1 Capitolul 1 1.1. Mulimi. Notaii i definiiiNoiunea de mulime este una primar n sensul formal al sistemului Zermelo-Fraenkel. Notm mulimile cu X , Y ,... . Un element x aparine mulimii X (sau nu aparine mulimii X ) i notm cu x X (respectiv, x X ). (1.1.1) Unele mulimi pot fi descrise enumernd elementele lor: {x1, x2 ,..., xn} este mulimea ale crei elemente sunt notate cu x1, x2 ,..., xn ; mulimea {x} conine un singur element x . n multe situaii, mulimile sunt definite prin proprietile elementelor lor i vom scrie: {x / p} , n care caz, spunem mulimea tuturor elementelor x care au proprietatea p . Dou mulimi X i Y sunt egale i vom scrie, X =Y , dac i numai dac sunt formate din aceleai elemente. O mulime A se numete submulime sau parte a mulimii X , dac orice element din x A este i element din X i, scriem:

A X (sau X A ) () x A x X .Axioma mulimii vide :

(1.1.2)

={x X / x X } . (1.1.3) Dac A X i X A spunem c A este submulime proprie a lui X . Pentru orice mulime X avem X . Reuniunea mulimilor A i B se noteaz cu A U B ={x / x A sau xB} ; intersecia mulimilor A i B se noteaz cu A I B ={x / x A i xB} . Dac { Ai} iI este o familie de mulimi, unde i parcurge mulimea de indici oarecare I , atunci definim: U Ai ={x /() iI a.. xAi} . reuniunea mulimilor {Ai} iI :iI

intersecia mulimilor { Ai}iI :

iI

I

Ai ={x /() iI

a.. xAi} .

Observaie. Dac I = N , notaiile obinuite pentru reuniune i intersecie sunt:

U Ai ii=1

I

Dac Ai Ak = , () i, k I , i k atunci, familia { Ai}iI se numete familie disjunct de mulimi. Dac X i A sunt mulimi, atunci vom nota diferena dintre X i A prin mulimea

i=1

Ai .

X \ A ={x X / x A} . (1.1.4) Dac are loc incluziunea A X , atunci vom scrie C X ( A) (sau C ( A) ) n loc de X \ A . n acest caz, mulimea C X ( A) se numete complementarea mulimii A n raport cu X . n acest caz putem scrie X \ A = X I C X ( A)Operaia de complementaritate are proprietile: 1). C X ( A U B) = C X ( A) I C X ( B) . 2). C X ( A I B) = C X ( A) U C X ( B) . 3). A I C X ( A) = ; i A U C X ( A) = X . 4). C X [C X ( A)] = A .

1.2. Relaie de echivalen. Relaie de ordineProdusul cartezian al mulimilor A1, A2,..., An este definit prin

A1 A2 ... An ={x = (a1, a 2 ,..., a n ) / a i Ai , () i =1, n} .

(1.2.1)

Fie X o mulime, vom nota cu P ( X ) mulimea prilor lui X : evident, A X AP ( X ) . Fie X i Y dou mulimi. Se numete relaie binar (ntre X i Y ) o mulime R X Y ale crei elemente sunt perechi ordonate ( x, y)R (uneori, scriem xR y ) i spunem c x este n relaia R cu y . Aadar, o relaie binar ntre mulimile X i Y este o parte a produsului cartezian X Y . Dac R X X , atunci spunem c R este o relaie binar pe X . O relaie binar se obine considernd, de exemplu, mulimea perechilor ordonate ( x, y) X Y . ntre relaiile de ordine ntr-o mulime, un rol important l are relaia diagonal notat cu , definit ca mulimea perechilor ={( x, x) / x X } X X . Fie X o mulime. Relaia binar de incluziune este o relaie de ordine n mulimea P ( X ) a prilor lui X . Oricrei relaii binare R X Y i corespunde o relaie binar R 1 Y X , definit prin ( y, x)R 1 dac i numai dac ( x, y)R . Fie R X X o relaie binar pe X . Atunci relaia R se numete: reflexiv, dac () x X atunci xR x ; simetric, dac () x, y X i xR y atunci implic i yR x ; tranzitiv, dac () x, y, z X , din xR y i yR x implic i xR z . O relaie binar pe X care este reflexiv, simetric i tranzitiv se numete relaie de echivalen . Adesea, relaia de echivalen se va nota prin : . O relaie binar pe X , notat , se numete relaie de ordine, dac oricare ar fi x, y, z X s verifice condiiile: (1). x x (reflexiv); (2). x = y x y i y x (antisimetric); (3). dac x y i y z atunci x z (tranzitiv). Dac x y i x y , atunci relaia de ordine se numete strict i vom scrie x < y . O mulime, nzestrat cu o relaie de ordine, notat ( X , ) , se numete mulime ordonat.

2

O mulime ordonat ( X , ) se zice total ordonat, dac pentru orice x, y X , avem x y sau y x (adic oricare dou elemente sunt comparabile). Fie ( X , ) o mulime ordonat. Dac A X este o submulime nevid a lui X , atunci un element u X cu propritatea u x , oricare ar fi x A , se numete minorant pentru A. . Dac u X cu propritatea u x , oricare ar fi x A , atunci u se numete majorant pentru A. . Dac mulimea A X are un majorant (respectiv, un minorant) spunem c A este majorat (respectiv, minorat). element al lui A ; vom scrie m = min x = min A . xA Dac m este minorant pentru A i m A , atunci m este unic determinat i spunem c m este cel mai mic Dac M este majorant pentru A i M A , atunci M este unic determinat i spunem c M este cel mai

mare element al lui A ; vom scrie m = max x = max A . xA

Fie ( X , ) o mulime ordonat. Dac orice parte nevid A X are un cel mai mic element atunci mulimea X se numete bine ordonat. De exemplu, mulimea N a numerelor naturale (n raport cu ) este bine ordonat, dar mulimile Z i Q , fa de relaia uzual , nu este bine ordonat. Fie A X este o submulime nevid a lui ( X , ) . Elementul X se numete cel mai mic majorant al lui

A i vom nota cu = sup A = sup x dac i numai dac se verific condiiile: xA(1). () x A x ( este majorant al lui A ); (2). dac exist un alt majorant al lui A atunci s avem . Elementul se numete marginea superioar a lui A .

Elementul X se numete cel mai mare minorant al lui A i vom nota cu = inf A = inf x dac i xA numai dac se verific condiiile: (1). () x A x ( este minorant al lui A ); (2). dac exist un alt minorant al lui A atunci s implice . Elementul se numete marginea inferioar a lui A .

3

O mulime ordonat ( X , ) se numete complet ordonat, dac orice parte nevid i majorat a sa are o margine superioar. Dac ( X , ) este complet ordonat atunci rezult c orice parte nevid i minorat a lui X are o margine inferioar. Mulimea Q a numerelor raionale este total ordonat n raport cu relaia dar nu este complet ordonat deoarece, de exemplu, mulimea { xQ / x > 0, x 2 < 2} , este majorat, dar nu posed o margine superioar. Dac : este o relaie de echivalen pe X , atunci exist o descompunere a lui X n mulimi disjuncte, numite clase de echivalen, a.. pentru orice pereche ( x, y) aparinnd oricrei clase s avem x : y . Fie x( X ,: ) oarecare. Atunci, mulimea C x ={ y X / x : y} se numete clasa de echivalen generat de x . Un element oarecare din C x se numete reprezentant al clasei C x . Deoarece xC x pentru orice x X , atunci rezult c

X=

(1). x = y C x = C y ; (2). dac C x I C y atunci C x = C y . Datorit acestor proprieti rezult c orice dou clase sunt sau mulimi egale sau disjuncte. n acest caz, spunem c mulimea

xX

U C x . Oricare ar fi x, y X

atunci:

X=

xX

U Cx

a fost descompus ntr-o partiie (adic, mulimea X se scrie ca reuniune de

mulimi disjuncte). Fie : o relaie de echivalen pe X . Mulimea mulimilor C x , x X , se numete mulimea ct a lui X dup : i se noteaz cu X / : . Exemplu. n mulimea perechilor ordonate de numere ntregi, (m,n) Z Z , egalitatea fraciilor este relaie de echivalen. O clas de echivalena este format din mulimea fraciilor egale cu o fracie dat. Reprezentantul unei astfel de clase poate fi ales ca fiind fracia ireductibil a acelei clase.

1.3. Funcii O relaie f de la X la Y (notat f : X Y ) se numete relaie funcional (funcie sau aplicaie) dac pentru orice x X exist un element i numai unul yY , cu proprietatea x f y . n acest caz, elementul unic y asociat cu x prin relaia f se noteaz cu f ( x) i reprezint valoarea lui x prin f . Aadar, f P ( X Y ) , f ( x)Y . Mulimea valorilor aplicaiei f se noteaz cu f ( X ) . Este evident c f ( X ) Y . Dac f ( X ) =Y spunem c f este o aplicaie a lui X pe mulimea Y . Dac A X , definim imaginea lui A prin funcia f ca fiind mulimea f ( A) ={ f ( x) / x A} . Dac A X i f : X Y este o funcie, se noteaz cu f A : A Y , restricia lui f la mulimea A , definitprin f A ( x) = f ( x), () x A . Fie A X i f : X Y este o funcie, iar :A Y . Funcia X = f se numete o prelungire lui la mulimea X . Fie funcia f : X Y i B Y . Mulimea elementelor x X a.. f ( x)B se numete imaginea reciproc a lui B prin f i notm f 1( B) ={x X / f ( x)B} .

Dac f : X Y i f ( X ) =Y , spunem c f aplic X pe Y . Aplicaia 1 A = id A : A A , definit prin 1 A ( x) = id A ( x) = x, () x A , se numete aplicaia identic a mulimii A . Funcia f : X Y este injectiv dac i numai dac () x, y X , x y f ( x) f ( y) . Funcia f : X Y este surjectiv dac i numai dac () yY () x X a.. f ( x) = y . Funcia f : X Y este bijectiv dac i numai dac exist funcia g = f 1:Y X a.. g of = id X i

4

f og = idY . n acest caz, mulimile X i Y se numesc echivalente (sau, echipolente). Mulimea X se numete numrabil, dac X este echivalent cu mulimea N a numerelor naturale.Graficul funciei f : X Y este mulimea f ={( x, f ( x)) / x X } X Y . Dreapta real (mulimea numerelor reale) se noteaz cu R i, cu R notm mulimea extins a numerelor reale la care se adaug simboluile i + mpreun cu relaia de ordine cunoscut. Dac < a b 0 a.. x B( x, r ) D . Altfel spus, o mulime D X se numete deschis dac i numai dac D = int D (adic, toate punctele lui D sunt puncte interioare). Spaiul metric X i mulimea vid sunt mulimi deschise. Interiorul mulimii A este reuniunea tuturor mulimilor deschise D coninute n A , o (1.4.3) A = Int A = {D / D A, D mulime deschis}.

U

d ={D X / D = int D} , este o topologie pe X , numit topologia indus de metrica d .Exerciiu. Orice bil deschis este mulime deschis.

Se verific, relativ uor, c familia

(1.4.4)

R. Fie B( x, r ) o bil deschis i fie y B( x, r ) a.. y x . Dac alegem r < r d ( x, y) , atunci B( y, r) B( x, r ) . Definiie. Fie ( X , d ) un spaiu metric, A X i x A , fixat. Atunci numrul pozitiv

d ( x, A) = inf{d ( x, y) / y A} = inf {d ( x, y)} ,yA

(1.4.5)

se numete distana de la punctul x la mulimea A . Definiie. Fie ( X , d ) un spaiu metric i A X . Atunci numrul pozitiv

( A) = sup{d ( x, y) / x, y A} = sup {d ( x, y)} ,x, yA

(1.4.6)

se numete diametrul mulimii A . Definiie. Fie ( X , d ) un spaiu metric i F X . Mulimea F se numete nchis dac i numai dac C( F ) d (complementara mulimii F este mulime deschis n ). Mulimea X i mulimea vid sunt mulimi nchise, ca mulimi complementare ale mulimilor deschise i respectiv X . Definiie. Fie ( X , d ) un spaiu metric, d topologia indus i x X . Mulimea V X se numete vecintate a punctului x (adesea, scriem V x ) dac exist o mulime deschis D d a. . x D V . Observaie. Orice punct x X are o vecintate (chiar X este vecintate a lui x ). Orice supramulime a unei vecinti este o vecintate. Fie ( X , d ) un spaiu metric, x X . Vom nota cu

V ( x) ={V X / V este vecinatate a lui x} , mulimea vecintilor lui x .

6(1.4.7)

Propoziie. Fie ( X , d ) un spaiu metric, d topologia indus i x X . Atunci mulimea V ( x) are proprietile: V (1). Dac V ( x) , atunci xV . V V (2). Dac V ( x) i V D , atunci D ( x) .

V V V (3). Dac V1 ( x) i V2 ( x) , atunci V1 V2 ( x) . V (4). Dac V ( x) , exist o parte W V , a.. V este o vecintate a oricrui punct din W .Exerciiu. O mulime D este deschis dac i numai dac D este vecintate pentru orice punct al ei. Definiie. Un punct x X se numete punct aderent mulimii A X dac orice vecintate a punctului x conine cel puin un punct din A ; altfel spus, () V x A V . Este evident c orice punct x A este un punct aderent pentru A . Vom nota cu A mulimea punctelor aderente ale lui A . Este clar c avem A A . Mulimea A se numete aderena lui A , sau nchiderea lui A . Aderena unei mulimi A este intersecia tuturor mulimilor nchise care conin pe A ,

A = I {F / F A, F mulime nchis}.O submulime A a lui X se numete dens n X dac A = X .

(1.4.8)

Exerciiu. 1). Mulimea A este nchis dac i numai dac A = A (mulimea A coincide cu nchiderea sa). 2). Dac D este mulime deschis i F nchis, atunci D \ F este mulime deschis. 3). Dac A B A B . 4). A B = A B .

U An = U An I An I An . i nN nN nN nN n , vecintile punctului de la infinit notate V () sunt reprezentate de exteriorul bilelor cu centrul 6). n R n origine,5).

V () ={x R n / d ( x, 0) > r , () r > 0} .Definiie. Un punct x X se numete punct de acumulare (punct limit) pentru mulimiea A X dac orice vecintate a punctului x conine cel puin un punct din A diferit de x ; aadar, putem scrie

() V x A (V \{x}) .Vom nota cu

A ={x X / x este punct de acumulare al lui A} ,

(1.4.9)

mulimea punctelor de acumulare ale lui A . Din definiie rezult c orice punct de acumulare al lui A este punct aderent lui A . Reciproc, nu este adevrat. De exemplu, dac alegem X = R , cu topologia obinuit (deschiii sunt reuniuni arbitrare de intervale deschise) i A= N , atunci orice numr natural este punct aderent al mulimii N , dar nu este punct de acumulare al acestei mulimi. Avem A ={; +} . Definiie. Un punct x A X se numete punct de izolat al acestei mulimi dac exist o vecintate V a punctului x altfel nct AV ={x} . Vom nota cu 'A ={x X / x este punct izolat al lui A} , (1.4.10) mulimea punctelor izolate mulimii A . Exerciiu.

1). Pentru orice mulime A X avem A A . Deducem A A A i A = A A . 2). Mulimea A X este discret dac i numai dac orice punct al su este punct izolat ('A = int A ). 3). Condiia necesar i suficient ca A s fie discret este ca ea s nu-i conin niciun punct al su de acumulare. o Definiie. Fie A X . Mulimea C ( A) = int C ( A) se numete exteriorul mulimii A . Un punct x X seo numete punct exterior mulimii A X dac i numai dac xint C ( A) = C ( A) . Mulimea punctelor exterioare mulimii A va fi notat cu

7

Ext A ={x X / x este punct exterior lui A} .

(1.4.11)

Mulimea punctelor x X care nu sunt nici interioare i nici exterioare unei submulimi A X constitue frontiera lui A i se noteaz cu A sau Fr A . Orice punct xA se numete punct frontier al lui A . Frontiera bilei B( x0, r ) este mulimea

B( x0 , r ) ={x X / d ( x, x0 ) = r} .Exerciiu. Pentru orice mulime A X avem: 1). X = int A Ext A Fr A . 2). A este mulime deschis dac i numai dac A Fr A = . 3). A este mulime nchis dac i numai dac Fr A A . 4). Fr A = Fr CA . 5). A = A int A Definiie. Fie ( X , d ) spaiu metric. Mulimile A, B din X se numesc separate dac

(1.4.12)

A B =

i

A B = (sau, exist D1, D2 d a.. A D1 i B D2 i D1 D2 = ).

Dou mulimi separate sunt neaprat disjuncte; reciproc nu este adevrat. De exemplu, fie X = R i alegem A = (0,1), B =[1, 2) , atunci A, B sunt disjuncte dar nu sunt separate. Mulimea D X se zice neconex dac D se poate reprezenta ca reuniune a dou mulimi nevide i separate; altfel spus, exist A, B separate, A , B i D = A B . O mulime care nu este neconex se numete conex (mulimea conex nu este format din dou buci separate). Proprieti simple ale mulimilor conexe: Evident, mulimile formate dintr-un singur punct sunt conexe ca i mulimea vid. Orice linie frnt n plan este mulime conex. Orice reuniune de mulimi conexe neseparate dou cte dou este o mulime conex. Orice reuniune de mulimi conexe cu intersecie nevid este o mulime conex: (fie { Ai}iI , Ai conexe i I Ai , atunci U Ai este mulime conex). iI iI Orice mulime cuprins ntre o mulime conex i nchiderea sa este mulime conex, (dac A este mulime conex i A B A , atunci B este mulime conex). nchiderea unei mulimi conexe este mulime conex. O mulime nchis este neconex este reuniunea a dou mulimi nchise, nevide, disjuncte. O mulime deschis este neconex este reuniunea a dou mulimi deschise, nevide, disjuncte. Definiie. O mulime D X , deschis, nevid i conex se numete domeniu conex. O mulime conex maximal a lui X se numete component conex a acestui spaiu. Fie A X ; o component conex a lui A este o submulime conex A1 A cu proprietatea maximal adic, A1 este cea mai mare submulime conex a lui A dac exist o submulime conex B A a.. A1 B atunci s rezulte c B = A1 . Dac A este mulime conex atunci singura ei component conex este chiar A . Orice mulime este reuniunea componentelor sale conexe.

Definiie. Fie ( X , d ) spaiu metric i A X . Mulimea A este mrginit dac i numai dac exist a X i r > 0 a.. A B(a, r ) . Este uor de neles c mulimea A este mrginit dac i numai dac ( A)