8.

VERIFICAREA MODELELOR DE CALCUL CU ELEMENTE FINITE

Modelul de calcul i rezultatele obinute cu ajutorul su trebuie supuse unor numeroase teste i verificri. Scopul acestora este de a valida modelul, adic de a determina dac acesta satisface exigenele impuse i dac rezultatele obinute cu ajutorul lui permit formularea unor rspunsuri neechivoce la ntrebrile clare puse de beneficiarul analizei cu elemente finite (FEA). Unele teste i verificri sunt calitative i globale, altele cantitative i de detaliu. Dac testele i verificrile duc la concluzii nefavorabile, modelul trebuie mbuntit i procesul de verificare mbuntire - verificare se continu pn cnd se obine un model satisfctor, adic valid. n figura 8.1 este prezentat schema general a procesului de verificare mbuntire a modelului de calcul cu elemente finite. n continuare se prezint cteva metode i procedee de verificare.

Figura 8.1 Verificrile experimentale efectuate pe structura real sunt cele mai concludente. Astfel de verificri sunt ns, de obicei, ulterioare calculului (dup ce s-a proiectat i executat structura) i totdeauna sunt costisitoare. O situaie special apare cnd se expertizeaz structuri vechi pentru care nu s-au efectuat analize cu elemente finite la proiectare. Se pot face verificri experimentale i pe modele fizice reduse la scar ale structurii reale, n astfel de cazuri fiind necesar rezolvarea problemelor de modelare i similitudine. Determinrile experimentale permit verificri cantitative ale rezultatelor obinute prin calcul i evaluarea preciziei acestora. Se pot verifica mrimi care provin din comportarea global a structurii, cum sunt deplasrile sau reaciunile n reazeme, sau mrimi cu caracter local, cum sunt tensiunile maxime. Efectuarea calculelor pe dou sau mai multe modele i compararea rezultatelor obinute. Modelele pot fi de acelai tip, adic elaborate pe baza aceleiai metode de calcul (de exemplu, metoda elemntelor finite - MEF) sau de tipuri diferite, adic elaborate pe baza unor metode de calcul diferite (de exemplu MEF i metoda elementelor de frontier sau o metod analitic de calcul ).

62

De exemplu, pentru traversa de egalizare a unui excavator care se deplaseaz pe o cale de rulare s-au elaborat trei modele MEF: un model de bar (fig. 8.2,a), un model de tip stare plan de tensiuni (fig. 8.2,b) i un model spaial (fg. 8.2,c).

Figura 8.2

Cele trei modele pot fi folosite n etape distincte ale proiectarii, respectiv pentru predimensionare, definitivarea formei constructive i verificarea final a structurii obinute. Unele dintre rezultatele obinute n cele trei variante de analiz, ca de exemplu deplasrile maxime ( care sunt mrimi globale ale FEA ) trebuie s aib valori apropiate. Valorile tensiunilor maxime, n special ale celor locale, pot s difere destul de mult de la un model la altul. Uneori este preferabil s se foloseasc n paralel modele elaborate pe baza unor metode de calcul diferite, ca de exemplu, modele cu elemente finite i modele cu elemente de frontier. Pentru trei dini consecutivi ai roii dinate din figura 8.3,a s-a utilizat n paralel, n vederea verificrii, un model cu elemente finite (fig. 8.3,b) i un altul cu elemente de frontier (fig. 8.3,c). n acest caz toate rezultatele obinute n urma celor dou analize (deplasri, tensiuni, reaciuni, etc.) trebuie s aib valori foarte apropiate.

Figura 8.3

Preprocesarea geometriei modelului MEF este cea mai utilizat i cea mai eficient metod de verificare a geomeriei modelului, a corectitudinii definirii condiiilor de rezemare i a aplicrii sarcinilor. Se poate spune c este totdeauna obligatorie. Verificarea const n citirea fiierului cu datele de intrare pentru programul MEF, preprocesarea informaiilor coninute n acest fiier i trasarea unui desen al modelului structurii. Un astfel de exemplu se prezint n figura 8.4, pentru modelul MEF al unei structuri industriale. Preprocesarea se face, de regul, n programul MEF, care are module de elaborare a modelului, inclusiv de desenare a acestuia, n diverse condiii grafice. Foarte util este aceast verificare pe parcursul elaborrii modelului, n diversele etape ale procesului. n situaii deosebite preprocesarea se poate face i cu alte programe, preferate sau chiar elaborate de utilizator. 63

Figura 8.4 Figura 8.5 Verificri ale condiiilor de simetrie. Pentru modele care prezint proprieti de simetrie sau antisimetrie geometric i mecanic, rezultatele obinute prin calcul - deplasri, tensiuni, reaciuni n reazeme, moduri proprii de flambaj (simetrice sau antisimetrice), moduri proprii de vibraii etc. - trebuie s aib valori egale n punctele simetrice i valori egale i semn schimbat n punctele antisimetrice. Pentru suportul din figura 8.5, care are dou plane de simetrie XOY i YOZ att pentru configuraia geometric precum i pentru reazeme i sarcini, verificarea corectitudinii modelului MEF se face comparnd valorile deplasrilor, tensiunilor i reaciunilor n puncte i elemente simetrice: aceste valori trebuie s fie egale, mrimile abaterilor putnd fi un indiciu cantitativ al preciziei FEA, n ansamblu, adic a metodei, a programului i a modelului. Verificri printr-un calcul simplu. Uneori este posibil s se verifice unele dintre rezultatele obinute cu un anumit model de calcul, considernd un caz de ncrcare simplificat, de exemplu o sarcin concentratr, un moment etc. De exemplu, pentru grinzile longitudinale ale utilajului din figura 8.6,

Figura 8.6 Figura 8.7 se poate face un calcul la ncovoiere cu relaia cunoscut din rezistena materialelor, considernd grinda din figura 8.7 cu seciune constant, ncrcat la mijloc cu o sarcin uniform distribuit, rezemat la capete. n acest caz se are n vedere c rigiditatea la ncovoiere n plan vertical a celor dou grinzi longitudnale este foarte mare, adic efectul corpului recipientului poate fi neglijat n calculul menionat. Valorile sgeii maxime i cea a tensiunii la mijlocul grinzii trebuie s fie apropiate de cele obinute cu FEA.

64

Discretizarea adaptiv. Acest procedeu nu este propriu-zis o cale de verificare a corectitudinii modelului FEA, dar poate oferi informaii consistente n aceast privin. Pe de alt parte modelarea adaptiv se face automat, de ctre programul FEA, dac sunt ndeplinite anumite condiii, ceea ce este foarte comod pentru utilizator. Se elaboreaz un model iniial MEF care se supune unui proces FEA i se obin rezultatele corespunztore. n programul MEF (dac acesta are implementat procedura respectiv) se dau comenzile specifice analizei adaptive care const n elaborarea, pentru modelul inial - printr-un proces iterativ - a unei discretizri mai fine (procedura h), utilizarea unor elemente finite de ordin superior, adic cu polinoame de interpolare de grad superior (procedura p), sau combinaii ale acestora (procedura h-p). Rezultatele obinute pentru noua variant a modelului sunt mai precise dect cele iniiale. Programul calculez indicele de precizie al modelului i cnd valoarea prescris a acestuia este atins, procesul iterativ de rafinare a reelei de discretizare se oprete. Verificarea modelului const n compararea rezultatelor obinute n cele dou variante ale modelului i anume rezultatele trebuie s fie suficient de apropiate.

Figura 8.8 Figura 8.9 Pentru exemplificare, se prezint n figura 8.8 modelul iniial MEF al unei plci dreptunghiulare plane, discretizat cu 55 de noduri i 80 de elemente shell triunghiulare. Dup aplicarea unei proceduri de rafinare a discretizrii (procedura h), modelul are 449 de noduri i 798 elemente, ca n figura 8.9. Se menioneaz faptul c o procedur de discretizare adaptiv, oricare ar fi ea, nu poate semnala eventuale greeli sau neajunsuri ale modelului iniial, cum ar fi, de exemplu, configuraia geometric de ansamblu, valorile dimensiunilor, alegerea tipului de element finit, impunerea condiiilor de reazeme, definirea sarcinilor, introducerea valorilor constantelor elastice i fizice ale materialului etc. Verificarea greutii structurii este o verificare global, obligatorie. Trebuie verificate valorile reaciunilor din reazeme i dac acestea satisfac ecuaiile de echilibru scrise pentru ntreaga structur. Dac este posibil, este bine s se verifice i poziia centrului de greutate al structurii. Verificri globale i calitative ale modelului au n vedere configuraiile strilor de tensiuni i deplasri, semnele lor, ordinul de mrime i chiar valorile rezultatelor obinute. Din practica inginereasc i din experiena altor analize se tie unde sunt zonele cu tensiuni i deplasri mari, care

Figura 8.10

65

66

este configuraia structurii deformate i ntre ce limite trebuie s se afle valorile mrimilor obinute prin FEA. Pentru exemplificare se prezint n figura 8.10 proiecia n plan orizontal a structurii din figura 8.6 deformat, pentru un sistem de sarcini simetrice. Comentarii, observaii, concluzii: Prezentarea, mai sus, a unor modaliti de verificare a modelelor MEF, desigur c nu este exhaustiv. Fiecare utilizator poate s-i imagineze i alte tehnici i metode de verificare. Se poate remarca faptul c n lucrarea de fa nu s-au fcut nici un fel de meniuni cantitative privind condiiile de precizie cu care se pot sau trebuie verificate modele MEF. Aceasta nu este o pierdere din vedere ci este rezultatul unei realiti i anume c nu se poate stabili precizia unui model MEF n general, ci toate exigenele impuse modelului (inclusiv cele de precizie) depind de particularitile concrete, asociate problemei inginereti care se rezolv, ca, de exemplu, tipul structurii, scopul FEA, importana structurii, gradul de pericol n cazul unei avarii, tipul solicitrii, durata de exploatare etc. De asemenea, trebuie avut n vedere faptul c MEF este aproximativ, ceea ce nseamn c nu se poate cere modelului mai mult dect poate oferi metoda, rezultatele obinute fiind determinate att de performanele modelului ct i de principiile, ipotezele i procedurile matematice de calcul incluse n metoda i n programul cu elemente finite. Toate verificrile fcute modelelor cu elemente finite sunt validate n ultim instan de intuiia i experiena utilizatorului i atunci cnd este posibil, experimental.

VERIFICAREA MODELELOR DE CALCULCU ELEMENTE FINITEFigura 8.2Figura 8.3