trr teoria relativitatii restranse

8/7/2019 TRR teoria relativitatii restranse

1/15

Teoria relativitii restrnse.

Tot ce s-a discutat mai sus este valabil atta timp ct vitezele considerate sunt

mult mai mici dect viteza lumnii c (aceast notaie pentru viteza luminii n vid esteiniiala cuvntului clrit=promptitudine). Mult vreme s-a crezut c lumina se propaginstataneu, adic viteza luminii este infinit.

Rmer (astronaut danez) a fost cel care, n 1676, studiind sateliii planetei Jupiter,a concluzionat cviteza luminii este finit.Valoarea msurat de el era de 225 000km/s i,dei eroarea era destul de mare, important este c a oninut o valoare finiti mai mic de300 000km/s.

O teorie corect a propagrii luminii a aprut dup ce Maxwell a scris, n 1865,ecuaiile care descriu electricitatea i magnetismul. Consecina acestor ecuaii esteexistena undelor electromagnetice care se propag cu vitez finit constant

. Aceste unde electromagnetice pot fi:km/s000300=c

- unde radio cu lungimea de und m - microunde cu cm - lumina cu ( )nm700400 - razele ulraviolete, X, gamma cu lungimea de und mult mai mic

Deoarece Newton artase c nu exist repaus absolut, dac se admitea c luminaeste o und electromagnetic care se deplaseaz cu vitez finit, trebuia specificatsistemul de referin n raport cu care se msoar acea valoare finit a vitezei.

Raze gamma Raze X Ultraviolet Vizibil Infrarosu Microunde Unde radio

Prin asociere cu undele mecanice care au nevoie de un mediu de propagare, s-asugerat c i pentru undele electromagnetice exist un mediu de propagare, mediu cuproprieti speciale, care umple tot spaiul, numit eter. Undele electromagnetice (deci, silumina) se vor propaga prin eter aa cum undele sonore, de exemplu, se propag prin aer,iar valoarea vitezei lor de propagare va fi n raport cu eterul. Dac viteza luminii n raportcu eterul este constant, diferii observatori care se deplaseaz cu viteze diferite fa de

1


2/15


3/15

Interferometrul este format dintr-o sursa de lumin (laser), o placsemitransparent, dou oglinzi i ecranul pe care se observ figura de interferen.

Placa semitransparent mparte fascicolul incident n dou fascicole care se

reflect pe cele dou oglinzi aflate la aceeai distan L fa de plac. Fascicolele delumin se reflect pe oglinzi i, ajungnd napoi la placa semitrasparent interfer,interferen observat pe ecran fiind constructiv sau destructiv n funcie de diferenade drum dintre ele.

Dac aparatul se afl n repaus fa de eter, timpii necesari celor dou fascicole sparcurg distanele pn la cele dou oglinzi sunt egali, dar dac se deplaseaz, s zicemspre dreapta, va aprea o diferen.

Presupunem c interferometrul (legat de Pmnt) se deplaseaz spre dreapta cuviteza u (viteza de deplasare a Pmntului) fa de eter. Timpul necesar luminii sparcurg distana pn la oglinda O1 este:

uc

LtutLct

=+= 111

i napoi

uc +

LtutLct == 222

Timpul total pentru fascicolul (A) va fi

+

=+=2

2

2

2121112

1

2

c

u

c

L

u

c

L

tt

c

3

Al doilea fascicol (B) va parcurge distana pn la oglinda O2 n timpul :t

( ) ( )

2

23

23

223

1u

c

L

tutLct

=+=

c i la fel napoi. Timpul total pentru fascicolul (B) va fi

+

=+=2

2

2

2432 2

112

1

2

c

u

c

L

u

c

L

tt

c

ntre cele dou fascicole apare o diferen de timpi de propagare

2

2

21u

c

L==

c

i, n funcie de aceasta, pe ecran va aprea o anumit figur de interferen.

3


4/15

Dac se rotete interferometrul cu 2 n sensul acelor de ceasornic, diferena de

timpi de propagare are aceeai valoare, dar cu semn schimbat:

2

2'

c

u

c

L=

Diferena de timpi de propagare ntre cele dou situaii este

2

22'~

c

u

c

L==

Dac la o diferen de timp de propagare de o perioadc

T

= are loc o deplasare

a figurii de interferen cu o franj, atunci la ~ are loc o deplasare cu Nfranje:

2

22

2

2

2

c

uL

c

c

u

c

L

N

==

Efecund calculele, aceast deplasare ar trebui s fie de

N=0.4

Dar experimental nu s-a observat nici o deplasare a sistemului de franje.

Rezultatul este contrar a ceea ce se atepta conform teoriei clasice (compunerea vitezelorconform transformrilor Galilei). Rezult cefectele eterului sunt nedetectabile i deci

viteza luminii este independent de sistemul de referin inerial ales.

ntre anii 1887-1905 s-au ncercat diverse explicaii pentru rezultatul negativ alacestui experiment. Lorenz a sugerat c are loc o contracie a lungimii corpurilor pedirecia deplasrii, adic

2

2

0 1c

uLLII =

adic, lungimea inteferometrului pe direcia fascicolului (A) ar fi

2

21

c

uL

iar timpul necesar parcurgerii distanei dus-ntors

4


5/15


6/15

La sugestia lui Poincar, Einstein a propus ca toate legile fizicii s aib o astfel deform nct s rmn invariante la transformrile Lorentz.

Exist o teorie a relativitii restrnse care nu ine cont de gravitaie i se aplicn sisteme de referin ineriale (i de aceasta ne vom ocupa) i o teorie a relativitiigenerale care

ine cont de gravita

ie.

Principiile generale ale teoriei relativitii restrnse.

Teoria relativitii restnse nlocuiete transformrile Galilei cu un nou grup detransformri, transformrile Lorentz, pe baza urmtoarelor principii:

1. Principiul invarianei vitezei maxime de interaciune: viteza maxim detransmitere a interaciunilor este egal numeric cu viteza luminii n vid ieste invariant n raport cu orice sistem de referin inerial i cu oricedirecie de msurare.

2. Principiul relativitii einsteiniene: toate legile fizicii trebuie astfelformulate nct enunul lor s fie independent de sistemul de referin alesla care sunt raportate.

3. Principul corespondenei: relaiile care exprim noile legi ale fiziciitrebuie astfel formulate nct legile fizicii clasice s fie cazuri particularelimit.

Transformrile Lorentz.

Considerm dou sisteme de referin (S) i (S), (S) micndu-se cu viteza( )0,0,uu

r

fa de (S), axele celor dou sisteme de referin fiind paralele. n fiecare sistemde referin sunt etalonate ceasurile i lungimile.

Unui eveniment din (S) i se asociazcoordonatele spaio-temporale ( tr, )r

, iar n

(S), ( )',' trr

. Legtura dintre ( )tr,r

i ( )',' trr

innd cont de principiul relativitii a luiEinstein i anume c legile fizicii trebuie s aib aceeai form n cele dou sisteme dereferin este dat de urmtoarele ecuaii cunoscute sub numele de transformrileLorenz:

6


7/15

2

2

2

2

2

1

'

'

'

1

'

c

u

c

uxt

t

zz

yy

c

u

utxx

=

=

=

=

2

2

2

2

2

1

''

'

'

1

'

c

u

c

uxt

t

zz

yy

c

u

utxx

+

=

=

=

+=

Dac 1


8/15

1. Contracia lungimilor.Considerm un corp liniar aflat n repaus fa de sistemul (S) care se deplaseaz

cu viteza u n lungul axei (Ox), corp a crui lungime pe direcia (Ox) este . Rezultc lungimea proprie a corpului este

'x

'0 xl =

Vrem s aflm care este lungimea lui lx = msurat n raport cu (S) fa de carecorpul (mpreun cu sistemul S)se mic cu viteza u. Msurarea capetelor intervalului x1i x2 se face la acelai moment t1=t2=t.

2

2

2

211

2

222'

1'2

111

'21

c

u

x

c

u

utx

c

u

utxxxx

ttt

=

==

==


9/15

Acest efect nu a fost testat experimental deoarece nu exist nici o metod practicde mare precizie de msurare a lungimii unui corp aflat n micare cu vitez foarte mare.

2. Dilatarea temporal.Fie n sistemul (S) care se mic cu viteza u fa de (S) un fenomen care are loc

ntr-un punct fix, i a crui durat este'' 21 xx =

'1

'2' ttt = (timpul propriu)

Durata aceluiai fenomen msurat cu instrumente din(S) va fi:

2

2

2

2

2

'1'

2

2

2

2

'2'

2

12

1

'

11'1

'2

c

u

t

c

u

c

uxt

c

u

c

uxt

ttt

xx

=

+

+

==

=

'

1

'

2

2t

c

u

tt >

=

adic, timpul propriu al unui fenomen este minim fa de timpul msurat n alte

refereniale n micare. Mrimea

2

21

1

c

u

se numete factor de dilatare temporal.

i efectul dilatrii temporale este simetric: un fenomen care dureaz n (S) npunctul x2=x1, va avea n (S) duratat

t

c

u

t

c

u

c

uxt

c

u

c

uxt

t

xx

>

=

=

=

2

2

2

2

21

1

2

2

22

2

111

'

12

La viteze mici, efectul dilatrii temporale este neglijabil,

t

c

u

tt

u

=

0

2

21

'

Acest fenomen este foarte bine observat n cazul unor particule elementare cutimp de via foarte scurt. Un exemplu clar sunt mezonii (muonii).

Mezonii sunt particule elementare care se dezintegraz spontan, avnd timpul

de via (msurat n experiene de laborator pentru muoni n repaus).Aceste particule elementare pot fi produse att n laborator, ct i n razele cosmice, n

ss 61022 ==

9


10/15

partea superioar a atmosferei, la nlimi de cca. 10km. Au viteze diferite, unii putndajunge la viteze .Cei mai rapizi pot parcurge maximumcv

ms

ms 600103102 86 =

Cu toate acestea, sunt detectai la suprafaa Pmntului!

Explicaia este c are loc efectul dilatrii temporale: dei din punctul de vedere alreferenialului propriu triesc s2 , din punctul nostru de vedere (legat de sistemul fix,Pmntul) triesc

s

c

u

s 6

2

2

6102

1

102

>

astfel c pot parcurge cei 10km pn la suprafaa Pmntului.

3. Simltaneitatea.Deoarece n teoria relativitii timpul nu mai este absolut, trebuie reexaminat

noiunea de simultaneitate.S considerm n sistemul (S) aflat n repaus un punct M1(x1) n care se emite un

semnal scurt la momentul t1i M2(x2) n care se emite un semnal scurt la momentul t2.Dac evenimentele au loc simultan, t2= t1 n (S), n (S) apar decalate:

0

111

'

2

2

12

2

2

21

1

2

2

22

2'1

'2 2

=

==

c

u

xx

c

u

c

uxt

c

u

c

uxt

tttc

u

Rezult cdou evenimente simultane n (S) nu vor aprea simltane n (S), are

loc nclcarea simultaneitii la distan.

4. Compunerea vitezelor.Noua teorie relativist trebuie s rezolve paradoxul conform cruia dac o nav se

deplaseaz cu viteza u=100.000km/s i din spate vine un semnal luminos(c=300.000km/s), conform transformrilor Galilei semnalul este vzut de cineva din navca avnd viteza 200.000km/s.== ucv

Relaiile de transformare Lorentz conduc la alt regul de compunere a vitezelor.Dac n (S) un obiect se afl n micare dup direcia (Ox) cu viteza

'dt

'dxv'x =

fa de (S) va avea viteza:

dt

dxvx =

Din transformrile Lorentz se obine prin difereniere:

10


11/15

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11

11

c

u

c

'udx'dt

dt

c

u

c

'ux't

t

dz'dz'zz

dy'dy'yy

c

u

udt'dxdx

c

u

ut'xx

+=

+=

==

==

+=

+=

i atunci:

2v

'x

21

vvv

c

xuxx

u

'dxc

u'dt

'udt'dx

dt

dx

+

+=

+

+==

2

2

2

2

2

2v

1

1vv

1

v

c

u

cu

c

u

'dxc

u'dt

'dy

dt

dy'x

'y

yy

+

=

+

==

2

2

2

2

2

2

v

1

1vv

1

v

c

u

c

u

c

u

'dxc

u'dt

'dz

dt

dz'x

'z

zz

+

=

+

==

Exemplu:

Dac cineva se deplaseaz n interiorul unei nave cu viteza2

v 'c

x = , nava

deplasndu-se cu viteza2

cu = ,viteza persoanei fade Pmnt va fi

cccc

c

cc

x


12/15

( )uc

c

uc

ucx =

+

+= ,

1v

2

Dac deplasarea corpului are loc pe direcia (Oy) cu viteza

'dt

'dy'y =v

folosind transformrile Lorentz

2

2,'

2

2

2

1

'

1

'

''

c

u

dtdt

c

u

c

uxt

t

dydyyy

constx

=

+

=

==

=

rezult:

vy= 22

''

1c

u

dt

dy

dt

dy= vy= vy

2

21

c

u

Dinamic relativist.

Ecuaia fundamental a dinamicii newtoniene

2

2

dt

rdmF

r

r

=

verificat la viteze mici, trebuie s constituie limita unei ecuatii relativiste pentru 1v


13/15

n limita vitezelor mici 1v


14/15

undedt

da

v= este acceleraia imprimat corpului. Se observ c n mecanica relativistnu

este posibil ca o forconstants imprime corpului o acceleraie constant, deoarece oacceleraie constant duce la creterea vitezei care duce la creterea masei de micare acorpului. Rezult c n mecanica relativist rezultatul aciunii unei fore constante este

scderea acceleraiei.

Se poate calcula lucrul mecanic necesar accelerrii unui corp de la viteza 0 laviteza v, adic energia cinetic a corpului care se mic cu viteza v. Folosind relaiaprecedent, se obine:

20

2

v

02

2

20

v

0

v

0

v

02

3

2

2

0

2

3

2

2

0

u1

u

u1

uu

u

u1

cmmc

c

cmd

c

mdt

dt

d

c

mFdlL =

=

=

==

( ) 20 cmmL = adic, creterea energiei corpului este legat de creterea masei acestuia.

Corpului n repaus i atribuim energia de repaus2

00 cmE =

iar n micare, energia total2mcE=

Aceasta este, probabil, cea mai faimoas ecuaie din toat fizica.Energia cinetia relativist se definete prin relaia:

( )2

0

2

2

2

02

0

2

v1

cmc

c

m

cmmcE relcin

==

i, n limita vitezelor joase, 1v


15/15

S-au creat un electron i un pozitron aparent din nimic! Masa nainte de ciocnire era 2me,iar dup ciocnire este 4me. Dei masa a crescut, nu a fost creat din nimic, aceasta este ociocnire inelastic i energia particulelor dup ciocnire este mai mic dect nainte deciocnire, scderea energiei fiind egal exact cu 2mec

2, adiccele dou particule au fost

create din energie! Poate avea loc i efectul invers: prin anihilarea unei particule i a unei

antiparticule (dispare masa) apar doi fotoni (deci, energie).Aceasta este semnificaia celebrei aseiuni cmasa i energia sunt echivalente.

Anihilarea electron-pozitron st la baza procedurii medicale de investigaiecunoscut sub numele de tomografie cu emisie de pozitroni: pacientul nghite o miccantitate de substan radioactiv, substana se acumuleaza mai ales n esuturile bolnavei de acolo, emite pozitroni. Pozitronii se ciocnesc cu electroni i se anihileaz, genernddoi fotoni gamma (de energie foarte mare) care prsesc corpul si pot fi detectai. Prinanaliza traiectoriilor acestora n corpul uman i, se obine locul de unde au fost emiipozitronii i deci, regiunea bolnav.

Legtura dintre energie i impuls n mecanica relativist se obine pornind de laenergia totalE:

2

2

2220

2

2

42

220

2

2

4202

v1

v

v1

v1

v1

c

cm

c

cc

m

c

cmE

+

=

=

i, innd cont de definiia impulsului relativist de mai sus, se obine:

( )21

420

22 cmcpE +=

n cazul particulelor ultrarelativiste (care se deplaseaz cu viteze cv ),

i energia Edevine:2cmpc o>>pcE

15

trr teoria relativitatii restranse

Documents