdn

dr

(8. 11)

Dacă volumul molar al lichidului este Bv , atunci B

Bv

rn

3

4 3π= şi se înlocuieşte

în relaţia (8.11), rezultând :

02

=⋅σ

+µ−µr

vBBA

(8. 12)

Pentru r ∞→ , corespunzând unei suprafeţe plane, această expresie se reduce la condiţia obişnuită de echilibru , Aµ = Bµ .

Derivând relaţia (8.12), la o temperatura T , constantă şi folosind ecuaţiile termodinamice, vom obţine :

;dpvd AA ⋅=µ ;dpvd BA ⋅=µ (8. 13)

şi,

⋅⋅σ=−

rdvdp)vv( BBA

12

(8. 14)

Volumul ce corespunde unui mol de lichid este mult mai mic decât volumul ce corespunde unui mol de gaz. Pentru un amestec de gaz perfect se va obţine:

p

TRvA

⋅=

(8. 15)

Înlocuind în relaţia (8.14), vom obţine :

⋅⋅σ=⋅⋅

rdv

p

dpTR B

12

(8. 16)

Integrând de la p = ps ,la r = ∞ , până la p(r) , rezultă relaţia lui Kelvin :


TRr

v

p

p B

S ⋅⋅

⋅σ=

2ln

(8. 17)

Acesta este unul dintre cele mai importante rezultate în termodinamica aerosolilor. Arată creşterea presiunii vaporilor la picături mici, comparativ cu o suprafaţă plană din volumul materialului. Cu toate că efectul Kelvin apare adesea în câmpurile formaţiunilor de aerosoli, verificarea experimentală directă este dificilă şi au fost realizate puţine astfel de teste, [8]. De menţionat că, relaţia se bazează pe un vapor ideal şi lichid incompresibil.

Presiunea vaporilor creşte pe măsură ce mărimea particulei scade şi acest lucru reduce capacitatea particulelor mici să folosească ca nuclei de condensare. În atmosferă, suprasaturarea vaporilor de apă rareori depăşeşte câteva procente.

8.3.2. Presiunea internă a particulelor

Este uşor de arătat că, presiunea din interiorul unei particule mici sau a unei picături p β este mai mare decât presiunea din faza gazului extern, pα. Se consideră

transferul unui mic volum de material dv , de la suprafaţa fazei, în interiorul particulei.

Lucrul mecanic cerut, dv)pp( ⋅− αβ , trebuie să fie egal cu lucrul mecanic

necesar pentru a extinde suprafaţa particulei da⋅σ :

dadv)pp( ⋅σ=⋅− αβ (8. 18)

Pentru o particulă sferică :

drrdv ⋅⋅π= 24 (8. 19)

şi:

rdrda ⋅π= 8 (8. 19a)

Înlocuind în relaţia (8.18), rezultă formula lui Laplace pentru presiunea de suprafaţă :

( )r

pppσ

=−=∆ αβ

2

(8. 20)

unde r este raza particulei. Pentru o particulă sferică, presiunea este uniformă în fiecare stare ( particulă

sau gaz ) până la interfaţă şi saltul presiunii este constant pe suprafaţa de separaţie. Efectul este mai important pentru substanţe cu tensiuni de suprafaţă mai mari, cum ar fi metalele lichide. Efectul este important, de asemenea, şi pentru cristalele solide; mai mult, aceste cristale mici pot lua forme neregulate, determinate de


procesul de transport în gaz şi în starea particulei. Comportamentul particulelor solide neregulate este mult mai complex decât cel al picăturilor de lichid sferice.

Ecuaţia (8.20) poate fi generalizată pentru suprafeţe de lichid nesferice, după cum urmează. Pentru o suprafaţă curbă de separaţie a două medii continue, în echilibru, diferenţa de presiune există între părţile convexă şi concavă ale suprafeţei, iar excesul de presiune din partea concavă asupra părţii convexe este dat de relaţia:

+=−

21

11

rrpp σαβ

(8. 21)

unde r1 şi r2 sunt principalele raze ale curburii; se iau pozitive atunci când se găsesc în starea/faza β .

În realitate, interfaţa dintre picătură şi gaz nu este discontinuă, iar densitatea moleculară medie scade în regiunea mai îngustă, de la partea lichidă către vapori. Când mărimea picăturii devine suficient de mică comparativ cu grosimea punţii de tranziţie, folosirea termodinamicii clasice şi tensiunii de suprafaţă a cantităţii, devine inexactă. În aceasta situaţie, relaţia lui Kelvin şi formula Laplace nu se mai aplică. Se consideră că formula lui Laplace se poate aplica pentru particule de diametre mai mari decât diametrul a circa 3400 molecule. Calculele de dinamică moleculară sugerează că, ecuaţia lui Kelvin nu este compatibilă cu formula Laplace, pentru picături mici.

8.4. Echilibrul lichid-vapori

Cu aproximaţie, presiunea vaporilor solventului asupra unei picături, ce conţine o substanţă dizolvată nonvolatilă, este dată de o expresie de aceeaşi formă

ca şi relaţia lui Kelvin (8.17), [9], în care volumul molar parţial, v , este volumul solventului şi ps este presiunea vaporilor solventului asupra unei soluţii cu suprafaţă plană.

O picătură de solvent pur este întotdeauna instabilă la o presiune a vaporilor sub nivelul de saturaţie, dar o picătură de soluţie poate fi stabilă datorită presiunii scăzute a vaporilor substanţei dizolvante. Presiunea vaporilor solventului poate fi exprimată prin relaţia:

0SS pxp ⋅⋅= γ (8. 22)

unde γ este coeficientul de activitate, x este fracţia molară a solventului, şi 0s

p

presiunea vaporilor solventului pur, la temperatura sistemului. Există astfel două efecte concurente. Efectul Kelvin tinde să crească

presiunea vaporilor, în timp ce substanţa dizolvată să îl reducă. Considerăm o


picătură care conţine o cantitate fixă de substanţă dizolvată, nevolatilă. Volumul picăturii poate fi exprimat în volume molare parţiale ale solventului şi ale substanţei dizolvate:

2211

3

6vnvn

dP ⋅+⋅=π

(8. 23)

unde n1 şi n2 , reprezintă numărul de moli ai solventului şi respectiv ai substanţei dizolvate.

Rearanjând termenii din relaţia (8.23) , se obţine:

22

312

2

1

1

6

111

vnd

vn

n

n

x p⋅−

⋅+=+=

π

(8. 24)

Când înlocuim relaţia (8.22) şi (8.24) în relaţia (8.17), rezultă:

⋅−⋅

⋅+−+

⋅⋅

⋅=

22

312

11

0

6

1lnln4

ln

vnd

vn

TRd

v

p

p

ppS πγ

σ

(8. 25)

Deoarece numărul de moli ai substanţelor dizolvate este fix, această expresie relevă procentul de saturaţie al mărimii particulei, în starea de echilibru.

În cazul unui fluid, soluţia ideală a unei substanţe dizolvate, cu o suprafaţă

non-activă, este 11 =γ şi 22

3

6vn

d p⋅>

⋅π. Dezvoltând ultimul termen din partea

dreaptă a relaţiei (8.25) şi păstrând doar primul termen al dezvoltării, se obţine:

3121

0

64ln

ppS d

vn

TRd

v

p

p

π

σ ⋅−

⋅⋅

⋅=

(8. 26)

Deoarece soluţia este ideală, 101 vv = , iar cu o bunǎ aproximaţie, se considerǎ cǎ tensiunea superficialǎ este independentă de concentraţie. Primul termen, din dreapta, corespunde efectului Kelvin pentru solventul pur. Al doilea termen reprezintă contribuţia rezultată din scăderea presiunii vaporilor soluţiei. Pentru picături mici de soluţie, domină termenul al doilea, dând deviaţia din partea de jos a curbei, prezentată în figura 8.4, în care este redatǎ presiunea de echilibru a vaporilor soluţiei din picătură, care conţine o masă fixă de substanţă dizolvată. Mărimea picăturilor variazǎ într-un mod foarte diferit faţă de picătura de solvent pur. Pentru valori mari ale lui dp, primul termen (8.26), corespunde efectului Kelvin.


Fig. 8.4. Presiunea de echilibru a vaporilor soluţiei din picătură.

Această analiză poate fi aplicată unui număr mic de particule ale sărurilor, expuse la o creştere a umidităţii relative.

Particula rămâne solidă până când, dacă particula este higroscopică, umiditatea relativă caracteristică este mai mică de 100 % , nivel la care absoarbe apa şi o dizolvă, formând o soluţie saturată.

Umiditatea relativă la care are loc acest proces, pentru soluţii saturate ale diferitelor săruri, sunt arătate în tabelul 8.2. Aceste valori vor varia odată cu mărimea cristalelor, din cauza efectului Kelvin. Pentru clorura de sodiu, procesul are loc la umiditatea relativă de 75% , la care diametrul aproape se dublează.

Cu creşterea umidităţii relative, relaţia de echilibru dintre mărimea picăturii şi presiunea vaporilor este determinată de interacţia dintre efectul Kelvin şi scăderea presiunii vaporilor.

Pe măsură ce umiditatea scade sub 100%, cantitatea de clorură de sodiu din picătură se micşorează pe parcursul drumului şi reversibil, la creşterea umidităţii. Cu toate astea, în loc să se cristalizeze la 75%, picătura se evaporă, în timp ce rămâne ca o soluţie suprasaturată, până la o umiditate de aproximativ 40%, la care cristalizarea are loc. Diametrul picăturii se schimbă relativ puţin. Nereuşita cristalizării se datorează, probabil, lipsei de nuclei de cristalizare din soluţie.

În figura 8.5 se prezintǎ variaţia în mărimea particulelor (picăturilor), cu umiditatea relativă. Curba arată efectul creşterii umidităţii la o sare cristalină, aflatǎ la o umiditate relativă de aproximativ 75%. Sarea cristalină absoarbe apa şi intră în soluţie, iar picătura continuă să crească, odată cu creşterea umidităţii. Pe măsură ce umiditatea descreşte sub 100%, curba iniţială de evaporare urmăreşte curba de condensare. Cum se arată prin curba punctată, picătura nu se cristalizează la o umiditate relativă de 75%, dar rămâne suprasaturată până la o umiditate mult mai


mică, [10].

Fig. 8.5. Variaţia în mărimea particulelor (picăturilor) cu umiditatea relativă.

Când dizolvarea unei sări cristaline depinde de concentraţia unei soluţii

saturate – aceasta se numeşte solubilitate. Sarea care absoarbe multă apă din soluţii diluate şi picături relativ mari, (cazul clorurii de sodiu şi a altor săruri de sodiu) este arătat în tabelul 8.2.

Sarea de amoniu tinde să formeze mai multe soluţii concentrate, corespunzătoare picăturilor mici, pentru aceeaşi concentraţie de masă.

Tabelul 8.2.

Umiditatea relativă şi concentraţia pentru soluţii saturate la 200C

Sarea Umiditate relativă (%) Solubilitate (g 100 gH2O)

(NH4)2SO4 81 76.7 NaCl 75 36.2

NH4NO3 62 215.9 CaCl2 . 6 H2O 29 87.4

8.5. Echilibrul fazelor în cazul particulelor încărcate

Condensarea poate avea loc atât pe ioni cât şi pe particule de aerosoli. Ionii se regenerează continuu în aer, prin procese naturale şi servesc ca nuclee la rate mici de saturare. S-a constat că, condensarea are loc pe ioni negativi, la rata de saturaţie de aproximativ 4 şi la temperatura de – 6 ºC şi pe ioni pozitivi, la rata de


saturaţie de aproximativ 6 şi la o temperatură uşor mai joasă. O teorie termodinamică aproximativă, în privinţa echilibrului ion-vapori, a

fost dezvoltată cu un secol în urmă de J.J. Thomson, iar la ora actuală se utilizează o versiune modificată a acestei teorii, [4]. Această teorie se bazează pe o generalizare a relaţiei (8.10), pentru energia liberă Gibbs a sistemului unei singure picături-vapor, pentru a include energia electrică a picăturii.

Energia liberă Gibbs, la presiune constantă, numită şi entalpie liberă, permite caracterizarea oricărei transformări fizice sau chimice a sistemului. Pentru orice proces spontan, variaţia energiei libere Gibbs este negativă, 0<δG . Nu au loc spontan procesele în care Gδ este pozitivă. Energia liberă este o proprietate extensivă a sistemului termodinamic, iar dimensiunea fizică a lui G este aceeaşi cu a energiei. În cazul unei transformări la presiune şi temperatură constante, starea de echilibru corespunde lui 0=δG .

Conform legilor electrostaticii clasice, energia electrică a unei picături, cu

raza r, având sarcina electrică q, uniform distribuită pe suprafaţa ei, este r

q

2

2

. Cu

toate astea, în multe cazuri, ionii au o singură încărcare şi se pare că un model mai realist constă într-un ion încărcat, înconjurat de două sau trei lanţuri de molecule de vapor condensat. Pentru acest model, energia electrică este dată de:

−

ε−

ε=

00

2 1111

2 rr

qWel

(8. 27)

unde q este sarcina electrică (încărcarea) pe picătură, εo şi ε sunt constante dielectrice ale vaporilor şi respectiv a picăturii de substanţă şi r şi ro sunt razele picăturii, respectiv a ionului.

Aşadar, energia liberă a lui Gibbs, în sistemul picătură-vapori, este dată de relaţia:

−

ε−

ε+σ⋅⋅π+µ⋅+µ= ⋅

00

22 1111

24

rr

qrnnG BBAA

(8. 28)

Condiţia de echilibru pentru un sistem este: 0=δG , pentru variaţia

AB dndn −= , unde indicele A şi B desemnează picătura, respectiv vaporii.

Considerând εo = 1 (cu o bună aproximaţie), rezultă rata de saturaţie la echilibru:

ε−

⋅⋅⋅π

⋅−

⋅⋅

⋅σ=

11

8

24

2

rTR

vq

rTR

v

p

pln BB

S

(8. 29)

În figura 8.6 se prezintă rata de saturaţie la echilibru, pentru picături cu


încărcare electronică, care este întotdeauna mai redusă decât cea a picăturii neîncărcate. Valoarea lui S trece prin maxim pe măsură ce mărimea picăturii descreşte. Pentru particule foarte mici, al doilea termen (dependent de încărcare), pe partea dreaptă a relaţiei (8.26), domină; primul termen corespunde relaţiei lui Kelvin pentru particule mari. Particulele încărcate pot servi ca nucleu de condensaţie la rate mici de saturaţie, ceea ce explică observaţiile experimentale despre condensarea pe ionii prezenţi. Constanta dielectrică este 4=ε la 0ºC, valoare ce este mult mai redusă decât valoarea maximă (de circa 80). Figura 8.6 este similară, aparent, cu figura 8.4, ceea ce arată efectul prezenţei substanţei dizolvate în rata de saturaţie, cu toate că mărimea particulei din fig. 8.6 este cu două ordine de mărime mai mică decât în fig. 8.6.

Fig. 8.6. Rata de saturaţie la echilibru pentru picăturile de apă cu încărcare electronică.

Principalul punct slab al acestei teorii este că, relaţia (8.29) nu explică diferenţa observabilă în comportamentul ionilor pozitivi şi negativi pentru condensarea vaporilor de apă. Această diferenţă este, de obicei, atribuită caracterului polar a moleculelor de apă. Se observă, de asemenea, că aşa cum s-a demonstrat prin calcule dinamico-moleculare, teoriile bazate pe proprietăţile cantităţii de material, cum ar fi constantele dielectrice, sunt greu de determinat pentru picături foarte mici. Mărimea particulelor corespunzătoare maximului p/ps, în general, nu corespunde mărimii critice la care are loc formarea de nuclee. Dezvoltarea unei teorii mai complete de formare de nuclee de ioni cere folosirea unei teorii de fluctuaţie.


8.6. Echilibrul solid-vapori

Energiile libere superficiale ale diferitelor feţe ale cristalelor diferă. Pentru particulele mici, este o formă de echilibru care depinde de variaţia energiei suprafeţei libere cu direcţia feţei cristalului. Pentru a determina forma de echilibru a cristalului este necesar să micşorăm energia suprafeţei totale libere, pentru un volum al cristalului dat. Forma este determinată trasând o serie de vectori dintr-o origine comună de lungime ri , proporţională energiei suprafeţei libere de pe fiecare faţă cu direcţia normalei la planul cristalului (construcţia lui Wulff). Aceasta este echivalent cu cerinţa ca, pentru toate feţele cristalului:

constant=σ

i

i

r

(8. 30)

Aplicând relaţia lui Kelvin echilibrului cristalului, se obţine, [12]:

i

Bi

S rTR

v

p

pln

⋅⋅

⋅σ=

2

(8. 31)

Astfel că, formula lui Laplace pentru diferenţa de presiune dintre interiorul cristalului şi presiunea vaporilor devine,

i

i

rp

σ2=∆

(8. 32)

Presiunea de suprafaţă pentru cristalele mici este, în general, mult mai mare decât presiunea echivalentă pentru picăturile de lichid, din cauza tensiunilor de suprafaţă ale solidelor cristaline, care sunt mult mai mari decât cele ale lichidelor.

Particulele solide mai mici de 100 mm se topesc la temperaturi semnificativ mai mici decât punctul de topire al cantităţii de solid, [13,14]. Efectul mărimii particulei asupra temperaturii de topire se prezintă în figura 8.7.

Au fost realizate câteva analize termodinamice, pentru a determina relaţia dintre reducerea punctului de topire şi tensiunea interfacială solid-lichid.

Ipoteza teoretică, care permite o bună corelare, se bazează pe presupunerea că, topirea începe prin formarea unei pelicule subţiri de lichid pe suprafaţa particulei. „Temperatura de topire a peliculei”, Tsk şi punctul de topire al cantităţii, To, sunt legate de expresia:

σ

ρ

ρ−+σ

⋅ρ⋅∆=− l

l

Ssl

Sf

SkrH

TTT 1

2 00

(8. 33)

unde ∆Hf este căldura latentă de fuziune, ρs şi ρl sunt densităţile solidului, respectiv a lichidului, r este raza particulei, slσ este energia interfaţială solid-lichid şi lσ este


energia de suprafaţă a lichidului. Se presupune, că pelicula de lichid, odată formată, progresează prin solidul cristalin. Mărimea particulelor poate influenţa structurile cristaline prin fazele de tranziţie.

Fig. 8.7. Efectul mărimii particulei asupra temperaturii de topire.

8.7. Efectul mărimii particulelor asupra echilibrului

reacţiilor chimice heterogene

Mărimea particulelor are un efect major asupra echilibrului unei reacţii chimice dintre componenta unui gaz şi particulele solide mici. Se consideră cazul particulelor solide mici, cu presiunea vaporilor neglijabilă în echilibrul reacţiei chimice cu un gaz.

O componentă a gazului reacţionează la suprafaţa particulei, pentru a forma produşi gazoşi: ( ) ( ) ( )gazgazsolid PBA ⇔+

Compoziţia de echilibru a amestecului de gaz depinde de mărimea particulei. Presiunea totală a gazului, p şi temperatura T , sunt constante.

O reacţie chimică poate fi reprezentată la modul general prin expresia:

∑=

=⋅N

i

ii Mv1

0 (8. 34)

unde Mi este componenta chimică şi iv este coeficientul stoichiometric aparent în


reacţia ce conţine N specii. Condiţia pentru echilibrul chimic este:

∑=

=µ⋅N

i

iiv1

0 (8. 35)

şi aceasta este valabilă pentru un sistem multifazic. Presupunem că, i = 1 corespunde componentei particulei; componentele de la 2 la N sunt prezente în amestecul de gaz ideal, în care particulele sunt în suspensie.

Condiţia pentru echilibru poate fi scrisă ca:

02

=+∑N

iiii vv µµ (8. 36)

Pentru componentele gazului de la 2 la N avem :

iii plnRT)T( +µ=µ 0 (8. 37)

unde )T(i0µ este potenţialul chimic al componentei pure din standard.

Înlocuind în relaţia (8.36), rezultă:

∑∑ =++N

ii

Nv

iii vpRTv i

2

0

2

0ln µµ (8. 38)

Pentru componentele din faza gazului, o constantă a echilibrului parţial este definită de:

∏=N

v

ipipK

2

(8. 39)

Atunci relaţia (8.38) devine:

∑ +=−N

iip vvKRT2

110ln µµ

(8. 40)

Primul termen, din partea dreaptă a relaţiei, corespunde potenţialului standardului de potenţiale chimice, la temperatură T , pentru componentele fazelor gazului care apar de asemenea în Kp. Potenţialul chimic al componentei pure, în faza particulei, M1, este determinat de presiunea în particulă, ps, şi de temperatura T.

La temperatură constantă, pentru componenta 1:

Sdpvd 11 =µ (8. 41)


Integrând între unitatea presiunii (din standard) şi presiunea internă a particulei:

pvT ∆+= 1011 )1,(µµ (8. 42)

unde v1 este volumul pe mol de solid , care se presupune a fi independent de presiune. Diferenţa dintre presiunea internă a particulei şi presiunea din exteriorul

gazului este dată de formula lui Laplace, ∆ p = 2/r. Înlocuind în relaţia (8.42), rezultă:

∑=

σ+µ=−

N

i

iipr

vvvKlnRT

1

110 2

(8. 43)

Primul termen, din partea dreaptă, este energia liberă schimbată pentru reacţie cu toate componentele din standard, la unitatea presiunii şi temperatura T:

∑=

=∆N

i

iiT vG1

00 µ (8. 44)

Atunci:

r

vvGKRT Tp

σ110 2ln +∆=−

(8. 45)

Dacă materialul solid are o suprafaţă plană, atunci r = ∞ şi:

00ln Tp GKRT ∆=− (8. 46)

Şi:

r

vv

K

KRT

p

p σ11

0

2ln =−

(8. 47)

Deoarece partea din dreapta este întotdeauna pozitivă, efectul folosirii de particule fine, în locul unei cantităţi de material, este creşterea constantei de echilibru adică, de a schimba echilibrul către dreapta. Cu cât sunt mai mici particulele, cu atât va fi mai mare efectul.

Acest fenomen are loc datorită presiunii interne mari din particule, care poate fi calculat cu formula lui Laplace, conducând la o creştere a activităţii termodinamice a substanţelor particulelor.

Pentru reacţia heterogenă: Ni (solid) + 4 CO (gaz) ↔ Ni (CO)4 (gaz) se obţine:


( ) ( )43

334

2

3

1

1

x

x

pp

pK p

+⋅==

(8. 48)

unde indicii 1, 2, 3 se referă la Ni, CO, respectiv la Ni(CO)4 ; x3 este fracţia molară. Importanţa efectului asupra mărimii particulelor este ilustrat de studii

experimentale la 700C şi 400 mmHg, care au arătat că x3 creşte de la 0.06 în prezenţa cantităţii de nichel, până la 0.27 pentru pulbere. Mărimea exactă a particulelor nu a fost cunoscută, dar datorită calculelor bazate pe determinări interdependente ale tensiunii de suprafaţă, s-a indicat că diametrele particulelor se încadrează între 10 şi 20 mm.

8.8. Clustere de molecule

Chiar şi într-un sistem termodinamic stabil, cum ar fi vaporii nesaturaţi, ciocnirile între molecule conduc la formarea de clustere (grămezi sau ciorchine) moleculare, a căror durată de viaţă depinde de tăria legăturilor ce ţin clustererele împreună.

Discuţiile din paragrafele de la începutul acestui capitol s-au concentrat asupra termodinamicii unei singure particule în mărimea clusterelor moleculare. Distribuţia de mărime a acestor particule poate fi calculată folosind ca model o particulă sferică.

Se consideră un gaz compus dintr-o singură moleculă a unui vapor condensabil (monomer), clustere de molecule ai vaporilor condensaţi distribuiţi după mărime şi un gaz inert, cum este aerul. Atunci când procentul de saturaţie este mai mic de 1, nu are loc nici o creştere netă şi procentul de formare de clustere de orice mărime este egal,

gg AAA ↔+− 11 (8. 49)

unde Ag este fasciculul conţinând g molecule şi A1 este un monomer molecular. Rata de formare Ag , prin condensarea de monomeri pe Ag-1 este egală cu rata

pierderii Ag , prin evaporare. Relaţia de echilibru este:

ggggg nsns αβ =−− 11 (8. 50)

unde ng este concentraţia fasciculelor conţinând g molecule. Fluxul monomerilor condensaţi pe fascicule de clasă g-1 este β şi Sg-1 este

zona efectivă pentru condensarea clusterelor de această clasă. Fluxul de evapoarare a clasei g este αg şi zona efectivă pentru evapoarare este Sg. Fluxul de condensare al monomerilor (molec/cm2.sec) se presupune a fi dat de expresia derivată din teoria cinetică a gazelor:


( ) 211

2 Tkm

p

⋅⋅⋅π=β

(8. 51)

unde p1 este presiune parţială a monomerului şi m este masa moleculară. Se presupune că toate moleculele care lovesc suprafaţa nucleului se lipesc.

Există totuşi un flux de evapoarare, care se presupune că este dat de relaţia lui Kelvin pentru presiunea vaporilor asupra unei suprafeţe curbe:

( )

⋅⋅

⋅σ

⋅⋅⋅π=α

Tkd

v

Tkm

p

p

mSS

4exp

2 21 (8. 52)

unde ps este presiune vaporilor asupra suprafeţei plane de lichid, T este tensiune de suprafaţă şi vm este volumul molecular al lichidului.

Înlocuind în relaţia (8.50), se va obţine:

π

⋅⋅

⋅=

−

31

311

3

42exp

1

m

m

g

g

vTkg

vT

Sn

n

(8. 53)

unde procentul de saturaţie S a fost stabilit egal cu p1/ps. Atunci când multiplicăm ecuaţiile de acestă formă, pentru valori succesive

de la g=2 la g, se obţine:

⋅

π⋅σ

== ∑=

−

−

−

−

−g

g

m

m

ggg

g

g

gg

Tk

vv

expSn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

2

31

31

111

1

2

3

2

2

1 3

42

1L

(8. 53a)

Pentru valori suficient de mari ale lui g, avem:

∑ ∫=

− ==g

g

g

gg

dgg

2 0

3

2

3131

2

3

(8. 54)

De aici, distribuţia la echilibru a nucleelor de condensare, este,

π

⋅

⋅⋅σ−=

313

2

3

43exp

m

mgSg

vTk

gvSnn

(8. 55)

Echilibrul de distribuţie al formării de nuclee este dat de relaţia de mai


sus, unde S = p1/ps şi ns = ps/KT. Acesta este unul dintre puţinele cazuri în care o soluţie analitică poate fi obţinută pentru mărimea de distribuţie a sistemului de particule. Pentru g de mărime mică, aproximaţia din ecuaţia (8.54) conduce la erori considerabile ale valorii lui.

Dacă gazul este nesaturat, S > 1, ng este o funcţie de g , monoton descrescătoare, deoarece expotenţialul este întotdeauna descrescător faţă de g. Pentru S > 1, ng trece prin minim la diametrul clusterelor,

STk

vd m*

p ln

4

⋅⋅

⋅σ=

(8. 56)

determinat de derivarea (8.55), în ceea ce priveşte pe g şi egalând derivarea cu zero. Această valoarea a lui dp , descrie mărimea critică a nucleului. Nucleii

mici tind să se evapore, timp în care, cei mari cresc (efectul Kelvin). Numărul de nuclee la mărimea critică este:

⋅

⋅σ⋅π−= 23

23

1 ln3

16

)S()Tk(

vexpnn m*

g (8. 57)

Mărimea distribuţiei, la echilibru, pentru clustere formate din nuclee neomogene, este redată în figura 8.8 , pentru cazurile nesaturate şi suprasaturate. Echilibrul întregii distribuţii nu poate fi obţinut în cazurile de suprasaturaţie (S>1). Un asemenea caz va cere o cantitate infinită de vapori condensabili.

Fig. 8.8. Mărimea distribuţiei la echilibru, pentru clustere formate din nuclee neomogene.


Cu toate acestea, echilibrul de distribuţie joacă un rol foarte important în creşterea fazei de dispersie la o fază continuă, unde nucleii străini, cum ar fi fumul sau particulele de praf, nu sunt prezente în cantitate suficientă. Concentraţia şi mărimea distribuţiei poate fi estimată prin modificarea teoriei de echilibru pentru S>1, aşa cum este descris în capitolul următor.

O importantă limitare a analizei apare în folosirea tensiunii de suprafaţă a cantităţii, care nu poate fi aplicată la clustere foarte mici. Atunci când particulele de aerosoli au mărimi mai mari de 10 nm, mărimea distribuţiei este compusă din aceste particule şi clusterele de echilibru ale mărimii de distribuţie.

Această concentraţie de masă de particule străină este, în mod normal, de multe ori mai mare decât aceea a fasciculelor.

99 .. EE CC UU AA ŢŢ II AA DD II NN AA MM II CC II II

GG EE NN EE RR AA LL EE PP EE NN TT RR UU FF UU NN CC ŢŢ II AA

DD EE DD II SS TT RR II BB UU ŢŢ II EE LL AA NN II VV EE LL

DD EE PP AA RR TT II CC UU LL ĂĂ

Procesele de coagulare, conversie şi transport al particulelor modificǎ funcţia

de distribuţie a mǎrimii particulelor în timp şi spaţiu. O ecuaţie a dinamicii generale pentru n(r,υ,t) , care include toate aceste

procese, este utilǎ pentru analiza globalǎ şi este formulatǎ în continuare. Această ecuaţie este uneori numită ecuaţie a echilibrului populaţiei. Rezolvând ecuaţia pentru condiţii iniţiale şi de limită diferite, funcţia distribuţiei de mărime poate fi calculată pentru condiţiile geometrice şi de curgere de interes practic. Ecuaţia dinamicii generale (EDG) este de importanţă fundamentală pentru înţelegerea şi modelarea proceselor industriale şi atmosferice.

În general, modelele obişnuite pentru coagulare şi nucleaţie prezentate, sunt cazuri speciale ale unei teorii mai generale, pentru particulele foarte mici. Se utilizeazǎ un criteriu de aproximare, pentru a se vedea dacă este dominantă nucleaţia sau coagularea la nivel molecular. Forma continuă a EDG este folosită la derivarea ecuaţiilor de echilibru, pentru câteva momente ale funcţiei distribuţiei de mărime. Deoarece EDG este o ecuaţie neliniară, parţial integro-diferenţială, sunt necesare soluţii numerice. Sunt date soluţii analitice simple, unele aproximate, pentru câteva cazuri în care apar simultan două sau mai multe procese ce modifică distribuţia de mărime, ca de exemplu , condensarea şi coagularea simultane, difuzia turbulentă şi creşterea şi coagularea cu transport spre suprafeţe. Diferiţi termeni ce apar în EDG, cum ar fi funcţia frecvenţei coliziunii şi vitezele de migraţie, depind de temperatura şi presiunea gazului. Deci, este necesar să avem informaţii independente despre proprietăţile gazului, ca funcţie de timp şi poziţie. Aceasta se poate obţine fie prin măsurători experimentale, fie prin calcule bazate pe ecuaţia energiei şi pe ecuaţii ale mişcării fluidelor.

Progresele privind instrumentaţia şi metodele analitice au făcut mai uşoară urmărirea dinamicii aerosolilor din punct de vedere experimental, ceea ce a stimulat dezvoltarea metodelor numerice pentru rezolvarea EDG, [1]. Este de presupus cǎ va continua dezvoltarea metodelor numerice de rezolvare a EDG, în special pentru sisteme turbulente, care au o mare importanţă practică, atât pentru gazele din atmosferă cât şi pentru cele ce iau parte la proces.


9.1. Ecuaţia dinamică generală pentru funcţia de

distribuţie discretă Ecuaţia lui Smoluchowski pentru distribuirea discretă a mărimii particulei

poate fi generalizată, pentru a ţine cont de evaporarea particulelor, folosind termenii fluxului de evaporare care apar în teoria nucleaţiei:

unde k , se referă la numărul de molecule din fiecare particulă. Ecuaţia (9.1) reprezintă o generalizare a ecuaţiei lui Smoluchowski şi ecuaţia

cinetică clasică a nucleaţiei omogene este,

Aceasta rezultă grupând coliziunile dintre formaţiuni (i,j ≠1), în (9.1):

Primii doi termeni, din partea dreaptă, reprezintă coliziunile dintre particule mai mari decât o singură moleculă. Ultimii patru termeni sunt egali cu Ik – Ik+1. Rezumând, (9.1) reprezintă schimbarea lui nk , datorită proceselor interne ce au loc într-un volum elementar şi anume, coagularea şi conversia din gaz în particulă. Volumul elementar este fix în spaţiu. Valoarea lui nk în volumul elementar se poate modifica, datorită proceselor externe , ce conduc la transportul particulelor dincolo de limitele volumului. Aceste procese includ difuzia şi câmpuri de forţe externe ca gravitaţia, gradienţi de potenţial electric şi termic.

Schimbările în funcţia de distribuţie discretă, cu timpul şi poziţia, sunt obţinute generalizând ecuaţia difuziei convective, astfel încât să includă termenii pentru creşterea şi coagularea particulei:

unde coeficientul de difuzie D , este o funcţie a mărimii particulei şi cr

este viteza particulei, rezultată din câmpul de forţe externe. Suma termenilor creşterii şi coagulării este dată de (9.1).

Ecuaţia (9.4) este ecuaţia dinamică generală pentru funcţia de distribuţie

kkkkk

ji i

kkijik nsnsnnkinnjit

n⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=

∂

∂++

=+

∞

=

+∑ ∑ ααββ 111 1

1),(),(2

1

(9. 1)

1+−=∂

∂kk

k IIt

n

(9. 2)

1111

112

11

1-

12

1

+++

−

∞

=≠=+

⋅⋅α+⋅⋅α−⋅⋅β

⋅−β+⋅⋅β−⋅⋅β=∂

∂∑∑

kkkkkkk

kki

i

j

j,iji

ik

nsnsnn)k,(

nn)k,i(nn)k,i(nn)j,i(t

n

(9. 3)

k

coag

k

crestere

kkk

k nct

n

t

nnDvn

t

n rr⋅∇−

∂

∂+

∂

∂+∇⋅∇=⋅∇+

∂

∂

(9. 4)

Ecuaţia dinamicii generale pentru funcţia de distribuţie la nivel de particulă 265

discretă, unde k se referă la numărul de molecule din particulă. Acest rezultat este cel mai util pentru particule, conţinând număr relativ mic de molecule, mai puţin de câteva mii, ceea ce corespunde particulelor mai mici de 50 nm.

9.2 Coagularea şi nucleaţia ca procese la limita

conversiei din gaz în particule

Când o reacţie chimică rapidă sau o răcire bruscă conduce la formarea unei densităţi mari de molecule condensabile, formarea de particule poate avea loc fie prin nucleaţie omogenă, un proces accelerat, fie prin „coagulare“ moleculară, proces în care aproape toate coliziunile reuşesc. În principiu, această problemă poate fi analizată prin rezolvarea EDG pentru distribuţia discretă. Un criteriu aproximativ, [2], pentru a determina dacă nucleaţia este predominantă, sau coagularea, este bazat pe diametrul critic al particulei, dp

*, care apare în teoria nucleaţiei omogene:

unde p/ps este raportul dintre presiunea parţială a vaporilor condensabili şi presiunea de saturaţie a vaporilor la temperatura locală T, σ este tensiunea de suprafaţă, iar υm este volumul molecular al substanţei ce compune particula.

Această relaţie este valabilă mai ales pentru particule compuse din număr mare de molecule, de exemplu peste 50 sau 100, dar este folosită pentru o clasă a magnitudinii apreciată la dimensiuni moleculare. Valoarea lui dp

* poate fi comparată cu diametrul molecular al speciilor în condensare:

Când presiunea parţială a vaporilor în condensare este foarte ridicată (în comparaţie cu presiunea vaporilor), dp

* tinde spre dimensiuni moleculare. Echivalând (9.5) şi (9.6), se obţine:

Pentru presiuni parţiale mai mari decât valoarea corespunzătoare relaţiei (9.7), moleculele individuale pot fi considerate nuclee stabile. Se consideră că teoria clasică a coagulării este valabilă, cel puţin aproximativ, la începutul procesului de formare de particule, urmând imediat reacţiilor chimice care

s

m*p

p

pTk

vd

ln⋅⋅

⋅σ=

(9. 5)

3/16

=

πm

pm

vd

(9. 6)

Tk

v

p

pln

/m

/

s ⋅

⋅σ

π=

3231

6

(9. 7)


generează molecule condensabile. În acest caz, teoria nucleaţiei nu intră în dinamica procesului.

Mai există o limitare a aplicabilităţii acestei analize, şi anume, când coliziunea de particule conduce la coalizare şi nu la formarea de particule fundamentale solide şi agregatele lor. Ipoteza particulelor coalizante este valabilă, de obicei, mai ales în fazele de început ale formării particulelor. În fazele mai târzii, pentru substanţe puternic refractante (vapori de joasă presiune), coalizarea încetineşte şi se formează particulele fundamentale-primare solide. Determinarea diametrului particulelor primare şi momentul formării aglomerărilor lor necesită extinderea EDG, pentru a include rata coalizării particulelor, pe lângă rata coliziunilor.

9.3. Ecuaţia dinamică generală pentru funcţia de

distribuţie continuă Pe măsură ce mărimea particulei creşte (υ >> υm), devine convenabil să se

treacă de la distribuţia discretă la cea continuă, în ceea ce priveşte efectuarea calculelor. Tranziţia la funcţia de distribuţie continuă cere precauţie. Termenul de creştere este:

Fluxul (curentul) de particule, I, poate fi exprimat ca suma termenilor difuziei şi migraţiei, în spaţiul υ:

unde q = d υ/dt este viteza migraţiei prin spaţiul υ. Similar, termenii coagulării devin:

)( m

crestere

vvv

I

t

n>>

∂

∂−=

∂

∂

(9. 8)

qnv

nDI v ⋅+

∂

∂−=

(9. 9)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )m

v

coag

vvv~dv~nvn)v~,v(

v~dv~vnv~nv~v,v~

t

n

>>⋅⋅⋅β−

⋅−⋅⋅−β=

∂

∂

∫

∫∞

2

1

0

0

(9. 10)


Înlocuind (9.8) şi (9.10), pentru creştere şi coagulare, respectiv în (9.4), obţinem EDG pentru funcţia de distribuire continuă, [3, 4]:

Coliziunile cu molecule simple sunt excluse din expresia coagulării. Pentru cazul uzual al unei curgeri incompresibile, al doilea termen din stânga devine:

Procesele ce afectează funcţia de distribuire a mărimii sunt rezumate în figura 9.1, pentru un volum elementar. Fluxul de gaz produce transportul particulei dincolo de limitele elementului. În plus faţă de gravitaţie, alte câmpuri de forţe ce acţionează asupra fluxurilor (dar care nu apar în figură) sunt potenţialul electric şi termic.

Pentru a rezolva EDG sunt necesare expresii pentru I şi β(υ, v ) , prezentate în continuare în acest capitol. Oricum, este posibilă derivarea de expresii folositoare pentru concentraţiile de număr şi volum, fără a da valori acestor parametri.

Fig. 9.1. Procesele dintr-un volum elementar inclus în ecuaţia dinamică generală.

9.4. Ecuaţia dinamică pentru concentraţia unui număr

infinit de particule

Dinamica concentraţiei unui număr infinit de particule, N∞ şi fracţia volumului de material aerosol, φ, sunt elemente de interes special. Există o

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) )vv(nv~dv~nvnv~,v

vdv~vnv~nv~v,v~nDv

In

t

n

m

v ~

>>⋅∇−⋅⋅⋅β−

⋅−⋅⋅−β+∇⋅∇=∂

∂+⋅∇+

∂

∂

∫

∫∞

c

v

r

r

0

02

1

(9. 11)

nvvn ∇⋅=⋅∇rr

(9. 11a)


problemă, din punct de vedere experimental, în a defini concentraţia, în cazul în

care numărul total de particule este foarte mare, N∞. Acest parametru este, de obicei, măsurat cu un contor de particule de condensare, care detectează particule mai mari decât o mărime minimă ce depinde, într-o anumită măsură, de natura chimică şi formă. Dacă vd este volumul minim al particulei detectabile, atunci:

în care s-a considerat vd > v*, volumul particulei critice pentru nucleaţia omogenă.

Ecuaţia dinamică, pentru concentraţia de număr totală, se obţine integrând EDG şi ţinând cont de v , pentru toate valorile lui v > vd:

Termenul creşterii este,

Din punct de vedere fizic, I∞ = 0 , deoarece nu există pierdere de particule prin creştere la capătul superior al distribuirii. Termenul Id este curentul de particule ce curge spre capătul inferior al spectrului. Când are loc nucleaţia omogenă, acest termen este important. Pentru vd = v

*, mărimea particulei critice, Id,

este curentul de particule din teoria nucleaţiei omogene. Deci, ecuaţia dinamică omogenă, pentru concentraţia numărului, este:

Dacă raportul suprafaţă/volum este suficient de mic pentru a se putea neglija,

( )∫∞

∞ ⋅=vd

dvvnN

(9. 12)

z

dvncdv)v(n)v(n)v,v(

dv)vd)vv(n)v(n)vv,v(

dvnDdvv

IN

t

N

vds

vd

~~

~~~~~v

vd

vdvd

∂

⋅⋅∂−⋅

⋅⋅β−

⋅

⋅−⋅⋅−β+

⋅⋅∇=∂

∂+∇⋅+

∂

∂

∫∫ ∫

∫∫

∫∫

∞

∞ ∞

∞

∞∞

∞∞

0

0

2

2

1

vr

(9. 13)

∫∞

∞ −=⋅∂

∂

vddIIdv

v

I

(9. 14)

z

dvncdvvd)v(n)v(n)v,v(

dvvd)vv(n)v(n)vv,v(

dvnDINt

N

vds

vd

~~~

vd

v ~~~~~

vdd

∂

⋅⋅∂−⋅

⋅⋅⋅β−

⋅

⋅−⋅⋅−β+

⋅⋅∇+=∇⋅+∂

∂

∫∫ ∫

∫ ∫

∫

∞

∞ ∞

∞

∞

∞∞

0

0

2

2

1

vr

(9. 15)


depunerea pe pereţi prin difuzie şi sedimentare, ecuaţia (9.15), devine:

unde [∂N∞ / ∂t]coag reprezintă termenii de coagulare în (9.16). Modificarea lui N∞ rezultă din efectele concurente ale formării prin nucleaţie omogenă şi pierdere prin coagulare.

9.5. Ecuaţia dinamică pentru fracţia de volum

Fracţia de volum de aerosol, φ, depinde de concentraţia de masă, care, de obicei, este determinată prin filtrare. Să presupunem că filtrul este ideal şi îndepărtează toate particulele mai mari decât moleculele simple. Atunci:

Schimbarea în fracţia de volum, φ, cu timpul, este obţinută înmulţind EDG cu viteza v şi integrând, ţinând cont de v:

Variaţia lui φ , rezultând din conversia din gaz în particule, se poate scrie:

Dacă are loc nucleaţie omogenă, putem scrie cresteret

∂

φ∂ ca sumă a doi

termeni:

unde v* este volumul particulei critice.

Termenul t

dvvn*v

∂

⋅⋅∂∫0 reprezintă acumularea de materie în cluster, sub raza

mărimii particulei critice, υ*. În teoria nucleaţiei omogene acest termen dispare,

coag

dt

NI

t

N

∂

∂+=

∂

∂ ∞∞

(9. 16)

∫∞

⋅⋅=φ0

dvvn

(9. 17)

z

dvnvc

tdvnvD

tt

s

coagcrestere ∂

⋅⋅⋅∂−

∂

φ∂+⋅⋅⋅∇=

∂

φ∂+φ∇⋅+

∂

φ∂ ∫∫

∞

∞0

0

2vr

(9. 17a)

∫∫ ∞

∞

⋅∂

∂⋅−=

∂

⋅⋅∂=

∂

φ∂

0

0 dvv

Iv

t

dvvn

t crestere

(9. 17b)

t

dvvn

t

dvvn

t

*v

*v

crestere ∂

⋅⋅∂+

∂

⋅⋅∂=

∂

φ∂ ∫∫∞

0

(9. 18)


considerându-se că particulele acumulate sunt îndepărtate la fel de repede cum se formează. Al doilea termen, din partea dreaptă a relaţiei (9.18), poate fi scris astfel:

Dar:

Termenul ∫∞

⋅*v

dvI reprezintă creşterea de particule stabile ( v > v*), prin

conversia din gaz în particule. Din punct de vedere fizic, acest proces este clar, deoarece curentul de particule reprezintă volumul de material convertit, pe unitatea spaţiului v, în unitatea de volum de gaz şi unitatea de timp.

Deoarece nu există pierdere de material prin creştere la capătul superior al distribuirii, rezultă că : [ ] 0=⋅ ∞vI

Termenul [ ] *vvI ⋅ este rata volumetrică cu care materialul este furnizat de către nucleaţia omogenă părţii stabile a distribuirii de mărime.

Contribuţia termenului coagulării, coagt

∂

φ∂, dispare, indiferent de forma

funcţiei frecvenţei de coliziuni. Mecanismul coagulării schimbă funcţia de distribuire, doar de la dimensiuni mici la dimensiuni mari şi nu schimbă concentraţia volumetrică locală de aerosol.

Echilibrul pe φ ,(9.17) , capătă atunci forma:

Pentru 2−≈ pdD (zona moleculelor libere), integrala ∫∞

⋅⋅⋅0

dvnvD este

proporţională cu diametrul mediu al particulelor. Aşadar, acest termen reprezintă difuzia unei cantităţi proporţionale cu diametrul mediu al particulelor.

∫ ∫∫∫ ∞∞

∞

+∂

∂−=

∂

∂−=

∂

⋅⋅∂

*v*v

*v Idvdvv

Ivdv

v

Iv

t

dvvn

(9. 19)

[ ] [ ] *v*v

vIvIdvv

vI⋅−⋅=

∂

⋅∂

∞

∞

∫

(9. 20)

[ ]∫ ∫∫∞ ∞

∞

∂

⋅⋅∂−⋅⋅⋅∇+⋅+⋅=φ∇⋅+

∂

φ∂*v

s

*vz

dvvcdvnvDvIdvIv

t 0

02

omogena stabile

nucleatieprin particule

esedimentar difuzie formare de crestere

(9. 21)


9.6. Coagularea simultană şi creşterea difuzională în

regim continuu

Să presupunem că aerosolul conţinut într-o incintă mare este compus din particule mai mari decât drumul liber mediu al gazului. Raportul suprafaţă - volum al camerei este suficient de mic pentru a putea neglija depunerea pe pereţi, iar compoziţia sistemului este uniformă. În camerǎ are loc coagularea şi, în acelaşi timp, particulele cresc ca rezultat al condensării controlate de fenomenul de difuzie, iar sedimentarea poate fi neglijată. Nucleaţia omogenă nu apare, iar sistemul este izoterm. Un astfel de sistem a fost folosit pentru a modela formarea de aerosol în poluarea fotochimică a aerului.

Considerând doar creştere şi coagulare, EDG poate fi scrisă astfel:

cu funcţia frecvenţei coliziunilor, pentru domeniul continuu, dată de:

Curentul de particule se presupune că este dat de relaţia:

Legea creşterii prin difuzie poate fi scrisă sub forma:

unde S este rata saturaţiei, ps este presiunea vaporilor de saturaţie, υm este volumul molecular în faza de condensare, iar B este o constantă definită de această expresie. Efectele căldurii latente în condensare sunt neglijate, ca şi efectul Kelvin.

Se poate aplica în continuare transformarea de similaritate, ( )ηψφ

2∞=

Nn ,

dar concentraţia volumetrică nu mai este constantă, din cauza condensării materialului din stare gazoasă, [5].

Similaritatea procesului se păstrează datorită faptului că, rata saturaţiei se schimbă cu timpul, într-un mod special, şi grupul adimensional,

~~

0

~~~~

0

~~

)()(),()()(),(2

1vdvnvnvvvdvnvvnvvv

v

I

t

n v

⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅−=∂

∂+

∂

∂∫∫

∞

ββ

(9. 22)

+

+⋅

=3

1~

3

1

3

1~3

1

11

3

2vv

vv

Tk

µβ

(9. 23)

t

vnI

∂

∂=

(9. 24)

3

1

3

1

3

23 )1()1()4(3 vSBvS

Tk

vpD

dt

dv ms ⋅−⋅=⋅−⋅

⋅⋅⋅= π

(9. 25)


este constant. Acest grup este o măsură a relaţiei dintre ratele condensării şi coagulării.

Când C este mic, condensarea are loc încet, în comparaţiei cu coagularea. Ritmul cu care se schimbă numărul total de particule este dat de o expresie a aceleiaşi formule, pentru coagulare fără condensare:

dar valorile momentelor a şi b sunt diferite. Concentraţia volumetrică creşte ca rezultat al condensării ,la o rată dată de:

unde φ0 şi N∞(0) sunt valorile la t = 0. În cazul special important al ritmului constant de saturare, s-a găsit că suprafaţa totală a sistemului este constantă. Creşterea suprafeţei prin coagulare este, în acest caz, echilibrată prin formarea unei noi suprafeţe, ca rezultat a condensării vaporilor. Valoarea lui ba ⋅ este 1.05, pe când exponentul din (9.28),

ba

Ca

⋅+

⋅

1, este egal cu 0.5, iar N∞(0) = 106 cm-3 şi temperatura este T = 20οC. Valorile

calculate ale ( )0∞

∞

N

N şi

0φ

φφ/φ0 sunt prezentate în figura 9.2. Concentraţia de număr

scade ca rezultat al coagulării, iar concentraţia de volum creşte datorită condensaţiei. Dacă distribuirea de mărime ajunge la o formă autoîntreţinută, există o

relaţie specială între concentraţiile de număr, suprafaţă şi volum. Suprafaţa pe volumul unitate de gaz este:

Ţinând seama de autoîntreţinere, obţinem:

)1(2

4

3

3

1

3

2−⋅⋅

⋅⋅

=

∞

SB

NTk

C

φ

µ

(9. 26)

2)1(3

2∞

∞ ⋅⋅+⋅

−= NbaTk

dt

dN

µ

(9. 27)

ba

Ca

tNbaTk ⋅+

⋅

∞

⋅⋅⋅+

⋅⋅+⋅=

1

0 )0()1(3

21

µφφ

(9. 28)

dvnvdvvndA p ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫∫∞∞

0

3

2

3

1

0

2 )36()( ππ

(9. 29)

ηψηφπ dNA ⋅⋅⋅⋅⋅= ∫∞

∞0

3

2

3 236

(9. 30)


Fig. 9.2. Variaţiile concentraţiei de număr şi volum, în timp, pentru un aerosol.

În cazul special, când A şi rata saturaţiei sunt constante, integrala este egală cu 0.951, [5], astfel încât:

Au fost efectuate experimente de coagulare şi creştere simultanǎ, [6], pe un

sac de polietilenǎ de 90 m3, umplut cu aer de laborator, din care se filtraseră particulele. Radiaţia solară ce pătrundea sacul a indus reacţii fotochimice între poluanţii gazoşi, probabil SO2 şi alte substanţe organice, dar compoziţia chimică nu a fost determinată. Reacţiile au condus la formarea de molecule condensabile şi aerosoli fotochimici. S-a măsurat distribuţia mǎrimii particulelor la intervale de 20 minute, folosind un analizor de mobilitate electrică. Rezultatele unui set de experimente, pentru trei momente diferite, sunt prezentate în figura 9.3.

Concentraţiile numărului de particule, suprafaţă şi volum au fost calculate din funcţia de distribuire a mărimii şi sunt prezentate în figura 9.4. Variaţia în timp a concentraţiei de număr de particule se interpretează în felul următor: în absenţa

60.43/23/1

=⋅∞ φN

A

(9. 31)


nucleelor străine, particulele sunt formate iniţial de către nucleaţia omogenă. Pe măsură ce concentraţiile cresc, are loc coagularea, iar creşterea apare la nucleele deja generate.

Fig. 9.3. Distribuţia de mărime în timp la un aerosol de molecule libere.

Concentraţia de număr atinge un maxim, apoi scade. Concentraţia maximă este atinsă când rata formării prin autonucleaţie şi rata coagulării sunt egale.

Concentraţia maximă este determinată stabilind că ∂N∞ / ∂t = 0, în (9.16):

Pe măsură ce creşterea continuă, suprafaţa aerosolului devine suficient de mare pentru a putea primi produşii conversiei din gaz în particulă. Rata saturaţiei scade, ducând la o reducere a ritmului formării de particule. Scăderea concentraţiei de număr pentru t > 80 min, în figura 9.4 , se datorează probabil coagulării; calculele pentru aerosolii de molecule libere susţin această ipoteză.

Spre deosebire de cazul coagulării fără creştere, fracţiunea de volum a materialului dispersat creşte cu trecerea timpului, ca rezultat al conversiei din gaz în particulă. Suprafaţa totală, pe de altă parte, tinde să aibă o valoare aproape constantă. Coagularea tinde să reducă suprafaţa, în timp ce creşterea tinde să o mărească, iar cele două efecte din acest caz aproape se echilibrează unul pe celălalt.

Raportul , 3231NA /// φ∞ , atinge o valoare constantă după aprope 1h, indicând

că faza de autoconservare a fost atinsă. Relaţia (9.24) este valabilă şi pentru şirul de continuitate şi pentru cel cu molecule libere, dar valoarea integralei variază într-o oarecare măsură. Cum se poate vedea în figura 9.4, valoarea raportului tinde spre

coag

dt

NI

∂

∂−= ∞

(9. 32)


4,60 , valoarea pentru şirul de continuitate cu constanta A (9.31). Volumul total de aerosol creşte în timp, pe măsură ce are loc conversia din gaz în particule. Suprafaţa totală, A, creşte la început, iar apoi atinge o valoare aproape constantă, probabil datorită unui echilibru între creştere şi coagulare. Rezultatele ar trebui comparate cu figura 9.2. Vârful în distribuirea de număr rezultă, probabil, când formarea prin nucleaţie omogenă este echilibrată de coagulare.

Fig. 9.4. Evoluţia momentelor funcţiei distribuirii de mărime pentru aerosoli.

În figura 9.5 au fost redesenate datele din figura 9.3, pentru forma de autoconservare. Datorită unei bune aproximări, toate datele cad pe o singură curbă. Teoria, pentru şirul de continuitate discutată în secţiunea precedentă, nu se poate aplica direct, deci nu s-a făcut nici o comparaţie între teorie şi experiment.

Fig. 9.5. Distribuţia de mărime transpusă pentru formula de autoconservare.


9.7. Ecuaţia dinamicii generale pentru curgerea

turbulentă În multe cazuri, de interes practic, fluidul în care sunt suspendate particulele

este în mişcare trubulentă. Anterior, au fost analizate efectele turbulenţei asupra funcţiei frecvenţei coliziunilor, pentru coagulare şi nucleaţie , la curgere turbulentă.

EDG pentru curgere turbulentă este derivată, considerând ipoteza Reynolds conform căreia, funcţia de distribuţie de mărime şi viteză a fluidului poate fi scrisă ca sumă a componentelor stabile şi fluctuante:

Se presupune că nucleaţia omogenă nu are loc şi curentul de particule este proporţional concentraţiei, prin legea creşterii:

Legea creşterii poate fi scrisă şi ca sumă a termenilor stabili şi fluctuanţi:

Fluctuaţiile ratei creşterii rezultă din variaţiile locale ale temperaturii şi concentraţiilor speciilor gazoase implicate în procesele de transformare din gaz în particule.

Ca exemplu, procesul de creştere limitat de difuzie,

unde p este presiunea parţială a gazului difuzat la distanţe mari de la suprafaţă şi 0=sp . Atunci, pentru un sistem izoterm avem:

unde p’ este presiunea parţială fluctuantă a speciilor ce se condensează. Această formulă pentru fluxul difuzional este bazată pe o aproximare a stării cvasi-stabile şi poate să nu fie valabilă pentru schimbări bruşte în concentraţia din gazul ce înconjoară particula.

Înlocuind relaţiile anterioare în EDG, simplificând în funcţie de timp şi folosind ecuaţia de continuitate, 0=⋅∇ v

r, obţinem:

' ; '__

nnn +=+= vvvrrr

(9. 33)

nqI ⋅=

(9. 34)

'_

qqq +=

(9. 35)

Tk

vpdDq m

p⋅

⋅⋅⋅⋅= π2

(9. 36)

Tk

vpdD

Tk

vpdDq

mpmp

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=

'22_

ππ

(9. 37)


Astfel, apar câţiva noi termeni în EDG. Al patrulea din stânga, este termenul creşterii fluctuante şi depinde de corelarea dintre funcţia de distribuţie, de mărime fluctuantă n’ , şi concentraţiile de specii gazoase convertite în aerosol. Astfel, apare o tendinţă de răspândire în zona mărimii cât o particulă – o difuzie turbulentă prin spaţiul v, [7].

Primul termen din dreapta este o foarte cunoscută formulă, ce reprezintă schimbarea în rezultat, din difuzia turbulentă. Componentele separate ale vectorului flux '' v

r⋅n , se presupune că se supun unei ecuaţii de genul:

unde coeficientul de difuzie turbulentǎ, εi , este în funcţie de poziţie, iar i = 1, 2, 3 se referă la componentele sistemului de coordonate carteziene. Al doilea şi al treilea termen reprezintă contribuţiile la coagulare, rezultate din concentraţiile fluctuante. Importanţa acestor termeni, pentru curgeri turbulente în tuburi sau în atmosferă, nu a fost studiată atent.

9.8. Ecuaţia dinamicii generale pentru coşurile înalte

turbulente

Una dintre cele mai evidente manifestări a poluării aerului este urma vizibilă, formată în sensul vântului, de o sursă staţionară. Un model relativ simplu pentru astfel de cazuri este sursa punct continuă, într-un fluid turbulent, cu viteză

fixă, u (x,z). Coordonata x este măsurată în sensul vântului de la sursă, paralel cu solul, iar z este coordonata, perpendicular pe suprafaţă (figura 9.6).

Componentele vitezei în direcţiile y şi z dispar, iar difuzia pe direcţia x poate fi neglijată, în comparaţie cu convecţia. Difuzia brawniană este şi ea neglijabilă în comparaţie cu difuzia turbionară. Acestea sunt artificiile simplificatoare ce se fac în teoria difuziei speciilor moleculare, în coşurile înalte turbulente, şi cu ele ecuaţia (9.38) devine:

z

ncvdvnvnvvvdvvnvnvvv

vdvnvnvvvdvvnvnvvv

nDnv

vn

v

qnn

t

n

s

v

v

∂

∂⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅−

+⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅−

+∇⋅+⋅⋅−∇=∂

⋅∂+

∂

⋅∂+∇⋅+

∂

∂

∫∫

∫∫

∞

∞

_~

0

_____________~~~

0

_________________~~~~

~

0

~__~

0

~~_~_~~

_2

_____________

)(')('),()(')('),(2

1

)()(),()()(),(2

1

''''

ββ

ββ

vvrr

(9. 38)

i

ix

nn

∂

∂−=⋅

______

'' εvr

(9. 39)


Fig. 9.6. Diagrama schematică a unui coş de fum înalt, cu turbulenţe.

Departe de imediata vecinătate a sursei, când concentraţiile au scăzut suficient, ca rezultat al coagulării şi diluţiei, coagularea adiţională poate fi adesea neglijată. Când ne îndreptăm atenţia doar asupra particulelor mai mici de câţiva micrometri, pentru care sedimentaţia nu este importantă şi neglijăm termenul creşterii turbulente, în absenţa altor informaţii, ecuaţia (9.40) ia următoarea formă:

pentru o viteză medie constantă, Ū. Intereseazǎ cum se schimbă funcţia distribuţiei de mărime odată cu poziţia,

pe măsură ce se depărtează de coş, pentru o formulă dată a legii creşterii. Această problemă are o soluţie surprinzător de simplă, pentru o lege a creşterii de forma:

unde V şi X sunt funcţii arbitrare ale lui v şi respectiv x. Doar x şi v apar ca variabile independente în partea stângă, în timp ce y şi z

apar în partea dreaptă, ceea ce sugereazǎ soluţia:

z

ncvdvnvnvvvdvvnvnvvv

vdvnvnvvvdvvnvnvvv

z

zn

y

yn

v

qn

v

qn

x

nu

s

v

v

zy

∂

∂−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅−

+⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅−

+∂

∂∂∂+

∂

∂∂∂=

∂

⋅∂+

∂

⋅∂+

∂

∂

∫∫

∫∫

∞

∞

_~

0

_____________~~~

0

_________________~~~~

~

0

~__~

0

~~_~_~~

___

)(')('),()(')('),(2

1

)()(),(,)()(),(2

1

)/()/(''

ββ

ββ

εε

(9. 40)

z

zn

y

yn

v

qn

x

nU zy

∂

∂∂∂+

∂

∂∂∂=

∂

⋅∂+

∂

∂ )/()/(___

εε

(9. 41)

( ) ( )xXvVq ⋅=

(9. 42)


unde g este o funcţie arbitrară a lui V

dv

U

dxX

s

∫∫−

⋅

= 00 şi ),,( zyxN ∞ este distribuţia în

spaţiu a distribuţiei de număr a particulelor. Distribuţia în spaţiu a numǎrului de particule este:

Înlocuind relaţia (9.43) în ecuaţia (9.41), obţinem:

Rearanjând termenii, avem:

Aceasta este ecuaţia pentru distribuţia în spaţiu a concentraţiei de număr a particulelor, ce poate fi derivată independent din ecuaţia (9.41), integrând pentru toate valorile lui υ. Deci, formula (9.43) este într-adevăr o soluţie pentru ecuaţia (9.41), luând în considerare legea creşterii (9.42).

O soluţie particulară simplă se obţine când legea creşterii este de forma Xvq ⋅= , corespunzătoare reacţiei din faza de picătură mică. Dacă distribuţia de

mărime iniţială este de forma unei legi la o putere, ∞⋅⋅= Nvbnp , înlocuind în

relaţia (9.43), rezultă expresia următoare:

Formula, la o putere pentru distribuţia mǎrimii, nu este valabilă pentru toată gama dimensiunilor, deoarece singularităţile se dezvoltă în anumite funcţii integrale. Ca rezultat, integralele de tipul (9.44), trebuie ajustate la partea superioară sau inferioară sau la amândouă.

Legea creşterii este, în general, funcţie de concentraţiile locale ale speciilor reactive gazoase:

),,()(1

zyxNsgV

n ∞⋅=

(9. 43)

∫∞

∞ ⋅=0

),,,(),,( dvzyxvnzyxN

(9. 44)

z

zNg

y

yNg

ds

dgNX

x

NgU

ds

dgNX zy

∂

∂∂∂+

∂

∂∂=⋅−

∂

∂⋅+⋅

∞∞∞

∞∞

)/()/( εε

(9. 45)

z

zN

y

yN

x

NU zy

∂

∂∂∂+

∂

∂∂=

∂

∂ ∞∞∞ )/()/( εε

(9. 46)

])1(exp[ ∫⋅

+−⋅⋅⋅= ∞U

dxXpNvbn

p

(9. 47)


unde funcţia V(v) depinde de mecanismul conversiei, iar ci sunt concentraţiile gazelor reactive. Deoarece concentraţiile sunt, în general, funcţii de x, y, z, este clar că relaţia (9.42) este o aproximare. O soluţie completă la problemă necesită rezolvarea simultană a EDG şi ecuaţiilor de conservare a componentelor gazoase ce participă la reacţie, inclusiv cinetica chimică.

9.9. Coagularea şi depunerea la agitare

Să presupunem că o cameră este plină cu un aerosol ce este menţinut bine amestecat. Particulele se coagulează şi totodată se depun şi difuzează către pereţi. Acest tip de model a fost folosit pentru a analiza comportamentul particulelor radioactive generate într-un accident la un reactor nuclear şi apoi colectate într-un vas conceput special în acest scop, respectiv anvelopa reactorului. Conţinutul structurii reţinute este amestecat, ca rezultat al convecţiei naturale induse de temperatura prezentă în condiţii postaccident. Eficacitatea vasului în a ţine produsele depinde de gravitatea accidentului, topirea miezului fiind un test foarte aspru. Au fost studiate atât modelul teoretic cât şi cel experimental ale unui astfel de sistem. Scopul analizei este de a anticipa rata scăderii norului în vas şi dimensiunea particulelor, plecând de la anumite presupuneri, cu privire la cantitatea de material în fază de aerosol. Presupuneri se fac şi cu privire la ritmul scurgerii din vasul recipient.

Noi considerăm doar problema unidimensională, în care camera este înlocuită de două planşee paralele orizontale, cu distanţa h între ele, iar depunerea are loc pe direcţia z. Toate trei componentele vitezei medii dispar. Ecuaţia pentru concentraţia medie (9.40), ia forma:

Termenii coagulării fluctuante pot fi neglijaţi, deoarece departe de pereţi concentraţia este aproape uniformă. Mai mult, pentru că sistemul este bine agitat, concentraţia aproape peste tot este uniformă, până la o distanţă mică, δ, de partea de jos a camerei, corespunzătoare regiunii în care difuzia turbionară se modifică, de la valoarea în masă, la zero (la perete). Într-o anumită măsură, această distanţă este arbitrară şi nu trebuie determinată exact pentru această analiză.

Concentraţia medie în cameră este definită de:

( ) ( )icccFvVq ,,, 21 L⋅=

(9. 48)

z

ncvdvnvnvv

vdvnvvnvvvz

znD

t

n

s

v

∂

∂−⋅⋅⋅−

⋅⋅−⋅−+∂

∂∂+∂=

∂

∂

∫

∫∞

0

0

)()(),(

)()(),(2

1)/)((

β

βε

(9. 49)


Concentraţia în masa fluidului este aproximativ egală cu ][n , pentru că volumul de fluid limitat de δ şi perete este mic. În afara zonei δ, fluxul de particule

către josul camerei este dat de scn ⋅][ , deoarece panta concentraţiei şi difuzia, sunt neglijabile.

Presupunând o stare cvasi-staţionară, fluxul de particule la partea de jos a

camerei va fi de asemenea scn ⋅][ , ceea ce conduce la:

Când integrăm ecuaţia (9.49) termen cu termen, faţă de z , pentru înălţimea camerei cu această condiţie de limitare, se obţin rezultatele de mai jos.

Termenii instabili iau forma:

Termenii difuziei şi depunerii combinate pot fi integraţi după cum urmează:

Depunerea pe plafonul camerei a fost neglijată, iar (9.51) a fost introdusă pentru podeaua camerei. Pentru termenul coagulării, avem:

Cu excepţia unei mici regiuni lângă perete, n este aproape independent de z în orice moment şi prin urmare:

∫ ⋅=

h

dznh

n

0

1][

(9. 50)

s

z

s cncnz

nD ⋅=

⋅+

∂

∂+−

=

][)(0

ε

(9. 51)

t

nh

t

dzn

dzt

nh

h

∂

∂=

∂

⋅∂

=∂

∂∫

∫][

0

0

(9. 52)

[ ]s

h

s cndzz

ncznD⋅−=

∂

⋅−∂∂+∂∫ ][0

)/)((

0

ε

(9. 53)

∫ ∫

∫ ∫

⋅

⋅⋅−−

=⋅⋅⋅−⋅−

v h

h v

vddzvnvvnvvv

dzvdvnvvnvvv

0 0

0 0

)()(),(

)()(),(

β

β

(9. 54)


care este un rezultat analog pentru celălalt termen al coagulării. Aşadar, rezultatul integrării (9.49), faţă de z este:

Aceasta este ecuaţia ce trebuie rezolvată, de obicei, când se calculează coagularea şi depunerea într-o incintă bine agitată. Se obţin soluţii numerice pentru valorile speciale ale funcţiei frecvenţei coliziunilor, [8], pentru scăderea în concentraţia de masă, ca funcţie de înălţimea incintei şi timp.

În procesul de coagulare, particule mici, de la limita de jos a distribuţiei de mărime, sunt transferate în zona dimensiunilor particulelor mari. Particulele mari, formate în acest fel, se aşează pe podeaua incintei. O stare cvasi-stabilă se poate dezvolta la limita superioară a distribuţiei, în care rata formării între limitele date ale dimensiunilor prin coagulare este egală cu rata pierderii prin depunere. Aceasta este echivalentă cu egalarea primului termen cu ultimul, din partea dreaptă a relaţiei (9.56), care, pentru coagularea în regim continuu, conduce la relaţia:

unde n = [ n ]. O soluţie particulară, ce satisface relaţia (9.57) şi cerinţa ca volumul total de

aerosol pe volumul unitate de gaz să fie finit, este:

unde A1 şi A2 sunt constante. Soluţia ecuaţiei de mai sus, (9.58), funcţie de n şi diametrul dp este

prezentatǎ în figura 9.7. Limita de jos a distribuţiei de mărime este pentru stare stabilă, între coagulare şi sedimentare. Soluţia cade pentru valori mici ale diametrului particulei, deoarece termenul reprezentând pierderea prin coagulare a fost neglijat în (9.57).

Se poate verifica cǎ, relaţia (9.58) este o soluţie, prin înlocuirea în (9.57),

hvnvvndzvnvvn

h

⋅−=⋅⋅−∫ )]()][([)()(0

(9. 55)

∫

∫∞

−⋅⋅⋅−

⋅⋅−⋅−=∂

∂

0

0

][)]([)]([),(

)]([)]([),(2

1][

h

ncvdvnvnvv

vdvnvvnvvvt

n

s

v

β

β

(9. 56)

∫ =⋅−⋅

−+

⋅ vs

h

cvdvvnvn

v

vvTk

0

3/1

)()(13µ

(9. 57)

vAevAn

⋅−− ⋅⋅= 23/11

(9. 58)


unde B este funcţia beta. Constanta A1 are dimensiunile L-5.

Fig. 9.7. Soluţia particularǎ a distribuţiei de mărime pentru stare stabilă.

Concentraţia totală de volum de aerosol este:

Integrala poate fi exprimată în termeni de funcţie gama, iar A2 poate fi evaluat în modul acesta:

Rata depunerii de particule (volumul materiei particulate pe unitate de suprafaţă, pe unitate de timp) are dimensiunile vitezei şi este dată de:

Deci, fluxul de sedimentare este proporţional cu φ 7/5 pentru starea stabilă.

[ ])3/2,3/2(36

3/1

1BhTk

gA

p

+⋅⋅⋅⋅

⋅

=

π

ρπ

(9. 59)

∫∞

⋅− ⋅⋅=0

23/21 e dvvA

vAφ

(9. 60)

[ ]5/3

5/31

2

)3/5(

φ

Γ⋅=

AA

(9. 61)

( )[ ]

5/75/2

15/7

3/2

0

23/41

3/2

0

)3/5(18

3/76

18

6)(esedinentardefluxul

φµ

ρ

π

µ

ρ

π

A

g

dvevAg

dvvvnc

p

vAp

s

Γ

Γ

=

== ∫∫

∞−

∞

(9. 62)


Analiza este aproximativă, deoarece al doilea termen din dreapta al coagulării, din relaţia (9.56), este neglijat.

În situaţia unei stări cvasi-stabile, concentraţia materialului suspendat se modifică uşor în timp. Fluxul de sedimentare reprezintă atunci rata pierderii de material din volumul camerei, pe unitatea de suprafaţă a podelei.

9.10. Coagularea şi depunerea prin difuzie convectivă Arderea combustibililor în motoarele vehiculelor este o sursă majoră de

particule submicronice în atmosferele urbane. Un exemplu este emisia de particule conţinând plumb, de la arderea benzinei cu tetraetil de plumb. Alt exemplu este emisia de funingine de la motoarele Diesel. În aceste sisteme se formează mici particule submicronice prin nucleaţie omogenă. Aceste particule coagulează, iar unele se depun pe pereţii tobei de eşapament prin difuzie browniană, combinată cu termodifuzia, pentru că pereţii sunt, de obicei, mai reci decât gazele de evacuare.

În principiu, ecuaţia (9.40) trebuie rezolvată cu un termen în plus, pentru transportul prin termodifuzie, ceea ce creeazǎ dificultǎţi matematice foarte mari.

Un calcul aproximativ poate fi făcut adoptând următorul model simplificat: un gaz purtând multe particule, mai mici decât calea liberă medie, curge printr-o ţeavă dreaptă, cu pereţi netezi, la temperatură constantă. Particulele se depun prin difuzie pe pereţii ţevii care se comportă ca o chiuvetă perfectă, (n=0).

Dacă ritmul coagulării este rapid în comparaţie cu ritmul pierderii prin depunere pe pereţii ţevii, cele două procese , coagularea şi depunerea pe suprafaţă, pot fi tratate separat. Pentru scopul calculului, curgerea poate fi împărţită în două părţi, iar în mijlocul turbulent, coagularea controlează forma distribuţiei de mărime, care este apoi determinată de soluţia ecuaţiei pentru coagulare, în condiţii de curgere stabilă.

Aproape de suprafaţă, fluxul de materie particule, spre perete, este:

când doar difuzia controlează transportul; barele care denotă cantităţile medii în timp sunt omise în restul acestei secţiuni, pentru a simplifica notaţia.

Dacă apar şi gradienţi de temperatură, trebuie incluşi la forţele implicate în depunerea de suprafaţă. Ecuaţia (9.63) poate fi integrată pentru deferite forme ale coeficientului ε(z), de difuzie turbionară, în substrat vâscos. Rezultatul obţinut anterior permite utilizarea dependenţei, general acceptată, ε ~ y3.. Totuşi, pentru a simplifica formele expresiilor derivate în partea următoare a discuţiei, este convenabil să folosim ε ~ y4

, astfel cǎ:

z

nDJ

∂

∂+−= )( ε

(9. 63)

4/32/1 Sc079.0 −⋅⋅⋅⋅=⋅= fnUnkJ

(9. 64)


în care Sc este numărul Schmidt. Volumul fluxului total local de particule, proporţional cu masa, către pereţii

ţevii, este:

Pentru particule sferice mult mai mici decât calea liberă medie a moleculelor gazului înconjurător, coeficientul difuziei este:

unde m este masa moleculară a moleculelor de gaz şi mp/kT a fost înlocuit pentru ρ. Pentru moleculele de gaz ce se comportă ca sfere elastice rezistente, această

expresie poate ,de asemenea, fi scrisă ca:

unde D11 este coeficientul auto-difuziei pentru gaz şi vm este volumul molecular al moleculelor de gaz.

Înlocuind în relaţia (9.65), se obţine:

Calculul se face uşor când distribuţia de mărime se autoconservă. Înlocuind

în (9.68) ( ) ( )ηψφ ⋅= ∞ /2Nn , unde φ şi N∞ sunt cantităţile medii în timp, conforme

cu natura turbulentă a cursului, şi luând υ/D11 = 0.7, valoarea pentru aer, obţinem:

Integrala ∫∞

⋅⋅0

2

1

ηηψ d este aproximativ 0.89, când este evaluată din

distribuţia autoconservantă pentru zona moleculelor libere. Depunerea cea mai abundentă de masă apare contra curentului, unde N∞ şi φ sunt cele mai mari.

Schimbarea în φ cu x este dată de o echilibrare a masei pe un element mic al peretelui ţevii, ca în figura 9.8:

∫∫∞∞

⋅⋅⋅

=⋅⋅0

4/34/3

2/1

0079.0 dvvDn

v

fUdvvJ

(9. 65)

2/1

2 22

3

⋅

⋅

⋅

⋅=

⋅=

m

Tk

dp

Tk

f

TkD

pπ

(9. 66)

3/211

2

4

≈

v

vDD m

(9. 67)

( ) ∫∫∞∞

⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅0

2/14/3

11

2/12/1

0 /

17.0dvvn

Dv

vfUdvvJ m

(9. 68)

∫∫∞

∞

∞

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅0

2/12/12/12/12/1

023.0 ηηψφ dNvfUdvvJ m

(9. 69)


şi ţinând seama de (9.69), obţinem:

Fig. 9.8. Coagularea şi depozitarea pe perete într-o curgere turbulentă prin ţeavă.

Variaţia lui N∞ , pe distanţă, este obţinută din expresia pentru coagularea moleculelor libere,

Când combinăm relaţia (9.72) cu (9.71), se obţine:

Integrând cu condiţia iniţială φ = φ0 la N∞ = ∞, rezultǎ:

unde B este coeficientul constant din partea dreaptă a relaţiei (9.73). Când înlocuim (9.74) în (9.72), obţinem o ecuaţie diferenţială pentru variaţia

volumului particulei de-a lungul ţevii:

Depunerea până în orice punct în ţeavă se poate obţine prin integrarea numerică a acestei expresii.

În practică, suprafeţele peste care curge gazul devin aspre, ca rezultat al

dxdvvJddUd

teavateava ⋅

⋅⋅−=⋅

⋅∫

∞

0

2

4πφ

π

(9. 70)

dxNvfdd

mteava ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅− ∞

2/12/12/12/120.04

φφ

(9. 71)

6/116/1

2/16/16

4

3334.0 ∞

∞ ⋅

⋅

⋅−=⋅ N

Tk

dx

dNU

p

φρπ

(9. 72)

( ) ( ) 3/42/16/1

2/12/1

3/1 /64/3

25.0

∞

∞⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

N

dN

Tkd

Uvfd

pteava

m

ρπφ

φ

(9. 73)

( )3/1

3/23/20

2

∞

=−N

Bφφ

(9. 74)

[ ]dxBvf

d

dm

pipe

⋅⋅⋅=−

− 2/32/12/12/1

2/33/23/20 )2(

82.0

φ

φφφ

(9. 75)


depunerii de particule, coroziunii şi cojirii. Ratele depunerii sunt, probabil, mai importante decât cele calculate din relaţia (9.75), bazatǎ pe (9.64), pentru transferul de masă în ţevi netede. În plus, curgerea prin ţeava de eşapament este instabilă, datorită modurilor obişnuite de a conduce în trafic. Aceşti factori contribuie la reintrarea în atmosferă a aglomerărilor formate pe suprafaţă şi apariţia unor fragmente de masă mare de particule aspre (> 10 µm) în gazele de eşapament, [9]. Distribuţia mărimii reale a particulelor ce ies pe ţeava de eşapament este considerabil mai largă decât distribuţia autoconservantă, datorită reintrării şi variaţiilor de-a lungul interiorului ţevii.

9.11. Depunerea la curgere printr-o zonǎ turbulentǎ Pentru a modela aceastǎ situaţie se considerǎ că, un aerosol curge regulat

înăuntrul şi în afara unei camere ce este menţinută bine agitată (figura 9.9). Distribuţia la intrare este n0(v). Distribuţia în reactor şi în curentul de ieşire este n(v).

Fig. 9.9. Curgere printr-o zonǎ agitatǎ.

În cameră, procesele ce modifică distribuţia de mărime ocupă locul tipului reprezentat de termenii din EDG. Dacă se menţine curgerea suficient timp – cam de cinci ori timpul mediu de şedere – conţinutul camerei tinde să se apropie de o stare stabilă. Distribuţia stării stabile este determinată de distribuţia de mărime a ceea ce intră, ritmul curgerii şi procesele de creştere, coagulare şi depunere, ce au loc în recipient. O ipotezǎ de bază este aceea că, în toatǎ camera, concentraţia este uniformă şi egală cu concentraţia la ieşire.

Un astfel de sistem pentru aerosoli este mai simplu de analizat, în unele privinţe, decât sistemele precedente, instabile sau variind în spaţiu. Considerăm camera de volum B ,cu un aerosol intrând cu o distribuţie de mărime n0(v). În starea stabilă, pentru o curgere volumetrică de gaz Q, un echilibru al numărului de particule în jurul dimensiunii v la v + dv, produce:


Considerăm următoarea problemă simplă, ce poate fi rezolvată analitic: un aerosol cu distribuţia de mărime n0(v), intră continuu în reactor. Procesele chimice sau fizice din interiorul reactorului produc specii condensabile, ce se depun pe particulele de aerosol.

În starea stabilă, echilibrul particulelor de dimensiuni v la v + dv ,devine:

unde timpul mediu de şedere τ , este egal cu B/Q, iar depunerea de particule pe pereţi a fost neglijată. Ecuaţia (9.77) este o ecuaţie liniară obişnuită.

Luând qn ⋅ , ca variabilă dependentă, factorul de integrare este

⋅∫ τq

dvexp

şi soluţia la (9.76), cu n = 0 şi v = 0 este:

dacă rata de creştere este controlată de difuzie, q = Aυ1/3, unde A este o constantă.

Presupunem că aerosolul ce intră în cameră este monodispersat, astfel încât n0 = N0δ(v – v0), unde δ(v – v0) reprezintă funcţia delta Dirac, şi N0 este numărul de particule pe unitatea volum a mărimii v0. Atunci, integrala din dreapta relaţiei

(9.78), devine ττ

0.

2

0

2

3exp

NvA

⋅

, iar distribuţia de mărime a aerosolului ce

părăseşte camera este:

Deci, rezultatul creşterii particulelor în cameră este să transforme un aerosol monodispersat într-unul polidispersat. Aceasta se întâmplǎ, deoarece există o distribuţie a timpului de şedere pentru particulele. Unele particule stau pentru perioade mai mari decât τ, iar altele pentru perioade mai mici, aşa că perioada de creştere variază la particulele ce părăsesc reactorul în orice moment.

−

+⋅=⋅

volumunitatepe

depuneriirataB

volumdeunitatepe

formaredenetarataBvnQvnQ )()( 0

(9. 76)

dv

qndnn )(0 ⋅+=

ττ

(9. 77)

∫ ∫∫

⋅

⋅−=

v

dvn

q

dv

q

dv

qn

0

0expexp1

τττ

(9. 78)

( ) ( )00

3/23/20

3/1 2

3exp

1)( vv

N

A

vv

vAvn >

⋅

−

⋅=

ττ

(9. 79)

11 00 .. DD II SS PP EE RR SS II AA GG AA ZZ EE LL OO RR PP OO LL UU AA NN TT EE EE VV AA CC UU AA TT EE PP RR II NN CC OO ŞŞ UU RR II ÎÎ NN AA LL TT EE

Evacuarea în atmosferă, prin intermediul coşurilor, a fost multă vreme cea mai comună metodă industrială de degajare a gazelor poluante. Concentraţia la care oamenii, plantele, animalele şi structurile sunt expuse la nivelul pământului, poate fi redusă semnificativ, prin emiterea deşeurilor gazoase la înălţimi mari. De asemenea, coşurile înalte pot fi eficiente în cazul scăderii nivelului concentraţiei la nivelul solului, fără a reduce cantitatea de poluanţi din atmosferă. Oricum, în anumite situaţii, folosirea acestor coşuri poate fi cea mai practică şi economică cale de tratare a problemei aerului poluat.

10.1. Factori de influenţǎ

Pentru a determina acceptabilitatea coşurilor de fum, în cazul degajării gazelor poluante, trebuie determinată concentraţia acceptabilă la nivelul solului, denumită imisie (în engleză, Ground-Level Concentration - GLC) a poluantului sau a poluanţilor. Trebuie considerată, de asemenea, topografia zonei, pentru ca poziţionarea coşurilor să fie bine aleasă, destul de departe de clădiri, dealuri, care ar putea introduce un factor de turbulenţă a aerului în cadrul funcţionării coşurilor. Este necesară cunoaşterea condiţiilor meteorologice predominante în zonă, respectiv: vânturile care prevalează, umiditatea şi căderea ploilor. În sfârşit, este necesară cunoaşterea exactă o constituenţilor gazelor poluante şi a proprietăţilor lor chimice şi fizice.

Direcţia şi viteza vântului. Direcţia vântului este măsurată la înălţimea unde se evacuează poluantul, iar direcţia medie este direcţia de transport a poluanţilor. În meteorologie se ia în consideraţie ca direcţie a vântului, direcţia de unde acesta bate şi de aceea, un vânt dinspre N-V va transporta poluanţii la S-E de sursă.

Viteza vântului are un dublu efect, respectiv: 1) viteza vântului va determina timpul de transport de la sursă la receptor şi 2) viteza vântului va afecta diluarea în direcţia vântului. În general, concentraţia aerului poluant pe direcţia vântului este invers proporţională cu viteza vântului.

Viteza vântului are componente ale vitezei pe toate direcţiile şi, de aceea, există mişcări pe verticală şi pe orizontală. Aceste mişcări aleatoare, în mare măsură pe scări şi perioade diferite, sunt direct responsabile de mişcarea şi difuziunea poluanţilor. Aceste mişcări pot fi considerate turbulenţe atmosferice. Dacă scala unei mişcări turbulente (vârtejuri) este mai mare decât pana de poluant din vecinătate, vârtejul va antrena această pană de poluanţi. Dacă vârtejul este mai


mic decât pana de poluant, efectul va fi de disipare şi împrăştiere a penei. Această disipare cauzată de mişcarea vârtejului este în mare măsură variabilă în atmosferă, dar chiar şi atunci când efectul ei este minim, acesta este cu trei ordine de magnitudine mai mare decât o acţiune de difuzie moleculară singulară.

Turbulenţa mecanică, indusă în structura vârtejurilor din atmosferă, se datorează neregularităţii suprafeţelor peste care trece aerul. De aceea, existenţa arborilor, arbuştilor, clădirilor şi amenajărilor de pe terenuri va cauza turbulenţe mecanice. Înălţimea şi spaţiul dintre elementele care creează aceste neregularităţi afectează turbulenţa. În plus, turbulenţele mecanice cresc, odată cu mărirea vitezei vântului.

Turbulenţele termice sunt turbulenţe induse de stabilitatea atmosferei. Când suprafaţa Pământului este încălzită de razele soarelui, stratul inferior al atmosferei tinde să se ridice, iar turbulenţele termice devin mai importante, mai ales în condiţiile existenţei unor vânturi slabe. În nopţile senine cu vânt, căldura este radiată de suprafaţa Pământului, rezultând astfel o răcire a solului şi a aerului adiacent acestuia. În aceste condiţii, turbulenţele sunt minime. Încercări de a lega diferite grade ale turbulenţei vântului (sau a stabilităţii atmosferice) de difuziunea atmosferică au fost realizate cu ceva timp în urmă. Măsurarea stabilităţii atmosferice, prin măsurarea diferenţelor de temperatură, a fost frecvent utilizată ca o metodă indirectă de măsurare a turbulenţei şi, în particular, când s-a dorit estimarea turbulenţelor climatologice.

Rata de declin şi stabilitatea atmosferică. Separat de interferenţele mecanice cu fluxurile uniforme de aer, determinate de clădiri si alte obstacole, cel mai important factor care influenţează gradul de turbulenţă şi, prin urmare, viteza de difuzie în aerul inferior, este variaţia temperaturii cu înălţimea, numită şi rată de declin. Gradientul termic adiabatic reprezintă modificarea temperaturii, pentru un volum ascendent de aer uscat.

Gradientul adiabatic al temperaturii poate fi aproximat ca fiind 1 °C/100 m sau dT/dz = -10-2

°C/m. Dacă aerul ascendent conţine vapori de apă, răcirea datorată expansiunii adiabate va rezulta în umiditate relativă şi va atinge saturaţia. Dacă va continua, ascensiunea va conduce la condensarea vaporilor de apă şi căldura latentă astfel obţinută va reduce ritmul răcirii aerului ascendent. Forţa de rezistenţă a volumului de aer cald este asigurată de diferenţa dintre densitatea sa şi cea a aerului înconjurător. Legea gazelor perfecte arată că, la o presiune şi la o altitudine dată, temperatura şi densitatea unei volum de aer sunt în relaţie inversă. De menţionat că, temperatura este folosită în mod normal la determinarea rezistenţei, pentru că este mai uşor de măsurat decât densitatea.

Dacă gradientul temperaturii atmosferice este acelaşi cu cel al adiabatei, un volum de aer deplasat din poziţia sa originală se va dilata şi contracta, în aşa fel încât, densitatea şi temperatura să rămână aceeaşi cu cea a aerului înconjurător. În acest caz, nu va fi nici o forţă de rezistenţă în volumul deplasat, iar atmosfera se va putea numi ,,neutru stabilă”.

Dispersia gazelor poluate evacuate prin coşuri înalte 291

Dacă temperatura atmosferică scade mai rapid, odată cu creşterea altitudinii, decât gradientul adiabatic, volumul de aer ascendent va avea o temperatură mai mare decât aerul înconjurător. Densitatea sa va fi mai mică, oferind o forţă netă de rezistenţă.

Există şi situaţii opuse, în care volumul de aer se deplasează descendent, întâmpinând o forţă de rezistenţă descendentă. Odată ce o porţiune de aer a început să se mişte în sus sau în jos, această mişcare va cauza condiţii instabile în atmosferă.

Dacă temperatura scade mai încet cu creşterea altitudinii decât gradientul termic adiabatic, volumul dislocat va întâmpina o forţă netă de restaurare.

Deci, forţele de rezistenţă determină condiţiile de stabilitate atmosferică (vezi figura 10.1).

Fig. 10.1. Criteriile de stabilitate atmosferică

Gradienţii termici, puternic stabili, se numesc şi inversiuni. Puternica stabilitate inhibă amestecul de-a lungul stratului de inversie. În mod normal, aceste condiţii de puternică stabilitate se extind pentru doar câteva sute de metri pe verticală.

Extinderea pe verticală a inversiunii se numeşte inversiune profundă. Se observă două tipuri distincte: inversiunea la nivelul suprafeţei Pământului,

cauzată de răcirea solului pe timpul nopţii şi inversiunea de altitudine între 500 şi câteva mii de metri deasupra solului (vezi figura 10.2).

Din punctul de vedere al poluării aerului, straturile stabile ale suprafeţei şi inversiunile sunt nedorite, deoarece micşorează rata de diluţie a contaminanţilor în atmosferă. Chiar dacă suprafaţa stratului este instabilă, coborârea inversiunilor va fi o barieră pentru amestecurile verticale, iar contaminarea se va acumula dedesubtul suprafeţei de inversiune.

Perioadele de stabilitate atmosferică tind să se manifeste toamna, din ce în ce mai frecvente şi mai lungi în persistenţă, dar inversiunile şi ratele de declin prevalează în toate anotimpurile anului.


Fig. 10.2. Gradienţii caracteristici în condiţii de inversiune

Răcirea prin evaporare. Când efluenţii gazoşi sunt spălaţi pentru absorbirea anumitor constituenţi anterior emisiei, gazele sunt răcite şi devin saturate cu vapori de apă. După eliminarea gazelor, este posibilă răcirea datorată contactului cu suprafaţa rece a canalului de lucru a coşului. Această răcire duce la condensarea picăturilor de apă în debitul de gaz. După evacuarea gazelor pe coş, picăturile de apă evaporate duc la scăderea căldurii latente de vaporizare din aer şi răcesc pana de fum. De aici rezultă o rezistenţă negativă, care poate scădea eficienţa înălţimii coşului. Rezultatul poate fi o pană de fum (cu o densitate mai mare decât cea a mediul ambiant), care va cădea pe sol. Dacă un poluant rămâne după spălare, efectul total al acestuia va fi simţit pe sol, în vecinătatea coşului.

Spălarea aerodinamică. Dacă viteza de ieşire din coş este mai mică în comparaţie cu viteza vântului, o parte din efluenţi pot fi traşi în jos de presiunea scăzută, pe partea interioară, protejată, a coşului. Acest fenomen, cunoscut sub numele de “spălarea descendentă în coşuri”, poate fi minimalizat prin păstrarea unor viteze de evacuare mai mari decât viteza medie a vântului (în mod normal, de două ori mai mare decât viteza medie). O altă cale de minimizare este de a pune pe coş un disc plat, care se extinde în afara coşului cu cel puţin un diametru, egal cu diametrul coşului. Uneori, este necesară creşterea vitezei de evacuarea a gazelor pe coş şi, în această idee, s-ar putea să fie nevoie de remodelarea deschiderii coşului. S-a demonstrat că tubul Venturi este cel mai eficace. Această formă implică şi o pierdere minimă a presiunii.


Crearea spălării descendente. Trebuie realizată o trecere în revistă a fiecărui coş, pentru a determina dacă trebuie considerate efectele spălării descendente. Fluxul atmosferic este întrerupt de forţele aerodinamice, în imediata vecinătate a structurilor sau obstacolelor. Împrăştierea aerului din apropierea fiecărei structuri construite sau a fiecărui obstacol poate mări dispersia pe verticală a emisiilor de la sursă şi reduce înălţimea efectivă a emisiilor, rezultând o creştere maximă a imisiei.

10.2. Concentraţia de poluant

Descrierea câmpului de concentraţii se poate face exact, dar laborios, prin ecuaţii diferenţiale care modelează procesul de difuzie turbulentă, sau statistic, pe baza observaţiilor, prin considerarea unei funcţii de distribuţie, dintre care cea mai utilizată este cea normală Gauss, arătată schematic în figura 10.3.

Distribuţia depinde de doi parametri, [1]: • deviaţia medie µ, care arată poziţia centrului distribuţiei; • deviaţia standard σ, care specifică lărgimea clopotului Gaussian.

Fig. 10.3. Curba distribuţiei normale Gauss

Pentru două variabile independente, y şi z, funcţia de distribuţie normală este produsul celor două funcţii de o singură variabilă

( ) 2

1)()(,

22

5.05.0

σ

µ−−

σ

µ−−

σπσ== z

z

y

y zy

zy

eezfyfzyf

(10. 1)

Condiţia de normalizare implică

1),( =∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

dydzzyf (10. 2)


Ecuaţiile 10.1 şi 10.2 constituie punctul de plecare al oricărui model Gaussian de dispersie, a unui gaz în atmosferă.

În figura 10.4 se prezintă pana de fum, provenită de la un singur coş şi axele sistemului de coordonate gaussian; înălţimea construită a coşului este Hc, iar înălţimea efectivă, He.

Fig.10.4. Coordonatele sistemului pentru dispersia Gaussiană orizontală şi verticală

Se consideră ca ipoteze simplificatoare condiţii staţionare, profile Gaussiene pe ambele direcţii y şi z, viteza vântului [ ]m/s u , constantă în modul şi sens, debitul

de poluant , [ ]kg/sQ , continuu şi stabil; dispersia pe direcţia vântului, x , este neglijabilă comparativ cu cea transportată, poluantul este un gaz stabil sau aerosol care nu reacţionează chimic, nu sunt interacţiuni cu alte coşuri de fum.

Pentru o distribuţie centrată pe axa penei la y=0 şi z=H, 0=µ y şi Hz =µ ,

concentraţia într-un punct oarecare este

( ) 2

,,

22

5.05.0

σ

−−

σ−

σπσ= zy

Hzy

zy

eek

zyxC

(10. 3)

unde k este constanta de proporţionalitate. Ecuaţia 10.3 este valabilă de la coş până la distanţa x, la care pana atinge

suprafaţa pământului, de unde se presupune că aceasta este reflectată, având ca efect creşterea concentraţiei de poluant după reflexie.

Această creştere este exact aceeaşi ca şi cea generată de o pană emisă de o sursă imaginară, situată la distanţa -H sub nivelul pământului.

Deci, în orice punct, concentraţia este:


( ) + 2

,,

222

5.05.05.0

σσπ=

σ

+−

σ

−−

σ−

zzy

HzHzy

zy

eeeu

QzyxC

(10. 4)

Cea mai mare concentraţie care apare la nivelul solului este situată pe centrul penei, fiind dată de relaţia anterioară pentru 0=z şi 0=y

( )

0,0,

2

5.0

σ−

σσπ= z

H

zy

eu

QxC

(10. 5)

10.3. Coeficienţii de dispersie

Valorile deviaţiilor standard, σ, numiţi şi coeficienţi de dispersie, care apar în ecuaţiile ce descriu concentraţiile, se bazează pe date experimentale obţinute din studii asupra evoluţiei gazelor.

Cel mai folosit set de coeficienţi de dispersie sunt, [1,2,3]: • coeficienţii Pasquill-Gifford, denumiţi şi coeficienţii Pasquill rural; • coeficienţii McElroy-Pooler, denumiţi şi coeficienţii Briggs urban.

Deviaţiile standard sau coeficienţii de dispersie depind de distanţa orizontală pe direcţia vântului, configuraţia terenului (zonă rurală cu teren neted deschis sau zonă urbană cu clădiri înalte), stabilitatea atmosferică (tendinţa amestecului pe verticală, datorită curenţilor naturali de convecţie).

Convenţional, stabilitatea atmosferică a fost împărţită de Pasquill în şase clase de stabilitate, de la A (extrem de instabilă) până la F (cea mai stabilă), pentru a reprezenta creşterea progresivă a stabilităţii atmosferice care influenţează dispersia laterală şi verticală.

Caracteristicile claselor de stabilitate sunt: • A - extrem de instabilă, gradient de temperatură < -1.5 °C/100 m, iar

pana de fum este puternic oscilantă, descriind bucle; • B – moderat instabilă, gradient de temperatură între -1.5 ÷ -1 °C/100m,

iar pana de fum este puternic oscilantă, cu turbulenţe; • C – uşor instabilă, gradient de temperatură între -1 ÷ -0.5 °C/100m, iar

pana de fum este puternic conică, uşor oscilantă; • D – neutră (adiabată), gradient de temperatură între -0.5÷+0.5 °C/100m,

iar pana de fum este conică, fară turbulenţă convectivă; • E – izotermă, gradient de temperatură între +0.5 ÷ +1.5 °C/100m, iar

pana de fum este conică, fară turbulenţă convectivă; • F – inversiune, gradient de temperatură între > +1.5 °C/100m, iar pana

de fum are formă de steag, cu tendinţa de coborâre.


Cele două seturi de coeficienţi de dispersie sunt prezentate în figura 10.5, pe direcţie orizontală şi figura 10.6, pe directie verticală.

Fig. 10.5. Coeficienţi de dispersie pe direcţie orizontală

Fig.10.6. Coeficienţii de dispersie pe direcţie verticală


Aceşti coeficienţi corespund unor probe luate în aproximativ 10 minute, pentru perioade mai mari de timp, fiind necesare corecţii asupra coeficienţilor σ.

10.4. Înălţimea de ridicare a penei

Pentru a calcula concentraţia de poluant trebuie cunoscută valoarea efectivă de la care are loc dispersia; aceasta implică calculul înălţării penei, Hr. Datorită posibilităţii utilizării facile în cadrul calculelor, se preferă metoda Briggs [1,4,5], care consideră înălţarea penei funcţie de distanţa pe direcţia vîntului, portanţa penei şi viteza vîntului. În continuare, se prezintă algoritmul de calcul.

• Se calculează fluxul ascensional F , cu proprietăţi de plutire, cu relaţia

πρ=

−π=

−=

3

4

,

cos,cos,cos,

cos,

cos,2cos,cos, s

m

4 aeraeraerp

e

aer

aere

e

e

aere

ieTc

gQ

T

TTgV

T

TTDw

gF

(10. 6)

în care: [ ]2sm 80665.9=g , acceleraţia gravitaţională; [ ]sm cos,ew , viteza gazului

la ieşirea din coş; [ ]m cos,iD , diametrul interior al coşului la vârf; [ ]K cos,eT ,

temperatura absolută a gazului la ieşirea din coş; [ ]K aerT , temperatura absolută a

aerului la vârf;

s

m

3

cos,eV , debitul volumetric al gazelor care ies pe coş;

[ ]skJ cos,eQ , fluxul termic emis de coş;

K kg

kJ ,aerpc , căldura specifică a aerului

la presiune constantă; [ ]3mkg aerρ , densitatea aerului.

• Se calculează distanţa pe direcţia vântului xf , la care înălţimea penei

este maximă: - pentru condiţii instabile şi neutre ( clasa de stabilitate A, B, C, D):

[ ] [ ] 55 pentru m 119 ; 55 <pentru m 49 5

2

8

5

≥== FFxFFx ff (10. 7)

- pentru condiţii stabile ( clasa de stabilitate E şi F):

[ ]m 14.35.0

S

ux f =

(10. 8)

unde: [ ]sm u , viteza vântului la înălţimea coşului, iar [ ]-2s S , parametru de stabilitate atmosferică calculat cu relaţia:

F clasapentru 035.0 ; E clasapentru 02.0aeraer T

gS

T

gS ==

(10. 9)


• Se calculează înălţimea de ridicare a penei Hr:

- pentru condiţii instabile şi neutre ( clasa de stabilitate A, B, C, D):

[ ] [ ] f

f

f xxu

xFHrxx

u

xFHr ≥== pentru m 6.1 ; <pentru m 6.1

3

2

3

13

2

3

1

(10. 10)

- pentru condiţii stabile ( clasa de stabilitate E şi F ):

[ ] [ ] [ ]m 52 ; m 4.21 ; m )2,1min(8

3

4

1

3

1

S

FHr

uS

FHrHrHrHr ===

(10. 11)

10.5. Înălţimea coşului de fum

Coşurile de fum se dimensionează pentru a avea o concentraţie sub normele admisibile în zonele apropiate centralei. De asemenea, trebuie evitată poluarea termică, deoarece gazele evacuate au temperatură ridicată.

Înălţimea minimă admisibilă a coşului de fum, respectând condiţia concentraţiei de produse poluante, se calculează cu relaţia:

( ) 6

12

1−

∆= TRSHc unde mc

qkS = , 0 = ccc rm −

(10. 12)

în care: k = 340, pentru oxidul de sulf şi oxidul de azot; k = 680, pentru cenuşă; q [ kg/h], debit teoretic instantaneu maxim de poluant emis continuu pe coş;

3Nm

mg mc , concentraţia maximă admisibilă de poluant la nivelul solului, adică

norma de imisie; cr - concentraţia de referinţă, având valorile 0.15, pentru cenuşă şi SO2 şi 0.14, pentru NOx; c0, media anuală a concentraţiei măsurate la nivelul solului în locul considerat, care, în absenţa acestor măsurători, este 0.01, pentru zonă puţin poluată, 0.04 pentru zone cu poluare medie şi emisii de SO2 şi cenuşă, 0.05, pentru zone cu poluare peste medie şi emisii de SO2 şi cenuşă, 0.07, pentru SO2 în zonă urbană poluată, 0.1, pentru NOx în zonă urbană poluată, 0.08, pentru

cenuşă în zonă urbană poluată;

h

m

3

R , debitul de gaze emise pe coş la

temperatura efectivă de evacuare; [ ]K T∆ , diferenţa dintre temperatura gazelor evacuate pe coş şi temperatura medie anuală a aerului din zona amplasamentului.


Pentru dimensionarea coşului de fum se alege o viteză a gazelor la intrarea în coş, wgaze = 25 ÷ 30 m/s.

Suprafaţa la baza coşului, bazaS , rezultă din ecuaţia de continuitate, aplicată situaţiei celei mai nefavorabile:

[ ]2m 15.273

15.2732

gaze

ngaze

guefectiv

gaze

bazap

ptVB

wS

+×=

(10. 13)

unde : efectivB [kg/s] este debitul efectiv de combustibil, guV [m3/kg] este volumul

gazelor uscate evacuate la coş, gazet [°C] este temperatura gazelor la evacuarea din coş,

gazep [bar] – presiunea gazelor la ieşirea din coş, iar np [bar] este presiunea aerului.

Diametrul interior la baza coşului va fi:

[ ]m 4

= baza

π

⋅ Sd

bazacos

(10. 14)

Calculul diametrului la vârful coşului se face cu relaţii asemănătoare, dar se

estimează viteza la ieşire la 30÷34 m/s. Grosimea minimă a coşului, impusă de rezistenţă, este de 0.75 m la vârf şi

0.5 m la bază.

10.6. Modele de dispersie a poluanţilor aerului

La ora actuală sunt câteva tehnici de modelare şi câteva modele computerizate pentru a analiza calitatea aerului. Oricum, nu există nici un model capabil să se adreseze tuturor situaţiilor care pot apărea. Se recomandă o analiză de la caz la caz, pentru selectarea modelelor potrivite. Toate modelele se presupune a fi proiectate să ducă la rezultate conservative. Din moment ce intenţia generală a modelării este de a determina dacă maximul imisiei este mai mic decât limitele reglementate, modelarea are loc începând de la modelele simple, cu cele mai conservative ipoteze şi până la modelele mai complexe, cu date impuse, mai sofisticate. Datele impuse includ caracteristicile sursei, topografice şi factori meteorologici.

Din punct de vedere al calităţii, modelele de dispersie a aerului pot fi clasificate în patru categorii: gaussian, numeric, statistic şi fizic. Modelul gaussian este, de departe, cea mai utilizată tehnică pentru estimarea impactului poluanţilor inactivi. Modelul numeric este mai potrivit pentru aplicaţiile urbane, care includ poluanţi activi. În cazurile în care nu există o înţelegere ştiinţifică a proceselor fizice şi chimice implicate, ar putea fi necesar modelul statistic. Modelarea


statistică presupune realizarea unui număr mare de măsurători la faţa locului, pentru a dezvolta un model credibil şi este limitată de utilizarea la faţa locului. Modelul fizic se realizează utilizând un tunel aerodinamic sau o altă modelare hidrodinamică. Modelarea fizică poate fi utilă în situaţiile cu flux complex, precum teren de construcţie, spălarea descendentă pe coş, impactul penelor de fum sau difuzia determinată de terenurile înalte, în mediul urban. În general, utilizarea este limitată la o arie de câţiva kilometrii pătraţi în jurul sursei.

Cel mai mult se foloseşte modelul gaussian. Cel mai simplu model gaussian este modelul EPA, denumit SCREEN 2, [4]. Acesta este un model computerizat interactiv, care încorporează algoritmi de calculare a imisiei maxime pentru terenurile simple (sub vârful coşului) sau complexe (deasupra vârfului coşului) şi ţine seama de spălarea descendentă şi efectele de cavitate. Modelul SCREEN 2 este proiectat pentru modelarea unei surse singulare. Un set de condiţii meteorologice conservative sunt legate de acest model.

Modelul Industrial Source Complex (ISC2), [4], permite modelarea în cazul terenurilor simple, pentru surse multiple şi are posibilitatea utilizării datelor meteorologice reale. Alt model, Complex I, este utilizat în modelarea unui teren complex. Acest model permite utilizarea de date meteorologice reale şi este dedicat surselor multiple. Modelul de dispersie pentru terenul complex, pentru situaţii instabile (CTDMPLUS), este o sursă prelucrată a calităţii aerului, pentru folosirea în toate condiţiile stabile pentru aplicaţii pe terenuri complexe. De obicei, datele de teren şi meteorologice sunt diferite de modelele EPA. CTDMPLUS realizează parametrizarea înălţimilor de teren, cu ajutorul unui procesor de teren. CRSCREEN este o versiune a CTDMPLUS. Acesta conţine aceeaşi algoritmi, dar funcţionează cu date meteorologice sintetice.

1 . p o l u a r e a a e r u l u i d a t o r i t Ă p a r t...

Documents