Funcţii trigonometrice- sinteză

Pentru a defini funcţiile trigometrice ale unui unghi ascuţit, îl încadrăm într-un triunghi dreptunghic şi definim:

Deoarece unghiurile B şi C sunt complementare (suma măsurilor lor este de 900), notând unul dintre unghiuri cu x, celălalt va fi 90-x şi vom,avea

sin(x)=cos(90-x)cos(x)=sin(90-x)tg(x)=ctg(90-x)ctg(x)=tg(90-x)

tg(x)=sin(x)/cos(x)ctg(x)=cos(x)/sin(x)

tg(x)*ctg(x)=1sin2(x)+cos2(x)=1

Pentru unghiuri obtuze definim : sin(x)=sin(180-x)

cos(x)= -cos(180-x)tg(x)= -tg(180-x)

ctg(x)= -ctg180-x)În plus: sin(0)=0, sin(90)=1.

Deoarece ipotenuza este mai mare decât cateta, obţinem că 0sin(x)1 şi, admiţând extensia pentru unghiuri obtuze, -1cos(x)1. (Valorile negative ale funcţiei cos indicând faptul că unghiul nu este ascuţit!). Dacă veţi obţine valori care nu „respectă” aceste reguli, fie aţi greşit, fie triunghiul nu există!Pentru câteva măsuri de unghiuri „speciale” este util să cunoaşteţi valorilor funcţiilor trigonometrice ale acestora pentru a le putea determina atunci când aveţi valorile unei funcţii.Nu este necesar să „memoraţi” întregul tabel, dar ceva tot trebuie să ştiţi: definiţiile funcţiilor trigonometrice şi relaţiile dintre ele. Pentru a cunoaşte toate aceste valori (necesare nivelului gimnazial) este suficient să reţinem două triunghiuri: tr 30-60-90 şi tr 45-45-90.

Utilizând teorema 30-60-90, teorema lui Pitaogora , notând convenabil o anumită catetă, găsim cele două triunghiuri esenţiale pentru reţinerea valorilor funcţiilor trigonometrice ale unghiurilor de 30, 45, 60 grade şi, prin extensie, pentru suplementele lor.

Tabel cu valorile exacte ale funcţiilor trigonometrice pentru câteva arce(prin R(n) am notat rădăcina pătrată a numărului n)

x 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

sin(x) 0 1/2 R(2)/2 R(3)/2 1 R(3)/2 R(2)/2 1/2 0cos(x) 1 R(3)/2 R(2)/2 1/2 0 -1/2 -R(2)/2 -R(3)/2 -1tg(x) 0 R(3)/3 1 R(3) nedef -R(3) -1 -R(3)/3 0ctg(x) nedef R(3) 1 R(3)/3 0 -R(3)/3 -1 -R(3) nedef

Teoreme remarcabileTeorema lui Pitagora generalizată: În orice triunghi, pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus dublul produsului dintre cele două laturi şi cosinusul unghiului cuprins între ele.

BC2=AB2+AC2+2*AB*AC*cosA şi celelalte.

Consecinţă: cosA=( AB2+AC2- BC2)/2AB*AC. Teorema sinusurilor: În orice triunghi, raportul dintre o latură şi sinusul unghiului opus ei este acelaşi pentru toate cele trei laturi.

AC/sinB=AB/sinC=BC/sinA(=2R, unde R este raza cercului circumscris triunghiului)