0705 constructii geometrice

5/17/2018 0705 Constructii geometrice - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/0705-constructii-geometrice 1/3

139

5. Construcţii geometrice

Prin probleme de construcţie vom înţelege acele probleme de geometrie în carese cere construirea unor figuri geometrice ce satisfac anumite proprietăţi, folosindnumai rigla şi compasul.

Înainte de a considera probleme de construcţie cu rigla şi compasul, EdwinMoise în lucrarea "Geometrie elementar ă" face câteva precizări:

i) Când vorbim de riglă şi compas, înţelegem o "riglă ideală" şi un "compasideal", care trasează liniile drepte şi cercurile exact.

ii) Rigla nu are un marcaj pe ea. O putem utiliza pentru a desena drepte întredouă puncte date, dar aceasta este tot ceea ce putem face cu ea. Nu o putem utiliza

pentru a măsura distanţele dintre puncte sau pentru a vedea dacă două segmente sunt

congruente.iii) Compasul se poate utiliza astfel. Fie un punct P şi un punct Q în plan.

Putem desena atunci cercul cu centrul în P şi care trece prin Q. Aceasta este tot ce putem face cu el. Altfel spus, dându-se un al treilea punct P' nu este permis să mutămvârful compasului în P' şi apoi să desenăm un cerc cu centrul în P' şi de rază PQ. Dinacest motiv compasul este numit nerigid; nu i se poate muta vârful deoarece "cândridici vârful de pe hârtie, compasul se închide".

5.1. Construcţia unor expresii algebrice

5.1.1. Construcţia expresiilor ba + şi ba − )( ba >

Consider ăm numerele pozitive a şi b cu ba > . Pe o dreaptă d consider ăm un punct O şi trasăm un arc de cerc de rază a, până când întâlneşte dreapta d în punctul A.Cu centrul În A trasăm cercul de rază b care va intersecta dreapta d în punctele B şi C(B între O şi A). Lungimea segmentului OC reprezintă expresia ba + , iar lungimeasegmentului OB reprezintă expresia ba − .

d

C

A

bBO

a

b

a



140

5.1.2. Construcţia expresiilor ba ⋅ şiba )( ba >

i) Construcţia expresiei ba ⋅ Trasăm două semidrepte c şi d cu originea comună O. Pe c trasăm segmentul

unitate OA şi segmentul OB se lungime a. Pe semideapta d cu originea în O trasămsegmentul OC de lungime b. Paralela prin B la AC întâlneşte pe d în D. Cu teorema lui

Thales în ∆OBD obţinem:OD

OC

OB

OA= , de unde ba ⋅=

⋅=

OA

OCOBOD .

ii) Construcţia expresieib

a

Trasăm două semidrepte c şi d cu originea comună în O. Pe semidreapta c luăm segmentul unitate OA şi segmentul OB de lungime b. Pe semidreapta d luăm

segmentul OC de lungime a. Prin A ducem paralela la BC care întâlneşte pe c în D. În

∆OBC cu teorema lui Thales obţinem:OB

OA

OC

OD= , de unde

b

a=

⋅=

OB

OAOCOD .

5.1.3. Construcţia mediei aritmetice, geometrice i) Construcţia mediei aritmeticeConsider ăm două segmente de lungimi a şi b )( ba > . Construim segmentului

AB care reprezintă suma ba + . Construim mediatoarea segmentului AB. Mediatoarea

determină pe segmentul AB două segmente congruente care reprezintă numărul2

ba +.

AO B

C

D

d

c

a⋅ b

b

1

b

a

a

AC D

B

a b

a

b

a b+

2



141

ii) Construcţia mediei geometriceConsider ăm două segmente ce au lungimile aşi b )( ba > . Construim

segmentul AB care reprezintă suma ba + . Construim un semicerc de diametru AB.Fie C punctul de pe [AB] cu AC=a. Ridicăm în C o perpendicular ă pe AB careîntâlneşte semicercul în E. Cu teorema înălţimii în triunghiul dreptunghic AEB

(m(∠E)=90°) obţinem: EC2=AC⋅CB sau EC2=a⋅b, de unde ba ⋅=EC .

Aplicaţie. Construcţia expresiei a cu a>0.Este o aplicaţie a construcţiei mediei geometrice pentru numerele 1 şi a (a>0).

5.1.4. Determinarea a două numere când se cunosc suma lor şi mediageometrică

Fie aşi b numere pozitive cu suma ba x += şi media geometrică ab y = .Problema se reduce la construcţia triunghiului dreptunghic cu ipotenuza x şi

înălţimea y.Trasăm diametrul AB reprezentând numărul x. Construim semicercul de

diametru AB. Trebuie să găsim intersecţiile acestui semicerc cu o paralelă d dusă la elde aceeaşi parte cu semicercul faţă de AB situată la distanţa y.

1) Dacă paralela d la AB intersectează semicercul în două puncte distincte E şiK, consider ăm proiecţiile acestor puncte pe AB, adică E' şi K', obţinem perechile desegmente AE' şi E'B respectiv AK' şi K'B, care sunt numerele căutate.

2) Dacă paralela d la AB este tangentă semicercului avem soluţie unică,numerele sunt egale.

3) Dacă paralela d la AB nu intersectează semicercul nu avem soluţie.

a

bE

A C B

a b

a b⋅

E

A C1 a b

a

E

A E' b

K

K'

0705 constructii geometrice

Documents