elemente de compoziŢie

ELEMENTE DE COMPOZIŢ IE . ORGANIZAREA ESTET ICĂ A FORMELOR

în general, compoziţia reprezintă totalitatea elementelor care alcătuiesc o structură, o unitate. în domeniul grafic prin compoziţie se înţelege: dispunerea după anumite reguli a elementelor unei reprezentări grafice (desen), operaţie care are ca scop realizarea unor forme care să satisfacă cerinţele funcţionale şi estetice ale obiectului reprezentat.

Toate formele sau obiectele create de om, au la bază atât un conţinut funcţional şi tehnic, cât şi unul artistic. Utilizarea într-un anumit domeniu (industrie, arhitectură, artă plastică) a formelor geometrice, impune proiectantului sau artistului cunoaşterea legităţilor de construcţie şi a raţionalităţii funcţionale. De asemenea, trebuie să se cunoască posibilităţile de modelare tehnică şi artistică a spaţiului şi a elementelor structural-geometrice.

Compoziţia este astfel acţiunea de organizare şi echilibrare, întreprinsă de proiectant sau artist, în demersul său de creare a formelor, prin care obiectul să devină funcţional şi/sau estetic, şi să fie în acelaşi timp investit cu o forţă proprie de expresie.

Studiul elementelor de compoziţie implică analiza evoluţiei ideilor de proporţie şi armonie şi a canoanelor geometricerîn diferitele etape ale istoriei culturii şi civilizaţiei.

Procedeele antice de compoziţie şi punere în proporţie sunt studiate pe baza unor ipoteze emise recent, deoarece lipsesc multe mărturii grafice din Antichitate.

Legea repartiţiei formelor fundamentale, a analogiei (Friedrik Thiersch, 1784 - 1869), a identităţii în variaţie, sunt denumiri care derivă din conceptele de simetrie şi analogie ale anticilor. La Vitruviu, proporţia geometrică şi simetria însemna: "comensurabilitatea între întreg şi părţi, corespondenţa determinată de o măsură comună între diferitele părţi ale ansamblului şi între aceste părţi şi întreg" Cuvântul simetrie, definit de Vitruviu, a avut un sens total diferit de cel de astăzi, până la jumătatea secolului al XVII-lea când în 1650, Freart de Chambray scria: "Simetria... unitatea şi concordanţa generală a tuturor părţilor unui edificiu33.

Esteticianul român de expresie franceză Matila Ghyka (1881 - 1965) analizează profund şi pe coordonate moderne conceptele tradiţionale de proporţie, armonie, simetrie, măsură, ritm, toate expresii ale unor raporturi estetice. Estetica sa are alte dimensiuni decât cea tradiţională, ea este o estetică matematică. Teoria sa pledează pentru cunoaşterea faptului că proporţiile, simetria, euritmia, au o mare aplicabilitate în estetica contemporană, care astfel nu mai rămâne o teorie sau o meditaţie pură, ea devenind mai eficientă. Referindu-se la aceasta, el declară: "Noi credem că între util şi frumos nu este hotar" (Arhitectura, revista "Simetria").

87

Grafic şi vizual între clasic şi modern

Într-o teorie estetică a formei, elementul geometric nu este totuşi singurul, el fiind însoţit şi de alte elemente, cum ar fi culoarea şi lumina. Deci compoziţia trebuie să realizeze gruparea armonioasă a formelor, culorilor şi a luminii, fără a schimba logica internă a produsului.

În continuare se vor analiza principalele elemente geometrice ale compoziţiei.

4.1 Proporţia. Secţiunea de aurTermenul proporţie defineşte relaţiile dimensionale între dimensiunile unor obiecte sau între dimensiunile

dintre diversele părţi ale unui întreg. Proporţia reprezintă un important mijloc de creare a ordinii (conceptul de proporţie a influenţat nu numai pictura sculptura şi arhitectura, ci şi produsele cu caracter industrial).

Din punct de vedere matematic trebuie făcută deosebirea între raport şi proporţie. Raportul exprimă comparaţia unei mărimi cu altă mărime de acelaşi ordin, ca de exemplu compararea unui segment de dreaptă cu altul.

Raportul a/b reprezintă "măsura" mărimii a, dacă luăm mărimea b ca unitate de bcomparaţie.

Euclid, a cărui teorie despre raporturi şi proporţii se bazează pe lucrările lui Eudoxos, elevul lui Platon, definea astfel cei doi termeni: "Raportul reprezintă relaţia cantitativă în ceea ce priveşte dimensiunea dintre două mărimi omogene. Proporția (analogia) reprezintă echivalenţa raporturilor".

Pentru definirea proporţiei sunt necesare două raporturi, şi în consecinţă, patru sau cel puţin trei mărimi. Proporţia se exprimă prin formula:

a/b = c/d; (proporţie disjunctă) b dPlaton, gânditorul care a meditat cel mai mult asupra proporţiei şi armoniei, remarcă în

"Timaios": "Dar este imposibil să combini bine două lucruri fără un al treilea; căci este necesar să existe ceva la mijloc care să le lege. Nu există o legătură mai bună decât aceea care face din sine însuşi şi din lucrurile pe care le uneşte un singur tot. Or, aceasta este natura proporţiei".

Aristotel a definit proporţia astfel: "înţeleg prin raporturi de analogie toate cazurile în care al doilea termen stă în raport cu primul aşa cum al patrulea stă în raport cu al

treilea(.Poetique).Când în cazul proporţiei "disjuncte" cele două mărimi intermediare sunt egale, se obţine o proporție

geometrică "continuă":b~ c

cta

a=M

b=m

Cb

a b

c

Fig. 4.1

64

Presupunem că cele două mărimi ale unui raport constituie un întreg, mărimi pe care vrem să le comparăm nu numai între ele, ci şi cu acest întreg, sau altfel spus, o entitate cu părţile sale şi acestea între ele. Există mai multe posibilităţi de secţionare a dreptei (fig. 4,1, a, b, c).

Se obţin astfel între a, b şi c, şase raporturi diferite între ele:@

Dintre toate proporţiile posibile (Matila Ghyka - Estetică şi teoria artei) vom alege cele mai interesante:

@Acestea conduc la acelaşi rezultat a = 6, deci dreapta a fost împărţită în două părţi

egale şi s-a realizat o secţiune simetrică (fig. 4.1, a). Dar mai există două proporţii:@

Deoarece avem c = a + b, rezultă:@

Acestea ultimele două proporţii sunt asemănătoare, dreapta fiind divizată într-o manieră nonsimetrică.

Referindu-se la aceste proporţii, M. Ghyka remarcă: "am obţinut în acest fel cea mai directă şi cea mai generală împărţire asimetrică, cea mai potrivită cu transpunerea logică a principiului minimei acţiuni, expusă de William d'Ockham în lapidara sa formulă - Entia non sunt multiplicanda praeter necesitatem

Problema proporţiilor a fost tratată şi de Euclid, ea fiind numită: " împărţirea unei drepte în raţie medie şi extremă

Se mai obişnuieşte ca partea cea mai mare (fig. 4.1, b), să se numească partea majoră (notaţie: M), iar partea cea mică partea minoră (notaţie: m). Astfel proporţia devine:

@

In figurile 4.2 şi 4.3, sunt reprezentate două construcţii geometrice, care au ca scop împărţirea unu segment dat, în medie şi extremă raţie.

în figura 4.2, se dă segmentul AB = c care trebuie împărţit în medie şi extremă raţie. Se consideră apoi BD = c/2 (BD perpendicular pe AB), iar cu vârful compasului în D obţinem ED = BD = c/2. Cu A ca centru se descrie arcul de cerc de rază AC=AE; C fiind punctul care împarte segmentul AB astfel:

@

In figura 4.3, se dă segmentul AC = a = M şi trebuie să se construiască b. Pe AC se construieşte pătratul ACEF de latură a; se duce OE, unde O este mijlocul lui AC, şi cu O ca centru, se descrie arcul de cerc EB. CB = b este lungimea segmentului mai micb = m:

65'

Capitolul 4 Elemente de compoziţie. Organizarea estetică a formelor

Elemente de compoziţie. Organizarea estetică a formelor

Presupunem că cele două mărimi ale unui raport constituie un întreg, mărimi pe care vrem să le comparăm nu numai între ele, ci şi cu acest întreg, sau altfel spus, o entitate cu părţile sale şi acestea între ele. Există mai multe posibilităţi de secţionare a dreptei (fig. 4.1,a, b, c).

Se obţin astfel între a, b şi c, şase raporturi diferite între ele: @ Dintre toate proporţiile posibile (Matila Ghyka - Estetică şi teoria artei) vom alege cele mai interesante:

@Acestea conduc la acelaşi rezultat a = b, deci dreapta a fost împărţită în două părţi

egale şi s-a realizat o secţiune simetrică (fig. 4.1, a). Dar mai există două proporţii:@

Deoarece avem c = a + b, rezultă:@ Acestea ultimele două proporţii sunt asemănătoare,

dreapta fiind divizată într-o manieră nonsimetrică.Referindu-se la aceste proporţii, M. Ghyka remarcă: "am obţinut în acest fel cea mai

directă şi cea mai generală împărţire asimetrică, cea mai potrivită cu transpunerea logică a principiului minimei acţiuni, expusă de William d'Ockham în lapidara sa formulă - Entia non sunt multiplicanda praeter necesitatem".

Problema proporţiilor a fost tratată şi de Euclid, ea fiind numită: "împărţirea unei drepte în raţie medie şi extremă".

Se mai obişnuieşte ca partea cea mai mare (fig. 4.1, b), să se numească partea majoră (notaţie: M), iar partea cea mică partea minoră (notaţie: m). Astfel proporţia devine:

@în figurile 4.2 şi 4.3, sunt reprezentate două construcţii geometrice, care au ca scop

împărţirea un segment dat, în medie şi extremă raţie.

în figura 4.2, se dă segmentul AB = c care trebuie împărţit în medie şi extremă

raţie. Se consideră apoi BD = c/2 (BD perpendicular pe AB), iar cu vârful compasului în

D obţinem ED = BD = c/2. Cu A ca centru se descrie arcul de cerc de rază AC=AE; C

fiind punctul care împarte segmentul AB astfel:@ în figura 4.3, se dă segmentul AC = a = M şi trebuie să se construiască b. Pe AC se

construieşte pătratul ACEF de latură a; se duce OE, unde O este mijlocul lui AC, şi cu O ca centru, se descrie arcul de cerc EB. CB = b este lungimea segmentului mai mic b=m .

Capitolul 4

64

BA

Fig. 4.2


Fig. 4.3

B


In urma acestor construcţii grafice s-a obţinut proporţia pe care Luca Pacioli a numit o "Proporţia divină", iar Leonardo da Vinci îi dă numele de "Secţiunea de aur" ("Sectio aurea"). Ea mai este cunoscută şi ca Sectio divina, Golden section sau Goldener Schnitt.

Dacă în egalitatea @ se împart cu b ambele elemente ale raportului secundba

şi se notează @, se obţine:@

de unde x = x + l sau x -x - l = 0

Această ecuaţie de gradul doi are două rădăcini astfel: • o rădăcină pozitivă @

@o rădăcină negativă @

Rădăcina negativă nu interesează deoarece corespunde unei poziţii lui C în afara segmentului AB.

Astfel se obţine raportul căutat: @= 1,61803398875...b 2

Acest număr algebric numit "numărul de aur" este incomensurabil, el posedând caracteristici unice. El a fost notat cu litera grecească O, pentru prima dată în anexele matematice ale cărţii "The Curves of Life " (1922) a lui Theodore Cook. în unele lucrări el se mai notează şi cu s (iniţiala cuvântului secţiune).

Denumim acest număr@1,618..

De la acesta apar nişte proprietăţi foarte interesante.

= 0,618... şi 0:

0 2 2 Această identitate a părtilor zecimale a termenilor 1 /0,0 şi 0 2 , rezultă din ecuaţia

iniţială 02 = 0 + 1 şi din varianta ei (obţinută prin divizarea tuturor termenilor prin

@

@ @= 2,618...


B. Teoria Iui F« M. LundArheologul norvegian F. M. Lund a studiat templele greceşti şi traseele gotice.

Lucrările lui importante sunt "Ad Quadratum" (Londra) şi "Ad Quadratum II" (Aktieselskabet det Lundske Forlag, Farsund, Norvegia). El realizează pe o reţea de careuri duble, traseele "radiante", ce au drept pol asimetric, centrul unui pentagon sau al unei pentagrame.

Lund analizează importanta celor cinci poliedre regulate şi a structurii lor, precum şi schemele obţinute prin proiectarea pe un plan a poliedrelor înscrise în aceeaşi sferă. El observă locul şi rolul pentagonului şi seriei descrescătoare a pentagramelor, în planul şi elevaţia construcţiilor gotice

C "Geometria cercului" a lui MoesselMoessel cu "geometria cercului" - geometria diverselor poligoane care se înscriu în

cerc şi care provin din subdiviziunile cercului (fig. 4.16 şi 4.17), din raţiuni de ordin practic - studiază compoziţia operelor arhitecturale, a reliefurilor etc. Lucrările sale importante sunt: "Die Proportionen in Antike und Mittelalter" (Munchen, 1926) şi "Urformen des Raumes als Grundlager der Formgestaltung" (Miinchen, 1931).

"Geometria cercului" provine - spune el - din necesitatea de a trasa operele arhitecturale pe teren şi din influenţa reciprocă dintre aceste opere şi o experienţă astronomică primitivă. Trasarea cercului pe sol, în scopul de a determina orientarea, sugerează ideea că subdiviziunile cercului şi raportul lor cu diametrul dat, pot constitui elemente pentru dimensiunile laturilor operei (P. A. Michelis - Estetica arhitecturii).

Fig. 4.16 Fig. 4.17în timp ce metoda lui Hambidge impunea "legea neamestecului părţilor", Moessel

remarcă, în unele cazuri, două cercuri directoare concentrice, cel mare divizat în 8 sau 16părţi (simetrie octogonală, cu modulul ), iar celălalt divizat în 5 sau 10 părţi (simetriepentagonală sau "de aur" cu modulul O sau

Proporţiile ce decurg din cele trei sisteme de trasee (Hambidge, Lund, Moessel), sunt în general identice. Secţiunile transversale ale lui Lund coincid adeseori cu diagramele lui Moessel, iar cercurile directoare ale acestuia se pot plasa pe traseele armonice ale lui Hambidge, Construcţiile lui Hambidge şi ale lui Moessel nu sunt decât două maniere diferite

(proiecţia ortogonală şi proiecţia centrală) de a proiecta pe o suprafaţă plană acelaşi element cu trei dimensiuni (Matila Ghyka - Estetică şi teoria artei).

4.1.2 Relaţia dintre secţiunea de aur şi şirul lui FibonacciA

In anul 1202 apare lucrarea "Liber abaci" (Cartea socotitului) a matematicianului italian Leonardo Fibonacci [Leonardo da Pisa], (1170 - 1240), fundamentală pentru cunoştinţele matematice ale epocii. In lucrare se dau criterii de divizibilitate, se facilitează adunarea fracţiilor, prin considerarea celui mai mic multiplu comun, şi se prezintă şirul numeric care-i poartă numele - "Şirul lui Fibonacci

Leonardo Fibonacci a remarcat că există o lege numerică prin care se poate explica o însuşire a materiei vii, şi anume, sub forma unui şir de numere întregi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144,233 ....

Acest şir are proprietatea că fiecare termen al şirului, începând cu al treilea, este suma celor doi termeni precedenţi: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; ... 13 = 8 + 5; - u n = z U n- i J t U n-2 ( n =

3 f 4 > )<

Acest şir recurent (dublu aditiv) se numeşte "şirul lui Fibonacci" sau "legea creşterilor organice

El are proprietăţi multiple şi interesante, din care enumerăm:• suma primilor termeni ai şirului este cu 1 mai mică decât termenul post - următor

(ex. u1 + u2 + u3 =u5 -i);• suma primilor termeni de ordin impar, de la u2 până la u2n_j, este egală cu

termenul u2n; u } +u3 + + =

• suma primilor termeni de ordin par, de la w2până la u2r j y este egală cu termenul

u2n+1 micşorat cu 1; u2 + u4 +... + u2n = u2n+1 -1;

• suma pătratelor primilor n termeni, este egală cu produsul un • un+1; uf+u22+

„.< + u2n k u ^ u ^ ;

• Extinderea şirului în stânga lui 0 prezintă proprietatea că termenii din această zonă, pentru a păstra relaţia de recurenţă, nu sunt toţi negativi, ci alternează negativi şi pozitivi.

.„-21 + 13,-8,+ 5 t-3, + 2,-l9+l,0 tl, 1,2,3,5,8,13,21,34...Şirul lui Fibonacci se întâlneşte în natură, în special în regnul vegetal. Dacă pe o tulpină

cilindrică sau conică apar ramuri sau frunze aşezate după o spirală, fiecare ramură sau frunză este a n-a, (numărată pe spirală de la ramura sau frunza precedentă de pe aceeaşi generatoare), n fiind un termen al şirului lui Fibonacci. Pe discul plantei floarea- soarelui, seminţele sunt dispuse după două serii de spirale logaritmice (curburile unei serii fiind dispuse în sens orar, iar celelalte invers). Cele două serii au un număr egal de curbe, numărul lor fiind doi termeni consecutivi ai şirului Fibonacci, astfel: la plantele tinere 13 şi 21 sau 21 şi 34; la exemplarele mijlocii 34 şi 55 curbe, la cele mari până la 89

73'


unde Ci şi C2 sunt două constante arbitrare.Dacă se impun anumite condiţii constantelor Cj şi C2, se pot obţine şiruri particulare.

Astfel, se poate regăsi şirul lui Fibonacci, dacă se impun condiţiile ul = ntele astfel determinate în expresia termenului general, se obţine:

Dacă calculăm rapoartele dintre fiecare termen al şirului lui Fibonacci şi termenul precedent şi scriem rezultatele pe două coloane, obţinem:

A

In ambele cazuri valorile tind către numărul de aur O = 1,618033.... Se constată că valorile caturilor din stânga tind către numărul 0, crescând, iar câturile din coloana din dreapta tind către 0, descrescând.

Această teorie matematică este fascinantă, deoarece uneşte cele două forme de manifestare - cea aritmetică (şirul lui Fibonacci) şi cea geometrică (secţiunea de aur) - ale permanentei şi universalităţii legilor proporţiilor. Ea este în acelaşi timp unul dintre exemplele care confirmă, după secole, concepţia lui Platon, că totul este organizat în formă, şi evidenţiază legătura dintre cele două modalităţi de manifestare a armoniei: cea aritmetică (numerele) şi cea geometrică (formele).

4.1.3 Proporţia şi numărul de aur în evoluţia ştiinţei şi artei

Studiul rapoartelor şi al proporţiilor s-a dezvoltat din necesităţile de măsurare, comparare şi calcul în şcoala naturalist-ştiinţifică a matematicianului grec Eudoxos din Cnidos (cca. 408 - 355 î.Hr.), apoi a fost preluat şi dezvoltat în maniera idealistă în şcoala lui Platon.

Problema împărţirii unui segment în raţie medie şi extremă - secţiunea de aur - a apărut în antichitatea greacă, fie în studiul proporţiilor, la Platon şi Nicomach de Gerasa, fie în construcţia geometrică a pentagonului regulat şi a ultimelor două, dintre cele cinci poliedre regulate: dodecaedrul şi icosaedrul (Pitagora, Euclid, Ptolemeu). Euclid construieşte

75'

pentagonul regulat de latură m şi diagonale M, iar Ptolemeu realizează construcţia pentagonului regulat înscris într-un cerc dat.

Un salt înainte în studiul proporţiilor şi dezvoltării geometriei, 1-a constituit adoptarea conceptului de număr iraţional.

"Arithmo-geometria pitagoreică, formă arhaică a matematicii greceşti, nu admiteairaţionalul (cu excepţia, totuşi, a lui 42); găsirea soluţiilor de rezolvare practică - ipostază ce a dus la dezvoltarea geometriei - şi de limitare conceptuală a incomensurabili tatii, au necesitat efortul mai multor generaţii" (Platon - Opere VI, Bucureşti 1989; P. H. Michel - De Pythagore â Euclide. Contribution â Vhistoire des matMmatiques preeuclidiennes, Paris, 1950).

De la Pitagora până la Euclid se parcurge un drum lung, ale cărui etape marcheazătrecerea de la rezolvarea unor cazuri particulare (Vî cunoscut de Archytas, apoi altenumere iraţionale până la -s/77, de către Theodoros din Cyrene), la găsirea principiului teoretic prin Theaitetos şi continuarea cercetării de către Eudoxos, şi în sfârşit, la cristalizarea procesului de generalizare şi clasificare făcută de Euclid în Cartea a X-a a "Elementelor " sale. (P. H. Michel - De Pythagore ă Euclide, cap. II, Les Irrationnelles).

Dialogul "Theaitetos" de Platon, conţine un locus mathematicus (147d - 148b), ce constituie cea mai importantă mărturie pre-euclidiană despre conceptualizarea irationalitătii matematice.

» 3

Preocupări privind proporţiile, reapar încă de la începutul Renaşterii, în Italia. Ca valoare a unei proporţii continue, rezultând şi pe cale grafică din figurile geometrice cu ordin de simetrie 5, remarcat în proporţiile corpului omenesc, în formele naturale, numărul de aur 0= 1,618... a jucat un rol important în ştiinţă şi în creaţia artistică a Renaşterii. Legătura proporţiilor şi în special a numărului O cu frumosul, se face încă prin intermediul unor interpretări metafizice.

Matematicianul italian Luca Pacioli di Borgo (1445 - 1514) a reluat studiul împărţirii în medie şi extremă raţie şi a numit-o "proportio divina" (proporţia divină), denumire în care spiritul renascentist se îmbină cu reminiscenţe ale mentalităţii medievale.

în anul 1496, Pacioli a publicat aceste studii într-o carte intitulată "De divina proportione" {Despre proporţia divină) ilustrată de Leonardo da Vinci (1452- 1519). Leonardo, spirit ştiinţific, foloseşte pentru prima dată denumirea de "secţiunea de auf\ în loc de proporţia divină.

Astronomul german Johann Kepler (1571 - 1630) numeşte această proporţie "secţiunea divină" şi o socoteşte împreună cu teorema lui Pitagora, "cele două tezaure ale geometriei

In lucrarea: "Harmonices mundi" (Armonia lumii), referindu-se la secţiunea divină, el remarcă foarte original: "Această proporţie geometrică, cred eu, este o idee care rămâne singură veşnică pentru a releva crearea celui asemenea din cel asemeneaP. Dealtfel, Kepler (De Nive Sexangula) făcuse legătura între seria lui Fibonacci cu secţiunea de aur şi creşterea plantelor.

În anul 1596 el publică lucrarea "Mysterium cosmographicum de admirabili proportione orbium coelestium" (Misterul cosmografic despre uluitoarea proporţie a orbitelor cereşti), care, surprinzător nu se referă la mecanica cerească ci la... proporţii.

In lucrare, Kepler consideră, pentru început, o sferă egală cu raza orbitei lui Saturn, planeta cea mai departe de Soare, din câte se cunoşteau atunci. De remarcat că la acea dată se considera că planetele au orbitele circulare. In sfera corespunzătoare orbitei lui Saturn, se înscrie un cub. In cub Kepler înscrie o altă sferă şi constată că aceasta corespunde ca rază cu orbita lui Jupiter (a doua planetă după Saturn, în ceea ce priveşte depărtarea faţă de Soare).

76


Procedând în continuare în acelaşi mod, Kepler demonstrează că între sferele corespunzătoare celor şase planete cunoscute atunci (în ordine: Saturn, Jupiter, Marte, Terra, Venus, Mercur) se înscriu cele cinci poliedre regulate (în ordinea: cub, tetraedru, dodecaedru, octaedru, icosaedru).

El menţionează: "... Orbita Pământului este măsura pentru toate celelalte orbite; circumscrie-i un dodecaedru; sfera circumscrisă acestuia este Marte. Orbitei lui Marte circumscrie-i un tetraedru; sfera circumscrisă acestuia este Jupiter. Orbitei lui Jupiter circumscrie-i un cub; sfera circumscrisă acestuia este Saturn. Acum înscrie în orbita Pământului un icosaedru; sfera înscrisă acestuia este Venus. In orbita Venerei înscrie un octaedru; sfera înscrisă în acesta este Mercur..."

Tot Kepler, peste 13 ani descoperea că orbitele planetelor nu sunt circulare, ci eliptice (prima dintre cele trei legi care-i poartă numele). Descoperirea iniţială din 1596 nu este infirmată în totalitate, deoarece excentricitatea orbitelor eliptice este foarte mică, iar aproximarea la care se recurge în operaţia de înscriere a poliedrelor regulate în sfere şi a sferelor în poliedre regulate, este practic neglijabilă. De exemplu, distanţa minimă dintre Pământ şi Soare este de cca. 147 milioane km, cea maximă cca. 152 milioane km, distanta medie cca. 149,5 milioane km.

Până în prezent nu s-au putut determina relaţii matematice sau fizice între sistemul geometric (alcătuit din sfere şi poliedre regulate) descoperit de Kepler, şi factori cum ar fi: masele planetelor, magnetismul, căldura etc. Deci sistemul nostru solar respectă şi legi abstracte ale armoniei universale - legi aritmetico-geometrice.

Kepler a fost unul dintre ultimii savanţi ai Renaşterii, care a elogiat virtuţile esoterice ale "secţiunii divine

Căzută în uitare mai bine de două sute de ani "secţiunea de aur" a fost "redescoperită" de germanul Adolf Zeising, către 1850.

In lucrarea sa "Aesthetische Forschungen" publicată în anul 1855 el scrie: "Pentru ca un întreg, împărţit în două părţi inegale, să apară frumos din punct de vedere al formei, trebuie ca între partea cea mică şi cea mare să avem acelaşi raport ca între partea cea mare şi întreg".

Zeising numeşte aceasta Proporţional Gesetz (Legea proporţiilor), şi arată că se aplică în proporţiile trupului omenesc, la speciile animalelor care se disting prin eleganţa formelor, în unele temple greceşti, în botanică şi chiar în muzică. El a efectuat măsurători pe mii de corpuri umane, găsind că acest canon ideal (secţiunea de aur) pare să fie expresia unei legi statistice medii pentru trupurile dezvoltate sănătos. El descoperă în botanică, o "lege a unghiurilor" care constituie secţiunea de aur unghiulară.

Calculând ce unghi trebuie să facă frunzele sau ramurile unei plante (dispuse în elice ascendentă pe tijă sau pe trunchi) între ele, pentru a-şi asigura maximum de expunere la lumina verticală, sau a nu se acoperi una pe cealaltă, Zeising găseşte unghiula = 360° /@2 = 137e30'27"... şi îi dă numele de unghi ideal

În muzică unde se găsesc numai numere întregi şi raporturi între numere întregi, Zeising a remarcat prezenta numerelor 3-5-8-13 (numere din Seria lui Fibonacci) în calcularea intervalelor aferente celor două tipuri principale de acorduri. Cele două tonuri ale acordului major final mi şi do (de exemplu mica sextă şi marea tertă răsturnată în do major) sunt între ele în raportul 5/8. La modulul 3/5 care domină proporţiile feminine corespunde acordul minor (Matila Ghyka - Estetică şi teoria artei, Estetica proporţiilor în natură şi arte),

77'


Sir Th. Cook a reluat cercetările lui Zeising, şi analizând diferite statui antice şi tablouri ale maeştrilor Renaşterii, a determinat un canon ideal pentru trupul feminin bazat pe numărul de aur. Cook împreună cu colaboratorii săi (Mark Barr şi W. Schooling) analizând creşterea şi dezvoltarea, consideră spirala logaritmică cu pulsaţia radială @ (analizată mai înainte) drept"curba creşterii armonioase

Referindu-se la secţiunea de aur, D. Timerding, în lucrarea "Der Goldene Schnitt" arată: "Secţiunea de aur se impune, când este vorba de a face, printr-o nouă subdivizare, două părţi care să facă parte dintr-o progresie geometrică, şi de a întruni astfel triplul efect al echipartiţiei, al succesiunii, al proporţiei continue; folosirea secţiunii de aur nu este decât un caz particular al unei reguli generale, a celei de revenire a aceleiaşi proporţii în detaliile unui ansamblu

Gustave Theodor Fechner (1801 - 1887) a făcut în anul 1876 o serie de experimente de "statistică estetică" asupra dreptunghiurilor, şi a constatat că cel care întruneşte majoritatea, este dreptunghiul de modul @,(M/m).

Cercetările din secolul al XlX-lea, prin măsurători şi trasee geometrice făcute asupra unor monumente de arhitectură antică, gotică, renascentistă, barocă etc., au confirmat fie folosirea conştientă a proporţiilor şi în special a secţiunii de aur, fie legătura naturală între cele mai valoroase creaţii artistice şi simţul estetic uman.

Arhitectul francez Eugene Emmanuel Viollet le Duc (1814 - 1879), de orientare pozitivist - materialistă, prezenta în anul 1863, în cadrul cursurilor pe care le-a ţinut la Ecole des Beaux-Arts din Paris, principiile "funcţionalismului" în arhitectură ("orice formă căreia nu i se poate explica raţiunea alcătuirii ei nu poate fi frumoasă"). Referindu-se la proporţii el remarcă: "Ar fi ciudat; ..., ca arhitectura, fiică a geometriei, să nu poată demonstra geometric de ce este ochiul impresionat dezagreabil de o imperfecţiune în proporţiile unei clădiri" sau: "... respectarea anumitor legi atunci când se ajunge la sinteză, la compoziţie, legi care sunt unele pur matematice, iar altele ţin de arta abstractă. Primele sunt corolare ale staticii, ..., cele din urmă au tangenţă cu proporţiile" (Viollet le Duc, Despre arhitectura secolului al XlX-lea - Arhitectura ca artă, Bucureşti, 1987).

Gottfried Semper (1803 - 1879), arhitect german, se remarcă printre teoreticienii de arhitectură ai secolului XIX, prin efortul depus pentru a transforma arhitectura într-o disciplină ştiinţifică. El scrie în "Proporţionalitate şi direcţie: "Proporţia în primul sens de jos în sus trebuie să exprime, ca la plantă, concilierea unui conflict între forţa de gravitaţie şi o tendinţă acţionând potrivnic, a vieţii organice spre configuraţie verticală. Proporţia pe orizontală vesteşte un conflict similar şi constă, de asemenea, din concilierea a două contrarii Acest conflict are loc între mişcare, ca expresie a voinţei libere şi opoziţia masei, ca expresie a acelei «vis inertiae» şi a rezistenţei mediilor" (Arhitectura ca artă - Bucureşti, 1987).

La începutul secolului al XX-lea se fac primele cercetări americane în domeniu: M. d'Arcy Thomsom (1917), asupra formelor creşterii, Jay Hambidge (1920) asupra "simetriei dinamice" şi a traseelor geometrice pe vasele greceşti. În Europa, principalii cercetători din această perioadă sunt: E. Moessel care realizează traseele geometrice ale templelor greceşti şi ale catedralelor gotice şi F. M. Lund care se ocupă în special de proporţiile construcţiilor gotice. Teoria lui A. Thiersch (Die Proportionen in der Arhitektur in Architektonische Komposition, Leipzig, 1926) este fundamentată pe similitudinea formelor plane. Această teorie admite că: "armonia în arhitectură este proporţia părţilor cu ansamblul".

M. Borissavlievitch în lucrările: "La science de l`harmonie architecturale" (1925) şi "Les Theories de l'Architecture" (1926) se ocupă de perspectivismul optico - fiziologic şi

78


stabileşte două legi ale armoniei (legea "identicului" şi legea "asemănătorului"). El enunţă principiul "Proporţia nu este decât armonie restrânsă", explică raţiunea pentru care numărul de aur este frumos conform legilor psihofiziologiei ochiului, şi susţine că "proportia numărului de aur este frumoasă în ea însăşi, dar că orice altă proporţie, luată ca bază a unei compoziţii, poate să pară frumoasă, căci părţile nu mai sunt aici distincte, ci în raport unele cu altele". (P. A. Michelis - Estetica arhitecturii, Bucureşti, 1982)

Arhitectul, urbanistul şi teoreticianul francez, de origine elveţiană Le Corbusier (1887 - 1965) a utilizat în traseele sale geometrice secţiunea de aur. El a fost în acelaşi timp un promotor al design-ului, şi caută în lucrările sale logica constructivă şi în general o ordine întemeiată pe numere şi geometrie.

Mişcarea de artă aplicată, design şi arhitectură "Bauhaus" fondată la Weimar în 1919, sub conducerea lui Walter Gropius, avea în programul său pedagogic şi probleme de compoziţie (teoria spaţiului, teoria culorii şi teoria compoziţiei) unde se studiau proporţiile şi secţiunea de aur.

Walter Gropius (1883 - 1969) remarca în "Bauhaus. Idee şi continuitate" (1923): "Este necesară o cunoaştere exactă a teoriei proiecţiilor şi a teoriei construcţiilor; atât pentru spaţiul material cât şi pentru cel abstract, pentru a fixa în desen, în mod clar, o imagine spaţială, conform proporţiilor ei". (Normă şi formă - Editura Meridiane, Bucureşti, 1989)

Lucrările de sinteză cele mai complexe, incluzând legături şi analogii între diferite domenii - matematică, fizică, biologie, artă, filozofie. - sunt cele ale românului Matila Ghyka (1881 - 1965): "Esthetique des proportions dans la nature et dans les arts" (1927), "Le nombre d`or. Rites et rytmes pythagoricien dans le developpement de la civilisation occidentale" (1931), "Philosophie et Mystique du nombre" (1971). Aceste lucrări au fost traduse în limba română şi publicate în volumul "Estetică şi teoria artei" (Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1981).

Numeroase cercetări şi studii de sinteză au fost realizate de autori englezi (Schalfield, Tons Brunes) şi germani (Hagenmaier, Wedepohl).

Secţiunea de aur o mai putem întâlni în opera neoimpresioniştilor (Georges Seurat), a cubiştilor, precum şi la alţi pictori de formaţii diferite ca: Andre Lhote, Marcel Duchamp, Albert Gleizes, Frantisek Kupka, Piet Mondrian, Francis Picabia, Jacques Villon (pseudonimul lui Gaston Duchamp). O mare parte dintre aceştia au făcut parte din mişcarea "Section d ` o r ' ' , mişcare derivată din tendinţa cubismului spre rigoare geometrică, spre un mod ştiinţific de abordare a operei. În anul 1912, J. Villon a organizat o expoziţie sub denumirea "Section d'or" la Galeria Boetie din Paris.

Printre sculptorii care au utilizat secţiunea de aur putem enumera: Max Bill, N. Schoffer, Georges Vantongerloo.

În lucrarea "Proporţii şi trasee geometrice în arhitectură'',arhitectul Adrian Gheorghiu utilizează traseul dublului pentagon regulat, numit şi pentagramă, în care apare şi numărul @, pentru a analiza opere ale lui Constantin Brâncuşi: Pasărea, Poarta sărutului.

Trebuie remarcat totuşi că numărul de aur intervine uneori, "a posterior", în sensul unui sistem de control care este şi el de multe ori manipulat cvasiintuitiv în planul creaţiei.

"Este cert însă că utilizarea acestei norme şi a altora de acelaşi fel uşurează mult stăpânirea şi organizarea unor raporturi formale şi proporţii legate de spaţiul unei structuri anume, de la care artistul se poate ulterior îndepărta suficient de mult în măsura dezideratului său interior(Comei Ailincăi - Introducere în gramatica limbajului vizual) .

79'


4.2 Simetria

Prin simetrie se înţelege, în general, proprietatea unui ansamblu de a fi alcătuit din elemente reciproc corespondente şi de a prezenta, pe această bază, regularitate, ordine şi armonie.

In geometrie, simetria reprezintă: "Dispunerea a două figuri care să corespundă punct cu punct, în aceeaşi măsură în care două puncte corespund unul cu celălalt, fie la egală distanţă de un alt punct, de o dreaptă sau de un plan, de o parte şi alta a acestora". (Dictionnaire Larousse)

Trebuie totuşi remarcat că la Platon în "Theaitetos" (Theetet), Vitruviu şi la arhitecţii Renaşterii timpurii, termenul simetrie avea cu totul altă semnificaţie decât astăzi. "Simetria, spune Vitruviu, constă în acordul de măsură dintre diversele elemente ale operei, precum şi dintre aceste elemente separate şi ansamblu... Ca şi trupul omenesc... ea decurge din proporţie - ceea ce numesc grecii «analogie» - consonanţa dintre fiecare parte şi întreg". Deci simetrie, în limbajul perioadei sus amintite, era sinonim cu bine proporţionat, iar a obţine simetrie era acelaşi lucru cu ceea ce noi numim astăzi a pune în proporţie.

Termenul simetrie, în semnificaţia menţionată la început, începe să fie utilizat abia la mijlocul secolului al XVII-lea.

80


81'


Simetria formată dintr-o rotaţie în plan şi o translaţie ortogonală (de exemplu: o scară formată din elemente montate pe un ax, fig. 4.18). Simetria formată din rotaţie în plan însoţită de dilatare. Exemplul cel mai clasic îl reprezintă spirala lui Arhimede, care este o curbă descrisă de un punct ce se deplasează uniform pe o semidreaptă, în timp ce aceasta se roteşte uniform în jurul unui punct fix.

O altă spirală care are o desfăşurare în jurul ei după o progresie geometrică, tinzând să se deschidă în mod progresiv este spirala logaritmică (fig. 4.9). Simetrie formată din rotaţie, translaţie şi dilatare.Dezvoltarea spaţială a cochiliilor respectă acest tip de simetrie formată din rotaţie,

translaţie şi dilatare, toate având loc pe baza unei invarianţe structurale şi o dezvoltare spaţială capabilă să garanteze corespondenţa biunivocă continuă între puncte. Cochilia de Nautilus (fig. 4.19) este cel mai surprinzător şi mai evident exemplu de dezvoltare organică care se bazează pe spirala logaritmică şi pe simetria rotatorie în spaţiu. Această formă geometrică complexă, reprezintă în acelaşi timp, prin strânsa relaţie dintre simetrie şi proporţie, un edificator exemplu de armonie în natură. Fig. 4.19 În concluzie, putem spune că simetria reprezintă

una din formele de organizare a spaţiului, ea "pune în mod constant într-o confruntare două entităti asemănătoare şi în acelaşi timp diverse,

egale şi contrarii, teză şi antiteză(A. Marcolli - Teoria del campo)..4.3 Ritmul şi euritmia

într-un sens foarte general, prin ritm se înţelege punerea în ordine în vederea realizării şi organizării unui obiect, unui proces sau a unei mişcări. El poate fi definit de periodicitate sau repetiţie în timp sau spaţiu, rezultând din şiruri de acorduri sau de proporţii.

Studiindu-se etimologia termenului ritm se constată că atât cuvintele "rythmoş" şi "arythmos" derivă, ambele, din grecescul reo "curg", însemnând ritm respectiv lipsit de ritm.

Cea mai clasică definire a ritmului aparţine neopitagoricianului Aristoxene din Tarent: "Ritmul este o punere în ordine determinată de timp". Ordinea ritmică există în timp dar şi în spaţiu. Toate formele implică ritm, mişcarea după ritm fiind caracteristică tuturor proceselor naturale, precum şi activităţilor umane.

Formaţia ritmică binară (divizată în două unităţi) este fundamentală, găsindu-se în succesiunea bătăilor inimii (diastolă şi sistolă), în mişcarea respiratorie, flux şi reflux, alternanţa zi - noapte, etc. Ritmurile posedă şi intensităţi aparte ale duratelor, care fac ca percepţia lor să fie mai înceată sau mai alertă.

5


Înainte de a analiza ritmul prin prisma spaţiului (arhitectura,design, arte vizuale) este necesară o prezentare a acestuia în domeniul artelor duratei (arte dinamice),

6'


realizându-se în acelaşi timp şi legături între acestea şi ritmul în spaţiu (ritm static) care-l găsim în artele spaţiale.

Ritmul în timp, cel dinamic, este caracteristic în poezie, muzică, dans (coregrafie), iar ritmul în spaţiu, cel static, este uzual în arhitectură, în artele plastice şi în design.

În poezie sunt receptate cel puţin două ritmuri distincte (N. Frye - Anatomia criticii): a. ritmul recurent bazat pe repetiţie, având o structură formată din accent, metru şi formula sonoră, cu un caracter discontinuu, şi b. ritmul semantic al sensului care întruchipează accepţiunea ritmului în proză, având un caracter continuu. Paul Valery descrie cum a luat naştere un poem al său prin apariţia bruscă a unui ritm "devenit foarte sensibil spiritului" său.

In operele muzicale, ritmul este o noţiune fundamental (alături de melodie şiarmonie),constituind în acelaşi timp un sistem de organizare a duratelor sunetelor şipauzelor. In muzică timpul se măsoară fragmentându-l în ritmuri, bătăii măsuri, tempouri. Exemple de ritmuri diferite: linie melodică lungă în "Concertul de coarde nr. 2" deVivaldi, ritm de dans spaniol în "Bolero" de Ravel, ritm alert, puternic, în baletul"Tricornul" de Manuel de Falia.

O frază muzicală, alcătuită din intervale descendente de cvartă (fig. 4.20, a) poate fi modificată printr-o schimbare ritmică, o creştere, o dezvoltare - schimbare dinamică (fig.4.20, b).

## ##

a b

Fig. 4.20

Ritmul şi linia melodică sunt două componente "structurale" ale melodiei (corespunzând în arhitectură proporției sau înlănţuirii armonioase de proporţii, pe careVitruviu o numea "symmetria"). Raporturile utilizate în muzică sunt simbolizate prin note şi poziţia lor pe portativ.

"Factorul caracteristic care diferenţiază notele este înălţimea lor (numărul de vibraţii pe secundă) iar elementele melodice sunt în realitate raporturi ale acestor înălţimi." (M. Ghyka -Ritm şi muzică)

Matila Ghyka în "Eseu asupra ritmului diferenţiază două tipuri de ritm: unul cu periodicitate riguroasă, bazat pe cadență uniformă sau uniform variată (simetric) şi al doilea cu o periodicitate care conţine pulsaţii ce variază cu intensificări asimetrice. El exemplifică pentru primul, echipartiţiile plane de figuri geometrice, iar pentru cel de-al doilea, simetria dinamică bazată pe raporturi iraţionale ale secţiunii de aur.

7


Aparent, domeniul ritmului este mai apropiat artelor duratei (poezie, muzică, dans), artele vizuale caracterizându-se printr-o percepere instantanee a formelor. In realitate chiar simpla contemplare a unei înlănţuiri de forme şi proporţii, care alcătuiesc o structură spaţială, necesită o perioadă de timp, deoarece perceperea elementelor care alcătuiesc compoziţia se face succesiv, asemenea oricărui fenomen care se desfăşoară în timp.

Putem cuprinde dintr-o privire o construcţie spaţială, dar ochiul o va analiza mai temeinic, împărţind-o în volume, suprafeţe, texturi, şi detalii de decoraţie, trecere subtilă de la continuu la discontinuu, respectiv de la spaţiu la durată şi invers (Matila Ghyka).

Cea mai expresivă apropiere dintre ordinea ritmică în timp şi cea din spaţiu este realizată de P. A. Michelis: "Când timpii forte şi timpii slabi (arsis şi thesis) ai ordinii ritmice, pe care i-am ascultat în timp, apar în spaţiu, bătaia este înlocuită prin masă, iar pauza prin golul spaţiului. Duratele egale devin distanţe egale în spaţiu, ca într-o serie ritmică de coloane".

Suita ritmică în timp este o succesiune de elemente unul după altul, pe când în spaţiu ea este juxtapunere de elemente unul alături de altul Succesiunii i se substituie simultaneitatea, dar fără ca prin aceasta succesivitatea să fie total exclusa privirea noastră este mobilă.

În.spaţiu, ordinea ritmică elementară este reprezentată de succesiunea, ritmică a unorelemente identice. De exemplu, în construcţia unui templu grec, intercolonamentul egal al unui peristil, este o ritmare a elementelor arhitecturale componente, adică a coloanelor (fig. 10.11). în acest caz, ochiul observă ritmic coloanele care reprezintă timpii tari și o dată cu acestea distanţa dintre ele care, în ordinea succesiunii, apar ca timpi slabi.

La Sant`Apollinare Nuovo, ritmul coloanelor este ceva mai agil şi mai zvelt decât la templele greceşti şi romane, iar proporţia lor gracilă face ca ele să nu reţină umbra asupra lor, transformându-le în adevărate cadenţe ritmice care pulsează acompaniind mersul omului de-a lungul navei (C. Ailincăi - Introducere în gramatica limbajului vizual

În operele arhitecturale ordinea ritmică nu se exteriorizează numai într-o singurădirecţie ci, ea formează o reţea ritmică în spaţiu (fig.10.17). În arhitectură şi în design sistemul ritmic are o funcţie de rezistenţă (organizarea forțelor care "susţin" obiectul) şi o funcție estetică. Una este o problemă de cunoaştere a domeniului de proiectare, iar cealaltă este o chestiune de "aparenţă".

În analiza ritmului nu putem să neglijăm armonia şi măsura.P. A. Michelis împarte măsurile ritmului în trei:a. Măsura fiziologică are ca element de bază "viteza" cu care se repetă diviziunile

ritmice. Viteza (tempo) în muzică evoluează în largo, andante, moderato, allegro, presto, tot aşa cum în poezie măsurile sunt în ritm lent sau rapid. In arhitectură, templele, funcţie de distanţa dintre axele coloanelor, pot fi: picnostile, sistile, diastile etc., fapt care poate da acestora, de la caz la caz, un caracter greoi, masculin, graţios;

b. Măsura psihologică este funcţie de dialectica compoziţiei, ritmul putându-se evidenţia prin alternanţă şi variaţia artistică;

c. Măsura spirituală este direct legată de simbioza celor două tipuri de receptare a realităţii, opuse dar complementare: intuiţie şi sentiment (umanist) pe de o parte şi raţiune şi logică (scientist) pe de altă parte.

Perceput ca o desfăşurare globală, în afara parametrului timp, ritmul a fost clasificat de Wucius Wong (Principie s of Two Dimensional Design) în:

• Ritm de formă;• Ritm de dimensiuni;

8'


9


• Ritm cromatic (rapel de culoare) - forme de culori identice, repetate în ansamblul unei structuri, cu sau fără modificarea dimensiunilor;

• Ritm de textură - forme de texturi identice cu sau fără modificarea dimensiunilor, culorilor, valorilor;

• Ritm de direcţie - formele sunt de orientări diferite în cadrul unei structuri. Ritmul direcţional apare prin repetarea unei forme orientate în mod constant într-un sens unic;

• Ritm de poziţie - relaţie ce se stabileşte în interiorul unei structuri prin repetarea aceleiaşi poziţii a unei anumite forme.

O evoluţie ritmică, indiferent de structura ei, se poate desfăşura liniar, plan sau spaţial, în funcţie de regula de evoluţie geometrică.

In figura 4.21 este reprezentată structura generală a ritmului.

RITMUL

10'


11


Poezie Măsurile ritmului

i fPictură

i Grafică

Muzică Fiziologică \J 4 VIAAVVI

-----»

«----

SculpturăPsihologică

Dans Arte ornamentale şi decorativeSpirituală

ArhitecturăTeatru

Design

RITMUL IN

TIMP - DINAMIC

-

RITMUL IN

SPAŢIU - STATIC -

Ritm de formaRitm de dimensiuni

Ritm cromaticRitm de texturăRitm de direcţieRitm de poziţie

Ritm liniarRitm în plan

Ritm în spaţiu

87

13


Fig. 4.21

Analizând ritmul, într-un cadru general, Pius Servien remarcă; "Ritmul este «periodicitatea perceputa». Ea acţionează în măsura în care o asemenea «periodicitate» deformează în noi curgerea obişnuită a timpului... Astfel orice fenomen periodic «perceptibil» pentru simţurile noastre se detaşează din ansamblul fenomenelor neregulate... pentru a acţiona singur asupra simţurilor noastre le impresionaîntr-un fel cu totul disproporţionat faţă de slăbiciunea fiecărui element care acţionează... şi puţin câte puţin, respiraţia noastră, pulsaţiile noastre, gândurile noastre şi tristeţile noastre, ideile noastre, toate dansează pe ritmul şters, însă persistent, pe care credem că nu-l auzim" (Essai sur le rythmes toniques du francais).

Definiţia de mai sus evidenţiază elementul cel mai important al ritmului, periodicitatea, care pentru a deveni ritm, trebuie să fie percepută.

87

Arhitectul G. M. Cantacuzino referindu-se la locul şi rolul proporţiei şi ritmului în cadrul armoniei, remarcă: "Dacă proporţia este supremul efort de convergenţă al spiritului cu sistemul nostru fizic, devenind astfel imaginea indisolubilităţii lor; dacă ritmul nu-i decât proporţia la a doua putere sau mai bine zis însăşi proporţia mişcării, rezultatul final al acestui organism complex este armonia" (Despre armonie în Izvoare şi popasuri).

În arhitectură şi design se utilizează modularea care reprezintă punerea compoziţiei într-o scară de mărimi stabilizate, rezultate din repetarea unei unităţi de măsură anorganice. Modularea creează ritm, dar în mod artificial, deoarece natura nu foloseşte un sistem modular. Dacă ritmul (sau ritmurile) unei opere de artă sau realizări tehnice (statice sau dinamice) creează armonie, exprimă frumosul, se spune că s-a creat euritmie. Vitruviu remarcă: "Când fiecare parte importantă a edificiului este «proporţională» în chipul cel mai potrivit; în ceea ce priveşte acordul dintre înălţime şi lărgime, între lărgime şi adâncime şi în aşa fel încât toate aceste părţi să-şi aibă, de asemenea, locul în «simetria» totală a edificiului, obţinem «euritmia»".

Deşi Vitruviu se referă la operele de arhitectură, definiţia euritmiei este aplicabilă şi pentru artele plastice şi design-ul industrial.

ELEMENTE Ş l F IGURI GEOMETRICE. STRUCTURI GEOMETRICE

Formele geometrice sunt soluţii de reprezentare a realităţii obiective, iar în multe domenii ale creaţiei, problemele care trebuiesc rezolvate sunt de natură geometrică. Analiza grafică a acestora poate duce la o înţelegere clară a domeniului abordat. Trebuie totuşi să se ţină seama că forma lucrurilor poate coincide cu unele figuri geometrice (de exemplu cazul unui cristal), dar în natură figura geometrică nu este întotdeauna origine pentru formă, şi deci percepţia realităţii sub formă geometrică este şi o problemă de opţiune.

Obiectele create în cele mai diverse domenii, arată că omul atunci când acţionează, devine prin forţa lucrurilor, un geometru care creează pe baza geometriei. După cum s-a mai arătat, forma este rezultatul ordonării în spaţiu a mai multor elemente, ordonare ce trebuie să aibă în vedere funcţionalitatea părţilor, dar şi a întregului. In lumea culturii geometrice, forma lucrurilor este determinată de legile geometriei.

Este deci necesară o cunoaştere a teoriei construcţiilor geometrice şi a evoluţiei acestora, atât pentru definirea spaţiului material, cât şi a celui abstract, şi pentru a fixa în desen, în mod clar, o imagine spaţială a obiectelor care trebuiesc reprezentate şi apoi realizate.

##

In cadrul conceptelor geometrice se poate considera - folosind o reducţie cu caracter abstract - că punctul, linia, planul şi volumul sunt elemente de analiză ale oricărui tip de

15


structură geometrică. Leonardo da Vinci considera cel dintâi principiu al ştiinţei picturii, ca fiind următorul: "Începutul picturii stă în punct; în al doilea rând vine linia; în cel de-al treilea rând e suprafaţa; al patrulea e corpul acoperit de suprafaţă" (Leonardo da Vinci - Tratat despre pictură). Aşa cum Leonardo a fost şi un om de ştiinţă, principiul mai sus menţionat se poate aplica cu succes în toate domeniile ştiinţei şi tehnicii contemporane.

5.1 Elemente şi figuri geometrice plane 5.1.1

Punctul şi linia

A. Punctul este elementul primordial, aflat la baza formării elementelor geometrice plane şi spaţiale. Punctul (etimologic, de la latinescul punctus, "punct") este singurul element geometric fără dimensiuni, infinit de mic. Din punct de vedere conceptual are o matrice imaginar - intelectuală, el neexistând în formă pură geometrică în lumea reală.

87

17


"Punctul simbolizează starea limită de abstractizare a volumului, centrul, originea, focarul." (J. Chevalier, A. Gheerbrant - Dicţionar de simboluri). Leibniz deosebeşte punctul metafizic (unitatea principală), de punctul matematic, determinarea spaţială a celui precedent, punct ce ocupă o poziţie.

In cadrul psihologiei percepţiei vizuale, punctul se poate asocia ideii de localizare, de dat bine determinat, de etalon de referinţă în cadrul unui sistem sau altul. El poate fi definit ca începutul şi sfârşitul mişcării (geometrice). In anumite condiţii date, datorită mişcării, punctul contribuie la formarea figurilor şi volumelor geometrice. Mişcarea unui punct sub acţiunea unei forţe formează o dreaptă; dacă dreapta se mişcă în plan se obţin figuri geometrice (plane); dacă asupra figurilor plane acţionează forţe, iau naştere corpuri geometrice spaţiale.

"Punctul este în mod constant şi potențial elementul generator al tuturor formelor geometrice, mişcându-se în plan sau în spaţiu după anumită lege, impusă de ansamblul elementelor directoare" (Z. Dumitrescu - Structuri geometrice, structuri plastice).

Din raţionamente pur geometrice, intersecţiile de linii (drepte, curbe sau combinaţii ale acestora) şi cazurile de tangenţă pot pune în evidenţă puncte.

B. Linia rezultă în urma mişcării unui punct sub acţiunea unei forţe. Ea poate fi dreaptă sau curbă, plană sau spaţială.

Linia dreaptă (de la latinescul directus, "drept", "în linie dreaptă"), este traiectoria unui punct mobil între două poziţii pe drumul cel mai scurt. Din punct de vedere geometric, ea este singurul element ce dispune de o singură dimensiune, lungimea. Sub aspect fizic, linia are două dimensiuni, grosimea duetului grafic fiind utilizată atât în desenul artistic, cât şi în convenţiile desenului tehnic.

Sub acţiunea unor forţe, linia (generatoare) participă la alcătuirea unor figurigeometrice plane (fig. 5.1) sau spaţiale (fig. 5.2).

Analiza unei linii în raport cu un sistem de referinţă,, implicănoţiunile de orientare,

9

poziţie, sens şi direcţiei.Poziţiilor dreptelor (orizontale, verticale, oblice) le pot fi

asociate diferite simboluri.Orizontala este legată de semnificaţia calmului, a repausului (Luc Joly); verticala este asociată cu ideea de ascensiune, elevaţie, aspiraţie spre superior. W. Kandinsky

88


asociază dreptelor şi "culorile primare". Astfel, dreptelor orizontale le corespunde negrul, celor verticale - albul, iar celor oblice (diagonalelor) - roşul sau verdele.

Fig. 5.1@@

Fig. 5.2

89

Capitolul 5 Elemente şi figuri geometrice. Structuri geometrice

O dreaptă poate fi apreciată şi funcţie de poziţia relativă în raport cu alte drepte situate în acelaşi plan. Ele pot fi paralele sau concurente.

În geometria descriptivă se studiază mai amănunţit poziţia relativă a două drepte situate în spaţiu, precum şi poziţia unei drepte faţă de un sistem de referinţă.

În construcţiile geometrice dreapta poate avea funcţii diverse ca:- dreapta mediatoare (etimologic, de la latinescul median, "a fi la mijloc"), o

dreaptă ce împarte în două părţi egale, prin perpendicularitate, un segment de dreaptă, sau o structură geometrică;

- dreapta mediană (de la latinescul medianus, "de mijloc"), dreapta ce străbate mijlocul unui segment, a unei linii curbe, a unei structuri geometrice, fără condiţie de perpendicularitate;

- dreapta bisectoare (etimologic, de la latinescul bis, "două părţi" şi secare, "tăiere", "decupare");

- dreptele: diagonale, diametre, raze (fig. 4.16, 4.17);- dreapta tangentă (fig. 4.16);- dreapta axă - axă de simetrie, o dreaptă luată ca reper ordonator şi constructiv

(fig. 4.17);- dreapta de contur aparent, este dreapta care delimitează figurile geometrice plane

sau spaţiale (Z. Dumitrescu - Structuri geometrice, structuri plastice).Linia curbă o regăsim în lumea vegetală şi animală, sugerând vivacitatea, creşterea

şi mişcarea (contrare inerţiei geologice evocate de linia dreaptă).Linia curbă poate avea funcţie de definirea prin poziţii măsurabile, două sau trei

dimensiuni funcţie de cum este plasată, în plan sau în spaţiu.În plan, linia curbă poate determina figuri geometrice cum ar fi: cercul, ovalul şi

ovoidul (curbe rezultate prin racordări de arce de cerc), elipsa, parabola, hiperbola, evolventa, astroida, cisoida; cicloida, epicicloida, hipocicloida, strofoida, lemniscata, concoida, spiralele (logaritmică, hiperbolică, spirala lui Arhimede) etc.

In spaţiu, linia curbă se poate prezenta sub forma elicei cilindrice, elicei conice, elicei sferice etc.

Despre locul şi rolul liniei în artă, s-au ocupat prin studii teoretice: Wassily Kandinsky (Point and Line to Plane), Paul Klee (Padagogisches Skizzenbuch) şi mai recent Luc Joly (Structure) şi Rudolf Arnheim (Arta şi percepţia vizuală). R. Arnheim evidenţiază trei moduri fundamental diferite de prezentare a liniei: linie obiect, linie de haşură şi linie de contur.

5.1.2 Figuri geometrice planeÎnainte de a analiza diferitele figuri geometrice plane, trebuie să definim noţiunea

de plan. Acest termen cunoaşte o multitudine de definiţii precum: 1. "Suprafaţă conţinând orice dreaptă care trece prin două puncte oarecare ale acestei suprafeţe" (Dicţionar al limbii române contemporane); 2. "Suprafaţa conţinând toate dreptele care trec printr-un punct fix, intersectând o linie dreaptă care nu trece prin acel punct" (Dicţionarul limbii române moderne); 3. "Suprafaţă nelimitată care conţine în întregime o dreaptă care uneşte două din punctele sale" (Nouveau Petit Larousse).

90


Geometric, un plan poate fi definit de: trei puncte necoliniare; două drepte concurente; două drepte paralele; o dreaptă şi un punct exterior acesteia.

Noţiunea de plan se confundă adesea cu cea de suprafaţă sau cu cea de suprafaţă plană.

Planul (etimologic, de la latinescul planum, "plat", "plan") are două dimensiuni, lungimea şi lăţimea (măsurabile ortogonal) şi reprezintă a treia etapă în evoluţia geometrică: punct- linie - plan - volum. El cuprinde categoria figurilor geometrice plane (poligoanele şi curbele plane).

Structura rectilinie plană se caracterizează prin linii drepte aflate într-o relaţie de perpendicularitate, paralelism şi convergenţă, relaţie ce duce la forme poligonale (de lagrecescul polis, "mai multe" şi gonos, "unghi").

Unghiurile plane din structura unei figuri geometrice, conduc la apariţia unor tensiuni geometrice şi plastice. Această tensiune angulară (de la latinescul angulus, "unghi", "colţ") se manifestă diferit în percepţia vizuală.

Triunghiul isoscel DEF (fig. 5.3, b) prezintă o marcantă tensiune (de ghidare) spre vârful D. Tensiunea se echilibrează în cazul triunghiului echilateral ABC (fig. 5.3, a) şi se anulează în cazul triunghiului isoscel GHI (fig. 5.3, c) unde tensiunea unghiurilor H şi I este mai puternică. Unghiul ascuţit orientează privirea în afara formaţiunii angulare în sensul sugerat de vârf (fig. 5.4, a, b, c). Unghiul drept (fig. 5.4, d) creează o tensiune angulară cu un caracter static, centrar, polarizant, realizând un echilibru. Unghiul obtuz (fig. 5.4, f) prezintă cea mai puternică tensiune centrară şi cea mai slabă tensiune angulară, iar unghiul obtuz din figura 5.4 e, prezintă o mai slabă tensiune centrară şi o mai puternică tensiune angulară.

91


Luc Joly (Structure) prezintă un tabel (Tabelul 5.1) al corelaţiei dintre numărul de laturi şi mărimile de unghiuri (în cazul poligoanelor regulate), arătând că mărirea

Fig. 5.4

92


numărului de laturi duce firesc, la creşterea numărului de unghiuri, valoarea sumei deschiderilor angulare rămânând însă constantă.

În continuare se vor prezenta principalele poligoane şi curbe plane cu aplicaţii în ştiinţă şi artă.

5.1.2.1 Poligoane

Triunghiul

1. Triunghiul echilateral (etimologie, de la prefixul latin tri, "trei" şi angulus, "unghi") este poligonul regulat cu cel mai mic număr de laturi. Tensiunile angulare, egale între ele, îi oferă acestei figuri o stabilitate geometrico - plastică. Descompunerea armonică a triunghiului echilateral este bazată pe tripla simetrie axială pe care o prezintă (fig. 5.5, a). Când se consideră o singură simetrie axială, descompunerea triunghiului echilateral preia structura unor triunghiuri isoscele (fig. 5.5, b).

Tabelul 5.1

@@

flit

@ —Triunghiul echilateral

3 60° Octogonul 8

4 90° 9 140°

Pentagonul 5 108° 10 144°Hexagonul 6 120° 11

7 12 150°

b

93


Fig. 5.52. Triunghiul dreptunghicîn arhitectură şi tehnică se utilizează foarte frecvent triunghiul dreptunghic. Punerea în

proporţie a edificiilor se realizează de obicei cu ajutorul unor triunghiuri dreptunghice, această grupare (în elevaţie sau în plan) numindu-se triangulaţie.

Principalele triunghiuri dreptunghice utilizate pentru punerea în proporţie sunt:

94


95


În tabelul 5.2 (după H. R. Radian - Cartea proporţiilor) sunt prezentate principalele tipuri de triunghiuri dreptunghice (cu valoarea catetei mici ca unitate), dându-se valorile raportului între catete (Triunghiul lui Pitagora are cateta mică egală cu 3 unităţi).

DreptunghiulDreptunghiul rezultă din alăturarea ipotenuzelor a două triunghiuri dreptunghice

identice. El are acelaşi raport între laturi ca şi triunghiurile dreptunghice din care a provenit. Simetria dinamică (Jay Hambidge) grupează dreptunghiurile în statice şi dinamice (vezi paragraful 4.1.1). Subdiviziuni armonice ale dreptunghiurilor suntreprezentate în fig. 4.11. Dreptunghiul cu laturile 1 şi @ poate fi descompus conform figurii 5.17. Un dreptunghi cu laturile 1şi @ (fig. 5.18) se poate împărţi în două dreptunghiuri egale, asemenea cudreptunghiul iniţial. El face parte din formele recurente care rămân asemenea cu ele însele în cazul creşterii/descreşterii lor, prin însumare/scădere sau prin multiplicare/divizare. Standardizarea formatelor de desen, conform ISO, a pornit de la dreptunghiul culaturile a şi b în raport a/b = şi@ ab - 1 m . A rezultat formatul AO cu dimensiunile841 x 1189 mm. Prin înjumătătire succesivă s-au obţinut: Al (594 x 841); A2 (420 x 594); A3 (297 x 420); A4 (210 x 297).

Pătratul

Fig. 5.15

Fig. 5.16

95


Pătratul este considerat, alături de cerc, una dintre figurile geometrice plane cele mai perfecte, imagine a stabilităţii, echilibrului şi care îşi păstrează calităţile geometrice şi plastice, indiferent de orientarea, poziţia şi dimensiunile sale. El mai poate fi socotit dreptunghi dinamic cu subdiviziuni armonice (fig. 4.12). Pătratul poate fi descompus armonic după structura sa simetrică (fig. 5.19, a) sau după structura generării rectilinii (fig. 5.19, b).

96


@

97


98


99


100


b

Fig. 5.19

Pentagonul regulat şi decagonul regulatConstrucţia grafică a pentagonului convex şi a pentagonului stelat, este reprezentată

în figura 4.7. Latura pentagonului stelat este în tăietura de aur cu latura pentagonului convex (vezi paragraful 4.1).

Pentagonul a fost utilizat în trasarea rozaselor catedralelor gotice, ca la Notre Dame din Paris; decagonul în planul templului Minervei Medica de la Roma (300 - 320), la mausoleul lui Theodoric, de la Ravenna (fig. 10.16), în bisericile romanice etc.

101


102


Fig. 5.20

Fig. 5.22

Fig. 5.21

103



104

Hexagonul regulatSe obţine din alăturarea de triunghiuri echilaterale, şi poate acoperi complet planul.

El se construieşte uşor, deoarece latura hexagonului regulat este egală cu raza cercului circumscris acestuia(fig. 5.20).

Heptagonul regulatPrima construcţie a heptagonului regulat a fost realizată de Durer (fig. 5.21).

105


Octogonul regulatOctogonul regulat (fig. 5.22, a) este utilizat în planul bisericilor bizantine: Hosios

Lucas (1020) şi Daphni (1080) din Grecia continentală; Nea Moni (1042 - 1046) din Chios. El simbolizează învierea şi evocă viaţa veşnică.

Octogonul stelat (fig. 5.22, b) a constituit un element decorativ al artei musulmane.

5.1.2.2 Curbe plane

În acest paragraf se vor aborda cele mai importante curbe care se întâlnesc în aplicaţiile din tehnică şi în artele grafice.

Cercul este locul geometric al tuturor punctelor din plan care se află la o distanţă constantă R de un punct fix O. El este utilizat aproape în toate domeniile ştiinţei şi artei grafice.

Ca rezultat al racordării arcelor de cerc se obţin şi alte curbe precum: ovoidul; ovalul (de la latinescul ovum - "ou"); arcul cu trei centre (toartă de paner) care a fost utilizat în perioada de tranziţie de la gotic la Renaştere. Din motive tehnologice, în anumite domenii tehnice, arcele de cerc înlocuiesc alte tipuri de curbe.

Elipsa (de la grecescul elleipsis) este locul geometric al punctelor din plan, pentru care suma distanţelor la două puncte fixe F1 şi F2 (focare) este constantă (fig. 5.23, a).

Parabola (etimologic, de la grecescul para, "alături" şi ballein, "a compara") este

locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de un punct fix F şi de o dreaptă fixă

d (fig. 5.23, b).Hiperbola (de la grecescul hyper, "pe deasupra" şi ballein, "a compara") este locul

geometric al tuturor punctelor din plan, pentru care diferenţa distanţelor la două puncte fixe F1 şi F2 (focare) este constantă (fig. 5.23, c).

Cicloida este curba descrisă de un punct al unui cerc când acesta se rostogoleşte fară alunecare pe o dreaptă dată, numită bază (fig. 5.24, a). Cicloida poate fi propriu-zisă (comuna), scurtată sau alungită.

Epicicloida este descrisă de un punct al unui cerc care se rostogoleşte fară alunecare pe partea exterioară a unui cerc fix (fig. 5.24, b). În cazul în care R = r epicicloida corespunzătoare este cardioida. Epicicloida poate fi propriu-zisă, scurtată sau alungită.

Fig. 5.23

106


Hipocicloida este curba descrisă de un punct al unui cerc mobil care se rostogoleşte fară alunecare prin interiorul unui cerc fix (fig. 5.24, c). Dacă R/r = 4, hipocicloida senumeşte astroidă, iar dacă R/r = 2 se obţine dreapta diametrală.

107



108

y

X

Fig. 5.24


109


110

Cele trei curbe ciclice, mai sus menţionate, respectă legea fundamentală a angrenării, care arată că pentru transmiterea mişcării de rotaţie prin intermediul a două roţi dinţate sub raport de transmisie constant, profilele dinţilor trebuie să fie proiectate astfel încât normala comună în orice punct de contact al acestor profile să treacă printr-un punct fix, numit polul angrenării.

în cazul roţilor dinţate conice cu dinţi în arc de cicloidă, directoarea roţii plane imaginare face parte dintr-o epicicloidă alungită (mai rar hipocicloidă), iar funcţie de procedeul de prelucrare, dantura se numeşte eloidă sau ciclo-paloidă.

Evolventa cercului (desfăşurata cercului, de la latinescul evolvere, "a desfăşura"), este o curbă descrisă de un punct de pe o dreaptă generatoare care se rostogoleşte fară alunecare pe un cerc director (fig. 5.25, a). Una din proprietăţile evolventei, utilă în generarea danturii, constă în faptul că punctele diferite aflate pe dreapta generatoare (rulanta), alese echidistant, descriu evolvente identice şi echidistante.


111


112


113


114

Fig. 5.25Trecerea între epicicloidă şi hipocicloidă se poate face prin două moduri astfel:

cicloidă, când cercul de bază are raza infinit de mare, transformându-se într-o dreaptă; evolventa, caz în care cercul rulantă are rază infinit de mare, devenind o dreaptă tangentă la cercul de bază. Acest din urmă caz are importanţă în generarea unor suprafeţe pe maşinile-unelte.

Spirala arhimedică (spirala lui Arhimede) este curba descrisă de un punct ce se deplasează uniform pe o semidreaptă, în timp ce aceasta se roteşte uniform în jurul unui

115


punct fix (fig. 5.25, b). Ea are ecuaţia în coordonate polare p =@ aa . Dintre proprietăţile

care-i oferă spiralei arhimedice utilizări practice, putem enumera: subnormala polară a spiralei lui Arhimede este constantă; distanţa dintre două spire consecutive, măsurată pe aceeaşi rază vectoare, este constantă; pe măsura îndepărtării spiralei de pol, spirele tind să intersecteze razele vectoare sub un unghi drept. Spirala arhimedică este regăsită în construcţia cuţitelor profilate disc şi în procesul de generare a suprafeţelor, printre curbele directoare.

Spirala logaritmică (fig. 4.9) este definită de ecuaţia p = @aeka . Ea are următoarele proprietăţi:

• Dacă valorile lui a cresc în progresie aritmetică, valorile corespunzătoare lui p sunt în progresie geometrică;• Raportul distanţelor dintre două spire consecutive, măsurate pe aceeaşi rază vectoare, este constant;• Spirala logaritmică îşi intersectează razele vectoare sub un unghi constant. In teoria mecanismelor, în cazul transmiterii mişcării prin contact direct între elemente, unele came au profil în formă de spirală arhimedică.

Menţinerea constantă a unghiului de aşezare a a unor scule (după reascuţire) implică prelucrarea suprafeţelor de aşezare ale dinţilor unor scule după o traiectorie directoare curbă. Cu toate că spirala logaritmică satisface condiţia menţinerii constante a unghiului a, ea nu este utilizata în detalonare datorită dificultăţii realizării tehnice a acestei traiectorii. Din această cauză se foloseşte ca directoare spirala arhimedică.

Spirala hiperbolică este curba definită în coordonate polare prin ecuaţia p = a/@, şi are proprietatea că subtangenta polară a ei este constantă.

Printre curbele uzuale mai putem enumera: lănţişorul (fig. 5.25, c), concoidele (concoida lui Nicomede, melcul lui Pascal); podarele; lemniscata lui Bernoulli; cisoida lui Diocles; strofoida dreaptă; evolventa lănţişorului.

5.2. Forme şi structuri geometrice spaţiale 5.2.1

Forme poliedrale

Poliedrele sunt corpuri geometrice mărginite de feţe plane. Feţele poliedrelor sunt poligoane cu un anumit număr de laturi. Laturile poligoanelor constituie muchiile poliedrului şi rezultă din intersecţia a două fete alăturate ale sale. Vârful unui poliedru aparţine la cel puţin trei feţe, ca vârf comun al poligoanelor respective. Pe lângă unghiurile plane ale feţelor, un poliedru prezintă la vârfuri unghiuri solide (sau poliedrale), iar de-a lungul muchiilor, unghiuri diedre. Lungimile muchiilor, mărimea unghiurilor plane (ale feţelor), unghiurile poliedrale şi diedre, ariile feţelor şi volumul poliedrului constituie elementele lui metrice, între care rezultă anumite relaţii, numite proprietăţile metrice ale poliedrului.

Poliedrele pot fi convexe sau concave. Un poliedru se numeşte convex sau eulerian dacă segmentul care uneşte două puncte oarecare conţine numai puncte din interiorul

116


117


5.2.1.4 Echipartiţii plane

Echipartitiile plane constau din acoperirea planului cu poligoane regulate, identice (echipartiţie regulată sau omogenă) sau cu o combinaţie de poligoane regulate, diferite (echipartitie semiregulată). Echipartitiile plane se mai numesc mozaicuri, grile, latice saureţele.Echipartiţii plane regulate. Triunghiul echilateral (fig. 5.28, a), pătratul (fig. 5.28, b) şi hexagonul regulat (fig. 5.28, c) sunt singurele poligoane regulate care pot să acopere complet, ele singure, o suprafaţă plană. Ele formează astfel cele trei echipartiţii plane regulate. Prin transformări ale echipartitiilor plane regulate, se pot obţine elemente repetitive identice care nu vor mai fi poligoane regulate, ci poligoane neregulate, sau chiar forme curbe (fig. 5.28, d).

Fig. 5.28

Echipartiţii semiregulate cu un singur tip de nod (fig. 5.29). Aceste echipartiţii corespund celor opt combinaţii de poligoane regulate aşezate în jurul aceluiaşi nod sau vârf. Litre acestea, indicându-se şi tipurile de moduri, se remarcă: echipartiţii formate

din

105


Fig. 5.29

106


hexagoane regulate şi triunghiuri echilaterale (fig. 5.29, a); echipartitii formate din triunghiuri echilaterale şi pătrate (fig. 5.29, b, c); hexagoane regulate, pătrate şi triunghiuri echilaterale (fig. 5.29, d); octogoane regulate şi pătrate (fig. 5.29, e).

Echipartitii semiregulate cu mai multe tipuri de noduri. Acestea, care se mai numesc reţele plane semiregulate, sunt în număr de 14. Două dintre aceste echipartiţii,

indicându-se şi tipurile de noduri, sunt reprezentate în fig. 5.30.

Fig. 5.30

Dualele echipartiţiilor plane regulate, sunt în număr de trei (dualele echipartiţiilor cu triunghiuri echilaterale sunt hexagoane regulate, dualele hexagoanelor regulate sunt triunghiuri echilaterale, iar dualele pătratelor sunt tot pătrate). Dualele echipartiţiilor semiregulate cu un singur tip de nod sunt formate din poligoane neregulate triunghiulare, pentagonale sau rombice. Trei dintre acestea sunt reprezentate în fig. 5.31.

Fig. 5.31

107


Dualele echipartiţiilor plane cu mai multe tipuri de noduri sunt în număr de 14, două dintre ele fiind reprezentate în fig. 5.32.

Fig. 5.32

108


elemente de compoziŢie

Documents