1 note curs modelare si simulare master mo.doc

7/25/2019 1 Note curs Modelare si simulare Master MO.doc

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Conf. univ. dr. Hampu Alexandru

MODELARE I SIMULAREDECIZIONAL !N MANA"EMEN#

anul II

NO#E DE CURS

$


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%

Cop&ri'() * Alexandru Hampu+MODELARE I SIMULARE DECIZIONAL !N MANA"EMEN#, %-$%#oa)e drep)urile aupra a/e)ei edi0ii apar0in au)orului.

Editura BURG:

Si1iu 2Rom3nia4+ 55-6%7Calea Dum1r8vii+ nr.%9:6%#el. ;7- %


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Cuprins

CAPITOLUL I. NOIUNI PRIVIND MODELAREA I SIMULAREA

DECIIONAL!.......................................................................................................6$.$. NOBIUNIIN#RODUC#IERIINDROLEMELEDECIZIONALE........................6$.%. NOBIUNIDEMODELAREISIMULAREDECIZIONAL.......................................ie/are mem1ru al 'rupului Gi prein)8 ideile ale Gn)r:o eiune de lanare2oidee la un momen) da) de la fie/are mem1ru al 'rupului4 f8r8 ni/i o de1a)ere audi/u0ie. Ideile un) Gnre'i)ra)e pe o )a1l8 a)fel /a fie/are 8 le poa)8 vedea. Da/8 oidee preen)a)8 de/lanea8 o idee nou8 de la al)/ineva+ mem1rii adau'8 noua aidee pen)ru preen)area ei la o nou8 rund8 de lanare+/4 C3nd )oa)e ideile individuale un) Gnre'i)ra)e pe li)a 'rupului+ mem1rii di/u)8ideile pen)ru a /larifi/a i evalua propuneriled4 Mem1rii Gn lini)e i independen) vo)ea8 ideile+ foloind o pro/edur8 deierar(iare. Reul)a)ul final e)e de)ermina) de vo)urile individuale.

: rain)ormin':ul #e(ni/a 1rain)ormin' reprein)8 un miJlo/ de porire a /rea)ivi)80ii /are

Gn/uraJea8 mem1rii 'rupului 8 'eneree /3) mai mul)e idei poi1ile privind opro1lem8 f8r8 evaluarea lor. a)ru re'uli de 1a8 )au la 1aa )e(ni/ii@ ne/ri)i/area

Gn )impul 'ener8rii ideilor+ 1un8voin0a+ oferirea de mul)e idei i Gm1un8)80ireaideilor deJa 'enera)e i oferi)e.

:#e(ni/a (ilip


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: pun/)ele de vedere /are e a1a) de la medie un) re)urna)e pen)ru reformulareau ar'umen)are p3n8 e aJun'e la /onen Delp(i

: e o10ine media p8rerilor: me)oda are avan)aJe mul)iple i deavan)aJe.

c. 4ormularea de scenarii

Ela1orarea de/iiilor pe 1a8 de /enarii ne/ei)8@$. Coniderarea mai mul)or evolu0ii de poi1ile a P)8rii na)uriiP%. roie/)area unui num8r de al)erna)ive de a/0iune

Me)oda prin ela1orarea /enariilor e)e u)il8 Gn anumi)e e)ape ale pro/euluide/iional.

d. $olul e!perilor

reen0a exper0ilor Gn 'rupul de/iional e)e u)il8 pen)ru /ali)a)e de/iiei.rin/ipalele /ali)80i ale exper)ului un)@: eiarea pro1lemelor reale: /apa/i)a)ea de /larifi/are a i)ua0iilor QGn/3l/i)eP: flexi1ili)a)e 1aa)8 pe /unoa)ere profund8: 0inerea la i a /uno)in0elor le'a)e de de/iie

-.4.2 M(t#d( d( asistar( a d(*i+ii$#r *(ntrat( p( ana$i+a d#*u'(nt($#r

Ma,azia depozitul de date+ e)e un /on/ep) /are viea8 ai)area de/iiilorfoloind /3) mai mul)e da)e+ /u aJu)orul i)emelor informa)i/e. No0iuni u)ilia)eGn a/ea)8 me)od8@

: da)ele 2primare4: informa0iile un) da)e or'ania)e+ ne/eare de/iden)ului: /uno)in0ele un) da)e or'ania)e prelu/ra)e+ ne/eare Gn0ele'erii unui

domeniu

Supor)ul )e(nolo'i/ ne/ear@$. Si)emele OL# 2On Line #rana/)ion ro//ein'89 pe/ialia)e pe

reolvarea unor pro1leme pun/)uale 2ex. /ondu/erea produ/0iei4: erverele OLA un) de )ip mul)iu)ilia)or+ de mare /apa/i)a)e de

manipulare a da)elor.%. Si)em de 'e)iune 1ae de da)e S"D: u)iliarea lor prin lim1aJ SL 2S)ru/)ured uerr& Lan'ua'e4: u)iliarea i)emului de informare dire/)orilor 2Exe/u)ive Informa)ion

S&)em:EIS4:meniu pre)a1ili)+ uor de foloi) fa08 de SL.

$7


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Cea mai re/en)8 )e(nolo'ie de anali8 a da)elor e)e mineritul datelor 2Da)aMinin'4: i)emul informa)i/ are miiunea de inve)i'are ex(au)iv8 a da)elor pen)ru a

de/operi anumi)e valen0e ale da)elor+ /uno)in0e a/une: mana'erul are rolul de a de/ide /e 8 fa/8 /u a/e)e da)e>un/0ii ale me)odei@: "ruparea da)elor+ iden)ifi/area Gnre'i)r8rilor Gnrudi)e: Claifi/area+ aranJarea pe 1aa unui modelA/)ualmen)e are lo/ /om1inarea ma'aiei de da)e /u )e(nolo'ia Ve1+ apare/on/ep)ul e Da)a e1(oue

$5


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Capit#$u$ II. M#d($( d(*i+i#na$( sp(*i/i*( ana$i+(i d(*i+i#na$(

2.-. Ar#ri d(*i+i#na$i

2.-.- N#%iuni intr#du*ti&( pri&ind ar#r($( d(*i+i#na$

Me)oda ar1orilor de/iionali e)e o me)od8 'rafi/8 de luare a de/iiilor /areai'ur8 /ea mai mare valoare a a)ep)8rii ma)ema)i/e pen)ru un indi/a)or de

performan08+ exprima) de exemplu prin /3)i' mone)ar + de/iiile fiind lua)e Gncondiii de riscav3nd adi/8 a)aa)8 o anumi)8 pro1a1ili)a)e . Op0iunile poi1ileun) repreen)a)e /a ramuri ale ar1orelui+ iar /one/in0ele poi1ile pen)ru fie/areop0iune Gn par)e un) repreen)a)e /a ramuri e/undare. e /ur)+ ar1orele de/iional

prein)8 pun/)ele de de/iie+ reul)a)ele 2/are Gn 'eneral un) dependen)e depro1a1ili)80i4 i valorile reul)a)e. >re/ven)+ dar nu Gn)o)deauna+ ar1orele e)e Gno0i)i de o evaluare realia)8 prin me)oda valorii pre/onia)e

Structura arborilor decizionaliS)ru/)ura i /omponen)ele )ipi/e ale unui ar1ore de/iional un) repreen)a)e Gn fi'.$+: pun/)ele de de/iie 2D4: al)erna)ive /andida)e 2Ai4 iW$+...+ m: pun/)e de in/er)i)udine au an8 2S4

: )8ri ale na)urii 2Sj4jW$+...+ n: pl80i+ /one/in0e 2aij4. Se po) repreen)a i /a noduri ale /one/in0elor: valori de expe/)an08 2a)ep)a)e4 E

$ie o valoare oare/are din in)ervalul de varia0ie. Se nume)e abatereavaria1ilei: fa08 de + o nou8 varia1il8 alea)oare@

a4

42

@i

i

!*

! pen)ru /aul varia1ilei di/re)e

14

42

@!

!

pen)ru /aul varia1ilei /on)inue.

Con)ruim varia1ila alea)oare W:)M2:4 a1a)erea varia1ilei de la medieo10inem varia1ila

42

42@

%%

!*

m!

D(/ini%i(. Se nume)e dispersia 2variana4 varia1ilei alea)oare : /ara/)eri)i/anumeri/8@

%


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%! W ( ) ]42\4242

%% :M:MM:( ==

/roprietile dispersiei@a4 [ ]%% 424242 :M:M:( =

14 R1a+4+242 % =+ :(aba:(

/4 da/8 varia1ilele:i un) independen)e424242 ?(:(?:( +=+

!n mod expli/i)+ diperia are expreia ( )

=;i

ii p:M!:( %

4242 + N; + da/8

:e)e o varia1il8 alea)oare di/re)8 au ( ) =$

d!!:M!:( 424242% + da/8:e)e o

varia1il8 alea)oare /on)inu8.

!n mod expli/i)+ diperia are expreia ( )

=;i

ii p:M!:( %

4242 + N; + da/8

:e)e o varia1il8 alea)oare di/re)8 au ( ) =$

d!!:M!:( 424242% + da/8:e)e o

varia1il8 alea)oare /on)inu8.

D(/ini%i(. Se nume)e abatere medie ptratic 2abaterestandard4 a varia1ileialea)oare:/ara/)eri)i/a numeri/8

42:(!=

A1a)ere medie p8)ra)i/8 are Gn prin/ipiu a/eleai proprie)80i /a alediperiei.

Momentele unei variabile aleatoare X

Momen)ele unei varia1ile alea)oare un) valori )ipi/e ale varia1ilei. Exi)8

dou8 )ipuri de momen)e@ momente iniiale #i momente centrate.D(/ini%i(. Momentul iniial 2obi#nuit4 de ordinul r al unei varia1ile alea)oare:+e)e media varia1ilei alea)oare:r .

a4 Mr9=

r

ii

ri !*!

$

42 pen)ru varia1ila di/re)8:

14 MrW +

d!!!r 42 pen)ru varia1ila /on)inu8:

Defniie. Momentul centrat de ordinul ral unei variabilealeatoare:este media variabilei aleatoare (X-M(X))r:

a4 mr9 =

r

ii

ri !*:M!

$

424422 pen)ru varia1ila di/re)8:

14 mrW +

d!!:M! ri 424422 pen)ru varia1ila /on)inu8:

%?


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C#&arian%a 3*#r($a%ia8>ie varia1ilele alea)oare:, /u media M(: ) = m: i diperia (2:4= %! i

?, /u media M(? ) = m? i diperia(2?4= %? .D(/ini%i(. Media M\2:) m:42::m?4]e nume)e covariana/elor dou8 varia1ile i

e no)ea8 /ov(:,? ) .

Bbservaie@ Da/8: i ? un) varia1ile alea)oare independen)e+ a)un/i /ov2:+? 4 W -.Re/ipro/ nu e)e adev8ra).

Normarea (reducerea) unei variabile aleatoare X>ie varia1ila alea)oare: /uM2: 4 W m i(2: 4 WE%.

D(/ini%i(. aria1ila alea)oare F W

m:e nume)evariabila normata varia1ilei

alea)oare: 2au redusavaria1ilei alea)oare:4 la varia1ilaF.

/roprietiale varia1ilei norma)[email protected](F) = 02.((F) = 1

D(/ini%i(. Se nume)e coe*icient de corelaie a varia1ilelor alea)oare : i ?+/ovarian0a varia1ilelor alea)oare norma)e:G i ?G i Gl no)8m /uH2:+? 4 .

H2:+? 4 W /ov2: b+ ? b 4

/roprieti ale /oefi/ien)ului de /orela0ieC-. Da/8: i ? un) independen)e+ a)un/iH2:+? 4 W - .2. c$ H2:+? 4 $+ pen)ru ori/e: i ?.

D(/ini%i(. Se nume)e coe*icient de+mpr#tiere rapor)ul "Wm

.

C. Cara*t(risti*i a$( /#r'(i d( r(parti%i(.

Si'(tri( )i asi'(tri(.

D(/ini%i(. aria1ila alea)oare : defini)8 de fun/0ia *! e)e simetric fa08 devaloarea medie m da/8* 2m c 4 W* 2m ; 4 + ori/are ar fi ` -.en)ru o repar)i0ie ime)ri/8 media+ mediana i modul au a/eiai valoare.Aime)ria e poa)e m8ura foloind anumi0i /oefi/ien0i@

$. Coefi/ien)ul de aime)rie/earson@

%9


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!

o :M:M

4242$

=

%. Coefi/ien)ul de aime)rie4is7er@6

6%

m=

Da/8 repar)i0ia e)e ime)ri/8 a)un/i@ -%$ == .

B#$tir(.Cur1ele po) avea boltiriau turtiridiferi)e. &oe*icientul de boltire 4is7er

e)e 77

m= .Di)ri1u0i normal8 are 6= + iar diferen0aW 6 e)e numi) e!cesul

repar)i0iei.

4.-.4 Distriu%ii *$asi*(

A. Distriu%ia n#r'a$,

%=

m m;m: m m;m:

Repar)i0ie ime)ri/8 Repar)i0ie aime)ri/8

6=m:

m:


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A/ea)8 di)ri1u0ie e)e /ea mai u)ilia)8 Gn pro1leme e/onomi/e au )a)i)i/efiind a)ri1ui)8 mai mul)or ma)ema)i/ieni /uno/u0i@ Moivre+ Lapla/e+ "au.D(/ini%i(. O varia1il8 alea)oare : are o repartiie normal da/8 fun/0ia a de

pro1a1ili)a)e e)e de forma@

42: W %

$ %

%

$

m!

e+! 4+2 +

"rafi/ul a/e)ei fun/0ii e)e numi) clopotul lui un/0ia n2!m+E4 Gndepline)e /ondi0iile unei fun/0ii deni)a)e depro1a1ili)a)e adi/8@

$. n2!m+E4 -

%. +

d!m!n 4++2 W$

In)ervalul pe /are ar'umen)ul fun/0iei d8 o valoare emnifi/a)iv8 pro1a1ili)80ii2mai mare de -+--64 e)e m 6 .

>un/0ia de repar)i0ie av3nd Gn vedere defini0ia da)8 an)erior

42!4 W/2:^!4W

!

dtt42 +

e)e pen)ru a/ea)8 le'e de forma@

42!4 W/2:^!4W

!

%

$ %

%

$

m!

edt.

A/ea)8 fun/0ie e mai no)ea8N2!m+E4."rafi/ul fun/0iei n2!m+E4 e)e urm8)orul@

6-

m m;E

n2!m+E4

0 !

!

n2!m+E4

0 ! N2!+m+E4


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"rafi/ul fun/0ieiN2!+m+E4 e)e urm8)orul@

en)ru apli/a0ii pra/)i/e e)e u)il8 normarea 2redu/erea4 a/e)ei fun/0ii

o10in3nd prin u1)i)u0iazW

m!+ fun/0ia de repar)i0ie normal8 redu8N2z -+$4

N2z -+$4W

z

%

$%

%A

e dA

'rafi/ul a/e)ei fun/0ii fiind@

>un/0ia e)e ime)ri/8 fa08 de pun/)ul 2-+%

$4. Lapla/e a /onidera) o nou8

fun/0ie numi)8 /un*%ia int(5ra$, a $ui Lap$a*(o10inu)8 prin )ranla0ia /u pun/)ul

de ime)rie Gn ori'inea B fiind de/i o fun/0ie impar8. g WN)%

$+ o10in3nd@

g2z4 W z

- %

$%

%A

e dA

"rafi/ul a/e)ei fun/0ii e)e@

6$

!

N2!+m+E4

B

$

!

z

N2!-+$4

B

$

z

%

$

z

g


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Exprimarea fun/0ieiN /u aJu)orul fun/0iei g au e)e@

$4 !n /aul norma)@N2!-+$4W%

$; g2z4

%4 !n /aul nenorma)@N2!m+E4W%

$; g2

m!4

B. D(t(r'inar(a pr#ai$it,%ii /#$#sind /un*%ia $ui Lap$a*(

Cal/ularea pro1a1ili)80i /a o varia1il8 alea)oare 8 fie i)ua)8 Gn)r:un in)erval 2+ 4 e poa)e fa/e /u aJu)orul fun/0iei lui Lapla/e+ a/e)a fiind )a1ela)82-ne!a$4.

/2 : 4W42 4)424

/2 : 4W%

$; g2

m4 :

%

$: g2

m4>g2

m4: g2

m4

/2 : 4W g2

m 4: g2

m 4

!n pra/)i/8 )re1uie adeea 8 /al/ul8m pro1a1ili)a)ea /a o varia1ila alea)oare 8fie i)ua)8 Gn)r:un in)erval ime)ri/ fa08 de mi e o10ine@

/2m)z^:^m;z4W g2

mzm +4: g2

mzm 4>% g2

z4

!emplu@ >ie o varia1il8 alea)oare: /u di)ri1u0ie normal8+ av3nd media m920+EW7.

a4 S8 e /al/ulee pro1a1ili)a)ea /a:^ $714 S8 e /al/ulee pro1a1ili)a)ea /a $%I:^ %5.

)$ezolvare)

a4 /2K ^ %54W%

$; g2

7

%-$7 4W

%

$;g2:$+54W-+5 : -+766%W-+-


33/67

14 /2$%I:^ %54W g27

%-%54 : g 2

7

%-$% 4Wg2

7

54: g 2

7

94Wg2 %5+$ 4;

g 2%4W-+6=77;-+7??%W-+9?$< W 9?+$


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14 /omponen)a reidual8 ui /are nu poa)e fi de)ermina)8 /uno/3nd valoareaindividual8!i.

rin urmare@AiW iAh ; ui.Repreen)3nd pun/)ele de /oordona)e 2!i+Ai4+ numi)e i valori au niveluri

empirice+ e o10ine un norP de pun/)e /are de)ermin8 o dreap)8 au al)8 form8'eome)ri/8 da/8 e)e o dreap)8+ a)un/i modelul e)e liniar i o10inem o dreapt dere,resie.

Di)an0ele din)re pun/)e i dreap)8 reprein)8 erorile /are e produ/ Gn /aulfie/8rei m8ur8ri@ ui9Ai: iAh .

en)ru realiarea unor pro'noe e foloe/ de re'ul8 ean)ioane de a/eea evor o10ine e)im8ri ale parame)rilor foloi0i i /opul e)e a/ela de a o10ine valori

ale varia1ilei efe/) Ai /3) mai aproape de /ele )eore)i/e iAh + adi/8 i

i iAA h

minim8.alorile + e o10in pe 1aa analiei Gn)re'ii popula0ii )a)i)i/e+ iar da/8 e

o10in pe 1aa unui ean)ion le no)8m ba h+h fiind numi)e valori e)ima)e aleparame)rilor.

!n afar8 de fun/0iile de re'reie liniare po) exi)a fun/0ii i de al)8 form8 /umun)@

: fun/0iile para1oli/eA9a!%;b!;c: fun/0iile exponen0ialeA9ba!

Exi)8 mai mul)e me)ode de e)imare@ me)oda veroimili)80ii maxime+ me)oda/elor mai mi/i p8)ra)e+ me)oda 1a&eian8.

M(t#da *($#r 'ai 'i*i p,trat(+ prin*ipiu$ &(r#si'i$it,%ii 'a


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36/67

==

=+n

ii

n

i

Anba!i

$$

42

Solu0ia a/e)ui i)em e)e@ a9ah + b9bh iar fun/0ia de re'reie e)e Ah 9ah!;bh .!emplu@ La lanarea unui produ pe pia08 :au u)ilia) < ma'aine Gn /are

pre0urile!i )a1ili)e au fo) diferi)e+ o10in3ndu:e un volum de v3n8riAi exprima)Gn )a1elul de mai Jo.

!i %- %% %6 %5 %? %=Ai $5 $6 $- = ? 7

S8 e de)ermine fun/0ia de re'reie i 8 e de)ermine volumul pro'noa) alv3n8rilor pen)ru pre0ul de 6% u.m.

$ezolvare

$. Se o1erv8 /8 fun/0ia de re'reie e)e liniar8%. en)ru reolvare Gn)o/mim un )a1el ne/ear pen)ru uurin0a /al/ulelor@

6un) ve/)ori de dimeniune m%+ Ee)evaloarea medie + pi+ i9$+% un) pro1a1ili)80i+O2!+4WWmin X>#A /28!;QA %244p%+ A-Y+ > e)e un ve/)orm%:dimenional+P%2

4WX!n exi)8A - + /2 8! ; QA %244 p%Y. Ma)ri/ele- i 8po) fi

/on)an)e au po) avea elemen)e alea)oare.en)ru o aemenea pro1lem8 luarea de/iiei e fa/e Gn felul urm8)or@e ia de/iia!e fa/e o1erva0ia lui $e ia de/iiaAe fa/e o1erva0ia lui %

Reolvarea pro1lemei 27.$.$4 /on)8 Gn reolvarea /elor dou8 )adii i pen)ruuurin0a in)rodu/erii no)a0iilor Gn/epem /u al doilea stadiu/are e)e @

min >#A 27.$.%4

Gn /ondi0iile@/28! ;QA %244 p%A-+

pen)ru! i $fixa)e./rimul stadiual pro1lemei 27.$.$4 e)e @

minz2!4 ; E\O2!+4].- 27.$.64Gn /ondi0iile@

/2-! $244 p$!-+!P%24

unde am no)a)P%24WP%2 % 244 mul0imea a/elor ve/)ori!pen)ru /are al doilea)adiu al pro1lemei 27.$.$4 e)e realia1il adi/8 d3ndu:e un! + pen)ru )oa)e valorile

poi1ile ale lui % 8 exi)e aproape i'ur A a)fel Gn/3) re)ri/0iile pro1lemei27.$.%4 8 fie Gndeplini)e.

D(/ini%i(. O soluie admisibil a pro1lemei 27.$.$4 e)e un ve/)or ! /area)ifa/e re)ri/0iile primului )adiu al pro1lemei i pen)ru ori/e %24 e)eGn)o)deauna poi1il 8 '8im o olu0ie admii1il8 pen)ru al doilea )adiu al

pro1lemei.No)3nd O2!4W E\O2!+4] o10inem e/(ivalen)ul de)ermini) al fun/0iiloro1ie/)iv i pro1lema 27.7.$4 o pu)em /rie Gn forma@

minF2!4W2z$2!4;O2!4+z%2!4;O2!4+...+zr2!4;O2!4+4#

Gn /ondi0iile@ 27.$.74 !P24+

76


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undeP24WP$24P%24 n+R +P$24WX!n /2X

-! $24Y4 p$Y+ P24 fiind mul0imea olu0iilor admii1ile ale pro1lemei27.$.$4. en)ru implifi/area no)a0iilor /riem

P9P24+P$WP$24+P%WP%24.

e l3n'8 re)ri/0iile pro1a1ili)e da)e Gn pro1lema 27.$.$4 po) ap8rea i re)ri/0iide forma!Wb. In a/ea)8 i)ua0ie /onider3ndP6WX!R !WbY va reul)aPWP$P%P6 n+

C. M#d($u$Pen)ru prima da)8 modelul/a fo) /onidera) de A. C(arne i ..Cooper Gn

/are re)ri/0iile un) de)ermini)e+ iar pen)ru re)ri/0ii alea)oare de C(arne i ir1&+Gn a/e) ul)im /a fiind /onidera)8 pro1lema de pro'ramare )o/a)i/8 Gn dou8)adii. S)an/u:Minaian 'eneraliea8 modelul /preen)a) de C(arne i Cooper+de la o fun/0ie o1ie/)iv la rfun/0ii o1ie/)iv+ in)rodu/3nd i no0iunea desoluie derisc minim multiplu+ /a o 'eneraliare a /elei desoluie de risc minim+ in)rodu8independen) de . ereanu repe/)iv C(arne i Cooper.

reen)8m problema de pro,ramare stocastic cu mai multe *uncii obiectiv cusimplu recurs avnd modelul/2de risc minim4@

maxF2!+ 4 27.$.54Gn /ondi0iile@

/2 -! $244 p$ /2 8! ;QA W %244 p% ! b ! -+A -+

unde F2!+ 4W2 *$2!+ 4+ *%2!+ 4+ j+ *r2!+ 44 e)e o fun/0ie ve/)orial8 de/omponen)e*=2!+ 4W / \z=2!4 >= A u = ]+ =W$+%+j+ r /u z=2!4Wc=$!$; c=%!%;...;c=n!n+ =W$+%+ j+ r un) fun/0ii liniare+ u =+ 2=W$+%+ j+ r4 un) valori da)e+ i W2 i$+ i%+...+ im$ 4#+ iW$+% e)e un ve/)or alea)or defini) pe /3mpul de pro1a1ili)a)e 2 +K+

/4+ - e)e o ma)ri/e m$ x n+ 8e)e o ma)ri/e m% x n+ Qe)e ma)ri/ea uni)a)e deordinul m%+!e)e un ve/)or de dimeniune n Ae)e un ve/)or de dimeniune m%+e)e o ma)ri/e m6 x n pi iW$+% un) ve/)ori de pro1a1ili)a)e de dimeniune m$repe/)iv m%+ b e)e un ve/)or de dimeniune m6. Ma)ri/ele - i 8 po) avea ielemen)e alea)oare.

Se o1erv8 /8 Gn fun/0iile o1ie/)iv nu mai apare min >=Aa/e)a da)ori)8 fap)ului/8 maximiarea pro1a1ili)80ii din fie/are fun/0ie o1ie/)iv va /ondu/e la o valoare

77


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minim8 a diferen0ei z=2!4 >= A+ =W$+%+j+ r. Da/8 )o)ui e impune /a nivelulpenali8rilor 8 fie minim a)un/i reolvarea pro1lemei 27.$.54 /on)8 Gn reolvarea/elor dou8 )adii+ al doilea stadiu fiind@

min 2 $> A+ %> A+ j+ r> AY+ 27.$.


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Gneamn8 '8irea olu0iei de ri/ minim mul)iplu defini)8 a)fel@(e*iniie Un pun/)!-Pe)esoluie de risc minim multipluda/8 e)esoluie

e*icientpen)ru pro1lema 27.7.54+ adi/8 da/8 nu exi)8 ni/i un !P a)fel Gn/3)*i2!+ 4 *i 2!-+ 4 pen)ru i; i pen)ru /el pu0in unj+j i 8 avem*j 2!+ 4`*j2!-+ 4.

Ap$i*a%ii a$( pr#5ra',rii st#*asti*( &(*t#ria$( *u r(stri*%ii pr#ai$ist(

A. Opti'i+ar(a d(*i+i(i =ntr9# pr#$(', d( natur, (*#n#'i*, uti$i+@nd'#d($u$E!emplul $. !n)r:o fa1ri/8 e produ/ )rei )ipuri de produe /$+ /%+ /6 Gn

/ompunerea /8rora in)r8 ma)eriile primeM$iM%+Gn /an)i)80ile indi/a)e Gn tabelul$pen)ru o uni)a)e de produ+ M$iM% fiind ai'ura)e par0ial din impor) i par0ial din0ar8. C(el)uielile valu)are+ repe/)iv /(el)uielile nevalu)are pen)ru o uni)a)e de

ma)erie prim8 un) da)e Gn tabelul $. Cererea de produe /$ e)e o varia1il8alea)oare $ normal di)ri1ui)8+ a /8rei repar)i0ie e)e N2$%+$4+ iar /ererea deprodue /% e)e de aemenea o varia1il8 alea)oare % de repar)i0ie N2$9+$4produele/6au o /erere de /el mul) 9 uni)80i pe uni)a)ea de )imp. en)ru ai'urareaunui flux normal de aproviionare /u ma)erie prim8+ produ/0ie i defa/ere )re1uie/a pro1a1ili)a)ea /a /ererea produului /$ 8 fie mai mare au e'al8 de/3)/an)i)a)ea produ8+ )re1uie 8 fie de minimum -+6+ iar pen)ru /%de minimum -+7.S/8derea /ererii % va du/e la /rearea )o/urilor de produe /%+ fap) /e vade)ermina la /re)erea pre0urilor ma)eriilor prime 2penali)80i4 da)ori)8 fap)ului /8a/e)ea nu vor mai fi a/(ii0iona)e /onform /on)ra/)ului+ penali)80i >%W% pen)ru

fie/are uni)a)e de produ )o/a)8. Se /ere /an)i)a)ea de ma)erie prim8 /e va fiimpor)a)8 a)fel Gn/3) /(el)uielile valu)are+ repe/)iv /(el)uielile nevalu)are 8 fieminime+ av3nd Gn vedere /8 pen)ru primul o1ie/)iv /oefi/ien)ul de impor)an08 e)e$W -+9+ iar pen)ru al doilea e)e %W -+%.

tabelul $

Mat(rii

pri'( C

(r(r(a

'a au ANE va fi /onidera)8 ovaria1il8 /ri)i/8 2evalua)orul poa)e pre/rie i un al) in)erval de ela)i/i)a)e4.

5=


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Cur1e de ela)i/i)a)e@

: analia e efe/)uea8 e/ven0ial+ de)ermin3nd impa/)ul varia0ei fie/8rei varia1ile/ri)i/e in par)e

: prin de)ermin8ri pun/)uale repe)a)e pe in)ervale de varia0ie ;,: x e po) )raa

/ur1ele de ela)i/i)a)e ale fie/8rei varia1ile analia)e: a e vedea apli/a0ia pra/)i/8 Cur1e de ela)i/i)a)e din /adrul a/e)ei e/0iuni2/oloana al8)ura)84+ in /are am 'enera) un exemplu de ela)i/i)80i i repreen)area'rafi/8 a a/e)ora2Gn Ex/el4.

Cal/ulul valorilor de /omu)are@

: modifi/area pro/en)ual8 a varia1ilei /ri)i/e iden)ifi/a)e /are de)ermin8 /a valoareaindi/a)orului de performan08 analia) : valoarea a/)ualia)8 ne)8 finan/iar8 auvaloarea a/)ualia)8 ne)8 e/onomi/8 : 8 fie e'al8 /u ero4 pen)ru varia1ilele /ri)i/e

iden)ifi/a)e.Mod de preen)are@

: exemplu@ dep8irea /u pe)e x a /o)urilor de inve)i0ie ar redu/e ANE u1 - iRIRE u1 5+5+ f8/3nd proie/)ul neren)a1il din pun/) de vedere o/ial.

Con)a)8m /8 a/e)e do/umen)e de 1a8 pen)ru apli/area a//e8rii de fondurieuropene )a1ile/ Gn de)aliu modali)80ile de /al/ul pen)ru de)erminareaeni1ili)80ii. A/e)a /on)8 Gn or'aniarea mai mul)or /i/luri de imulare+ /3)e unul

pen)ru fie/are fa/)or de influen08 ne/on)rola1il!n /urul unui /i/lu de imulare+ un) realia)e mai mul)e experien0e Gn /are

doar o in'ur8 varia1il8 de in)rare ne/on)rola1il8 ia valori diferi)e de la o experien08la al)a+ /elelal)e varia1ile de in)rare 2/on)rola1ile au ne/on)rola1ile4 r8m3n3nd /uvalori /on)an)e. Modifi/area valorii varia1ilei de in)rare repe/)ive+ de la oexperien08 la al)a Gn /urul a/eluiai /i/lu de imulare+ e fa/e+ de /ele mai mul)eori+ prin)r:o /re)ere /on)an)8+ pornind de la o valoare minim poi1il8 i mer'3nd

p3n8 la una maxim admi8 /a poi1il8. La f3ri)ul /i/lului de imulare eexaminea8 valorile varia1ilelor de ieire 2/one/in0ele olu0iei )e)a)e4 Gn /orela0ie/u valorile /orepun8)oare varia1ilei de in)rare repe/)ive i e apre/ia8eni1ili)a)ea reul)a)elor olu0iei da)e fa08 de varia0ia poi1il8 a fa/)orului de

influen08 avu) Gn vedere. O even)ual8 repreen)are 'rafi/8 fa/ili)ea8 u1)an0iala/ea)8 apre/iere.A)fel de /i/luri de imulare un) realia)e pen)ru a )udia eni1ili)a)ea

reul)a)elor olu0iei da)e fa08 de )o0i fa/)orii de influen08 ne/on)rola1ili.

ro'ramele de /al/ul )a1elar 'en Mi/roof) Ex/el+ Lo)u $:%:6 au /3)evafa/ili)80i/are le fa/ ex)rem de u)ile pen)ru devol)area apli/a0iilor de imulare. E)evor1a Gndeoe1i de@


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$ T re/al/ularea au)oma)8 a )u)uror formulelor Gnera)e Gn)r:o foaie de /al/uldup8 ori/e modifi/are a /on0inu)ului /elulelor din foaia /al/ul repe/)iv8 audin al)e foi de /al/ul le'a)e prin rela0ii 2formule4 /u foaia de /al/ulrepe/)iv8

% T '8irea rapid8 a a/elei valori din)r:o /elul8 /e de)ermin8 o10inerea uneivalori dori)e Gn)r:o al)8 /elul8+ le'a)8 de prima /elul8 prin)r:o rela0ie dire/)8au indire/)8 2/omanda G#a$ S(( din Ex/el4. Simularea a/enden)8

1enefi/ia8 u1)an0ial de a/ea)8 fa/ili)a)e6 T /al/ulul i afiarea unor valori mul)iple ale unei /elule+ Gn fun/0ie de

valorile mul)iple pe /are le ia o al)8 /elul8+ prima /elul8 fiind le'a)8 deul)ima prin)r:o rela0ie dire/)8 au indire/)8 2/omanda Data Ta$( din Ex/el4.Analia eni1ili)80ii e)e /onidera1il Gnleni)8 prin u)iliarea a/e)ei/omeni.

!n mana'emen)+ imularea de)ermini)8 e)e fre/ven) u)ilia)8 pen)rufundamen)area de/iiilor de planifi/are+ a)3) Gn domeniul mare)in'ului+ /3) i Gn /elal produ/0iei 2opera0iunilor4+ al finan0elor au al reurelor umane. Ia)8 doar /3)evaexemple mai u'e)ive Gn a/ea)8 privin08@

$ T ale'erea mixului de mare)in' pen)ru realiarea unui anumi) o1ie/)iv privind/o)a de pia08 poa)e fi u1)an0ial ameliora)8 prin imulare+ pe 1aa unui model dere'reie /are lea'8 /o)a de pia08 de prin/ipalele elemen)e ale mixului pra/)i/a)2pre0ul+ /(el)uielile de pu1li/i)a)e+ dimeniunea re0elei de di)ri1u0ie e)/4% T ela1orarea 1u'e)ului anual 2de produ/0ie+ de v3n8ri+ de )reorerie e)/.4 e)e

pra/)i/ impoi1il8 f8r8 )e)area preala1il8 a diferi)elor /enarii poi1ile i/on)ru/0ia+ pe a/ea)8 1a8+ a unor proie/)e de 1u'e)e+ din)re /are e va ale'e idevol)a varian)a final8 de 1u'e)6 T planifi/area ne/earului de peronal are la 1a8 examinarea diferi)elor/enarii de evolu0ie ale /ererii i ofer)ei in)erne de for08 de mun/8+ iar

planifi/area maei alariale poa)e 1enefi/ia de imularea preala1il8 a unorpoli)i/i de alariare avu)e Gn vedere pen)ru vii)or.

;.4. Si'u$ar(a M#nt( Car$#

;.4.- G(n(rar(a nu'(r($#r a$(at#ar(Reprodu/erea Gn mod reali) a anumi)or elemen)e ale i)emului imula) pen)ru

reolvarea unor pro1leme numeri/e apare ne/ei)a)ea exi)en0ei unor numerealeatoare.

rin defini0ie+ numerele aleatoareGndepline/ dou8 /ondi0ii prin/ipale@$ : )oa)e numerele eriei un) e/(ipro1a1ile


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: apari0ia unui num8r oare/are nu e)e de)ermina)8 de apari0iile de numerepre/eden)e 2verifi/a)e /u )e)ele %+ S)uden)+ olmo'orov+ Smirnov4.

Cal/ula)or numeri/ e)e in/apa1il 8 'eneree o erie de /ifre purGn)3mpl8)oare+ av3nd fie/are a/eeai pro1a1ili)a)e de apari0ie+ poa)e Gn8 'enera+u)ili3nd anumi)e me)ode din )eoria numerelor+ erii de)ermina)e de /ifre /are

prein)8 pen)ru experimen)a)or )oa)e /ara/)eri)i/ile numerelor Gn)3mpl8)oare2alea)oare4.

!n pro'ramele de imulare a pro/eelor e/onomi/e+ 'enerarea varia1ileloralea)oare o/up8 o pondere rela)iv mare Gn )impul )o)al de rulare la /al/ula)or.

>un/0ia RNDv = RND[(x).

!n mod pra/)i/ nu e po) 'enera numere alea)oare /are 8 a)ifa/8 ri'uro/erin0ele preen)a)e. De a/eea+ numerele furnia)e de 'enera)oarele anali)i/e e

nume/ numere peudoalea)oare. "enerarea numerelor alea)oare Gn ASIC erealiea8 /u aJu)orul fun/0iei RND+ /are a)ri1uie unei varia1ile un num8r alea)or/uprin Gn)re - i $. >orma)ul@ v = RND[(x),x e)e o expreie numeri/8 /eafe/)ea8 valoarea a)ri1ui)8

Simularea realia)8 pen)ru realiarea experimen)ului e)e pro1a1ili)8 iGn)3mpl8)oare+ 'enul a/e)a de imulare fiind /uno/u)8 u1 denumirea de '(t#daM#nt( Car$#. Me)oda a fo) inven)a)8 de /8)re /er/e)8)orii ameri/ani de la LoAlamo Na)ional La1ora)or&P prin anii $=7-+ /3nd a fo) u)ilia)8 pen)ru imularea)raie/)oriei unui neu)ron Gn plu)oniu au uraniu. Me)oda repe/)iv8 :a n8/u) prin

lu/r8rile lui . von Neumann S. Ulam i E. >ermi+ le'a)e de realiarea 1om1eia)omi/e Gn )impul /elui de:al doilea r81oi mondial. on Neumann i Ulam au da)numele /odifi/a) Mon)e CarloP )udiului lor privind /ompor)area neu)ronilor+modelul pro1a1ili) realia) a da) un r8pun apli/a1il pro1lemei lor.

Me)oda a fo) ul)erior u)ilia)8 i Gn al)e domenii+ Gn mana'emen) fiind foloi)8pen)ru evaluarea al)erna)ivelor de/iionale+ /u predile/0ie Gn ana$i+a ris*u$uid(*i+i#na$.

Analia ri/ului Gnemn8 apli/area unei me)ode /ali)a)iv8 i,au /an)i)a)iv8 u)ilia)8 pen)ru evaluarea impa/)ului ri/ului aupra de/iiilor po)en0iale Gn)r:o

i)ua0ie da)8. !n a/e) en+ analia ri/ului aJu)8 la@$ T )e)area eni1ili)80ii performan0elor a)ep)a)e Gn diferi)e ipo)ee privindevolu0ia fa/)orilor /on)rola1ili i ne/on)rola1il din)r:o i)ua0ie de/iional8da)8

% T iden)ifi/area prin/ipalilor fa/)ori ne/on)rola1ili /u o evolu0ie in/er)8 /are auun efe/) de)erminan) aupra u//eului au ee/ului olu0iilor /onidera)e


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6 T evaluarea limi)elor unor olu0ii prin eviden0ierea /ir/um)an0elor /are arpu)ea /ondu/e la /one/in0e 'rave Gn /aul implemen)8rii a/elor olu0ii

7 T ai'urarea unei per/ep0ii mai 1une a diferi)elor ri/uri i a in)era/0iuniidin)re ele

5 T /on/eperea unor miJloa/e de redu/ere a expunerii la ri/ 2de exemplu+ prinin)ermediul unor in)rumen)e de a/operire4.

rin me)oda Mon)e Carlo+ pro/eul real e)e Gnlo/ui) /u un pro/e ar)ifi/ial.en)ru o10inerea unor reul)a)e /ore/)e+ e impune /a varia1ilele alea)oare 'enera)eGn )impul experimen)elor de imulare 8 reprodu/8 fidel varia1ila alea)oare real8.

Simularea Mon)e Carlo e)e /ea mai performan)8 me)od8 /an)i)a)iv8 de anali8a ri/ului. U)iliarea ei efe/)iv8 preupune par/ur'erea /3)orva e)ape maiimpor)an)e@

$ $. devol)area unui model imula1il de )ip de)ermini)+ Gn /are un)

pe/ifi/a)e varia1ilele de in)rare 2fa/)orii de influen08 /on)rola1ili ine/on)rola1ili4+ varia1ilele de ieire 2reul)a)ele+ din pun/)ul de vedere al/ri)eriilor de performan08 re0inu)e4 i rela0iile din)re varia1ilele de ieire i/ele de in)rare+ rela0ii /are po) fi exprima)e dire/) au indire/)+ /u aJu)orulunor varia1ile in)ermediare

% %. )ranformarea modelului de)ermini) /on)rui) an)erior Gn)r:unulpro1a1ili)+ prin ai'narea unor di)ri1u0ii de pro1a1ili)a)e varia1ilelor dein)rare /are refle/)8 fa/)ori ne/on)rola1ili mar/a0i de in/er)i)udine

6 6. pre/iarea rela0iilor din)re varia1ilele de in)rare pro1a1ili)e

in)erdependen)e 2/um ar fi+ de exemplu+ pre0ul vii)or al unui produ i /o)a depia08 previi1il84. De re'ul8+ a)fel de rela0ii un) modela)e /u aJu)orul unorma)ri/e de /orela0ie Gn)re varia1ilele alea)oare repe/)ive

7 7. efe/)uarea imul8rii5 5. analia reul)a)elor imul8rii i in)erpre)area lor pen)ru apre/ierea ri/ului.

!n 'eneral+ Gn /aul di)ri1u0iilor di/re)e de pro1a1ili)a)e+ pen)ru o10inerea deele/0ii imula)e /u me)oda Mon)e Carlo e poa)e apli/a urm8)oarea pro/edur8@

/asul 1. Se /al/ulea8@

:pro1a1ili)80ile rela)ivepiW*i, =

m

i

i*$

+ iW$+...+mp-W-+

:pro1a1ili)80ile /umula)e/=W =

=

i

ip-

,=W$+...+m.

ro1a1ili)a)ea /umula)8/=reprein)8 pro1a1ili)a)ea /a valoarea varia1ileialea)oare:8 fie mai mi/8 au e'al8 /u valoarea!=+ adi/8/=W/2: !=4.


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/asul 2. Se ao/ia8 in)ervale de numere alea)oare fie/8rei valori a varia1ileialea)oare. A/e) lu/ru e poa)e realia 'rafi/ au )a1elar.

re/ven08 de apari0ie


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8abelar. Se /au)8 Gn )a1elul + in)ervalul \/=:$+/=4 /8ruia Gi apar0ine num8rul alea)orui. Se /rie+ Gn )a1elul % Gn drep)ul num8rului alea)or u)ilia)+ valoarea!j/8reia Gn/orepunde in)ervalul \/j:$+/j4 iden)ifi/a) Gn )a1elul 6.6.

/asul 5.Se reia pro/edura de la aul 6 p3n8 /3nd e o10ine volumul dori) alele/0iei imula)e. In )a1elul % un) preen)a)e reul)a)ele o10inu)e dup8 $- 'ener8ride numere alea)oare.

Da)ele ele/0iei imula)e po) fi foloi)e /a da)e exo'ene pen)ru al)e modeleau po) fi u)ilia)e pen)ru /al/ulul /ara/)eri)i/ilor di)ri1u0iei de pro1a1ili)a)e avaria1ilei alea)oare /er/e)a)e@ media+ a1a)erea )andard+ /oefi/ien)ul de varia0ie iin)ervalul de Gn/redere pen)ru medie.

Cele mai /uno/u)e produe of)Vare de analia ri/ului prin imulare Mon)eCarlo un) RIS+ devol)a) de aliade 2())p@,,VVV.paliade./om4+ i Crsta$Ba$$+ realia) de firma ameri/an8 De/iioneerin' 2())p@,,VVV.de/iioneerin'./om4.

en)ru apli/a0ii imple de imulare Mon)e Carlo+ Mi/roof) Ex/el+ prin

pro'ramul de /omple)are 2add:in4 in)i)ula) -nalAsis 8ool/a=+ ofer8 poi1ili)a)ea'ener8rii unor numere alea)or /u di)ri1u0ii da)e 2e)e vor1a doar de di)ri1u0iaempiri/8 di/re)8 i di)ri1u0iile )eore)i/e@ uniform8+ normal8+ ernoulli+ 1inomial8+oion4.

Analia ri/ului prin imularea Mon)e Carlo are o lar'8 apli/a1ili)a)e Gnmana'emen)+ /ele mai fre/ven)e i)ua0ii de/iionale a1orda)e Gn a/ea)8 manier8un) /ele le'a)e de@ ale'erea proie/)elor de inve)i0ii+ opera0iuni /u devie+

plaamen)e Gn valori mo1iliare+ analia /o)urilor+ opera0iuni Gn domeniulai'ur8rilor+ evaluarea reurelor miniere i de (idro/ar1uri+ evaluarea ri/ului de

a//iden)e i 1oli profeionale i al)ele.Me)oda Mon)e Carlo poa)e fi ao/ia)8 /u al)e me)ode de /er/e)areopera0ional8+ /um ar fi me)oda ar1orilor de de/iie+ me)oda ER#+ me)odalan0urilor Marov+ me)oda de op)imiare 1aa)8 pe )e(nolo'ia al'ori)milor 'ene)i/ii al)ele. Indu)ria of)Vare ofer8 in)rumen)e performan)e de devol)are a unorapli/a0ii 1aa)e pe a)fel de me)ode (i1ride. A)fel+ a/eeai firm8 aliade lidermondial Gn produ/0ia de of)Vare de)ina) priJinirii pro/eelor de/iionale adevol)a) produele of)Vare re/iion#ree+ RIS for roJe/) i RISOp)imier2vei ())p@,,VVV.paliade./om4.

Pr(*isi#nTr((+ e)e un pro'ram de /omple)are pen)ru Mi/roof) Ex/el+

de)ina) /on)ru/0iei i u)ili8rii dia'ramelor de influen08 i a ar1orilor de de/iie2/eea /e+ in li)era)ura de pe/iali)a)e+ e mai nume)e i analia de/iieiP4. RIS

poa)e fi foloi) pen)ru a realia imularea ar1orilor de de/iie /on)rui0i /ure/iion#ree. en)ru a/ea)a+ valorile pun/)uale in/er)e ao/ia)e nodurilor finaleale unui ar1ore de de/iie un) Gnlo/ui)e /u di)ri1u0iile lor de pro1a1ili)a)e 2/uaJu)orul fun/0iilor RIS4+ dup8 /are+ )o) /u aJu)orul fa/ili)80ilor oferi)e deRIS+ e exe/u)8 o imulare Mon)e Carlo /omple)8 a ar1orelui repe/)iv+


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BIBLIOGRA"IE

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1 note curs modelare si simulare master mo.doc

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