01 introducere in cinematic

1. INTRODUCERE ÎN CINEMATICA NAVALA. CONVENTII SI TERMINOLOGIE ÎN DOMENIU. MANEVRA

CINEMATICA. DEFINITIA SI DETERMINAREA PARAMETRILOR DE POZITIE, DE MISCARE SI DE

MANEVRA. PROBLEME REZOLVATE ÎN CINEMATICA NAVALA. OPERATII CU VECTORI ÎN CINEMATICA

NAVALA Cinematica este partea mecanicii teoretice care are ca obiect de studiu miscarea corpurilor si a sistemelor de corpuri independent de fortele ce actioneaza asupra lor. 1.1 OBIECTUL CINEMATICII NAVALE DEFINITIA 1.1 Cinematica navala, ca parte aplicativa a cinematicii, este ramura navigatiei maritime care studiaza legile de miscare ale navei fata de sisteme de referinta (puncte) mobile, sau fixe, în scopul realizarii unor pozitii, sau situatii viitoare, dorite.

Legile cinematicii navale stau la baza rezolvarii problemelor de navigatie, simple si complexe, cu nava izolata, sau cu grupul de nave. 1.2 CONVENTII SI TERMINOLOGIE ÎN CINEMATICA NAVALA

În studiul cinematicii navale se folosesc termeni si conventii specifice necesare

usurarii întelegerii problematicii sale. 1.2.1 Conventii în cinematica navala

Principalele conventii folosite în prezenta lucrare sunt: - studiul miscarii si al pozitiilor navelor luate în discutie,

reprezentate prin puncte materiale, se face într-o arie relativ restrânsa si se reprezinta în plan;

- modelele folosite în cinematica navala sunt punctul material si solidul rigid;

- punctul material este corpul cu dimensiuni neglijabile în raport cu alte corpuri; forma punctului material nu are rol în miscare; în cinematica navala punctul material nu are dimensiuni;

- solidul rigid este sistemul format dintr-o infinitate de puncte materiale legate între ele, aflate la distante invariante între ele indiferent de fortele ce tind sa modifice sistemul;

- miscarea navelor (mobilelor, punctelor materiale) se considera, de regula, rectilinie si uniforma;

- nu se iau în consideratie deformatiile produse de proiectia cartografica, se lucreaza conform regulilor de lucru pe harta marina în proiectie Mercator;

- la rezolvarea problemelor de cinematica navala se folosesc valorile adevarate (corectate) ale parametrilor de miscare, de pozitie si de manevra (când se folosesc altfel de valori, aceasta se specifica).

Introducere în cinematica navala 23

1.2.2 Terminologie în cinematica navala

Pentru rezolvarea diferitelor probleme de cinematica navala se folosesc terminologia si notatiile urmatoarele :

- nava proprie cu N (pozitiile succesive ale navei proprii cu N0, N1,..., Nn), se considera nava care manevreaza;

- nava tinta (tintele) cu T (pozitiile succesive ale navei tinta cu T0, T1, ...,Tn sau A, B, C,…), se considera nava – obiect al manevrei; - navele (tintele) se conteaza în ordinea importantei sau cronologic; - viteza navei proprii cu VN; - noua viteza a navei proprii cu nVN; - schimbarea de viteza cu ∆V; - viteza navei tinta (nava - obiect al manevrei) cu VT; - viteza relativa cu VR (viteza relativa a lui N cu VRN, viteza

relativa a lui T cu VRT); - viteza de variatie a relevmentului cu ω0

R; - drumul navei proprii cu DN; - noul drum al navei proprii cu nDN; - schimbarea de drum cu ∆D; - drumul navei tinta cu DT (DA, DB, DC,…); - miscarea relativa cu MR; - directia miscarii relative cu DMR (directia miscarii relative a lui N

cu DMRN, directia miscarii relative a lui T cu DMR T); - variatia distantei cu VD (variatia distantei lui N cu VDN, variatia

distantei lui T cu VDT); - deplasarea laterala cu DL (deplasarea laterala a lui N cu DLN,

deplasarea laterala a lui T cu DLT); - distantele cu d (distantele succesive cu d0, d1, d2, …, dn); - distanta minima cu dmin; - timpul cu t (t1, t2, t3,…tn); - timpul de manevra cu tman; - spatiul parcurs de nava cu Sp (spatiul parcurs de nava proprie cu

SpN, spatiul parcurs de nava tinta cu SpT, spatiul parcurs pe miscarea relativa cu SpR);

- relevmentele cu R (relevmentele succesive cu R0, R1, R2, …, Rn); - relevmentul prova cu Rp (Rp0, Rp1, RpN, RpT…); - înclinarea cu q (înclinarea navei proprii cu qN , înclinarea navei

tinta cu qT ); - variatia de relevment cu VR; - diferenta de relevment cu ∆R (∆R=R0 -R1); - drumul navei proprii, DN si vectorul VN se deseneaza cu culoare

albastra; - drumul navei tinta, DT si vectorul VT se deseneaza cu culoare

rosie; - directia miscarii relative si vectorii miscarii relative se deseneaza

cu culoare verde; - relevmentele si distantele se deseneaza cu culoare neagra, linie

întrerupta; - paralelogramul de transfer se hasureaza cu galben; - triunghiul de pozitie (N0T0T1’ sau N0N1N1’) se hasureaza cu verde; - triunghiul vitezelor (N0NT’ sau T0TT’ ) se hasureaza cu rosu;

Cinematica navala 24

- triunghiul spatiilor (N0N1N1’ sau T0T1T1’) se hasureaza cu albastru.

1.3 ELEMENTELE DE DEFINITIE ALE MISCARII CINEMATICE NAVALE

Miscarea cinematica navala presupune participarea unei (unor) nave (mobile, tinte) care îsi schimba în timp pozitia unele fata de celelalte. Principalele elemente de definitie ale miscarii cinematice sunt: manevra cinematica, participantii la manevra navala, sistemele de referinta în care se executa manevra navala. DEFINITIA 1.2 Manevra, în general, reprezinta modificarea parametrilor de miscare, drum si viteza, calculati anterior, în scopul realizarii unei evolutii cinematice. Observatia 1.1 Evolutia cinematica se caracterizeaza prin calcularea parametrilor de miscare si de manevra ai navei proprii, în vederea realizarea unei pozitii determinate, într-un sistem de referinta ales. Manevra se deosebeste astfel, de o actiune manevriera, în care parametrii de miscare se modifica cu valori instantanee, intuitive, pentru realizarea unor schimbari de pozitie a navei, în general, de o mai mica amploare (de exemplu: acostarea la dana, ancorarea, intrarea / iesirea în / din port, etc.). Manevra generala a navei cuprinde cazurile de manevra cu caracter general, teoretic, fara restrictii de ordin tactic, hidrografic si de navigatie, de timp, etc. Manevra cinematica se clasifica functie de:

- viteza navei - obiect al manevrei; - numarul de nave participante la manevra; - variatia parametrilor de miscare si de pozitie.

Functie de viteza navei – obiect al manevrei, manevra cinematica este: - manevra fata de un obiect (reper fix), sau manevra unilaterala,

când VT = 0; - manevra fata de un obiect mobil, sau manevra bilaterala

(reciproca), când VT ≠ 0. Functie de numarul de nave participante, manevra cinematica este:

- bilaterala, la manevra participa doua nave; - multilaterala, la manevra participa mai multe nave.

Functie de variatia parametrilor de miscare si de manevra, manevra cinematica este:

- manevra constanta, atunci când parametrii de miscare ai navei care manevreaza sunt constanti;

- manevra variabila, atunci când parametrii de manevra ai navei care manevreaza sunt variabili;

- stabila, atunci când schimbarile de drum si de viteza nu sunt frecvente;

- instabila, atunci când schimbarile de drum si de viteza sunt frecvente.

Principalele procedee de manevra cinematica sunt: - pe drumuri directe (pe drumuri constante), când nu se schimba

drumul navei pe timpul manevrei; - la distanta constanta, când drumul navei care manevreaza se

schimba continuu pentru a pastra aceeasi distanta la nava-obiect al manevrei;

- pe relevment prova constant, când se schimba drumul navei care manevreaza pentru a se mentine acelasi relevment la nava-obiect al manevrei;


- combinat (mixt), când se modifica parametrii de miscare si de manevra functie de situatia tactica.

În general, la o manevra cinematica participa doua nave: nava proprie (nava care manevreaza) si nava tinta (obiect al manevrei); la manevrele cinematice complexe pot participa un numar variabil de nave. DEFINITIA 1.3 Nava care manevreaza, N este nava care îsi schimba pozitia fata de un reper fix sau mobil. DEFINITIA 1.4 Nava tinta – obiect al manevrei, T este nava (reperul) fata de care se manevreaza.

Miscarea cinematica navala este definita de o serie de parametri variabili, astfel: - parametri de pozitie; - parametri de miscare; - parametri de manevra.

1.4 PARAMETRII DE POZITIE DEFINITIA 1.5 Parametrii de pozitie sunt sistemele de referinta fata de care se raporteaza orice miscare a navelor (mobilelor) aflate în manevra cinematica. Sistemul de referinta absolut, considerat ca fiind fix, este Pamântul; în navigatie si cinematica navala se considera fundul marii ca sistem de referinta absolut, iar pozitia unui mobil pe mare se defineste în coordonatele geografice.

Sistemul de referinta mobil este sistemul polar; în general, sistemul de coordonate polare se compune din raza vectoare r si unghiul directional θ, ce au ca origine polul sistemului si o directie initiala, arbitrar alese; în navigatie, atunci când sistemul de coordonate polare foloseste ca origine un reper costier si ca directie initiala, directia „nord adevarat”, unghiul directional devine relevment adevarat Ra, iar raza vectoare distanta la reper, d (v. fig.1.1); când originea sistemului de referinta mobil este nava - obiect al manevrei atunci pozitia altui mobil fata de acest sistem de referinta se defineste în coordonate polare.

NV

Fig.1.1 1.4.1 Parametrii de pozitie absoluti

Parametrii de pozitie absoluti sunt în navigatia maritima si în cinematica navala

coordonatele geografice (v.fig. 1.2):


- latitudinea geografica (ϕ); - longitudinea geografica (λ).

DEFINITIA 1.6 Latitudinea geografica ϕ este arcul de meridian (unghiul la centru corespunzator), cuprins între planul ecuatorului terestru si planul paralelului locului. DEFINITIA 1.7 Longitudinea geografica λ este arcul de ecuator terestru (unghiul la centru corespunzator), cuprins între planul meridianului zero si planul meridianului locului.

Na

N0

ϕ

ϕΝ

λ

λΝ

DN

VNDa

Fig. 1.2

Miscarea se considera absoluta, fata de directia “nord adevarat” si se executa cu viteza reala, corectata a navei. Pe harta de navigatie în proiectie Mercator coordonatele geografice se masoara pe scara latitudinilor, respectiv, a longitudinilor, în grade sexagesimale.

1.4.2 Parametrii de pozitie relativi

Parametrii de pozitie relativi în cinematica navala sunt coordonatele polare, (v.fig.1.3, pentru manevra fata de o tinta fixa si fig. 1.4, pentru manevra fata de o tinta mobila):

- relevmentul, R; - distanta, d.

DEFINITIA 1.8 Relevmentul R considerat ca relevment adevarat, este unghiul sferic, cu vârful în pozitia navei, dintre meridianul adevarat al locului si arcul de cerc mare ce trece prin pozitia navei si cea a reperului la care s-a masurat relevmentul; în plan, este unghiul dintre directia „nord adevarat” si directia la reper. Relevmentul adevarat se masoara în grade sexagesimale, de la 00 la 3600, în sens invers trigonometric de la directia „nord adevarat”. Relevmentul prova, Rp, sau înclinarea, q, este unghiul, în planul orizontului observatorului, dintre axul longitudinal al navei si directia la nava - obiect al manevrei si se masoara în grade sexagesimale, de la 00 la 3600, în sens invers trigonometric de la axul longitudinal al navei. DEFINITIA 1.9 Distanta, d este spatiul, intervalul, sau segmentul de dreapta cuprins între nava care manevreaza si nava - obiect al manevrei.


N0

T0

R0

d0

Na DN

Rp0

Da

VN

Na

Rp1

R1

d1

Fig.1.3

Pe harta de navigatie în proiectie Mercator drumurile navelor si relevmentele

apar ca linii drepte, intersecteaza meridianele sub un unghi constant si se masoara în grade sexagesimale. Distantele se masoara pe scara latitudinilor în mile marine si cabluri.

Da

Fig.1.4

Observatia 1.2 În cinematica navala sistemul de coordonate polare foloseste ca origine nava - obiect al manevrei si directie de referinta, directia „nord adevarat”, cu sensul pozitiv de la N la T.


1.4.3 Pozitia navei Miscarea cinematica a navei proprii (nava care manevreaza) se considera

miscare absoluta în raport cu fundul marii si miscare relativa în raport cu nava - obiect al manevrei (nava fata de care manevreaza).

Pozitia celor doua nave aflate în manevra cinematica este definita astfel: - în sistemul de coordonate geografice prin latitudine, ϕN, ϕT si

longitudine, λN, λT; - în sistemul de coordonate polare prin relevment, R (adevarat,

prova) si distanta, d. Trecerea de la coordonatele polare la coordonatele geografice ale navei

(v.fig.1.5) se face cu relatiile:

λλλϕϕϕ

∆+=∆+=

Re

Re

N

N […0] (1.1)

( )ReRe;λϕ

Fig.1.5

unde: ϕRe, λRe sunt coordonatele geografice ale reperului Re; ∆ϕ, ∆λ - diferentele de coordonate definite în navigatia maritima. 1.5 PARAMETRII DE MISCARE

Parametrii de miscare definesc deplasarea navei si în cinematica navala sunt:

- drumul navei DN, DT , (v.fig.1.6 si fig.1.7); - viteza navei VN, VT , (v.fig.1.6 si fig.1.7); - spatiul parcurs, Sp; - timpul, t.

DEFINITIA 1.10 Drumul navei este unghiul sferic cu vârful în pozitia navei, dintre planul meridianului adevarat al locului si arcul de cerc mare ce contine planul longitudinal al navei; în plan, este unghiul dintre directia „nord adevarat” si directia de deplasare a navei (a centrului sau de greutate). DEFINITIA 1.11 Viteza navei este raportul dintre spatiul parcurs de nava si timpul de manevra.


man

N tSp

V = [nd;cab/min;m/s] (1.2)

Na

N1

ϕ

ϕΝ 1

λ

λΝ 1

N0

VN

λΝο

SpN

Fig.1.6

Drumul navei se masoara în grade sexagesimale, de la 00 la 3600, în sens invers trigonometric, de la directia „nord adevarat”.

ϕ

λ

T0

T1

VT Na

SpT

DT

Da

ϕΤ1

ϕΤ0

λΤ1 λΤ0

Fig.1.7

În miscarea cinematica navala se folosesc si notiunile de: viteza maxima, viteza minima, viteza de manevra, viteza generala, etc. Viteza generala este viteza dezvoltata de nava în conditiile functionarii sistemului de propulsie la capacitatea maxima. Viteza minima este viteza dezvoltata de nava cu pastrarea capacitatii de manevrabilitate.


Viteza generala este o viteza medie, determinata pa timpul navigatiei combinate, când apar schimbari necesare de viteza pe anumite segmente ale unui drum general al navei. DEFINITIA 1.12 Spatiul parcurs este lungimea traiectoriei parcurse de nava între doua puncte, initial si final, al manevrei cinematice. Spatiul este infinit, tridimensional, continuu, omogen si izotrop. Sensul pozitiv este sensul pozitiv al drumului navei si se masoara în mile marine, cabluri, kilometri si metri. DEFINITIA 1.13 Timpul caracterizeaza succesiunea si durata unor evenimente pe timpul miscarii cinematice navale, în raport cu o origine arbitrara. Timpul în mecanica, respectiv în cinematica navala este nelimitat, unidimensional, continuu, uniform crescator, pozitiv si ireversibil si se masoara în ore si minute de timp. Ecuatiile de miscare ale navei considerata ca un punct material în sistemul ortogonal Oxy sunt: ( ) ( )tfjtfir 21 += (1.3) unde: f1(t) = ϕ si : f2(t) = λ, adica distanta parcursa de nava dN în coordonate polare este:

jdidd zxN += (1.4) sau în coordonate geografice: jdidd N λϕ += (1.5)

Astfel, se poate defini traiectoria punctului-nava ca fiind locul geometric al

pozitiilor succesive ale acestuia, numit, în navigatie si cinematica navala, drumul navei.

În cazul general, drumul navei este miscarea punctului - nava pe o curba (suprafata maritima a sferei terestre), (v.fig.1.8), legea deplasarii în timp a punctului - nava fiind:

( )tSS pNpN = (1.6)

Na

Fig.1.8


unde: 10 NN este deplasarea punctului- nava; NN0 - deplasarea elementara într-un

interval de timp infinit de mic, NkS∆ . Spatiul parcurs de nava (distanta parcursa) în intervalul de timp ∆t, este:

∑

=

∆=n

k

NkpN

SS1

(1.7)

Schimbarea pozitiei punctului - nava pe traiectorie la un moment dat t este caracterizata de viteza (v. fig.1.9), unde viteza navei proprii este:

( ) ( )

ttdttd

V nn

tN ∆−∆+

==→∆ 0

lim (1.8)

unde: ttt −=∆ 1

Fig.1.9 unde:

dtdy

Vdtdx

V

dtd

Vdtd

V

NyNx

NN

==

==

;

;;λϕ

λϕ

(1.9)

si:

+

=

+

=

dtdy

dtdx

dtd

dtd

VN

222λϕ

(1.10)

adica:

dt

dSV

pNN = (1.11)

În sistemul de coordonate polare viteza navei este:


2

2n

2n

NdtdR

ddt

ddV

+

= (1.12)

iar proiectiile pe directia razei - vectoare si pe o directie perpendiculara pe aceasta sunt (v.fig.1.10):

==dtdR

dVdtdd

V n2n

1 ; (1.13)

Fig.1.10 În cazul particular al miscarii circulare, raza-vectoare este constanta, rd n = si viteza navei este (v.fig.1.11):

dtdR

rV N = (1.14)

Fig.1.11 adica:

ωrV N = (1.15)


unde: ω este viteza unghiulara a punctului - nava este:

dtdR

=ω (1.16)

Observatia 1.3 Parametrii de miscare se considera reali, drum adevarat si viteza navei dupa numarul de rotatii la elice; exista si situatii când este nevoie de o precizie deosebita în executarea unor manevre cinematice si atunci se pot folosi valorile corectate ale parametrilor de miscare, drumul si viteza deasupra fundului, valorile acestora fiind consemnate ca atare. 1.6. PARAMETRII DE MANEVRA

Parametrii de manevra definesc schimbarea de drum si de viteza ca urmare a

executarii unei manevre cinematice (v.fig. 1.12 ) si sunt: - noul drum al navei, nDN; - noua viteza a navei, nVN; - schimbarea de drum, ∆D; - schimbarea de viteza. ∆V.

DEFINITIA 1.14. Noul drum al navei este drumul adevarat pe care se va deplasa nava care manevreaza ca urmare a executarii unei manevre cinematice. DEFINITIA 1.15. Noua viteza a navei este viteza reala cu care se va deplasa nava care manevreaza ca urmare a executarii unei manevre cinematice. DEFINITIA 1.16. Schimbarea de drum este diferenta unghiulara dintre noul drum al navei si drumul initial al navei.

NN DnDD −=∆ […0] (1.17)

DEFINITIA 1.17. Schimbarea de viteza este diferenta dintre viteza initiala a navei si noua viteza a navei. NN VnVV −=∆ [nd] (1.18)

Na

N0

ϕ

λ

DN

Da

Na

nDNnVN

VN

VN

DN∆

nVN

ϕΝ1

ϕΝ0

λΝ1λΝ1

N1

Fig.1.12


Observatia 1.4 Noul drumul al navei si noua viteza a navei se considera ca fiind parametri reali, drum adevarat si viteza navei dupa numarul de rotatii la elice; exista si situatii când este nevoie de o precizie deosebita în executarea unei manevre cinematice si atunci se pot folosi valorile corectate ale parametrilor de manevra, drum deasupra fundului (noul drum deasupra fundului), viteza deasupra fundului (noua viteza deasupra fundului), valorile acestora fiind consemnate ca atare. Observatia 1.5 În miscarea cinematica navala parametrii de pozitie, de miscare si de manevra se considera ca fiind parametri cu valori adevarate. 1.7. PROBLEMELE REZOLVATE ÎN CINEMATICA NAVALA

Cinematica navala rezolva urmatoarele tipuri de probleme: - de diagnoza cinematica navala; - de prognoza cinematica navala; - de manevra cinematica navala.

DEFINITIA 1.18. Problemele de diagnoza sunt acele tipuri de probleme de cinematica navala prin care, pe baza observatiilor directe în timp în relevment si distanta, se determina parametrii de miscare ai tintei. DEFINITIA 1.19. Problemele de prognoza sau problemele de tipul I, sunt acele tipuri de probleme de cinematica navala prin care, cunoscând pozitiile initiale si parametrii de miscare ai lui N si T, se determina (prevad) pozitiilor viitoare relative si absolute ale celor doua mobile. DEFINITIA 1. 20. Problemele de manevra sau problemele de tipul II, sunt acele tipuri de probleme de cinematica navala prin care, considerând constanti parametrii de miscare ai lui T, se determina parametrii de miscare ai lui N pentru a se ajunge într-o pozitie viitoare dorita. 1.8 OPERATII CU VECTORI ÎN CINEMATICA NAVALA

La baza rezolvarii grafice a problemelor de cinematica navala sta folosirea

operatiunilor cu vectori. Marimea scalara este acea marime fizica caracterizata printr-un numar fara a fi

nevoie de un anume sistem de referinta. Vectorul sau marimea scalara are pe lânga valoarea sa numerica si o orientare în

spatiu si pentru a carui caracterizare este nevoie de un sistem de referinta. Un vector se caracterizeaza prin: origine (punct de aplicatie) A, punct de

terminatie (extremitate, vârf) B, directie (dreapta care uneste punctul da aplicatie cu punctul de terminatie) AB, modul (intensitate) v , notat si cu v (v. fig. 1.13).

uvv = (1.19)

A

B

DN

v

Fig.1.13


unde: u este versorul sau vectorul unitar al vectorului viteza si este vectorul cu aceeasi directie si cu lungimea egala cu unitatea. Expresia analitica a unui vector v este:

222

,

zyx

zyx

vvvv

kvjvivv

++=

++= (1.20)

unde: kji ,, sunt versorii axelor Ox, Oy, Oz ale sistemului cartezian triortogonal Oxyz;

vx, vy, v z sunt proiectiile vectorului v pe axele sistemului (v. fig. 1.14).

]

[

\R

M

N

L

9

9

9U

$Y

Fig.1.14

Vectorul de pozitie al punctului de aplicatie N0 (x,y,z) este: kzjyixr ++= (1.21) unde: α,β ,γ sunt unghiurile formate de vectorul v cu axele Ox, Oy, Oz ale sistemului Oxyz; iar componentele sale 321 ,, vvv : kvvjvvivv zyx === 321 ;; (1.22) si proiectiile sunt: γβα cos;cos;cos vvvvvv zyx === (1.23)


1.8.1. Adunarea vectorilor DEFINITIA 1.21 Suma a doi vectori 1v si 2v este reprezentata de vectorul 3v ce uneste punctul de aplicatie al primului vector 1v cu punctul de terminatie al celui de-al doilea vector 2v , folosind regula triunghiului (v.fig.1.15):

213 vvv += (1.24)

Fig.1.15

astfel încât: 11 0 vv =+

si:

213 vvv += adica:

),cos(2 2121

22

21

23 vvvvvvv ++= (1.25)

sau regula paralelogramului (v.fig.1.16):

321 VVV =+

Fig.1.16


1.8.2 Diferenta vectorilor În cinematica navala, de regula, diferenta a doi vectori se trateaza ca suma cu un

vector de sens opus, adica vectorul care uneste originea unui vector cu vârful opusului celuilalt vector. DEFINITIA 1.22 Diferenta a doi vectori este reprezentata de vectorul 3v ce uneste punctul de aplicatie al primului vector 1v cu punctul de terminatie al celui de-al doilea vector 2v− , folosind regula triunghiului (v.fig.1.17):

)( 213 vvv −+= (1.26)

Fig. 1.17

unde: - 2v este vectorul de sens contrar lui + 2v , adica: + 0)( 22 =−+ vv si este

reprezentata de vectorul 3v ce uneste punctul B de aplicatie a vectorului 1v cu punctul de terminatie a vectorului )( 2v− , opusul lui + 2v .

1.8.3 Produsul unui vector cu un scalar

Produsul unui vector 1v cu un scalar a ? 0 este un vector cu valoare absoluta

1vα , cu aceeasi directie cu vectorul 1v si cu acelasi sens, atunci când a < 0 si de sens contrar când α<0.

αα av =1 (1.27)

1.8.4. Produsul scalar a doi vectori

Produsul scalar a doi vectori 1v si 2v este scalarul obtinut prin produsul

lungimii vectorilor si cosinusul unghiului dintre ele.

),cos( 212121 vvvvvv = (1.28) 1.8.5 Produsul vectorial a doi vectori

Produsul vectorial a doi vectori 1v si 2v este reprezentat de vectorul 3v având

lungimea numeric egala cu aria paralelogramului având ca laturi cei doi vectori.

),sin(213 bavvv = (1.29)


orientat perpendicular pe planul acestui paralelogram, astfel încât cei trei vectori sa formeze un triedru drept.

Expresia analitica a produsului vectorial este:

zyx

zyx

vvvvvvkji

vv

222

11121 =× (1.30)

1.8.6 Proprietatile calculului vectorial

În sinteza, proprietatile fundamentale ale calculului vectorial necesare

rezolvarii problemelor de cinematica navala (v. tabelul 1.1) sunt: Tabelul 1.1 Proprietatile fundamentale ale calculului vectorial Nr.crt. Proprietatea Relatia

1 Fiind dati doi vectori 1v si 2v exista întotdeauna un vector

1v + 2v

∃ 2121, vvvv +⇒

2 Fiecarui vector v si unui scalar real a le corespunde întotdeauna un vector a..

∃ vv αα ⇒,

3 Exista un vector nul, astfel încât pentru orice vector v sa

existe aa =+ 0 .

∃ www =+⇒ 0,0

4 Fiind dat vectorul v exista un vector )( v− astfel încât

0)( =−+ aa .

∃ 0)()(, =−+⇒− aavv

5 Exista cazuri particulare vv =⋅1 ; vv −=− )1(

00

00

=

=

α

a

6 Adunarea vectorilor este comutativa 1221 vvvv +=+

7 Adunarea vectorilor este asociativa )()( 321321 vvvvvv ++=++

8 Înmultirea unui vector cu un scalar este comutativa αα 11 vv = 9 Înmultirea unui vector cu un scalar este asociativa

11 )()( vv αββα =

10 Înmultirea unui vector cu un scalar este distributiva aav βαβα +=+ 1)(

11 Produsul scalar a doi vectori este comutativ 1221 vvvv =

12 Produsul scalar a doi vectori este distributiv

3221321

3231321

)(

)(

vvvvvvv

vvvvvvv

+=

+=+

13 Produsul printr-un numar este distributiv 2121 vvvv ⋅=⋅ αα

14 Produsul vectorial este anticomutativ 1221 vvvv ×−=×

15 Produsul vectorial este distributiv

311321

3231321

)(

)(

vvvvvvv

vvvvvvv

×+×=+×

×+×=××

16 Produsul printr-un numar este distributiv )( 2121 vvvv ×=× αα

17 Produsul vectorial este zero daca v1 = 0, sau v2 = 0, ori v1//v2 0=× ba daca v1 = v2 sau v2 = 0 si v1//v2


1.8.7. Descompunerea unui vector Descompunerea unui vector dupa doua directii coplanare

Prin descompunerea unui vector v dupa doua directii coplanare DC1 si DC2, se obtine paralelogramul având laturile 1v si 2v paralele cu cele doua directii (v.fig.1.18).

Fig.1.18

Descompunerea unui vector dupa trei directii coplanare

Descompunerea unui vector dupa trei directii coplanare se face succesiv, aplicând algoritmul descompunerii dupa doua directii coplanare:

a) considerând prima data ca axa o directie coplanara DC1, directia ce leaga punctul de intersectie al vectorului cu DC1, cu punctul de intersectie a celorlalte doua suporturi DC2 si DC3.

b) descompunând vectorul rezultat mai înainte, dupa directiile DC2 si DC3 (v.fig.1.19).

Fig.1.19


Descompunerea unui vector dupa trei directii necoplanare Prin descompunerea unui vector v dupa trei directii necoplanare se obtin trei

vectori paraleli cu cele trei directii necoplanare (v.fig.1.20).

321 vvvv ++= (1.31)

Fig.1.20 1.8.8. Proiectia unui vector pe o axa în plan

Proiectia unui vector pe o axa este (v.fig.1.21):

αcosvvprDC = (1.32) unde u este versorul vectorului v cu axa DC1 orientata de versorul w .

Fig.1.21

1.8.9. Proiectia unui vector pe un sistem de coordonate plane rectangulare

Prin proiectia unui vector pe un sistem de coordonate plane rectangulare se obtin:


),cos(

),cos(

yvvv

xvvv

y

x

=

= (1.33)

numite coordonatele vectorului. 1.8.10 Functia vectoriala

Functia vectoriala de timp este functia în care modulul si directia vectorului v

variaza dupa un scalar independent t, adica ( )tvv = (v.fig.1.22).

Fig.1.22

În plan o functie vectoriala ( )tvv = descrie o curba denumita hodograful plan al

vectorului v . DEFINITIA 1.23 Hodograful functiei vectoriale este locul geometric al extremitatii unui vector variabil cu originea într-un punct fix O.

DEFINITIA 1.24 Derivata razei vectoare ( )dt

tvd în raport cu variabila t este definit

de:

( ) ⋅

→∆==

∆∆= v

dtvd

tv

dttvd

0tlim (1.34)

si este un vector tangent în punctul N la hodograf, orientat în sensul de deplasare a vârfului vectorului v , când creste scalarul t.

01 introducere in cinematic

Documents