07_modele cu ec multiple

8/8/2019 07_Modele Cu Ec Multiple

http://slidepdf.com/reader/full/07modele-cu-ec-multiple 1/49

7

Modele econometrice cu ecua ţ ii multiple

7.1 Scurt istoric privind apari ţ ia şi evolu ţ ia în timp a modelelorcu ecua ţ ii multiple

De cele mai multe ori, descrierea formală a unui proces economic nuse poate realiza numai prin intermediul unui model econometric conţinând osingur ă ecuaţie. Acest lucru a impus elaborarea unor modele econometriceconţinând mai multe ecuaţii, denumite modele cu ecuaţii multiple sausimultane.

Modelarea macro-economică cantitativă a apărut pe la sfâr şitulanilor '30 în Europa, după care se propagă puternic în SUA, carerecuperează şi devansează preocupările în acest domeniu din Europa.

Istoric, primul model macro-econometric complet a fost construit în1936 de Tinbergen pentru economiaŢărilor de Jos.

Mişcarea iniţiată astfel de Tinbergen, care, câţiva ani mai târziu(1939), va construişi primul model pentru Statele Unite, se va dezvolta înSUA sub conducerea lui Lawrence Klein.

În evoluţia modelării macro-econometrice se pot delimita trei perioade.

Prima perioadă începe din anii '40şi durează până la mijlocul anilor '50 şi reprezintă o perioadă de "tatonare" a modelării.

Această perioadă se încheie cu elaborarea unui model foarteimportant în istoria modelării macro-econometrice, modelul Klein-Goldberger (1955), care poate fi considerat ca un veritabil str ămoş almajorităţii modelelor ulterior elaborate în Statele Unite.

O a doua perioadă poate fi considerată ca începând cu acest modelşidurează până la sfâr şitul anilor '60.



Modele econometrice

Proiectul modelului Brookings, lansat la începutul anilor '60 acoper ă simbolic această a doua perioadă prin mărimea sa (de 10 ori mai multeecuaţii decât modelul Klein-Goldberger, 272 în loc de 25).

Modelul Brookings a determinat evoluţia modelării într-o manier ă foarte importantă prin activitatea de specificareşi estimare pe care oimplică. Cu toate acestea, a fost un eşec pentru că modelul a f ăcutdemonstraţia contrar ă a faptului că un model nu se limitează la juxtapunereacomponentelor individuale, oricât de bine ar fi ele separate, ci trebuie să fieo structur ă integrată.

Cea de-a treia perioadă a modelării, care începe la sfâr şitul anilor '60şi durează până în zilele noastre, e caracterizată de o accelerare afenomenului. În perioada 1970-1975 au fost construite 12 modele aleeconomiei americane, în timp ce în perioada 1955-1965 au apărut doar 7modele.

Mărimea modelelor a crescut sensibil - modelul Brookings nefiind oexcepţie - în plan cantitativ, acordându-se o importanţă deosebită fenomenelor nominale (determinarea preţului, sectorul monetar-financiar)şimecanismelor dinamice (mecanismele de acumulare, mecanismeleanticipărilor).

În Statele Unite există circa 12 modele macro-econometrice mari cucare se lucrează în prezent, dintre care două sunt publice: cel alDepartamentului de Comer ţ (BEA)şi cel al Băncii Federale din St. Louis,care e un model de inspiraţie monetaristă. Patru modele apar ţin unor societăţi private de consulting care-şi vând previziunile împreună cu alteservicii de informare economică (Data Resources, Chase Econometrics etc.).

Marile universităţi sunt aproape toate dotate cu modele autonome, deexemplu modelul Wharton al prof. Klein, modelul MPS elaborat deUniversitatea din Pennisylvania, modelul MIT al Rezervelor FederaleAmericane etc.

În Europa nu s-a atins încă acest nivel, dar mişcarea s-a dezvoltat cuun decalaj de 5-10 ani faţă de Statele Unite, modelarea fiind mult maidificilă pentru economiile europene, care sunt dependente de exterior.

În Franţa, demarajul modelării macro-econometrice a fost mult maitardiv: primele modele franceze au apărut spre sfâr şitul anilor '60, adică la




circa 20 de ani după debutul celor americane,şi la 35 de ani după modeluloriginal al lui Tinbergen. Bugetul economic a fost elaborat mult timp (1950-1965) f ăr ă a face apel la modelele explicite („metoda previziunii f ăr ă

model“), iar în activitatea de planificare nu s-a dispus de un modelmacro-econometric (modelul FIFI) decât începând cu cel de-al VI-lea Plan.Începând cu anul 1965 (mai mult de 12 ani), modelarea macro-

econometrică se va dezvolta în Franţa în principal în cadrul a două serviciiadministrative: Direcţia de Previziuneşi INSEE (Institutul Naţional deStatistică şi Studii Economice), aflate într-o legătur ă mai mult sau mai puţinstrânsă cu procedurile de elaborare a bugetelor economiceşi a planului.

Primul model francez (ZOGOL) a fost construit în 1966, fiind apoiînlocuit de modelul DECA, care sunt două modele de buget economic deinspiraţie keynesistă care au r ăspuns situaţiei economice din acea perioadă (nivelul cererii globaleşi condiţiile de repartizare a venitului)şi obiectivelor de politică economică (politica de reglare a cererii globale).

Modelul STAR (Schema Teoretică a Acumulării şi Reportului), carei-a urmat în 1974 modelului DECA (1971) pentru a asigura previziunea petermen scurt, reprezintă o adaptare a structurii modelului la teoriaeconomică de natur ă neo-keynesistă din acea perioadă.

Modelul STAR va fi înlocuit de modelele METRICşi COPAIN.În afara acestor modele de buget economic, administraţiile franceze auelaborat în această perioadă un model pe termen scurt destinat elabor ării previziunilor planului - modelul FIFI.

Modelul FIFI nu se mai bazează strict pe teoria keynesistă, ci esteadaptatşi tipului de economie concurenţială, punându-se un accent deosebit

pe politicile economice care conduc la ridicarea competitivităţii sectoarelor economice.În decursul anilor '80 s-a trecut de la „monopolul administrativ“ la

„pluralismul previziunilor“. În cadrul acestui pluralism al previziunilor auapărut o serie de instituţii private de previziune cum ar fi GAMA (Grupul deAnaliză Macro-Economică Aplicată) al Universităţii din Nanterre, precumşialte trei centre de studiu „extra-administrative“, un centru universitar -OFCE (Observatorul Francez al Conjuncturilor Economice), un centru„patronal“ IPECODE (Institutul de Previziune Economică şi Financiar ă



Modele econometrice

pentru Dezvoltarea Intreprinderilor), un centru „sindical" - IRES (Institutulde Cercetări Economiceşi Sociale) etc.

Deşi în practica economică se utilizează modele econometrice de

volum mare (un număr mare de ecuaţii), totuşi, în special,şi nu numai, pentru înţelegereaşi manipularea acestora, se pleacă de la modele cu unnumăr mai mic de ecuaţii. În acest sens, în continuare, vor fi prezentatecâteva modele econometrice cu ecuaţii multiple de volum mic-folosite dejaîn teoria economică, dar f ăr ă o interpretare econometrică-care vor permitefamiliarizarea cu acest tip de modeleşi o trecere în revistă a etapelor, particularităţilor şi a semnificaţiiilor econometrice pe care le ofer ă acestea.

Exemple de modele cu ecuaţii multiple:

I. Modelul static al lui Keynes:

(I)( )( )⎩

⎨⎧

+=++=

21

t t t

t t t I C V

ubV aC

II. Modelul dinamic al lui Keynes:

(II)( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

++=++=

+=−

321

2121

11

t t t t

t t t

t t

G I C Y uY bY b I

uY aC

unde:

Y t (V t ) = PIB sau venitul naţional sau venitul pe o familie;C t = consumul final sau consumul final al populaţiei sau consumul pe ofamilie;

I t = investiţii sau economii (investiţii) f ăcute de o familie;Gt = cheltuieli publice (consumul final al administraţiei publice);ut = variabilă aleatoare;

T t ,1= = perioada de timp observată.



Modele econometrice

VI. Model privind descrierea econometrică a mărimii şi dinamiciiconsumului populaţiei:

(VI)

( )( )( )

( )( )⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−++=+−+=

+++=+++=+++=

−

−−

54321

4110

3210

21210

11210

t t t t t t

t t t t

t t t t

t t t t

t t t t

G p Im Exp I C V uV V d d P

u P cV cc p ImuV bV bb I uC aV aaC

( )

unde: Impt = importul;

P t = preţul relativ al produselor interne raportat la preţul produselor de pe piaţa externă;

Expt = exportul.

VII. Modelul descrierii spiralei preţurilor (a inflaţiei)şi a salariilor:

(VII) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+++=++=

21

2210

110

t t pt t

t t pt

uW b I bbS uS aa I

sau:

(VIII)( )( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

++++=

+++=

−

−

2

1

213210

11210

t t t pt t

t pt t

pt

uS bW b I bbS

u I aS aa I

unde: pt I = indicele costului vieţii;S t = salariul mediu;

W t = productivitatea muncii.




Modelele de mai sus au mai mult un rol didactic. Ele pot fi folositeînsă atât în scopuri explicative (euristice) sau chiar decizionale. În practicaeconomică, la nivelul economiilor naţionale, se folosesc, în general, modele

de dimensiuni mari – sute sau chiar mii de ecuaţii.Un model cu ecuaţii multiple descrie, fie totalitatea tipurilor derelaţii econometrice – relaţii de comportament economic, de identitate,instituţionale sau tehnologice – fie doar anumite tipuri, ca, de exemplu:modelul (II) este format dintr-o ecuaţie de comportament sociologic (1),dintr-o ecuaţie de comportament financiar (2)şi dintr-o ecuaţie de identitate(3). De reţinut că într-un astfel de model variabilele endogene pot jucaşi rolde variabile explicative.

Variabilele endogene sunt cele variabile care apar numai în parteastângă a ecuaţiilor, iar cele exogene apar numai în partea dreaptă a acestora.

Astfel, modelul (II) este format din trei variabile endogene,C t , V t şi I t şi din două variabile exogene,V t-1 şi Gt . Aceste tipuri de modele seconstruiesc, mai întâi, sub formă structurală. Un model cu ecuaţii multipleeste sub formă structurală atunci când reprezintă descrierea formală a uneiteorii economice cu privire la procesul sau sistemul economic analizat. Decele mai multe ori, forma structurală a unui model econometric se deducedin schema logică a dependenţelor şi interdependenţelor dintre fenomenelece definesc procesul economic descris de model.

De exemplu, modelul (I) poate fi reprezentat sub următoarea formă:

Vt

Ct It

Figura 7.1.1



Modele econometrice

Modelul (VIII) poate fi fundamentat pe o schemă de forma:

StIpt

Wt St-1Ipt-1

Figura 7.1.2

Modelele cu ecuaţii multiple se pot construi sau pot fi întâlnite subdouă forme:

- modele cu ecuaţii simultane;- modele recursive.

7.2 Forma structural ă şi forma redus ă a unui model cu ecua ţ iisimultane

Un model econometric cu ecuaţii multiple se elaborează sub formă structurală, adică el reprezintă transpunerea formală a teoriei economicereferitoare la procesul economic investigat prin intermediul unui sistem deecuaţii.

Forma structurală este forma iniţială a modelului, aşa cum a rezultatîn urma etapei de specificare, reprezintă structura (elementeşi conexiuni)

procesului descris.Etapa de specificare constă în alegerea variabilelor endogeneşistabilirea numărului de ecuaţii din forma structurală, alegerea numărului devariabile factoriale considerate determinante pentru evoluţia fiecăreia dintrevariabilele endogene, stabilirea formei fiecărei ecuaţii de regresie, definirearelaţiilor de identitate, dacă există.




În general, un model econometric cu ecuaţii multiple descrie fietotalitatea tipurilor de relaţii econometrice – relaţii de comportamenteconomic, de identitate, instituţionale sau tehnologice - , fie doar anumite

tipuri. Într-un astfel de model, variabilele endogene pot juca rolşi devariabile explicative. Variabilele endogene sunt cele care apar numai în partea stângă a ecuaţiilor modelului, iar cele exogene apar numai în parteadreaptă a acestora.

Forma generală a unui model este forma în care toate variabileleendogene sunt în acelaşi timpşi variabile exogene. În general, modelele cuecuaţii simultane sunt reprezentate de acele modele cu ecuaţii multiple încare toate variabilele endogene apar în toate ecuaţiile modelului. În unelecazuri particulare, variabilele endogene apar numai în anumite ecuaţii,nerespectând o anumită regulă, o anumită ordine în succesiunea ecuaţiilor modelului.

Sub formă generală, un model cu ecuaţii simultane, în formă structurală, se prezintă astfel:

t mt mt t nt nt t t u xc... xc xc yb... yb yb y 1121211113132121 =++++++++ t mt mt t nt nt t t u xc... xc xc yb... yb y yb 2222212123232121 =++++++++

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(7.2.1)nt mt nmt nt nnt t nt nt n u xc... xc xc y... yb yb yb =++++++++ 2211332211

unde:T t ,1= , T = numărul perioadelor observate;

ni ,1= , n= numărul variabilelor endogene, yi;m j ,1= , m= numărul variabilelor exogene, x j;

bij = parametrii variabilelor endogene yi,, ni ,1= , m , j 1= ; dar pentrui = j ⇒ bij = 1, adică numărul parametrilor variabilelor endogene esteegal cun (n - 1);

cij = parametrii variabilelor exogene x j, n j ,1= , al căror număr este egal

cun⋅ m.



Modele econometrice

Notând cu:

⎟⎟⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

1............1......

...1

...1

21

22321

12212

nn

n

n

bb

bbb

bbb

B matricea parametrilor bij, ataşaţi

variabilelor endogene, de dimensiune (n, n) şi având n (n-1) parametriinecunoscuţi ce vor trebui estimaţi;

⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=nt

t

t

y

y y

Y ...2

1

vectorul valorilor variabilelor endogene, de dimensiune

(n, 1);

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nmnn

m

m

ccc

cccccc

C

...

..................

21

22221

11211

matricea parametrilor cij de dimensiune (n,

m) şi avândn⋅ mnecunoscute;

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mt

t

t

x...

x x

X 2

1

vectorul valorilor variabilelor exogene x j, de

dimensiune (m, 1);

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nt

t

t

u

uu

U ...2

1

vectorul valorilor variabilei aleatoareui, de dimensiune

(n, 1).




Modelul în formă generală cu ecuaţii simultane prezentat sub formă structurală, scris sub formă matriceală devine:

BY+CX=U (7.2.2)

A rezolva un model definit de relaţia (7.2.2) înseamnă a estima cein(n-1) parametribij şi cei n⋅ m parametricij. Un procedeu clasic de a estimacei [n(n-1)+n⋅ m] parametrii constă în aplicarea directă a M.C.M.M.P. Se poate demonstra însă că aplicarea M.C.M.M.P. fiecărei ecuaţii în parteconduce la obţinerea de estimatori deplasaţi, nesemnificativi. Din acest

motiv, estimarea parametrilor unui model cu ecuaţii simultane nu se face pe baza exprimării lui sub formă structurală ci pe baza formei reduse aacestuia.

Forma redusă a unui model structural cu ecuaţii simultane presupuneca toate variabilele endogene ale modelului în formă generală să fieexprimate numai în funcţie de variabilele exogene ale acestuia.

Pornind de la relaţia (7.2.2) , forma redusă a modelului structural cuecuaţii simultane se obţine prin înmulţirea la stânga cu inversa matricei B( B -1):

Y + B -1CX = B -1U (7.2.3)

Rezolvarea modelului în formă redusă (7.2.3) constă în aplicareaM.C.M.M.P. fiecărei ecuaţii a acestuia. În acest sens se fac următoarelesubstituiri:

A = - B -1 C – matricea A având dimensiunean⋅ m şi conţinând aij elemente, ( ni ,1= ; m j ,1= );

Z = B -1U – vectorul coloană a variabilei aleatoare.Astfel, forma redusă a modelului devine:

Y = A X + Z (7.2.4.)



Modele econometrice

În urma aplicării M.C.M.M.P. modelului în formă redusă, (7.2.4.), sevor obţine valorile celor n⋅ m estimatoriâij , respectiv elementele matricei Â,de dimensiunen⋅ m:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnnn

m

m

aaa

aaaaaa

A

ˆˆˆ.........................ˆˆˆˆˆˆ

ˆ

21

22221

11211

K

K

K

:

7.3 Identificarea modelului cu ecua ţ ii simultane

Etapa identificării este operaţia prin care se revine la formastructurală, plecând de la forma redusă a modelului, deoarece numai subformă structurală modelul are semnificaţie economică. Estimarea parametrilor formei structurale pe baza estimatorilor formei reduse senumeşte identificarea modelului cu ecuaţii simultane în formă redusă.

Matriceal, această operaţie presupune estimarea parametrilor matricei Bşi ai matricei C,bij şi cij, în număr de [n(n-1)+n⋅m], pornind de lan⋅ m parametrii estimaţi ai matricei A, âij, cunoscuţi: B-1

⋅C = Â, adică estimarea a [n(n-1)+n⋅m] parametri (necunoscute), dispunând den⋅ mecuaţii,ceea ce, matematic, nu e posbil. De aici apar trei situaţii:

1) Dacă numărul zerourilor din matricele Bşi C este egal cun(n-1),respectiv dacă în matricele Bşi C există n(n-1) zerouri, atunci modelul este just identificat, adică numărul ecuaţiilor, n⋅ m, este egal cu numărulnecunoscutelor, [n(n-1)+n⋅m] – sistem de ecuaţii unic determinat. Prinaplicarea M.C.M.M.P. asupra formei reduse a modelului rezultă estimatorii parametrilor acesteia, pe baza cărora se determină parametrii formeistructurale.

2) Dacă în matricele Bşi C există un număr de zerouri mai maredecât n(n-1), modelul este supraidentificat, deoarece există mai multeecuaţii decât necunoscute. În acest caz, estimatorii modelului se calculează cu ajutorul M.C.M.M.P aplicate în mai multe stadii.




3) Dacă în matricele Bşi C există un număr de zerouri mai mic decâtn(n-1), modelul este nonidentificabil, deci există mai puţine ecuaţii decâtnecunoscute - nu vor putea fi calculaţi toţi cei [n(n-1)+n⋅ m] parametriibij şi

cij, dispunând de numain⋅ m valoriâij, respectiv den⋅ m ecuaţii. În acest caz,modelul iniţial va trebui reconstruit.

Un model cu ecuaţii simultane, sub formă structurală, poate fialcătuit din ecuaţii corect identificate, din ecuaţii supraidentificateşi dinecuaţii nonidentificate, respectiv:

- dacă un model cu ecuaţii simultane are o singur ă ecuaţienonidentificată, modelul, în ansamblul său, este nonidentificabil. El va

trebui reconstruit sau se va renunţa la utilizarea sa;- dacă un model cu ecuaţii simultane are o singur ă ecuaţiesupraidentificată, modelul, în ansamblul său, este supraidentificat;

- un model cu ecuaţii simultane este just identificat dacă toateecuaţiile sale sunt corect identificate.

Pornind de la aceste considerente, se pot formula câteva reguli privind identificarea unui model cu ecuaţii structurale:

- dacă numărul variabilelor absente dintr-o ecuaţie este egal cunumărul variabilelor endogene minus unu (n-1), atunci ecuaţia este corect

identificată;- dacă numărul variabilelor absente dintr-o ecuaţie este mai mare

decât numărul variabilelor endogene minus unu, atunci ecuaţia estesupraidentificată;

- dacă numărul variabilelor absente dintr-o ecuaţie este mai micdecât numărul variabilelor endogene minus unu, atunci ecuaţia estenonidentificabilă.

Deşi, teoretic, identificarea unui model cu ecuaţii simultane se poateface fie pe baza ecuaţiei matriceale A= - B-1 C , fie pe baza discuţiei fiecăreiecuaţii în parte, în practica economică se utilizează ultima variantă. Metodadiscuţiei fiecărei ecuaţii este mai simplă, mai rapidă, şi, în plus, permitedepistarea ecuaţiei (sau ecuaţiilor) nonidentificabile care degenerează modelul chiar în etapa de construire a acestuia.



Modele econometrice

7.4 Metode de estimare a parametrilor unui model cu ecua ţ iisimultane

Estimarea parametrilor unui model cu ecuaţii simultane se poaterealiza cu diverse metode în următoarele cazuri:- dacă modelul structural este recursiv (forma structurală coincide

cu forma redusă) fie se aplică M.C.M.M.P. direct fiecărei ecuaţii amodelului structural, fie metoda verosimilităţii maxime;

- dacă modelul structural nu este recursiv (trebuie adus la formaredusă) apar următoarele situaţii:

•

model nonideintificabil→estimarea imposibilă a parametrilor matricelor Bşi C→se construieşte un nou model;• model just identificat→ se poate aplica metoda regresiei

indirecteşi M.C.M.M.P. în două faze;• model supraidentificat→se poate aplica M.C.M.M.P. în două

faze sau în trei faze, metoda verosimilităţii maxime cu informaţie limitată – metoda comisiei Cowles, metoda variabilelor instrumentale, metodaverosimilităţii maxime cu informaţie completă.

În mod curent, pentru ultimele două cazuri se utilizează următoarelemetode:

- metoda regresiei indirecte;- M.C.M.M.P. aplicată în două faze;- M.C.M.M.P. aplicată în trei faze.

Metoda regresiei indirecte se aplică numai în cazul modelelor corectidentificate. Cu ajutorul acesteia se estimează parametrii formei reduse amodelului prin aplicarea M.C.M.M.P. fiecărei ecuaţii în parte, după care, pe baza acestora, se estimează parametrii formei structurale.

M.C.M.M.P. în dou ă faze , prezentată de H. Theil în 1958, se poateutiliza la estimarea parametrilor unui model cu ecuaţii simultane, atât încazul modelelor supraidentificate, câtşi în cazul modelelor corectidentificate. Aplicată în acest ultim caz, această metodă conduce la rezultateidentice cu cele obţinute cu ajutorul metodei regresiei indirecte.




Estimarea parametrilor unui model cu ecuaţii simultane cuM.C.M.M.P. în două faze presupune efectuarea următoarelor operaţii:

- Faza I : se regresează fiecare variabilă endogenă a modelului

numai în funcţie de variabilele exogene ale acestuia; se estimează parametriiacestor ecuaţii cu ajutorul M.C.M.M.P.şi se calculează valorile teoretice(ajustate sau estimate) ale variabilelor endogene pe baza ecuaţiilor respective.

- Faza II : în ecuaţiile formei structurale a modelului, în carevariabilele endogene apar ca variabile exogene, se vor introduce valorileacestora estimate în Faza I; se va aplica din nou M.C.M.M.P. ecuaţiilor

structuraleşi se vor obţine estimatorii parametrilor modelului cu ecuaţiisimultane.

M.C.M.M.P. în trei faze a fost propusă de A. Zellner şi H. Theil.Aceasta presupune, într-o primă etapă, aplicarea M.C.M.M.P. în două fazeîn vederea unei estimări preliminare a parametrilor formei structurale, după care se efectuează o reestimare pe ansamblu a modelului prin intermediulM.C.M.M.P. generalizate. Autorii au demonstrat că această metodă este mai

eficientă decât M.C.M.M.P. în două faze, dar e mai sensibilă la erorile despecificare a modelului.

Faza I:Fie modelul:

(I) BY + CX = U (forma structurală)(II) Y = AX + Z (forma redusă)

- se consider ă prima ecuaţie a modelului în formă structurală

(7.2.1) , care se mai poate scrie astfel:

t mt mt t nt nt t t u xc xc xc yb yb yb y 1121211113132121 ...... +−−−−−−−−= (7.4.1)

Variabila endogenă y1t se mai poate scrie astfel:

( ) ( )t

mt

t

mnt

t

nt u

x

xcc

y

ybb y

1

1

111

2

1,121,,, +

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −= MKMK



Modele econometrice

sau matriceal:

1111 U X cY bY +′−′−= (7.4.2)

- se estimează y2t , …, ynt, rezultând valorile ajustate ale variabileiendogene:

Y = Ŷ + z (7.4.3)

Faza II:În ecuaţia (7.4.2) se înlocuieşte Y cu valoarea sa estimată rezultând:

( ) 1111 ˆ U X c zY bY +′−+′−= ⇒ ( ) zbU X cY bY 11111 ˆ ′−+′−′−=

1111 ˆ η+′−′−= X cY bY (7.4.4)

- se calculează valorile estimate ale variabilei reziduale z:

Y Y z ˆˆ −=

- - se estimează matricea varianţelor şi covarinţelor reziduurilor:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

=Ω

t nt

t t nt t t

t t t nt t t t t

z

z z z

z z z z z

T ˆ

2

222

12121

1

MO

MOMO

KKK

O

K




Faza III:Ştiind că Y, X şi U sunt vectori formaţi din T elemente, sub formă

matriceală, Y 1 va fi de forma:

1111 U DW Y +⋅= (7.4.5)

unde:W 1 = matricea definită plecând de la variabilele (Y 2 , …:X 1, …); D1 = matricea definită plecând de la parametriibij şi cij ce urmează a fi

estimaţi.

Această relaţie este valabilă şi în cazul celorlalte variabile endogene,rezultând astfel următorul sistem de ecuaţii:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+⋅=

+⋅=+⋅=

nnnn U DW Y

U DW Y U DW Y

M2222

1111

Acesta se mai poate scrieşi matriceal astfel:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nnnn U

U U

D

D D

W

W W

Y

Y Y

MMOM2

1

2

1

2

1

2

1

0

0

sau:Y= W D + U (7.4.6)

Se estimează apoi global matricea parametrilor D cu ajutorulM.C.M.M.P. generalizată:

( ) ( Y W W W D 111 ˆˆˆ −−− Ω′Ω′= ) (7.4.7)

D este estimatorul obţinut prin M.C.M.M.P. în trei faze.



Modele econometrice

De reţinut că toate metodele de estimare a parametrilor unui modelcu ecuaţii simultane se fundamentează pe ipotezele de aplicare aM.C.M.M.P. În acest sens, în toate etapele sau fazele de aplicare a

M.C.M.M.P. se va realiza discuţia econometrică a fiecărei ecuaţii privindacceptarea sau non-acceptarea ipotezelor, verificarea semnificaţieiestimatorilor şi a modelului respectiv.

7.5 Exemple de modele cu ecua ţ ii simultane

Cazul 1 Model corect identificat - modelul static al lui KeynesFie modelul I :

(I)( )( )⎩

⎨⎧

+=++=

21

t t t

t t t

I C V ubV aC

Semnifica ţ ia economică a modelului1

- venitul unei familii este utilizat pentru consumşi pentru investiţii(economii) sau PIB este destinat consumului finalşi investiţiilor- veziecuaţia (2);

- consumul unei familii constă din consumul autonom (sau stocurilede bunuri existente la începutul perioadeit ), exprimat dea şi din cheltuireaunei păr ţi din venitul obţinut în perioadat - vezi ecuaţia (1). De regulă,

a > 0, iar [ ]10 ,b∈ ,V C b ∂

∂= = rata marginală a consumului în funcţie de

venit sau P.I.B., respectiv cu câţi lei creşte consumul unui produs, grupe de produse sau consumul total al familiei dacă venitul creşte cu 1 leu,consumulşi venitul fiind exprimaţi în lei.

1 Pentru o analiză economică amănunţită a modelului static al lui Keynes, vezi J. M. Keynes"Teoria generală a folosirii mâinii de lucru, a dobânziişi a banilor", EdituraŞtiinţifică,Bucureşti, 1970; P. A. Samuelson "L'Economique", tome 1, Librairie Armand Colin, Paris,1986



Modele econometrice

Sub formă redusă – adică variabilele endogene sunt regresate numaiîn funcţie de variabilele exogene – modelul matriceal de mai sus setransformă în:

Y + ( B-1·C )· X = B-1·U

unde:

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−−

−−

−=⋅

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

−=

−

−

11

1

;11

11

1

1

1

a

ba

bC B

bb

B

Notând cu:

U B Z bb

bb

aC B A ⋅=−

=−

=−

=⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ =⋅−= −− 1

212

11 ;1

1;1

;1

; β β α β α

β α

modelul sub formă redusă devine:

Y + A·X = Z

Prin aplicarea M.C.M.M.P. celor două ecuaţii ale modelului redus:

( )

( )⎩

⎨⎧

++=

++=

4

32

1

t t t

t t t

z I V

z I C

β α

β α

se estimează parametrii matricei A:

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

2

1ˆˆ

ˆˆˆ β α

β α A




Identificarea modelului (I) presupune estimarea parametrilor matricelor B şi C . Această operaţie se deduce din:

bbbba −=−=−= 1 1;1;1 21 β β α

respectiv:

2ˆˆˆˆ1

ˆˆ β

α α =⇒

−= a

ba

2

11

ˆ

ˆˆˆ1

ˆˆ β

β β =⇒

−= b

b

b

b11ˆ2 −

= β

Deoarece toţi parametrii modelului sub formă structurală au putut fiestimaţi, rezultă că modelul (I) este just identificat.

Aceeeaşi concluzie s-ar fi obţinut şi prin analiza elementelor

matricelor B şi C . Dacă aceste matrice ar fi avut toate elementele nenule ar fi rezultat opt parametri ce ar fi trebuit estimaţi pe baza pe baza celor patrutermeni ai matricei A. Deoarece matricele B şi C au doi termeni nuli,respectiv 2 =n·m(n = 2; m =1) se deduce că modelul este just identificat.

Discuţia econometrică a modelului pe baza fiecărei ecuaţii se axează numai pe ecuaţiile aleatoare ale modelului structural. Ecuaţia (2) fiind de tipcontabil, starea modelului este dată numai de structura ecuaţiei (1). Această

ecuaţie conţine două variabile,C t şi V t , lipsind una, I t . Deoarece în cadrulecuaţiei (1) numărul variabilelor absente (unu) este egal cu numărulvariabilelor endogene minus unu (n –1 = 2 – 1 = 1), ecuaţia (1) este corectidentificată, modelul structural (I) fiind un model corect identificat.

Parametrii unui model cu ecuaţii simultane just identificat pot fiestimaţi fie cu ajutorul metodei regresiei indirecte, fie cu ajutorulM.C.M.M.P. aplicată în două faze.



Modele econometrice

Estimarea parametrilor modelului (I) prin metoda regresiei indirecteAplicarea acestei metode constă în estimarea parametrilor ecuaţiilor

formei reduse cu M.C.M.M.P., după care urmează operaţia de identificare –

estimarea parametrilor formei structurale pe baza estimatorilor formeireduse. Forma redusă a unui model structural constă în regresarea

variabilelor endogene numai în funcţie de variabilele exogene ale acestuia.Obţinerea formei reduse a modelului (I) rezultă în urma efectuăriiurmătoarelor operaţii:

a) se introduce ecuaţia (2) în ecuaţia (1) obţinându-se ecuaţia:

t t t t t t t ubI bC au ) I C ( baC +++=+++=

t t t ub

I b

bb

aC −+−+−=1

111

Se notează cu:

ba−=α

1;

bb−=β

11 ;

=−= t t ub z 11 variabilă aleatoare homoscedastică, independentă, ce

urmează o distribuţie normală, de medie zeroşi abatere medie pătratică σ z =ct.

Se obţine astfel ecuaţia:

t t t z I C ++= 1 β α (3)

b) se introduce ecuaţia (1) în ecuaţia (2) rezultând ecuaţia:

t t t t I ubV aV +++= ⇒ t t t ub I bbaV −+−+−= 1

11

11




Se notează cu:b−=β

11

2 şi se obţine ecuaţia:

t t t z I V +β+α=

2(4)

c) modelul (I), scris sub formă redusă2, se prezintă astfel:

( )( )⎩

⎨⎧

+β+α=+β+α=

43

2

1

t t t

t t t z I V z I C

Prin aplicarea M.C.M.M.P. ecuaţiilor (3) şi (4) se vor obţineestimatorii , şiα 1

ˆ β 2β ai parametrilor α , β 1 şi β 2.d) identificarea modelului cu ecuaţii simultane (I) presupune

estimarea parametrilor a şi b pe baza valorilor estimatorilor α , şi1ˆ β 2β .Estimarea acestora se deduce din notaţiile efectuate anterior:

2ˆˆ

ˆˆ1ˆ

ˆ β

α α =⇒−= ab

a

2

11 ˆ

ˆˆˆ1

ˆˆ β

β β =⇒

−= b

bb

b11ˆ2 −

= β

e) în final se vor efectua calculele necesare verificării semnificaţiei

estimatorilor a şi b , a semnificaţiei modeluluişi a independenţei erorilor.ˆ ˆ

2 Forma redusă a modelului static al lui Keynes are o semnificaţie cunoscută în teoriaeconomică. Ea permite o definire riguroasă şi o explicare logică a conceptelor deaccelerator ( β 1) şi de multiplicator ( β 2), respectiv influenţa investiţiilor asupra creşteriiconsumuluişi a creşterii venitului sau PI.B.-ului.



Modele econometrice

Estimarea parametrilor modelului (I) cu ajutorul M.C.M.M.P.aplicat ă în două faze

Faza 1:Modelul conţine două variabile endogene,C t şi V t , şi osingur ă variabilă exogenă, I t , dar numai variabilaV t esteşi variabilă exogenă în ecuaţia (1). Aceasta se va regresa numai în funcţie de variabila exogenă I t :

t t t w I d cV ++=

Cu ajutorul M.C.M.M.P. se vor estima parametriic şi d . Pe bazavalorilor estimate ale acestoraşi a valorilor variabilei I t , se vor estimavalorile luiV t :

t t I d ˆ c V ˆ +=

Faza 2: În ecuaţia (1) a modelului (I) se vor introduce valorileestimate, :t V ˆ

t t t uV ˆ baC ++=

Parametriia şi b vor estimaţi cu ajutorul M.C.M.M.P., după care sevor continua calculele în vederea acceptării modelului obţinut:

t t V ˆ b a C ˆ += .

Cazul 2 – Model supraidentificat- modelul dinamic al lui Keynes

(II)( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

++=++=

+=−

321

2121

11

t t t t

t t t

t t

G I C Y uY bY b I

uY aC

unde:

Y t = PIB sau venitul naţional;

C t = consumul final al populaţiei;




I t = investiţii;Gt = cheltuieli publice (consumul final al administraţiei publice);ut = variabilă aleatoare;

a1 , b1 , b2 = parametrii modelului econometric ce urmează a fi estimaţi.Trecerea de la forma structurală la forma redusă presupune obţinereaunui nou model, în care variabilele endogene se regresează (depind) numaiîn funcţie de variabilele exogene. Prin simple operaţii algebrice efectuateasupra ecuaţiilor (1), (2), (3) ale modelului (II) se ajunge la modelul(II.F.R.) sub formă redusă:

- se înlocuiesc în ecuaţia (3), expresiile luiC t , I t din ecuaţiile (2)şi(3)

t t t t t GuY bY buY aY +++++= − 212111 ( ) 2112111 uuGY bbaY t t t +++=−− −

11

21

111

11

211

11 ba

uuGbaY babY t t t −−

++−−++−=⇒ −

- expresia obţinută pentruY t se înlocuieşte în primele două ecuaţiiale modelului

11

111112111

11

11

11

21111 ba

ubuauuauaGbaaY ba

baC t t t −−−−+++−−+−−= −

11

11211

11

11

11

21111 ba

ubuauGbaaY ba

baC t t t −−−++−−+−−=⇒ −

( )212

11

211

11

11

11

21111 uY bba

uubGbabY ba

bb I t t t t ++−−++−−+−−= −−

( )11

21112

11

11

11

12

111

1

ba

uaubuG

ba

bY

ba

ab I t t t

−−

−++

−−+

−−

−=⇒

−



Modele econometrice

Deci, modelul sub formă redusă se prezintă astfel:

(II.F.R.) ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−++−−++−=

−−−++−−+−−

−=−−

−++−−

+−−

=

−

−

−

11

21

111

11

2

11

21112

11

11

11

12

11

11211

11

11

11

21

111

1

1111

111

bauuGbaY ba

bY

bauaubuGba

bY baab I

ba

ubuauGba

aY ba

baC

t t t

t t t

t t t

Notând cu:

221

112

11

21

11

1r br

bar

babr

=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−−=

−−=

222211111

211 1 mbr bar aba

bam ===−−=

2111

12 1 r aba

am =−−=

( ) ( )1111111

12

11

2

11

121 1111

1 ar r ar baab

bab

baabn −=−=−−−−−=−−

−=

2111

12 1 r bba

bn =−−=

t zba

ubuau1

11

111111

=−−−+

t zba

uaubu2

11

211121

=−−−+

t zbauu

311

211 =−−

+

unde: z1t , z2t , z3t = variabile aleatoare.




În urma efectuării înlocuirilor, modelul (II.F.R.) în formă redusă devine:

(II.F.R.) ( )( )( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

++=++=

++=

−

−

−

'3211

'2211

'1211

321

t t t t

t t t t

t t t t

zGr Y r V zGnY n I

zGmY mC

Semnifica ţ ia economică a modelului (II)Acesta se fundamentează pe aceleaşi premise economice caşi

modelul (I), dar, prin separarea consumului în două componente,C t =consumul populaţiei şi Gt = cheltuieli guvernamentale (sau consumulstatului), are aplicabilitate numai la nivel macroeconomic.

În plus, faţă de modelul (I), prin introducerea variabilei decalate,Y t-1 – P.I.B.-ul din perioada trecută, capătă un aspect dinamic, ceea ce îl face aptnu numai pentru scopuri explicative, cişi pentru simulări şi prognoză.

Ecuaţia (2) a modelului are suport economic, deoarece, de cele maimulte ori, investiţiile din perioada curentă sunt finanţate din veniturile

perioadei trecute.

Discu ţ ia econometrică a modeluluiModelul (II) conţine trei (n = 3) variabile endogene,C t , I t şi Y t , şi

două variabile exogene,Y t-1 şi Gt . Ecuaţia (1) descrie o relaţie decomportament social, ecuaţia (2) o relaţie de comportament financiar, iar ecuaţia (3) o relaţie contabilă.

Modelul (II) este un model cu ecuaţii simultane sub formă structurală deoarece toate variabilele endogene suntşi variabile exogene înecuaţiile modelului.

Ecuaţia (1) este supraidentificată deoarece numărul variabilelor absente este egal cu trei, număr superior numărului de variabile endogeneminus unu (3 >n – 1 = 3 - 1 = 2).

Ecuaţia (2) este corect identificată deoarece numărul variabilelor absente este egal cu doişi este egal cu numărul de variabile endogene minus

unu (2 =n – 1 = 3 – 1 = 2).



Modele econometrice

Deoarece modelul conţine o ecuaţie de identitate, una corectidentificată şi alta supraidentificată, este supraidentificat, iar estimarea parametrilor formei structurale se va face cu ajutorul M.C.M.M.P. în două

faze. Estimarea parametrilor modelului supraidentificat pe bazaM.C.M.M.P. în două faze

Faza I:VariabilaY t este singura variabilă endogenă care, în ecuaţiile(1) şi (2), esteşi variabilă exogenă. Ca atare, ea va fi regresată în funcţie decele două variabile exogene,Y t-1 şi Gt :

t t t t zGr Y r Y

3211++=

−

Estimatorii şi vor fi determinaţi cu ajutorul M.C.M.M.P., iar, pe baza valorilor acestora, vor fi estimate valorile teoretice ale variabileiY

1r ˆ 2r ˆ t :

t t t Gr ˆ Y r ˆ Y ˆ 211 += − (3’’)

Faza II:În ecuaţiile (1) şi (2) ale modelului structural (II) se vor introduce valorile ajustate,t Y ˆ , obţinându-se ecuaţiile:

t t t uY ˆ aC 11 += (1’’)

t t t t uY bY ˆ b I 2121 ++= − (2’’)

Prin aplicarea M.C.M.M.P. ecuaţiilor (1’’) şi (2’’) vor fi estimaţi parametrii modelului structural )211 b ,b ,a şi apoi va urma testareasemnificaţiei acestora3.

Cazul 3 – Model nonidentificabil - descrierea legii cereriişi a legiiofertei unui anumit produs pe o anumită piaţă în perioada t, T t ,1=

3 Modelul (II) prezintă interes, mai ales teoretic,şi sub formă redusă. Dar, în acest caz,estimatorii formei structurale nu vor avea soluţii unice.




(III)( )( )

( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=

+++=++=

3

21

2210

110

t t

t t t t

t t t

OC

uV b P bbC u P aaO

unde:O = oferta produsului;C = cererea produsului; P = preţul produsului;V = venitul consumatorilor.

Semnifica ţ ia economică a modeluluiModelul prezentat mai sus descrie în mod fidel teoria economică

privind comportamentul agenţilor economicişi al consumatorilor.Ecuaţia (1) arată că producătorii îşi măresc oferta pe măsur ă ce

creşte preţul produsului,a1 > 0.Ecuaţia (2) exprimă corelaţia inversă dintre cerereşi preţ, b1 < 0, şi

importanţa ofertei în satisfacerea nevoilor consumatorilor prin valoarea luib2 , .10 2 ≤≤b

Ecuaţia (3) relevă echilibrul ce trebuie să se manifeste pe piaţa produsului pentru a anihila tendinţele contrare ale creşterii preţului, sporireaofertei şi diminuarea cererii, tendinţe care ar duce la distrugerea pieţei,respectiv la falimentul producătorilor prin dispariţia cererii.

Discu ţ ia econometrică a modeluluiModelul (III) este un model cu ecuaţii simultane sub formă

structurală, care conţine două variabile endogeneC t = Ot = Qt = volumul producţiei ce trebuie să existe pe piaţă şi P t = preţul de vânzare al produsului4, şi o variabilă exogenă, V t = venitul consumatorilor.

4 Deşi, aparent, în ecuaţiile modelului (III), P t apare numai ca variabilă exogenă, ecuaţia (3)relevă o realitate economică – cumpărarea unui produs depinde, în primul rând, de venitulcelor care au nevoie de el.



Modele econometrice

Parametriia1, b1 şi b2 reprezintă ratele marginale ale ofertei înfuncţie de preţ, ale cererii în funcţie de preţul produsuluişi în funcţie devenit.

Ecuaţia (1) este corect identificată, deoarece numărul variabilelor absente, (unu), este egal cu numărul variabilelor endogene minus unu(1 =n – 1 = 2 – 1 = 1).

Ecuaţia (2) este nonidentificată, deoarece numărul variabilelor absente, (zero), este mai mic decât numărul variabilelor endogene minusunu (0 <n – 1 = 2 – 1 = 1).

Modelul (III), conţinând o ecuaţie corect identificată şi unanonidentificabilă, este un model nonidentificabil, adică în etapa deidentificare nu vor putea fi estimaţi toţi parametrii formei structurale.

Estimarea parametrilor unui model nonidentificat se face, atât câteste posibil, cu ajutorul metodei regresiei indirecte. În acest scop, modelulsub formă structurală trebuie adus la forma redusă.

Forma redusă a modelului (III)Pornind de la ecuaţia (3), rezultă că:

(1) = (2)⇒ t t t t t uV b P bbu P aa 2210110 +++=++

⇒ )(112

1111

2

11

00t t t t uu

baV

bab

baab P −

−+

−+

−−= (4)

Se introduce ecuaţia (4) în ecuaţia (2), (C t = Ot = Qt ):

t t t t t t uV buuba

V ba

bbaabbbO 2212

1111

2

11

0010 )(1 ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

+−

+−−+=

⇒11

21211121

11

212121

11

01101010ba

ubuaububV ba

bbbabbba

abbbbbabO t t t t t t −

−+−+−

−++−

−+−=

11

1121

11

21

11

0110ba

ubuaV ba

baba

ababO t t t t −

−+−+−−=⇒ (5)




Notând cu:

0

11

00 α =−−

baab

111

2 α =−bab

t t t zuuba 112

11)(1 =−

−– variabilă aleatoare

011

0110 β =−−

baabab

111

21 β=−baba

t t t z

baubua

211

1121 =−− – variabilă aleatoare

Modelul sub formă redusă va fi de forma:

(III. F.R.)( )( )⎩⎨

⎧

++=++=

43

210

110

t t t

t t t

zV O zV P

β β

α α

Parametriiα0, α1, β0, β1 se estimează cu ajutorul metodei celor maimici pătrate, aplicată fiecărei ecuaţii în parte. Fie 0α , 1α , şiestimatorii acestor parametri obţinuţi cu M.C.M.M.P.

0ˆ β 1 β

Identificarea modelului (III) – estimarea parametrilor modeluluistructural – presupune calcularea valorilor celor cinci parametrii,necunoscuţi (a0 , a1 , b0 , b1 , b2), pe baza a patru estimatori, cunoscuţi ( 0α ,

1α , şi ), utilizând relaţiile:0ˆ β 1

ˆ β

11

000ˆ

baab

−−=α

11

21ˆ

ba

b

−

=α



Modele econometrice

11

01100

ˆba

abab−−= β

11

11

1ˆ

baba

−= β

În lipsa unei alte relaţii între parametrii modelului structural, din cele

patru relaţii de mai sus, nu va putea fi estimat decât parametrula1:

1

11

1

1

11

2

11

11

ˆˆ

ˆˆˆ

:α β

α β =⇒=

−−a

bab

baba

În practica economică, uneori, în cazul modelelor nonidentificabile,estimat

.6 Modele recursive

Spre deosebire de modelele cu ecuaţii simultane, care permitdescrie

neralizată, un model recursiv este descris ajutorulurmăto

(7.6.1)

orii modelului structural se determină cu ajutorul M.C.M.M.P.aplicată direct ecuaţiilor acestora. Dar, de cele mai multe ori, estimatoriiobţinuţi nu sunt semnificativ diferiţi de zero.

7

rea relaţiilor de interdependenţă dintre variabilele endogene ale unui proces sau sistem economic, modelele recursive constau în construirea unor ecuaţii care se înlănţuiesc logic, variabilele endogene din ecuaţiile precedente devin variabile exogene în ecuaţiile următoare, adică variabileleendogene respectă o anumită regulă, o anumită ordine, în transformarea lor în variabile exogene.

Sub formă gerului sistem de ecuaţii:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+++++++

=++++++=+++++

nmnmnnnnn

mm

mm

u xc xc xc y yb yb

u xc xc xc y ybu xc xc xc y

KK

KK

KK

22112211

222221212121

112121111

..............................................................................................




care, sub formă matriceală, devine:

nn

mm

mnnn

m

m

mnn

nnn

nnu

u

u

x

x

x

ccc

ccc

ccc

y

y

y

bb

bMM

K

K

K

M

K

K

K

2

1

1,

2

1

1,21

22221

11211

,

2

1

1,21

21

,

..........................1

.......................01001

(7.6.2)

sau BY + CX = U , unde matricea B este o matrice triunghiular ă, adică toţi

poate demonstra că estimatorii rezultaţi in urmaaplicăr

forma generală a unui model recursiv, se pot elaboramultipl

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

parametrii matricei B situaţi deasupra diagonalei principale a acesteia suntnuli , b

ij = 0 pentru j > 1.În acest caz, seii directe a M.C.M.M.P. fiecărei ecuaţii a modelului recursiv sunt

nedeplasaţi, convergenţi şi eficace, dacă pot fi acceptate ipotezele pe care sefundamentează M.C.M.M.P., respectiv că metoda verosimilităţii maxime, înaceastă situaţie, constă în estimarea parametrilor ecuaţiilor structurale cuajutorul M.C.M.M.P.

Pornind de lae forme teoretice particulare, cum ar fi, de exemplu:Modelul A:

( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

+++=++=

++=

321

22312213

3312

122111

u xb xb yb y x y y y

u xa xa y

Modelul A conţine trei variabile endogene, y1 , y2 , y3 , (n = 3) şi treivariabi

2 =n – 1 = 3 – 1 = 2.

le exogene, x1 , x2 , x3. Ecuaţia (2), fiind o ecuaţie de identitate, f ăr ă parametrii de estimat, nu necesită o discuţie econometrică. Ecuaţia (1) este oecuaţie supraidentificată, deoarece numărul variabilelor absente - trei -estemai mare decât numărul variabilelor endogene minus unu: 3 >n – 1 = 3 – 1= 2, iar ecuaţia (3) este corect identificată, deoarece numărul variabilelor absente – doi- este egal cu numărul variabilelor endogene minus unu:



Modele econometrice

Acest model, fiind un model supraidentificat, estimatorii săi vor trebui determinaţi cu ajutorul M.C.M.M.P. în două faze, dar, o analiză econometrică a modelului structural A, va releva că acesta este un model

recursivşi, ca atare, estimatorii acestuia pot fi calculaţi cu o metodă maisimplă – M.C.M.M.P. aplicată direct celor două ecuaţii structurale, (1)şi(3).

Astfel, dacă ecuaţia (2) se introduce în ecuaţia (3), aceasta devine:

2231233113 )( u xb xb x y yb y +++++= ⇒ ( ) 223123111311 u xb xb xb yb yb =−−−−− (4)

Modelul A, descris pe baza ecuaţiilor (1)şi (4), se transformă în:

=−−−−+− 23123123111 1 u xb xb xb y )b( yb care, sub formă matriceală, se prezintă astfel:

−−−+⎟⎟ ⎠⎜

⎜

⎝ ⋅⎟⎟ ⎠⎜⎜

⎝ −− 2

1

3

2

1

132311

01 u

u

x x x

bbb ybb

Matricea B din ecuaţia matriceală BY + CX = U , fiind o matriceiunghiular ă, este de forma:

⎝ −− 11 1 bbrezultă că modelul A, de de cele trei ecuaţii structurale ale modelului,este un model recursiv.

⎩⎨⎧ =+−−+ 122111 u xa xa y KK

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ⋅⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −− ⎞⎛ ⎞⎛ 21101 aa y

tr

⎟⎟ ⎞

⎜⎜⎛ =

01 B

⎠scris




Modelul B:

( )

( )⎩⎨ + 211

1

y yb

⎧

=+

=++

2

1212

111

u xa

u xa y K

Modelul B este un model cu ecuaţii multiple sub formă structurală,construit pe baza a trei variabile, două endogene, y1 , y2, (n = 2) şi unaxogenă, x1.

ărul variabilelor endogene minus unu(1 = 2 -

rită ecuaţiei (2), modelul B este un model nonidentificabil, adică nu va p e

ata că B, matricea parametrilor variabi

eDacă acesta este tratat ca un model cu ecuaţii simultane rezultă că:

- ecuaţia (1) este corect identificată, deoarece numărul varibilelor absente - 1 este egal cu num1);- ecuaţia (2) este nonidentificată, deoarece numărul variabilelor

absente (zero) este mai mic decâtn – 1 = 1.

Datout a fi estimat decât parametrula1. Dar, dacă se va pleca de la forma

generală a modelului structural, se va constlelor endogene, este o matrice triunghiular ă:

( )( )⎩

⎨⎧

=++=+⋅+

210

212211

11121

u xa y ybu xa y y

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ =⋅⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ⋅⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝ ⎛

2

11

2

1

2

1

1 101

uu

xaa

y y

b

BY + CX = U

Modelul B, fiind un model recursiv, estimatorii acestuia pot ficalcula l M.C.M.M.P. aplicată direct celor două ecuaţiitructurale.

ţi cu ajutorus



Modele econometrice

Exemple de modele econometrice recursive

eoria economică a unui proces

(I )- Estimarea legii cererii unui anumit produs:

Există numeroase cazuri în care, urmând tsau sistem economic, dependenţele şi interdependenţele dintre

fenomenele economice pot fi descrise cu ajutorul modelelor de acest tip, ca,de exemplu:

Modelul

( )( )

( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

+++=

++=++=

3

21

3222103

21102

11101

u xc ycc y

u ybb yu xaa y

Modelul se mai poate scrie astfel:

( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=−−+−=−+−=−−

321

3220321

20211

11101

u xcc y ycub y ybu xaa y

r, sub formă matriceală:

BY + CX = U

Semnifica ţ ia economică a modelului

nde în mod evident de volumul produc

(a0 < 0şi a1 < 0);

ia

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

3

2

1

2

1

20

0

10

3

2

1

1

1

1

000

0

1001001

uuu

x x

ccb

aa

y y y

cb

• costul unitar de producţie, y1 , depiţiei acestuia, x1. Din punct de vedere economic, costul ar trebui să

scadă pe măsura creşterii producţiei, ca urmare a cheltuielilor constante




• preţul de vânzare, y2, este determinat în mod hotărâtor de costulunitar de producţie, y1, (b1 > 0);

veniturile consumatorilor, x2 (c2 > 0).

odelul (I) este un model cu ecuaţii multiple sub formă structurală,având 2 , y3, şi două exogene, x1 şi x2.Înlănţu

⎜⎜⎜

⎝ −−=

1001

1

1c

b B .

Acest model, fiind un model recursiv, parametrii săi pot fi estimaţiu ajutorul M.C.M.M.P. aplicată fiecărei ecuaţii a modelului structural.

Mo

( )++=

21u yaa y

Semnifica ţ ia economică a modelului (II) Modelul (II) descrie legea ofertei pe baza relaţiilor de

nterde cuaţia (1) reprezintă relaţiaclasică

• cererea produsului , y3, este influenţată negativ de preţul devânzare, y2 (c1 < 0),şi pozitiv de

Discu ţ ia econometrică a modelului

Mcinci variabile, trei endogene, y1 , yirea cauzală dintre variabilele endogene fiind succesivă, modelul este

de tip recursiv. Această concluzie rezultă şi din analiza matricei B, matricea parametrilor variabilelor endogene, care este triunghiular ă:

⎞⎛ 001

⎟⎟⎟

⎠

c

delul (II)- Estimarea legii ofertei unui produs agricol:

( )( )⎩

⎨⎧

+−++= ++ 2111211012

12101

t t t t t

t t t

u y yb ybb y

pendenţă dintre preţ ( y1) şi ofertă ( y2). Eia legii ofertei(a1 > 0), iar ecuaţia (2) se fundamentează pe ipoteza de

anticipare a preţului de către producătorii agricoli. În acest domeniu, reacţia producătorilor agricoli la evoluţia preţurilor este, în general, de un an. Deexemplu, suprafaţa care va fi însămânţată cu grâu în anult depinde de preţuldin acel an, dar şi de informaţiile pe care le posedă producătorii



Modele econometrice

(informaţiile din domeniul respectiv) privind abaterile dintre preţurileefective ( pt+1) şi preţurile anticipate ( pt ).

Disc ţ ia econometrică a modeluluu i II Acest model este un model cu ecuaţii multiple, având patru variabile,

două e = y2t şi x2 = y1t+1 - y1t .

ţia (1),modelu

−=

10

1b B

Modelul (II), fiind de tip recursiv, estimatorii parametrilor modeluluie pot calcula cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicată direct celor două ecuaţii ale

modelu

odele de tip recursiv, modelul descrierii econometrice aformăr

domeniulmanag

patibilitate) a structurii modelelor cu ecuaţiisimulta

ndogene, y1t şi y2t+1, şi două exogene, x1

Deoarece variabila endogenă y1t explică în ecuaţia (2) variaţia întimp a variabilei endogene y2t+1, dar aceasta nu figurează în ecua

l (II) este de tip recursiv; matricea parametrilor variabilei endogenefiind de forma:

⎛ 1⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝

slui, aceştia fiind, în acest caz, estimatori nedeplasaţi, convergenţi şi

eficienţi.Alături de cele două modele econometrice prezentate mai sus, mai pot fi amintite, ca m

ii preţului de echilibruşi modelul optimizării profitului5.De reţinut, în final, că modelele econometrice cu ecuaţii multiple

reprezintă, în prezent, principalul instrument de lucru înementului –la nivel micro sau macro-economic – pentru o

fundamentare mai riguroasă şi nu intuitivă sau descriptivă a deciziilor. Înacest sens, modelele de acest tip pot fi folosite cu precădere în activităţi deexplicare, simulareşi, în special, la estimarea probabilă a evoluţiilor fenomenelor economice.

O problemă care r ămâne deschisă se refer ă la gradul de similitudine(de pertinenţă sau com

ne şi a modelelor recursive cu structura proceselor sau sistemelor

5 Vezi – O. Tănăsoiu, A. Iacob - Econometrie – studii de caz, lito ASE, Bucureşti, 1998




economice pe care o descriu. Opiniile cu privire la acest subiect suntîmpăr ţite.

Preferinţa noastr ă se îndreaptă însă spre modelele recursive, utilizate

în spec ustificată astfel:o dependenţă mutuală,

f ăr ă n

modificarea factorilor nueste, în gen

estimarea parametrilor unui model recursiv este mai simplă şimai rap ă.

7.7 Simularea şi prognoza modelelor cu ecua ţ ii multiple

odelele cu ecuaţii multiple se folosesc în aceleaşi scopuri caşimodele

ial ca modele operaţionale.Această preferinţă poate fi j- modelele cu ecuaţii simultane presupunici o prioritate sau înlănţuire cauzală, logică între variabilele

economice, în timp ce modelele recursive descriu dependenţe cauzaleunilaterale, ce pot fi ordonate în funcţie de succesiunea dependenţelor şiinterdependenţelor dintre fenomenele economice;

- în economie, reacţia fenomenelor laeral, simultană6 (în aceeaşi perioadă de timp) mai ales dacă ne

referim la perioade mici de timp – luni sau trimestre. Acest fapt permite, înunele cazuri, ca modelele cu ecuaţii simultane nonidentificate să fietransformate fie în modele recursive, fie în modele corect sausupraidentificate, prin transformarea unor variabile endogene în variabileexogene în anumite ecuaţii, sau prin introducerea acestor variabile cu valoridecalate;

- id În cazul modelelor cu ecuaţii simultane, estimarea parametrilor

necesită calcule laborioase, iar fenomenul de cumulare a erorilor deaproximare poate să provoace distorsiuni semnificative asupra rezultatelor obţinute.

Mle unifactoriale sau multifactoriale. În vederea utilizării acestor

modele la explicarea, simulareaşi prognoza fenomenelor economice, fiecare

6 În economie, fenomenele explozive pot fi considerate ca fenomene rare. Fenomeneleeconomice se manifestă, de regulă, ca fenomene stabileşi staţionare pe termen scurt,şiuneori, chiar pe termen mediu.



Modele econometrice

ecuaţie a modelului - evident, cu excepţia ecuaţiilor de identitate - va trebuitestată econometric, ca în cazul unui model cu o singur ă ecuaţie7.

Acest tip de modele se utilizează cu precădere la fundamentarea

planului de afaceri a unei firme sau la fundamentarea politicilor macroeconomice. În acest caz, pentru variabilele de comandă - adică acelefenomene care pot fi stabilite, controlate sau reglate prin deciziimanageriale- salariile, impozitele, taxele vamale, dobânzile pe tipuri decredite etc. – se determină acele valori posibile, rezultate în urma uneianalize economice, sau probabile din punct de vedere statistic, care,introduse în modelul cu ecuaţii multiple, vor genera intervalele de încredereale variabilelor endogene, respectiv scenariile ce vor rezulta în urma uneisau unor decizii economice.

De asemenea, nu de puţine ori, variabilele endogene se estimează nuîn urma rezolvării modelului econometric, ci prin anchete statistice alemanagerilor privind valorile pe care le anticipează pentru fenomeneleeconomice pe care le pot influenţa, într-o măsur ă mai mare sau mai mică.Un exemplu de endogenizare a variabilelor efect îl poate constitui anchetamanagerilor societăţilor de distribuţie a produselor petroliere privindevoluţia preţului acestora pe următoarele trei luni,şase luni …Pe bazainformaţiilor obţinute se stabilesc, pe cale statistică, valorile probabileşiriscurile ca aceste preţuri să depăşească sau să coboare sub anumite valorilimită. Se consider ă că, în anumite domenii – care nu pot fi precizate decâtîn urma unor experimentări riguroase –, estimarea valorilor probabile aleunor variabile endogene pe baza endogenizării lor prin anchete statisticeconduce la erori mai mici decât cele estimate cu ajutorul unui model

econometric.

7 Vezi Capitolele 3şi 4.




Exemplu de aplicare a modelului cu ecua ţ ii simultane- Modelul dinamic al lui Keynes

Dinamica principalilor indicatori macroeconomici, exprimaţi înmild. lei preţuri comparabile în România, în perioada 1980-1999, se prezintă în tabelul următor:

Tabelul 7.7.1mild. lei preturi comp.(1980=100)

Ani

Consumulfinal al

popula ţ iei

( )t C

Investi ţ ii

( ) I t

Consumul final aladm. publice

( )Gt

PIB

( )V t V t −1

0 1 2=4-1-3 3 4 51980 315,9 228,5 72,5 616,91981 322,2 219,2 76,1 617,5 616,91982 318,1 248,9 75,2 642,2 617,51983 315,9 296,5 68,7 681,1 642,21984 328,2 323,1 69,8 721,2 681,11985 322,5 324,9 73,1 720,5 721,2

1986 326,6 340,8 70,4 737,8 720,51987 344,3 334,0 65,6 744,0 737,81988 350,6 321,7 67,9 740,3 744,01989 352,9 272,2 72,0 697,1 740,31990 381,3 194,8 82,1 658,2 697,11991 319,4 163,0 90,8 573,1 658,21992 295,5 134,3 92,8 522,6 573,11993 298,2 137,1 95,3 530,5 522,61994 305,8 140,0 105,8 551,6 530,51995 345,8 138,4 106,9 591,1 551,61996 373,7 132,7 108,4 614,8 591,11997 359,9 118,0 99,3 577,3 614,81998 343,2 155,5 98,9 597,5 577,31999 326,4 157,6 94,1 578,1 597,5Total 6649,5 12135,3 1689,7 12714,4 12135,3



Modele econometrice

Să se caracterizeze dezvoltarea economică a României în perioada1980-1999 cu ajutorul unui model econometric cu ecuaţii multiple.

Rezolvare:

Pe baza datelor din tabelul de mai sus, dezvoltarea economică aRomâniei în perioada 1980-1999 se poate face cu ajutorul unui modeleconometric cu ecuaţii multiple a cărui formă structurală este:

C a a V u

I b b V b V uV C I G

t t

t t t

t t t t

= + +

= + + += + +

⎧

⎨

⎪

⎩⎪

−

0 1 1

0 1 2 1 2

)

( )

( )( )

1

23

Modelul de mai sus prezintă câteva particularităţi cum ar fi:- prima ecuaţie descrie o relaţie de comportament a consumatorilor;- ecuaţia (2) reprezintă tot o relaţie de comportament, descriind

politica investiţională practicată în perioada 1980-1999, dar având un

caracter dinamic datorită includerii variabilelor decalate care imprimă această tr ăsătur ă şi modelului cu ecuaţii multiple;- ecuaţia (3) reprezintă o relaţie de identitate economică.Modelul cu ecuaţii multiple conţine cinci variabile, dintre care trei

variabile sunt endogene( şi două variabile exogeneC I V t t t , , ( )G V t t , −1 .Discuţia econometrică a modelului cu ecuaţii multiple relevă că

modelul este supraidentificat deoarece:- în ecuaţia (1) , numărul variabilelor absente este egal cu 3, număr

superior numărului de variabile endogene minus unu (3-1), ceea ceînseamnă că ecuaţia este supraidentificată;

- chiar dacă ecuaţia (2) este corect identificată ( )2 3 1= − , modeluleste supraidentificat datorită ecuaţiei (1) .

Având această particularitate, estimarea parametrilor modelului seface cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicată în două faze.




Faza I . VariabilaV , care este endogenă în ecuaţia (3) , dar exogenă în ecuaţiile (1) şi (2) , se va regresa în funcţie de variabilele exogeneV şi

, rezultând ecuaţia:

t

t −1

Gt

t t t t wGV V +⋅℘+⋅+= −1 β α

Se aplică M.C.M.M.P. în vederea estimării parametrilor α β , ,℘ şi acalculării valorilor estimate ale variabilei :$V t

( ) ( )∑ ℘−−−=℘=

−20

2

21

t t t t Gˆ V ˆ ˆ V minˆ ,ˆ ,ˆ F β α β α

( ) ( )( )∑ =−℘−−−⇒=′=

−20

20120

t t it t Gˆ V ˆ ˆ V ˆ F β α α

( ) ∑ ∑ ∑=℘++−⇒= =

−20

2

20

2

20

211

t t t t t t V Gˆ V ˆ ˆ n β α

=

( ) ( )( )∑ =−℘−−−⇒=′=

−−20

211 020

t t t t t V Gˆ V ˆ ˆ V ˆ F β α β

∑ ∑ ∑=℘++∑⇒= = = −−−= −

20

2

20

2

20

2 11

2

1

20

2 1 t t t t t t t t t t V V V Gˆ V ˆ V ˆ β α

( ) ( )( )∑ =−℘−−−⇒=℘′=

−20

21 020

t t t t t GGˆ V ˆ ˆ V ˆ F β α

∑ ∑ ∑ ∑=℘++⇒= = = =

−20

2

20

2

20

2

20

2

21

t t t t t t t t t t GV Gˆ V Gˆ Gˆ β α

de unde rezultă sistemul de ecuaţii normale:

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∑ ∑=∑℘+∑+

∑ ∑ ∑ ∑=℘++

∑ ∑ ∑=℘++−

= ==−

=

= = = =−−−−

= = =−

20

2

20

2

20

2

21

20

2

20

2

20

2

20

2

20

211

211

20

2

20

2

20

211

t t t t

t t t

t t t

t t t t t t t t t t

t t t t t t

GV Gˆ V Gˆ Gˆ

V V V Gˆ V ˆ V ˆ

V Gˆ V ˆ ˆ n

β α

β α

β α



Modele econometrice

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=℘++=℘++

=℘++⇒

96731014596582140988328810142582161399787813240328810142580467847463312135

5120962161331213519

,ˆ ,ˆ ,ˆ , ,ˆ ,ˆ ,ˆ ,

,ˆ ,ˆ ,ˆ

β α

β α

β α

(vezi tabelul 7.7.2., coloanele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)Pentru estimarea parametrilor şi şi a valorilor lui s-a

utilizat programul EXCEL, rezultatele obţinute fiind următoarele:

$ , $α β $℘ $V t

6631360 ,ˆ =α

64060 ,ˆ = β 56861 ,ˆ −=℘

Tabelul 7.7.2

V t 1−t V t G 21−t V 1−t t V G 1−t t V V 2

t G t t GV t V ˆ

1 2 3 4 5 6 7 8 9617,5 616,9 76,1 380565,6100 46961,5125 380946,1756 5795,0156 47008,4740 636,4676642,2 617,5 75,2 381327,1218 46426,4643 396564,9688 5652,4083 48281,6677 638,3412681,1 642,2 68,7 412411,7208 44091,3590 437370,3552 4713,8523 46759,7122 664,3849721,2 681,1 69,8 463839,4545 47549,7390 491148,8427 4874,4833 50349,3160 687,4638

720,5 721,2 73,1 520066,1206 52702,0878 519621,2394 5340,6864 52657,0047 708,0351737,8 720,5 70,4 519176,7387 50724,1583 531622,7564 4955,8080 51940,1484 711,8477744,0 737,8 65,6 544367,1376 48409,7161 548918,7023 4305,0002 48814,4796 730,4194740,3 744,0 67,9 553508,3235 50540,5165 550754,5508 4614,8246 50289,0711 730,7324697,1 740,3 72,0 548014,4784 53294,6079 516046,9672 5182,9201 50185,7558 721,9926658,2 697,1 82,1 485944,2274 57261,2903 458851,7616 6747,3903 54068,8467 678,4064573,1 658,2 90,8 433269,7608 59747,7459 377232,9970 8239,1929 52020,2961 639,9748522,6 573,1 92,8 328443,7246 53183,6893 299522,9996 8611,8400 48500,6622 582,2510530,5 522,6 95,3 273148,8549 49799,5706 277277,0492 9079,2884 50552,2089 546,0233551,6 530,5 105,8 281467,6343 56130,3837 292642,5280 11193,5427 58358,8853 534,5910591,1 551,6 106,9 304261,0899 58947,9113 326045,8934 11420,6396 63168,5255 546,4101614,8 591,1 108,4 349390,4682 64091,0481 363397,2130 11756,6529 66660,3997 569,2636577,3 614,8 99,3 377979,0400 61055,9617 354905,4282 9862,5322 57328,8197 598,7538597,5 577,3 98,9 333275,2900 57094,7218 344957,2493 9781,1249 59096,0049 575,3739578,1 597,5 94,1 357006,2500 56245,8447 345413,3201 8861,4556 54419,3945 595,7881

12096,5 12135,3 1613,2 7847463,046 1014258,3288 7813240,9978 140988,6582 1010459,673 12096,5207

t t t GV V ⋅−⋅+= − 5686,16406,06631,360ˆ1 (vezi tabelul 7.7.2., coloana 9).

Faza II . Deoarece variabila endogenă (vezi ecuaţia (3)) estevariabilă exogenă în ecuaţiile (1) şi (2) , în aces aţii ea se va introducecu valorile estimate în faza I

V t te ecu

( )$V t .




Estimarea parametrilor ecuaţiilor (1) şi ) se va face cu ajutorulM.C.M.M.P. aplicate fiecărei ecuaţii:

(2

110 uV ˆ aaC t t +⋅+= (1)

21210 uV bV ˆ bb I t t t +⋅+⋅+= − (2)

Estimatorii ecuaţiei icăriiM.C.M.M.P.:

2t ˆ a

Calculele s-au efectuat cu ajutorul programului EXCEL, rezultândurmătoarele valori:

(1) , $a 0 şi $a1, rezultă în urma apl

( ) ( )∑ −= =

20 21010 t t V a C mina ,a F −

( ) ( ) ∑=∑+−⇒=′==

20

2

120

2100 10

t t

t t C V ˆ a a na F

( ) ∑ ∑ ∑=+⇒=′= = =

20

2

20

2

20

2

2101 0

t t t t t t t V ˆ C V ˆ a V ˆ a a F

t t t V ˆ , ,V ˆ a a C ˆ ⋅+=⋅+= 0870816827710 ; 246401 , R =

0a s ( ) sa$1 ( )099253 , ( )0830 , 880 ,d =

Procedând în mod analog cu ecuaţia (2) , calculele s-au efectuat tot cuvalori:

ˆˆˆˆ=t b

7453231

, su =

ajutorul programului EXCEL, rezultând următoarele

ˆ I 1121 5198,17333,28622,550 −− −+−=++ t t t t V V V bV b ; 9374,020 = R

( ) sb$0 ( ) sb$1

( ) sb$2 ( )824471 , ( )54180 , ( )49890 , 0d 85 , =

9302302

, su =



Modele econometrice

Verificarea semnificaţiei estimatorilor şi a i se va face pentru fiecare ecuaţie în parte.

- ecuaţia (1)

modelulu

Estimatorii $a 0 , $a1 sunt semnificativ diferiţi de zero, cu un prag desemnificaţie α = 0 05, , dacă se verifică următoarele relaţii:

1122325099253816877

170500 ,t , ,

, sa

; ,a

=>=⇔> 21

0

t k n; −−α

1120483108300870

170501

1

,t , , ,

sa

; ,a

=<==

În urma efectuării calculelor de mai sus se constată faptul că doar este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificaţie

$a 0 α = 0 05, ,

nificativ.că

cu aju ul

$a1 fiind nesem

În vederea verificării ipotezei de independenţă a erorilor se aplitestul Durbin – Watson, care constă în calcularea variabileid tor

relaţiei:

( )88020

2

21

20 2u u d

∑ −3

111 ,

u t

t

t t t

=∑

=

=

=−

Din tabela distribuţiei Du atson, în funcţie de un prag desemnificaţie

rbin – Wα = 0 05, , de numărul variabilelor explicative şi de

umărul de observaţii se preiau valorile teoretice şi ,d =

1=k n 19=n 1811 ,d =

402 . Comparând valoarea calculată a variabileid cu cele două valoriteoretice se constată că 1818800 1 ,d ,d

1=<=< , interval ce corespunde

situaţiei de autocorelaţie pozitivă.




Verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie:

( )( )1;;21

1

11

−−≥

−−−=

k nk c F

Rk n F

α

2 R

454171050 , F ;; , =

45409910607010607017 171050 , F , ,

,* F ;; ,c =<=−=

Deci, raportul de corelaţie este nesemnificativ pentru un prag de

semnificaţie α = 0 05, .

- ecuaţia (2)

rilor:

În urma aplicării testelor t, F şi d se constată că modelul redat deecuaţia (1) este nesemnificativ (invalid).

Verificarea semnificaţiei estimato

1226696782447110 , ,t s k n; =⇔> −−α

862255016050

0

,t ,; ,

b =>− b

122044755418073332

1605011

1

,t , , ,t s

b ; ,k n;

b =>=⇔> −−α

122046334989051981

1605012

2

,t , , ,

t sb

; ,k n;b

=>=−

⇔> −−α

Estimatorii 0b , şi sunt semnificativ diferiţi de zero, cu un pragde semnificaţie

$b1 $b2

α = 0 05, .



Modele econometrice

În vederea v rif ării ipotezei de independenţă a erorilor se aplică testul Durbin –

laţiei:

e icWatson, care constă în calcularea variabilei cu ajutoruld

re

( )

85020

2

22

20

3

2122

,u u

d t t t

=∑ −

=′ =−

u

t t ∑

=

Din tabela distribuţiei Durbin – Watson, în funcţie de un prag de

semnificaţie α = 0 05, , de numărul variabilelor explicativek = 2 şi denumărul de observaţii se preiau valorile teoretice şi

=constată

19=n 0811 ,d = 53. Comparând valoarea calculată a variabileid cu cele două valori

teoretice se că 0818500 1 ,d ,d 12 ,d

=<=′< , interval ce corespundesituaţiei de autocorelaţie ă.

erificarea semnificaţiei raportului de corelaţie

pozitiv

V :

( )1;;2

221−− Rk n

21− R* −−≥= k nk c F k F α

633162050 , F ;; , =

63395485787870187870

216

16205;0 , F , , ,* F ;.c =>=−=

Raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero, cu un prag desemnificaţie 05,0=α .

Descrierea economiei României în perioada 1980-1999 se poate faceu ajutorul multiplicatorilor cu efect direct.c




Multiplicatorii cu efect direct sau multiplicatorii structurali sunt prezentaţi de parametrii modelului sub formă structurală:

- - rata marginală a consumului, care arată că, în perioada 1980-1999,

cu un miliard de lei a PIB-ului din anulanterio

re

1

la o creştere cu un miliard de lei a PIB-ului, consumul final al populaţiei a crescut cu aproximativ 0,1 miliarde lei;

a

- 1 - rata marginală a investiţiilor, care exprimă faptul că, în perioada 1980-1999, investiţiile au crescut cu 2,73 miliarde lei la o creşterecu un miliard de lei a PIB-ului;

b

- - relevă faptul că PIB-ul realizat în anul anterior a avut un efect

negativ asupra creşterii investiţiilor, acestea scăzând cu aproximativ1,52 miliarde lei la o creştere

2b

r.

07_modele cu ec multiple

Documents