tezĂ de doctorat -...

UNIVERSITATEA “POLITEHNICA” TIMIŞOARA

Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii

TEZĂ DE DOCTORAT

CONTRIBUŢII LA ÎMBUNĂTĂŢIREA PRELUCRĂRII

SEMNALELOR LA RECEPŢIE UTILIZÂND ALGORITMII DOA

ÎN COMBINAŢIE CU BEAMFORMINGUL ADAPTIV

Ing. Arpad IOZSA

Conducător ştiinţific:

Prof. Dr. Ing. Ioan NAFORNIŢĂ

TIMIŞOARA

2012

3

CUPRINS

Lista figurilor .....................................................................................................................................5

Lista Tabelelor ...................................................................................................................................8

Introducere .........................................................................................................................................9

CAPITOLUL 1

Sisteme de antene ............................................................................................................................. 12

1.1 Noţiuni de bază ............................................................................................................... 12

1.2 Sisteme liniare de antene spaţiate uniform .................................................................. 18

1.3 Sisteme liniare de antene spaţiate neuniform .............................................................. 25

1.4 Sisteme planare de antene ............................................................................................. 26

1.5 Sisteme de antene non-planare...................................................................................... 29

1.5.1 Metode de analiză pentru sistemele de antene adaptate ......................................... 30

1.5.2 Caracteristici ale sistemelor de antene circulare şi cilindrice ................................ 31

1.6 Sisteme de antene fazate ................................................................................................ 34

1.6.1 Sisteme de antene fazate lineare ............................................................................... 35

1.6.2 Saltul de fază .............................................................................................................. 36

1.6.3 Sisteme de antene fazate planare .............................................................................. 37

1.7 Erorile sistemelor de antene .......................................................................................... 38

1.7.1 Introducere ................................................................................................................. 38

1.7.2 Directivitatea .............................................................................................................. 41

1.7.3 Eroarea de direcţionarea fascicolului (beam pointing) .......................................... 41

1.7.4 Valoarea de vârf a lobilor laterali ............................................................................ 42

1.8 Concluzii ......................................................................................................................... 44

CAPITOLUL 2

Algoritmi de estimare ...................................................................................................................... 46

2.1 Direcţia de sosire ............................................................................................................ 46

2.2 Algoritmi de estimare .................................................................................................... 47

2.3 Familia ESPRIT. Tipuri şi performante ...................................................................... 50

2.3.1 Estimarea frecvenţei şi a direcţiei de sosire folosind metoda LS-ESPRIT ........... 53

2.3.2 Estimarea frecventei şi a direcţiei de sosire folosind metoda TLS-ESPRIT ......... 55

2.3.3 Estimarea direcţiei de sosire folosind metoda R-ESPRIT ...................................... 57

2.3.4 Estimarea direcţiei de sosire folosind metoda RB-ESPRIT ................................... 62

4

2.3.5 Estimarea direcţiei de sosire folosind metoda TAM ............................................... 65

2.3.6 Estimarea direcţiei de sosire folosind metoda URV ESPRIT ................................ 69

2.4 Analiza rezultatelor. Simulare comparativă a algoritmilor prezentaţi ..................... 73

2.5 Analiza rezultatelor. Contribuţii personale ................................................................. 92

CAPITOLUL 3

Beamforming. Beamformerul adaptiv ........................................................................................... 95

3.1 Noţiuni de bază ............................................................................................................... 95

3.2 Beamforming adaptiv .................................................................................................... 97

3.3 Performanţele beamformerului adaptiv ...................................................................... 99

3.4 Simulările beamformerului adaptiv aplicat rezultatelor executării diferitelor

algoritmi de estimare ................................................................................................................ 102

3.5 Analiza rezultatelor. Contribuţii personale ............................................................... 114

CAPITOLUL 4

Contribuţii personale şi concluzii ................................................................................................. 118

Bibliografie ..................................................................................................................................... 123

Lista lucrărilor publicate .............................................................................................................. 128

5

LISTA FIGURILOR

Nr.

Ordine Denumirea figurii Pagina

Fig. 1.1. Sistem de transmisie cu multiple-intrări şi multiple-ieşiri (MIMO) ……… 13

Fig.1.2. Sistem de antene adaptiv …………………………………………………… 15

Fig.1.3. Formator de raze întârzie şi adună ………………………………………… 16

Fig.1.4. Sistem liniar de antene……………………………………………………… 18

Fig.1.5. Reprezentarea în planul complex a variabilei z ……………………………. 22

Fig.1.6. Modelul razelor în vecinătatea unui nul …………………………………… 24

Fig.1.7. Sistem liniar spaţiat neuniform …………………………………………… 25

Fig.1.8. Sisteme planare: a) rectangular; b) circular; c) hexagonal ………………… 26

Fig.1.9. Sistem circular ……………………………………………………………… 28

Fig.1.10. Sisteme de antene non-planare …………………………………………….. 29

Fig.1.11. Sisteme de antene circulare şi cilindrice …………………………………… 32

Fig.1.12. Sisteme de antene fazate lineare …………………………………………… 35

Fig.1.13. Sistem de antene fazat planar ……………………………………………… 37

Fig.1.14. Erori fără componente nefuncţionale (P=1) ……………………………… 40

Fig.1.15. Câştigul sistemului de antene ……………………………………………… 43

Fig. 2.1. Încadrarea algoritmilor DOA într-un sistem de recepţie …………………… 48

Fig.2.2.

Filtrarea semnalelor la recepţie. De exemplu semnalul ce vine de

Utilizatorul 2 poate fi considerat ca fiind interferenţa, în cazul în care

semnalul de la Utilizatorul 1 este cel dorit …………………………………

49

Fig.2.3.

Rezultat al simulării LS-ESPRIT. Eşantionul roşu reprezintă valoarea

frecvenţei normalizate ale semnalului real, iar eşantionul albastru reprezintă

valoarea frecvenţei normalizate estimate (exemplu punctual) ……………

54

Fig.2.4.

Rezultat al simulării LS-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile

reale, iar eşantioanele albastre reprezintă valorile estimate (exemplu

punctual) ……………………………………………………………………

55

Fig.2.5.

Rezultat al simulării TLS-ESPRIT. Eşantionul roşu reprezintă valoarea

frecvenţei normalizate ale semnalului real, iar eşantionul albastru reprezintă

valoarea frecvenţei normalizate estimate (exemplu punctual) ……………

56

Fig.2.6.

Rezultat al simulării TLS-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile


punctual) ……………………………………………………………………

57

6

Fig.2.7. Rezultat al simulării R-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale,

iar eşantioanele albastre reprezintă valorile estimate (exemplu punctual) …

61

Fig.2.8.

Rezultat al simulării RB-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile


punctual) …………………………………………………………………….

65

Fig.2.9. Rezultat al simulării TAM. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale, iar

eşantioanele albastre reprezintă valorile estimate (exemplu punctual) ……..

68

Fig.2.10. Rezultat al simulării URV-ESPRIT. Unghiuri de sosire reale şi estimate, 8

elemente de antena ………………………………………………………….

71

Fig.2.11. Rezultat al simulării URV-ESPRIT. Unghiuri de sosire reale şi estimate, 16

elemente de antena, 4 surse, static …………………………………………

72

Fig.2.12. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (SNR=0) ……………………… 74

Fig.2.13. Rezultat al simulării repetate TLS-ESPRIT (SNR=0) ……………………. 75

Fig.2.14. Rezultat al simulării repetate TAM (SNR=0) ……………………………... 75

Fig.2.15. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (SNR=0) ………………………... 76

Fig.2.16. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (SNR=0) ……………………... 76

Fig.2.17. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (SNR=-10) …………………… 77

Fig.2.18. Rezultat al simulării repetate TLS-ESPRIT (SNR=-10) …………………… 78

Fig.2.19. Rezultat al simulării repetate TAM (SNR=-10) ……………………………. 78

Fig.2.20. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (SNR=-10) ……………………... 79

Fig.2.21. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (SNR=-10) …………………… 79

Fig.2.22. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (SNR=10) ……………………… 81

Fig.2.23. Rezultat al simulării repetate TLS-ESPRIT (SNR=10) …………………… 81

Fig.2.24. Rezultat al simulării repetate TAM (SNR=10) ……………………………. 82

Fig.2.25. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (SNR=10) ……………………… 82

Fig.2.26. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (SNR=10) ……………………... 83

Fig.2.27. Rezultat al simulării repetate pentru valori diferite ale SNR = [-10,10],

unghi de incidenţă 60˚ ……………………………………………………..

84

Fig.2.28. Rezultat al simulării repetate pentru valori diferite ale SNR = [-10,10],

unghi de incidenţă 15˚……………………………………………………….

85

Fig.2.29. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, 32 elemente de antena, 4 surse, 1 sursă

dinamică şi 3 surse statice ………………………………………………….

87

Fig.2.30.

Rezultat al simulării URV-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile


punctual) …………………………………………………………………….

88

Fig.2.31. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, 32 elemente de antena, 4 surse

dinamice …………………………………………………………………….

89

Fig.2.32. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, prima sursă …………………………. 89

Fig.2.33. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, a doua sursă …………………………. 90

7

Fig.2.34. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, a treia sursă …………………………. 90

Fig.2.35. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, a patra sursă …………………………. 91

Fig. 3.1. Beamformer generic ………………………………………………………... 97

Fig.3.2. Sistem de coordonate cu un sistem de antene liniar amplasat de-a lungul

axei z şi centrat în origine …………………………………………………

99

Fig.3.3. Model de putere ……………………………………………………………. 101

Fig.3.4. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (fără interferenţă) ……………… 103

Fig.3.5. Rezultat al simulării repetate TLS-ESPRIT (fără interferenţă) …………….. 103

Fig.3.6. Rezultat al simulării repetate TAM (fără interferenţă) ……………………... 104

Fig.3.7. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (fără interferenţă) ……………….. 104

Fig.3.8. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (fără interferenţă) ……………… 105

Fig.3.9. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (interferenţă la 60˚) …………… 106

Fig.3.10. Rezultat al simulării repetate T LS-ESPRIT (interferenţă la 60˚) ………… 106

Fig.3.11. Rezultat al simulării repetate TAM (interferenţă la 60˚) …………………… 107

Fig.3.12. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (interferenţă la 60˚)……………… 107

Fig.3.13. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (interferenţă la 60˚) …………… 108

Fig.3.14. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (interferenţă la 15˚) …………… 109

Fig.3.15. Rezultat al simulării repetate TLS-ESPRIT (interferenţă la 15˚)…………… 109


Fig.3.17. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (interferenţă la 15˚)……………… 110


Fig.3.19. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (interferenţă la 5˚)……………… 112

Fig.3.20. Rezultat al simulării repetate TLS-ESPRIT (interferenţă la 5˚) …………… 112


Fig.3.22. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (interferenţă la 5˚) ……………… 113


8

LISTA TABELELOR

Nr. Ordine Denumirea tabelului Pagina

Tab1.1. Poziţia senzorilor precum şi distanţa dintre senzorii ……………… 26

Tab.2.1. Rezultatele algoritmilor: 8 elemente de antenă (λ/2), SNR=0,

amplitudinea semnalului 1, sursă statică……………………………

73

Tab.2.2. Rezultatele algoritmilor: 8 elemente de antenă (λ/2), SNR=-10,


80



84



86

Tab.2.5. Analiza comparativă a algoritmilor prezentate…………………….. 94

Tab.3.1. Analiza comparativă a valorilor obţinute în subcapitolul ………… 115

Tab.3.2. Valorile PCF obţinute în cazul celor cinci variante de algoritmi … 116

9

INTRODUCERE

Prezenta teză îşi are originea în preocuparea pentru identificarea unor

metode de îmbunătăţire a prelucrării semnalelor la recepţia acestora într-un sistem

de recepţie. Astfel, nucleul tezei este reprezentat de analiza modelării undelor la

recepţie în completarea a mai multor tipuri de algoritmi de estimare a frecvenţei

respectiv a direcţiei de sosire a undelor radio. Sistemele de recepţie utilizate în

cazul tuturor simulărilor descrise în aceasta teză, reprezintă sisteme de antene

liniara cu mai multe elemente, numărul acestora variind în funcţie de calitatea

recepţiei dorite.

Prelucrarea semnalului la recepţie este o tehnică utilizată în mai multe

domenii, cum ar fi radar, sonar, comunicaţiile fără fir, astronomie, seismologie,

acustică, etc. Contribuţiile de început au fost, în majoritatea cazurilor, concentrate

în jurul comunicaţiilor fără fir iar algoritmii dezvoltaţi în această primă fază au

evoluat de-a lungul timpului în algoritmi de o precizie ridicată asigurând astfel

tehnologiei comunicaţiilor fără fir o calitate ridicată, augmentând calitatea

serviciilor şi experienţa utilizatorilor.

Astfel m-am concentrat asupra prelucrării semnalelor la recepţie. Datele ce

se preiau de la fiecare element de antenă depind în întregime de sursele emiţătoare,

canalul de transmitere, zgomotul adiţional semnalului util şi sistemul de antene în

sine. Obiectivele tipice în astfel de cazuri reprezintă estimarea numărului de surse,

10

direcţia de sosire a semnalelor (DoA), frecvenţa de sosire, etc.. Datorită varietăţii

aplicaţiilor, considerând diferitele modele de semnal şi obiectivele de procesarea

semnalului, aceasta arie de cercetare este foarte vastă.

Algoritmii utilizaţi pentru estimările menţionate mai sus sunt mulţi şi

diverşi, printre cei mai cunoscuţi situându-se şi algoritmii ESPRIT (Estimation of

Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques), aceşti algoritmi

reprezentând baza acestei tezei; motivaţia alegerii a fost pe deoparte modul de

implementare al algoritmilor din această familie în comparaţie cu alte metode –

mai simplu şi cu rezultate mai bune -, iar pe de altă parte varietatea algoritmilor din

această familie, ceea ce permite o analiză diversificată a prelucrării semnalelor

recepţionate de un sistem de antene; cu ajutorul acestor algoritmi am încercat să

evidenţiez calităţile beamformerului adaptiv, adăugând fiecărui algoritm de

estimare secvenţa beamformerului.

In cadrul capitolului 1, am prezentat bazele sistemelor de antene şi

variantele esenţiale. Trecând în revistă sistemele de antene spaţiate uniform,

spaţiate neuniform, sistemele planare şi non-planare de antene am introdus

sistemele de antene fazate în cadrul cărora am evidenţiat variantele lineare şi

planare. Tot în acest capitol am discutat şi pe subiectul erorilor sistemelor de

antenă pentru a înţelege varietatea de erori ce sunt introduse de-a lungul acestor

sisteme de antenă datorate imperfecţiunilor elementelor şi de distribuţia reţelelor;

aceste erori reduc precizia excitaţiei sistemului de antene.

În capitolul 2, am tratat algoritmii de estimare DoA din familia ESPRIT.

Am simulat performanţele algoritmilor în diverse scenarii de SNR, număr de

elemente de antenă, etc., performanţele fiind comparate în cazul existenţei a două

surse de semnal statice. Analiza aprofundată a acestor algoritmi am ales-o în ideea

determinării comportamentului fiecărui algoritm în parte printr-o abordare

comparativă, tocmai pentru a ştii exact în care scenariu care algoritm se comportă

cel mai bine, astfel pregătind analiza ulterioară în combinaţie cu secvenţa

beamformerului adaptiv.

11

Ca şi un punct separat am prezentat performanţa unui algoritm ESPRIT,

denumit URV-ESPRIT (decompoziţie de matrice ce produce subspaţii de semnal şi

de zgomot), care se aplică mai multor surse în acelaşi timp atât statice cât şi în

mişcare. Am prezentat acest ultim algoritm în special pentru a scoate în evidenţă

performanţele speciale ale familiei ESPRIT, dar pentru a putea profila mai bine

noţiunea beamformingului, nu am inclus URV-ESPRIT în şirul algoritmilor folosiţi

în combinaţie cu beamformerul adaptiv.

În capitolul 3 am prezentat beamformerul adaptiv, apoi am insistat pe

situaţiile în care secvenţa beamformerului se aplică fiecărui algoritm prezentat în

capitolul anterior în situaţiile de două surse de semnal: unul dintre semnale am

considerat-o a fi sursă de interes emiţând semnalul de interes, până când cealaltă

sursă reprezintă o interferenţă. Variantele analizate sunt bazate pe distanţa

semnalului interferenţă faţă de semnalul de interes şi precizia beamformerului în

aceste situaţii. Totodată am analizat şi mecanismul implementat în beamformerul

adaptiv aplicat, pentru a menţine precizia. Am ales această modalitate de abordare

pentru a evidenţia faptul că soluţia algoritm de stimare în combinaţie cu

beamformingul poate prezenta o soluţie alternativă pentru soluţii de beamforming

cu capabilitatea de estimare inclusă în algoritm.

În capitolul 4 am însumat concluziile din capitolele anterioare, marşând pe

evidenţierea a contribuţiilor personale în atingerea rezultatelor din aceste capitole.

Beamformerul aplicat algoritmilor de estimare este o variantă lipsită de capacitatea

de estimare şi se bazează pe formarea modelului de putere pentru fiecare algoritm.

12

CAPITOLUL 1

SISTEME DE ANTENE

1.1 NOŢIUNI DE BAZĂ

Comunicaţiile fără fir (WIRELESS) au cunoscut o îmbunătăţire

substanţială prin dezvoltarea unor tehnici care au fost propuse pentru creşterea ratei

de transfer a datelor fără a fi necesar un consum mai ridicat de putere sau o lăţime

de bandă mai mare. Una dintre aceste tehnici constă în utilizarea antenelor multiple

care conduc la crearea unui sistem cu multiple-intrări şi multiple-ieşiri (multiple-

input multiple-output, MIMO). Antenele multiple, utilizate atât la transmiţător cât

şi la receptor, permit obţinerea unui sistem de tip MIMO care se caracterizează

printr-o eficienţă spectrală mai bună decât cea obţinută în cadrul sistemelor clasice,

cu o singură antenă.

Canalele radio constituie un mediu de propagare foarte bun, care însă sunt

afectate pe de o parte de fluctuaţiile de semnal (FADING) care apar în antena de

recepţie datorită propagării pe căi multiple, iar pe de altă parte de interferenţa

datorată semnalelor provenite de la alţi utilizatori. Soluţia pentru combaterea

acestor fenomene care afectează transmisia semnalelor pe canalele radio constă în

13

x1

x2

xMt

y1

y2

yMr

h11

hMrMt

utilizarea unui receptor cu diversitate capabil să prelucreze (ideal, în mod

independent) mai multe replici ale semnalului transmis.

Un sistem de comunicaţie punct la punct de bandă îngustă care utilizează

Mt antene de transmisie şi respectiv Mr antene de recepţie este prezentat în Fig.

1.1.[Ago,05]

Fig. 1.1. Sistem de transmisie cu multiple-intrări şi multiple-ieşiri (MIMO)

Un astfel de sistem poate fi caracterizat în domeniul timp discret printr-o

relaţie de forma:

𝒚 = 𝑯𝒙 + 𝒏 (1.1)

unde y reprezintă vectorul simbolurilor recepţionate de către cele Mr antene de

recepţie, 𝒚 = [𝒚𝟏, 𝒚𝟐, … , 𝒚𝑴𝒓]𝑻, H reprezintă matricea canalului,

𝑯 = (

𝒉𝟏𝟏 ⋯ 𝒉𝑴𝒕

⋮ ⋱ ⋮𝒉𝑴𝒓𝟏 ⋯ 𝒉𝑴𝒓𝑴𝒕

) (1.1’)

iar 𝒉𝒊𝒋 reprezintă câştigul de la antena de emisie j la antena de recepţie i, x

reprezintă vectorul simbolurilor transmise de către cele Mt antene de emisie, 𝒙 =

[𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝑴𝒕]𝑻, iar n reprezintă vectorul zgomot, 𝒏 = [𝒏𝟏, 𝒏𝟐, … , 𝒏𝑴𝒓

]𝑻. Fiecare

semnal transmis va parcurge canalul wireless şi ajunge la cei Mr receptori; astfel,

fiecare ieşire a canalului va reprezenta o superpoziţie liniară a versiunilor de

intrare, atenuate şi perturbate de zgomot. Pe baza relaţiei (1.1’), se poate observa

14

că o copie a semnalului transmis de către fiecare antenă de emisie este adunată

semnalului de la fiecare antenă de recepţie. Cu toate că versiunile semnalelor emise

sunt combinate la nivelul fiecărei antene de recepţie, se realizează un câştig de

diversitate datorită existenţei a Mr copii ale semnalului emis.

În cazul în care canalul nu are proprietăţile constante, semnalul recepţionat

la momentul de timp t va fi dependent de semnalele transmise la momentele de

timp anterioare lui t. Un alt aspect important în comportarea canalului îl constituie

corelaţia dintre câştigurile pe diferitele căi de parcurgere a semnalului în diferite

intervale de timp. În cazul unui canal cvasi-static, aceste câştiguri sunt constante pe

un interval de timp T, ele modificându-se cu fiecare durată de timp T. În cele mai

multe cazuri se presupune că acest câştig de drum variază independent de la o

durată de timp T la alta. Dacă un bloc de date este transmis pe o durată mai mică

decât durata de timp T, atunci fluctuaţiile semnalului (fading) de la recepţie sunt

lente. În acest caz, atenuările nu se modifică pe durata transmisiei unui bloc de

date, iar valorile câştigurilor de drum sunt constante pentru fiecare durată de timp.

Dacă pe durata transmisiei unui bloc de date câştigurile de drum se modifică,

atunci fluctuaţiile semnalului de la recepţie sunt rapide[VKu,06].

Diferitele câştiguri de drum pot fi independente unele faţă de altele; această

independenţă este una în domeniul spaţial şi nu neapărat necesară în domeniul

timp. De asemenea, dacă antenele nu sunt plasate la o distanţă suficient de mare

una faţă de alta, există posibilitatea să apară o corelaţie spaţială între câştigurile de

drum. Dacă distanţa dintre două antene este mai mare decât jumătate din lungimea

de undă, este de obicei presupus faptul că între câştigurile de drum nu există vreo

relaţie de dependenţă.

Comportamentul sistemelor în banda de bază depinde de puterea

semnalului emis şi de puterea zgomotului. Dacă puterea medie a simbolurilor

transmise este ES, atunci raportul semnal - zgomot recepţionat va fi:

𝜸 =𝑵∗𝑬𝑺

𝑵𝟎 (1.2)

15

unde N0 reprezintă densitatea spectrală de putere a zgomotului alb Gaussian. În

cazul în care se utilizează o constelaţie cu o putere medie egală cu 1 pentru

simbolurile transmise și puteri unitare ale eşantioanelor zgomotului, relaţia dintre

intrarea şi ieşirea unui canal MIMO devine:

𝒚 = √𝜸

𝑵𝑯𝒙+ 𝒏 (1.3)

unde γ reprezintă raportul semnal-zgomot recepţionat.

Semnalele care sunt induse în diferite elemente ale unui sistem de antene

sunt procesate în vederea obţinerii unui singur semnal la ieşirea sistemului de

antene respectiv. Acest proces de combinare a semnalelor de la ieşirea diferitelor

elemente poartă denumirea de filtrare spaţială sau „beamforming”.[BlH,02]

Fig.1.2 Sistem de antene adaptiv

Sistemul de antene este utilizat pentru localizarea fiecărui utilizator, astfel

luând naştere modelul de raze care se formează în funcţie de dispunerea

utilizatorilor în aria de acoperire cu semnal de către sistemul de antene respectiv.

senzor 1

senzor 2

senzor N

•

•

•

𝑤1

𝑤2

𝑤𝑁

Procesor •

•

•

𝑥1(𝑡)

𝑥2(𝑡)

𝑥𝐾(𝑡)

...

Σ Ieşirea

sistemului

𝑦(𝑡)

Utilizator

mobil

16

Structura procesorului de semnal depinde de cantitatea de informaţie disponibilă

sau care poate fi estimată la nivel de staţie de bază. Această informaţie include

tipul de modulaţie şi de semnalizare, numărul de căi pe care se poate realiza

recepţia, direcţia de sosire şi întârzierea semnalelor ce sosesc pe căi multiple,

complexitatea mediului prin care se realizează propagarea.

Structura de bază a unui formator de raze este constituită dintr-un sistem de

antene dispuse liniar şi spaţiate uniform. Fiecare semnal transmis utilizatorilor va fi

multiplicat cu un set de ponderi complexe, numărul ponderilor fiind egal cu

numărul antenelor care compun sistemul respectiv. Într-o astfel de transmisiune,

semnalele emise de diferite antene din sistem se vor deosebi prin fază, datorită

distanţei existente între antene, precum şi prin amplitudine, datorită ponderilor

diferite cu care sunt multiplicate semnalele emise de antenele din sistem.

În cazul în care sistemul este constituit din N elemente de recepţie, atunci la

intrarea fiecărui senzor vom avea o replică întârziată a semnalului transmis. Pentru

a modifica intrarea fiecărui senzor, trebuie ca semnalele să fie aliniate în timp şi

mai apoi adunate. Un astfel de procesor este cunoscut sub numele de formator de

raze întârzie şi adună sau formator de raze convenţional. Structura unui astfel de

sistem este prezentată în Fig. 1.3.

Fig. 1.3. Formator de raze întârzie şi adună.

Sistemele de antene pot fi clasificate după mai multe criterii [NiZ,89]:

+τ0

+τ1

1

𝑁

f(t) f(t-τ0)

+τN-1

f(t-τ1)

f(t-τN-1)

f(t) f(t)

f(t)

17

a) după tipul de semnal procesat: - sisteme de antene cu procesare analogică,

respectiv sisteme de antene cu procesare digitală

b) după semnalul utilizat de procesor: - sisteme de antene cu prelucrarea

semnalului de la ieşirea sistemului, respectiv sisteme de antene cu

prelucrarea diferenţei dintre semnalul de la ieşirea sistemului şi un semnal

de referinţă

c) după tipul de informaţie pe care îl prelucrează:

• semnalul recepţionat de către sistemul de antene este cunoscut;

• semnalul recepţionat de către sistemul de antene este necunoscut, dar se

cunoaşte direcţia de sosire a semnalului;

• semnalul recepţionat de către sistemul de antene este necunoscut, nu se

cunoaşte direcţia de sosire a semnalului, dar se cunoaşte nivelul puterii

semnalului ce urmează a fi recepţionat;

• semnalul recepţionat de către sistemul de antene este necunoscut, nu se

cunoaşte direcţia de sosire a semnalului, dar se cunoaşte polarizarea

semnalului ce urmează a fi recepţionat;

• sisteme de antene care recepţionează/prelucrează semnale despre care

nu se cunoaşte nimic.

d) după performanţa optimizată de către algoritmul de adaptare: sisteme de

antene care minimizează eroarea medie pătratică, sisteme de antene care

maximizează raportul semnal – zgomot, sisteme de antene care

minimizează dispersia zgomotului, sisteme de antene care maximizează

câştigul.

e) după spaţiul în care realizează procesul de adaptare: sisteme de antene cu

adaptare în domeniul timp, sisteme de antene cu adaptare în domeniul

frecvenţă, sisteme de antene cu adaptare în domeniul razelor.

18

f) după banda de frecvenţe în care lucrează: sisteme de antene de bandă

îngustă, respectiv sisteme de antene de bandă largă.

g) după numărul de antene pe care le gestionează: sisteme de antene care

ponderează semnalul recepţionat de către fiecare antenă, respectiv sisteme

de antene care ponderează adaptiv o fracţiune din numărul total de semnale

recepţionate de antene, restul semnalelor fiind ponderate cu o valoare fixă.

1.2 SISTEME LINIARE DE ANTENE SPAŢIATE UNIFORM

Un sistem liniar de antene este prezentat în figura următoare.

Fig.1.4. Sistem liniar de antene

Cele N elemente sunt dispuse pe axa z la o distanţă egală, d. Considerăm că

sistemul de antene este centrat pe originea sistemului de coordonate.

Ponderile uniforme sunt de forma:

z

1

0

d

N-1

x

y

19

𝒘𝒏 =𝟏

𝑵, 𝒏 = 𝟎, 𝟏,… , 𝑵 − 𝟏 (1.4)

Modelul razelor pentru un sistem de antene este definit în contextul

propagării undei plane într-un mediu omogen[HVT,02]:

𝑩𝜽(𝜽) = 𝒆−𝒋(𝑵−𝟏

𝟐)𝟐𝝅𝒅

𝝀𝒄𝒐𝒔𝜽∑ 𝒘𝒏

∗𝒆𝒋𝒏𝟐𝝅𝒅

𝝀𝒄𝒐𝒔𝜽, 𝟎 ≤ 𝜽 ≤𝑵−𝟏

𝒏=𝟎 𝝅 (1.5)

𝑩𝒖(𝒖) = 𝒆−𝒋(𝑵−𝟏

𝟐)𝟐𝝅𝒅

𝝀𝒖∑ 𝒘𝒏

∗𝒆𝒋𝒏𝟐𝝅𝒅

𝝀𝒖 , − 𝟏 ≤ 𝒖 ≤𝑵−𝟏

𝒏=𝟎 𝟏 (1.6)

𝑩𝝍(𝝍) = 𝒆−𝒋(

𝑵−𝟏

𝟐)𝝍∑ 𝒘𝒏

∗𝒆𝒋𝒏𝝍 , −𝟐𝝅𝒅

𝝀≤ 𝝍 ≤𝑵−𝟏

𝒏=𝟎𝟐𝝅𝒅

𝝀 (1.7)

Modelul razelor în spaţiul u poate fi scris sub forma:

𝑩𝒖(𝒖) =𝟏

𝑵

𝒔𝒊𝒏 (𝝅𝑵𝒅

𝝀𝒖)

𝒔𝒊𝒏 (𝝅𝒅

𝝀𝒖)

(1.8)

În cazul sistemelor liniare standard, expresia modelului de raze devine:

𝑩𝒖(𝒖) =𝟏

𝑵

𝒔𝒊𝒏 (𝝅𝑵𝒖

𝟐)

𝒔𝒊𝒏 (𝝅𝒖

𝟐)

(1.9)

Considerăm că toate ponderile sunt reale şi simetrice, caz în care este mai

convenabil să utilizăm poziţia elementului n ca şi index,

�̃� = 𝒏 −𝑵−𝟏

𝟐, 𝒏 = 𝟎, 𝟏,… ,𝑵 − 𝟏

�̃� = −𝑵−𝟏

𝟐, … ,

𝑵−𝟏

𝟐 (1.10)

Considerăm cazul în care numărul de elemente (N) este impar. Ponderile de

tip cosinus vor fi:

𝒘(�̃�) = 𝒔𝒊𝒏 (𝝅

𝟐𝑵) 𝒄𝒐𝒔 (

𝝅�̃�

𝑵) , −

𝑵−𝟏

𝟐≤ �̃� ≤

𝑵−𝟏

𝟐 (1.11)

20

în care termenul 𝒔𝒊𝒏 (𝝅

𝟐𝑵) este constant şi deci 𝑩𝒖(𝟎) = 𝟏. Scriind funcţia cosinus

în formă exponenţială, vom avea:

𝒘(�̃�) = 𝒔𝒊𝒏 (𝝅

𝟐𝑵) [𝒆𝒋𝝅�̃�𝑵 +𝒆

−𝒋𝝅�̃�𝑵

𝟐] (1.12)

Utilizând forma vectorului multiplu al sistemului, modelul razelor va fi:

𝑩𝒖(𝒖) =𝟏

𝟐𝒔𝒊𝒏 (

𝝅

𝟐𝑵) [∑ 𝒆𝒋

𝝅�̃�

𝑵 𝒆−𝒋�̃�𝝅𝒖𝑵−𝟏

𝟐

�̃�=−𝑵−𝟏

𝟐

+ ∑ 𝒆−𝒋𝝅�̃�

𝑵 𝒆−𝒋�̃�𝝅𝒖𝑵−𝟏

𝟐

�̃�=−𝑵−𝟏

𝟐

] (1.13)

Primul termen corespunde unui model de raze convenţional ce conduce

spre 𝒖𝒔 =𝟏

𝑵, în timp ce al doilea termen corespunde unui model de raze

convenţional ce conduce spre 𝒖𝒔 = −𝟏

𝑵. Prin urmare:

𝑩𝒖(𝒖) =𝟏

𝟐𝒔𝒊𝒏 (

𝝅

𝟐𝑵) [𝒔𝒊𝒏 (

𝑵𝝅

𝟐(𝒖−

𝟏

𝑵))

𝒔𝒊𝒏 (𝝅

𝟐(𝒖−

𝟏

𝑵))+𝒔𝒊𝒏 (

𝑵𝝅

𝟐(𝒖+

𝟏

𝑵))

𝒔𝒊𝒏 (𝝅

𝟐(𝒖+

𝟏

𝑵))] (1.14)

Putem combina ponderarea uniformă cu ponderarea cosinusoidală pentru a

obține câteva caracteristici ale fiecărui tip de ponderare. Astfel, ponderarea

vectorului va fi:

𝒘(�̃�) = 𝒄(𝒑) [𝒑 + (𝟏 − 𝒑)𝒄𝒐𝒔 (𝝅�̃�

𝑵)], �̃� = −

𝑵−𝟏

𝟐, … ,

𝑵−𝟏

𝟐 (1.15)

unde 𝒄(𝒑) =𝒑

𝑵+𝟏−𝒑

𝟐𝒔𝒊𝒏 (

𝝅

𝟐𝑵) este o constantă şi deci 𝑩𝒖(𝟎) = 𝟏. Pe măsură ce p

descreşte, înălţimea primului lob descreşte, iar lăţimea lobului principal creşte.

Ponderarea cosinusoidală se poate realiza şi cu ajutorul funcţiilor cosinus

de ordin superior, 𝒄𝒐𝒔𝒎(𝝅�̃�

𝑵) caz în care ponderile sistemului vor fi:

𝒘𝒎(�̃�) =

{

𝒄𝟐𝒄𝒐𝒔

𝟐 (𝝅�̃�

𝑵) , 𝒎 = 𝟐

𝒄𝟑𝒄𝒐𝒔𝟑 (

𝝅�̃�

𝑵) , 𝒎 = 𝟑

𝒄𝟒𝒄𝒐𝒔𝟒 (

𝝅�̃�

𝑵) ,𝒎 = 𝟒

(1.16)

21

unde c2,c3 şi c4 sunt constante normalizate. Ponderarea cu ajutorul funcţiei cos2 mai

poartă şi numele de ponderare Hann. Dacă ordinul funcţiei cosinus creşte, atunci

înălţimea lobilor secundari descreşte, iar lăţimea lobului principal creşte.

Pentru ordinul 2 putem scrie:

𝒘(�̃�) = 𝒄𝟐(𝒑) [𝒑 + (𝟏 − 𝒑) 𝒄𝒐𝒔𝟐 (

𝝅�̃�

𝑵)] =

𝒄𝟐(𝒑)

𝟐[(𝟏 + 𝒑) + (𝟏 −

− 𝒑) 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝟐𝝅�̃�

𝑵)] (1.17)

unde c2(p) este o constantă normalizată.

Ponderarea Hamming exploatează caracteristicile modelului rectangular şi

modelul cosinus pătrat pentru a plasa un nul atunci când primul lob secundar atinge

valoarea maximă. Funcţia de ponderare are expresia:

𝒘(�̃�) = 𝒈𝟎 + 𝒈𝟏 𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝝅�̃�

𝑵), �̃� = −

𝑵−𝟏

𝟐, … ,

𝑵−𝟏

𝟐 (1.18)

Coeficienţii g0 şi g1 sunt aleşi astfel încât să existe un nul la 𝒖 =𝟑

𝑵 .

Rezultatul este:

𝐰(�̃�) = 𝟎, 𝟓𝟒 + 𝟎, 𝟒𝟔𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝛑�̃�

𝐍) (1.19)

Acesta corespunde unei valori p=0,08 în relaţia (1.17). Modelul razei

reprezintă o sumă de trei modele convenţionale:

𝑩𝒖(𝒖) = 𝟎, 𝟓𝟒𝒔𝒊𝒏(

𝑵𝝅𝒖

𝟐)

𝒔𝒊𝒏(𝝅𝒖

𝟐)+ 𝟎, 𝟐𝟑 [

𝒔𝒊𝒏 (𝑵𝝅

𝟐(𝒖−

𝟐

𝑵))

𝒔𝒊𝒏 (𝝅

𝟐(𝒖−

𝟐

𝑵))+𝒔𝒊𝒏 (

𝑵𝝅

𝟐(𝒖+

𝟐

𝑵))

𝒔𝒊𝒏 (𝝅

𝟐(𝒖+

𝟐

𝑵))] (1.20)

Ponderarea Blackman – Harris reprezintă o simplă extindere ce dezvoltă

nuluri atunci când primii doi lobi secundari ating valoarea maximă. Funcţia de

ponderare are expresia:

𝐰(�̃�) = 𝟎, 𝟒𝟐 + 𝟎, 𝟓 𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝛑�̃�

𝐍) + 𝟎, 𝟎𝟖 𝐜𝐨𝐬 (

𝟒𝛑�̃�

𝐍), �̃� = −

𝐍−𝟏

𝟐, … ,

𝐍−𝟏

𝟐 (1.21)

Modelul razei reprezintă o sumă de modele convenţionale:

22

𝑩𝒖(𝒖) = 𝟎, 𝟒𝟐𝒔𝒊𝒏(

𝑵𝝅𝒖

𝟐)

𝒔𝒊𝒏(𝝅𝒖

𝟐)+ 𝟎, 𝟐𝟓 [

𝒔𝒊𝒏(𝑵𝝅

𝟐(𝒖−

𝟐

𝑵))

𝒔𝒊𝒏(𝝅

𝟐(𝒖−

𝟐

𝑵))+𝒔𝒊𝒏(

𝑵𝝅

𝟐(𝒖+

𝟐

𝑵))

𝒔𝒊𝒏(𝝅

𝟐(𝒖+

𝟐

𝑵))] +

𝟎, 𝟎𝟒 [𝒔𝒊𝒏(

𝑵𝝅

𝟐(𝒖−

𝟒

𝑵))

𝒔𝒊𝒏(𝝅

𝟐(𝒖−

𝟒

𝑵))+𝒔𝒊𝒏(

𝑵𝝅

𝟐(𝒖+

𝟒

𝑵))

𝒔𝒊𝒏(𝝅

𝟐(𝒖+

𝟒

𝑵))]

(1.22)

Pentru sistemele liniare uniform spaţiate modelul razei poate fi reprezentat

în termenii unui şir polinomial. Modelul de raze poate fi scris în spaţiul ψ astfel:

𝑩𝝍(𝝍) = 𝒆−𝒋(

𝑵−𝟏

𝟐)𝝍(∑ 𝒘𝒏

𝑵−𝟏𝒏=𝟎 𝒆−𝒋𝒏𝝍)

∗ (1.23)

Definind 𝑧 = 𝑒𝑗𝜓, putem scrie expresia unei transformate Z:

𝑩𝒛(𝒛) = ∑ 𝒘𝒏𝒛−𝒏𝑵−𝟏

𝒏=𝟎 (1.24)

în care variabila reală ψ este înlocuită cu o variabilă complexă z de modul unitar.

Variabila ψ reprezintă faza variabilei complexe z aşa cum se vede în figura

următoare:

Fig.1.5. Reprezentarea în planul complex a variabilei z

Im

Re

𝑧 = 𝑒𝑗𝜓

𝜓

1

23

Modelul de raze poate fi scris sub forma:

𝑩𝝍(𝝍) = 𝒛−𝑵−𝟏

𝟐 𝑩𝒛∗(𝒛), 𝒛 = 𝒆𝒋𝝍 (1.25)

Presupunem că ponderile sunt reale şi simetrice. Vom analiza cazul

ponderării simetrice pentru un număr impar de elemente. Pentru ponderare

simetrică putem scrie:

𝒘(𝒏) = 𝒘(𝑵− 𝟏 − 𝒏), 𝟎 ≤ 𝒏 ≤ 𝑵 − 𝟏 (1.26)

Datorită simetriei putem defini:

𝑴 =𝑵−𝟏

𝟐 (1.26’)

şi deci:

𝑩𝒛(𝒛) = 𝒛−𝑴{𝒘(𝑴) + 𝒘(𝑴− 𝟏)[𝒛 + 𝒛−𝟏] + 𝒘(𝑴− 𝟐)[𝒛𝟐 + 𝒛−𝟐] + ⋯+

𝒘(𝟎)[𝒛𝑴 + 𝒛−𝑴]} (1.27)

Înlocuind 𝒛 = 𝒆𝒋𝝍 vom obţine:

𝑩𝒛(𝒆𝒋𝝍) = 𝒆−𝒋𝑴𝝍{𝒘(𝑴) + 𝟐𝒘(𝑴− 𝟏)𝒄𝒐𝒔𝝍 + 𝟐𝒘(𝑴− 𝟐)𝒄𝒐𝒔𝟐𝝍 +⋯+

𝒘(𝟎)𝒄𝒐𝒔𝑴𝝍} (1.28)

şi deci, conform relaţiei (1.25) vom avea:

𝑩𝝍(𝝍) = 𝒘(𝑴) + 𝟐∑ 𝒘(𝒎)𝒄𝒐𝒔 (𝑴−𝒎)𝝍𝑴−𝟏𝒎=𝟏 (1.29)

În continuare vom analiza comportamentul modelului de raze în vecinătatea

unui nul. Considerăm o apertură liniară cu ponderare uniformă. Modelul de raze va

fi:

𝑩𝒖(𝒖) =𝒔𝒊𝒏𝜶𝒖

𝜶𝒖 (1.30)

unde 𝜶 =𝝅𝑳

𝝀. Modelul în vecinătatea unui nul, un, este prezentat în figura

următoare:

24

Fig.1.6. Modelul razelor în vecinătatea unui nul

Definind 𝒖𝟎 = 𝒖 − 𝒖𝒏 şi presupunând că 𝒖𝒏 ≫𝝀

𝑳, expresia modelului de

raze devine:

𝑩𝒖𝟎(𝒖𝟎) = 𝑩𝒖(𝒖𝟎 + 𝒖𝒏) =𝒔𝒊𝒏𝜶(𝒖𝟎+𝒖𝒏)

𝜶(𝒖𝟎+𝒖𝒏)=

𝒔𝒊𝒏𝜶𝒖𝟎𝒄𝒐𝒔𝜶𝒖𝒏+𝒄𝒐𝒔𝜶𝒖𝟎𝒔𝒊𝒏𝜶𝒖𝒏

𝜶(𝒖𝟎+𝒖𝒏) (1.31)

Deoarece 𝒔𝒊𝒏𝜶𝒖𝒏 = 𝟎 şi 𝒄𝒐𝒔𝜶𝒖𝒏 = ±𝟏, vom găsi că:

𝑩𝒖𝟎(𝒖𝟎) = ±𝒔𝒊𝒏𝜶𝒖𝟎

𝜶(𝒖𝟎+𝒖𝒏) (1.32)

În jurul lui zero 𝒔𝒊𝒏𝜶𝒖𝟎 ≅ 𝜶𝒖𝟎, iar 𝒖𝟎 ≪ 𝒖𝒏, ecuaţia (1.31) devine:

𝑩𝒖𝟎(𝒖𝟎) ≅ ±𝒖𝟎

𝒖𝒏 (1.33)

Prin urmare, modelul este liniar în regiunea trecerii prin zero.

Ca şi concluzie, un singur nul conduce la apariţia unui nul pronunţat; în

cazul în care dorim ca acest nul să elimine efectele unei perturbaţii, trebuie să

localizăm cu exactitate sursa care produce perturbaţia respectivă şi frecvenţa acelei

perturbaţii. Pentru localizarea sursei, putem utiliza un nul dublu care conduce la un

model caracterizat printr-un nul mai extins.

un u un+1

25

1.3 SISTEME LINIARE DE ANTENE SPAŢIATE NEUNIFORM

Pentru reducerea costurilor şi a complexităţii sistemelor, elementele care

formează sistemul respectiv pot fi dispuse în orice locaţie din linia sistemului.

Acest lucru conduce la apariţia unor sisteme caracterizate printr-o concentrare a

elementelor pe un anumit segment de linie și respectiv o densitate mai scăzută pe

alt segment de linie. Dispunerea acestor elemente pe linie se realizează într-o

manieră aleatoare, în funcţie de aplicaţia în care sunt utilizate. Un exemplu de

aplicaţie îl constituie sistemul de elemente ataşat unui vapor în vederea localizării

submarinelor.

Un exemplu de sistem liniar spaţiat neuniform este prezentat în figura

următoare:

Fig.1.7. Sistem liniar spaţiat neuniform

Acest sistem este caracterizat prin faptul că este constituit din doar 4

senzori dispuşi în mod aleator, care corespund unui sistem liniar uniform spaţiat

constituit din 7 elemente. În Tabelul 1.1. se prezintă poziţia senzorilor precum şi

distanţa dintre senzorii respectivi.

0 1 2 3 4 5 6

d

26

Locaţia senzorilor Distanţa dintre senzori

0-1 d

4-6 2d

1-4 3d

0-4 4d

1-6 5d

0-6 6d

Tab1.1. Poziţia senzorilor precum şi distanta dintre senzorii

Prin utilizarea ponderării neuniforme putem îmbunătăţi comportamentul

lobilor secundari.

1.4 SISTEME PLANARE DE ANTENE

Sistemele planare sunt sisteme de antene constituite din elemente dispuse în

planul xOy. Există mai multe tipuri de sisteme planare, aşa cum se observă în

figura următoare:

Fig.1.8. Sisteme planare: a) rectangular; b) circular; c) hexagonal

a) b) c)

27

Pentru un sistem rectangular uniform, funcţia ponderării poate fi scrisă sub

forma:

𝑩(𝝍𝒙, 𝝍𝒚) = 𝒆−𝒋(𝑵−𝟏

𝟐𝝍𝒙+

𝑴−𝟏

𝟐𝝍𝒚)∑ ∑ 𝒘𝒏𝒎

∗ 𝒆𝒋(𝒏𝝍𝒙+𝒎𝝍𝒚)𝑴−𝟏𝒎=𝟎

𝑵−𝟏𝒏=𝟎 (1.34)

unde:

𝝍𝒙 =𝟐𝝅

𝝀𝒅𝒙𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝓

𝝍𝒚 =𝟐𝝅

𝝀𝒅𝒚𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝓 (1.35)

Expresiile pot fi rescrise astfel:

𝒖𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝓

𝒖𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝓 (1.36)

În cazul în care 𝒅𝒙 = 𝒅𝒚 =𝝀

𝟐, expresiile (1.35) devin:

𝝍𝒙 = 𝝅𝒖𝒙

𝝍𝒚 = 𝝅𝒖𝒚 (1.37)

Pentru cazul special în care ponderările pot fi separate, 𝒘𝒏𝒎 = 𝒘𝒏 ∗ 𝒘𝒎,

modelul razelor se obţine ca un produs între doi factori de sistem individuali:

𝑩(𝝍𝒙, 𝝍𝒚) = 𝑩(𝝍𝒙)𝑩(𝝍𝒚) (1.38)

Dacă ponderarea este uniformă în ambele direcţii, atunci:

𝑩(𝝍𝒙, 𝝍𝒚) = [𝟏

𝑵

𝒔𝒊𝒏(𝑵

𝟐𝝍𝒙)

𝒔𝒊𝒏(𝝍𝒙𝟐)] [

𝟏

𝑴

𝒔𝒊𝒏(𝑴

𝟐𝝍𝒚)

𝒔𝒊𝒏(𝝍𝒚

𝟐)] (1.39)

Un sistem circular este constituit din N elemente radiatoare dispuse pe un

cerc de rază R, ca în Fig.1.9.[JLT, 96]

28

Fig.1.9. Sistem circular

Fiecare element este ponderat cu ajutorul unei ponderi complexe, wn,

n=0,1,..., N-1. Elementele sunt uniform distribuite pe cercul de rază R, iar unghiul

azimut corespunzător elementului al n-lea este determinat cu ajutorul relaţiei:

𝜱𝒏 =𝟐𝒏𝝅

𝑵 (1.40)

Dacă unda plană soseşte dintr-o direcţie [𝜽,𝝓] , atunci faza relativă la

elementul al n-lea care respectă centrul şirului se poate calcula cu relaţia:

𝜷𝒏 = −𝒏𝑹𝒄𝒐𝒔(𝝓 − 𝝓𝒏)𝒔𝒊𝒏𝜽 (1.41)

Modelul de raze poate fi determinat cu ajutorul relaţiei:

𝑩(𝜽, 𝝓) = ∫ 𝒘(𝝓𝟏)𝒆𝒋𝒌𝟎𝑹𝒔𝒊𝒏𝜽[𝒄𝒐𝒔 (𝝓−𝝓𝟏)]𝑹𝒅𝝓𝟏

𝟐𝝅

𝟎 (1.42)

unde 𝒌𝟎 = |𝒌| =𝟐𝝅

𝝀 reprezintă numărul de undă.

Funcţia pondere este periodică în ϕ şi are expresia:

𝒘(𝝓) = ∑ 𝒘𝒎′ 𝒆𝒋𝒎𝝓+∞

𝒎=−∞ (1.43)

unde :

𝒘𝒎′ =

𝟏

𝟐𝝅∫ 𝒘(𝝓)𝒆−𝒋𝒎𝝓𝒅𝝓𝟐𝝅

𝟎 (1.44)

R n

ϕ

θ

ϕn

y

x

z

29

Una dintre caracteristicile principale ale sistemului circular constă în

prezenţa lobilor secundari de nivel ridicat în modelul de raze asociat unui astfel de

sistem de antene.

O altă configuraţie de sisteme planare o reprezintă sistemul sub formă de

hexagon, elementele acestui sistem fiind aşezate sub forma unei grile triunghiulare,

cu spaţiere uniformă. În acest caz, determinarea modelului de raze nu se realizează

aşa de simplu ca şi în cazul sistemelor planare rectangulare, însă o modalitate de

determinare ar fi ca un astfel de sistem de antene să fie tratat ca şi un sistem având

un element central şi un număr de Mx6 elemente dispus pe cercuri de raze diferite.

1.5 SISTEME DE ANTENE NON-PLANARE

O clasă importanta de aplicaţii pentru sisteme de antene necesită

conformarea lor la anumite suprafeţe non-planare. Astfel, sistemele de antene pe

suprafeţe non-planare pot fi împărţite în funcţie de imaginile următoare:

Fig.1.10. Sisteme de antene non-planare

Denumirea generică a acestor tipuri de sisteme de antene, sunt sisteme de

antene adaptive.

30

Dacă dimensiunile sistemului de antene sunt mici în comparaţie cu raza

curburii (a), sistemul de antene este considerat a fi planar local, cu elemente de

sistem de antene planare în concordanta cu geometria suprafeţei curbate.

Dacă dimensiunile sistemului de antene sunt mai mari în comparaţie cu raza

curburii (b), sistemul de antene poate fi folosit pentru scanarea unui sector mai

întins dacă iluminările sunt comutate în jur pe suprafaţă [RJM,05]. Aceste tipuri de

sisteme de antene sunt mai complexe decât cele menţionate anterior sau decât

sistemele de antene planare. Astfel analiza şi sinteza lor va diferită decât a

sistemelor de antene planare şi mai complicată, pentru ca elementele nu sunt în

acelaşi plan şi distanta între ele nu este tot timpul egală. Complicaţii intervin şi la

necesitatea producerii unei caracteristici reduse ale lobilor laterale. O a treia

problemă reprezintă polarizarea, deoarece polarizarea radiaţiei elementelor, pe

suprafeţe ce nu sunt paralel amplasate unul faţă de celălalt, nu vor fi aliniate. Acest

lucru poate rezulta polarizare încrucişată. Probleme vor apărea şi la caracteristicile

elementelor pe suprafeţe profilate ce pot introduce distorsiuni, rezultând lobi

laterali înalte şi performante scăzute de explorare.

1.5.1 METODE DE ANALIZĂ PENTRU SISTEMELE DE ANTENE

ADAPTATE

Analiza antenelor şi a sistemelor de antene adaptive se face prin utilizarea

unei mari varietăţi de metode, dependente de dimensiunile antenei sau a sistemului

de antene:

• dimensiuni mai mici faţă de raza platformei curbate

• platforma în sine este mai mare sau mai mică faţă de lungimea de undă

Soluţiile pur numerice (Metoda de Moment, Elemente Finite, etc.) nu sunt

aplicabile, practic, pentru corpuri mari; aici metodele hibride au fost mai utile.

31

Analiza mai trebuie sa ţină cont şi de interacţiune între elemente, aceste trebuie

introduse în soluţia finală.

1.5.2 CARACTERISTICI ALE SISTEMELOR DE ANTENE CIRCULARE ŞI

CILINDRICE

Sistemele de antene cilindrice şi circulare oferă avantajul simetriei în

azimut astfel sunt ideale pentru acoperire la 360° [RJM,05]. Să considerăm

următoarea figură:

32

Fig.1.11. Sisteme de antene circulare şi cilindrice

Primul element din figură (a) conţine un grup de elemente dispuse circular.

Caracteristica sistemului de antene pentru sistemul de antene circular de rază a cu

N elemente plasate în locaţii definite prin ф'=nΔф şi ţinând cont de

𝒓𝒏 = 𝑹𝟎 − 𝒂 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔(𝝓 − 𝒏𝜟𝝓) (1.45)

Se ajunge la expresia:

𝑩(𝜽,𝝓) = ∑ 𝑰𝒏𝒇𝒏(𝜽,𝝓)𝒆+𝒋𝒌𝒂𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔(𝝓−𝒏𝜟𝝓)𝑵−𝟏

𝒏=𝟎 (1.46)

În această expresie caracteristica elementelor este exprimat ca şi scalar, însă

în general acesta ar fi vector. În continuare, din cauza simetriei, caracteristicile

elementelor sunt dependente de localizarea acestora, astfel vom avea:

𝒇𝒏(𝜽,𝝓) = 𝒇(𝜽,𝝓 − 𝒏𝜟𝝓) (1.47)

Pentru a produce o undă în-fază şi direcţionată la un unghi (θ0, ф0), se alege

𝐈𝐧𝐟𝐧(𝛉𝟎, 𝛟𝟎) = |𝐈𝐧𝐟𝐧(𝛉𝟎, 𝛟𝟎)|𝐞−𝐣𝐤𝐚𝐬𝐢𝐧(𝛉𝟎) 𝐜𝐨𝐬(𝛟𝟎−𝐧𝚫𝛟) (1.48)

Până când pentru o radiaţie apropiată, ca şi funcţie de f , se alege In

constant.

33

Sistemele de antene circulare sunt de importanţă mare, pentru că reprezintă

baza sistemelor de antene cilindrice, precum arătat şi în imaginea (b). Într-un

sistem generalizat (c), caracteristica unui câmpului depărtat pentru al k-lea sistem

de antene circular, se poate scrie utilizând raza locală ak a sistemului de antene şi

vectorul de poziţie r' , ce este raportat la al n-lea element al sistemului de antene

circular considerat (k). [HVT,02]

Astfel

𝒓𝒏𝒌, = �̂�𝒙𝒏𝒌 + �̂�𝒚𝒏𝒌 + �̂�𝒛𝒏𝒌 (1.49)

unde,

𝒙𝒏𝒌 = 𝒂𝒌 𝒄𝒐𝒔𝝓𝒏𝒌

𝐲𝐧𝐤 = 𝐚𝐤 𝐬𝐢𝐧𝛟𝐧𝐤 (1.50)

Iar vectorul poziţie în spaţiu la unghiul (θ, ф)

�̂� = �̂�𝒖 + �̂�𝒗 + �̂� 𝒄𝒐𝒔𝝓 (1.51)

De unde se poate obţine,

𝐫 , ∙ �̂� = 𝐚𝐤𝐜𝐨𝐬𝛟𝐧𝐤𝐬𝐢𝐧𝛉𝐜𝐨𝐬𝛟 + 𝐚𝐤𝐬𝐢𝐧𝛟𝐧𝐤𝐬𝐢𝐧𝛉𝐬𝐢𝐧𝛟 + 𝐳𝐤𝐜𝐨𝐬𝛟 =

𝐚𝐤𝐬𝐢𝐧𝛉𝐜𝐨𝐬(𝛟 − 𝛟𝐧𝐤) + 𝐳𝐤𝐜𝐨𝐬𝛟 (1.52)

De aici rezultă ecuaţia câmpului buclei cu numărul k cu Nk elemente

localizate în unghiuri egale la фnk=nΔфk

𝑩𝒌(𝜽,𝝓) = ∑ 𝑰𝒏𝒌𝒇𝒏𝒌(𝜽, 𝝓)𝑵𝒌−𝟏𝒏=𝟎 𝒆+𝒋𝒌|𝒂𝒌𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔(𝝓−𝝓𝒏𝒌)+𝒛𝒌𝒄𝒐𝒔𝝓| (1.53)

Considerăm sistemul de antene cilindric din Fig.1.11(b), adică mai multe

sisteme de antene circulare suprapuse. Caracteristica undei se consideră izotropă şi

este dată de

𝑩(𝜽,𝝓) = ∑ ∑ 𝒘𝒏𝒎∗𝑴

𝒎=𝟏 𝒆−𝒋𝒌𝑻𝒑𝒏𝒎; 𝑵 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓

𝑵−𝟏

𝟐

𝒏=−𝑵−𝟏

𝟐

(1.54)

La expresia de mai sus, se consideră un sistem de antene cilindrică, format

din N sisteme de antene circulare, fiecare sistem de antene circular având M

34

elemente. Se consideră axa z ca şi centrul sistemului de antene circular.

Considerând acestea putem scrie

𝑩(𝜽,𝝓) = ∑ ∑ 𝒘𝒏𝒎∗𝑴

𝒎=𝟏 𝒆−𝒋𝒌𝟎[𝑹𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔(𝝓−𝝓𝟏)+𝒛𝒏𝒄𝒐𝒔𝜽]𝑵−𝟏

𝟐

𝒏=−𝑵−𝟏

𝟐

(1.55)

Acesta se poate scrie

𝑩(𝜽,𝝓) = ∑ 𝒆𝒋𝒌𝟎𝒛𝒏𝒄𝒐𝒔𝜽{∑ 𝒘𝒏𝒎∗𝑴

𝒎=𝟏 𝒆𝒋𝒌𝟎𝑹𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔(𝝓−𝝓𝟏)}𝑵−𝟏

𝟐

𝒏=−𝑵−𝟏

𝟐

(1.56)

Suma din paranteză este caracteristica undei pentru al n-lea sistem de

antene circular ceea ce este de fapt caracteristica undei a unui sistem de antene

liniar cu

𝑩𝒄𝒊𝒓,𝒏(𝜽,𝝓) = ∑ 𝒘𝒏𝒎∗ 𝒆𝒋𝒌𝟎𝑹𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔(𝝓−𝝓𝟏) = 𝒘𝒏

∗𝑴𝒎=𝟏 (1.57)

Dacă se poate separa ***

mnnm www atunci totul se reduce la

𝑩(𝜽,𝝓) = ∑ 𝒘𝒏∗𝒆𝒋𝒌𝟎𝒛𝒏𝒄𝒐𝒔𝜽𝑩𝒄𝒊𝒓(𝜽,𝝓) =

𝑵−𝟏

𝟐

𝒏=−𝑵−𝟏

𝟐

𝑩𝒍𝒊𝒏(𝜽, 𝝓)𝑩𝒄𝒊𝒓(𝜽,𝝓) (1.58)

Astfel caracteristica undei la sistem de antene cilindric se poate reduce la

caracteristicile combinate ale sistemului de antene liniar şi cel circular.

1.6 SISTEME DE ANTENE FAZATE

Sistemele de antene fazate reprezintă un grup de antene, în care fazele

relative ale semnalelor respective ce alimentează antenele se schimbă în aşa mod,

încât caracteristica radiaţiei efective a sistemului de antene este întărită într-o

direcţie dorită şi suprimată în alte direcţii ce nu reprezintă interes.

Acest tip de sistem de antene se utilizează în trei mari categorii de

comunicaţii:

• sisteme de comunicare mobilă terestră

35

• sisteme de comunicare stratosferică

• sisteme de comunicare prin sateliţi

Sistemele de antene fazate pornesc de la sistemele de antene lineare şi

planare, identificându-se sisteme de antene fazate liniare şi sisteme de antene fazate

planare.

1.6.1 SISTEME DE ANTENE FAZATE LINEARE

Considerăm schema următoare [HJV,05] a unui sistem de antene fazat

linear cu K elemente

Fig.1.12. Sisteme de antene fazate lineare

36

Funcţia de transfer este

𝑯𝒊(𝝑) = 𝑺𝒊(𝝑)

𝑺𝒊, (𝝑)

= 𝒂𝒊𝒆𝒋𝝍𝒊 (1.59)

Putem deci scrie caracteristica de radiaţie a acestui sistem ca fiind

𝑺(𝝑) = ∑ 𝑺𝒊(𝝑) = 𝑺𝒆(𝝑)∑ 𝒂𝒊𝒆𝒋[𝒌𝟎(𝑲−𝒊)𝒅𝒔𝒊𝒏(𝝑)+𝝍𝒊]𝑲

𝒊=𝟏𝑲𝒊=𝟏 (1.60)

Considerăm faptul că distribuţia de amplitudini este uniformă: 𝒂𝒊 =

𝟏 𝒇𝒐𝒓 𝒊 = 𝟏, 𝟐,… ,𝑲 şi faptul că factorul de antenă este,

𝑺𝒂(𝝑) = ∑ 𝒆𝒋[𝒌𝟎(𝑲−𝒊)𝒅𝒔𝒊𝒏(𝝑)+𝝍𝒊]𝑲𝒊=𝟏 (1.61)

Dacă alegem

𝝍𝒊 = −𝒌𝟎(𝑲 − 𝒊)𝒅𝒔𝒊𝒏(𝝑𝟎) 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … ,𝑲 − 𝟗𝟎∘ ≤ 𝝑𝟎 ≤ 𝟗𝟎∘ (1.62)

Putem rescrie factorul de antenă ca fiind

𝑺𝒂(𝝑) = ∑ 𝒆𝒋𝒌𝟎(𝑲−𝒊)𝒅[𝒔𝒊𝒏(𝝑)−𝒔𝒊𝒏(𝝑𝟎)]𝑲𝒊=𝟏 (1.63)

Este clar faptul că vom avea valoare maximă pentru

𝒔𝒊𝒏(𝝑) − 𝒔𝒊𝒏(𝝑𝟎) = 𝟎 (1.64)

1.6.2 SALTUL DE FAZĂ

Saltul de fază se poate dobândi prin patru modalităţi [LCG,04]:

• salt de fază prin schimb de frecvenţă

• salt de fază prin schimbarea lungimii

• salt de fază prin schimbarea permitivităţii

• salt de fază prin schimbarea permeabilităţii

37

1.6.3 SISTEME DE ANTENE FAZATE PLANARE

Considerăm schema următoare [HJV,05] a unui sistem de antene fazat

planar cu K x L elemente poziţionate într-o reţea rectangulară într-un sistem

Cartezian de coordonate

Fig.1.13. Sistem de antene fazat planar

Alegem

𝝍𝒌𝒍 = −𝒌𝟎(𝒌 − 𝟏)𝒅𝒙𝒔𝒊𝒏(𝝑𝟎)𝒄𝒐𝒔(𝝋𝟎) − 𝒌𝟎(𝒍 − 𝟏)𝒅𝒚𝒔𝒊𝒏(𝝑𝟎)𝒔𝒊𝒏(𝝋𝟎) (1.65)

Factorul de antena în acest caz fiind

𝑺𝒂(𝝑,𝝋) =

∑ 𝒆𝒋𝒌𝟎(𝒌−𝟏)𝒅𝒙[𝒔𝒊𝒏(𝝑)𝒄𝒐𝒔(𝝋)−𝒔𝒊𝒏(𝝑𝟎)𝒄𝒐𝒔(𝝋𝟎)]𝒆𝒋𝒌𝟎(𝒍−𝟏)𝒅𝒚[𝒔𝒊𝒏(𝝑)𝒔𝒊𝒏(𝝋)−𝒔𝒊𝒏(𝝑𝟎)𝒔𝒊𝒏(𝝋𝟎)]𝑲𝒌=𝟏

(1.66)

38

Sistemele de antene fazate sunt cel mai des întâlnite în sistemele de radar

sofisticate folosite în strategia militară, în comunicaţii optice (ca şi separator de

lungime de undă).

1.7 ERORILE SISTEMELOR DE ANTENE

1.7.1 INTRODUCERE

O varietate de erori sunt introduse de-a lungul sistemelor de antene de către

imperfecţiunile elementelor şi de distribuţia reţelelor, aceste reducând precizia

excitaţiei sistemului de antene. O iluminare a unei sistem de antene, proiectat să

producă lobi laterali reduşi fără erori, poate da ca rezultat lobi laterali mai puţin

reduşi cu erori de fază şi amplitudine [RJM,05].

Vom încerca să analizăm aceste tipuri de erori în cele ce urmează.

Nivelul ridicat ai lobilor laterali şi scăderea directivităţii din cauza erorilor

aleatoare a sistemelor de antene a fost analizată de mulţi. În cele ce urmează vom

considera un sistem de antene cu o eroare de amplitudine δn şi o eroare de fază Φn

la componenta n.

Eroarea de amplitudine δn se identifica cu eroarea ce apare la componenta n

de forma (1+ δn)An, unde An este amplitudine corectă. Înţelesul erorii de fază Φn

este faptul că faza corectă la care trebuie ghidată fascicolul la un anumit unghi nu

este excitaţia corectă, ci de exp(j Φn) ori excitaţia corectă. Adiţional, sistemul de

antene are componente total nefuncţionale de-a lungul sistemului. Aceste sunt

plasate astfel încât dacă probabilitatea ca elementul n să fie funcţională (exceptând

erorile apriori menţionate) este P, atunci probabilitatea ca acel element să nu fie

funcţională este (1-P).

Astfel incluzând erorile de fază şi de amplitudine menţionate anterior vom

obţine următoarea expresie

𝑭(𝜽,𝝓) = ∑𝒑(𝒏)𝑨𝒏(𝟏 + 𝜹𝒏)𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒌(�̂� ∙ 𝒓 − �̂�𝟎 ∙ 𝒓𝒏, )]𝒆𝒙𝒑(𝒋𝜱𝒏) (1.67)

39

unde

�̂� = �̂�𝒖 + �̂�𝒗 + �̂�𝒄𝒐𝒔𝜽

�̂�𝟎 = �̂�𝒖𝟎 + �̂�𝒗𝟎 + �̂�𝒄𝒐𝒔𝜽𝟎 (1.68)

iar

𝒓 = �̂�𝒙 + �̂�𝒚 + �̂�𝒛

𝒓𝒏, = �̂�𝒙𝒏 + �̂�𝒚𝒏 (1.69)

În această reprezentare, factorul p(n) ţine cont de componentele

nefuncţionale având valoarea 1, p(n)=1, pentru probabilitatea P, şi 0, p(n)=0,

pentru probabilitatea (1-P).

Continuând această gândire, Skolnik, a presupus eroarea de Φn ca fiind

descrisă de o funcţie de densitate probabilistică Gaussiană. Pornind de la acest

lucru, el arată faptul că puterea medie este de forma

|𝑭(𝜽,𝝓)|𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑷𝟐𝒆𝒙𝒑(−𝜱𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ )|𝑭𝟎(𝜽,𝝓)|𝟐 + [(𝟏 + 𝜹𝟐̅̅ ̅)𝑷 −

𝑷𝟐𝒆𝒙𝒑(−𝜱𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ )] ∑𝑨𝒏𝟐 (1.70)

Această expresia arată că efectul unor erori aleatoare are ca rezultat o

expresie a radiaţiei egală cu expresia radiaţiei ideale redusă de către factorii

componentelor nefuncţionale şi erorile de fază.

Expresia anterioară se normalizează la un maxim

𝑷𝟐𝒆𝒙𝒑(−𝜱𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ )|𝑭𝟎(𝜽,𝝓)|𝒎𝒂𝒙 (1.71)

Ceea ce dă ca şi rezultat

|𝑭𝑵(𝜽,𝝓)|𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = |𝑭𝒐𝒏(𝜽,𝝓)|𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + [(𝟏 − 𝑷) + 𝜱𝟐̅̅ ̅̅ + 𝜹𝟐̅̅ ̅]𝟏

𝑷𝒈𝑨 (1.72)

unde

𝒈𝑨 = (∑𝑨𝒏)

𝟐

∑𝑨𝒏𝟐 = 𝑵𝝐𝑻 (1.73)

40

este directivitatea a expresiei ideale. Sub această formă, nivelul normalizat al

lobilor laterali şi marja de eroare sunt date de către expresiile:

𝝈𝟐̅̅ ̅ = 𝝐𝟐̅̅ ̅

𝑷𝒈𝑨 (1.74)

𝛜𝟐̅̅̅ = [(𝟏 − 𝐏) + 𝚽𝟐̅̅ ̅̅ + 𝛅𝟐̅̅ ̅] (1.75)

Fig.1.14. Erori fără componente nefuncţionale (P=1)

Nivelul mediu al lobilor laterali se mai numeşte şi nivelul rezidual al

lobilor laterali. Directivitatea ideală gA se înmulţeşte cu directivitatea

componentelor:

𝑫𝑨 = 𝒈𝒆𝒈𝑨 (1.76)

Ştiind ca ge la sistemele de antene bidimensionale este egal cu π,

multiplicând DA cu nivelul rezidual al lobilor laterali se obţine normalizarea acelui

nivel la nivelul radiaţiei izotropice [RJM,05].

41

În figura anterioară (Fig.1.14.) putem urmări pe verticală erorile de fază

(grade şi radiani), iar pe orizontală erorile de amplitudine, în schimb fără

componente nefuncţionale (P=1). În acest caz relaţia între nivelul lobilor laterali şi

nivelul izotropic este

𝝈𝒍𝟐̅̅ ̅ = 𝝈𝟐̅̅ ̅𝑫𝑨 = 𝒈𝒆�̅�

𝟐 = 𝒈𝒆(𝜱𝟐̅̅ ̅̅ + 𝜹𝟐̅̅ ̅) (1.77)

Pentru ambele erori (amplitudine şi fază) se poate scrie forma în decibeli:

𝜹𝒅𝑩 = 𝟐𝟎𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎(𝟏 + 𝜹) − 𝟖. 𝟖𝟔𝜹 (1.78)

𝜱𝜹(𝒅𝒆𝒈) = 𝟔. 𝟔𝜹𝒅𝑩 (1.79)

1.7.2 DIRECTIVITATEA

Reducerea directivităţii din cauza erorilor reziduale este dat de către

Skolnic în forma următoare

𝑫

𝑫𝟎=

𝑷

𝟏+𝜹𝟐̅̅̅̅ +𝜱𝟐̅̅ ̅̅ (1.80)

unde D0 este directivitatea sistemului de antene fără erori iar D este cea a

sistemului de antene cu erori.

1.7.3 EROAREA DE DIRECŢIONAREA FASCICOLULUI (BEAM POINTING)

Variaţia deviaţiilor de direcţionare este dat de următoarea expresie

𝜟𝟐̅̅̅̅ = 𝜱𝟐̅̅ ̅̅ ∑𝑰𝒊𝟐𝒙𝒊𝟐

(∑ 𝑰𝒊𝒙𝒊𝟐)𝟐 (1.81)

unde Ii este amplitudinea excitaţiei componentei i; xi este poziţia componentei

divizat de spaţiul inter-element, d; Φ2 este marja erorii de fază. Pentru un sistem de

antene cu N elemente cu o amplitudine uniformă (Ii=1),

𝜟𝟐̅̅̅̅ = 𝟏𝟐

𝑵𝟑𝜱𝟐̅̅ ̅̅ (1.82)

42

1.7.4 VALOAREA DE VÂRF A LOBILOR LATERALI

Este bine de ştiut valoare de vârf a lobilor laterali asociat la faze sau

amplitudini eronate [RJM,05]. Se poate arăta că la orice unghi, amplitudinea

F(θ,Φ) caracteristicii îndepărtate pentru un ansamblu de sisteme de antene este dat

de:

𝒑(𝑭) = 𝟐𝑭

𝝈𝟐̅̅̅̅𝑰𝟎

𝟐𝑭𝑭𝟎

𝝈𝟐̅̅̅̅𝒆𝒙𝒑 [−

𝑭𝟐+𝑭𝟎𝟐

𝝈𝟐̅̅̅̅] (1.83)

unde I0 este funcţia Bessel, F0 este nivelul caracteristicii ideale la un anumit unghi

iar F este valoarea caracteristicii ansamblului. În această expresie p(F) reprezintă

probabilitatea că la orice unghi intensitatea câmpului va fi între F şi F+.

În unele cazuri eroarea poate să fie mică, distribuţia devenind funcţia de

probabilitate Gaussiană. În schimb pentru erori mari, expresia de mai sus devine

funcţia de densitate Rayleigh

𝒑(𝑭) = 𝟐𝑭

𝝈𝟐̅̅̅̅𝒆𝒙𝒑 [−

𝑭𝟐

𝝈𝟐̅̅̅̅] (1.84)

Probabilitatea cumulativă este un parametru important ce exprimă

probabilitatea că intensitatea F, într-un anumit moment, să aibă o valoare mai mică

decât oricare valoare al lui S, sau că intensitatea F va depăşi valoarea lui S. Astfel

parametrii vor avea forma:

𝒑𝒓𝒐𝒃(𝑭 ≤ 𝑺) = ∫ 𝒑 (𝑭

𝝈)𝒅𝑭

𝑺

𝑭=𝟎

𝒑𝒓𝒐𝒃(𝑭 ≥ 𝑺) = ∫ 𝒑 (𝑭

𝝈)𝒅𝑭

∞

𝑺 (1.85)

Probabilitatea cumulativa se poate calcula la varianta când intensitatea

depăşeşte valoarea lui S, pentru erori mari, în felul următor

𝒑 = 𝒑𝒓𝒐𝒃(𝑭 ≥ 𝑺) ∫ 𝒑(𝑭)𝒅𝑭 = 𝒆𝒙𝒑∞

𝑺(−

𝑺𝟐

𝝈𝟐̅̅̅̅) (1.86)

Vom considera figura următoare, prin care vom vedea cercetările lui Hsiao.

El a arătat existenţa unui parametru

43

(𝜹𝟐̅̅̅̅ +𝜱𝟐̅̅ ̅̅ )

𝑬 (1.87)

unde

𝑬 = 𝟐𝑺𝒅(∑𝑨𝒎𝒏)

𝟐

∑𝑨𝒎𝒏𝟐 (1.88)

Hsiao a arătat că E se poate scrie în funcţie de factorul câştig al sistemului

de antene:

𝑬 = 𝟐𝑺𝒅𝒈𝑨 (1.89)

Fig.1.15.. Câştigul sistemului de antene

Folosind ordonata aceste figuri, se poate scrie

(𝜹𝟐̅̅̅̅ +𝜱𝟐̅̅ ̅̅ )

𝑬=

𝟏

𝟐

𝝈𝟐̅̅̅̅

𝑺𝒅 (1.90)

Folosind această figură se pot vedea, ca în orice punct din spaţiu, având

liniile de probabilitate, pentru un anumit nivel de lobi laterali se poate admite o

toleranta pentru lobii reziduali laterali, prin folosirea unei valori mai mari a raţiei

lob lateral dorit şi lob lateral proiectat.

44

1.8 CONCLUZII

Tehnologiile şi sistemele prezentate până acum stau la baza tehnicii de

procesare a semnalului numit beamforming. Această tehnică a adus multe

îmbunătăţiri în ceea ce privesc tehnologiile de astăzi folosite în radar, sonar,

astronomie sau telecomunicaţii, avantajele acestora fiind deosebit de importante.

În ceea ce privesc telecomunicaţiile, antenele adaptive reprezintă o metodă

deosebit de eficientă pentru a îmbunătăţi performantele sistemelor de comunicaţii

mobile, prin atenuarea interferentelor şi prin dirijarea lobului principal în direcţia

mobilului, fapt care conduce la creşterea capacităţii sistemului precum şi la

creşterea razei de acoperire a unei celule.

Pentru început aceste antene au fost introduse pentru sistemele UMTS şi

WiMAX, ambele sisteme având o puternică dependentă a capacităţii în funcţie de

zgomot şi interferentă. Antenele se impun în special pentru sistemele de bandă

largă care oferă mobilitate, cum este sistemul 802.16e (WiMAX). Viteza de dirijare

a lobului depinde doar de viteza de calcul a procesorului sistemului, la ora actuală

putându-se ajunge la dirijarea lobului pentru fiecare mobil din celulă în parte, adică

o anumită direcţie pentru fiecare simbol transmis.

Comparativ cu antenele uzuale omni-direcţionale şi sectorizate, sistemele de

antene aduc următoarele îmbunătăţiri:

• o arie mai mare de acoperire cu semnal

• o mai bună înlăturare a interferentei co-canal

• se diminuează interferenta datorată propagării pe căi multiple datorită

îmbunătăţirii direcţionalităţii

• creste gradul de reutilizare al frecventelor

• o mai bună localizare a utilizatorului pentru situaţii de urgentă

45

• creste debitul de date şi capacitatea întregului sistem

• reduce numărul de întreruperi ale convorbirilor

Sistemele de antene adaptive şi sistemele de antene fazate aduc o

îmbunătăţire a puterii recepţionate prin dezvoltarea unui câştig ridicat al semnalului

recepţionat. Astfel, sistemele de antene fazate utilizează mai multe elemente de

antenă care dezvoltă un fascicul de recepţie foarte îngust, în timp ce sistemele de

antene adaptive plasează un lob principal în direcţia de sosire a semnalului

recepţionat. Prin aceste procedee, sistemele de antene reduc interferenta şi

îmbunătăţesc recepţia cu diversitate.

46

CAPITOLUL 2

ALGORITMI DE ESTIMARE

2.1 DIRECŢIA DE SOSIRE

Nevoia pentru estimarea direcţiei de sosire (DOA), respectiv a frecvenţei la

sosire, apare în mai multe aplicaţii de inginerie, cum ar fi de exemplu:

• comunicaţii fără fir

• radar

• astronomie radio

• sonar

• urmărirea de obiecte

• dispozitive de asistenţă de urgenţă, salvare

• etc.

În versiunea sa modernă, estimarea DOA este de obicei studiată ca parte a

procesării sistemelor de antene. O mare parte din activitatea în acest domeniu, în

special în tentativele incipiente, s-a concentrat pe constatarea direcţiei radio, adică

estimarea direcţiei undelor electromagnetice la recepţia lor în una sau mai multe

antene.

47

Problema de estimare a direcţiei acustice a fost, de asemenea studiată

extensiv, mai ales în contextul cercetărilor făcute în domeniul sonar. De fapt, o

mare parte din dezvoltarea, a ceea ce acum se numeşte "tehnici de estimare DOA",

a fost făcută pentru aplicaţii din domeniul sonar, însemnând lăţime de bandă relativ

mică; astfel semnalele se puteau prelucra uşor utilizând algoritmii de prelucrare

raportat la puterea de procesare existente la acea vreme. Deoarece puterea de

procesare a continuat să crească, a devenit posibil să se aplice tehnici mai avansate

pentru comunicaţii de bandă largă şi semnale radar.

Cu toate că estimarea DOA este, în momentul de faţă, un câmp de

cercetare ce a ajuns la maturitate, cu o bază teoretică solidă şi un număr mare de

aplicaţii practice, este încă un domeniu în evoluţie şi, totodată, un domeniu foarte

activ de cercetare.

În aplicaţii de inginerie, în cazul în care o unda radio la intrare este

detectată şi/sau măsurată printr-un sistem de antene, semnale asociate la diferite

puncte în spaţiu pot fi prelucrate astfel încât să se poate extrage diferite tipuri de

informaţii, inclusiv direcţia lor de sosire (DOA). Algoritmii de estimare a DOA

sunt adesea folosite în comunicaţiile fără-fir pentru creşterea capacităţii reţelei.

2.2 ALGORITMI DE ESTIMARE

Metodele DOA pot fi folosite pentru a proiecta şi adapta directivitatea

antenelor din sistemul de antene aşa cum se arată în următoarea schemă.

48

Fig.2.1.Încadrarea algoritmilor DOA într-un sistem de recepţie

De exemplu, un sistem de antene poate fi proiectat pentru a detecta

numărul de semnale la recepţie şi să ţină cont doar de anumite semnale din anumite

direcţii de sosire, respingând semnale care sunt declarate ca fiind interferenţe.

Această estimare spatio-temporală şi capacitatea de filtrare pot fi exploatate

pentru multiplexarea utilizatorilor de pe aceeaşi canal şi respingerea interferenţelor

ce pot apărea din cauza efectelor de bruiaj sau efectelor de propagare pe căi

multiple (Fig2.2).

49

Fig.2.2. Filtrarea semnalelor la recepţie. De exemplu semnalul ce vine de Utilizatorul 2 poate fi

considerat ca fiind interferenţă, în cazul în care semnalul de la Utilizatorul 1 este cel dorit

Algoritmii DOA pot fi împărţiţi în trei categorii de bază:

• metodele clasice

• metodele de subspaţiu

• metodele de probabilitatea maximă (PM)

Metodele PM oferă performanţe ridicate, dar sunt costisitoare din punct de

vedere computaţional. Metodele de subspaţiu au, la fel, performanţe bune şi au mai

multe variante ce prezintă avantaje din punctul de vedere al eficienţei

50

computaţionale. Metodele clasice sunt conceptual simple, dar oferă performanţe

scăzute si, totodată, necesită un număr relativ mare de calcule.

În cele ce urmează vom discuta despre variante din categoria a doua, adică

despre metode de subspaţiu, şi anume despre familia de algoritmii ESPRIT.

2.3 FAMILIA ESPRIT. TIPURI ŞI PERFORMANTE

Algoritmul ESPRIT se bazează pe o analiză de subspaţiu folosit pentru

localizarea sursei sau estimarea de frecvenţă. Ideea de bază a acestui algoritm este

„divizarea” sistemului de antene (SA) în subsisteme de antene (SSA) echivalente

separate de un aşa numit deplasament [RTK,89].

În cele ce urmează se va prezenta algoritmul ESPRIT în contextul unui SA

liniar uniform cu N elemente. Numărul de elemente în SSA se va nota cu Ns.

Parametrul ds reprezintă acel deplasament şi trebuie înţeles ca şi distanţa între cele

2 SSA. Parametrul ds se exprimă în unităţi de distantă între elementele SA iar în

exemplele următoare vom considera că primul element al primului SSA este primul

element al SA original, iar primul element al celui de al doilea SSA este elementul

ds+1 al SA original [TBF,09].

SA:

• • • • • • • • • •

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Variante de „divizare” în acest caz, ar fi exemplele următoare:

Ex1. ds=1

- SSA a:

• • • • • • • • •

1 2 3 4 5 6 7 8 9

51

(matricea de selecţie fiind de forma Jsa = [I9×9 09×1])

- SSA b:

• • • • • • • • •

2 3 4 5 6 7 8 9 10

(matricea de selecţie fiind de forma Jsb = [09×1 I9×9])

Ex2. ds=3

- SSA a:

• • • • • • •

1 2 3 4 5 6 7

(matricea de selecţie fiind de forma Jsa = [I7×7 07×3])

- SSA b:

• • • • • • •

4 5 6 7 8 9 10

(matricea de selecţie fiind de forma Jsb = [07×3 I7×7])

In exemplele de mai sus am notat cu I matricea de identitate, iar cu 0

matricea de nul. Se vede că matricea de selecţie pentru cele două SSH se poate

scrie într-un mod generic ca şi:

Jsa = [INs×Ns 0Ns×ds] (2.1)

Jsb = [0Ns×ds INs×Ns] (2.2)

Dacă notăm cu V, matricea de diversitate a SA iar cu Vi matricea de

diversitate al SSA de ordinea i (in cazul nostru i=a,b) atunci vom putea scrie:

Va = JsaV şi Vb = JsbV (2.3)

Introducem matricea Φ care se exprima prin:

52

Ds

s

s

jd

jd

jd

e

e

e

00

000

00

00

2

1

(2.4)

Unde ψi reprezintă numărul de unde a celor D semnale în spaţiul ψ. Astfel

se poate scrie :

Vb = Va Φ. (2.5)

Ţinem cont de faptul că pentru un SA uniform linear se poate scrie :

𝝍 = 𝟐𝝅

𝝀𝒅𝒄𝒐𝒔𝜽 (2.6)

Dacă notam cu T o matrice DxD (nu unica), atunci putem scrie :

Us = V T (2.7)

Expresia de mai sus arată că vectorii proprii ai semnalului sunt combinaţii

lineare ale vectorilor de diversitate al SA a celor D surse.

Usa = JsaUs = JsaVT = VaT (2.8)

Usb = JsbUs = JsbVT = VbT (2.9)

Putem deduce faptul că relaţia Usa = VaT implica Va = UsaT−1, precum şi

faptul că relaţia Usb = VbT = VaΦT implică Usb = UsaT−1ΦT.

Definim Ψ=T−1ΦT, astfel vom putea exprima subspaţiul de semnal al

primului SSA în funcţie de subspaţiul de semnal al celui de al doilea SSA:

Usa = Ψ Usb (2.10)

Ţinem cont de faptul că Ns>D, astfel în practică, în loc de valorile teoretice

Usa şi Usb, va trebuie să folosim estimări ale acestora, prin urmare:

U’sa = Jsa U’s (2.11)

U’sb = Jsb U’s (2.12)

Astfel

53

U’saΨ’ = U’sb (2.13)

2.3.1 ESTIMAREA FRECVENŢEI ŞI A DIRECŢIEI DE SOSIRE FOLOSIND

METODA LS-ESPRIT

Metoda LS (Least Squares) minimizează diferenţa între U’saΨ’ şi U’sb

[RTK,89].

Ψ’= arg minΨ|| U’sb - U’saΨ||2F = arg minΨ tr{[U’sb - U’saΨ]H[U’sb -

U’saΨ]} (2.14)

astfel

Ψ’= [U’HsaU’sa]-1U’H

saU’sb (2.15)

Paşii de urmat în cadrul LS-ESPRIT sunt:

• descompunerea proprie pe matricea de covarianţă Cx pentru

a obţine U’s

• găsirea U’sa şi U’sb

• găsirea estimării LS pentru Ψ’LS=[U’HsaU’sa]-1U’H

saU’sb

• găsirea valorilor proprii Ψ’LS

• găsirea estimărilor în spaţiul ψ utilizând

ψ’i=(argλ’i)/ds , i=1,2,…D. (2.16)

…

Am realizat simulări repetate în dorinţa de a estima frecvenţa (normalizată)

a semnalului la sosire, rezultatele au fost notabile.

54

Fig.2.3. Rezultat al simulării LS-ESPRIT. Eşantionul roşu reprezintă valoarea frecvenţei

normalizate ale semnalului real, iar eşantionul albastru reprezintă valoarea frecvenţei normalizate

estimate (exemplu punctual)

Calculele le-am executat luând în considerare o distanţă între elementele

antenei de recepţie de λ/2, 8 elemente de antena, amplitudinea semnalului de 1, iar

semnalul recepţionat şi prelucrat a fost cu zgomot.

Rezultatele pe care le-am obţinut sunt însă foarte bune: cu o acurateţe de

0.63%, adică valoarea estimată este valoarea reală +/- 0.63%.

…

Executând simulări repetate în dorinţa de a estima direcţia de sosire

(unghiul de incidenţă) a semnalului, am obţinut rezultate notabile.

55

Fig.2.4. Rezultat al simulării LS-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale, iar

eşantioanele albastre reprezintă valorile estimate (exemplu punctual)


antenei de recepţie de λ/2, 8 elemente de antenă, amplitudinea semnalului de 1, cu

valoarea SNR=0. Simulările s-au executat cu două valori în paralel.

Rezultatele obţinute în urma simulărilor prezintă o acurateţe de 0.38%,

adică valoarea estimată este valoarea reală +/- 0.38%

2.3.2 ESTIMAREA FRECVENTEI ŞI A DIRECŢIEI DE SOSIRE FOLOSIND

METODA TLS-ESPRIT

Pentru că ambele estimări U’sa şi U’sb conţin erori, s-a sugerat (Golub şi

Van Loan) varianta TLS (Total Least Squares), susţinând faptul că aceste valori

sunt mai adecvate [SSV,01]. În acest caz:

Ψ’TLS=-V12V-122 (2.17)

56

Unde V12 şi V22 sunt descompuneri proprii ale matricei 2D x 2D.

În TLS pentru calcularea ψ’i se va folosi Ψ’TLS în ultimii paşii varianta LS-

ESPRIT, prezentată anterior.

…

Am realizat simulări repetate în dorinţa de a estima frecvenţa (normalizată)

a semnalului la sosire; rezultatele au fost notabile.

Fig.2.5. Rezultat al simulării TLS-ESPRIT. Eşantionul roşu reprezintă valoarea frecvenţei

normalizate ale semnalului real, iar eşantionul albastru reprezintă valoarea frecvenţei normalizate

estimate (exemplu punctual)


antenei de recepţie de λ/2, 8 elemente de antenă, amplitudinea semnalului de 1, iar

semnalul recepţionat şi prelucrat a fost cu zgomot.

Rezultatele pe care le-am obţinut cu TLS-ESPRIT sunt apropiate de cele

obţinute cu LS-ESPRIT, dar totuşi cu un procentaj mai favorabil: cu o acurateţe de


57

…

Executând simulări repetate din dorinţa de a estima direcţia de sosire

(unghiul de incidenţă) a semnalului am obţinut rezultatele notabile.

Fig.2.6. Rezultat al simulării TLS-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale, iar





Rezultatele pe care le-am obţinut în urma simulărilor prezintă o acurateţe de

0.38%, adică valoarea estimată este valoarea reală +/- 0.38%

2.3.3 ESTIMAREA DIRECŢIEI DE SOSIRE FOLOSIND METODA R-

ESPRIT

Algoritmul R-ESPRIT este considerată a fi din familia ESPRIT, fiind o

metodă de estimare a frecvenţelor sinusoidale cu valoare reală.

58

Aici vom considera varianta prezentată în [SSC,05] prezentând principalele

aspecte ale acestei metode.

Modelul semnalului

Semnalul de intrare constă dintr-un număr de r semnale sinusoidale afectate

de zgomot Gaussian:

𝒙(𝒕) = ∑ 𝒔𝒌𝒔𝒊𝒏(𝒕𝝎𝒌 +𝜱𝒌) + 𝒏(𝒕)𝒓

𝒌=𝟏 (2.18)

Unde sk este amplitudinea, ωk este frecvenţa unghiulară a sinusoidei k, iar

n(t) reprezintă zgomotul. Fazele {𝝓𝒌}𝒌=𝟏𝒓 sunt variabile distribuite uniform în

intervalul [-π, π].

Reprezentarea complexă a subspaţiului, dedicată sinusoidelor de valoare

reală, diferă de la modelul clasic (valoare complexă) de semnal. Trebuie sa obţinem

un segment de vector astfel încât partea fără zgomot să se afle într-un subspaţiu de

r. Pentru acest lucru, se introduc următorii vectori :

𝒙𝒄(𝒕) ≜ [𝒙(𝒕)… 𝒙(𝒕 + 𝒏 − 𝟏)]𝑻 (2.19)

𝒙𝒃(𝒕) ≜ [𝒙(𝒕 − 𝟏)… 𝒙(𝒕 − 𝒏)]𝑻 (2.20)

𝐱𝐫(𝐭) ≜𝟏

𝟐[𝐱𝐜(𝐭) + 𝐱𝐛(𝐭)]

𝐓 (2.21)

unde mărimea segmentului de vector este n>2r.

Din definiţiile de mai sus obţinem:

𝒙𝒓(𝒕) = 𝑨𝒓𝒔𝒓(𝒕) + 𝒏𝒓(𝒕) (2.22)

unde sr(t) este un vector de r x 1 dat de

𝒔𝒓(𝒕) = [𝒂𝟏𝐜𝐨𝐬 {𝝎𝟏𝒕 + 𝝓𝟏

+}⋮

𝒂𝒓𝐜𝐨𝐬 {𝝎𝒓𝒕 + 𝝓𝒓+}] (2.23)

unde 𝝓𝒌+ = 𝝓𝒌 −

𝟏

𝟐𝝎𝒌 pentru 𝟏 ≤ 𝒌 ≤ 𝒓

59

Ar este o matrice n x r, dată de

𝑨𝒓 =

[ 𝐜𝐨𝐬 (

𝝎𝟏

𝟐)

𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝝎𝟏

𝟐)

⋯…

𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒓

𝟐)

𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝝎𝒓

𝟐)

⋮ ⋱ ⋮

𝐜𝐨𝐬 {(𝒏 −𝟏

𝟐)𝝎𝟏} ⋯ 𝐜𝐨𝐬 {(𝒏 −

𝟏

𝟐)𝝎𝒓}]

(2.24)

Segmentul de vector de zgomot nr(t) în acest model modificat este dat de

𝐧𝐫(𝐭) =𝟏

𝟐{𝐧𝐜(𝐭) + 𝐧𝐛(𝐭)} (2.25)

unde

𝒏𝒄(𝒕) ≜ [𝒏(𝒕)… 𝒏(𝒕 + 𝒏 − 𝟏)]𝑻 (2.26)

𝐧𝐛(𝐭) ≜ [𝐧(𝐭 − 𝟏)… 𝐧(𝐭 − 𝐧)]𝐓 (2.27)

Se poate demonstra şi faptul ca Ar este o matrice de rang întreg. Important

este că partea fără zgomot a xr(t) se află într-un subspaţiu r-dimensional.

În continuare vom introduce

𝐏𝐫 ≜ 𝐄{𝐬𝐫(𝐭)𝐬𝐫𝐓(𝐭)} (2.28)

Vectorii de zgomot nc(t) şi nb(t) sunt aleatorii, independenţi de

𝑬{𝐧𝐫(𝐭)𝐧𝐫𝐓(𝐭)} = (

𝝈𝟐

𝟐) 𝑰𝒏 (2.29)

unde σ2 este divergentă zgomotului. Vom avea, deci

𝑹𝒓 ≜ 𝑬{𝐱𝐫(𝐭)𝐱𝐫𝐓(𝐭)} = 𝑨𝒓𝑷𝒓𝑨𝒓

𝑻 + (𝝈𝟐

𝟐) 𝑰𝒏 (2.30)

Putem deci considera descompunerea unică

𝑹𝒓 = 𝑺𝒓𝚲𝒓𝑺𝒓𝑻 + 𝑮𝒓𝚺𝒓𝑮𝒓

𝑻 (2.31)

unde Λr este o matrice de dimensiunea r x r conţinând valorile unice a Rr pe

diagonală. Matricea Sr de dimensiunea n x r este compus din valorile unice de

stânga. În aceeaşi perspectivă, Σr este o matrice diagonală, conţinând valorile unice

n - r rămase ale lui Rr. Matricea Gr, de dimensiunea n x (n - r), este compusă din

60

valorile unice corespondente de stânga. Coloanele lui Gr sunt ortogonale pe

coloanele Sr.

Se poate arăta astfel că

𝑺𝒓 = 𝑨𝒓𝐂𝒓 (2.32)

unde

𝑪𝒓 = 𝑷𝑨𝒓𝑻𝑺𝒓 {𝚲𝒓 −

𝝈𝟐

𝟐𝑰𝒏}

−𝟏

(2.33)

Coloanele lui Sr formează o bază ortonormată a spaţiului coloanelor lui Ar.

…

Ideea de bază este folosirea a două matrice de tipul Toeplitz, matrice (n-2) x

n, de forma:

𝐓𝐫(𝟏)= [

𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 … 𝟎⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮𝟎 … 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎

] (2.34)

𝐓𝐫(𝟐)=

𝟏

𝟐[

𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 ⋯ 𝟎𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 … 𝟎⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮𝟎 … 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏

] (2.35)

Ţinând cont de forma matricei Ar definit în (3.3.7), se poate scrie

𝐓𝐫(𝟐)𝐀𝐫 = 𝐓𝐫

(𝟏)𝐀𝐫𝐃𝐫 (2.36)

unde Dr este matricea diagonală definită ca şi:

𝐃𝐫 = 𝐝𝐢𝐚𝐠{𝐜𝐨𝐬(𝛚𝟏) , … , 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝐧)} (2.37)

Introducem matricea următoare:

𝛟𝐫 = 𝐂𝐫−𝟏𝐃𝐫𝐂𝐫 (2.38)

Astfel algoritmul se poate formula în paşii următori:

61

• Estimarea valorii �̂�𝒓 din datele de intrare

• Aceasta estimare se va folosi la calculul valorii lui �̂�𝒓

�̂�𝐫 = (𝐓𝐫(𝟏)�̂�𝐫)

−𝟏𝐓𝐫(𝟐)�̂�𝐫 (2.39)

• Descompunerea unică a �̂�𝒓 ne va duce la valoarea lui �̂�𝒓

• Având valoarea lui �̂�𝒓, valorile frecvenţelor se pot deduce

uşor din:

𝛚𝐤 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏{�̂�𝐫(𝐤, 𝐤)} k=1,…,r (2.40)

Acesta ne va furniza estimatele frecvenţelor. Dimensionarea subspaţiului de

semnal este redus la r de la 2r (de exemplu, în metoda ESPRIT, tradiţională, pentru

r sinusoide de valori reale )

…

Am executat simulări repetate în dorinţa de a estima direcţia de sosire

(unghiul de incidenţă) a semnalului cu rezultat notabile.

Fig.2.7. Rezultat al simulării R-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale, iar


62






2.3.4 ESTIMAREA DIRECŢIEI DE SOSIRE FOLOSIND METODA RB-

ESPRIT

Se consideră un mediu MIMO cu M surse de transmisie şi N antene de

recepţie [FND,08], cu menţiunea ca N > M. În plus, considerăm şi faptul că

transmisiile se fac în prezenţa zgomotului alb Gaussian, având divergenţa

zgomotului 𝝈𝑵𝟐 . Sistemul de antene, la recepţie, este uniform. La momentul t antena

m (𝟎 ≤ 𝒎 ≤ (𝑴− 𝟏)) transmite un semnal 𝒔𝒎(𝒕), şi se recepţionează un semnal

𝒙𝒊(𝒕) de câtre elementul i (𝟎 ≤ 𝒊 ≤ (𝑵 − 𝟏)). Semnalul este recepţionat la unghiul

𝜽𝒎, câştigul antenei fiind, pentru acest unghi, de valoarea 𝒂𝒊(𝜽𝒎).

Dacă 𝒏𝒙,𝒊(𝒕) reprezintă componenta de zgomot recepţionat de antena i,

descrierea semnalului se poate face în felul următor:

𝒙𝒊(𝒕) = ∑ 𝒔𝒎(𝒕)𝒂𝒊(𝝓𝒎) + 𝒏𝒙,𝒊(𝒕)𝑴−𝟏

𝒎=𝟎 (2.41)

Definind următorii vectori auxiliari şi matrice în domeniul de timp discret k

𝒙(𝒌) = [𝒙𝟎(𝒕) 𝒙𝟏(𝒕) … 𝒙𝑵−𝟏(𝒌)]𝑻 (2.42)

𝒏𝒙(𝒌) = [𝒏𝒙,𝟎(𝒌) 𝒏𝒙,𝟏(𝒌) … 𝒏𝒙,𝑵−𝟏(𝒌)]𝑻 (2.43)

𝒔(𝒌) = [𝒔𝟎(𝒕) 𝒔𝟏(𝒕) … 𝒔𝑴−𝟏(𝒌)]𝑻 (2.44)

63

𝐀 = [

𝐚𝟎(𝛟𝟎)

𝐚𝟏(𝛟𝟎)𝐚𝟎(𝛟𝟏)

𝐚𝟏(𝛟𝟏)

……

𝐚𝟎(𝛟𝐌−𝟏)

𝐚𝟏(𝛟𝐌−𝟏)⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝐚𝐍−𝟏(𝛟𝟎) 𝐚𝐍−𝟏(𝛟𝟎) ⋯ 𝐚𝐍−𝟏(𝛟𝐌−𝟏)

] (2.45)

Putem rescrie ecuaţia (3.32) în felul următor

𝒙(𝒌) = 𝑨𝒔(𝒌) + 𝒏𝒙(𝒌) (2.46)

Considerăm cele două matrice de selecţie J1 şi J2

𝑱𝟏 = [𝑰{𝑲𝒙𝑲} 𝟎{𝑲𝒙(𝑵−𝑲)}] (2.47)

𝑱𝟐 = [𝟎{𝑲𝒙(𝑵−𝑲)} 𝑰{𝑲𝒙𝑲}] (2.48)

Astfel încât se poate scrie

𝑱𝟏𝑱𝟏𝑯 = 𝑱𝟐𝑱𝟐

𝑯 = 𝑰 (2.49)

Unde I este o sub-matrice de identitate iar 0 este o sub-matrice de nul.

Dacă se consideră δ ca fiind deplasamentul constant dintre elementele

adiacente de antenă, iar matricea A are o structură Van der Monde, dă ca şi rezultat

𝑱𝟏𝑨 = 𝑱𝟐𝑨𝝓𝑯 (2.50)

În care Φ se defineşte ca fiind

𝝓 = 𝒅𝒊𝒂𝒈 [𝒆𝒋𝝎𝜹

𝒄𝒔𝒊𝒏 (𝜽𝟎), 𝒆

𝒋𝝎𝜹

𝒄𝒔𝒊𝒏 (𝜽𝟏), … , 𝒆

𝒋𝝎𝜹

𝒄𝒔𝒊𝒏 (𝜽𝑴−𝟏) ] (2.51)

Unde ω este frecvenţa semnalului şi c este viteza luminii.

În această variantă, „beamspace”, vectorul x(k) este procesat de către

transformarea ortogonală Ti, de dimensiunea N x L, unde L<N. considerând că

zgomotul nu este corelat cu sursele, modelul de covarianţă pentru sistem este

𝑹𝒙 = 𝑻𝒊𝑯𝑨𝑹𝒔𝑨

𝑯𝑻𝒊 + 𝝈𝑵𝟐 𝑰 (2.52)

Unde Rx şi Rs reprezintă matricele de auto-corelaţie a semnalelor

recepţionate şi transmise.

Pentru ca metoda „beamspace” să funcţioneze, TiA trebuie să dispună de

proprietatea de invarianţă al lui A. Dacă este satisfăcută relaţia

64

𝑱𝟏𝑻𝒊 = 𝑱𝟐𝑻𝒊𝑭 (2.53)

Unde F este o matrice de rang întreg L x L, atunci transformata Ti se poate

aplica ecuaţiei (3.36).

Se notează ti , pentru 𝟎 ≤ 𝒊 ≤ (𝑵 − 𝟏)), coloana i din 𝑻𝒊𝑯. Dacă matricea Q

există în forma

{𝑸𝑭𝑯𝒕𝒊 = 𝟎, 𝟎 ≤ 𝒊 < 𝑁 − 𝐾𝑸𝒕𝒊 = 𝟎, 𝐾 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁

(2.54)

Se pot scrie, folosind ecuaţiile (2.50) şi (2.53) şi proprietăţile matricelor de

selecţie,

𝑸𝑻𝒊𝑯𝑨 = 𝑸𝑻𝒊

𝑯𝑱𝟏𝑯𝑱𝟏𝑨 = 𝑸𝑻𝒊

𝑯𝑱𝟏𝑯𝑱𝟐𝑨𝝓

𝑯 =

= 𝑸𝑭𝑯𝑻𝒊𝑯𝑱𝟐

𝑯𝑱𝟐𝑨𝝓𝑯 = 𝑸𝑭𝑯𝑻𝒊

𝑯𝑨𝝓𝑯 (2.55)

Efectuând o decompoziţie pe Rx, vom avea vectorii proprii, aparţinând

subspaţiului de semnal, grupaţi în matricea Es. Astfel o nouă ecuaţie de invarianţă

se poate scrie din ecuaţia anterioară

𝑸𝑻𝒊𝑯𝑬𝒔 = 𝑸𝑭

𝑯𝑻𝒊𝑯𝑬𝒔𝝓

𝑯 (2.56)

Ce se poate rezolva într-o manieră TLS, definind

[𝑬𝟏 𝑬𝟐] = [𝑸𝑻𝒊𝑯𝑬𝒔 𝑸𝑭𝑯𝑻𝒊

𝑯𝑬𝒔] (2.57)

Si calculând decompoziţiile

[𝑬𝟏𝑯

𝑬𝟐𝑯] [𝑬𝟏 𝑬𝟐] = 𝑬𝜦𝑬

𝑯 (2.58)

Matricea E se poate scrie în felul următor,

𝑬 = [𝑬𝟏𝟏 𝑬𝟏𝟐𝑬𝟐𝟏 𝑬𝟐𝟐

] (2.59)

Ţinând cont de ecuaţia anterioară, matricea Φ este calculată cu ajutorul

ecuaţiei următoare

𝜳 = −𝑬𝟏𝟐𝑬𝟐𝟐−𝟏 (2.60)

65

…

Am realizat simulări repetate în dorinţa de a estima direcţia de sosire

(unghiul de incidenţă) a semnalului cu rezultate notabile.

Fig.2.8. Rezultat al simulării RB-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale, iar







2.3.5 ESTIMAREA DIRECŢIEI DE SOSIRE FOLOSIND METODA TAM

Metoda TAM (Toeplitz Approximation Method) a fost iniţial concepută

pentru analiza de armonici. Cu toate acestea, ea poate fi uşor transpusă în estimarea

66

DOA, cu condiţia ca antenele să fie identice, omnidirecţionale şi cu distanţe egale

între ele [SyM,88].

Să presupunem că m semnale sunt recepţionate de un sistem de antene cu N

elemente. Pentru segmentul k, vectorul de observaţie este dată de:

𝒁𝒌𝑻 = [∑ 𝒑𝒊

(𝒌)𝒎𝒊=𝟏 , ∑ 𝒑𝒊

(𝒌)𝒆𝒋𝝎𝒊𝒎

𝒊=𝟏 , … , ∑ 𝒑𝒊(𝒌)𝒆𝒋(𝑵−𝟏)𝝎𝒊𝒎

𝒊=𝟏 ] + 𝑵𝒌𝑻 (2.61)

Dacă undele au frecvenţa f, atunci 𝝎𝒊 = 𝟐𝝅𝒅𝒇 𝐬𝐢𝐧(𝜽𝒊) /𝒄 , unde c este

viteza de propagare, d este distanţa între elemente, iar 𝜽𝒊 este unghiul de incidenţă

a undei i. Nk este complex, vector circular gaussian, cu elemente independente de

divergenţă σ2. Amplitudinile undelor au fost notate cu 𝒑𝒊(𝒌) (aleatorii).

Dacă notăm paranteza […] cu 𝒛𝒌𝑻, vom putea scrie

𝒁𝒌𝑻 = 𝒛𝒌

𝑻 +𝑵𝒌𝑻 (2.62)

Fie RZZ matricea de covarianţa de observaţie:

𝑹𝒁𝒁 = 𝑬[𝒁𝒌𝒁𝒌+] = 𝑬[𝒛𝒌𝒛𝒌

+] + 𝝈𝟐𝑰𝑵 = 𝑹𝒛𝒛 + 𝝈𝟐𝑰𝑵 (2.63)

SN este matricea de dimensiunea N x m, Van der Monde, asociată

senzorilor:

𝑺𝑵 = [

𝟏𝒆𝒋𝝎𝟏

……

𝟏𝒆𝒋𝝎𝒎

⋮ ⋱ ⋮𝒆𝒋(𝑵−𝟏)𝝎𝟏 ⋯ 𝒆𝒋(𝑵−𝟏)𝝎𝒎

] (2.64)

Avem 𝒛𝒌 = 𝑺𝑵𝒂𝒌 unde 𝒂𝒌 = [𝒑𝟏(𝒌), … , 𝒑𝒎

(𝒌)]𝑻

. Astfel 𝑹𝒛𝒛 = 𝑺𝑵𝑨𝑺𝑵+ unde

A este amplitudinea matricei de covarianţă şi este de rang întreg. Astfel rangul lui

Rzz este m iar gama este identică cu cea al lui SN. Considerăm 𝑼𝚺𝑼+ ca

decompoziţia lui Rzz, unde U şi 𝜮 sunt matrice N x N. Pentru că Rzz este de rangul

m, putem scrie 𝑹𝒛𝒛 = 𝑼𝑺𝚺𝑺𝑼𝑺+. 𝜮𝑺 ș𝒊 𝜮 sunt reduse la dimensiunea m x m.

Continuând acest fir logic, ajungem la concluzia ca SN şi US sunt aproape

egale:

67

𝑺𝑵 = 𝑼𝑺𝑷 (2.65)

Vom ajunge la o ecuaţie generică:

[


……


⋮ ⋱ ⋮𝒆𝒋(𝑵−𝟐)𝝎𝟏 ⋯ 𝒆𝒋(𝑵−𝟐)𝝎𝒎

] [

𝒆𝒋𝝎𝟏

𝟎𝟎…

𝟎𝟎

⋮ ⋱ ⋮𝟎 ⋯ 𝒆𝒋𝝎𝒎

] =

= [

𝒆𝒋𝝎𝟏

𝒆𝒋𝟐𝝎𝟏

……

𝒆𝒋𝝎𝒎

𝒆𝒋𝟐𝝎𝒎⋮ ⋱ ⋮

𝒆𝒋(𝑵−𝟏)𝝎𝟏 ⋯ 𝒆𝒋(𝑵−𝟏)𝝎𝒎

] (2.66)

Efectuăm următoarele notari:

𝑺 ↓= [


……


⋮ ⋱ ⋮𝒆𝒋(𝑵−𝟐)𝝎𝟏 ⋯ 𝒆𝒋(𝑵−𝟐)𝝎𝒎

] (2.67)

𝑫 = [

𝒆𝒋𝝎𝟏

𝟎𝟎…

𝟎𝟎

⋮ ⋱ ⋮𝟎 ⋯ 𝒆𝒋𝝎𝒎

] (2.68)

𝑺 ↑= [

𝒆𝒋𝝎𝟏

𝒆𝒋𝟐𝝎𝟏

……

𝒆𝒋𝝎𝒎

𝒆𝒋𝟐𝝎𝒎⋮ ⋱ ⋮

𝒆𝒋(𝑵−𝟏)𝝎𝟏 ⋯ 𝒆𝒋(𝑵−𝟏)𝝎𝒎

] (2.69)

𝑺 ↓ respectiv 𝑺 ↑ se obţin din SN eliminând ultima respectiv prima linie. Cu

toate acestea, ecuaţia (3.5.5) rămâne valabilă, astfel se poate scrie:

𝑺 ↓= 𝑼𝑺 ↓ 𝑷 (2.70)

𝑺 ↑= 𝑼𝑺 ↑ 𝑷 (2.71)

Ţinând cont de ecuaţia (2.66) şi cele menţionate mai sus putem scrie:

𝑼𝑺 ↓ (𝑷𝑫𝑷−𝟏) = 𝑼𝑺 ↑ (2.72)

Valorile proprii ale 𝑷𝑫𝑷−𝟏 sunt valorile 𝒆𝒋𝝎𝟏. Astfel 𝑭 = 𝑷𝑫𝑷−𝟏.

Dacă se cunoaşte doar o singură estimată al lui RZZ, pentru F vom

considera cele mai mici rădăcini pătrate ale ecuaţiei

68

𝑼𝑺 ↓ 𝑭 = 𝑼𝑺 ↑ (2.73)

Iar valorile proprii vor fi estimări ale {𝒆𝒋𝝎𝟏 , … , 𝒆𝒋𝝎𝒎}

…

Executând simulări repetate în dorinţa de a estima direcţia de sosire

(unghiul de incidenţă) a semnalului am obţinut rezultate notabile.

Fig.2.9. Rezultat al simulării TAM. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale, iar eşantioanele

albastre reprezintă valorile estimate (exemplu punctual)




Rezultatele pe care le-am obţinut cu TAM sunt apropiate cu cele obţinute cu

R-ESPRIT, dar totuşi cu o mică diferenţă: rezultatele obţinute în urma simulărilor

prezintă o acurateţe de 0.39%, adică valoarea estimată este valoarea reală +/-

0.39%

69

2.3.6 ESTIMAREA DIRECŢIEI DE SOSIRE FOLOSIND METODA URV

ESPRIT

G.W. Stewart a introdus această nouă abordare, utilizând decompoziţii

URV (decompoziţie de matrice ce produce subspaţii de semnal şi de zgomot)

[LOS,94]. Acest lucru permite aplicaţii în timp real, asta în cazul în care

decompoziţia URV se poate substitui cu succes (această metodă a fost aplicată şi la

MUSIC pentru accelerarea algoritmului).

Decompoziţia URV se regăseşte în valoarea lui XH în forma:

𝑿𝑯 = 𝑼𝑹𝑽𝑯 = 𝑼(𝑹 𝑭𝟎 𝑮

)𝑽𝑯 (2.74)

Unde coloanele U şi V sunt ortonormate, R şi G sunt superior triangulare de

ordin d şi m-d, iar F şi G sunt de normă mica. Aceasta descompunere arată că X se

încadrează în √‖𝑭‖𝟐 + ‖𝑮‖𝟐 a matricei X de rang d obţinute prin setarea valorilor

lui F şi G din (2.74) la zero. Coloanele lui X sunt calibrate prin primele d coloane

ale lui V, şi acele coloane sunt, prin urmare, folosite ca şi bază pentru algoritmul

ESPRIT.

Matricea U nu este necesară şi nu este stocată sau actualizată.

În acelaşi mod, descompunerea URV a matricei (V1 V2) poate fi folosit

pentru a determina matricele W1 şi W2 al algoritmului ESPRIT.

Algoritmul rezultat este algoritmul URV ESPRIT.

Descompunerea URV poate fi actualizată în O(m2) timp (şi în O(m) timp pe un

sistem de antene liniar cu m elemente). Procedura de actualizare este alcătuită din

două părţi: un pas de încorporare şi un pas deflaţie. Partea de incorporare este

analoagă cu actualizarea standard a descompunerii QR; cu toate acestea doar prima

coloana a lui F şi G creşte în normă.

Aceasta corespunde faptului că adăugarea unui rând într-o matrice poate

creşte rangul acestuia cu cel puţin 1.

70

După actualizare, un estimator de condiţie este folosit pentru a testa

degenerarea în rang al lui R, iar pasul de deflaţie reduce norma ultimei coloane al

lui R. Dacă o degenerare este detectată, un pas de „reglaj fin” se aplică pentru a

aduce mai aproape descompunere de formă diagonală.

Toate transformările sunt realizate prin rotaţii de plan.

Determinarea rangului, cantitatea ||G|| este analogul lui √𝜹𝒅+𝟏𝟐 + …+ 𝜹𝒎𝟐

pentru SVD. În consecinţă, încercăm să alegem o valoare pentru d astfel încât

‖𝑮‖ ≤ 𝝍𝒅𝝈√𝒏(𝒎− 𝒅) (2.75)

pentru varianta dreptunghiulară şi

‖𝑮‖ ≤ 𝝍𝒅𝝈√𝒎−𝒅

𝟏−𝝁𝟐 (2.76)

pentru varianta exponenţială.

Cu toate acestea, în timpul etapei de încorporare o decizie trebuie făcută

pentru a stabili dacă G a crescut în normă datorită unei creşteri în rang. Aici vom

folosi acelaşi criteriu, dar cu un factor Ψu diferit, înlocuind pe Ψd.

Odată cu creşterea lui Ψu, subspaţiul de semnal se schimbă mai rar.

Astfel, Ψu poate fi văzut ca un factor care controlează precizia subspaţiului

de semnal aproximat.

…

Simulările executate în vederea determinării, a direcţiei de sosire (unghi de

sosire), au avut ca şi rezultate valori foarte apropiate de cele reale.

Ex1. Pentru 8 elemente de antenă, cu 2 surse statice de semnal, rezultatele

arată în felul următor:

71

Fig.2.10. Rezultat al simulării URV-ESPRIT. Unghiuri de sosire reale şi estimate, 8 elemente de

antenă


antenei de recepţie de λ/2, amplitudinea semnalului de 1, iar semnalul recepţionat

şi prelucrat a fost cu zgomot.

Se poate observa faptul că valorile sunt identice.

Ex2. Pentru 16 elemente de antena, cu 4 surse statice de semnal, rezultatele


72

Fig.2.11. Rezultat al simulării URV-ESPRIT. Unghiuri de sosire reale şi estimate, 16 elemente

de antena, 4 surse, static


antenei de recepţie de λ/2, amplitudinea semnalului de 1, iar semnalul recepţionat

şi prelucrat a fost cu zgomot.

Se poate observa faptul că valorile sunt identice.

În cazul în care numărul elementelor de antenă este redus la 8,

acurateţea algoritmului este mult scăzută, putând estima corect maxim o sursă,

celelalte 3 nefiind identificate corect.

73

2.4 ANALIZA REZULTATELOR. SIMULARE COMPARATIVĂ A

ALGORITMILOR PREZENTAŢI

În acest capitol, pentru a evidenţia performanţele metodelor de estimare a

direcţiei de sosire a semnalelor, am comparat metodele prezentate în capitolul

anterior.

În prezentarea simulărilor din capitolul precedent, la fiecare metodă am

folosit un sir liniar de antene, cu 8 elemente distanţate egal între ele cu λ/2;

semnalul recepţionat a fost afectat de zgomot şi considerat de amplitudine 1. Toate

sursele le-am considerate statice, în afară de varianta URV-ESPRIT, unde am

prezentat un caz cu o sursă dinamică. Având în vedere că pentru această metodă,

considerând aceeaşi parametrii de plecare, şi pentru două surse, am obţinut valori

estimate identice cu cele reale, aceasta metodă nu va fi inclusă în comparaţiile

următoare ci va fi comentată separat.

Astfel primul caz va conţine o comparaţie a rezultatelor obţinute la primele

cinci metode prezentate în capitolul anterior, urmând ca în cazurile următoare să

modificăm parametrii de plecare, analiza reluându-se cu aceste valori noi.

Cazul 1

Valori de plecare: sir liniar de antene, cu 8 elemente distanţate egal între ele

cu λ/2; valoarea SNR=0, amplitudinea semnalului 1, iar sursa este statică.

După cum se va observa, în afara de RB-ESPRIT, toate celelalte se

grupează, aproximativ, în jurul aceleiaşi erori, astfel se poate spune pentru valorile

de intrare menţionate, sunt aproximativ de aceeaşi precizie.

Am rulat simulări repetate (300) pentru fiecare algoritm iar rezultatele arată

în felul următor:

74

Algoritm Distanţa

între elemente

SNR Valori

unghiuri reale

Eroarea de

estimare

LS-ESPRIT

λ/2 0 45 şi 60

+/- 0,38

TLS-ESPRIT +/- 0,38

TAM +/- 0,39

R-ESPRIT +/- 0,37

RB-ESPRIT +/- 0,43

Tab.2.1. Rezultatele algoritmilor: 8 elemente de antenă (λ/2), SNR=0, amplitudinea semnalului

1, sursa statică

Ca să avem o idee mai clară, următoarele figuri reprezintă grafic aceste

simulări pentru fiecare dintre algoritmii prezentaţi. Pentru simplitate am reprezentat

doar simulările unghiului de sosire 60˚ (cele pentru 45˚ sunt relativ similare).

LS-ESPRIT

Fig.2.12. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (SNR=0).

Se poate observa că, deşi există câteva excepţii, majoritatea estimărilor se

grupează în jurul valorii de 60˚, permiţând astfel o eroare relativ bună de +/- 0,38.

75

TLS- ESPRIT

Fig.2.13. Rezultat al simulării repetate T LS-ESPRIT (SNR=0).

Cu mici excepţii, majoritatea estimărilor se grupează în jurul valorii de 60˚.

TAM

Fig.2.14. Rezultat al simulării repetate TAM (SNR=0).


76

R-ESPRIT

Fig.2.15. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (SNR=0).


RB-ESPRIT

Fig.2.16. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (SNR=0).

In acest caz, se poate observa acea mică discrepanţă faţă de algoritmii

anteriori, justificat la o eroare de +/- 0,43.

77

Cazul 2


cu λ/2; valoarea SNR= -10, amplitudinea semnalului 1, iar sursa este statică, la 60˚.

Am rulat simulări repetate (300) pentru fiecare algoritm iar rezultatele arată în felul

următor:

LS-ESPRIT

Fig.2.17. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (SNR=-10).

Se poate observa că există câteva excepţii, dar totuşi majoritatea estimărilor

se grupează în jurul valorii de 60˚, permiţând astfel o eroare relativ bună,

considerând valoarea SNR de -10. Diferenţa între precizia la valoarea SNR=0 şi

cea prezentată în cazul de faţă este totuşi notabilă: +/- 1,85.

78

TLS- ESPRIT

Fig.2.18. Rezultat al simulării repetate T LS-ESPRIT (SNR=-10).

Diferenţa între precizia la valoarea SNR=0 este totuşi relevantă: +/- 1,73.

TAM

Fig.2.19. Rezultat al simulării repetate TAM (SNR=-10).

Diferenţa între precizia la valoarea SNR=0 este totuşi observabilă: +/- 1,73.

79

R-ESPRIT

Fig.2.20. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (SNR=-10).

Diferenţa între precizia la valoarea SNR=0 este totuşi notabilă: +/- 1,50.

RB-ESPRIT

Fig.2.21. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (SNR=-10).

80

Ca şi în cazul SNR=0, se poate observa acea mică discrepanţă faţă de

algoritmii anteriori. Diferenţa între precizia celorlalte metode la aceasta valoare a

SNR-ului este relevantă, chiar şi comparativ cu precizia acestei metode la SNR=0:

+/- 4,07.

…

Ca şi concluzie, se poate afirma că metoda R-ESPRIT prezintă cele mai

bune estimări ale unghiului de incidenţă - la valori ale lui SNR scăzute; metodele

TLS-ESPRIT şi TAM sunt cu valori acceptabile, comparativ cu metoda R-ESPRIT.

Cele ce prezintă acurateţea cea mai scăzuta sunt LS-ESPRIT (care prezintă o eroare

mai ridicată decât, TLS, R şi TAM) şi RB-ESPRIT care prezintă rezultatele cele

mai scăzute la precizia estimării unghiului de incidenţă a semnalului recepţionat.

Algoritm Distanţa

între elemente

SNR Valori

unghiuri reale

Eroarea de

estimare

Înrăutăţirea estimării faţă de varianta SNR=0

LS-ESPRIT

λ/2 -10 60

+/- 1,85 79,46%

TLS-ESPRIT +/- 1,73 78,04%

TAM +/- 1,73 77,46%

R-ESPRIT +/- 1,5 75,34%

RB-ESPRIT +/- 4,07 89,44%

Tab.2.2. Rezultatele algoritmilor: 8 elemente de antenă (λ/2), SNR=-10, amplitudinea

semnalului 1, sursa statică

Cazul 3


cu λ/2; valoarea SNR= 10, amplitudinea semnalului 1, iar sursa este statică, la 60˚.

Rulând simulări repetate (300) pentru fiecare algoritm, rezultatele arată în felul

următor:

81

LS-ESPRIT

Fig.2.22. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (SNR=10).

Valoarea erorii este foarte bună: +/- 0,13.

TLS- ESPRIT

Fig.2.23. Rezultat al simulării repetate T LS-ESPRIT (SNR=10).

Valoarea erorii este foarte bună: +/- 0,15.

82

TAM

Fig.2.24. Rezultat al simulării repetate TAM (SNR=10).

Îmbunătăţirea semnificativă se poate observa şi în acest caz: +/- 0,10.

R-ESPRIT

Fig.2.25. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (SNR=10).

Îmbunătăţirea semnificativă se poate observa şi în acest caz: +/- 0,08.

83

RB-ESPRIT

Fig.2.26. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (SNR=10).

Îmbunătăţirea cea mai semnificativă se poate observa în cazul modelului

RB-ESPRIT. Comparativ cu varianta în care SNR=0, estimarea oferită de către

RB-ESPRIT are o eroare de +/- 0,08.

…

Ca şi concluzie, se poate spune că metoda R-ESPRIT şi RB-ESPRIT

prezintă cele mai bune estimări ale unghiului de incidenţă, rezultate la valori ale lui

SNR ridicate; metodele LS-ESPRIT, TLS-ESPRIT şi TAM au, la fel, valori bune.

De menţionat este faptul ca RB-ESPRIT prezintă cea mai bună îmbunătăţire

faţă de cazul SNR=0, şi oferă chiar estimări mai bune decât R-ESPRIT cu câteva

procente.

Valorile propriu zise se pot vedea în următorul tabel:

84

Algoritm Distanţa

între elemente

SNR Valori

unghiuri reale

Eroarea de

estimare

Îmbunătăţirea estimării faţă de varianta

SNR=0

LS-ESPRIT

λ/2 10 60

+/- 0,13 65,79%

TLS-ESPRIT +/- 0,15 60,53%

TAM +/- 0,10 74,36%

R-ESPRIT +/- 0,08 78,38%

RB-ESPRIT +/- 0,08 81,4%

Tab.2.3. Rezultatele algoritmilor: 8 elemente de antena (λ/2), SNR=10, amplitudinea

semnalului 1, sursa statica

Statistică:

Precizia în mai multe situaţii de SNR, este prezentată în graficul următor:

Fig.2.27. Rezultat al simulării repetate pentru valori diferită ale SNR = [-10,10], unghi de

incidenţă 60˚

85

Cazul 4

În acest caz vom analiza răspunsul modelelor la unghiuri de incidenţă foarte

mici. Am executat simulări la metodele prezentate până acum în diferite situaţii de

SNR, iar unghiul considerat este 15˚; restul valorilor rămân la fel: sir liniar de

antene, cu 8 elemente distanţate egal între ele cu λ/2; amplitudinea semnalului 1,

iar sursa este statică. Am rulat simulări repetate (300) pentru fiecare algoritm iar

rezultatele arată în felul următor:

Fig.2.28. Rezultat al simulării repetate pentru valori diferite ale SNR = [-10,10], unghi de

incidenţă 15˚

Se poate observa faptul că, deşi tendinţa fiecărei metode la diferite valori

ale SNR-ului este aproape identică atât în situaţia unghiurilor mai mari cât şi în

acelora mai mici (in cazul de faţă 15˚), precizia (valorile erorilor), mai ales la SNR

de valori scăzute, este mult mai bună.

86

Cazul 5

În acest caz am analizat răspunsul modelelor în cazul în care numărul

elementelor de antena creşte la dublul valorii de până acum utilizată, adică de la 8

la 16; restul valorilor rămân la fel: sir liniar de antene, elemente distanţate egal

între ele cu λ/2; amplitudinea semnalului 1, iar sursa este statică, la un unghiul

considerat la 60˚. Rulând simulări repetate (300) pentru fiecare algoritm rezultatele


Algoritm Distanţa

între elemente

SNR Valori

unghiuri reale

Eroarea de

estimare

Îmbunătăţirea estimării faţă de varianta cu 8 elemente de

antenă

LS-ESPRIT

λ/2 0 45 şi 60

+/- 0,31 18,42%

TLS-ESPRIT +/- 0,32 15,78%

TAM +/- 0,1 74,35%

R-ESPRIT +/- 0,09 75,67%

RB-ESPRIT +/- 0,12 72,09%

Tab.2.4. Rezultatele algoritmilor: 16 elemente de antena (λ/2), SNR=0, amplitudinea

semnalului 1, sursa statică

O îmbunătăţire se observă la toate variantele, dar mai ales pentru ultimele 3

variante în care rezultatele sunt comparabile cu cele obţinute pentru cazul de SNR

foarte bun.

Cazul 6 – URV-ESPRIT

În acest caz voi prezenta separat algoritmul URV, care din punct de vedere

al preciziei la surse statice a prezentat cele mai bune valori.

Exemplele prezentate în descrierea metodei au subliniat acest lucru: aceasta

metodă prezintă, la aceeaşi parametrii de început (ca şi restul metodelor), rezultate

aproape fără erori de estimare.

87

Simulări, la aceasta metodă, s-au executat şi în privinţa surselor dinamice.

Ex.1. în acest exemplu am considerat valorile de plecare, 32 elemente de

antenă distanţate egal între ele cu λ/2 cu amplitudinea semnalelor la valoare 1, iar

semnalul recepţionat şi prelucrat a fost cu zgomot. în acest context prima simulare

s-a rulat cu 4 surse (3 statice şi una în mişcare, dar fără să se intersecteze cu cele

statice). Rezultatele arată în felul următor:

Fig.2.29. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, 32 elemente de antena, 4 surse, 1 sursa dinamica

şi 3 surse statice

Valorile de unghi pentru sursele statice sunt relativ exacte, cu o eroare de


Dacă ne concentrăm asupra sursei în mişcare, se poate observa modificări la

acurateţea algoritmului: se poate observa o acurateţe scăzută la unghiuri mici (în

cazul de faţă sub 7˚), şi mai ridicată, chiar foarte bună, la unghiuri mai mari (în

cazul de faţă peste 7˚).

88

Fig.2.30. Rezultat al simulării URV-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale, iar


Rezultatele obţinute pentru sursa în mişcare în urma simulărilor prezintă o

acurateţe de 0.38%, adică valoarea estimată este valoarea reală +/- 0.38%, pentru

valorile de unghi mai mare (în cazul de faţă peste 7˚). Pentru unghiuri mai mici (în

cazul de faţă sub 7˚), acurateţea este de 13.08%, adică valoarea estimată este

valoarea reală +/- 13.08%.

În cazul în care numărul elementelor de antenă este redus la 8 sau 16,

acurateţea algoritmului este mult scăzută, neputându-se estima corect nici

sursele statice nici cel dinamic.

Ex.2. în acest exemplu am considerat valorile de plecare, 32 elemente de

antenă distanţate egal între ele cu λ/2 cu amplitudinea semnalelor la valoare 1, iar

semnalul recepţionat şi prelucrat a fost cu zgomot. În acest context prima simulare

s-a executat cu 4 surse, toate dinamice, rezultatele arată în felul următor:

89

Fig.2.31. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, 32 elemente de antenă, 4 surse dinamice

Dacă ne concentrăm asupra surselor, separat putem calcula precizia metodei

în acest caz, în care toate sursele sunt în mişcare.

Prima sursă:

Fig.2.32. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, prima sursă

90

A doua sursă:

Fig.2.33. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, a doua sursă

.

A treia sursă:

Fig.2.34. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, a treia sursă

91

A patra sursă:

Fig.2.35. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, a patra sursă

Observând figurile de mai sus, extrase pentru fiecare sursă în parte, putem

afirma următoarele:

• Prima sursă: rezultatele obţinute pentru prima sursă în mişcare în urma

simulărilor prezintă o acurateţe de 3.53%, adică valoarea estimată este

valoarea reală +/- 3.53%.

• A doua sursă: rezultatele obţinute pentru a doua sursă în mişcare sunt

destul de slabe. În urma simulărilor prezintă o acurateţe de doar

25,64%. Acest fapt se explică prin faptul că estimarea în punctul în care

aceasta sursă s-a intersectat cu o altă sursă în mişcare (în acest caz sursa

1), estimarea s-a făcut cu o eroare mare, ceea ce a influenţat şi media

finală, în sensul alterării valorilor.

• A treia sursă: rezultatele obţinute pentru a treia sursă în mişcare în urma

simulărilor prezintă o acurateţe de 1.14%, adică valoarea estimată este

valoarea reală +/- 1.14%. Un rezultat foarte bun, de altfel.

• A patra sursă: rezultatele obţinute pentru a patra sursă în mişcare în

urma simulărilor prezintă o acurateţe de 0.12%, adică valoarea estimată

92

este valoarea reală +/- 0.12%.

În cazul în care numărul elementelor de antenă este redus la 8 sau 16,

acurateţea algoritmului este mult scăzută, neputându-se estima corect nici

sursele statice nici cele dinamice.

URV-ESPRIT prezintă cea mai buna soluţie, în comparaţie cu celelalte

metode prezentate, deoarece în cazul surselor statice, are o precizie mult ridicată.

Aceasta soluţie prezintă o precizie ridicată şi în cazul surselor în mişcare (aproape

la aceeaşi nivel ca şi celelalte metode la estimarea surselor statice), cu mici

probleme în cazul în care sursele se intersectează.

2.5 ANALIZA REZULTATELOR. CONTRIBUŢII

PERSONALE

Algoritmul ESPRIT, şi familia ESPRIT la modul general, a fost dezvoltat

ca şi o metodă îmbunătăţită/alternativă pentru metoda estimării direcţiei de sosire.

În comparaţie cu alţi algoritmi şi alte metode, ESPRIT prezintă anumite avantaje,

printre care cel mai important este faptul că nu necesită calibrarea sistemului de

antene (ceea ce de exemplu în cazul algoritmului MUSIC este obligatoriu).

Metodele prezentate în acest capitol s-au dovedit a fi, unele de o precizie

mai ridicată, altele de o precizie mai scăzută, mai ales în cazul în care nivelul

zgomotului depăşeşte cu mult nivelul semnalului de estimat.

În următorul tabel, se regăsesc toate rezultatele din simulările prezentate în

subcapitolele anterioare; totodată am evidenţiat, pe baza unor comparaţii între

algoritmi, variantele cele mai avantajoase în anumite situaţii de SNR, menţionând

şi posibilităţi de îmbunătăţire pentru fiecare variantă.

93

SNR Rezultate Comparaţii

Posibilităţi de

îmbunătăţire a

rezultatelor T

S-E

SP

RIT

<0

O eroare de

estimare de

aproximativ 1,85% Algoritmul poate

fi considerat ca

având o precizie

de estimare foarte

apropiată de

metodele TAM şi

TLS-ESPRIT

Am executat

simulări în vederea

obţinerii unor

rezultate mai bune

pentru acest algoritm

prin creşterea

numărului de

elemente de antenă.

Rezultate mult

îmbunătăţite la

SNR=0: 0,31%

0

O eroare de

estimare de

aproximativ 0,38%

>0

O eroare de

estimare de

aproximativ 0,13%

TL

S-E

SP

RIT

<0

O eroare de

estimare de


fi considerat ca

având o precizie

de estimare foarte

apropiată de

metodele TAM şi

LS-ESPRIT

Am executat


obţinerii unor

rezultate mai bune


prin creşterea

numărului de


Rezultate mult

îmbunătăţite la

SNR=0: 0,32%

0

O eroare de

estimare de

aproximativ 0,38%

>0

O eroare de

estimare de

aproximativ 0,15%

TA

M

<0

O eroare de

estimare de


fi considerat ca

având o precizie

de estimare foarte

apropiată de

metodele LS-

ESPRIT şi TLS-

ESPRIT

Am executat


obţinerii unor

rezultate mai bune


prin creşterea

numărului de


Rezultate mult

îmbunătăţite la

SNR=0: 0,1%

0

O eroare de

estimare de

aproximativ 0,39%

>0

O eroare de

estimare de

aproximativ 0,1%

R-E

SP

RIT

<0

O eroare de

estimare de

aproximativ 1,5%

Cea mai bună

metodă din grupul

analizat în referat,

prezentând

rezultate bune în

orice valoare de

SNR.

Am executat


obţinerii unor

rezultate mai bune


prin creşterea

numărului de

0

O eroare de

estimare de

aproximativ 0,37%

94

>0

O eroare de

estimare de

aproximativ 0,08%


Rezultate mult

îmbunătăţite la

SNR=0: 0,09% R

B-E

SP

RIT

<0

O eroare de

estimare de

aproximativ 4,03%

Un algoritm ce la

SNR=0 este

comparabil cu

oricare dintre

celelalte metode,

dar prezintă

estimări cu erori

ridicate la zgomot

mare. Cu toate

acestea, la zgomot

mic, estimările

făcute de acest

algoritm sunt mai

bune decât

estimările

celorlalte metode.

Am executat


obţinerii unor

rezultate mai bune


prin creşterea

numărului de

elemente de antena.

Rezultate mult

îmbunătăţite la

SNR=0: 0,12%

0

O eroare de

estimare de

aproximativ 0,43%

>0

O eroare de

estimare de

aproximativ 0,08%

Tab.2.5. Analiza comparativă a algoritmilor prezentate

Urmărind tabelul de mai sus se poate concluziona că performanţele

algoritmilor sunt apropiate în cazul SNR=0 şi performanţe de valori aproape

identice în cazul când SNR creşte peste 0. Discrepanţele mai evidente apar în

momentul când SNR este sub valoarea 0, caz în care anumiţi algoritmi au

performanţe mai bune alţii mai slabe. Totodată, introducând mai multe elemente de

antenă, performanţele se modifică discrepant: îmbunătăţiri semnificative în anumite

cazuri iar în altele mai puţin.

Astfel cei cinci algoritmi sunt ideali pentru a estima DoA semnalelor de

interes în pregătire a valorilor de intrare pentru beamformerului adaptiv, asigurând

că performanţele acestuia vor fi clare, iar corelaţia între algoritmii de estimare şi

beamformer va fi cât se poate de evident.

Algoritmul ESPRIT s-a dezvoltat în ideea estimării cât mai exacte a

direcţiei de sosire a semnalelor şi s-a dovedit a fi mai util decât multe alte metode

similare.

95

CAPITOLUL 3

BEAMFORMING. BEAMFORMERUL ADAPTIV

3.1 NOŢIUNI DE BAZĂ

Beamformingul este tehnică de prelucrare de semnal utilizată în sisteme

de antenă pentru transmiterea semnalului direcţionat sau de recepţie a unui

semnal. Acest lucru este realizat prin combinarea elementelor din sistemul de

antenă astfel încât semnale din anumite unghiuri sunt supuse unor interferenţe,

aşa zise constructive, iar altele unor interferenţe distructive. Beamformingul

poate fi folosit atât la transmiterea cât şi la recepţionarea semnalelor, în scopul

de a realiza selectivitatea spaţială. Îmbunătăţirea faţă de recepţia/transmisia

omnidirecţională este cunoscut sub numele de câştig (sau pierdere) de

transmisie/recepţie.

Beamformingul poate fi folosit în cazul undelor radio sau a undelor

acustice. S-au găsit numeroase aplicaţii pentru această tehnică în radar, sonar,

seismologie, comunicaţii fără fir, astronomie radio, acustică, şi biomedicină.

Beamformingul adaptiv este folosit pentru detectarea şi estimarea unui semnal

de interes, la ieşirea dintr-un sistem de antene, prin intermediul filtrării spaţiale

optime şi prin respingerea interferenţelor.

96

Tehnici de beamforming

Beamformingul profită de interferenţe pentru a schimba caracteristica

sistemului de antenă. Când se transmite, un beamformer controlează faza şi

amplitudinea relativă a semnalului de la fiecare transmiţător, în scopul de a crea

un model de interferenţă constructivă şi distructivă în frontul de undă. Când se

recepţionează, informaţiile de la diferiţi senzori se combină într-un mod în care

caracteristica radiaţiei este preferenţială pentru partea de recepţie.

Astfel, în sistemele de bandă îngustă, întârzierile sunt echivalente cu un

"decalaj de fază"; deci în acest caz sistemul de antenă, în care fiecare element

este defazat într-o manieră unică şi puţin diferită unul faţă de celălalt, se

numeşte un sistem de antena de fază.

În beamformerul de recepţie, semnalul de la fiecare antenă poate fi

amplificat printr-o altă "pondere". Diferite modele de ponderi (de exemplu,

Dolph-Chebyshev) pot fi folosite pentru a realiza modelele dorite. Un lob

principal este realizat împreună cu nuluri şi lobi secundari. Controlul se poate

face atât a lăţimii lobului principal (fază) şi a nivelelor de lob secundar, cât şi

poziţia de nul. Acest lucru este util pentru a ignora interferenţele dintr-o

anumită direcţie, în timp ce se observă semnale dintr-o altă direcţie.

Tehnicile de beamforming pot fi, în general, împărţite în două categorii:

• convenţionale

• beamformeri adaptivi

o Maximizarea semnalului dorit

o Minimizarea interferenţelor sau eliminarea acestora

În cele ce urmează ne vom orienta spre beamformerul adaptiv - mai

concret pe sub-categoria care se axează pe maximizarea semnalului dorit - şi

analiza acestui tip în legătura cu algoritmii de estimare prezentaţi anterior.

97

3.2 BEAMFORMING ADAPTIV

Un design general de beamformer [WHK,03] se poate observa în figura

următoare:

Fig.3.1. Beamformer generic

Considerăm o sursă punctuală de semnal dc(t) localizat în punctul p

într-un mediu cu propagări multiple şi în prezenţa interferenţei local de bandă

largă nc(t). nc(t) include şi reflexiile semnalului dorit. Cei M senzori

eşantionează unda în pm locaţii în momentele kT, unde k este indexul de timp

discret iar T reprezintă perioada de eşantionare (T=1/(2B) unde B reprezintă

lăţimea de banda a semnalului dorit). Definim dm(k) componentă a semnalului

la al m-lea senzor, ceea ce ajunge pe cale directă la acest senzor:

dm(k) = dc (kT -τm) (3.1)

unde τm = |p-pm|/c reprezintă întârzierea de propagare dintre sursă şi al m-lea

senzor. Cu zgomotul adiţional provenit de la senzor, nu,m(k), contribuţia de

interferenţă al senzorului m este reprezentată în următoarea ecuaţie

98

nm(k) = nc,m(kT) + nu,m(k) (3.2)

Astfel semnalul de la senzorul m se poate scrie în felul următor:

xm(k) = dm(k) + nm(k) (3.3)

Ieşirea beamformerului se obţine din convoluţia informaţiilor de la

senzori cu răspunsurile filtrul FIR variabil în timp şi însumarea acestora.

y(k) = wT (k)x(k) = wT (k) (d(k) + n(k)) (3.4)

unde cele M filtre ataşate beamformerilor de lungime N, wm(k), sunt combinate

într-un vector de M Nx1,

w(k) = (wT1(k), wT

2(k), . . . , wTM(k))T (3.5)

iar vectorul N x 1, wm(k), conţine cele N ponderi,

wm(k) = (w0,m(k); w1,m(k), . . . , wN-1,m(k))T (3.6)

Ţinând cont de acestea, putem introduce vectorii de informaţie:

xm(k) = (xm(k), xm(k - 1), . . . , xm(k - N + 1))T (3.7)

x(k) = (xT1 (k), xT

2 (k), . . . , xTM(k))T (3.8)

dm(k) = (dm(k), dm(k - 1), . . . , dm(k - N + 1))T (3.9)

d(k) = (dT1 (k), dT

2 (k), . . . , dTM(k))T (3.10)

nm(k) = (nm(k), nm(k - 1), . . . , nm(k - N + 1))T (3.11)

n(k) = (nT1 (k), nT

2 (k), . . . , nTM(k))T (3.12)

Dacă vectorul w(k) este ortogonală vectorului x(k), atunci Y(k) este

egală cu zero, iar semnalele sunt suprimate. Dacă x(k) este în spaţiul vectorial

acoperit de w(k), semnalele sunt transmise. Beamformerul optim de date este

astfel conceput încât:

• d(k) este în spaţiul acoperit de w(k) ("beamsteering")

• N(k) este ortogonală cu w(k) ("suprimarea interferenţelor").

99

Beamformerul este orientat către o poziţie specifică p dacă ponderile

filtrului, w(k), echivalează întârzierile de propagare τm, Δm, astfel încât

semnalul dorit este aliniat în timp în toate canalele de senzori, ceea ce conduce

la suprapunerea coerentă a semnalului dorit de la ieşirea beamformer. În

general, aceste egalizări de întârzieri sunt multipli perioadei de eşantionare T.

3.3 PERFORMANŢELE BEAMFORMERULUI ADAPTIV

În acest subcapitol am considerat semnale statice, ceea ce va permite

diferite tipuri de măsurători de performanţă precum şi diferite tipuri de

procesare ale şirurilor de antene.

Astfel am considerat o sursă de semnal, cu semnalul dc(t) ce se propagă

ca şi o undă având frecvenţa ω şi lungimea de undă λ

𝒌 =𝟐𝝅

𝝀𝒂(𝜽,𝝓) =

𝝎

𝒄𝒂(𝜽,𝝓) (3.13)

unde 𝒂(𝜽, 𝝓) este vectorul unitate având coordonatele ( 𝒓 = 𝟏, 𝜽, 𝝓 )

reprezentând direcţia de propagare (Fig .3.2).

Fig.3.2. Sistem de coordonate cu un sistem de antene liniar amplasat de-a lungul axei z şi centrat în

origine

100

Valoarea lui k nu este dependentă de poziţia senzorului dat fiind punctul

iniţial de prezumţie a unei unde plane. Daca d(k) = dc(kT) este semnalul

recepţionat în origine, valoarea întârzierilor de propagare dintre senzori se

poate obţine prin

𝝉𝒎 = 𝒂𝑻(𝜽,𝝓)𝒑𝒎

𝒄 (3.14)

Iar componenta semnalului dorit, dm(k) se poate scrie

𝒅𝒎(𝒌) = �̂�𝒆𝒙𝒑{𝒋(𝝎𝒌𝑻 − 𝒌𝑻𝒑𝒎)} (3.15)

unde 𝑫⏞ este amplitudinea undei.

Pentru definirea performanţelor, ce depind doar de direcţia undei,

geometria sistemului de antene şi ponderile senzorilor, dar nu şi de interferenţe,

considerăm semnalul normalizat şi fără prezenţa interferenţelor.

Astfel transformăm ecuaţia (3.4) în domeniul timp utilizând

transformata Fourier în timp-discret, DTFT. Cu ecuaţia (3.1) vom avea

transformata Fourier pentru dm(k):

𝑫𝒎(𝝎) = ∑ 𝒅𝒎(𝒌)𝒆𝒙𝒑{−𝒋𝝎𝒌𝑻} = �̂�𝒆𝒙𝒑{−𝒋𝒌𝑻𝒑𝒎}

∞𝒌=−∞ (3.16)

Iar transformata pentru wm

𝑾𝒎(𝝎) = ∑ 𝒘𝒊,𝒎(𝒌)𝒆𝒙𝒑{−𝒋𝝎𝒊𝑻}𝑵−𝟏𝒊=𝟎 (3.17)

unde pentru componenta wm(k) s-a renunţat la dependenţa de k în prisma

caracterului staţionar al datelor de senzor.

Definind

wF(ω) = (W1(ω), W2(ω), …, WM(ω))H (3.18)

v(ω,k) = (exp(jωτ1), exp(jωτ2), …, exp(jωτM))H =

= (exp(jkTp1), exp(jkTp2), …, exp(jkTpM))H (3.19)

101

Putem obţine transformata Fourier pentru y(k):

𝒀(𝝎, 𝒌) = 𝒘𝑭𝑯(𝝎)𝒗(𝝎, 𝒌) (3.20)

unde v(ω,k) este vectorul de direcţie ceea ce cuprinde geometria sistemului de

antene şi direcţia de sosire al semnalului dorit. Y(ω,k) reprezintă răspunsul

beamformerului. Acesta descrie ponderea complexă a undei de intrare cu

lungimea de undă k şi frecvenţa temporală ω. Modelul de undă se defineşte în

felul următor:

𝑩(𝝎; 𝜽,𝝓) = 𝒀(𝝎, 𝒌) (3.21)

Cu 𝜽 ∈ [𝟎; 𝝅], 𝝓 ∈ [𝟎; 𝟐𝝅] . Modelul de putere 𝑷(𝝎;𝜽,𝝓) =

|𝒀(𝝎; 𝜽,𝝓)|𝟐 este magnitudinea modelului de undă la pătrat. Figura următoare

(Fig.3.3) arată un exemplu de model de putere pentru un sistem de antene cu

distanţă egală între senzori (λ/2), cu numărul de elemente M, şi Wm(ω) = 1/M,

∀ 𝑴. Valoarea lui θ este π/2 iar modelul de putere 𝑷(𝝎;𝜽, 𝝓) este independent

de coordonata 𝝓 datorită simetriei rotaţionale ale sistemului de antene raportat

la axa z.

Fig.3.3. Model de putere

102

Din modelul de putere putem extrage două măsuri de performanţă, ce

sunt des utilizate ca şi criterii pentru beamforming:

• Peak-to-zero distance, reprezentând măsura lăţimii de lob principal

• Relative sidelobe level, reprezentând diferenţa între nivelul lobului

principal şi nivelul celui mai înalt lob secundar.

3.4 SIMULĂRILE BEAMFORMERULUI ADAPTIV APLICAT

REZULTATELOR EXECUTĂRII DIFERITELOR ALGORITMI DE

ESTIMARE

În acest capitol, pentru a evidenţia performanţele beamformerului adaptiv

aplicat metodelor de estimare a direcţiei de sosire a semnalelor, am comparat

rezultatele pentru fiecare algoritm în parte.

În prezentarea simulărilor din capitolul precedent, la fiecare metodă am

folosit un sir liniar de antene, cu 8 elemente distanţate egal intre ele cu λ/2; toate

sursele au fost considerate statice. Aici am crescut numărul elementelor la 16.

Cazul 1

Valori de plecare: sir liniar de antene, cu 16 elemente distanţate egal între

ele cu λ/2; sursa de estimat şi pe care trebuie să se caleze beamformerul s-a

considerat în origine. Rulând algoritmii ESPRIT în combinaţie cu beamformerul

adaptiv, am obţinut următoarele rezultate:

103

LS-ESPRIT

Fig.3.4. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (fără interferenţă).

Valoarea RSL este de 13.2dB iar valoarea PD este aproximativ 7.4 grade.

TLS- ESPRIT

Fig.3.5. Rezultat al simulării repetate T LS-ESPRIT (fără interferenţă).


104

TAM

Fig.3.6. Rezultat al simulării repetate TAM (fără interferenţă).


R-ESPRIT

Fig.3.7. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (fără interferenţă).


105

RB-ESPRIT

Fig.3.8. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (fără interferenţă).


Cazul 2



considerat în origine iar la 60 de grade se consideră o a doua sursă de semnal ce se

consideră a fi interferenţă. Rulând algoritmii ESPRIT în combinaţie cu

beamformerul adaptiv, am obţinut următoarele rezultate:

106

LS-ESPRIT

Fig.3.9. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (interferenţă la 60˚).


TLS- ESPRIT

Fig.3.10. Rezultat al simulării repetate T LS-ESPRIT (interferenţă la 60˚).


107

TAM

Fig.3.11. Rezultat al simulării repetate TAM (interferenţă la 60˚).


R-ESPRIT

Fig.3.12. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (interferenţă la 60˚).


108

RB-ESPRIT

Fig.3.13. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (interferenţă la 60˚).


Cazul 3



considerat în origine iar la 15 de grade se consideră o a doua sursă de semnal ce se

consideră a fi interferenţă. Rulând algoritmii ESPRIT în combinaţie cu

beamformerul adaptiv, am obţinut următoarele rezultate:

109

LS-ESPRIT



TLS- ESPRIT



110

TAM



R-ESPRIT



111

RB-ESPRIT



Cazul 4

Am considerat aceeaşi valori de plecare; se schimbă doar interferenţa care

este considerată la 5 de grade. Am introdus un nou parametru de estimarea calităţii

beamformerului: precizia de calare pe frecvenţa estimata (PCF).

În urma simulărilor am observat că interferenţa considerată la 5 grade

introduce o deplasare a lobului principal cu o valoare notată cu PCF. Datorită

acestui deplasament, precizia calării este afectată într-un mod negativ, astfel lobul

principal nu mai este centrat pe sursa emiţătoare a semnalului de interes. Cu toate

acestea, există un mecanism în secvenţa beamformerului care compensează acest

efect prin îngustarea lobului principal. Deci valoarea PCF este de fapt o deplasare

de valoare minimă, fiind adusă la această valoare de acest mecanism. Fără

implementarea acestui mecanism, deplasamentul ar avea valori mult mai mari.

112

LS-ESPRIT


Valoarea RSL este de 6dB, PD este 5.72˚ iar valoarea PCF este 1.14˚.

TLS- ESPRIT


Valoarea RSL este de 8.3dB, PD este 6.87˚ iar valoarea PCF este 0.57˚.

113

TAM


Valoarea RSL este de 7.3dB, PD este 6.3˚ iar PCF este 1.14˚.

R-ESPRIT



114

RB-ESPRIT



3.5 ANALIZA REZULTATELOR. CONTRIBUŢII PERSONALE

Performanţele beamformerului adaptiv sunt clar vizibile în rezultatele de

mai sus.

Lăţimea lobului principal, deci exactitatea calării, se modifică prin

adăugarea a mai multor elemente de antenă. În acest caz cele 16 elemente oferă o

calitate foarte bună.

În cazul în care aplicăm beamformerul rezultatelor algoritmilor fără

prezenţa interferenţei, rezultatele sunt aproape identice cu rezultatele în prezenţa

unei interferenţe îndepărtate.

115

Tab.3.1. Analiza comparativă a valorilor obţinute în subcapitolul 3.4

În tabelul de mai sus sunt trecute cele 3 scenarii în care semnalul de interes

apare în paralel cu o interferenţă de aceeaşi magnitudine. Valorile de referinţă sunt

cele din primul grup (sursa la 0˚ şi interferenţa la 60˚).

În cazul următoarelor 2 scenarii am introdus două valori adiţionale,

reprezentând diferenţele dintre valorile de referinţă şi valorile obţinute în scenariul

aferent. Ca şi exemplu, considerăm scenariul în care interferenţa este la 15˚ şi

coloana LS-ESPRIT: valorile de referinţă RSL = RSL* = 13.19 şi PD = PD* = 7.4;

valorile obţinute în acest scenariu sunt RSL** = 12.47 şi PD** = 7.4; ca urmare

valorile diferenţelor intervenite în acest scenariu vor fi ER_RSL* = RSL* - RSL**

= 5.46 iar ER_PD* = PD* - PD** = 0.

Erorile simţitoare intervin în momentul în care interferenţa este mai

apropiată de sursa pe care se calează beamformerul. Se poate observa o diminuare

a capacităţii de calare a beamformerului adaptiv cu aproximativ 5% la fiecare tip de

algoritm; există mici diferenţe însă, cum ar fi în cazul algoritmilor LS-ESPRIT şi

R-ESPRIT unde aceste valori tind spre 5,5%.

În cazul în care interferenţa este foarte apropriată de sursa de interes,

capacitatea de calare a beamformerului adaptiv se deteriorează simţitor faţă de

cazul în care interferenţa este îndepărtată. Valorile sunt în vecinătatea a 40% până

la peste 50%, dacă considerăm distanţa între lobul principal şi lobul secundar.

Rezultatele cele mai bune în acest sir le prezintă scenariul cu TLS-ESPRIT.

116

Verificând în acest caz lăţimea lobului principal, am observat că

beamformerul adaptiv scade lăţimea lobului, astfel încât corectitudinea calării să fie

ajutată. Cu toate acestea, apare o mică eroare de calare: maximul lobului nu mai

este calat pe semnalul de interes, ci apare o mică defazare. În fiecare caz apare

aceasta eroare. S-ar putea deci concluziona că de fapt îngustarea lobului este

provocata de acea eroare. Dar nu este aşa. Îngustarea lobului este o consecinţă a

mecanismului din cadrul beamformerului care intervine în cazurile în care

interferenţa deteriorează capacitatea de calare a beamformerului. Prin îngustarea

lobului se încearcă menţinerea capacităţii de calare.

Tab.3.2. Valorile PCF obţinute în cazul celor cinci variante de algoritmi

Deşi beamformerul adaptiv are performanţe bune atunci când se consideră o

sursă şi o interferenţa mai îndepărtată, atunci când aceasta interferenţa devine

foarte apropiată sursei de interes, precizia de calare se strică. Cu toate acestea,

mecanismul din cadrul beamformerului adaptiv încearcă aplicarea unei corecţii prin

îngustarea lobului principal, calat pe sursa de interes.

Astfel putem concluziona faptul că:

• Beamformerul prezintă performanţe similare în cazul fiecărui algoritm

de estimare

• Mecanismul de adaptivitate, în cazul în care interferenţa este foarte

aproape de semnalul de interes, intervine în cazul fiecărui scenariu în

acelaşi mod, cu acelaşi acurateţe

• Diferenţa majoră intervine la acurateţea algoritmului DoA utilizat de a

estima sursele de semnal; cu cât estimarea este mai corectă cu atât

beamformerul poate forma mai exact fascicula

117

• Putem concluziona faptul că performanţele beamformerului adaptiv cu

capacitatea de estimare DoA nu sunt cu nimic deasupra variantei fără

capacitatea de estimare dar folosit în combinaţie cu un algoritm de

estimare

• Cu toate că algoritmii de estimare descrişi prezintă diferite performanţe

în diferite situaţii de SNR, dacă se cunoaşte valoarea SNR se poate alege

algoritmul care are performanţele cele mai bune.

118

CAPITOLUL 4

CONTRIBUŢII PERSONALE ŞI CONCLUZII

În acest capitol am trecut în revistă contribuţiile încapsulate în capitolele

anterioare. Scopul urmărit de-a lungul tezei a fost capabilitatea fiecărui algoritm

descris, în principal ca şi sursă de estimare pentru beamformerul adaptiv, asociat la

fiecare algoritm în parte pentru formarea modelului de putere, deci a lobului

principal şi cei secundari.

Primul capitol conţine informaţiile introductive ale sistemelor de antene,

creând baza simulărilor şi calculelor din următoarele capitole.

Capitolul 2

În acest capitol am analizat, prin simulare, performanţele fiecărui algoritm

din familia ESPRIT în diferite situaţii de SNR: +10, 0, 10. Ţinând cont de punctele

de plecare identice pentru fiecare algoritm (două surse de semnal la 45˚ şi 60˚,

număr de elemente, SNR, distanţa dintre elemente, amplitudinea semnalului şi

unghiul de incidenţă) rezultatele au fost cât se poate de apropriate pentru SNR = 0:

119

în afară de RB-ESPRIT, toate variantele se încadrează în intervalul +/-0.37 şi +/-

0.39. Algoritmul RB-ESPRIT are o eroare de estimare de +/- 0.43.

Pentru a obţine o imagine cât mai corectă a preciziei fiecărui algoritm,

pentru fiecare dintre ei am rulat 300 de simulări pe un singur semnal, la 60˚. Ca

urmare a acestor simulări valorile pe care le-am obţinut se compară cu valorile

menţionate anterior pentru două semnale. În afară de RB-ESPRIT, toate variantele

prezintă aproximativ aceeaşi precizie: RB-ESPRIT schiţează precizia cea mai

scăzută.

Crescând însă numărul de elemente, aceasta capabilitate se îmbunătăţeşte

simţitor ajungând pentru RB-ESPRIT la +/-0.12, deci o îmbunătăţire de 72%.

Considerând acest argument de mărire a numărului de elemente, am observat un

lucru interesant în cazul LS- şi TLS-ESPRIT: îmbunătăţirea în cazul acestor

variante este relativ mică faţă de celelalte variante şi anume de doar până la 18%.

Modificând valoarea de SNR la -10, apar diferenţe mai aparente între

algoritmi. Şi în acest caz RB-ESPRIT prezintă rezultatele cele mai scăzute, eroarea

fiind de +/-4.07, ceea ce înseamnă o înrăutăţire cu 89.5% faţă de SNR=0. în cazul

celorlalte variante, estimările se încadrează între +/-1.5 si +/-1.85, deci înrăutăţirea

faţă de SNR=0 este semnificativă (75%-80%) dar totuşi valorile sunt mai bune

decât în cazul RB-ESPRIT.

Pentru valoarea SNR=10, precizia este, cum era şi de aşteptat, mult mai

bună. Acest set de simulări a fost executat în principal pentru a vedea schimbările

ce intervin în cazul RB-ESPRIT faţă de celelalte variante de ESPRIT. Rezultatul

este evident în cazul RB-ESPRIT: cu mici discrepanţe, identic cu R-ESPRIT

(valoarea de +/- 0.08), şi , surprinzător, mai bun decât TAM, LS- si TLS-ESPRIT,

ale căror valori de estimare se situează peste +/-0.10.

120

Ca şi concluzie generală pot afirma că rezultatele algoritmilor sunt

aproximativ în aceeaşi plajă atunci când SNR este 0.

Am tratat algoritmul URV-ESPRIT separat deoarece capacitatea acestui

algoritm este peste capacitatea celor prezentate anterior. Prin testări am evidenţiat o

estimare aproape perfectă a frecvenţelor, cu teste până la 5 frecvenţe. În momentul

în care sursele devin mobile, capabilitatea estimării este puţin deteriorată dar nu

suficient pentru a înregistra estimări neutilizabile. Acest lucru, în schimb, intervine

atunci când sursele se intersectează.

Capitolul 3:

În acest capitol am introdus elementul de beamforming în cazul fiecărui

algoritm prezentat în capitol anterior. Pentru a observa mai clar evoluţia lobilor

secundari faţă de cel principal, şi mai ales pentru a putea delimita mai cu exactitate

precizia fiecărei simulări, am ales un număr de elemente dublu faţă de situaţiile din

capitolul anterior; de menţionat este faptul că acest lucru nu a afectat într-un mod

negativ relaţia algoritm de estimare şi beamformer adaptiv ci doar precizia

algoritmului de estimare. Acest lucru a avut un beneficiu clar adus acurateţei

fiecărui algoritm; deoarece simulările s-au efectuat prin estimarea a două semnale

la o anumită distanţă unul de celălalt, al doilea semnal l-am considerat ca şi

interferenţă faţă de celalalt nominalizat ca şi semnal de interes (pentru simplitate

semnalul de interes s-a considerat în origine).

În acest caz, estimările celor două semnale au fost mult mai corecte (faţă de

cazul cu elemente de antenă mai puţine), iar precizia beamformerului ataşat

fiecărui algoritm a fost mult mai uşor de evidenţiat, mai ales s-a prezentat mai clar

mecanismul din cadrul beamformerului – mecanism de compensare, într-un anumit

caz a preciziei de calare.

121

Estimările celor două semnale le-am efectuat cu preciziile calculate şi

simulate în capitolul anterior, iar segmentul beamformerului adaptiv l-am folosit

pentru cele două semnale estimate; asta pentru a forma modelul de putere,

considerând semnalul de interes cel din origine iar cel de al doilea semnal ca şi

interferenţă.

Se poate observa că în cazul în care nu există interferenţă, lobul principal se

calează perfect pe semnalul de interes, iar distanţa între maximul lobului principal

şi maximul lobilor secundari este suficient de mare pentru a nu afecta precizia.

Scenariile în care apare interferenţa mai îndepărtată de semnalul de interes

(al doilea semnal la 60˚ respectiv la 15˚), efectele negative sunt aproape

inexistente. Dar în cazul în care avem interferenţa la 15˚, apare o mică creştere a

lobului secundar, astfel diferenţa între maxime scăzând dar nu sub o valoare la care

precizia să fie afectată.

Scenariul în care interferenţa este la 5˚, apare un efect vizibil negativ asupra

lobului principal: lobul secundar creşte, forţând lobul principal sa scadă şi totodată

să se deplaseze, stricând astfel calarea beamformerului. Datorită unui mecanism de

„auto-conservare” al acestui beamformer adaptiv, acest deplasament este

compensat cu o îngustare a lobului principal, ceea ce conferă o creştere a preciziei.

Cu toate că aceasta îngustare nu compensează în totalitate pierderea intervenită

(existând în continuare o deplasare notată cu PCF), ajută totuşi la menţinerea

capabilităţii beamformerului la valori acceptabile.

Pertinent ar fi o comparaţie cu un beamformer cu capabilităţi de estimare

a semnalelor. Beamformerul din aplicaţiile de mai sus utilizează rezultatele

algoritmilor de estimare, până ce un beamformer cu aceste capabilităţi

implementate din start in codul algoritmului nu are nevoie de estimări prealabile.

Cu toate acestea se poate afirma ca diferenţa majora în cazul unei comparaţii va fii

în estimarea frecvenţelor şi nu în formarea fascicolului de undă. Astfel cu cât se

122

estimarea semnalelor este mai corectă, cu atât rezultatul formării de undă va fi mai

bună.

Performanţele beamformerului adaptiv cu capacitatea de estimare DoA nu

prezintă avantaje mult semnificative faţă variantei fără capacitatea de estimare

folosit în combinaţie cu un algoritm de estimare

Cu toate că algoritmii de estimare din familia ESPRIT, descrişi în al doilea

capitol, prezintă diferite performanţe în diferite situaţii de SNR, dacă se cunoaşte

valoarea SNR se poate alege algoritmul care are performanţele cele mai bune.

Astfel în combinaţie cu beamformerul adaptiv prezintă rezultate optime în acel caz

de SNR.

Astfel concluzia principală ce o putem afirma este că beamformerul adaptiv

fără capacitatea de estimare în combinaţie cu algoritmul de estimare adecvat unei

situaţii de SNR prezintă performanţe similare, până la identice, cu beamformerul

adaptiv cu capacitatea de estimare integrat. Deci dacă se alege algoritmul de

estimare adecvat, performanţele rămân constante, ba chiar se poate afirma că în

anumite cazuri mai bune. Indiferent ce algoritmi de estimare se foloseşte, afirmaţia

anterioară rămâne valabilă.

Implementarea practică al acestei combinaţii poate prezenta anumite

dezavantaje de procesare: alegerea între diferitele tipuri de algoritmi de estimare

poate induce timpi de procesare mai mari, totodată rularea fiecărui tip de algoritm

de estimare necesită timpi diferiţi. Cu toate acestea, pentru că evoluţia din zilele

noastre a sistemelor de procesare a ajuns la un nivel în care aceste dezavantaje se

pot elimina fără nici o dificultate, iar potenţialul de a avea o plaja mai mare de

posibilităţi atunci când se doreşte o estimare DoA este foarte importantă, punctul

de vedere prezentat în această teză poate fi considerată ca argumentaţie pentru

implementări de acest tip, deci o idee de start pentru aplicaţiile practice.

123

BIBLIOGRAFIE

[Ago,05] Andrea Goldsmith, Wireless Communications, Cambridge

University Press, 2005

[BlH,02] J.S. Blogh, L.S. Hanzo, Third-generation systems and intelligent

wireless networking – smart antenna and adaptive modulation, IEEE

Press, John Wiley, 2002

[HVT,02] Harry L. Van Trees, Optimum Array Processing –Part IV of

Detection, Estimation and Modulation Theory, John Wiley & Sons,

Inc., New York, 2002

[JLT,96] John Litva, Titus Kvok-Yeung Lo, Beamforming in Wireless

Communications, Artech House Publisher,Boston – London, 1996

[VKu,06] Volker Kuhn, Wireless Communications over MIMO Channels,

John Wiley, 2006

[NiZ,89] Edmond Nicolau, Dragoș Zaharia, Adaptive Arrays, Editura

Academiei, București,1989

[RJM,05] Robert J. Mailloux, Phased Array Antenna Handbook, Second

edition, British Library Cataloguing in Publication Data, 2005

124

[SS,01] Stergiopoulos Stergios, Advanced Beamformers.Advanced Signal

Processing Handbook, Boca Raton: CRC Press LLC, 2001

[HJV, 05] Hubregt J. Visser, Array and Phased Array Antenna Basics, British

Library Cataloguing in Publication Data, 2005

[LCG,04] Lal Chand Godara, Smart Antennas, Library of Congress

Cataloging-in-Publication Data, 2004

[RTK,89] R. Roy, T. Kailath, ”ESPRIT – Estimation of Signal Parameters via

Rotational Invariance Techniques”, IEEE Transactions on

Acoustics, Speech and Signal Processing, Vol. 37, No. 7, July 1989

[WLS,03] Yuntao Wu, Guisheng Liao, H.C. So, “A fast algorithm for 2-D

direction-of-arrival estimation”, Signal Processing 83 (2003) 1827 –

1831, February 2003

[YBF,96] N. Yuen, B. Friedlander, “Asymptotic Performance Analysis of

ESPRIT, Higher Order ESPRIT, and Virtual ESPRIT Algorithms”,

IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 44, No. 10, October

1996

[FND, 08] Tadeu N. Ferreira, Sergio L. Netto, Paolo S. R. Diniz , “Beamspace

Covariance-Based DoA Estimation”, Electr. Eng.

Program/COPPE/DEL-Poli, Fed. Univ. of Rio de Janeiro, Rio de

Janeiro, 2008

[RRK, 89] R. Roy and T. Kailath, “ESPRIT—Estimation of signal parameters

via rotational invariance techniques,” IEEE Trans. Acoust., Speech,

Signal Processing, vol. 37, pp. 984–995, July 1989.

[VIV, ] Vladimir I. Vasilishin, “Direction of Arrival Estimation via Unitary

TLS-ESPRIT Algorithm with Structure Weighting”, Kharkov Air

Force Institute

125

[SSV, 01] S. Shahbazpanahi, S. Valaee, “Distributed Source Localization

Using ESPRIT Algorithm”, Transactions on Signal Processing, Vol.

49, No. 10, October 2001

[SSC, 05] S. Slavnicu, S. Ciochinii, “ Subspace method optimized for tracking

real-valued sinusoids in noise”, Signals, Circuits and Systems, 2005.

ISSCS 2005. International Symposium on, 2005

[PJH, ] Pei-Jung Chung, “Parameter Estimation: Subspace Methods”

[LOS, 94] K. J. R. Liu, D. P. O’Leary, G. W. Stewart, Yuan-Jye J. Wu, “URV

ESPRIT for Tracking tim-Varying Signals”, Transactions on Signal

Processing, Vol. 42, No. 12, March 1994

[SyM, 88] Mayrargue, S., “ESPRIT and TAM (Toeplitz approximation

method) are theoretically equivalent”, Acoustics, Speech, and Signal

Processing, 1988. ICASSP-88., 1988 International Conference on,

1988

[MTS, 03] K. Mahata, T. Söderström, “Subspace Estimation of Real-Valued

Sinusoidal Frequencies”, Dept. Inform. Technol., Uppsala Univ.,

Tech. Rep., Uppsala, Sweden, Jan. 2003.

[MTS, 04] K. Mahata, T. Söderström, “ESPRIT-like Estimation of Real-Valued

Sinusoidal Frequencies”, IEEE Transactions on Signal Processing,

52, 5, pp. 1161–1170, 2004.

[SSC, 05] S. Slavnicu, S. Ciochina, “Subspace Method Optimized for Tracking

Real-Valued Sinusoids in Noise”, Proc. Signals, Circuits and

Systems, 2005 (ISSCS 2005, Vol. 2, 14–15 July 2005, pp. 697–700.

[TBF, 09] E. Tuncer, B. Friedlander,”Classical and Modern Direction-of-

Arrival Estimation”, Academic Press, 2009

[SaC, 06] Sathish Chandran, ”Advances in Direction-of-Arrival Estimation”,

Artech House, 2006

126

[SMJ, 88] S.Mayrague, J.P. Jouveau ”A new application of singular-value-

decomposition to harmonic retrieval. Proceedings of the

International Workshop on SVD and Signal Processing” 21-23 Sept.

1987 Les Houches France Ed.E.F.Deprettere . North-Holland (to be

published in 1988 )

[FND, 08] T. N. Ferreira, S. L. Netto, P. S. R. Diniz, ”Beamspace Covariance-

Based DOA Estimation”, Signal Processing Advances in Wireless

Communications, 2008

[WHK, 03] Wolfgang Herbordt, Walter Kellermann, „Adaptive Beamforming

for Audio Signal Acquisition”, Multimedia Communications and

Signal Processing, 2003

[HVT, 02] Harry L. Van Trees, “Optimum Array Processing”, Part IV of

Detection, Estimation, and Modulation Theory, John Wiley & Sons,

Ltd, 2002

[AMG, 05] B. Allen and M. Ghavami, „Adaptive Array Systems. Fundamentals

and Applications”, John Wiley & Sons, Ltd, 2005

[JLS, 06] Jian Li and Petre Stoica, “Robust Adaptive Beamforming”, John

Wiley & Sons, Ltd, 2006

[ToH, 98] Toby Haynes, “A Primer on Digital Beamforming”, Spectrum

Signal Processing, March 26, 1998

[JLS, 09] Jian Li and Petre Stoica, “Time-Domain Beamforming and Blind

Source Separation. Speech Input in the Car Environment”, Springer,

2009

[AIO, 10] Iozsa, A.; Vesa, A., „The ESPRIT algorithm. Variants and

precision”, Electronics and Telecommunications (ISETC), 2010 9th

International Symposium on, IEEE, Publication Year: 2010 ,

Page(s): 165 – 168

127

[AIO, 11] Arpad Iozsa, „Direction-of-arrival algorithms: TAM and R-

ESPRIT”, Buletinul ştiinţific al UPT, 56(70), fasc 2, 2011

[AIO, 12] A. Iozsa, "Adaptive Beamforming applied for signals estimated with

Direction-of-arrival algorithms from the ESPRIT family",

International Symposium on Electronics and Telecommunications,

ISETC2012

128

LISTA LUCRĂRILOR PUBLICATE

1. Iozsa, A.; Vesa, A., „The ESPRIT algorithm. Variants and precision”,

Electronics and Telecommunications (ISETC), 2010 9th International

Symposium on, IEEE, Publication Year: 2010 , Page(s): 165 - 168

2. Arpad Iozsa, „Direction-of-arrival algorithms: TAM and R-ESPRIT”,

Buletinul ştiinţific al UPT, 56(70), fasc 2, 2011

3. Vesa, A.; Iozsa, A., „Direction - of - Arrival estimation for uniform sensor

arrays”, Electronics and Telecommunications (ISETC), 2010 9th

International Symposium on ,IEEE, Publication Year: 2010 , Page(s): 249 -

252

4. Vesa, A.; Iozsa, A.; Alexa, F., „The influence of the phase current of a

linear array over the directivity pattern”, Computational Cybernetics and

Technical Informatics (ICCC-CONTI), 2010 International Joint Conference

on, IEEE, Publication Year: 2010 , Page(s): 131 - 135

5. Andy Vesa; Arpad Iozsa, „Directivity pattern for linear arrays”,

International Symposium on Electronics and Telecommunications, ETC

’08, Eighth Edition, ISETC

6. A. Iozsa, "Adaptive Beamforming applied for signals estimated with

Direction-of-arrival algorithms from the ESPRIT family", International

Symposium on Electronics and Telecommunications, ISETC2012

tezĂ de doctorat -...

Documents