01. functii reale elementare

0.1. FUNCTII ELEMENTARE 1

0.1 Functii elementare

În cadrul functiilor reale de o variabil¼a real¼a exist¼a o clas¼a important¼a de functiinumite functii elementare.Prin functie elementar¼a se întelege orice functie obtinut¼a din functiile polinomi-

ale, exponentiale, sin, cos si inversele lor, utilizând cele patru opereatii aritmetice(adunare, sc¼adere, înmultire si împ¼artire), precum si operatia de compunere a dou¼afunctii, de un num¼ar �nit de ori.

Functii polinomiale

O functie polinomial¼a de gradul n este o functie de forma

f (x) = anxn + an�1x

n�1 + :::+ a1x+ a0;

unde n 2 N , ai 2 R; :i = 0; :::; n si an 6= 0:Cele mai simple functii polinomiale sunt functia constant¼a f (x) = c si functia

f (x) = xn; n 2 N�:

2 2

2

2

x

y

f (x)= x:

3 2 1 1 2 3

4

2

2

4

6

8

x

y

f (x)= x2:

3 2 1 1 2 3

20

10

10

20

x

y

f (x)= x3:

2 1 1 2

15

10

5

5

10

15

x

y

f (x)= x4:

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

2

Inversa functiei xn; n � 2; este functia radical de ordinul n;

f (x) = npx

notatie= x

1n :

Pentru n par functia radical este de�nit¼a pe [0;1); în timp ce pentru n impar functiaradical eeste de�nit¼a pe R:

3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

3

x

y

f (x)=px:

3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

3

x

y

f(x) = 3px:

Cu ajutorul functiei radical putem considera functia

f (x) = npxm

notatie= x

mn ; m; n 2 N�; n � 2;

care va � generalizat¼a în cele ce urmeaz¼a.

3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

3

x

y

f (x)= x23 :

3 2 1 1 2 3

6

4

2

2

4

6

x

y

f (x)= x32 :

Functii rationale

O functie f este functie rational¼a dac¼a este de forma

f (x) =g (x)

h (x);

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u


unde g si h sunt functii polinomiale. Aceast¼a functie este de�nit¼a pentru orice xreal pentru care h (x) s 6= 0: De exemplu, functia

f (x) =2x+ 1x2�1

este de�nit¼a peR n f�1;1g: Este evident c¼a orice functie polinomial¼a este rational¼a.Cea mai simpl¼a functie rational¼a, care nu este polinomial¼a, este functia

f (x) =1

xn= x�n; n 2 N�:

10 5 5 10

2

1

1

2

x

y

f (x)= 1x:

3 2 1 1 2 3

4

2

2

4

x

y

f (x)= 1x2:

Mergând pe aceast¼a cale putem considera

f (x) = xmn ; m; n 2 Z; cu n 6= 0;

sau, mai general,f (x) = xa; a 2 R;

obtin¼and astfel functia putere.

Functii algebriceO clas¼a putin mai larg¼a dec¼at cea a functiilor rationale este clasa functiilor algebrice.O functie algebric¼a este o functie obtinut¼a din functii polinomiale utilizând cele patruoperatii aritmetice si radicalii de diverse ordine. De exemplu,

f (x) =

3

rxpx+ 3x7 �

q2x+1x2�3

5x 5

q(x+ 1)11 � 10x

este o functie algebric¼a.Clasa functiilor algebrice contine clasa functiilor rationale, care la rândul s¼au

contine clasa functiilor polinomiale.O functie care nu este algebric¼a se va numi functie transcendent¼a. Functiile

elementare prezentate în continuare sunt functii transcedente.

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

4

Functii transcendente

Functii exponentiale

Functia exponential¼a are forma

f (x) = ax; a > 0 si a 6= 1:

Functia exponential¼a este de�nit¼a pentru orice x 2 R si poate lua valori în (0;1) :

4 2 0 2 4

1

2

3

4

x

y a=3 a=2 a=3/2

f (x)= ax; a > 1:

4 2 0 2 4

1

2

3

4

x

a=1/3a=1/2a=2/3 y

f (x)= ax; a 2 (01) :

Functii logaritmice

Functia logaritmic¼a

f (x) = loga x; a > 0 si a 6= 1

este inversa functiei exponentiale. Ea este de�nit¼a pentru orice x > 0 si poate luaorice valoare real¼a.

2 2 4

2

1

1

2

3

x

ya=2

a=3

f (x)= loga x; a > 1:

2 2 4

2

1

1

2

x

y

a=1/2a=1/3

f (x)= loga x; a 2 (01) :

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u


Functii trigonometrice (functii circulare)

Functiile trigonometice sunt acele functii elementare obtinute din functiile sin si cosutilizând cele patru operatii aritmetice. Denumirea de functii circulare este datorat¼afaptului c¼a interpretare lor geometric¼a este legat¼a de cerc. În afar¼a de functiile sinsi cos,

mai utilizate sunt functiile tgx = sinxcosx

f(x) = tg x:

si ctgx = cosxsinx

:

f(x) = ctg x:

Amintim câteva propriet¼ati fundamentale ale functiilor trigonometrice:

sin2 x+ cos2 x = 1; cos2 x =1

1 + tg2 x; sin2 x =

tg2 x1 + tg2 x

;

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

6

sin (x� y) = sin x cos y � sin y cosx; sin(�x) = � sin x;cos (x� y) = cosx cos y � sin x sin y; cos (�x) = cos x;

sin 2x = 2 sinx cosx; cos 2x = cos2 x� sin2 x;

tg (x� y) = tgx� tg y1� tgxtg y ; tg (�x) = �tgx:

În plus,(sinx)0 = cos x; (cosx)0 = � sin x:

Inversele functiilor trigonometrice

Functiile trigonometrice �ind periodice nu sunt injective, deci nici inversabile Îns¼ape intervale su�cient de mici functiile trigonometrice devin injective si pot � inver-sate. Aceste intervale pot � alese într-o in�nitata de moduri.Astfel, pe intervalul

��2; �2

�functia sin este injectiv¼a. Inversa restrictiei sale la

acest interval se noteaz¼a cu arcsin si

arcsin : [�1; 1]!h��2;�

2

i:

1 1

1

1

2

x

y

p/2

p/2

f(x) = arcsinx:

1 0 1

2

4

x

y

0

p

f(x) = arccos x:

Pe intervalul [0; 2�] functia cos este injectiv¼a. Inversa restrictiei sale la acestinterval se noteaz¼a cu arccos si

arccos : [�1; 1]! [0; 2�] :

Pe intervalul��2; �2

�functia tg este injectiv¼a. Inversa restrictiei sale la acestinterval se noteaz¼a cu arctg si

arctg : [�1; 1]!h��2;�

2

i:

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u


Functii hiperbolice

Aceste functii se bazeasaz¼a pe functia exponential¼a. Astfel, functia

shx =ex � ex2

se numeste sinus hiperbolic, în timp ce functia

chx =ex + e�x

2

se numeste cosinus hiperbolic.

4 2 2 4

4

2

2

4

x

y

f(x) = sh x:

2 1 1 2

2

1

1

2

3

4

x

y

f(x) = ch x:

Adjectivul hiperbolic este datorat faptului c¼a aceste functii au o interpretaregeometric¼a legat¼a de o hiperbol¼a. Mai precis, într-un sistem cartezian de coordonatedin plan, un punct P (ch t; sh t) t 2 R este situat pe ramura din dreapta a hiperbolei� : x2 � y2 � 1 = 0:

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

8

Denumirile de sinus si cosinus se datoreaz¼a faptului c¼a aceste functii au pro-priet¼atii asem¼an¼atoare cu cele trigonometrice. Astfel, putem de�ni

thx =shxchx

si

cthx =chxshx

:

Mai mult, au loc relatiile:

ch2 x� sh2 x = 1; ch2 x = 1

1� th2 x; sh2 x =

th2 x1� th2 x

;

sh (x� y) = shx ch y � sh y chx; sh (�x) = �shx;ch (x� y) = chx ch y � shx sh y; ch (�x) = chx;

th (x� y) = thx� th y1� thx th y ; th (�x) = �thx:

În plus,(shx)0 = chx; (chx)0 = shx:

Inversele functiilor hiperbolice

Singura functie hiperbolic¼a care este inversabil¼a pe întreg domeniul de de�nitie estefunctia sh (sinus hiperbolic). Inversa sa se noteaz¼a cu argsh (argument sinus hiper-bolic) si se poate ar¼ata c¼a

argshx = ln�x+

px2 + 1

�:

Celelalte functii hiperbolice se pot inversa pe anumite intervale, dar nu exist¼a notatiiconsacrate în aceste cazuri.

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u


4 3 2 1 1 2 3 4

2

1

1

2

x

y

f(x) = argshx:

În �nal prezent¼am o schem¼a care arat¼a felul în care este structurat¼a clasa functiilorelementare.

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

01. functii reale elementare

Documents