Toate numerele sunt rezultatul unor

masuratori?

  Femeile sunt pasionate de matematica imaginara. Isi impart varsta la 2,dubleaza pretul hainelor si adauga intodeauna 5 ani la varsta prietenei cele mai bune.

În 1748 genialul matematician elvetian Leonard Euler scria formula:

  e- este baza logaritmului natural  i- este unitatea imaginar? 

sin si cos sunt functii trigonometrice.

În 1806 Jean Robert Argand publica lucrarea “ Eseu despre interpretarea geometrica a cantitatilor imaginare.

În 1813 Adrien-Marie Legendre pune bazele geometriei numerelor complexe. În 1829 William Rowan Hamilton considera ca , asa cum geometria este stiinta spatiului care

si-a gasit expresia matematica în “Elementele lui Euclid”, si algebra trebuie sa fie stiinta a

ceva, si inspirat de filosofia lui Kant , el decide ca acel ceva trebuie sa fie timpul.

În 1831 datorita lui Carl Friedrich Gauss se impune termenul de “numar complex”.

Originea numarului i:

Numărul complex (0,1) este notat cu i și numit “numarul i”.Are proprietatea

Ținînd cont de cele de mai sus, un număr complex(a,b) poate fi scris (a,b)=(a,0)+(b,0)=a+bi

Forma algebrică a unui număr complex este z=a+bi , unde a și b sunt numere reale. (0,1) unitatea imaginară (0,0)=0; (1,0)=1.

Pentru un număr complex z=a+bi , se numește partea reală a lui z și se notează a=Re(z) iar b se numește partea imaginară a lui z și se notează b=Im(z) .

Egalitatea a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w =(c,d) = c + di are loc dacă a = c și b = d.

Suma a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w =(c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d )= (a+c) + i(b +d).

Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w =(c,d) = c + di este zw = (ac -bd, bc + ad )= (ac-bd) + i(bc+ad).

Exemplu

pentru z = (2,3)= 2 + 3i și w =(1,4) = 1 + 4i avem zw = (-10, 11 )= -10 + 11i, z + w = (3, 7 )= 3 + 7i si produsul  zw = (-10,11) = -10 + 11i.

Forma algebrica a unui numar complex

Se numeste modulul numarului complex z, ,numarul real

Conjugatul complex al unui numar este numărul complex

Exemple:

Modulul si conjugatul unui numar complex

Ecuatia de forma unde a, b, c   R, a    0, x - variabila, se numeste

ecuatie bipatrata. Prin substitutia x2 = t (atunci x4 = t 2) ecuatia bipatrata se reduce la o

ecuatie de gradul al doilea.

1) -Se utilizeaza substitutia  t = x2, si se obtine ecuatia de gradul al doilea

in t,  

2t 2 - 3t + 4 = 0 care nu are solutii reale. Prin urmare, si ecuatia enuntata nu are solutii

reale. S=

2) x4 - 29x2 + 100 = 0 -Se noteaza  x2 = t, atunci  x 4 = t 2  si se obtine o ecuatie de

gradul al doilea in t: t 2 - 29t + 100 = 0 cu solutiile  t1 = 4 si t2 = 25.Astfel se obtine

totalitatea de ecuatii

de unde rezulta solutiile x = ±2 si x = ±5.

Se numeste ecuatie binoma,o ecuatie de forma: ,

Exemplu: ecuaţia se scrie sub forma: si se scrie numărul -i

complex  în forma trigonometrica. . Soluţiile ecuaţiei

sunt rădăcinile de ordin zece din -i,adică numerele complexe:

Aplicatii ale numerelor complexe in algebra

Vom nota cu M(z) punctul M de afix z.Distanţa dintre punctele Afixul punctului M care imparte segmentul in raportul k,adica =

este ,unde , ,

Consecinta:Afixul mijlocului M al segmentului este ;Afixul g al centrului de greutate G al triunghiului este ;patrulaterul

este paralelogram daca si numai daca ,unde ,i=1,2,3,4.

Conditia de coliniaritate: Punctele M1(z1), M2(z2), M3(z3) sunt coliniare dacă şi numai dacă există k1, k2, k3 ∈ R cu k1+ k2+ k3 = 0 si

Demonstratie: Dacă sunt coliniare, atunci există cu

Deci ,adica .Pentru

, obtinem concluzia.Reciproc,din cu

,obtinem

Pentru obtinem ,adica sunt coliniare.

Aplicatii ale numerelor complexe in geometrie

Exemplu: Fie afixele varfurilor triunghiului ABC, cu . Sa se arate ca daca punctele MNP au afixele

atunci triunghiurile MNP si ABC sunt asemenea.

Rezolvare: Cum , ,

-Analiza semnalelor:-numerele complexe sunt folosite în 

analiza semnalelor şi alte domenii pentru o descriere convenabilă pentru

diferite semnale periodic.

- Integralelor improprii:-În domenii aplicate, numerele complexe sunt

adesea utilizate pentru a calcula anumite valori reale integralelor improprii

 , prin intermediul-evaluate functii complexe.

-Mecanica cuantica:- Câmpul număr complex este relevant în 

formulele matematice ale mecanicii cuantice , în cazul în care complex de 

spatii Hilbert oferi contextul pentru o formulare, astfel încât este

convenabil şi cel mai probabil standard.

-Numarul de teoria analitica:- Analitic numarul teorie studii de numere,

de multe ori întregi sau raţionale, profitând de faptul că acestea pot fi

considerate ca numere complexe, în care metodele analitice pot fi

utilizate. Aceasta se face prin informaţii codare număr-teoretic în funcţii

complexe-evaluate. De exemplu, Riemann Zeta-functia ζ (s) este legat de

distribuirea de numere prime .

Domenii

-http://www.experior.ro/Docs/Ecuatii_binome

-http://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_complex

-Dinca M., Chirita M., Numere complexe in matematica de liceu, Editura All

Educational, Bucuresti, 1996

-Cocea C., 200 de probleme din geometria triunghiului echilateral, Editura

Gh. Asachi, Iasi, 1992

-Andrica D., Varga C., Vacaretu D., Teme de geometrie, Editura Promedia

Plus, Cluj Napoca, 1997

http://translate.google.ro/translate?hl=ro&langpair=en|ro&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

Bibliografie