TRANZISTORUL MOS

In materialul de faţă se analizează fenomenele fizice specifice tranzistorului

MOS. Se deduc expresii pentru tensiunea de prag şi caracteristica curent-tensiune la tranzistorul

MOS cu canal indus, având substratul polarizat faţă de sursă (tranzistorul cu două porţi).

1. TENSIUNEA DE PRAG

1.1 Tensiunea de prag a capacitorului MOS ideal

Pentru a determina expresia tensiunii de prag (VT) la tranzistorul MOS se va

analiza mai întâi comportarea unui capacitor MOS.

Figura 1 reprezintă diagrama energetică la echilibru termic pentru o structură

MOS ideală. Atributul "ideală" presupune:

a) oxidul (O) de poartă nu conţine sarcini electrice în volumul sau şi/sau la interfaţa cu

semiconductorul (O/S).

b) proprietăţile semiconductorului sunt aceleaşi în volumul şi la suprafaţa sa;

c) lucrurile mecanice de extracţie a electronului din metal (M) şi respectiv semiconductor

(S) sunt egale (øMS =0).

Substratul semiconductor se consideră uniform dopat cu impurităţi acceptoare

(NA). Ca urmare, potenţialul Fermi are expresia (v. fig .2):

01 <⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

AthF N

nV lnφ (1)

In condiţii de polarizare cu o tensiune pozitivă pe metal, diagrama energetică are

forma din figura 2. Tensiunea vG determină:

a) deplasarea nivelului Fermi din metal (EFM) pe distanţa (energetică) q·vG sub EFp;

b) "sărăcirea" semiconductorului de goluri pe o porţiune de lăţime xd considerată de la

interfaţa cu oxidul. Rezultă o zonă de sarcină spaţială fixă datorată ionilor acceptori. Sarcina în

această zonă este:

0<⋅⋅−= dABO xNqQ (2)

c) curbarea în semiconductor a benzilor de energie Ec, Ei, Ev (variaţie parabolică) pe

distanţa xd (v. fig .2);

d) apariţia la suprafaţa metalului a sarcinii QGO egală şi de semn opus cu QBO;

e) variaţia liniară în oxid a energiei Ec (v. fig .2).

Modul de variaţie al nivelului Ec în semiconductor şi oxid poate fi determinat cu

ecuaţia Poisson. Astfel, în semiconductor (x>0) se poate scrie:

B

ANqdxd

εφ ⋅=

2

2

(3)

unde ø este potenţialul electronului:

qExE

x Fpi

−

−=

)()(φ (4)

Integrând ecuaţia (3) cu condiţiile de limită:

0=

=

= dxx

Fd

dxd

xφ

φφ )(

se obţine:

Fd

dA

xxx

Nqx φ

εφ

ε

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅⋅

=2

2 12

)( , 0< x < xd (5)

( xxNqdxdxE d

A −⋅ )⋅=−=

εεφ)( , 0< x < xd (6)

unde ... (x) este câmpul electric.

In oxid, procedând similar, rezultă:

( ) ( )0φφ +⋅= xEx ox , -xox < x < 0 (7)

E = Eox = constant, -xox < x < 0 (8)

S-a avut în vedere continuitatea potenţialului la interfaţa oxid-semiconductor

(x=0):

FdS

A xNq

o φε

φ −⋅⋅⋅

= 2

2)( (9)

Condiţia de continuitate a inducţiei electrice la interfaţă este:

SSoxox ...... ⋅=⋅ εε (10)

unde dA

S xNq

⋅⋅

=εε

... (vezi relaţia (6))

Relaţia de mai sus permite determinarea câmpului electric în oxid:

0>⋅⋅

= dox

Aox x

Nqε

... (11)

Variaţiile câmpului şi potenţialului electric exprimate prin relaţiile (5) ÷ (8) sunt

reprezentate grafic în figura 3. Potenţialul şi corespunzător, nivelele energetice, variază liniar în

oxid şi parabolic în semiconductor. Tensiunea aplicată vG se distribuie pe oxid şi semiconductor:

FoxG oVv φφ ++= )( , Vox = xoxEox (12)

Diagrama din figura 2 şi curbele din figura 3 corespund funcţionării structurii

MOS în regim de golire.

Prin creşterea tensiunii aplicate vG nivelul Ei din semiconductor coboară sub EFp

pe distanţa xc. Ca urmare, pe porţiunea situată între planele x=0 şi x=xc tipul semiconductorului

devine n (Ec este apropiat de EFp în comparaţie cu Ev). Deci, în acesată zonă tipul

semiconductorului s-a inversat.

Se consideră că inversia s-a instalat când concxentraţia de electroni la interfaţă

(x=0) devine egală cu concentraţia de goluri din volumul semiconductorului:

AS Nnon ==)( (13)

Cum n(0) e dat de relaţia:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=

thi

iFpi V

(o)expnkT

(o)EEexpnn(o) φ (14)

din (1), (13) şi (14) se obţine:

Fφφ =)(0 (15)

Tensiunea vG corespunzătoare instalării inversiei este tensiunea de prag VT şi se determină

folosind relaţiile (12) şi (15):

FoxT VV φ2+= (16)

Se spune că pentru polarizări vG >VT >0 capacitorul MOS lucrează în regim de

inversie.

Figura 4 prezintă diagrama energetică a structurii MOS pentru vG = VT (instalarea

inversiei). In zona de inversie apare o sarcină de electroni Qn. Lăţimea regiunii de sarcină

spaţială (RSS) şi sarcina din RSS se determină cu expresiile (vezi relaţiile (2), (9) şi (15)) va fi:

21

4⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅== F

Add Nq

xx φεε

max, (17)

( )21

4 FAdABO NqxNqQ φεε ⋅⋅⋅−=⋅⋅−= max, (18)

La instalarea inversiei Qn << QBO.

Când tensiunea vG creşte cu valori peste tensiunea de prag, sarcina QBO variază

foarte puţin. De aceea, într-o primă aproximaţie, se consideră:

xd ≈ xd,max = const. şi QBO ≈ const., pentru VG > VT (19)

In schimb, sarcina de electroni Qn creşte cu vG.

Sarcina totală din semiconductor (pe unitatea de arie) este:

BOns QQQ += (20)

Pe de altă parte, conform legii lui Gauss se poate scrie pentru QS:

oxoxoxoxsss VCEEQ ⋅−=⋅−=⋅−= εε (21)

S-a ţinut cont de relaţiile (10) şi (12) şi s-a folosit notaţia:

ox

oxox x

C ε= (22)

ce reprezintă capacitatea (pe unitatea de arie) oxidului de poartă. Din (12), (16) ÷ (22) se deduce:

( TGoxn VvCQ )−⋅−= (23)

Relaţia (23) indică creşterea liniară a sarcinii de electroni cu tensiunea vG după

instalarea inversiei.

Pentru (inversie slabă) se poate demonstra că QTG Vv ≈ n variază exponenţial cu

vG.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

≈th

TGn Vm

VvexpQ , m > 1 (24)

Această dependenţă se poate explica având în vedere dependenţa exponenţială a

concentraţiei de electroni din stratul de inversie de potenţialul de suprafaţă (vezi relaţia (14)).

1.2. Tensiunea de prag a capacitorului MOS real

La o structură MOS reală benzile energetice în semiconductor sunt curbate chiar

la echilibru termic datorită:

- diferenţei øMS dintre lucrurile mecanice de extracţie a electronului din metal respectiv,

din semiconductor;

- sarcinii QSS de la interfaţa oxid semiconductor (x = 0);

- sarcinii ρox din stratul de oxid.

Pentru ca nivelele EC, EV şi Ei să fie orizontale (ca în figura 1) este necesară o

tensiune aplicată pe poartă, denumită tensiune de benzi netede (FLAT-BAND) dată de relaţia:

∫ ⋅⋅⋅−−= oxxox

oxoxox

SSMSFB dxx

xx

CCQV 0 )(1 ρφ (25)

In aceste condiţii vG, tensiunea necesară pentru instalarea inversiei, are expresia:

Fox

nBOFBTG C

QQVVv φ⋅+

+−== 2 (26)

1.3 Tensinuea de prag a tranzistorului MOS

Se consideră structura TEC-MOS din figura 5 care are sursa (S) şi drena (D)

legate la masă. Poarta şi substratul sunt polarizate cu tensiunile vGS > 0 (notaţia vG din pargrafele

1.1 şi 1.2 se substituie acum prin vGS) şi, respectiv, vBS < 0 (S potenţialul de referinţă). In figura 5

s-a reprezentat din motive de simetrie numai jumătatea structurii ce corespunde sursei (jumătatea

drenei este identică).

Diagrama energetică în condiţiile instalării inversiei este dată de figura 6.

Diferenţele ce apar faţă de diagrama din figura 4 sunt datorate polarizării substratului. Astfel

tensiunea vBS despică nivelul Fermi din semiconductor în două cvasinivele Fermi: EF,n în zona de

inversie (de tip n) şi EF,p în zona neutră a substratului (de tip p). Ca urmare, potenţialul de la

interfaţa oxid-semiconductor (vezi relaţiile (9) şi (15)).

( ) FdA

FBS xNq

V φε

φφε

−⋅⋅

=+= 2

20 max, (27)

La rândul lor lăţimea RSS şi sarcina electrică fixă din RSS sunt dependente de

vBS. Relaţiile (17) şi (18) se modifică:

( ) 21

22

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅

⋅= BSF

Ad V

Nqx φ

εεmax, (28)

( )[ ]21

22 BSFASdAB vNqxNqQ +⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅−= φεmax, (29)

QB este sarcina din regiunea golită când substratul este polarizat, iar QBO sarcina

la vBS=0.

Tensiunea pe poartă la instalarea inversiei are expresia (vezi relaţia (26)):

Fox

nBFBTGS C

QQVVv φ⋅+

+−== 2

Cum la instalarea inversiei Qn << QB relaţia de mai sus se poate rescrie:

ox

BOBF

ox

BOFBT C

QQCQ

VV−

−⋅+−= φ2 (30)

Tinând cont de relaţiile (18) şi (29) rezultă:

( )FBSFTOT vVV φφγ 22 −+⋅+= (31)

unde 0=

=BSVTTO VV

VTO este tensiunea de prag în absenţa polarizării substratului.

Folosind expresiile (25) şi (30) se determină:

∫ ⋅⋅⋅−+

−Φ+Φ= oxx

oxoxoxox

BOSSFMSTO dxx

xx

CCQQ

V0

12 )(ρ (32)

In formula lui VT intervine şi parametrul de substrat γ dat de relaţia (vezi

expresiile (18), (29) şi (30)):

Fox

BO

C

Q

Φ−=

2γ (33)

In consecinţă, tensiunea de prag exprimată prin formula (31) reprezintă tensiunea

ce trebuie aplicată între poartă şi sursă (când tensiunea substrat-sursă este fixată la o valoare

dată) pentru instalarea inversiei. Aceasta înseamnă inducerea sau antrenarea unui canal n la

suprafaţa substratului p. Canalul n constituie o cale de conducţie între zonele n+ de sursă şi

drenă.

Conductanţa canalului gc reprezintă inversul rezistenţei stratului de inversie:

∫ ∫ −=== c cx x

nno

nnnc QLWdxxqn

LWdxxq

LWg

0 0µµµ )()(

unde W, L şi xc sunt dimensiunile geometrice ale canalului şi nµ mobilitatea (valoare medie)

electronilor din canal. Dacă în relaţia de mai sus se substituie sarcina din canal Qn prin una din

formulele (23) sau (24) se obţine:

)( TGSoxnc VvCL

Wg −= µ , vGS > VT (34)

ce corespunde inversiei puternice şi

)mV

Vvexp(µ

LWg

th

TGSnc

−≈ , vGS ≈ VT (35)

relaţia asociată inversiei slabe.

Figura 7 prezintă dependenţa conductanţei canalului de tensiunea aplicată pe

poartă. In inversie slabă gc creşte exponenţial cu vGS (relaţia (35)), iar în inversie puternică

creşterea este liniară (relaţia (34)).

Pentru a evita confuziile în tabelul 1 se indică semnul principalelor mărimi ce

intervin în expresiile (31) – (33). Se fac precizări atât pentru tranzistorul cu canal n(nMOS),

analizat mai sus, cât şi pentru cele cu canal p(pMOS). In tabel øM şi øS reprezintă lucrul mecanic

de extracţie pentru electronii din metal şi, respectiv din semiconductor. Tensiunea vBS

polarizează întotdeauna invers joncţiunea substrat-sursă. ø'F este potenţialul Fermi în stratul

polySi care este uneori folosit în locul metalului de poartă (G). ø'F este dat de formula:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=′

+

i

DthF n

NV lnφ

unde N+D este doparea stratului de polySi.

In mod obişnuit, VTO este pozitiv la n-MOS şi negativ la p-MOS. Corespunzător

tensiunea de prag VT are acelaşi semn şi întotdeauna TOT VV > .

Deoarece tranzistorul conduce (iD >0) numai pentru TGS Vv > se spune că

funcţionează în regim de îmbogăţire (a canalului). Acesta este cazul tranzistorului MOS cu

canal indus (antrenat).

Mai rar, există şi situaţia în care VTO < 0 la n-MOS şi/sau VTO > 0 la p-MOS.

Aceasta datorită sarcinii din oxid şi/sau de la interfaţa care face ca suma ultimilor doi termeni din

relaţia (32) să fie mai mare decât suma primilor termeni. Se spune că tranzistorul are canal iniţial

(la vGS =0). In acest caz tranzistorul poate funcţiona:

(a) – în regim de îmbogăţire (vGS >0 pentru n-MOS);

(b) – în regim de golire (VT < vGS < 0 pentru p-MOS).

Tabelul 1

Parametrul n-MOS p-MOS

substratul p n

canalul n p

øMS G-metal

G-polySi

øM-øS < 0

øF –ø'F < 0

øM-øS < 0

øF –ø'F < 0

QSS

øF 0Nn

lnVA

ith < 0

nN

lnVi

Ath >

QBO relaţia (18) ( ) 04 21

<− FAS qN φε ( ) 04 21

>FDS qN φε

vBS - +

γ relaţia (33) + -

VTO(32) +(-) -(+)

VT relaţia (31) +(-) -(+)

2. CARACTERISTICI DE IESIRE

Caracteristicile de ieşire în conexiunea sursa comună (SC) exprimă grafic şi

analitic dependenţa curentului de drenă (iD) de tensiunea drenă-sursă (vDS) cu vGS=VGS>VT şi

vBS = VBS ca parametrii.

Pe caracteristicile de ieşire se disting două zone:

(1) – zona de nonsaturaţie, când iD creşte semnificativ cu vDS

(2) – zona de saturaţie, când iD are o variaţie foarte redusă cu tensiunea vDS (se

saturează).

2.1 Zona de nonsaturaţie, vDS < vGS -VT

Se consideră structura n-MOS din figura 8. Polarizarea cu tensiunea vDS

determină reducerea grosimii canalului (xc) de-a lungul său (axa Oy). Acest lucru este explicabil

dacă se are în vedere că:

GSDSGSGD vvvv <−= (36)

O porţiune infinit mică din lungimea canalului are rezistenţa:

cxWy

dydR⋅⋅

=)(σ

(37)

unde xc şi W sunt grosimea şi respectiv lăţimea (dimensiunea perpendiculară pe figura 8)

canalului. σ este conductivitatea medie a canalului ce depinde de mobilitatea electronilor prin

relaţia:

∫ ∫ ⋅⋅=⋅= c cx x

ncc

dxyxnqx

dxyxx

y0 0

11 ),(),()( µσσ (38)

Tinând cont că sarcina (pe unitatea de arie) a electronilor din canal are expresia:

(39) ∫ ⋅−= cx

n dxyxnqQ0

),(

din (37) – (39) rezultă:

)( yQW

dydRnn ⋅⋅

−=µ

(40)

unde nµ este mobilitatea medie a electronilor din canal.

Căderea de tensiune pe porţiunea dy va fi corespunzător:

(41) dRiydv D ⋅=)(

Din relaţiile (40) şi (41) se deduce:

)()( ydvyQWdyi nnD ⋅⋅⋅−=⋅ µ (42)

Dependenţa lui Qn(y) se obţine având în vedere că după instalarea inversiei

(vGS>VT) sarcina Qn devine comparabilă cu QB. Ca urmare, relaţia (30) se rescrie:

)( yvCQ

Vvox

nTGS +−= (43)

Ultimul termen din membrul drept arată că o parte din tensiunea aplicată pe

poartă cade pe porţiunea dy a canalului care este parcurs de curentul iD.

Din relaţia (43) se deduce expresia lui Qn şi se înlocuieşte în (42). După integrare

va rezulta:

( )∫ ∫ ⋅−−⋅⋅−=L v

TGSoxnD ydvyvVvCWdyi DS

0 0)()(µ (44)

Rezolvând cele două integrale se obţine:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅−=

2

2DS

DSTGSnDvvVvki , vDS < vGS –VT (45)

unde:

L

Wkk nn'= , oxnn Ck ⋅= µ' (46)

este o constantă ce depinde de geometria canalului (prin W/L), mobilitatea purtătorilor majoritari

din canal şi respectiv capacitatea oxidului.

In rezolvarea integralelor din ecuaţia (44) s-a presupus că VT este constant pe

toată lungimea canalului. In realitate VT depinde de QB (prin relaţia (30)) care pentru vDS ≠ 0 are

expresia (vezi (29)):

[ ])( yvvqNQ BSFASB ++⋅⋅⋅−= φε 22 (47)

Ecuaţia (45) exprimă dependenţa curentului iD de vDS înainte de saturaţie. Relaţia

(45) se simplifică la tensiuni vDS mici:

, v( ) DSTGSnD vVvki −= DS << vGS-VT (48)

ceea ce corespunde unei variaţii liniare a curentului cu tensiunea de ieşire.

2.2 Zone de saturaţie (vDS > vGS -VT)

Se consideră mai întâi ca tensiunea de ieşire are valoarea:

TGSsatDSDS Vvvv −== , (49)

Ca urmare:

TDSGSGD Vvvv =−= (50)

care arată că la drena canalului se reduce la un punct (xc=0 la y=L).

Inlocuind relaţia (49) în (45) se deduce:

( )22,, 22 TGS

nsatDS

nsatDD Vvkvkii −=== (51)

Pentru tensiuni vDS > vDS,sat canalul dispare pe o distanţă xA măsurată de la

drenă. Potenţialul punctului A unde se termină canalul este:

(52) satDSAS vv ,=

Cum acest punct este foarte apropiat de D (xA<< L) într-o primă aproximaţie se

poate considera Lef≈L şi curentul prin tranzistor dat de (51) şi independent de vDS:

( 22 TGSn

D Vvk

i −= )

0

(53)

ceea ce exprimă saturarea curentului de drenă la valoarea iD,sat.

Curentul iD este transportat de electroni care de la S până la A circulă prin canal,

iar de la A la D printr-o regiune golită sub acţiunea câmpului electric determinat de tensiunea:

(54) >−= ASDSDA vvv

In realitate, în saturaţie, lungimea canalului (Lef) se micşorează prin creşterea lui

vDS. Ca urmare, kn (vezi relaţia (46)) şi implicit iD variază cu vDS. Din (46) şi (53) rezultă:

( 22)( TGSn

DSefD Vvk

vLLi −⋅= ) (55)

Se presupune o dependenţă liniară a lungimii canalului de vDS:

( satDSDSsatDSvDS

DSef Vvv

LLvL ,,

)( −⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+= ) (56)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

nF

satDSDSDSef V

vvLvL

,

,1)( , satDSvDS

nF dvdL

LV

,

1,

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− (57)

unde VF,n este tensiunea Early pentru n-MOS. Cum vDS –vDS,sat << VF,n rezultă din (55) şi

(57):

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−=

nF

satDSDSTGS

nD V

vvVvki

,

,2 12

, vDS > vDS,sat (58)

Figura 9 prezintă caracteristicile de ieşire pentru un n-MOS în conexiune SC

polarizat cu o tensiune vBS =VBS <0 fixă. Caracteristicile au fost trasate pe baza ecuaţiilor (45) şi

(58). Parabola de ecuaţie (51) separă zona de nonsaturaţie de zona de saturaţie. Pe figură se

indică o modalitate de determinare a tensiunii Early VF,n.

In cazul unui p-MOS relaţiile (45), (46), (49), (58) au forma:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅−=

2

2SD

SDTSGpDvvVvki , vSD < vSD,sat (59)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−=

pF

satSDSDTSG

pD V

vvVv

ki

,

,2 12

, vSD > vSD,sat (60)

oxpp

pp CL

WkL

Wk µ'

' == (61)

TSDsatSD Vvv −=, (62)

In încheiere trebuie precizat că în programele PSPICE în locul relaţiilor (58) şi

(60) se folosesc relaţiile aproximative:

( ) ( DSnTGSn

D vVvki λ+−= 12

2 ) (63)

( ) ( SDpTSGp

D vVvk

i λ+−= 12

2 ) (64)

unde: nF

n V ,

1≅λ

pFp V ,

1≅λ .

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Figura 9