Sem.II Curs nr.1

MED

REŢELE LINIARE PLANE. GENERALITĂŢI

Se numesc reţele geodezice liniare sau încă reţele de trilateraţie, reţelele alcătuite din puncte pentru a căror determinare s-au efectuat numai măsurători de distanţă, acestea reprezentând de regulă laturi de triunghiuri. Reţelele liniare pot fi dezvoltate ca reţele constrânse, când sistemul de axe faţă de care urmează să se calculeze poziţia punctelor noi, este dinainte dat, printr-un număr de elemente mai mare decât strictul necesar (coordonatele XY ale unui punct şi orientarea unei laturi), sau ca reţele libere, când sistemul de axe se alege după dorinţă. În cazul reţelelor constrânse, sistemul de axe se dă de regulă în mod supraabundent prin intermediul a cel puţin două perechi de puncte vechi, de coordonate cunoscute şi , acestea formând aşa-numita ),( AA YXA ),( BB YXBbază a intersecţiilor liniare şi , , care formează aşa-numita

),( CC YXC ),( DD YXDbază de control sau elementul de constrângere al reţelei (fig.1).

Fig.1 Reţea liniară constrânsă pe două baze fixe

Plecând de la asemenea baze, de orientări cunoscute în plan, se calculează în mod treptat prin intersecţii obişnuite (în trilateraţie numite intersecţii liniare) sau radieri, coordonatele punctelor noi 1, 2, 3.

1

Dacă punctele vechi date nu formează o bază de intersecţie liniară, reţeaua neavând niciun punct nou care împreună cu cele date să formeze un triunghi, atunci coordonatele punctelor noi nu mai pot fi calculate direct în sistemul de axe dat. Ele se calculează mai întâi într-un sistem local (oxy), cel mai simplu cu originea în unul din punctele vechi (de exemplu A), iar axa ox coincidentă cu una din laturile măsurate (de exemplu 1A ) (fig.2) care serveşte drept bază iniţială de intersecţie în sistemul local.

Fig.2 Reţea liniară constrânsă pe o bază de transcalcul

Primul punct calculabil în acest sistem, evident este punctul 1, ca punct radiat, urmând apoi punctele 2, 3 etc., calculabile prin intersecţii liniare. Perechile de săgeţi convergente în acelaşi punct indică intersecţiile liniare corespunzătoare. Coordonatele locale (x, y) astfel obţinute vor fi supuse apoi unei transformări liniare (o rotaţie şi două translaţii XA,YA), pentru aducerea în sistemul de axe dat. Pentru deducerea cu control de scară a parametrilor transformării sunt suficiente doar cele două puncte vechi. Spunem că acestea ne dau baza de transcalcul. În cazul reţelelor liniare libere, coordonatele punctelor noi se recalculează într-un sistem local, mai mult sau mai puţin arbitrar ales, de regulă cu originea în unul din punctele reţelei, iar axa ox dirijată după direcţia uneia din laturile măsurate (de exemplu 1.11 , fig.3).

2

Fig.3 Exemplu de alegere a axelor sistemului local la reţelele liniare libere

Aceasta constituie baza iniţială a intersecţiilor liniare în sistemul local, întocmai ca şi în cazul precedent. Pentru evitarea coordonatelor negative, evident se pot efectua după dorinţă şi translaţii de axe, sau chiar rotaţii dacă acest lucru este necesar.

Principii de bază în dezvoltarea reţelelor liniare

În dezvoltarea reţelelor liniare ca reţele constrânse sau libere, trebuie respectate următoarele principii de bază:

1. În fiecare punct nou al reţelei trebuie să conveargă cel puţin trei laturi, măsurate de la trei puncte de coordonate cunoscute sau calculabile în sistemul de referinţă adoptat.

2. Cel puţin două din laturile care converg în fiecare punct nou, trebuie să formeze între ele un unghi apropiat de unghiul drept. Prima cerinţă decurge din aceea că un punct în care converg doar două laturi măsurate de la două puncte de coordonate cunoscute sau calculabile în sistemul de referinţă adoptat, nu are asigurat controlul determinării şi, prin urmare, nu trebuie considerat ca aparţinând reţelei. A doua cerinţă decurge din faptul că pentru o reţea liniară, conformaţia geometrică este la fel de importantă ca însăşi precizia măsurătorilor. Erorile măsurătorilor, oricât ar fi ele de mici, se propagă puternic amplificate în rezultatele finale ale compensărilor (de regulă coordonatele X, Y, sau alte funcţii de aceste mărimi) în condiţiile unei conformaţii geometrice nesatisfăcătoare a reţelei (unghiuri formate de laturile de determinare foarte ascuţite).

3

Rigiditatea reţelelor liniare În cele ce urmează prin noţiunea de “rigiditate” a unei reţele liniare, înţelegem numărul N de laturi măsurate în plus faţă de strictul necesar determinării poziţiei punctelor reţelei într-un sistem oarecare de referinţă unic. În condiţiile respectării primului principiu numărul N va rezulta întotdeauna ca un număr întreg pozitiv.

a) Rigiditatea reţelelor liniare constrânse În cazul reţelelor liniare constrânse, unde cel puţin o bază de intersecţie sau transcalcul se consideră dată, fiecare punct nou al reţelei necesitând câte două laturi măsurate, rigiditatea N are expresia: PLN 2−= (1)

Unde L reprezintă numărul total de laturi măsurate, iar P numărul total de puncte noi.

Pentru reţeaua constrânsă din fig.1 cu 20=L şi 7=P , rezultă . Relativ la reţeaua – de asemenea constrânsă – din fig.2 cu

6=N22=L şi , găsim

. În exemplele considerate, au fost măsurate şase şi respectiv patru laturi peste strictul necesar.

9=P4=N

b) Rigiditatea reţelelor liniare libere În cazul reţelelor liniare libere, sistemul de axe nefiind precizat, se pune problema de a determina prim măsurători de distanţe, doar poziţia relativă a celor P puncte noi care alcătuiesc reţeaua. Observând că pentru determinarea poziţiei relative a primelor două puncte care formează baza de intersecţie liniară în sistemul local, trebuie să măsurăm doar o singură latură unind punctele respective, iar pentru fiecare punct următor tot câte două laturi, atunci numărul nn de măsurători strict necesare determinării celor P puncte noi este:

( )221 −+= Pnn (2)

adică în cazul reţelelor liniare libere, pentru rigiditatea N definită ca diferenţa rezultă expresia: nnLN −=

32 +−= PLN (3)

Relativ la reţeaua liberă din fig.3 cu 22=L şi 11=P , rezultă , deci supraabundenţă de măsurători.

3=N

Asemenea reţele (fie constrânse, fie libere) caracterizate de , rezultă întotdeauna ca

0>Nreţele rigide; ele indică măsurători supraabundente, sunt

controlabile şi ridică problema compensării după metoda celor mai mici pătrate.

4

Sem.II Curs nr.2

MED

Elemente de compensare a reţelelor liniare după metoda măsurătorilor indirecte

Spre deosebire de metoda măsurătorilor condiţionate, care se pretează convenabil numai la anumite configuraţii de reţele liniare (sisteme centrale şi reţele compacte) metoda măsurătorilor indirecte este de maximă generalitate, ea fiind uşor aplicabilă la configuraţii oricât de complicate. Singurul dezavantaj al metodei măsurătorilor indirecte rămâne acela că prin aplicarea ei se ajunge, chiar în cazul reţelelor puţin dezvoltate, la sisteme mari de ecuaţii normale. Aplicarea metodei măsurătorilor indirecte, presupune determinarea în prealabil a unor valori apropiate ale coordonatelor punctelor reţelei. Acestea se calculează prin metoda radierilor sau a intersecţiilor liniare. Trebuie spus însă, că indiferent de metoda de compensare care se aplică, măsurători condiţionate sau indirecte, reţeaua liniară trebuie să respecte principiile de bază (arătate în cursul anterior). Printre acestea, se află şi aşa-numitul unghi optim al intersecţiei liniare, care se demonstrează în cele ce urmează.

Intersecţia liniară simplă şi precizia eiIntersecţia liniară simplă constă în determinarea coordonatelor plane ale unui punct P cu ajutorul distanţelor şi măsurate de la două puncte date şi (fig.1). Acestea determină aşa-numita bază a

),( YX

1r 2r),( 11 YXA ),( 22 YXB

intersecţiei liniare. Se înţelege că drept bază a intersecţiei liniare poate servi şi o latură măsurată direct în care caz pentru cele două puncte de capăt ale ei se adoptă un sistem local de coordonate.

Θ

Θ Θ

Fig.1 Intersecţia liniară simplă

1

Evident, poziţia calculată a punctului nou P va fi la intersecţia arcelor de cerc de raze şi având centrele în punctele date A şi B. Coordonatele pot fi determinate prin două metode şi anume:

1r 2r ),( YX

- prin metoda coordonatelor polare, care necesită în prealabil calculul unghiurilor α şi β cu ajutorul teoremei cosinusului şi apoi a orientărilor spre punctul nou αθθ −=ΑΡ şi respectiv , g200±+=ΒΡ βθθ θ fiind orientarea laturii fixe AB .

- prin metoda proiecţiilor, aceasta necesitând în prealabil calculul segmentelor p şi q determinate de înălţimea coborâtă din vârful P. În primul caz avem relaţiile de bază:

(1) ⎭⎬⎫

−+=−+=

)sin()cos(

11

11

αθαθ

ryyrxx

precum şi relaţiile de control:

(2) ⎪⎭

⎪⎬⎫

±++=

±++=

)200sin(

)200cos(

22

22g

g

ryy

rxx

βθ

βθ

unde:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−−

=

+−=

+−=

12

12

2

221

22

1

222

21

2arccos

2arccos

XXYY

arctg

drdrr

drdrr

θ

β

α

(3)

( ) ( )2122

12 YYXXd −+−= (4)

În a doua metodă, relaţiile de bază rezultate direct din fig.1 sunt:

(5) ⎭⎬⎫

−+=++=

θθθθ

cossinsincos

1

1

hpyyhpxx

precum şi relaţiile de control:

(6) ⎭⎬⎫

−−=−+=

θθθθ

sincoscossin

2

2

qhyyqhxx

relativ la care segmentele p şi q rezultă uşor din relaţiile:

(7) ⎪⎭

⎪⎬⎫

−+=−+=

−+=−+=

dqdrdrdrr

dpdrdrdrr

2cos2

2cos222

2222

22

1

2211

221

22

β

α

(deoarece pr =αcos1 şi qr =βcos2 ).

Din relaţia (7) avem segmentele p şi q în funcţie de laturile măsurate şi : 1r 2r

2

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+−=

+−=

ddrrq

ddrrp

2

222

12

2

222

21

(8)

Se verifică imediat că avem: dqp =+ (9)

Înălţimea h rezultă şi ea în funcţie de laturile măsurate, utilizând una din relaţiile:

222

22

121

221 2 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−=−=

ddrr

rprh (10)

222

12

222

222 2 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−=−=

ddrrrprh (11)

Pentru evaluarea preciziei intersecţiei liniare simple, plecăm de la relaţia de definiţie a erorii planimetrice a punctului şi anume:

(12) 222yxl mmm +=

relativ la care erorile medii pătratice după direcţiile celor două axe de coordonate, respectiv şi vor fi calculate ca erori ale funcţiunilor de mărimi măsurate direct:

xm ym

(13) ⎭⎬⎫

==

),(),(

21

21

rryyrrxx

pentru care se are:

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

22

2

22

1

2

22

2

22

1

2

21

21

rry

rrx

mrym

rym

mrxm

rxm

(14)

Considerând că avem măsurători de aceeaşi precizie (adică ) obţinem în final:

22221 rrr mmm ==

γsin2r

lm

m = (15)

ceea ce ne arată că faţă de un dat, precizia intersecţiei liniare simple este maximă când aceasta se realizează sub un unghi drept. O atare condiţie geometrică se obţine când punctul nou de determinat P se află pe cercul având drept diametru baza de intersecţie (fig.2).

rm

3

Fig.2 Condiţia geometrică optimă a intersecţiei liniare simple

Acest fapt important se are în vedere la proiectarea reţelelor liniare, în sensul că fiecare punct nou, a cărui poziţie urmează să fie determinată pe baza măsurătorilor de distanţe, va trebui să aibă cel puţin o bază de intersecţie care să îndeplinească măcar aproximativ condiţia menţionată.

4

Sem.II Curs nr.3

MED

Intersecţia liniară multiplă

În practică, determinarea coordonatelor unui punct nou pe bază de măsurători liniare, nu se va limita la strictul necesar din punct de vedere matematic (două lungimi), ci se vor măsura distanţe şi de la alte puncte vechi cunoscute (fig.1). Aceasta evident în scopul asigurării controlului şi creşterii preciziei determinării.

),( yx

),()...,( 33 LL YXLYXC

Fig.1 Intersecţie liniară multiplă

Avem de rezolvat aşa numita intersecţie liniară multiplă, unde fiecărei laturi măsurate îi corespunde o ecuaţie de măsurători indirecte. '

ir

În cazul concret al fig.1 ecuaţiile de măsurători indirecte care leagă mărimile măsurate de necunoscutele sunt: '

ir ),( yx

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=−−+−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=−−+−

=−−+−

LLLL vryyxx

vryyxx

vryyxx

'22

2'

22

22

2

1'

12

12

1

(1)

unde reprezintă corecţii liniare de adus laturilor măsurate direct sub condiţia .

Lvvv ..., 21

,..., ''2

'1 Lrrr min][ =vv

Pentru fiecare distanţă măsurată de la un punct cunoscut, către punctul nou de determinat, funcţionează o ecuaţie de măsurători indirecte de forma generală:

1

( ) ( ) iiii vryyxx =−−+− '22 (2)

După cum se ştie, determinarea valorilor probabile ale necunoscutelor din sistemul (1), sub condiţia

),( yx=][vv min. este posibilă prin introducerea

valorilor apropiate - numite încă şi valori provizorii - şi a corecţiilor , legate prin relaţiile:

),( 00 yx),( dydx

(3) ⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

+=

dyyydxxx

0

0

Cu acestea, ecuaţia generală (2) devine:

( )[ ] ( )[ ] iiii vrydyyxdxx =−−++−+ '2020 (4)

adică corecţiile sunt funcţiuni Taylor de două variabile: iv

(5) );( 00 dyydxxFv ii ++=

Admiţând valorile provizorii suficient de apropiate de cele probabile astfel încât corecţiile să rezulte mici, funcţia (5) poate fi dezvoltată în serie Taylor în jurul valorilor provizorii cu reţinerea numai a termenilor de prim ordin şi anume:

),( 00 yx),( dydx

),( 00 yx

( ) iii

ii vdyyF

dxxF

yxFdyydxxF =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+=++00

0000 ),(, (6)

Aplicând aceasta funcţiunii (4) obţinem:

( ) ( ) iii

iii vdyyv

dxxv

ryyxx =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+−−+−00

'2020 (7)

care este deci de formă liniară în noile necunoscute şi : dx dy

iiii vldybdxa =++ (8)

Relativ la relaţia (8) constatăm că coeficienţii reprezentând derivatele parţiale ale funcţiunii (2) particularizate pentru valorile provizorii ale necunoscutelor, au următoarele expresii:

ii ba ,

00

0

0

cos iPi

iii r

xxxv

a θ=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= (9)

00

0

0

sin iPi

iii r

yyyv

b θ=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= (10)

unde elementele ( )00 , iPir θ reprezintă coordonate polare care leagă poziţia apropiată a punctului nou de respectivele puncte vechi.

Coeficienţii , având semnificaţia de orientări provizorii, se mai numesc şi ii ba ,coeficienţi de direcţie. În ceea ce priveşte termenul liber al ecuaţiei (8) constatăm din (7) că pentru acesta se are:

il

2

( ) ( ) '0'2020iiiiii rrryyxxl −=−−+−= (11)

adică termenul liber este dat de diferenţa dintre distanţa calculată din coordonate provizorii şi distanţa rezultată din măsurători.

il

În cazul intersecţiei liniare multiple vom avea atâtea ecuaţii liniare de corecţii de forma (8) câte distanţe s-au măsurat. Normalizând ecuaţiile (8) se obţine sistemul:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] ⎭

⎬⎫

=++=++

00

bldybbdxabaldyabdxaa

(12)

care prin rezolvare ne va da acum corecţiile şi de introdus în (3) pentru aflarea valorilor probabile ale necunoscutelor . Tot cu ajutorul corecţiilor

şi se calculează în continuare corecţiile liniare utilizând relaţia (8). Acestea se vor compara apoi cu corecţiile liniare calculate cu relaţia (2). În final va trebui deci, în limita preciziei de calcul să avem:

dx dy),( yx

dx dy iv

iv

( ) ( )22'iiii yyxxvr −+−=+ (13)

adică distanţa rezultată din măsurători, plus corecţia, trebuie să fie egală cu distanţa calculată din coordonate definitive. Aceasta constituie controlul final al compensării. Intersecţia liniară multiplă din cazul unui singur punct se generalizează mai departe la cazul unui grup mai mic sau mai mare de puncte noi, pentru a căror determinare s-au efectuat numai măsurători de distanţe.

Calculul preciziei intersecţiei liniare multiple Acest calcul, în cazul cel mai simplu, include:

a) Eroarea medie pătratică a unei singure măsurători (a unei laturi compensate):

2][

−±=

Lvvm (14)

în care =L numărul laturilor măsurate. b) Erorile medii pătratice ale coordonatelor : ),( yx

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

22

11

Qmm

Qmm

y

x (15)

în care coeficienţii de pondere şi se calculează odată cu rezolvarea sistemului normal (12) aşa cum se ştie de la teoria erorilor.

11Q 22Q

Observaţii importante Determinarea coordonatelor unui punct prin intersecţie liniară multiplă cu aplicarea teoriei măsurătorilor indirecte, cere mai întâi aflarea unor coordonate provizorii , suficient de apropiate de cele probabile , ),( 00 yx ),( yx

3

astfel încât corecţiile să rezulte mici. În acest scop, coordonatele provizorii vor fi determinate ca medie aritmetică din mai multe variante de intersecţii liniare simple, pe cât posibil independente şi cu un unghi

),( dydx

γ de intersecţie apropiat de . De asemenea, este aplicabilă şi metoda aproximaţiilor succesive.

090

4

Sem.II Curs nr.4

MED

Compensarea grupului de puncte

Intersecţia liniară multiplă se extinde cu uşurinţă la cazul unui grup de puncte ca de exemplu cel din fig.1, în care punctele 1, 2, 3 sunt puncte noi ale căror coordonate se caută, iar punctele A, B, C, D, E, F sunt puncte vechi, de coordonate cunoscute.

Fig.1 Compensarea grupului de puncte

În teren se măsoară atât laturi care leagă puncte vechi de puncte noi, cât şi laturi care leagă între ele puncte noi. Se reaminteşte că pentru determinarea riguroasă a coordonatelor punctelor noi, este necesar ca în fiecare din acestea, să conveargă cel puţin trei laturi măsurate, pentru a avea măsurători supraabundente. În cazul grupului de puncte, relaţia generală de măsurători indirecte, care leagă mărimile măsurate direct (distanţele ) de necunoscutele problemei (coordonatele ) pentru două puncte noi oarecare i şi j din reţea (fig.1) este de forma:

'ijr

jjii yxyx ,;,

( ) ( ) ijijijij vryyxx =−−+− '22 (1)

în care reprezintă corecţia de adus valorii furnizată de măsurători, astfel ca toate relaţiile independente de tipul (1) care pot fi scrise pentru reţeaua dată, să fie satisfăcute sub condiţia

ijv 'ijr

min][ =pvv .

Introducând şi în acest caz pentru necunoscutele problemei valori apropiate şi corecţii, avem pentru coordonatele compensate:

1

(2)

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

+=

⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

+=

jjj

jjj

iii

iii

dyyy

dxxx

dyyy

dxxx

0

0

0

0

Cu aceasta, ecuaţia de măsurători indirecte (1) devine:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ijijiijjiijj vrdyydyydxxdxx =−+−+++−+ '200200 (3)

adică corecţiile sunt acum funcţii Taylor de patru variabile: ijv

( )iiiijjjjijij dyydxxdyydxxFv ++++= ;;; (4)

relativ la care, după dezvoltarea în serie cu reţinerea numai a termenilor de ordinul unu, avem:

( ) ii

ii

jj

jj

iijjij dyyFdx

xFdy

yFdx

xFyxyxFv

0000

0000 ,,, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+= (5)

Aplicând aceasta funcţiunii (3) se obţine:

( ) ( ) ijii

iji

i

ijj

j

ijj

j

ijijijij vdy

yv

dxxv

dyyv

dxxv

ryyxx =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+−−+−

0000

'200200

adică ecuaţia liniară de măsurători indirecte corespunzătoare unei laturi care leagă două puncte noi (i şi j) ale reţelei este de forma:

ijijiijiijjijjij vldyddxcdybdxa =++++ (6)

unde coeficienţii corecţiilor numiţi încă şi ,,,, iijj dydxdydx coeficienţi de direcţie, sunt derivate parţiale ale funcţiunii (1) în raport cu respectivele necunoscute, particularizate pentru valorile apropiate ale acestora, după cum urmează:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂=

−=−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂=

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

00

00

0

00

00

0

00

00

0

00

00

0

sin

cos

sin

cos

ijij

ij

i

ijij

ijij

ij

i

ijij

ijij

ij

j

ijij

ijij

ij

j

ijij

ryy

xv

d

rxx

xv

c

ryy

yv

b

rxx

xv

a

θ

θ

θ

θ

(7)

unde reprezintă orientarea laturii respective calculată din coordonate apropiate, iar termenul liber are expresia:

0ijθ

ijl

( ) ( ) '0'200200ijijijijijij rrryyxxl −=−−+−= (8)

2

adică numeric, termenul liber este egal cu valoarea distanţei calculată din coordonate apropiate (numite încă şi coordonate provizorii) minus valoarea distanţei furnizată de măsurători.

ijl

Observând acum, că din expresiile (7) ale coeficienţilor de direcţie avem:

ijij ca −= şi ijij db −= (9)

ecuaţia liniară (6) se mai scrie sub forma: ijijiijiijjijjij vldybdxadybdxa =+−−+ (10) Dacă unul din capetele distanţei măsurate este punct vechi, de coordonate cunoscute (exemplu punctul i), atunci ecuaţia liniară respectivă rezultă ca un caz particular al ecuaţiei (10) în care 0== ii dydx , adică:

ijijjijjij vldybdxa =++ (11)

La determinarea riguroasă a coordonatelor unui grup de puncte prin măsurători de distanţe, fiecărei laturi care uneşte punct nou cu punct vechi, punct vechi cu punct nou, sau punct nou cu punct nou, îi corespunde câte o ecuaţie liniară de măsurători indirecte de forma (10) sau (11). Numărul ecuaţiilor de măsurători indirecte este egal deci cu numărul total de laturi măsurate, iar numărul de necunoscute este egal cu de două ori numărul punctelor noi. În cazul reţelei din fig.1 cu trei puncte noi şi 14 laturi măsurate, necunoscutele problemei şi termenii liberi, formează vectorii:

(12)

( )( )( ) ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

=

=

=

1421

1421

332211

.........,

........,

,,,,,

lllL

vvvV

dydxdydxdydxX

T

T

T

iar coeficienţii de direcţie corespunzători celor 14 laturi şi 3 puncte noi, formează matricea:

(13)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−=

141414141414

222222

111111

fedcba

fedcbafedcba

A

unde fiecare linie nu poate conţine decât două sau patru elemente diferite de zero. Cu notaţiile (12) şi (13) sistemul ecuaţiilor liniare de erori aferent reţelei, devine: LAXV += (14)

căruia îi corespunde sistemul ecuaţiilor normale: ( ) 0=+ PLAXPAA TT (15)

unde:

(16) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

14

2

1

pp

pP

3

reprezintă matricea diagonală a ponderilor sistemului (14), în cazul general când laturile măsurate comportă precizii diferite. Introducând notaţia , vectorul soluţiilor sistemului (15) este: NPAAT =

(17) PLANX T1−−=

unde N, reprezentând matricea coeficienţilor ecuaţiilor normale, în exemplul considerat are dimensiunea 6x6. Cunoscând acum vectorul X al soluţiilor, cu relaţiile (2) se calculează coordonatele definitive ale punctelor noi, după care, se calculează în fine, vectorul (14) al corecţiilor liniare de aplicat laturilor măsurate. Controlul final al compensării constă în verificarea egalităţii:

( ) ( ) ijijijij vryyxx +=−+− '22 (18)

care cere deci, ca distanţa calculată din coordonate definitive, să fie egală cu distanţa măsurată plus corecţia liniară calculată cu relaţia (10). Urmează apoi calculul cunoscut al preciziei, care include eroarea medie pătratică de pondere, erorile individuale ale coordonatelor definitive şi elipsele erorilor în fiecare punct nou.

),( yx

Organizarea calculelorOrganizarea calculelor începe cu determinarea coordonatelor provizorii ale punctelor noi. Pentru aceasta, se caută variante de intersecţii pe cât posibil sub unghi optim astfel încât coordonatele provizorii ( )00 , yx să rezulte din două determinări independente în vederea unei mai bune precizii şi a asigurării controlului. Chiar dacă, efectiv, coordonatele provizorii se calculează prin metoda radierilor, în dublu mod, în cadrul unuia şi aceluiaşi triunghi nu avem asigurat decât un control de calcul şi nu de determinare a poziţiei punctului. Din acest motiv, coordonatele provizorii trebuie să rezulte ca medie aritmetică din două determinări independente. Odată stabilite coordonatele respective, acestea servesc mai departe la calculul termenilor liberi cu relaţia (8). Calculele se organizează într-un tabel ca cel de mai jos care se referă la reţeaua din fig.1. Se începe cu înregistrarea laturilor măsurate şi provizorii, care converg în punctul nou 1 al reţelei, continuându-se cu laturile care converg în punctul nou 2 şi aşa mai departe, avându-se grijă ca o latură odată înregistrată să nu se mai repete. De exemplu, dacă latura

ijl

13− a fost înregistrată ca latură convergentă în punctul nou 1, atunci latura 31− nu va mai fi înregistrată ca latură convergentă în punctul nou 3. În continuare, pe linia corespunzătoare fiecărei laturi, în subcoloanele aferente punctului în care converge latura dată, se trec valorile coeficienţilor de direcţie, respectiv θcos şi θsin . Dacă latura respectivă leagă două puncte noi (ca de exemplu latura 13− ), atunci în subcoloanele aferente punctului nou din care diverge latura dată, se trec aceiaşi coeficienţi de direcţie dar cu semne schimbate; (în cazul laturii considerate, 13cos −− θ şi 13sin −− θ ).

4

De asemenea, pe linia fiecărei laturi (penultima coloană) se trec valorile termenilor liberi calculaţi cu relaţia (8). ijl

În cazul când măsurătorile liniare sunt de precizii diferite, se mai introduce o coloană a ponderilor, fiecare ecuaţie intervenind astfel cu propria ei pondere. În exemplul considerat, s-a admis că măsurătorile de distanţe sunt de aceeaşi precizie, astfel încât matricea diagonală (16) este unitară.

În fine, ultima coloană se completează cu corecţiile liniare , calculate cu relaţia (10), după rezolvarea sistemului normal.

ijv

Val. laturii Coeficienţii de direcţie măs. prov. Punctul 1 Punctul 2 Punctul 3

La- tu- ră '

ijr 0ijr a b a b a b

Term.liber

ijl 'ijr= - 0

ijr

Corecţiiliniare

ijv

A-1 '1−Ar 0

1−Ar01cos −Aθ

01sin −Aθ 0 0 0 0 1−Al 1−Av

F-1 '1−Fr

01−Fr

01cos −Fθ

01sin −Fθ 0 0 0 0 1−Fl 1−Fv

3-1 '13−r 0

13−r 013cos −θ 0

13sin −θ 0 0 - 013cos −θ - 0

13sin −θ 13−l 13−v

D-1 '1−Dr

01−Dr

01cos −Dθ

01sin −Dθ 0 0 0 0 1−Dl 1−Dv

2-1 '12−r 0

12−r 012cos −θ

012sin −θ -

012cos −θ -

012sin −θ 0 0 12−l 12−v

A-2 '2−Ar

02−Ar

02sin −Aθ 0 0 0

2cos −Aθ 0 0 2−Al 2−Av

B-2 '2−Br

02−Br

02sin −Bθ 0 0 0

2cos −Bθ 0 0 2−Bl 2−Bv

C-2 '2−Cr

02−Cr

02cos −Cθ

02sin −Cθ 0 0 0 0 2−Cl 2−Cv

D-2 '2−Dr

02−Dr

02cos −Dθ

02sin −Dθ 0 0 0 0 2−Dl 2−Dv

3-2 '23−r 0

23−r 0 0 023cos −θ 0

23sin −θ - 023cos −θ - 0

23sin −θ 23−l 23−v

F-3 '3−Fr

03−Fr 0 0 0 0 0

3cos −Fθ 03sin −Fθ 3−Fl 3−Fv

E-3 '3−Er

03−Er 0 0 0 0 0

3cos −Eθ 03sin −Eθ 3−El 3−Ev

D-3 '3−Dr

03−Dr 0 0 0 0 0

3cos −Dθ03sin −Dθ 3−Dl 3−Dv

C-3 '3−Cr

03−Cr 0 0 0 0 0

3cos −Cθ 03sin −Cθ 3−Cl 3−Cv

aa ab ac ad ae af a bb bc bd be bf b cc cd ce cf c dd de df d ee ef e ff

f

Coloanele a, b, c, d, e, f din tabela întocmită, conţin acum elemente ale matricii A (rel.13) care se normalizează prin procedeul cunoscut, obţinându-se matricea simetrică şi deci, sistemul ecuaţiilor normale prin a cărui rezolvare se obţin corecţiile de adus coordonatelor provizorii , precum şi corecţiile liniare de aplicat laturilor măsurate

.

AAN T= 0=+ LANX T

dydx,00 , yx ijv

'ijr

5

Sem.II Curs nr.5

MED

Măsurarea distanţelor cu ajutorul undelor de lumină prin procedeul fazic

Procedeele de măsurare a distanţelor cu ajutorul undelor de lumină, numite însă şi procedee electrooptice, folosesc drept mijloc de transmitere a semnalelor de măsurare, undele de lumină din domeniul vizibil sau infraroşu al spectrului. În acest caz, modulaţia este numai de amplitudine, sau mai concret, modulaţie de intensitate a luminii. Fizic aceasta constă în întreruperea periodică a fasciculului de lumină, cu o frecvenţă foarte înaltă de valoare riguros constantă, ceea ce face ca intensitatea luminii să varieze în permanenţă de la valoarea zero la o valoare oarecare maximă. Asemenea dispozitive se numesc modulatoare de lumină şi ele constituie o parte esenţială a oricărui telemetru electrooptic, nelipsind din nicio schemă constructivă. Schema de principiu a unui telemetru electrooptic Lumina emisă de o sursă, care poate fi cu filament incandescent, cu descărcări în gaze sau chiar laser cu emisie continuă, este modulată în intensitate de către modulator (fig.1). Acesta este comandat de către o tensiune alternativă de înaltă frecvenţă produsă de un generator cu cuarţ.

Fig.1 Schema de principiu a telemetrului electrooptic În cazul în care se lucrează cu frecvenţă variabilă, în schema constructivă a telemetrului intră obligatoriu şi un frecventmetru, menit să indice cu precizie valoarea frecvenţei la care se anulează defazajul. Lumina modulată întoarsă de la reflectorul pasiv instalat în celălalt capăt al distanţei de măsurat, atacă o fotocelulă a cărei sensibilitate este comandată de aceeaşi tensiune alternativă a generatorului de înaltă frecvenţă, care comandă şi modulatorul de lumină. Fotocelula transformă variaţiile de intensitate a luminii întoarsă de la un reflector în variaţii de tensiune electrică. Fotocurentul astfel apărut este condus la un fazometru care măsoară

1

diferenţa de fază dintre faza luminii şi faza tensiunii modulatoare, aplicată în momentul respectiv fotocelulei. Măsurarea propriu-zisă constă în realizarea unei egalizări a celor două faze. În cazul procedeului fazic cu frecvenţe variabile, egalizarea are loc prin modificarea frecvenţei generatorului, în timp ce în cazul procedeului cu frecvenţe fixe, egalizarea se realizează prin deplasarea fazei tensiunii modulatoare între generatorul de înaltă frecvenţă şi fotocelulă. Principial, în acest procedeu, egalizarea fazelor este echivalentă cu măsurarea defazajului care se înregistrează ca o valoare numerică la un dispozitiv digital. De regulă, dispozitivul digital este etalonat direct în unităţi liniare, în felul acesta obţinându-se fracţiuni din lungimea de undă modulatoare. Puterea de rezoluţie, şi respectiv, precizia acestui procedeu este condiţionată de caracteristicile modulatorului de lumină, adică de legea variaţiei în timp a intensităţii luminii la ieşirea din modulator. Principalele tipuri de modulatoare moderne de lumină folosite în telemetrele electrooptice sunt:

- Modulatorul cu celulă Kerr - Modulatorul cu cristal - Modulatorul cu ultrasunete - Modulatorul interferenţial

Modulatorul de lumină cu celulă Kerr Este un dispozitiv electrooptic capabil să întrerupă lumina în procesul propagării cu frecvenţe de ordinul zecilor de megaherţi. Partea esenţială a modulatorului o constituie aşa-numita celulă Kerr, a cărei funcţionare se bazează pe rotirea planului de polarizare a luminii într-un câmp electric. Se ştie că lichidele din punct de vedere optic sunt substanţe izotrope. Prin aceasta se înţelege faptul că indicele de refracţie a unor asemenea substanţe este acelaşi indiferent de direcţia de propagare a luminii. Introducând un asemenea lichid într-un câmp electric, are loc imediat o orientare a moleculelor sale după direcţia câmpului electric, lichidul devenind prin aceasta anizotrop. Indicele de refracţie 1η al lichidului pentru lumina care oscilează paralel cu direcţia câmpului aplicat, este diferit de indicele de refracţie 2η pentru lumina care oscilează perpendicular pe direcţia câmpului (fig.2).

2

1

2

Fig.2 Efectul Kerr

a) Orientare statistică a moleculelor în lipsa câmpului electric b) Orientarea aceloraşi molecule într-un câmp electric

Lichidul a devenit birefringent şi se comportă acum ca un cristal, uniax birefringent, în sensul că lumina trecută printr-un asemenea mediu va prezenta două plane de polarizare perpendiculare. Odată cu creşterea intensităţii câmpului electric (deci, odată cu creşterea tensiunii U aplicată la electrozi), orientarea moleculelor se îmbunătăţeşte, iar diferenţa celor doi indici de refracţie creşte conform relaţiei:

(1) 221 kU=−ηη

unde k este o constantă de proporţionalitate. Diferenţa indicilor de refracţie este proporţională cu pătratul tensiunii aplicate. Această comportare a lichidului poartă numele de efect Kerr pătratic şi se întâlneşte la toate lichidele constituite din molecule anizotrope. Un efect Kerr foarte puternic manifestă de exemplu, nitrobenzenul. În cazul luminii polarizate liniar trecând printr-un lichid anizotrop, astfel încât planul de polarizare al ei să formeze cu direcţia câmpului electric, un unghi de 450, la punerea lichidului sub tensiune, planul de polarizare se va roti cu 900. Prin aceasta se ajunge la un element în care lumina se poate influenţa printr-o tensiune electrică. Acesta este elementul esenţial al unui modulator de lumină. Principiul unui astfel de modulator este schiţat în fig.3:

3

Fig.3 Schema de principiu a modulatorului de lumină cu celulă Kerr

Un fascicul de lumină nepolarizată cade pe un polarizator liniar , care este astfel orientat încât direcţia de polarizare formează cu direcţia câmpului electric un unghi de . Lumina astfel polarizată pătrunde în celula Kerr, care la aplicarea tensiunii U roteşte planul de polarizare cu . Dacă în calea luminii ieşită din celula Kerr se interpune un al doilea polarizator , orientat identic cu primul, drumul fasciculului va fi blocat, deoarece planul de polarizare a luminii a devenit perpendicular pe direcţia de polarizare a lui .

1P

045090

2P

2P

În lipsa câmpului electric planul de polarizare nu se mai roteşte şi lumina polarizată trece nestingherită prin polarizatorul , mai departe spre reflector. Prin conectarea şi deconectarea tensiunii U aplicată la electrozii celulei, lumina este întreruptă sau lăsată să treacă periodic, adică este modulată.

2P

Ca funcţiune de timp intensitatea I a luminii ieşită din modulator este dată de relaţia:

( )22

220

0 3002sin

sina

tfBlUII mππ

= (2)

unde:

=0I intensitatea iniţială a luminii

=B constanta Kerr =l lungimea drumului optic a luminii în celulă

=0U tensiunea în volţi aplicată celulei

=mf frecvenţa modulatoare

=a distanţa dintre plăcile celulei

Cu un asemenea dispozitiv se pot atinge frecvenţe de modulare a luminii până la 30MHz sau chiar mai mult, ceea ce echivalează cu tot atâtea întreruperi pe secundă ale fasciculului respectiv. La frecvenţe mult mai înalte, nitrobenzenul începe să se înfierbânte, mai ales în cazul radiaţiei laser, iar celula începe să manifeste inerţie.

4

Sem.II Curs nr.6

MED

Modulatorul de lumină cu celulă Pockels (cristal K.D.P.)

La intensităţi luminoase mari, cum este cazul la telemetrele electrooptice utilizând drept purtătoare unde de lumină radiate de laserul cu gaz He-Ne, funcţionarea modulatorului de lumină cu celulă Kerr începe să devină defectuoasă chiar la frecvenţe de 30MHz. La astfel de aparate celula Kerr din modulatorul de lumină este înlocuită prin aşa-numita celulă Pockels, după numele descoperitorului. Efectul Kerr se întâlneşte nu numai la lichide constituite din molecule anizitrope, ci şi la unele tipuri de cristale. Un exemplu reprezentativ în acest sens îl constituie cristalul K.D.P. (Kalium Dihydrogen Phosphat = fosfat diacid de potasiu). Un asemenea cristal este confecţionat de natură birefringent. Se ştie că trimiţând lumină într-un cristal birefringent după o direcţie oarecare, apare fenomenul dublei refracţii. Există totuşi în astfel de cristale o direcţie privilegiată după care, dacă trimitem lumină, birefringenţa nu se mai manifestă. Aceasta este direcţia axei optice a cristalului. Aplicând totuşi în direcţia acestei axe un câmp electric (fig.1) birefringenţa apare imediat.

1

2

Fig.1 Efect electrooptic în cristal KDP

Indicii de refracţie 1η şi 2η după direcţiile axelor cristalografice a şi b (perpendicualre pe direcţia axei optice c) vor fi foarte diferiţi. Diferenţa lor va fi dată de relaţia:

kU=− 21 ηη (1)

Diferenţa indicilor de refracţie creşte liniar cu tensiunea aplicată. De aceea, acest efect se numeşte efect electrooptic liniar sau după numele descoperitorului, efect Pockels. Celula cu cristal electrooptic KDP, poartă numele de celulă Pockels. Ea este folosită ca şi celula Kerr, la modularea luminii laser.

1

Geodimetrul Bergstrand Prima construcţie reuşită de telemetru electrooptic a cărui schemă de principiu este valabilă şi astăzi, aparţine fizicianului suedez Bergstrand. Aparatul denumit de însuşi inventatorul respectiv “geodimetru”, funcţionează după schema din fig. 2.

Fig.2 Schema bloc a geodimetrului

Lumina emisă de sursa S, este concentrată de către lentila condensatoare C între armăturile unei celule Kerr. Înainte de pătrunderea în celula Kerr, fasciculul luminos traversează un filtru polaroid , care polarizează lumina de aşa natură încât direcţia de polarizare formează cu direcţia câmpului electric al celulei un unghi de . Prin punerea sub tensiune a celulei Kerr, lichidul nitrobenzen dintre armăturile acesteia, roteşte planul de polarizare a luminii cu un unghi de , aducându-l perpendicular pe direcţia de polarizare a filtrului polaroid , care blochează astfel trecerea luminii spre reflector. Evident că direcţiile de polarizare a celor două filtre sunt paralele.

1P

045

0902P

Prin deconectarea tensiunii, planul de polarizare a luminii în interiorul celulei, revine la poziţia iniţială, adică paralel cu direcţia de polarizare a filtrului , astfel încât fasciculului luminos i se deschide drum liber spre reflector.

2P

Acest proces se repetă periodic cu frecvenţa oscilatorului de cuarţ care comandă celula Kerr. Prin acesta, celula Kerr are funcţia unui “robinet de lumină”. Fasciculul de lumină astfel modulat, traversează lentila , devine paralel şi îşi continuă drumul spre reflector. O parte din acest fascicul este condus printr-o linie optică de întârziere spre o fotocelulă pe care o atacă concomitent cu lumina întoarsă de la reflector. În acelaşi timp, sensibilitatea fotocelulei este modificată printr-o linie electrică de întârziere, de către acelaşi oscilator de cuarţ care comandă şi celula Kerr.

1O

2

Diferenţa de fază dintre fasciculul modulat trecut prin linia optică de întârziere şi fasciculul întors de la reflector, este măsurată prin aducerea la zero a acului indicator al instrumentului I. Această metodă de măsurare a defazajului este atât de sensibilă încât fracţiunea corespunzătoare din lungimea de undă modulatoare este determinabilă cu o precizie de câţiva milimetri. Precizia metodei este condiţionată de caracteristica intensităţii luminii ca funcţie de timp, ieşită din modulator. Lungimea de undă modulatoare este condiţionată de frecvenţa generatorului de cuarţ care comandă celula Kerr. La actualele telemetre electrooptice de tip geodimetru, frecvenţa modulatoare poate merge până la 30 MHz, ceea ce corespunde unei lungimi de undă de 10 m. Aplicarea unor frecvenţe modulatoare mai înalte duce la creşterea temperaturii celulei Kerr prin înfierbântarea nitrobenzenului. De aceea, la aparatele de tip geodimetru, cu sursă de lumină laser, modulatorul cu celulă Kerr, este înlocuit cu modulatorul cu cristal. În ceea ce priveşte distanţa maximă măsurabilă cu telemetre electrooptice de tip geodimetru, aceasta este condiţionată de puterea sursei de lumină. În cazul surselor de lumină laser sunt măsurabile distanţe până la 40-60 km în funcţie de puterea sursei respective.

3

Sem.II Curs nr.7

MED

Metoda Doppler

Consideraţii generaleProblema Doppler specifică geodeziei cosmice cu sateliţi, se bazează pe efectul descoperit de fizicianul cu acelaşi nume în anul 1842. Efectul amintit constă în dependenţa frecvenţei recepţionate de un observator în repaus, de direcţia şi viteza de deplasare a sursei emiţătoare faţă de observator. Efectul este general. El este valabil şi pentru cazul invers când sursa emiţătoare se află în repaus, iar observatorul în deplasare, precum şi în cazul deplasării atât a sursei cât şi a observatorului, după o oarecare direcţie.

Metoda este aplicabilă la determinarea poziţiei punctelor de pe suprafaţa fizică a Pământului într-un sistem cartezian unic, concomitent cu parametrii orbitei satelitului şi alte elemente de importanţă ştiinţifică fundamentală cum ar fi:

- vectorul gravitaţional al Pământului - vectorul gravitaţional al Lunii - vectorul gravitaţional al Soarelui - vectorul de frânare al atmosferei remanente - vectorul presiunii de radiaţie a Soarelui

Sateliţii utilizaţi în metoda Doppler trebuie să fie echipaţi cu emiţătoare speciale care să emită continuu sau la comandă de pe Pământ semnale radio de frecvenţă riguros constantă. În ultimul timp metoda Doppler a început să fie utilizată în geodezia cosmică, cu rezultate net superioare utilizând laserii de putere ca surse emiţătoare. Evident aceştia trebuie şi ei stabilizaţi în frecvenţă.

Invarianţa einşteiniană. Transformările LorenzPunctul de plecare în înţelegerea efectului Doppler, îl constituie invarianţa einşteiniană şi transformările Lorenz. Conform teoriei lui Einstein, viteza luminii în vid este un invariant în toate situaţiile inerţiale. Cu alte cuvinte, o undă sferică de lumină emisă de o sursă punctiformă într-un sistem inerţial va apărea ca o undă sferică şi unui observator din oricare alt sistem inerţial. Deci nu apare nicio deformare a undei sferice pentru niciunul din observatori. Aceasta concordă şi cu faptele experimentale. Să considerăm două sisteme (Oxyz) şi (O’x’y’z’) cu axele Ox coincidente, iar celelalte două paralele; sistemul O’ este în mişcare faţă de O pe direcţia Ox

cu viteza (fig.1). →

v

În centrul O al primului sistem, se găseşte o sursă de lumină, care emite un semnal luminos la timpul . 0=t

1

Fig.1 Sistemele (Oxyz) şi (O’x’y’z’)

Ecuaţia undei sferice luminoase este descrisă de relaţia:

(1) 22222 tczyx =++

Membrul al doilea este pătratul razei sferei luminoase care creşte în timp cu viteza c. Admiţând că la

22tc0=t şi cele două sisteme O şi O’ au

coincis, sursa de lumină a emis semnalul luminos şi la în centrul ' . 0' =t

0' =t O

Pentru un observator din sistemul O’ ecuaţia undei sferice este:

(2) 2222 '2''' tczyx =++

deoarece raza acestei sfere luminoase creşte în timp tot cu viteza c, deşi sistemul O’ se deplasează faţă de O cu viteza v. Asemănarea ecuaţiei (1) şi (2) este o consecinţă a principiului invarianţei einşteiniene. Ar trebui să se ajungă de la una la cealaltă prin anumite transformări aplicate coordonatelor ( )''' zyx şi timpului ( a 4-a coordonată). 't

Observăm că în cazul fig.1, transformările Galilei sunt:

(3)

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

−=

ttzzyy

vtxx

'

'

'

'

Dacă ecuaţiei (2) i s-ar aplica transformările (3) s-ar obţine:

(4) ( ) 22222 tczyvtx =++−

adică:

(42222222 2 tczytvvxtx =+++− ’)

Ecuaţia (4’) nu are aceeaşi formă cu ecuaţia (1). Transformările Galilei deci nu sunt în concordanţă cu invarianţa constantelor c.

2

Este deci necesară găsirea unor transformări care să aducă ecuaţia (4’) la forma ecuaţiei (1). Identitatea celor două ecuaţii ar exprima faptul experimental că doi observatori din două sisteme inerţiale observă unde sferice identice pentru acelaşi semnal luminos. Fenomenul propagării luminii nu se deformează pentru nici unul din cei doi observatori, conform principiului invarianţei einsteiniene.

Pentru identitatea ecuaţiilor (4’) şi (1) ar trebui ca termenul din ecuaţia (4

222 tvvxt +−’) să se anuleze. Deoarece timpul intervine sub formele xt şi ,

este evident că relaţia nu poate fi adevărată. Rezultă deci că este necesară o formă liniară pentru relaţia între timpii şi t în care să fie funcţie atât de t cât şi de x şi anume:

2ttt ='

't 't

(5) fxtt +='

unde f este o constantă care ar trebui determinată. Folosind transformările Galilei pentru ( )''' zyx şi transformarea (5) pentru ecuaţia (2) devine: 't

( )222222222 22 xffxttczytvvxtx ++=+++− (6)

adică:

(622222222222 22 xcfxtfctczytvvxtx ++=+++− ’)

Observăm că termenul în xt se anulează dacă:

2cvf −= (7)

Cu această valoare a constantei f, relaţia (6’) devine:

22

22222222 x

cvtczytvx +=+++ (8)

adică:

2222222

22 1 tvtczy

cvx −=++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− (9)

deci,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

22222

2

22 11

cvtczy

cvx (10)

Se observă că expresia astfel obţinută diferă de ecuaţia (1) la termenii în şi

, doar prin factorul

2x

2t ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

2

1cv . Acest factor trebuie să apară în expresiile lui

şi , astfel încât transformările obţinute să permită obţinerea ecuaţiei (1) din ecuaţia (2).

'x

't

Transformările căutate, numite transformările Lorenz, vor avea forma:

3

( )

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−

−=

=

=

−

−=

2

2

2'

'

'

2

2

'

1

/

1

cv

xcvtt

zzyy

cvvtxx

(11)

Precizăm că axele Ox şi O’x’ au fost alese coincidente. Factorul:

2/1

2

2

2

21

1

1−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−

=cv

cv

γ (12)

se numeşte factorul lui Lorenz. Cu acesta, transformările Lorenz au forma:

( )

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=

=

−=

xcvtt

zzyy

vtxx

2'

'

'

'

γ

γ

(13)

După cum se vede, γ depinde de viteza relativă v a sistemului inerţial.

Pentru viteze mici când , factorul lui Lorenz devine 0/ →cv 1=γ , iar transformările Lorenz se reduc la transformările Galilei. Pentru ca γ să nu devină imaginar, trebuie ca cv < . Constanta c este o viteză limită în univers. În metoda Doppler apare necesitatea transformărilor Lorenz inverse, adică obţinerea coordonatelor (x y z t) din (x’y’z’t’). Aceasta revine la rezolvarea sistemului de ecuaţii (11) în privinţa necunoscutelor (x y z t).

4

Sem.II Curs nr.8

MED

Metode şi tehnici speciale de măsurători geodezice prin unde

Metoda dispersiei cu două lungimi de undăAceastă metodă utilizează drept mijloc de transmitere a informaţiei de măsurare două radiaţii laser monocromatice pe cât posibil din extremităţile spectrului vizibil, anume, una roşie de lungime de undă 1λ şi cealaltă violetă de lungime de undă 2λ . Acestea sunt emise de către sistemul G instalat la capătul A al distanţei de măsurat (fig.1).

1 1

2 2

Fig.1 Metoda dispersiei cu două lungimi de undă

Să admitem acum că cele două radiaţii monocromatice sunt modulate simultan în intensitate cu una şi aceeaşi frecvenţă modulatoare, astfel încât de la sistemul de emisie G pleacă spre reflectorul R instalat la capătul B al distanţei de măsurat, un singur semnal de măsurare. Datorită dispersiei însă, semnalul emis - unic la început – va începe să se destrame încă de la plecare şi dacă distanţa de măsurat este suficient de mare, la reflectorul R pot să sosească două semnale de măsurare deja complet distincte, decalate în timp datorită vitezelor de grup diferite. De la reflectorul R acestea se vor întoarce pe acelaşi drum la sistemul de emisie G, care conţine totodată şi sistemul de recepţie.

Dacă 21 λλ > , atunci la recepţie va sosi mai întâi semnalul purtat de radiaţia de lungime de undă 1λ şi apoi, cu o oarecare întârziere, cel purtat de radiaţia de lungime de undă 2λ .

Întârzierea respectivă va depinde de distanţa parcursă, de diferenţa celor două lungimi de undă şi de valoarea indicelui de refracţie în atmosferă. În acest mod, relativ la distanţa LAB = , instrumental se pot obţine cu precizie două lungimi de drumuri optice şi anume:

1

(1) ∫==B

A

dssnc )(111 τσ

(2) ∫==B

A

dssnc )(222 τσ

în care şi sunt funcţiuni ale indicelui de refracţie de grup în lungul traiectoriilor corespunzătoare celor două lungimi de undă.

)(1 sn )(2 sn

În ipoteza atmosferei omogene avem:

(3)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

====

==

22

11

.)(.)(

nconstsnnconstsn

dLdsLs

şi cu acestea, expresiile (1) şi (2) devin:

(4) ∫=+B

A

dLnlL 11

(5) ∫=+B

A

dLnlL 22

unde s este lungimea traiectoriei, iar şi sunt contribute necunoscute ale atmosferei pentru lungimile de undă

1l 2l

1λ şi 2λ .

Avem deci:

11 σ=+ lL (6)

22 σ=+ lL (7)

Relativ la cele două contribute avem acum:

)1( 11 −= nLl (8)

)1( 22 −= nLl (9)

Pentru 1λ şi 2λ din spectrul vizibil (regiunea dispersiei normale în atmosferă) când 21 λλ > , avem . 12 nn >

Drumurile optice 1σ şi 2σ fiind cunoscute din măsurători, diferenţa pozitivă a lor σΔ este de asemenea cunoscută şi are expresia:

)()( 1212 lLlL +−+=−=Δ σσσ (10)

adică:

12 ll −=Δσ (11)

care, ţinând seama de (8) şi (9) devine:

)( 12 nnL −=Δσ (12)

2

Deoarece, relativ la L din (8), avem:

11 2

2

1

1

−=

−=

nl

nlL (13)

Diferenţa drumurilor optice mai are expresiile:

11

12

1l

nnn−−

=Δσ (14)

22

12

1l

nnn−−

=Δσ (15)

Cu acestea, relativ la distanţa rectilinie, obţinem:

12

11

1nn

nL−−

Δ−= σσ (16)

12

22

1nn

nL−−

Δ−= σσ (17)

În această metodă distanţa rectilinie L rezultă deci prin diferenţa: lungimea drumului optic minus contributul atmosferei, şi aceasta, după cum se vede, în dublu mod.

3

Sem.II Curs nr.9

MED

Reducerile geometrice ale măsurătorilor prin unde

Observaţii preliminare Se arată că, prin însăşi esenţa fizică a lor, măsurătorile geodezice prin unde furnizează nemijlocit lungimea drumului optic, corespunzătoare traiectoriei undei purtătoare. De la acest element primar, până la distanţele din sistemul de referinţă în care se efectuează calculele geodezice, suprafaţa sferică sau elipsoidală, plan proiecţie cartografică sau oricare alt sistem, sunt necesare o serie de reduceri, unele cu caracter combinat fizico-geometric, iar altele de natură pur geometrică. Cele cu caracter combinat fizico-geometric privesc, de regulă, determinarea distanţei rectilinii din lungimea drumului optic, în timp ce reducerile de natură pur geometrică, urmăresc aducerea distanţelor înclinate din spaţiu, în sistemul de referinţă al calculelor geodezice. Dacă reducerile fizico-geometrice comportă complicaţii legate de refracţia atmosferică, reducerile geometrice propriu-zise ridică probleme destul de dificile din punct de vedere geodezic, legate de cunoaşterea cotelor punctelor de capăt ale liniilor respective, faţă de nivelul mării şi elipsoidul de referinţă, problemă şi mai complicată. Evident, reducerile geometrice şi respectiv, problemele ridicate de aceste calcule sunt în funcţie de caracterul reţelei geodezice care se creează pe baza măsurătorilor de distanţe deci, în funcţie de destinaţia reţelei. În cazul reţelelor geodezice propriu-zise construite pe bază de distanţe mari, apar necesare reduceri geometrice speciale care reclamă cunoştinţe de geodezie elipsoidală, astronomie geodezică şi gravimetrie etc. Dimpotrivă, în cazul reţelelor geodezice de importanţă aplicativă imediată, desfăşurate pe suprafeţe restrânse, reducerile geometrice se simplifică, comportând calcule elementare care nu implică cunoştinţe deosebite din ramurile menţionate.

Reducerea distanţelor măsurate din staţii excentrice

Ca şi metoda clasică a triangulaţiei, în măsurătorile geodezice prin unde apare adesea inevitabilă staţionarea excentrică, la o distanţă mai mare sau mai mică faţă de punctul materializat în teren. Profilul natural al terenului, cât şi obstacole artificiale de tot felul apărute ulterior materializării pe aliniamentele de măsurat sunt cele mai frecvente cauze care conduc la staţionări excentrice. Trebuie arătat că nu orice direcţie favorabilă observaţiilor optice cu teodolite, este în acelaşi timp potrivită şi pentru măsurătorile prin unde. În cazul microundelor, chiar la măsurătorile prin aliniamente deschise, pot apare suprafeţe cu reflexii predominante care să perturbe de aşa natură procesul măsurării încât să se impună schimbarea amplasamentului cu toată vizibilitatea optică existentă. În staţionările excentrice trebuie respectate următoarele principii:

1

1 – excentricităţile, trebuie să fie pe cât posibil mici şi măsurate direct; 2 – precizia de măsurare a segmentului excentricităţii trebuie să fie cel puţin egală dacă nu chiar mai mare faţă de precizia instrumentului de măsurat prin unde; 3 – legarea segmentului excentricităţii, printr-un unghi măsurat direct cu un teodolit, de una din laturile configuraţiei geometrice formate cu această ocazie; 4 – măsurarea suplimentară a unui unghi sau a unei laturi din configuraţia excentricităţii, în vederea asigurării controlului. În principiu, staţionarea excentrică în teren comportă două cazuri distincte şi anume:

1. cu o singură staţie excentrică 2. cu ambele staţii excentrice

În cazul ambelor staţii excentrice, practic, pot apare mai multe variante, în funcţie de amplasarea elementelor măsurate în configuraţia geometrică respectivă. Relativ la acestea, se vor prezenta variantele care pot apare cel mai frecvent în practică şi care conduc în acelaşi timp la rezolvări geometrice simple. 1. Cazul unei singure staţii excentrice Acesta este cel mai simplu caz posibil care nu ridică niciun fel de probleme. Materializate în teren sunt punctele 1 şi 2 (reprezentate prin triunghiuri pline) (fig. 1).

Fig.1 Configuraţia geometrică în cazul unei singure staţii excentrice

Staţia excentrică este . '1

Elementele cunoscute sunt: 'D - distanţa măsurată prin unde;

1e - valoarea excentricităţii; '1α - orientarea segmentului excentricităţii faţă de latura măsurată.

Se caută distanţa D, între punctele materializate. Pentru aceasta, avem:

'11

'21

' cos22

αeDeDD −+= (1)

În cazul excentricităţilor mici, radicalul (1) se poate dezvolta în serie , cu şi ,

mx)1( +1<x 2/1=m

2

2/1

'

'11

'

21' cos21 2 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

De

DeDD

α (2)

adică:

'11'

21' cos

2αe

DeDD −+= (3)

În ipoteza cunoaşterii orientării 1α , analog se obţine:

2/1

'11

'

21'

22

cos21 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+−=

DeD

DeDD

α (4)

Care, de asemenea, dezvoltată în serie, devine:

'11

'

21' cos

2 DeD

DeDD α⋅

+−= (5)

de unde rezultă:

11

'

21'

cos2

2

αeD

eDD

−

−= (6)

Formulele de reducere (3) şi (6) fiind deduse prin dezvoltare în serie cu reţinerea numai a termenului liniar, sunt valabile pentru excentricităţi mici şi distanţe măsurate mari. Dacă această condiţie nu este îndeplinită, trebuie să se recurgă la formule exacte. Astfel, în cazul cunoaşterii orientării , se foloseşte ca atare formula (1).

'1α

În ipoteza cunoaşterii orientării 1α , se pleacă de la relaţia:

1121

' cos22

αeDeDD ⋅+−= (7)

Care, fiind o ecuaţie de forma )(DD ϕ= cu , se poate rezolva mult mai comod prin aproximaţii succesive folosind ca valoare de start . Se calculează succesiv

1)(' <Dϕ'

0 DD ≈

( ) ( ) ( ))()1()1()2(0

)1( ......;; pp DDDDDD ϕϕϕ === + , până la stabilizarea rezultatului cu precizia dorită.

3

Sem.II Curs nr.10

MED

Reducerile geometrice ale măsurătorilor prin unde

2. Cazul ambelor staţii excentrice Este cazul general, care în funcţie de direcţia de referinţă a orientării segmentului excentricităţii comportă mai multe variante şi anume:

a) Cu orientări măsurate în staţiile excentrice Acestea la rândul lor pot fi raportate la latura care se măsoară (staţie excentrică - staţie excentrică) sau la latura mixtă (staţie excentrică - staţie centrică). În primul caz (fig. 1), segmentele excentricităţii sunt orientate deci faţă de latura care se măsoară prin unde. 'D

Fig. 1 Configuraţia geometrică în cazul ambelor staţii excentrice Elemente cunoscute:

'D - distanţa măsurată prin unde;

1e şi - valorile excentricităţilor; 2e'1α şi - orientările segmentelor excentricităţii faţă de latura măsurată. '

2α

Geometric, se constată că avem:

(1) '22

'11

'22

'11

'

sinsinsin

coscoscos

αασ

αασ

eeD

eeDD

+=

++=

Notând:

(2) ⎪⎭

⎪⎬⎫

=+

=+''

22'11

''22

'11

sinsin

coscos

S

C

Eee

Eee

αα

αα

avem:

(3) '

''

sin

cos

S

C

ED

EDD

=

−=

σ

σ

1

de unde:

''

'

C

S

EDE

tg−

=σ (4)

Deoarece din (3) avem:

σcos

''CED

D−

= (5)

putem scrie:

( ) σ2'' 1 tgEDD C +−= (6)

Care, ţinând seama de (4), devine:

( ) 2'2''SC EEDD +−= (7)

Formula (7) este exactă. Cantităţile şi sunt calculabile cu formulele (2). Orientările şi trebuie măsurate cu atât mai precis cu cât valorile excentricităţilor sunt mai mari. Evident, precizia de măsurare a acestor elemente trebuie corelată cu precizia măsurătorii prin unde. La valori ale excentricităţilor până la 10m orientările şi se măsoară cu o precizie până la , dacă rezoluţia măsurătorii prin unde comportă

'CE '

SE'1α

'2α

'1α

'2α

C1± mm1± .

În al doilea caz (fig.2), segmentele excentricităţii sunt orientate faţă de latura mixtă şi respectiv care nu se măsoară (fig. 2). 21' − 12' −

Fig. 2

Aici elementele cunoscute sunt şi . Se observă că, geometric, problema este reductibilă la primul caz, dacă se reuşeşte aflarea unghiurilor

şi , deoarece avem:

21' ,, eeD '

2'

1 ,θθ

1x 2x

(8) 2

'2

'2

1'

1'1

x

x

−=

−=

θα

θα

Relativ la cele două necunoscute avem ecuaţiile:

2

( )( )

( )( ) ⎪

⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−−−

=

−−−

=

1'

11'

1'

112

2'22

'2

'22

1

cossin

cossin

xeDxe

xtg

xeDxe

xtg

θθ

θθ

(9)

Care formează sistemul trigonometric:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

==−−⋅−−

==−−⋅−−

0sincos

0sincos

2121'

1121'

112'

2112'2212

'221

'

xxfxextgxextgD

xxfxextgxextgD

θθ

θθ (10)

Aceasta se rezolvă cel mai simplu prin metoda aproximaţiilor succesive, plecând de la valori apropiate ale necunoscutelor ( ))0(

2)0(

1 , xx luate, de exemplu, de pe o hartă sau un plan.

b) Cu orientări măsurate în staţiile centrice Acestea pot fi raportate la latura căutată (staţie centrică – staţie centrică) sau la latura mixtă (staţie centrică – staţie excentrică). În primul caz (fig. 3) segmentele excentricităţii sunt orientate deci faţă de latura necunoscută D.

Fig.3

Geometric avem:

( ) ( )

( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

−+−=

−+−+=

200sin200sinsin

200cos200coscos

2211'

2211'

αασ

αασ

eeD

eeDD (11)

adică:

(12) ⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

−=

s

c

ED

EDD

σ

σ

sin

cos'

'

unde:

(13) ⎭⎬⎫

+=+=

2211

2211

sinsincoscosαααα

eeEeeE

s

c

3

sunt cantităţi cunoscute. Din sistemul (12), prin eliminarea necunoscutei auxiliare σ , rezultă:

cs EEDD +−= 2'2 (14)

În al doilea caz (fig. 4) segmentele excentricităţii sunt orientate faţă de laturile mixte, respectiv şi , prin unghiurile '21− '12 − 1θ şi 2θ .

Fig. 4

Problema se rezolvă prin reducere la staţiile excentrice cu orientări raportate la latura măsurată, ceea ce presupune aflarea unghiurilor şi . Acestea

vor rezulta prin intermediul laturilor mixte

'1α

'2α

'1 21−=y şi '

2 12 −=y , care sunt uşor calculabile prin aproximaţii succesive. Din fig. 4 avem:

( )( ⎪⎭

⎪⎬⎫

−⋅−+=

−⋅−+=

22222

22

'111

21

21

'

400cos2

400cos2

θ

θ

yeeyD

yeeyD)

(15)

de unde rezultă:

( )( )⎪⎭

⎪⎬⎫

=⋅+−=

=⋅+−=

2222222

'2

1111121

'1

cos2

cos2

yyeeDy

yyeeDy

ϕθ

ϕθ (16)

Care, fiind ecuaţii de forma )(yy ϕ= , cu , se pot rezolva simplu prin aproximaţii succesive luând . Unghiurile şi rezultă acum din relaţiile:

1)(' <yϕ')0(

2)0(

1 Dyy ≅= '1α

'2α

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−+=

−+=

2'

22

22

''2

1'

21

21

''1

2arccos

2arccos

2

2

eDyeD

eDyeD

α

α (17)

Pentru calculul distanţei D se aplică apoi formula (7).

4