”Ştiinţa se clădeşte cu fapte, aşa cum o casă se construieşte cu pietre.Dar o colecţie de fapte nu e ştiinţă, la fel cum un morman de pietrenu e o casă.”

Henri Poincaré

10Variabile aleatoare continue

De la astrologie la jocuri de noroc

Multi dintre marii matematicieni ai evului mediu si-au castigat existentarealizand horoscoape pentru nobilii acelor vremuri. Astrologia (stiinta stelelor)era mai importanta decat astronomia (legea stelelor). Fiind printre primelepreocupari stiintifice ale oamenilor, astrologia primise titlul de stiinta cand de

1

fapt era o pseudostiinta. Reabilitarea astronomilor a venit mult mai tarziu,dupa aparitia primelor telescoape. Sistemul nostru solar nu continea decat 6planete, Uranus (1751), Neptun (1846) si Pluto (1930) (planetoid acum) nefiindinca descoperite.

Dupa acum am amintit intr-un seminar trecut, problema potului, adresatalui Blaise Pascal in 1654 de catre cavalerul De Méré, este considerata un punctde plecare in crearea teoriei probabilitatilor. Pascal a folosit, in corespondentasa cu Pierre Fermat, pentru prima data termenul ”valoare as,teptată (sperată)”.In goana dupa un castig usor obtinut, pasionatii de jocuri de noroc incep saaprecieze modelele probabiliste ale jocurilor de noroc. Matematicienii, cu cevamai multa tragere de inima, incep sa studieze matematica jocurilor de noroc,incepand cu secolul al XVIII-lea. Prin aceasta perioada matematicianul Abra-ham de Moivre era printre altele si consultant al unor jucatori, fiind deseori pussa calculeze probabilitati de tipul

Care sunt sansele sa obtinem intre 50 si 80 de ori pajura, cand arun-cam o moneda de 100 de ori ?

De Moivre a avut ideea sa deseneze problema. La o reprezentare grafica, anumarului de aruncari 𝑁 si ale probabilitatilor aferente, se obtin situatii detipul celor afisate mai jos.

Cu cat 𝑁 va lua valori mai mari, de exemplu aici 𝑁 = 12 aruncari, un fenomenincepe sa se contureze.

2

https://ro.wikipedia.org/wiki/Problema_punctelor

Aparent probabilitatile de aparitie a pajurei par a se situa pe o curba sime-trica iar de Moivre observa ca daca am sti functia care da aceasta curba amputea sa estimam usor probabilitatile cerute. De fapt, el a intuit ceea ce numimastazi aproximarea normala a variabilelor aleatoare binomiale.

Functia care genereaza acesta curba, numita clopotul lui Gauss, este

𝑓𝑁 (𝑥) =

√2√

𝜋𝑁𝑒−

(2𝑥−𝑁)22𝑁 .

Avand aceste informatii putem evalua

𝑃 (50 ≤ 𝑋 ≤ 80) =∫︁ 8050

𝑓𝑁 (𝑥)𝑑𝑥

insa aceasta integrala nu poate fi calculata prin metode elementare, din cauzaprezentei lui 𝑒−𝑥

2

in expresia integrandului. Am putea folosi metode similarecelor din fisa seminarului 2 dar tot vom intampina mici dificultati tehnice.

Strategia castigatoare va fi urmatoarea: vom face o schimbare de variabilacare va reduce integrandul la unul standard (constant relativ la N) apoi pri-mitivele acestuia, evaluate in cele mai uzuale argumente, vor fi afisate intr-untabel (numit tabelul scorurilor z). O solutie inginereasca acolo unde rigurozi-tatea matematica esueaza.

3

https://cismasemanuel.files.wordpress.com/2020/02/seminar-integrale-cu-parametru-3.pdf

Variabile aleatoare continue

O variabila aleatoare continua poate avea ca valori orice numar dintr-uninterval dat, de exemplu: variabila aleatoare 𝑋 care masoara timpul necesarpentru a realiza ceva. Daca pentru variabilele aleatoare discrete verbul era ”anumara”, acum acesta devine ”a masura”.

∙ 𝑋 este o variabila aleatoare continua daca exista o functie 𝑓(𝑥), numitadensitate de probabilitate, astfel ca pentru orice −∞ ≤ 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ ∞

𝑃 (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) =

𝑏∫︁𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∙ densitatea de probabilitate satisface proprietatile definitorii∞∫︁

−∞

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 si 𝑓(𝑥) ≥ 0

∙ functia de repartitie definita prin 𝐹 (𝑥) := 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥) poate substitui roluldensitatii de probabilitate in calculul probabilitatilor

𝑃 (𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎)∙ pentru o variabila aleatoare continua 𝑋, cand 𝐹 va fi continua, vom avea

relatiile

𝑃 (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃 (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃 (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑃 (𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎)

In general avem∙ 𝐹 ′(𝑥) = 𝑓(𝑥) (unde derivata exista)

∙ 𝐹 (𝑥) =𝑥∫︁

−∞

𝑓(𝑡)𝑑𝑡

∙ 𝐹 (𝑥1) ≤ 𝐹 (𝑥2) daca 𝑥1 < 𝑥2

∙ lim𝑥→∞

𝐹 (𝑥) = 1 si lim𝑥→−∞

𝐹 (𝑥) = 0

∙ de remarcat faptul ca 𝑃 (𝑋 = 𝑐) = 0 pentru orice constanta 𝑐 ∈ R, spredeosebire de cazul discret

∙ valoarea medie 𝑀(𝑋) si dispersia 𝐷2(𝑋) unei variabile aleatoare continuecu densitatea de probabilitate 𝑓(𝑥) se calculeaza prin:

𝑀(𝑋) =

∫︁ ∞−∞

𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥,

4

𝐷2(𝑋) =

∫︁ ∞−∞

(𝑥−𝑀(𝑋))2𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.

∙ momentele de ordin 𝑘 notate prin 𝑀𝑘 sunt

𝑀𝑘(𝑋) =

∫︁ ∞−∞

𝑥𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

iar momentele centrate de ordin 𝑘

𝑚𝑘(𝑋) =

∫︁ ∞−∞

(𝑥−𝑀(𝑋))𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

∙ se pastreaza proprietatile valorii medii sau ale dispersiei din cazul discretiar covarianta si coeficientul de corelatie se definesc la fel

Variabile aleatoare continue clasice

Variabile aleatoare uniforme

∙ daca 𝑋 are densitatea de probabilitate

𝑓(𝑥) =

{︃1

𝑏−𝑎 , daca 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]0, in rest

spunem ca 𝑋 are distributia uniform continua si scriem 𝑋 ∼ 𝑈(𝑎, 𝑏).

∙ se verifica prin calcul ca 𝑀(𝑋) = 𝑎+𝑏2 si 𝐷2(𝑋) = (𝑏−𝑎)

2

12

Variabile aleatoare normal distribuite

∙ daca 𝑋 are densitatea de probabilitate

𝑓(𝑥) =1√

2𝜋𝜎2𝑒−

(𝑥−𝑚)2

2𝜎2

spunem ca 𝑋 are distributia normala si scriem 𝑋 ∼ 𝑁(𝑚,𝜎2).

5

∙ pentru o astfel de variabila avem 𝑀(𝑋) = 𝑚 si 𝐷2(𝑋) = 𝜎2.

Variabile aleatoare normale standard distribuite

∙ o variabila cu distributia normala standard 𝑍 este o variabila normal dis-tribuita corespunzatoare valorilor 𝑚 = 0 si 𝜎 = 1, 𝑍 ∼ 𝑁(0, 1).

∙ functia ei de repartitie merita o notatie distincta

Φ(𝑥) =1√2𝜋

∫︁ 𝑥−∞

𝑒−𝑡2

2 𝑑𝑡

si are valorile intr-un tabel al scorurilor 𝑧.∙ in manevrarea variabilelor aleatoare normal distribuite folosim frecvent

urmatorul argument de standardizare:∙ pentru o variabila 𝑋 ∼ 𝑁(𝑚,𝜎2) calculam probabilitatile in felul urmator

𝑃 (𝑥1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥2) = 𝑃(︂𝑥1 −𝑚

𝜎≤ 𝑍 ≤ 𝑥2 −𝑚

𝜎

)︂= Φ

(︂𝑥2 −𝑚

𝜎

)︂−Φ

(︂𝑥1 −𝑚

𝜎

)︂

unde 𝑍 :=𝑋 −𝑚

𝜎este o variabila aleatoare cu distributia normala standard

iar valorile Φ

(︂𝑥2 −𝑚

𝜎

)︂, Φ

(︂𝑥1 −𝑚

𝜎

)︂se citesc din tabelul scorurilor 𝑧.

∙ de fapt, identitatile de mai sus afirma ca valorile functiei de repartitie aleunei variabile aleatoare normal distribuite

𝑋 ∼ 𝑁(𝑚,𝜎2)

se calculeaza prin

𝐹𝑋(𝑥) = Φ

(︂𝑥−𝑚

𝜎

)︂Variabile aleatoare exponential distribuite

∙ daca 𝑋 are densitatea de probabilitate

𝑓(𝑥) =

{︃𝜆𝑒−𝜆𝑥, pentru 𝑥 ≥ 00, in rest

spunem ca 𝑋 are distributia exponentiala si scriem 𝑋 ∼ 𝐸𝑥𝑝(𝜆).

6

https://cismasemanuel.files.wordpress.com/2020/04/z-table.pdf

∙ prin calcul se verifica 𝑀(𝑋) = 1𝜆 si 𝐷2(𝑋) = 1𝜆2

Variabile aleatoare Erlang si gamma

∙ daca 𝑋 are densitatea de probabilitate

𝑓(𝑥) =

{︃𝜆𝑟𝑥𝑟−1𝑒−𝜆𝑥

Γ(𝑟) , pentru 𝑥 > 0

0, in rest

spunem ca 𝑋 are distributia gamma si scriem 𝑋 ∼ Γ(𝜆, 𝑟).∙ pentru 𝑟 intreg se obtine distributia Erlang

∙ prin calcul se verifica 𝑀(𝑋) = 𝑟𝜆 si 𝐷2(𝑋) = 𝑟𝜆2

Variabile aleatoare beta

∙ este o variabila care are o distributie flexibila si valori nenule restrictionatela un interval [0, 1], fiind utila in multe modele probabiliste.

∙ proportia de radiatie solara absorbita de un material sau proportia (dintimpul maxim) necesara realizarii unei sarcini sunt exemple de variabile continuecu valori in intervalul [0, 1]

∙ daca 𝑋 are densitatea de probabilitate

𝑓(𝑥) =

{︃Γ(𝜇+𝜈)Γ(𝜇)Γ(𝜈)𝑥

𝜇−1(1 − 𝑥)𝜈−1, pentru 𝑥 ∈ [0, 1]0, in rest

spunem ca 𝑋 are distributia beta si scriem 𝑋 ∼ 𝛽(𝜇, 𝜈).

7

∙ prin calcul se verifica 𝑀(𝑋) = 𝜇𝜇+𝜈 si 𝐷2(𝑋) = 𝜇𝜈(𝜇+𝜈)2(𝜇+𝜈+1)

Aproximari normale ale variabilelor discrete

∙ teorema limita centrala are un rol practic deosebit in teoria probabilitatilorpermitand aproximarea unor variabile discrete prin intermediul uneia normaldistribuita

∙ daca 𝑋 este o variabila aleatoare cu distributie binomiala 𝑋 ∼ 𝐵𝑖(𝑛, 𝑝)si 𝑛 este suficient de mare, atunci 𝑋 poate fi aproximata printr-o variabilaaleatoare normal distribuita 𝑌 ∼ 𝑁(𝑛𝑝, 𝑛𝑝(1 − 𝑝))

∙ de obicei se aplica si corectiile de continuitate pentru a imbunatati esti-marea

𝑃 (𝑋 = 𝑘) ≈ 𝑃(︂𝑘 − 1

2< 𝑌 < 𝑘 +

1

2

)︂intrucat aici 𝑋 este discreta are sens sa calculam probabilitatea evenimentului𝑋 = 𝑘, in plus avem

𝑃 (𝑋 ≤ 𝑘) = 𝑃 (𝑋 < 𝑘 + 1) ≈ 𝑃(︂𝑌 < 𝑘 +

1

2

)︂

𝑃 (𝑋 ≥ 𝑘) = 𝑃 (𝑋 > 𝑘 − 1) ≈ 𝑃(︂𝑌 > 𝑘 − 1

2

)︂𝑃 (𝑘1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑘2) ≈ 𝑃

(︂𝑘1 −

1

2< 𝑌 < 𝑘2 +

1

2

)︂∙ daca 𝑋 este o variabila aleatoare cu distributie Poisson de parametru 𝜆 si

𝜆 este mare, atunci 𝑋 poate fi aproximata printr-o variabila aleatoare normaldistribuita 𝑌 ∼ 𝑁(𝜆, 𝜆)

∙ se pot aplica aceleasi corectii de continuitate

8

https://cv.upt.ro/pluginfile.php/318648/mod_resource/content/1/ms-c10.pdf

Probleme rezolvate

Problema 1. Suprarezervarea locurilor pentru zborurile intercontinen-tale este o practica comuna in cadrul companiilor aeriene, vezi cazulUnited Airlines. Aeronave care sunt capabile sa transporte 300 de pasageriaccepta pana la 320 de rezervari. Daca 10% dintre pasagerii care au o re-zervare nu se imbarca in cele din urma in avion, care este probabilitateaca cel putin un pasager, care are bilet de avion, sa sfarseasca fara un locin avion ? Care este probabilitatea ca intre 25 si 45 de pasageri cu locrezervat sa nu se prezinte la poarta de imbarcare ?

Solutie: Inainte de toate trebuie sa recunoastem ca este vorba despre unexperiment binomial. Sunt 𝑛 = 320 de repetari: un pasager cu o rezervare facutaincearca sa se imbarce in avion la fiecare asa-zisa repetare. Numim ”success”situatia in care un pasager care are o rezervare nu reuseste sa se imbarce pentruzborul sau. Probabilitatea unui succes este 𝑝 = 0.10

Notam prin urmare cu 𝑋 variabila aleatoare care numara pasagerii cu re-zervare care nu reusesc sa se imbarce in avion. 𝑋 este o variabila aleatoarediscreta cu distributie binomiala 𝑋 ∼ 𝐵𝑖(320, 0.10) si va trebui sa calculam𝑃 (𝑋 ≤ 19) si 𝑃 (25 ≤ 𝑋 ≤ 45).

Putem face asta folosind distributia binomiala dar va conduce la o muncade chinez batran, de exemplu

𝑃 (𝑋 ≤ 19) =19∑︁𝑘=1

𝐶𝑘320(0.10)𝑘(0.90)320−𝑘

O idee mai buna este sa aproximam variabila discreta 𝑋 printr-una continua 𝑌care este normal distribuita

𝑌 ∼ 𝑁(𝑛𝑝, 𝑛𝑝(1 − 𝑝)) = 𝑁(32, 28.8)

conform teoremei limita centrala.

Folosim apoi corectiile de continuitate:

𝑃 (𝑘1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑘2) ≈ 𝑃(︂𝑘1 −

1

2< 𝑌 < 𝑘2 +

1

2

)︂si

𝑃 (𝑋 ≤ 𝑘) ≈ 𝑃(︂𝑌 < 𝑘 +

1

2

)︂Deci

𝑃 (25 ≤ 𝑋 ≤ 45) ≈ 𝑃(︂

25 − 12< 𝑌 < 45 +

1

2

)︂si

𝑃 (𝑋 ≤ 19) ≈ 𝑃(︂𝑌 < 19 +

1

2

)︂9

http://psihoselect.ro/united-airlines-si-cum-profita-richard-branson

Avem nevoie si de o reducere a lui 𝑌 la o variabila aleatoare cu distributia

standard normala prin tranformarea𝑌 −𝑚

𝜎= 𝑍. Au loc relatiile

𝑃 (𝑥1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥2) = 𝑃(︂𝑥1 −𝑚

𝜎≤ 𝑍 ≤ 𝑥2 −𝑚

𝜎

)︂= Φ

(︂𝑥2 −𝑚

𝜎

)︂−Φ

(︂𝑥1 −𝑚

𝜎

)︂pentru 𝑍 ∼ 𝑁(0, 1).

𝑃 (24.5 < 𝑌 < 45.5) = 𝑃

(︂24.5 − 32

5.36≤ 𝑍 ≤ 45.5 − 32

5.36

)︂= Φ (2.51) − Φ (−1.39)

= 0.9940 − 0.0823 = 0.92 = 92%

si

𝑃

(︂𝑌 < 19 +

1

2

)︂= 𝑃

(︂𝑍 ≤ 19.5 − 32

5.36

)︂= Φ (−2.33) = 0.0102 = 1%

Mai sus am citit scorurile 𝑧 din tabelul scorurilor z.

Problema 2. Variabila aleatoare 𝑋 are densitatea de probabilitate

𝑓(𝑥) =

{︃12 , if − 1 < 𝑥 < 10, otherwise

a) Aflati functia de repartitie 𝐹b) Aflati densitatile de probabilitate corespunzatoare variabilelor 𝑌 = 𝑒𝑋

si 𝑍 = 2𝑋2 + 1.

Solutie: a) Functia 𝑓 este o densitate de probabilitate deoarece satisfaceproprietatile definitorii

∞∫︁−∞

𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 =

1∫︁−1

1

2𝑑𝑥 =

𝑥

2|1−1= 1

si are doar valori pozitive. Prin definitie functia de repartitie va fi

𝐹𝑋 (𝑥) =

𝑥∫︁−∞

𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡 =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩0, 𝑥 < −1𝑥+12 , −1 ≤ 𝑥 < 1

1, 1 ≤ 𝑥

,

deoarece

𝑥 < −1 ⇒ 𝐹 (𝑥) =𝑥∫︁

−∞

0 𝑑𝑡 = 0,

𝑥 ∈ [−1, 1) ⇒ 𝐹 (𝑥) =−1∫︁

−∞

0 𝑑𝑡 +

𝑥∫︁−1

1

2𝑑𝑡 =

𝑥

2+

1

2=

𝑥 + 1

2,

10

https://cismasemanuel.files.wordpress.com/2020/04/z-table.pdf

1 ≤ 𝑥 ⇒ 𝐹 (𝑥) =−1∫︁

−∞

0 𝑑𝑡 +

1∫︁−1

1

2𝑑𝑡 +

∞∫︁1

0 𝑑𝑡 = 1.

b) Pentru inceput sa aflam functia de repartitie 𝐺 (𝑥) corespunzatoare lui𝑌 . Intrucat 𝑌 > 0 pentru orice 𝑥 ≤ 0, obtinem 𝐺 (𝑥) = 𝑃 (𝑌 ≤ 𝑥) = 0. Daca𝑥 > 0 atunci

𝐺 (𝑥) = 𝑃 (𝑌 ≤ 𝑥) = 𝑃(︀𝑒𝑋 ≤ 𝑥

)︀= 𝑃 (𝑋 ≤ ln𝑥) = 𝐹 (ln𝑥)

Asamblate impreuna

𝐺 (𝑥) =

⎧⎪⎨⎪⎩0, ln𝑥 < −1 si 𝑥 ≤ 01+ln 𝑥

2 , −1 ≤ ln𝑥 < 11, 1 ≤ ln𝑥

=

⎧⎪⎨⎪⎩0, 𝑥 ∈

(︀−∞, 1𝑒

)︀1+ln 𝑥

2 , 𝑥 ∈[︀1𝑒 , 𝑒

)︀1, 𝑥 ∈ [𝑒,∞)

Densitatea de probabilitate corespunzatoare va fi

𝑔(𝑥) = 𝐺′(𝑥) =

{︃12𝑥 , 𝑥 ∈

(︀1𝑒 , 𝑒

)︀0, altfel

Deoarece 𝑋 este nenul doar pe intervalul (−1, 1), 𝑍 = 2𝑋2 + 1 va fi nenulape intervalul (1, 3). Pentru 𝑥 ∈ (1, 3), functia de repartitie 𝐻 (𝑥) a lui 𝑍 va fi

𝐻 (𝑥) = 𝑃 (𝑍 ≤ 𝑥) = 𝑃(︀2𝑋2 + 1 ≤ 𝑥

)︀= 𝑃

(︂𝑋2 ≤ 𝑥− 1

2

)︂=

= 𝑃

[︃−√︂

𝑥− 12

≤ 𝑋 ≤√︂

𝑥− 12

]︃= 𝐹

[︃√︂𝑥− 1

2

]︃− 𝐹

[︃−√︂

𝑥− 12

]︃

=1

2

[︃1 +

√︂𝑥− 1

2

]︃− 1

2

[︃1 −

√︂𝑥− 1

2

]︃=

√︂𝑥− 1

2.

Densitatea de probabilitate, obtinuta prin ℎ (𝑥) = 𝐻 ′ (𝑥), e data de

ℎ (𝑥) =

{︃1

2√2𝑥−2 , 𝑥 ∈ (1, 3)

0, altfel

Problema 3. Densitatea de probabilitate corespunzatoare unei variabilealeatoare continue 𝑋 este data prin

𝑓 (𝑥) =

⎧⎨⎩1

2cos𝑥, 𝑥 ∈

(︁−𝜋

2,𝜋

2

)︁0, altfel

a) Calculati valoarea medie si dispersia lui 𝑋.

b) Aflati functia de repartitie si calculati probabilitatea 𝑃(︁𝜋

4< 𝑋 <

𝜋

3

)︁.

11

Solutie: a) Valoarea medie

𝑀 (𝑋) =

+∞∫︁−∞

𝑥 · 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 12

𝜋2∫︁

−𝜋2

𝑥 cos𝑥⏟ ⏞ f este impara

𝑑𝑥interval

=simetric

0,

iar dispersia

𝐷2 (𝑋) =

+∞∫︁−∞

[𝑥− 𝐸 (𝑋)]2 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 =

𝜋2∫︁

−𝜋2

(𝑥− 0)2 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 =

=1

2

𝜋2∫︁

−𝜋2

𝑥2 cos𝑥⏟ ⏞ f e para

𝑑𝑥interval

=simetric

2 · 12

𝜋2∫︁

0

𝑥2 cos𝑥𝑑𝑥,

prin urmare

𝐷2 (𝑋) =𝜋2

4− 2.

b) Functia de repartitie este definita prin

𝐹 (𝑥) =

𝑥∫︁−∞

𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡.

Astfel, pentru 𝑥 < −𝜋2

=⇒ 𝐹 (𝑥) =𝑥∫︁

−∞

0 𝑑𝑡 = 0.

Pentru 𝑥 ∈[︁−𝜋

2,𝜋

2

)︁se obtine

𝐹 (𝑥) =

𝑥∫︁−∞

𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡 =

−𝜋2∫︁−∞

0 𝑑𝑡 +

𝑥∫︁−𝜋2

1

2cos 𝑡 𝑑𝑡 =

1

2+

1

2sin𝑥.

iar daca 𝑥 ≥ 𝜋2

avem

𝐹 (𝑥) =

𝑥∫︁−∞

𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡 =

−𝜋2∫︁−∞

0 𝑑𝑡 +

𝜋2∫︁

−𝜋2

1

2cos 𝑡 𝑑𝑡 +

𝑥∫︁𝜋2

0 𝑑𝑡 = 1.

deci

𝐹 (𝑥) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩0, 𝑥 ≤ −𝜋

21

2+

1

2sin𝑥, 𝑥 ∈

(︁−𝜋

2,𝜋

2

)︁1, 𝑥 ≥ 𝜋

2

.

Pentru o variabila aleatoare continua putem folosi densitatea de probabilitatesau functia de repartitie pentru a calcula probabilitati

𝑃(︁𝜋

4< 𝑋 <

𝜋

3

)︁=

𝜋3∫︁

𝜋4

𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 =

𝜋3∫︁

𝜋4

1

2cos𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹

(︁𝜋3

)︁− 𝐹

(︁𝜋4

)︁=

√3 −

√2

4.

12

Lipsa memoriei unei variabile exponential distribuiteFie 𝑋 timpul scurs intre detectarea particulelor cu un contor Geiger si sapresupunem ca 𝑋 are o distributie exponentiala cu 𝑀(𝑋) = 1.4 minute.Aflati probabilitatea de a detecta o particula in primele 30 de secundede la pornirea contorului. Sa presupunem ca am asteptat 3 minute farasa fi detectat o particula. Care este probabilitatea sa detectam apoi oparticula in urmatoarele inca 30 de secunde ?

Solutie: Pentru o variabila cu distributia exponentiala 𝑋 ∼ 𝐸𝑥𝑝(𝜆) stim ca𝑀(𝑋) = 1𝜆 . Prin urmare 𝜆 =

11.4 si apoi probabilitatea de a detecta particula

in primele 30 de secunde va fi estimata prin

𝑃 (𝑋 < 0.5) =

∫︁ 0.5−∞

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =

∫︁ 0.50

𝜆𝑒−𝜆𝑥 𝑑𝑥 = 1 − 𝑒− 0.51.4 ≈ 30%

unde am folosit minutul ca unitate de masura si formula densitatii de proba-bilitate pentru variabilele exponential distribuite. Vom folosi pentru compararevaloarea exacta 1 − 𝑒− 0.51.4 si nu cea aproximativa, afectata de erorile de aproxi-mare.

Daca nu vom detecta nicio particula timp de trei minute, senzatia generalaeste ca probabilitatea de detectare ar trebui sa fie mai mare in cele 30 de secundescurse dupa aceste trei minute. Insa vom demonstra matematica contrariu.Probabilitatea ceruta se exprima matematic prin 𝑃 (𝑋 < 3.5|𝑋 > 3) =? Adicatimpul scurs sa fie mai mic decat 3min 30 sec daca stim ca e sigur mai maredecat 3min. Conform formulei probabilitatilor conditionate

𝑃 (𝑋 < 3.5 | 𝑋 > 3) = 𝑃 (3 < 𝑋 < 3.5)𝑃 (𝑋 > 3)

caci consideram cele doua evenimente 𝑋 > 3 si 𝑋 < 3.5 iar intersectia lor seexprima prin evenimentul 3 < 𝑋 < 3.5. Folosind densitatea de probabilitate adistributiei exponentiale gasim

𝑃 (3 < 𝑋 < 3.5) =

∫︁ 3.53

1

1.4𝑒−

𝑥1.4 𝑑𝑥 = −𝑒− 3.51.4 + 𝑒− 31.4

si

𝑃 (𝑋 > 3) =

∫︁ 3.53

1

1.4𝑒−

𝑥1.4 𝑑𝑥 = 𝑒−

31.4

In consecinta

𝑃 (𝑋 < 3.5 | 𝑋 > 3) = −𝑒− 3.51.4 + 𝑒−

31.4

𝑒−3

1.4

= 1 − 𝑒− 0.51.4 = 𝑃 (𝑋 < 0.5)

Aceasta lipsa de memorie reprezinta o proprietate specifica variabilelor expo-nential distribuite, fiind singurele variabile aleatoare continue cu aceasta pro-prietate, si poate fi exprimata general prin relatia

𝑃 (𝑋 < 𝑡1 + 𝑡2 | 𝑋 > 𝑡1) = 𝑃 (𝑋 < 𝑡2).

13

https://ro.wikipedia.org/wiki/Contor_Geiger

Cand se defecteaza proiectorul? Timpul pana la defectarea unuiproiector (in ore) este modelat printr-o variabila aleatoare Weibull deparametrii 𝛽 = 12 si 𝛿 = 5000 de ore. Determinati timpul mediu panala defectare si estimati probabilitatea ca acesta sa functioneze cel putin12000 de ore, fara sa se defecteze.

Solutie: O distributie Weibull este utilizata pentru o modelare satisfacatoarea fiabilitatii unui produs. O variabila aleatoare cu o distributie Weibull aredensitatea de probabilitate

𝑓(𝑥) =

{︃𝛽𝛿

(︀𝑥𝛿

)︀𝛽−1𝑒−(

𝑥𝛿 )

𝛽

, pentru 𝑥 > 0

0, in rest

Parametrii 𝛽 si 𝛿 ai distributiei furnizeaza o mare flexibilitate in modelareasistemelor a caror deterioare creste in timp (uzura rulmentilor), descreste intimp (unii semiconductori), sau ramane constanta in timp (avarii cauzate desocuri externe). Cateva posibile comportari ale lui 𝑓(𝑥) sunt afisate mai jos.

Fie 𝑋 variabila aleatoare care masoara timpul pana la defectarea proiectoru-lui. Valoarea medie a variabilei 𝑋 este

𝑀(𝑋) =

∫︁ ∞−∞

𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =

∫︁ ∞0

𝑥 · 110000

(︁ 𝑥5000

)︁ 12−1

𝑒−(𝑥

5000 )12𝑑𝑥

intai facem schimbarea de variabila 𝑦 =(︀

𝑥5000

)︀ 12 si aplicand a doua metoda de

schimbare a variablei obtinem 𝑑𝑥 = 10000𝑦 𝑑𝑦 apoi

𝑀(𝑋) = 5000

∫︁ ∞0

𝑦2𝑒−𝑦 𝑑𝑦 = 5000 · Γ(3) = 10000 (ore)

Probabilitatea cautata se estimeaza folosind aceeasi schimbare de variabila

𝑃 (𝑋 ≥ 12000) =∫︁ ∞12000

1

10000

(︁ 𝑥5000

)︁ 12−1

𝑒−(𝑥

5000 )12𝑑𝑥

=

∫︁ ∞√2.4

𝑒−𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒−√2.4 ≈ 0.21 = 21%

14

Probleme propuse

Problema 1. Consideram functia:

𝑓(𝜃) =

{︃𝑎 cos2 𝜃, daca 𝜃 ∈ (−𝜋2 ,

𝜋2 )

0, in rest

i) Aflati 𝑎 astfel ca 𝑓 sa fie densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoarecontinue 𝑋

ii) Determinati valoarea medie 𝑀(𝑋) si dispersia 𝐷2(𝑋) acestei variabilealeatoare

iii) Aflati functia de repartitie 𝐹 (𝑥) si calculati probabilitatea 𝑃 (−1 < 𝑋 < 1)

Problema 2. Densitatea de probabilitate pentru amplitudinea ruliului unei naveare urmatoarea forma, conform legii lui Rayleigh:

𝑓(𝑥) =𝑥

𝑎2𝑒−

𝑥2

2𝑎2 , 𝑥 ≥ 0

Daca nava ar transporta oi, am dori ca acestea sa calatoreasca in conditiilipsite de stres, vezi in link la ce situatii se poate ajunge. Aflati probabilitatea caamplitudinea miscarii sa depaseasca o valoarea critica 𝑐0. Determinati valoareaasteptata a amplitudinii 𝐸(𝑋), deviatia standard 𝜎(𝑋) si momentul centrat 𝑚3.

Problema 3. Un radar masoara vitezele masinilor pe o autostrada. Vitezelesunt normal distribuite cu media de 90 km/ora si deviatia standard 10 km/ora.Care este probabilitatea ca o masina aleasa aleator sa circule cu o viteza maimare de 100 km/ora?

Problema 4. Intrarea la Universitatea Politehnica University se realizeaza inurma unui test de selectie. Punctajele sunt normal distribuite cu o medie de 500si o deviatia standard de 100. Popescu vrea sa fie admis la aceasta universitatesi el stie sa trebuie sa obtina un punctaj mai bun decat cel putin 70% dintrecontracandidatii sai. Popescu da testul si obtine 585 puncte. Va fi admis launiversitate cu acest punctaj ?

Problema 5. Functia de repartitie corespunzatoare unei variabile aleatoare con-tinue 𝑋 este

𝐹 (𝑥) =

⎧⎪⎨⎪⎩0 𝑥 < −5(𝑥+5)2

144 −5 ≤ 𝑥 < 71, 𝑥 ≥ 7

Aflati media, dispersia, deviatia standard si momentul de ordin 3 al lui 𝑋.Aflati apoi mediile 𝑀(𝑋3) si 𝑀(𝑒𝑋 + 1).

15

https://www.vice.com/ro/article/nzpkgk/meme-uri-si-glume-despre-oile-care-au-scufundat-nava-ruseasca

Problema 6. O persoana arunca de 1000 ori o moneda. Aflati probabilitateaca numarul de ”steme” obtinute sa fie intre 475 si 525, inclusiv.

Problema 7. Biletele pentru festivalul ”Untold” sunt vandute online potrivitunei distributii Poisson cu o medie de 25 pe zi. Care este probabilitatea ca:

a) mai mult de 20 de bilete sa fie vandute intr-o zi ?

b) intre 20 si 30 de bilete sa fie vandute intr-o zi ?

Problema 8. Un club de fotbal asigura transportul cu autobuzul al fanilorsai. Un autobuz soseste intr-o anumita statie la fiecare 15 minute intre ora4 si 12 p.m. in ziua meciului. Fanii sosesc in statie in momente de timpaleatoare. Timpul petrecut de catre un fan in asteptarea autobuzului este o vari-abila aleatoare uniform distribuita cu valori de la 0 la 15 minute. Care estetimpul mediu de asteptare ? Care este probabilitatea ca un fan sa astepte maimult de 12 minute ? Care este probabilitatea ca un fan sa fie nevoit sa astepteintre 5 si 10 minute ?

Problema 9. Timpul maxim disponibil pentru a realiza o sarcina intr-un proiecteste de 2.5 zile. Presupunem ca timpul necesar realizarii sarcinii, ca proportiedin timpul maxim, este o variabila aleatoare beta cu 𝜇 = 2 si 𝜈 = 3.

Cat se estimeaza ca va dura realizarea sarcinii? (Valoarea asteptata)Care este probabilitatea ca realizarea sarcinii sa dureze mai mult de doua

zile?

16

Bibliografie

[1] R. Yates and D. Goodman. Probability and Stochastic processes,Wiley&Sons, 2005.

[2] D. Montgomery and G. Runger. Applied Statistics and Probability forEngineers, Wiley, 2014.

[3] R. Negrea. Curs Matematici Speciale, 2020.

[4] C. Hedrea. Notite seminar Matematici Speciale, 2020.

10 Variabile aleatoare continue