S.S.M.R. FILIALA CORABIA INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN OLT

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂDANUBIUS

EDIŢIA a XI-a – 6 mai 2017Clasa a VI-a

Problema 1 Determinati numerele naturale abc pentru care [a ,b , c ]3=abc . Am notat cu [a ,b , c ] cel mai mic multiplu comun al numerelor a,b,c.

Gazeta matematica 11/2016

Problema 2Fie triunghiul ABC cu AC<BC si D∈ (BC ) astfel incat [CD ]≡ [AC ] sim (∢BAC )=m (∢ABC )+30 ° .Consideram Q∈BC astfel incat B∈ (QC ) si ¿ este

bisectoarea ∢QAD. Daca DM⊥ AQ ,M ∈ ( AQ ) ,calculati valoarea raportului MDAD .

Denisa Draghia,eleva Craiova

Problema 3

Fie multimea :A={12, 13, 1

4,…, 1

2017 } .a) Scrieti numarul 1 ca o suma de trei elemente distincte din A.

b) Scrieti fractia 4445 ca o suma de elemente distincte din A.

c) Este posibil ca adunand elemente din A sa obtinem rezultatul 2017

4 ? Justificati.

Florin Adrian Risca, Slatina

Problema 4Demonstrati ca nu exista numere naturale a, b, c, d cu proprietatea ca:

a2017b+ab2017+c2017d+c d2017=20172017

Nicolae Tomescu, Corabia

Nota: Toate subiectele sunt obligatorii Timp de lucru 2 ore si 30 minute Fiecare problema este notata de la 0 la 7 puncte

S.S.M.R. FILIALA CORABIA INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN OLT

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂDANUBIUS

EDIŢIA a XI-a – 6 mai 2017Clasa a VI-a

Problema 1Determinati numerele naturale abc pentru care [a ,b , c ]3=abc . Am notat cu [a ,b , c ] cel mai mic multiplu comun al numerelor a,b,c.

Gazeta matematica 11/2016

Barem de corectare:

Cuburile perfecte de trei cifre sunt: 125,216,343,512 si 729………………………………..2p

[ 2,1,6 ]3=63=216 , deci abc=216 este solutie a problemei…………………………….…3p

Numerele 125,343,512 si 729 nu verifica conditiile problemei, deci abc=216 este singura solutie………………………………………………………………………………………...2p.

Problema 2Fie triunghiul ABC cu AC<BC si D∈ (BC ) astfel incat [CD ]≡ [AC ] sim (∢BAC )=m (∢ABC )+30 ° .Consideram Q∈BC astfel incat B∈ (QC ) si ¿ este

bisectoarea ∢QAD. Daca DM⊥ AQ ,M ∈ ( AQ ) ,calculati valoarea raportului MDAD .

Denisa Draghia,eleva Craiova

Barem de corectare:Notam m (∢BAD )=x .

AC=CD⟹∆CADisoscel⟹m (∢DAC )=m (∢ ADC )= y⟹m (∢ACD )=180 °−2 y…1p

Din ∆ ABC ,m (∢ ABC )=180 °−m (∢BAC )−m (∢ ACB )=180 °−x− y−180 °+2 y= y−x……………………………………………………………………………………………………… ...2 p

Din m (∢BAC )=m (∢ ABC )+30 °avem x+ y= y−x+30°⇒ x=15 °……........…2p

(AB bisectoarea ∢QAD⇒m (∢QAD )=m (∢BAD )=15 °⇒m (∢MAD )=30 °………1p

∆MAD dreptunghic in M cu m (∢MAD )=30°⇒MDAD =12 ………………………………….1p.

Problema 3

Fie multimea :A={12, 13, 1

4,…, 1

2017 } .a) Scrieti numarul 1 ca o suma de trei elemente distincte din A.

b) Scrieti fractia 4445 ca o suma de elemente distincte din A.

c)Este posibil ca adunand elemente din A sa obtinem rezultatul 2017

4 ? Justificati.

Florin Adrian Risca, SlatinaBarem de corectare

a¿1=12+ 1

3+ 1

6 ...........................................................................................................................1p

b)Fractiile 1

1∙2, 12 ∙3

, 13∙4

,…, 144 ∙45 sunt elemente ale multimii A

(44 ∙45=1980<2017 )……..1 pAdunand aceste elemente obtinem:

11∙2

+ 12 ∙3

+ 13∙4

+…+ 144 ∙45

=2−11 ∙2

+ 3−22∙3

+ 4−33 ∙4

+…+ 45−4444 ∙45

=11−1

2+ 1

2−1

3+ 1

3−1

4+…+ 1

44− 1

45=1− 1

45=44

45.....................................................................2pc)Suma tuturor elementelor lui A este

( 12+ 1

3+ 1

6 )+ 14+ 1

5+( 1

7+ 1

8+…+ 1

2017 )<1++14

+ 14+…+ 1

4⏟de 2013ori

=1+ 20134

=20174

Deci nu este posibil sa adunam elemente din A care sa aibe suma2017

4 .......................................3pProblema 4Demonstrati ca nu exista numere naturale a, b, c, d cu proprietatea ca:

a2017b+ab2017+c2017d+c d2017=20172017

Nicolae Tomescu, Corabia

Barem de corectare:

Relatia din enunt se mai scrie: ab(a2016+b2016)+cd (c2016+d2016)=20172017

Daca a sau b sunt numere pare, atunci ab(a2016+b2016 ) este un numar par ………………… 2p

Daca a si b sunt amandoua numere impare, atunci a2016 , b2016 sunt impare, de unde a2016+b2016 este un numar par si deci ab(a2016+b2016) este par ……………………………….… 2p

Avem ca pentru orice doua numere naturale a si b , ab(a2016+b2016) este un numar par si analog

cd (c2016+d2016)este tot par……………………………..…………………………… 2p

Membrul stang al egalitatii este un numar par care nu poate fi egal cu numarul impar

20172017……………………………………………………………………………………. 1p.