1

1.Mecanic

1. Un corp cu masa m 1 kg se afl la momentul t 0 s n punctul de coordonate 1,3,1 i are impulsul 0p 2i j 3k N s . Asupra corpului acioneaz o for variabil n timp 2 2F 2t i t 1 j t k N . S se afle:

a) vectorul vitez la momentul s1t , b) vectorul de poziie la momentul s1t .

R:

a) mFaamF

dtktj1tit2vddtmFvddt

mFvddtavd

dtvda 22

1

323Ck

3tj

21ti

3t2v

Constanta de integrare C1 se determin din condiiile iniiale. Astfel la momentul t 0vvs0

; 0 00 0 0 1p 1 pp m v v j Cm 2 m

11 j C 2i j 3k2

k3j23i2C1

. k3

3tj

23

21ti2

3t2v

323

.

La s1t k331j

23

24i2

32v

s/mk3

10j2

i38v

b) dtvrddtrdv dtvrd

dtk33tj

23

21ti2

3t2rd

323

2

2

4234Ckt3

43tjt

23t

21

2t

32tit2

43t2r

2

4234Ckt3

12tjt

2t

6tit2

6tr

La s0t , kj3irr 0 2Ckj3i

k1t312tj3t

2t

6ti1t2

6tr

4234

k12

12361j6

2431i67s1tr

)m(k1249j

620i

67s1tr

. 2. Fie o micare definit prin ecuaiile parametrice:

t

t

1x 3 e4

y 4 e 1

S se determine traiectoria mobilului, viteza i acceleraia sa la momentul s1t . R:

Din t 1x 3 e

4 t

1x4e

3

1x4y 4 1

3

4x 3y 4 0 , deci traiectoria

este rectilinie t

xdxv 3edt

; ty dyv 4edt ;2 2 2t 2t tx yv v v 9e 16e 5e

m ms sv t 1s 5e ( );v 13,6( ) tx

xdva 3edt

; y ty dva 4edt ; 2 2 2t 2t tx ya a a 9e 16e 5e

2 2m ms sa t 1s 5e ( );a 13,6( ) Micarea este rectilinie, variat.

3

3. Expresia acceleraiei unui punct material care se mic pe o traiectorie rectilinie este: 2a 4 t .S se afle expresia vitezei i a deplasrii n funcie de timp, tiind c la momentul t = 3 s viteza are mrimea v=2 m/s i spaiul x = 9 m. R:

Din definiia acceleraiei dvadt

, rezult: dv=adt.

Deci 2dv a dt 4 t dt ; 3 11v 4t t C3 (1) Constanta de integrare 1C se determin din condiiile iniiale: t = 3 s, v=2 m/s. Din relaia (1) rezult: 1272 4 3 C3 1C 1 .

Expresia vitezei devine: 31v 4t t 13

Din definiia vitezei dxvdt

, rezult: dx=vdt.

Deci 31dx v dt 4t t 1 dt3

; 2 4 21x 2t t t C12 . (2) Constanta de integrare 2C se determin din condiiile iniiale: t = 3 s, x = 9 m. Din relaia (2) rezult: 2819 18 3 C12 2

3C4

. Expresia spaiului devine: 2 41x 9 12t 24t t12 . 4. Dou particule a i b se mic n direcia OX, respectiv Oy, cu vitezele a mv 2i s , respectiv b mv 3j s . La momentul t = 0 s coordonatele lor sunt (-3,0), respectiv (0,-3). a) S se afle vectorul b ar r r care reprezint poziia relativ a particulei b fa de particula a la un moment dat; b) n ce moment i n ce poziie cele dou particule se vor afla la aceeai distan de origine ? c) n ce condiii distana dintre particule va fi minim ? R:

a) a a

ax a x

dxv ;dx v dtdt

ax t

a3 0

dx 2 dt

ax 2t 3

4

b b

by b y

dyv ;dy v dtdt

by t

b3 0

dy 3 dt

by 3t 3 Deci vectorul b a b a b ar r r x x i y y j

r 3 2t i 3t 3 j . b) Momentul n care cele dou particule se afl la aceeai distan de origine,

rezult din condiia: a bx y 2t 3 3t 3 t 0s . la a bt 0s, x y 3 m .

c) Din condiia de minim a distanei dintre cele dou particule rezult: 2 2dr 0;r 2t 3 3t 3

dt

2 2dr d 2t 3 3t 3dt dt 2 2

dr 13 2t 30 0dt 2 2t 3 3t 3

30 1513 2t 30 0 t s26 13

a a15 15 9t s x 2 3 x m13 13 13

b b15 15 6t s y 3 3 y m13 13 13

5. Un corp cu masa m = 1 kg se deplaseaz astfel nct poziia sa este descris de vectorul: 2 21 4r t i t t j sin t k2 2

. S se afle: a) Poziia, viteza, acceleraia corpului la momentul t=0 s, respectiv t=1 s. b) Fora care acioneaz asupra corpului.

R:

a) La momentul t=0 s 24r 0 0 i 0 j sin 0 k

r 0 0 m . La momentul t=1 s 21 1 4r t 1s i j sin k2 2

5

24r t 1s i j k .

Pentru a afla viteza corpului la momentele t=0 s, respectiv t=1 s, calculm viteza la orice moment, deoarece cunoatem expresia vectorului de poziie.

2 21 4r t i t t j sin t k2 2 , dar r xi yj zk

2 21 4x t , y t t ,z sin t2 2 . x y z

drv v i v j v kdt

dx dy dzv i j kdt dt dt

2

2

dt d t t d 4v i j sin t kdt dt 2 dt 2

2

1 2t 4v i j cos t k2 2 2

2 2 2 2

x y zv v v v La momentul t=0 s avem

2 22 2

01 2v 12

.

Deci m s0 01 4v 1 v 1,34 10

.

La momentul t=1 s avem 2

2 21

3v 12

,

ms1 1

9v 1 v 1,84

. Pentru a afla acceleraia corpului la momentele t=0 s, respectiv t=1 s,

calculm expresia general a acceleraiei: yx z

x y z

dvdv dv dva a a i a j a k i j kdt dt dt dt

ta j sin k2

La momentul t=0 s avem 2 20a 1 2m0 sa 1 La momentul t=1 s avem 2 2 21a 1 1 2 2m1 sa 2

6

b) F ma t tF 1 j sin k F j sin k N2 2