03._spatii_euclidiene.pdf

8/17/2019 03._Spatii_euclidiene.pdf

1/13

CAPITOLUL 3

SPAŢ II EUCLIDIENE

3.1. Produs scalar

Fie (V,R) un spaţiu vectorial .

DEFINIŢIA 3.1.1.

O aplica ţ ie < , > se numeşte produs scalar real dacă :

1) < x , y > = < y , x > , oricare ar fi .

2) < λ x , y > = λ < x , y > , oricare ar fi R şi oricare ar fi .

3) < x + y , z > = < x , z > + < y , z > , oricare ar fi . 4) < x , x > ≥ 0 , oricare ar fi şi < x , x > = 0 x = 0 .

EXEMPLUL 1 :

Fie V = C [ a , b ] = { f | , f continue } , f , g C [ a , b ]

Prin definiţie, < f , g > = . Să se arate că < f , g > reprezintă un produs

scalar .

1) = = < g , f >

2) < λ f , g > = = λ < f , g >

3) = =

= < f , h > + < g , h >

4) < f , f > = ≥ 0 şi < f , f > = 0 f ( x ) = 0 oricare ar fi x [ a , b ]

presupunem că f ( x ) = 0 < f , f > = = 0

presupunem că < f , f > = 0 = 0

presupunem că 0 pe [ a , b ] există [ a , b ] astfel încât

Dar funcţia f este continuă există V ε astfel încât x V ε f ( x ) 0

f 2 ( x ) 0 > 0 , aceasta fiind o contradicţie cu faptul că

RV V →×:

V x ∈,

V x ∈,

V z ∈,,V x ∈ ⇔

[ ] Rba f →,: ∈

( ) ( )dx x g x f b

a∫

( ) ( ) ( ) ( )

∫∫ =

b

a

b

a

dx x g x f dx x g x f

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫=b

a

b

adx x g x f dx x g x f λ λ

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ +=+b

a

b

a

b

adx xh x g dx xh x f dx xh x g x f

( )∫b

adx x f 2 ⇔ ∈

⇒ ∫b

adx0

⇒ ( )∫b

adx x f 2

≠ f ⇒ ∈ξ ( ) 0≠ξ f

⇒ ∈ ⇒ ≠ ⇒

⇒ ≠ ⇒ ( )∫

−

−

ε ξ

ε ξ dx x f 2

Page 1 of 13Capitolul 3

19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AlgebraRaduSerban/capitolul3.html


2/13

= 0 f ( x ) = 0 , oricare ar fi x [ a , b ] .

EXEMPLUL 2 :

V = Rn x Rn , x = ( x1 , x2 , … , xn )T , y = ( y1 , y2 , … , yn )

T

prin definiţie, < x , y > = .

EXEMPLUL 3 :

V = P 2 [ R ] , f ,g P

2 [ R ]

prin definiţie, < f ,g > = .

PROPRIETÃ Ţ ILE PRODUSULUI SCALAR:

1) Oricare ar fi < θ , x > = < x ,θ > = 0

Demonstraţie : < 0 • θ , x > = 0 • < θ , x > = 0 .

2) < λ x + μ y , z > = λ < x , z > + μ < y , z >Demonstraţie : < λ x + μ y , z > = < λ x , z > + < μ y , z > = λ < x , z > + μ < y , z > .

Consecinţă:< λ x + μ y , λ x + μ y > = λ2 < x ,x > + λ μ < x , y > + μ λ < y , z > + μ2 < y , y > .

3.2. Spaţiu euclidian

Fie (V,R) un spaţiu vectorial finit dimensional , dim V = n .

DEFINIŢIA 3.2.2.

Un spa ţ iu vectorial (V,R) finit dimensional, peste care s-a definit un produs scalar se numeşte pa ţ iu euclidian .

EXEMPLUL 1 : x2

V = R2 , fie X R2 , X( x1 ,x2 )

- x2 •X( x1 ,x2 )

lung || x || =

(lungimea vectorului x ) |< x , x > = x21 + x

22 x1 x1

( )∫b

adx x f 2

⇒ ∈

∈

∑=

n

i

ii y x1

∈

( ) ( )∫1

0dx x g x f

V x ∈ ⇒

∈

22

21 x x +




3/13

|| x || =

EXEMPLUL 2 :(-1,2) • 2-

Fie X( 2 , 1 ) şi Y ( -1 , 2 ) < x , y > = 2( -1 ) + 1• 2 = 0 1- φ •(2,1)

cos φ = | | |

-1 1 2 Observa ţ ie :

Dacă < x , y > = 0 cos φ = 0 φ = deci vectorii x şi y sunt ortogonali.

DEFINIŢIA 3.2.2.

Fie (V,R) un spa ţ iu euclidian . Vectorii x , y V sunt ortogonali dacă < x , y > = 0 .

3.3. Inegalitatea Cauchy – Buniakowski – Schwartz în spaţii euclidiene

Oricare ar fi x , y doi vectori ce apar ţ in spa ţ iului euclidian (V,R) ,| < x , y > | ≤ || x || • || y ||

DEMONSTRAŢIE :

Cazul 1 : < x , y > = 0 inegalitatea este satisf ăcută .

Cazul 2 : < x , y > 0 x θ şi y θ ( conform proprietăţii 1) ) .

Considerăm λ R ( oarecare ) .

= < x , x > - λ < y , x > - λ < x , y > + λ2 < y , y > =

= - 2 λ < x , y > + λ2 ≥ 0

|| x ||2 || y ||2

λ2 || y ||2 – 2 λ < x , y > + || x ||2 ≥ 0 , oricare ar fi λ R .

< x , y >2 - || y ||2 • || x ||2 ≤ 0 < x , y >2 ≤ || x ||2 • || y ||2

|< x , y >| = || x || • || y || .

3. 4 . Produs scalar complex

>< x x,

||||||||,

y x y x

• ><

⇒ ⇒ 2

π

∈ )( y x⊥

⇒

≠ ⇒ ≠ ≠

∈

4 4 4 34 4 4 210

,≥

>−−< y x y x λ λ

321⇓

>< x x,43421

⇓

>< y y,⇔

⇔ ∈

⇔⎩⎨⎧

≤Δ

>

0

0|||| 2 y

⇔ ⇔

⇔




4/13

Fie (V,C) un spaţiu vectorial finit dimensional peste C .

DEFINIŢIA 3.4.1.

O aplica ţ ie < , > : se numeşte produs scalar complex dacă :

1)

< x , y > = , oricare ar fi .

2) < λ x , y > = λ < x , y > , oricare ar fi C şi oricare ar fi .

3) < x + y , z > = < x , z > + < y , z > , oricare ar fi .

4) < x , x > ≥ 0 şi < x , x > = 0 x = θ , oricare ar fi .

COROLAR :< x , λ y > = < x , y >

DEMONSTRAŢIE :

< x , λ y > = = = < x , y > .

EXEMPLUL 1 :

Fie V = C .

, , i = 1 , … , n .

, , j = 1 , … , n .

prin definiţie , = .

DEFINIŢIA 3.4.2.

Fie (V,K) un spa ţ iu euclidian de dimensiune finit ă , unde K este R sau C . Vectorii x , y V

unt ortogonali dacă < x , y > = 0 .

3.5. Elemente ortogonale într-un spaţiu euclidian

Fie (V,K) un spaţiu euclidian , unde K este R sau C .

Fie A V , fie .

DEFINIŢIA 3.5.1.

Vectorul x0 este ortogonal pe mul ţ imea A dacă x

0 este ortogonal pe to ţ i vectorii mul ţ imii A ,

adică :

< x0 , a > = 0 , oricare ar fi a A . ( not ăm )

DEFINIŢIA 3.5.2.

C V V →×

>< y x,

V y x ∈,

V ∈,

V z y x ∈,,

⇔ V ∈

λ

>< x y,λ λ >< x y, λ

( )T nn x x x xC x ,,, 21 K=⇒∈ C xi ∈

( )T n

n y y y yC y ,,, 21 K=⇒∈ C y i ∈

∑=

n

i

ii y x1

∈

⊂ V x ∈0

∈ A x ⊥0




5/13

Mul imea tuturor elementelor ortogonale pe mul imea A se numeşte complementul ortogonalal mul ţ imii A şi-l not ăm astfel :

(1) .

PROPOZIŢIA 3.5.1.

Complementul ortogonal al mul ţ imii A este un subspa ţ iu al spa ţ iului V .

DEMONSTRAŢIE :

Din (1) ştim că mulţimea A este inclusă în spaţiul V .

, oricare ar fi .

, oricare ar fi .

< x + y , a > = < x , a > + < y , a > = 0 , oricare ar fi .

< λ x , a > = λ < x , a > = 0 , oricare ar fi a A .

PROPOZIŢIA 3.5.2.

Fie (V,K) un spa ţ iu euclidian, unde K este R sau C . Fie vectorii x1 , x2 , … , xn V ,nenuli şi ortogonali doi câte doi . Atunci vectorii x1 , x2 , … ,

n sunt liniar independen ţ i .

DEMONSTRAŢIE :

Din ipoteză ştim că , i = 1 , … , n .

, oricare ar fi i , j = 1 , … , n , < xi , x j > = 0 pentru i şi j = = 1 , … , n ,.

Fie combinaţia liniară λ1 x

1 + λ

2 x

2 + … + λ

n x

n = θ .

= 0

θ 0 0 diferit de zero

0 0

, oricare ar fi j = 1 , … , n .

PROPOZIŢIA 3.5.3.

{ } A xV x A ⊥∈=⊥ |

⊥

0, >=⇒=⇒< ∑=

j

n

ii x x ,

||

11 321

λ +>=<

>=< j

j j

j j j

x x

x xλ

λ




6/13

Vectorii x1 , x2 , … , xn V ( unde V este un spa iu euclidian ) , sunt liniar

dependen ţ i = 0 . (3)

DEMONSTRAŢIE :

Presupunem că x1 , x2 , … , xn sunt liniar dependenţi .

i) dacă există xi = θ , atunci detH = 0 .

ii) presupunem că toţi ( i = 1 , … , n ) .

Dacă xi sunt liniar dependenţi, atunci este adevărat f ără ca toţi scalarii λi să fie nuli ( i

= 1 , … , n ) .

= 0 , oricare ar fi j = 1 , … , n θ

- dacă j = 1 = 0

……………………………………… obţinem un sistem liniar şi omogen de n

- dac

ă j = n = 0 ecua

ţii cu n necunoscute.

Sistemul are soluţia nebanală ( din ipoteză ) , deci detH = 0 .

3.6. Baze ortogonale ; Teorema Gramm - Schmidtt

Fie V un spaţiu euclidian real sau complex n dimensional .Fie B = { b1 , b2 , … , bn } o bază în V .

DEFINIŢIA 3.6.1.

Baza B este ortogonal ă dacă , i = 1 , … , n , . ( deci o baz ă este ortogonal ă când

vectorii ei sunt ortogonali doi câte doi )

DEFINIŢIA 3.6.2.

O baz ă ortogonal ă B = { b1 , b2 , … , bn } este ortonormal ă dacă || bi || = 1 , unde i = 1 , … , n

.

∈

⇔ ><

><

><

=

nnnn

n

n

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

H

,,,

,,,

,,,

det

21

22212

12111

K

M

K

K

0≠i x

∑=

=n

i

ii x1

θ λ

>< ∑=

j

n

ii x x ,

||

11 321

λ

>⇒< ∑=

11

, x xn

i

iiλ

⇒

>⇒< ∑=

n

n

i

ii x x ,

1

λ

ji bb ⊥ ji ≠




7/13

EXEMPLUL 1 :

versori ai axelor de coordonate < e1 , e2 > = 0

e2( 0,1 )- || e1 || = || e2 || = 1

|

0 e1( 1,0 )

TEOREMA GRAMM – SCHMIDTT :

Fie V un spa ţ iu euclidian , dim V = n . Atunci exist ă în V o baz ă ortogonal ă .

DEMONSTRAŢIE :

Fie F = { f 1 , f 2 , … , f n } o bază în spaţiul V .

Fie E = { e1 , e

2 , … , e

n } o baz

ă ortogonal

ă .

e1 = f 1

e2 = f

2 + λ

21 e

1

e3 = f

3 + λ

32 e

2

……………… ei = f i + λii-1 ei-1 + λii-2 ei-2 + … + λi1 e1

………………………………………. e

n = f

n + λ

nn-1 e

n-1 + λ

nn-2 e

n-2 + … + λ

n1 e

1

Vom determina scalarii λij ( i = 2, … , n , j = 1 , … , n ) astfel încât e1 , e2 , … , en să fie ortogonalidoi câte doi .

< e1 , e

2 > = < f

2 + λ

21 e

1 , e

1 > = < f

2 , e

1 > + λ

21 < e

1 , e

1 > = 0

şi < e3 , e1 > = 0 şi < e3 , e2 > = 0

< e3 , e

1 > = < f

3 + λ

32 e

2 + λ

31 e

1 , e

1 > = < f

3 , e

1 > + λ

32 < e

2 , e

1 > + λ

31 < e

1 , e

1>= 0

< e3 , e2 > = < f 3 + λ32 e2 + λ31 e1 , e2 > = < f 3 , e2 > + λ32 < e2 , e2 > + λ31 < e1 , e2 >= 0

0, 2121 >=⇒<

><−=

11

1221

,

,

ee

e f λ

13 ee ⊥ ⇒⊥ 23 ee

><

><−=

11

1331

,

,

ee

e f λ




8/13

În general , .

< e I , e1 > = < f I + λii-1 e I-1 + λii-2 e I-2 + … + λi1 e1 , e1 > = < f I ,e1 > + λii-1 < e I-1 , e1 > +

+ λii-2 < e I-2 , e1 > + … + λi1 < e1 , e1 > = 0 .

În general , ( i = 2, … , n , j = 1 , … , n ) .

Am obţinut astfel n vectori e1 , e2 , … , en ortogonali doi câte doi vectorii sunt liniar

independenţi . Ştim că dimensiunea spaţiului este n , deci vectorii e1 , e2 , … , en formează o bază ortogonală .

EXEMPLUL 2 :

Fie ( R3 , R ) un spaţiu euclidian. R3 , x = ( x1 , x2 , x3 )

T ; y R3 , y = ( y1 , y2 , y3 )T

Fie produsul scalar .

Fie F = { f 1 , f 2 , f 3 } unde , , . Fie E = { e1 , e2 , e3 } .

< f 2

+ λ21

e1

, e1

> = 0 < f 2

, e1

> + < e1

, e1

> = 0

< f 2 , e

1 > = 1 , < e

1 , e

1 > = 2

><

><−=

22

2332

,

,

ee

e f λ

121 ,,, −⊥⊥⊥ iiii eeeeee K

⇒ ><

><−=

11

1,

,

ee

e f iiiλ

><

><−=

−−

−−

11

11

,

,

ii

ii

iiee

e f λ

><

><−=

j j

ji

ijee

e f

,

,λ

⇒

∈ ∈

∑=

>=<3

1

,i

ii y x y x

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0

1

1

1 f ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1

0

1

2 f ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0

1

0

3 f

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=

+=

=

13123233

12122

11

ee f e

e f e

f e

λ λ

λ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⇒

0

1

1

1e

⇒⊥ 21 ee ⇔

⇒ 2

1

,

,

11

1221 −=

><

><−=

ee

e f λ




9/13

< f 3 + λ32 e2 + λ31 e1 , e1 >= 0 < f 3 , e1 > + λ32 < e2 , e1 > + λ31 < e1 , e1 >=0

< f 3 , e1 > = 1

< f 3 + λ

32 e

2 + λ

31 e

1 , e

1 >= 0 < f

3 , e

1 > + λ

32 < e

2 , e

1 > + λ

31 < e

1 , e

2 >=0

< f 3 , e

2 > = , < e

2 , e

2 > =

PROPOZIŢIA 3.6.1.

Fie (V,K) un spa ţ iu euclidian, dim V = n şi fie un subspa ţ iu al lui V . Fie B0 = { b1 ,b

2 , … , b

n } . Vectorul a V este ortogonal pe V

0 dacă şi numai dacă a este ortogonal pe B

0 .

DEMONSTRAŢIE :

1) Presupunem că a V este ortogonal pe V 0 < a , x > = 0 , oricare ar fi x V 0 .

Din ipoteză ştim că bi V

0 < a , b

i > = 0 ( i = 1 , … , p ) a B

0 .

2) Presupunem că a B0 < a , bi > = 0 ( i = 1 , … , p ) .

Fie x V 0

x = λ1

b1

+ λ2

b2

+ … + λ p

b p

.

< a , x > = < a , λ1 b

1 + λ

2 b

2 + … + λ

p b

p > = … +

.

3.7. Izomorfismul spaţiilor euclidiene

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1

2

1

2

1

0

1

1

2

1

1

0

1

2e

⇒⊥ 13 ee ⇔

⇒ 2

1

,

,

11

1331 −=

><

><−=

ee

e f λ

⇒⊥ 23 ee ⇔

2

1−

2

3

⇒ 3

1

,

,

22

2332 =

><

><−=

ee

e f λ

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

3

1

3

1

31

0

1

1

2

1

12

12

1

3

1

0

1

0

3e

V V ⊂0

∈

∈ ⇒ ∈

∈ ⇒ ⇒ ⊥

⊥ ⇒

∈ ⇒

+>< 2211 ,, baba λ λ

0, >=


10/13

Fie V şi W două spaţii euclidiene peste corpul K , unde K este C sau R .

DEFINIŢIA 3.7.1.

Spa ţ iul V este izomorf cu spa ţ iul W dacă exist ă bijectivă astfel încât : 1)

φ ( x + y ) = φ ( x ) + φ ( y ) , oricare ar fi x , y V .

2) φ ( λ x ) = λ φ ( x ) , oricare ar fi x V şi oricare ar fi λ K . 3) < x , y > = < φ ( x ) , φ ( y ) > , oricare ar fi x , y V .

TEOREMA 3.7.1.

Fie V şi W două spa ţ ii euclidiene peste acelaşi corp K , dim V = dim W = n . tunci . ( adică două spa ţ ii euclidiene de aceeaşi dimensiune sunt izomorfe ).

DEMONSTRAŢIE :

Fie (V,R) un spaţiu euclidian, dimV = n; fie B = { b1 , b2 , … , bn } o bază în V .

Vom demonstra că V Rn .

Dacă B este o bază în spaţiul V , conform teoremei Gramm – Schmidtt , din B vom puteaconstrui o bază ortonormală .

E={ e1 , e

2 , … , e

n } , ( i = 1 , … , n , ), || e

i ||= 1, || e

i || =

Fie x V ( , i = 1 , … , n )

Fie y V ( , j = 1 , … , n )

Definim , φ ( x ) = ( x1 , x2 , … , xn )T . Funcţia φ este un izomorfism , adică φ

este bijectivă şi : 1) φ ( x + y ) = φ ( x ) + φ ( y ) , oricare ar fi x , y V .

2) φ ( λ x ) = λ φ ( x ) , oricare ar fi x V şi oricare ar fi λ K .

3) < x , y > = < φ ( x ) , φ ( y ) > , oricare ar fi x , y V .

Primele două relaţii sunt evidente. O vom demonstra pe cea de – a treia.

Rezultă astfel că V Rn

W Rn , ψ bijectivă , deci există , bijectivă .

este o funcţie care realizează un izomorfism între spaţiile V şiW .

OBSERVAŢ IE : Demonstraţia în cazul în care corpul de scalari este C este asemănătoare.

( )W V ≅ W V →:

∈

∈ ∈∈

( )W V ≅

≅

ji ee ⊥ ji ≠ >< ii ee ,

∈ ⇒i

n

i

i e x x ∑=

=1

R xi ∈

∈ ⇒ j

n

i

j e y y ∑=

=1

R y j ∈

n RV →:ϕ

∈

∈ ∈

∈

( ) ( )∑∑ ∑ ∑∑∑= = = ===

>====>=


11/13

3.8. Proiecţia unui vector pe un subspaţiu

Fie V un spaţiu vectorial euclidian şi fie V 1 V ( V

1 un subspaţiu liniar al lui V ).

Fie f V şi fie f 0

V 1

astfel încât ( f – f 0

) este perpendicular pe V 1

.

DEFINIŢIA 3.8.1.

Vectorul f 0 cu aceste propriet ăţ i se numeşte proiec ţ ia vectorului f pe subspa ţ iul V 1 . ( f 0 =

r V 1

f )

PROPOZIŢIA 3.8.1.

Dacă exist ă f 0 V 1 , f 0 = pr V 1 f , atunci : || f – f 0 || ≤ || f – f 1 || oricare ar fi

1 V .

DEMONSTRAŢIE :

|| f – f 1 ||2 = < f – f 1 , f – f 1 > = < f – f 0 + f – f 0 , f – f 0 + f 0 – f 1 > = < f – f 0 , f – f 0 > +

+ 2< f – f 0 , f

1 – f

0 > + < f

0 – f

1 , f

0 – f

1 > = || f – f

0 ||2 + 2< f – f

0 , f

1 – f

0 > + || f

0 – f

1 || 2=

= || f – f 0 ||2 +|| f 0 – f 1 ||

2 || f – f 1 ||2 = || f – f 0 ||

2 +|| f 0 – f 1 ||2

|| f – f 1 ||2 ≥ || f – f 0 ||

2 || f – f 1 || ≥ || f – f 0 ||

Imaginea geometrică :

f

f-f 1

f 1 f-f 0

f 0

f 0-f 1

⊂

∈ ∈

∈

∈

⇒

⇒ ⇒




12/13

3.9. Calculul proiecţiei unui vector pe un subspaţiu

Fie V un spaţiu euclidian . Fie V 1 V un subspaţiu al lui V şi fie f un vector

oarecare din V . Presupunem dim V = p există E = { e

1 , e

2 , … , e

p } o bază ortonormală.

Prin definiţia vectorului f 0 ştim că , adică < f – f 0 , x > = 0 , oricare ar fivectorul x din V

1 . ( * )

Din ( * ) şi din faptul că un vector este ortogonal pe un subspaţiu dacă este ortogonal pe vectoriibazei , rezultă că < f – f 0 , ei > = 0 , oricare ar fi i = 1, … , p .

< f , ei > - < f

0 , e

i > = 0 < f

0 , e

i > = < f , e

i > , oricare ar fi i = 1, … , p .

(**) , oricare ar fi i = 1, … , p

pentru că vectorii e1 , e

2 , … , e

p sunt liniar independenţi .

Deci sistemul are soluţie unică c1 , c

2 , … , c

p pe care o înlocuim în relaţia (**) .

EXEMPLUL 1 :

Fie V = R3 , f R3 , f = ( 1 , 2 , 1 )T .

Fie V 1 V un subspaţiu al lui V , .

O bază în V 1 este { e1 , e2 } unde : e1 = ( 1 , 0 , 1 ) şi e2 = ( 0 , 1 , 0 ) .

Trebuie să calculăm f 0 V 1 astfel încât .

0 = c1 e1 + c2 e2 , şi .

⊂

⇒

( ) 10 V f f ⊥−

⇔

10 V f ∈ ⇒ j

p

j

j ec f ∑=

=1

0 >>=⇒>=>=>=>=<

><

><

=

p p p p

p

p

eeeeee

eeeeee

eeeeee

H

K

MK

K

∈

⊂ ( ) }0,,|{ 211T

x x xV xV =∈=

∈ ( ) 10 V f f ⊥−

( ) 10 V f f ⊥− ⇒ ( ) 10 e f f ⊥− ( ) 20 e f f ⊥−




13/13

< e1

,e1

> = 1 ; < e2

, e2

> = 1 ; < f , e1

> = 1 ; < f , e2

> = 2

1 - f c1 = 1 ; c2 = 2 . f 0 = ( 1 , 2 , 0 ) . |

|2

1 f 0

⇒⎩⎨⎧

>>=>=>=>=

03._spatii_euclidiene.pdf

Documents