teste de evaluare la matematicĂ liceu
TRANSCRIPT
C O O R D O N A T O R I :
P r o f e s o r A N G E L E S C U
O P R E A N I C O L A E
P r o f e s o r I O N E S C U
M A R I A
TESTE DE EVALUARE LA MATEMATICĂ LICEU - 2016
CASA CORPULUI DIDACTIC
PRAHOVA
2
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României
Coordonatori : Profesor Angelescu Oprea Nicolae, Profesor Ionescu Maria
Proiectarea lecțiilor de matematică /
Nume autori :
ARUNCUTEAN LIDIA COLEGIUL TEHNIC “LAZĂR EDELEANU” MUNICIPIUL PLOIEȘTI
BĂȘCĂU CORNELIA COLEGIUL TEHNIC " LAZĂR EDELEANU" MUNICIPIUL PLOIEȘTI
BISNEL MIHAELA COLEGIUL TEHNIC “LAZĂR EDELEANU” MUNICIPIUL PLOIEȘTI
BRABECEANU SILVIA COLEGIUL TEHNIC GHEORGHE LAZĂR PLOPENI
BURLACU DANIEL LICEUL TEHNOLOGIC SAT CIORANII DE JOS
CANACHE GEORGIANA ŞCOALA GIMNAZIALĂ“I.A.BASSARABESCU”, PLOIEŞTI
COLCER ALINA MIHAELA COLEGIUL NAȚIONAL NICOLAE GRIGORESCU CÂMPINA
COMȘA TEODORA LICEUL TEHNOLOGIC 1 MAI MUNICIPIUL PLOIESTI
CORLĂTESCU VIRGIL COLEGIUL TEHNIC “LAZĂR EDELEANU" MUNICIPIUL PLOIEȘTI
DOROGAN GIANINA-MARIANA COLEGIUL AGRICOL "'GHEORGHE IONESCU SISESTI'" VALEA
CĂLUGĂREASCĂ
DUDU ADELA ŞCOALA GIMNAZIALĂ“GEORGE COŞBUC”, PLOIEŞTI
DUMITRU CARMEN MARILENA LICEUL TEHNOLOGIC CIORANII DE JOS
DUMITRU CORINA OLGUȚA COLEGIUL TEHNIC "GHEORGHE LAZAR" PLOPENI
GHIDU MIHAELA ALEXANDRA COLEGIUL NAȚIONAL JEAN MONNET-PLOIEȘTI
IOJEA ROXANA MĂDĂLINA COLEGIUL TEHNIC ”LAZĂR EDELENU” MUNICIPIUL PLOIEȘTI
IONESCU MARIA COLEGIUL TEHNIC ”LAZĂR EDELEANU” MUNICIPIUL PLOIEȘTI
IORDACHE MARA GEORGIANA LICEUL TEHNOLOGIC TEODOR DIAMANT, BOLDESTI –SCĂENI
LICA ROXANA COLEGIUL NAȚIONAL "JEAN MONNET" MUNICIPIUL PLOIEȘTI
NECULA ELENA COLEGIUL TEHNIC FORESTIER CÂMPINA
NEGREA VIORICA COLEGIUL ECONOMIC "VIRGIL MADGEARU" PLOIEȘTI
NISTOR DANIELA LICEUL TEHNOLOGIC ,,1 MAI", MUNICIPIUL PLOIESTI
OPRESCU CRISTINA DIANA LICEUL TEHNOLOGIC "1MAI", MUNICIPIUL PLOIEȘTI
PAVEL FLORIN LICEUL TEORETIC "ȘERBAN VODĂ" SLĂNIC
RUSIȘORU CĂTĂLINA
MAGDALENA
LICEUL TEORETIC "ȘERBAN VODĂ" SLĂNIC
SOARE DANIELA COLEGIUL ECONOMIC " VIRGIL MADGEARU",PLOIEȘTI
TUDORACHE NICOLETA COLEGIUL „ION KALINDERU”, BUȘTENI
ȚAGA LOREDANA COLEGIUL ECONOMIC " VIRGIL MADGEARU" PLOIEȘTI
ZLOTEA ROXANA MARINELA COLEGIUL SPIRU HARET PLOIEȘTI
Editura Casei Corpului Didactic Prahova, 2016
ISBN 978-606-8752-30-3
3
Cuvânt înainte
Această lucrare a fost realizată în cadrul programului de formare continuă Evaluarea
la MATEMATICĂ – pas cu pas – la liceu, derulat în perioada februarie – aprilie 2016.
Cursanţii, profesori de matematică din judeţul Prahova, şi-au propus să valorifice astfel
competenţele vizate a fi exersate în cadrul cursului:
Competențe metodologice:
- Utilizarea și aplicarea documentelor curriculare în pregătirea și realizarea demersului
didactic;
- Selectarea unor strategii activ-participative variate, moderne și atractive adecvate;
Competențe de comunicare și relaționare
- Demonstrarea gândirii critice în analiza și interpretarea datelor;
- Dezvoltarea de noi capacităţi creative şi de cooperare prin utilizarea alternativelor
metodologice moderne;
- Abilități de lucru în echipă și colaborare;
Competențe psihosociale
- De promovare a metodelor adecvate particularităților elevilor;
Competențe manageriale:
- Elaborarea unor instrumente de evaluare în funcție de particularitățile individuale/de
grup pentru optimizarea rezultatelor.
Cursul a fost proiectat cu o tematică generoasă şi şi-a propus să vină în sprijinul
profesorilor de matematică interesaţi de îmbunătăţirea permanentă a activităţii pe care o
desfăşoară, de înscrierea acesteia în cotele unui învăţământ modern, dinamic, de calitate.
Activitatea de formare a vizat, în principal, familiarizarea cursanţilor cu aspectele teoretice şi
practice privind evaluarea, atât în formele sale clasice cât şi în accentele sale de noutate. De
aici, a apărut nevoia de a exersa împreună proiectarea unui test de evaluare cât mai apropiat
de standardele cele mai înalte de calitate.
Autorii îşi asumă responsabilitatea privind originalitatea lucrării şi respectarea
drepturilor de proprietate intelectuală.
Formatori şi coordonatori lucrare:
Profesor Nicolae Oprea Angelescu
Profesor Ionescu Maria
4
Cuprins Clasa a IX-a................................................................................................................................ 7
Test inițial .............................................................................................................................. 7
Profesor: Ghidu Mihaela Alexandra .................................................................................. 7
Unitatea şcolară: Colegiul Național Jean Monnet- Municipiul Ploiești ............................ 7
Unitatea de învăţare: Progresii ............................................................................................. 10
Profesor: Iojea Roxana Mădălina..................................................................................... 10
Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic ,,Lazăr Edeleanu‟‟ Municipiul Ploieşti ..................... 10
Unitatea de învăţare: Funcția de gradul I – 3 ore/săptămână ............................................... 14
Profesor: Ionescu Maria ................................................................................................... 14
Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic „Lazăr Edeleanu” Municipiul Ploiești ...................... 14
Unitatea de învăţare:Funcția de gradul al doilea (graficul,intersecția cu axele,ecuația
f(x)=0,axa de simetrie) ......................................................................................................... 17
Profesor:Dorogan Gianina ............................................................................................... 17
Unitatea şcolară:Colegiul Agricol Gh Ionescu Sisesti, Valea Călugărească ................... 17
Unitatea de învăţare: Elemente de trigonometrie- clasa a IX-a, 21ore ................................ 20
Profesor: Bășcău Cornelia................................................................................................ 20
Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic ” Lazăr Edeleanu”, Municipiul Ploiești .................... 20
Clasa a X-a ............................................................................................................................... 24
Unitatea de învăţare:Logaritmi ............................................................................................ 24
Profesor:Necula Elena ..................................................................................................... 24
Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic Forestier Câmpina ...................................................... 24
Unitatea de învăţare: Numere complexe sub formă algebrică ............................................. 27
Profesor :Ţaga Loredana .................................................................................................. 27
Unitatea şcolară: Colegiul Economic “Virgil Madgearu” Ploiești ................................. 27
Unitatea de învăţare: Rezolvarea în C a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali .... 30
Profesor:Dumitru Olguța ................................................................................................. 30
Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic ”Gheorghe Lazăr ” Plopeni ........................................ 30
Unitatea de învăţare: Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex. Ecuaţii binome. ... 33
Profesor:Brabeceanu Silvia .............................................................................................. 33
Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic „ Gheorghe Lazăr” Plopeni ........................................ 33
Unitatea de învăţare: Funcții injective, surjective, bijective, inversabile. ........................... 38
5
Profesor:Aruncutean Lidia ............................................................................................... 38
Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic "Lazăr Edeleanu" Municipiul Ploiești ........................ 38
Unitatea de învăţare:Ecuatii Iraționale................................................................................. 41
Profesor:Canache Georgiana .......................................................................................... 41
Unitatea şcolară:Școala Gimnazială I.A.Basarabescu, Ploiești ....................................... 41
Unitatea de învăţare:Ecuaţii exponenţiale si logaritmice ..................................................... 45
Profesor:Comşa Teodora ................................................................................................. 45
Unitatea şcolară:Liceul Tehnologic”1 Mai”,Municipiul Ploieşti .................................... 45
Unitatea de învăţare:Binomul lui Newton ........................................................................... 48
Profesor:Bisnel Mihaela................................................................................................... 48
Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic Lazar Edeleanu, Municipiul Ploiești .......................... 48
Unitatea de învăţare: Matematici financiare ........................................................................ 51
Profesor:Burlacu Daniel................................................................................................... 51
Unitatea şcolară: Liceul Tehnologic Sat Cioranii de Jos ................................................. 51
Unitate de învăţare: Elemente de geometrie analitica in plan.............................................. 54
Profesor: Nistor Daniela .................................................................................................. 54
Unitatea şcolară: Liceul Tehnologic ,,1 Mai”, Municipiul Ploiesti ................................. 54
Clasa a XI-a.............................................................................................................................. 57
Test inițial - M1 ................................................................................................................... 57
Profesor: Colcer Alina Mihaela ....................................................................................... 57
Unitatea şcolară: Colegiul Național “Nicolae Grigorescu” Câmpina .............................. 57
Unitatea de învăţare: Matrice; Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei
matrice cu scalar, proprietăţi. ............................................................................................... 61
Profesor:Oprescu Cristina Diana ..................................................................................... 61
Unitatea școlară:Liceul Tehnologic “1 MAI”, Ploiești .................................................... 61
Unitatea de învățare: Determinanţi ( aplicaţii ale determinanţilor) ..................................... 66
Profesor: Zlotea Roxana ................................................................................................. 66
Unitatea școlară:Colegiul Spiru Haret, Ploieşti ............................................................... 66
Unitatea de învăţare: Sisteme de ecuații liniare ................................................................... 70
Profesor:Lica Roxana....................................................................................................... 70
Unitatea școlară:Colegiul Național Jean Monnet, Ploiești ............................................ 70
Unitatea de învăţare: Continuitate; intepretarea grafică a continuității unei funcții, studiul
continuității, operații cu funcții continue. ............................................................................ 73
Profesor:Corlătescu Virgil ............................................................................................... 73
6
Unitatea școlară:Colegiul Tehnic Lazăr Edeleanu, Ploiești ............................................ 73
Unitatea de învăţare: Regula lui L‟Hospital ........................................................................ 77
Profesor: Dudu Adela ...................................................................................................... 77
Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic Toma N. Socolescu Ploiești ...................................... 77
Unitatea de învăţare: Rolul derivatei întâi în studiul funcțiilor ........................................... 81
Profesor: Negrea Viorica ................................................................................................. 81
Unitatea şcolară: Colegiul Economic ”V. Madgearu” Ploiești ........................................ 81
Teză pe semestrul al II - lea ................................................................................................. 85
Profesor: Pavel Florin ...................................................................................................... 85
Unitatea şcolară: Liceul Teoretic “Șerban Vodă” Slănic ................................................. 85
Clasa: a XII-a ........................................................................................................................... 91
Unitatea de învăţare: Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp .................................. 91
Profesor: Tudorache Nicoleta .......................................................................................... 91
Unitatea şcolară: Colegiul „Ion Kalinderu”, Bușteni ....................................................... 91
Unitatea de învăţare: Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ ................. 94
Rădăcini ale polinoamelor; relaţiile lui Viete ...................................................................... 94
Profesor: Iordache Mara Georgiana ................................................................................. 94
Unitatea şcolară: Liceul Tehnologic Teodor Diamant ..................................................... 94
Unitatea de învăţare: Primitive ............................................................................................ 98
Profesor: Soare Daniela ................................................................................................... 98
Unitatea şcolară: Colegiul Economic”Virgil Madgearu”,Ploieşti ................................... 98
Unitatea de învăţare: Integrarea funcțiilor raționale .......................................................... 102
Profesor: Dumitru Carmen Marilena ............................................................................. 102
Unitatea şcolară:Liceul Tehnologic Sat Cioranii de Jos, Comuna Ciorani ................... 102
Teză pe semestrul al II- lea ................................................................................................ 106
Profesor: Rusișoru Magda.............................................................................................. 106
Unitatea şcolară: Liceul Teoretic “Șerban Vodă” Slănic ............................................... 106
7
Clasa a IX-a
Test inițial 4 ore/săptămână
Profesor: Ghidu Mihaela Alexandra
Unitatea şcolară: Colegiul Național Jean Monnet- Municipiul Ploiești
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Mulţimea numerelor
reale,
operații, modul, radicali,
procente
I.1.(5p)
I.2.
(5p)
II.1.a
(5p)
15p
Calculul algebric,
descompunerea in
factori
I.5.(5p)
II.1.b
(5p)
II.1.a
(5p)
II.1.b
(5p)
II1c
(5p)
25p
Funcţii, funcția liniară II.1.c
(5p)
I.6.(5p) 10p
Ecuații, inecuații I.3.(5p)
I.4.(5p)
10p
Figuri geometrice plane II.2.a
(5p)
II.2.a
(5p)
II.2.c
(5p)
II.2b
(5p)
II.2b
(5p)
II.2c
(5p)
30p
Total 20p 15p 15p 15p 15p 10p 90p
Competenţe de evaluat - 4 ore
C1. Identificarea unor reguli de calcul numeric sau algebric pentru simplificarea unor calcule.
C2. Aplicarea unor reguli de calcul cu numere reale pentru rezolvarea unor ecuaţii sau
inecuaţii; aplicarea relaţiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor
elemente ale acestuia.
C3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor în care intervin rapoarte, proporţii,
dependenţe funcţionale, ecuaţii sau configuraţii geometrice.
C4. Exprimarea caracteristicilor matematice ale numerelor reale, funcţiilor sau ale figurilor
geometrice plane .
C5. Studierea unor situaţii-problemă din punct de vedere cantitativ sau calitativ utilizând
proprietăţile algebrice si de ordine ale mulţimii numerelor reale.
C6. Analizarea si interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme sau situaţii-problemă.
8
Test iniţial
Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerinţelor din Partea I şi Partea a II-a se acordă 90
puncte. Din oficiu se acordă 10 puncte
Timp de lucru : 50 minute
Toate subiectele sunt obligatorii
Partea I: Scrieţi litera corespunzătoare singurului răspuns corect.(30 puncte)
5p 1. Fie 2( 5 3) 5 3n . Numărul n aparţine mulţimii:
A. R\Q B. Q\Z C. Z\N D. N
5p 2. Dacă 20% din x este egal cu 150, atunci 50% din x este egal cu :
A. 1500 B. 75 C. 9 D. 375
5p 3. Mulțimea soluțiilor ecuației : 2( 3) 2 6x x este :
A. B. 2 C. R D. 3
5p 4. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei: 221 xx este:
A. )3,( B. ]3,( C. ),3( D. ),3[
5p 5. Dacă
13x
x , atunci 2
2
1x
x este egal cu :
A. 8 B. 7 C. 9 D. 2
5p 6.
Fie funcția *: , ( ) 2,f R R f x mx m R . Dacă punctul ( , 1)M m se găsește pe
graficul funcției, atunci m aparține mulțimii :
A. B. 1 C. 1,1 D. 2, 2
Partea a II-a: La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (60 puncte)
10p
10p
10p
1.
Se consideră expresia xxxxx
xE
2
2 1
1:
1
1
1
11)(
a) Pentru ce valori Rx , expresia este definită?
b) Arătaţi că }1,1{\ fiar oricare,13)( RxxxE
c) Rezolvaţi ecuaţia 2)( xE
10p
10p
10p
2.
În triunghiul dreptunghic ABC, ( ) 90 ,AD ,Dm A BC BC și
M ,cuBC BM MC . Dacă ( ) 30m DAM și 12AM cm , calculați :
a) Aria triunghiului AMC
b) Perimetrul triunghiului ABC
c) Distanța de la punctul B la dreapta AM.
S U C C E S !!!
9
Barem de evaluare
PARTEA I___________________________________________(30 de puncte)
Se punctează doar rezultatul
Nu se acordă punctaje intermediare
Nr. item 1 2 3 4 5 6
Rezultate D D C B B C
Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p
PARTEA a II_-a______________________________________(60 de puncte)
Pentru orice soluţie corectă se acordă punctajul maxim
Nu se acordă fracţiuni de puncte dar se pot acorda punctaje intermediare
1.
a)
1x
1x 5p
5p
b)
1
12
1
1
1
11
2
2
x
xx
xx
13)( xxE
6p
4p
c) 33213 xx
1x 5p
5p
2.
a) AM MC
Triunghiul AMC este echilateral 236 3AMCA cm
3p
4p
3p
b) 24BC cm
12 3AB cm
12(3 3)ABCP cm
4p
3p
3p
c) Distanţa este lungimea BP, unde BP AM
( ) 30m PAB
6 3BP cm
3p
3p
4p
Se acordă 10 puncte din oficiu.
Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
10
Clasa:a IX-a
Unitatea de învăţare: Progresii
Profesor: Iojea Roxana Mădălina
Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic ,,Lazăr Edeleanu’’ Municipiul Ploieşti
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Progresii aritmetice
(definiţie, formula
termenului general,
condiţia ca 3 numere să
fie ȋn progresie
aritmetică)
1 ( I 1)
5p
1 (III1)
5p
1( II 1)
5p
2 (II2
5p)
(III 4
10 p)
1 (I 4)
5p
1(III 5)
15 p
50%
( 7 itemi)
50 p
Progresii geometrice
(definiţie, formula
termenului general,
conditia ca 3 numere sa
fie in progresie
geometrică)
1 ( I 2)
5p
1( II 5)
5p
1(II4)
5p
1( III2)
(5 p)
30%
( 4 itemi)
20 p
Suma primilor n
termeni dintr-o
progresie
1 (I 3)
5p
1( II 3)
5p
1 (III3)
10 p)
20%
( 3 itemi)
20 p
TOTAL 10 p
16%
2 itemi
5p
8%
1 item
15 p
20%
3 itemi
25 p
30%
4itemi
5 p
8%
1 item
30 p
20%
3 itemi
90 p
100%
14 itemi
Competenţe de evaluat:
1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt şiruri,progresii aritmetice sau geometrice
2. Reprezentarea în diverse moduri a unor corespondenţe, şiruri în scopul caracterizării
acestora
3. Identificarea unor formule de recurenţă pe bază de raţionamente de tip inductiv
4. Exprimarea caracteristicilor unor şiruri folosind diverse reprezentări (formule, diagrame,
grafice)
5. Deducerea unor proprietăţi ale şirurilor folosind diferite reprezentări sau raţionamente de
tip inductiv
6. Asocierea unei situaţii – problemă cu un model matematic de tip şir, progresie aritmetică
sau geometrică
11
Test
Subiectul I: (20 puncte) Completaţi spaţiile punctate astfel ȋncât să obţineţi propoziţii
adevărate:
5 p 1 Al şaptelea termen al şirului 1, 6, 11, 16, 21 ,... este....
5p 2 Termenul care urmează ȋn şirul 4, 2, 1, 𝟏
𝟐 ,
𝟏
𝟒 ,... este.....
5p 3 Rezultatul calculului 1+2+𝟐𝟐+...+𝟐𝟗 este ....
5p 4 Valoarea numărului real x pentru care numerele x-1, x+1, si 3x-1 sunt termenii
consecutivi ai unei progresii aritmetice este ....
Subiectul al II-lea: (25 puncte) Alegeti răspunsul corect :
5 p 1 Fie progresia aritmetică ( an) ȋn care se dau a1= 2 şi r = - 2. Al zecelea termen este:
a) 20 b) - 20 c) -16 d) 16
5p 2 Fie progresia aritmetică (an) ȋn care se dau a1=2 şi a10 = 47. Al cincilea termen este:
a) 20 b) 27 c) 30 d) 22
5p 3
Fie progresia aritmetică (an) ȋn care se dau a10=7 şi S10=25. Primul termen al progresiei
este este:
a) 2 b) -2 c) -1 d )1
5p 4. Fie progresia geometrică (bn) in care se dau b1= - 2 şi b3= −
𝟏
𝟐. Raţia progresiei este
a) 𝟏
𝟐 b) 2 c) -
𝟏
𝟐 d)
𝟏
𝟐. −
1
𝟐
5p 5 Fie progresia geometrică (bn) cu b1=27 şi q=
𝟏
𝟑 . Al cincilea termen este
a) 𝟏
𝟑 b) 𝟏 c) 3 d)
𝟏
𝟗
Subiectul al III-lea : (45 puncte) La următoarele probleme se cer rezolvările complete:
5p 1 Fie funcţia f:R→ 𝑹 , f(x)=3x-2. Arătaţi că numerele f(1), f(3) si f(5) sunt ȋn
progresie aritmetică.
5p 2. Să se determine produsul primilor 4 termeni dintr-o progresie geometrică care
are primul termen 𝟐 si raţia - 𝟐
10 p 3. Să se determine suma elementelor mulţimii A={1, 11, 21,....111}
10p 4. Fie progresia aritmetică (an) ȋn care a1 + a7 = 42 şi a10 - a3 = 21. Să se
determine primul termen si raţia.
15p 5.
O sală de spectacol are locurile dispuse pe rânduri şi pe fiecare rând, ȋncepând
cu al doilea, se află cu câte două locuri mai multe decât pe rândul precedent.
Ştiind că pe primul rând sunt 38 de locuri şi ȋn total sala are 2010 locuri, aflati
pe câte rânduri sunt dispuse locurile ȋn acea sală. (Concursul A. Haimovici-
Etapa județeană-2011)
Notă:
Timpul efectiv de lucru este de 60 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
12
Barem de evaluare
Subiectul I: (20 puncte)
Se punctează doar rezultatul. Nu se acordă punctaje intermediare.
Nr item 1. 2. 3. 4.
Rezultate 31 𝟏
𝟖
1023 2
Punctaj 5p 5p 5p 5p
SUBIECTUL al II-lea: (25 puncte)
Se punctează doar rezultatul. Nu se acordă punctaje intermediare
Nr item 1. 2. 3. 4. 5.
Rezultate c d b d A
Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p
SUBIECTUL al III-lea: (45 puncte)
Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări
parţiale, ȋn limitele punctajului indicat in barem
1. f(1)=1
f(3)=7
f(5)=13
Verificarea condiţei ca cele 3 numere sa fie in progresie aritmetică
1p
1p
1p
2p
2. b2 = -2
b3 = 2 𝟐 b4 = - 4
P= b1 b2 b3 b4 b5 = 32
1p
1p
1p
2p
3 Elementele mulţimii sunt ȋn progresie aritmetică a1=1, r =10, an =111
Determinarea numărului de elemente ale mulţimii: 111=1+(n-1)10, de unde n=12
Suma elementelor mulţimii este S12= 𝟏+𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟐
𝟐 = 672
3p
4p
3p
4. a7=a1+6r
a10=a1+9r
a3=a1+2r
sistemul devine: 𝒂𝟏 + 𝒂𝟏 + 𝟔𝒓 = 𝟒𝟐
𝒂𝟏 + 𝟗𝒓 − 𝒂𝟏 − 𝟐𝒓 = 𝟐𝟏
de unde r =3
şi a1=12
1p
1p
1p
2p
2p
3p
13
5. Fie a1 numărul de locuri de pe primul rând, a2 numărul de locuri de pe al doilea rând şi aşa mai departe
Avem a1=38, a2= 40, a3= 42 etc
Deci a1, a2, a3, ... sunt ȋn progresie aritmetică cu primul termen a1=38 si raţia r = 2
Fie n∈ 𝚴 numărul rândurilor sălii si conform enunţului a1+a2+a3+...an=2010, ceea ce
inseamnă𝒏(𝒂𝟏+𝒂𝒏)
𝟐 =2010
a1=38 şi an=a1+(n-1) r=2n+36
Se obţine ecuaţia n2+37n-2010=0
ecuaţie care are soluţia naturală n=30, deci sala are 30 de rânduri
1p
1p
2p
3p
3p
2p
3p
14
Clasa: a IX-a
Unitatea de învăţare: Funcția de gradul I – 3 ore/săptămână
Profesor: Ionescu Maria
Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic „Lazăr Edeleanu” Municipiul Ploiești
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Reprezentarea grafică a
funcţiei : , , ,f R R f x ax b a b R
I.1
(5p)
I.2
(5p)
III.a
(10p)
II.6
(5p)
II.7
(5p) 30p
Proprietățile funcției:
monotonie, semn I.5
(5p) 5p
Intersecţia graficului cu
axele de coordonate I.3
(5p)
III.b
(10p)
II.8III.d
(5p)(10
p)
III.c
(10p) 40p
Inecuații de forma
0( , , ), ,ax b a b R
I.4 II.9
(5p)(5p) 10p
Poziția relativă a două
drepte, rezolvarea
sistemelor de ecuații
II.10
(5p) 5p
Total 5p 15p 10p 25p 20p 15p 90p
Competențe de evaluat:
C1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite
C2. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor,
sistemelor de ecuaţii
C3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I sau
din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor de ecuaţii
C4. Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică
C5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei
C6. Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei situaţii problemă şi interpretarea rezultatului
15
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
Subiectul I – încercuiți răspunsul corect
5p 1. Funcția , :f R R , de gradul întâi este:
A: 25 3f x x B: 3 2,f x a a R C: 5 10f x D: 1
42
f x x
5p 2. Dacă 2, 1 fA G unde : , 2 ,f R R f x x b b R , atunci b este:
A: 2 B: -2 C: -3 D: 3
5p 3. Fie funcția : , 2 3f R R f x x . Ordonata punctului de intersecție a graficului
funcției cu axa OY este egală cu:
A: 3
2 B:
3 2
2 C: 3 D: 2
5p 4. Numerele naturale soluții ale inecuației 4 3 0x x sunt:
A: 2,3,4,5,6 B: 2,3,4,5 C: 1,2,3,4,5,6,7 D: 1,2,3,4,5
5p 5. Fie funcția : , 3 2f R R f x x . Aria triunghiului determinat de graficul funcției și
axele de coordonae este egală cu :
A: 24
3u B: 22
3u C: 21
6u D:
23u
Subiectul al II –lea Completați spațiile punctate astfel încât să obțineți propoziții adevărate:
5p 6. Precizați monotonia funcției *: , 3,f R R f x a x a R . Funcția f este .....
5p 7. Punctul de pe graficul funcției : , 6f R R f x x , care are ordonata
dublul abscisei este A(..... , .....)
5p 8. Fie funcția : , 3 9f R R f x x . Punctul de intersecție a graficului
funcției cu axa absciselor are coordonatele (..... , .....)
5p 9. Soluția reală a inecuației 3 2 3 3 4 7 4 5x x x este .....
5p 10. Soluția sistemului de ecuații
2 3 1
3 2 1
x y
x y
este perechea (.... , .....)
Subiectul al III-lea
Fie funcția : , 4 3f R R f x x .
5p a. Determinați coordonatele punctelor de intersecție cu axele de coordonate.
5p b. Reprezentați grafic funcția.
5p c. Să se determine punctele de pe graficul funcției care au abscisa egală cu inversa
ordonatei.
5p d. Să se determine tangenta unghiului determinat de reprezentarea grafică a funcției
cu axa ordonatelor
16
Barem de evaluare
Subiectul I
1 2 3 4 5
D D C A B
5*5p
Subiectul al II-lea
6. Strict crescătoare 5p
7. (2 , 4) 5p
8. 3 3,0 5p
9. 16,x 5p
10. (-1 , 1) 5p
Subiectul al III-lea
a. Determinarea punctelor 5p*2
b. Reprezentarea punctelor
Trasarea graficului
3p*2
4p
c.
Condiția
211 4 3 1 0
11,1 , , 4
4
x xy x xy
A B
5p
5p
d. Identificare unghiului
Calculul tangentei unghiului 1
4tg
3p
7p
17
Clasa a IX-a
Unitatea de învăţare:Funcția de gradul al doilea (graficul,intersecția cu
axele,ecuația f(x)=0,axa de simetrie)
Profesor:Dorogan Gianina
Unitatea şcolară:Colegiul Agricol Gh Ionescu Sisesti, Valea Călugărească
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
Cunoaștere si
înțelegere Aplicare
Rezolvare de
probleme Total
Determinarea
funcției,forma canonică I.1(5p) I.2(5p) II.2.a(10p) 3(20p)
Graficul
funcției,intersecția
graficului cu axele de
coordonate
I.4(5p) I.5(5p)
II.1.b(10p) II.1.c(10p) 4(30p)
Rezolvarea ecuației
f(x)=0 I.6(5p) II.2.c(10p) 2(15p)
Simetria graficului față
de axa x=-b/2a I.3(5p) II.2.b(10p) II.1.a(10p) 3(25p)
TOTAL 3(15p) 5(35p) 4(40p) 12 itemi(90p)
Competențe de evaluat:
1. Cunoașterea formei generale și a formei canonice a funcţiei
2. Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al
II-lea
3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin puncte
semnificative)
4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice
5. Aplicarea unor proprietăţi si formule de calcul algebric
18
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
Subiectul I – itemi cu răspuns scurt (de completare)
5p 1. Funcția f:RR, f(x)=x 2 +6x+10 are forma canonică..........................................
5p 2. Coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:RR, f(x)=- x 2 +4x+1 sunt
x v =.............si y v =...............
5p 3. Axa de simetrie a graficului funcției f:RR, f(x)=2 x 2 -4x+3 este x=...........
5p 4. Punctul de intersecție a graficului funcției f:RR, f(x)=-6 x 2 +x+3 cu axa Oy
este.........
5p 5. Graficul funcției f:RR, f(x)= x 2 -5x+6 se intersectează cu axa Ox în
punctele..........................................
5p 6. Se consideră funcția f:RR, f(x)= 2 x 2 -mx+2.Știind că graficul acesteia este
tangent axei 0x, atunci m aparține mulțimii.................
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
1. Fie funcția f:RR, f(x)= -2 x 2 +8x+3.
10 p a) Determinați ecuația axei de simetrie a graficului funcției g:R→R, dată de
g(x)=f(x-2)
10 p b) Reprezentați grafic funcția f într-un sistem de axe ortogonale xOy.
10 p c)
Calculați aria triunghiului VAB,unde V este vârful parabolei asociat funcției
f,iar A si B reprezintă punctele de intersecție a graficului acesteia cu dreapta de
ecuație y=3.
2. Fie funcția f:RR, f(x)=(2a-1) x2
+ax+3, unde aR.
10 p a) Determinați valoarea reală a lui a,știind că A(2,9)G f
10 p b) Determinați valoarea reală a lui a,știind că x=-
6
1este axa de simetrie a
graficului funcției,
10 p c) Determinați valorile întregi ale lui a,știind că ecuația f(x)=2 nu are nicio
soluție.
19
Barem de evaluare
I.1 f(x)=(x+3) 2 +1 5 p
I.2 V(2,5) 5 p
I.3 x=1 5 p
I.4 A(0,3) 5 p
I.5 A(2,0) si B(3,0) 5 p
I.6 m 4,4 5 p
II.1.a g(x)=-2x 2 +16x-21
x=4 axa de simetrie
6 p
4 p
II.1.b Vârful parabolei,determinarea valorilor funcției
Reprezentarea grafică
6 p
4 p
II.1.c A(0,3) B(4,3)
Aria=16 u 2
6 p
4 p
II.2.a f(2)=9
f(2)=10 a-1
a=1
2 p
4 p
4 p
II.2.b x=
)12(2
a
a axa de simetrie
a=-1
6 p
4 p
II.2.c (2a-1)x 2 +ax+3=2
Ecuația nu are soluție a 2 -8a+4<0
a{1,2,3,4,5,6,7}
2 p
2 p
6 p
20
Clasa: a IX-a, 5 ore/săpt
Unitatea de învăţare: Elemente de trigonometrie- clasa a IX-a, total 21ore
Profesor: Bășcău Cornelia
Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic ” Lazăr Edeleanu”, Municipiul Ploiești
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Cercul trigonometric
I.4 (4p) I.8 (4p) I.10(4p) 15% (12p)
Funcții trigonometrice
I.1 (4p) I.6 (4p) I.9 (4p) 15% (12p)
Reducerea la primul
cadran I.3 (4p) I.2 (4p) II.1a(5p) II.1b(5p)
20% (18p)
Formule trigonometrice:
sin(a+b), sin(a-b),
cos(a+b), cos(a-b)
II.2b(5p) II.2a(5p) I.7 (4p) II.4a(5p) II.4b(5p) 25% (24p)
Formule trigonometrice:
sin2a, cos2a, sina+sinb,
sina-sinb, cosa+cosb,
cosa-cosb
I.5(4p) II.3a(5p) II.3b(5p) II.3d(5p) II.3c(5p) 25% (24p)
Total 15%(12p) 20%(18p) 15%(14p) 20%(18p) 15%(14p) 15%(14p) 100% (90
p)
Competențe de evaluat:
1. Identificarea legăturilor între coordonate unghiulare, coordonate metrice și coordonate
carteziene pe cercul trigonometric.
2. Calcularea unor măsuri de unghiuri și arce utilizând relații trigonometrice, inclusiv
folosind calculatorul.
3. Determinarea măsurii unor unghiuri și a lungimii unor segmente utilizand relații metrice.
4. Caracterizarea unor configurații geometrice plane utilizând calculul trigonometric.
5. Determinarea unor proprietăți ale funcțiilor trigonometrice prin lecturi grafice.
6. 6.Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor.
21
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 90 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
Subiectul I – itemi cu răspuns scurt (de completare)
4p 1 Valoarea, în grade, a unghiului de 23
radiani, este: A.270
0 B.120
0 C.60
0 D.300
0
4p 2 Valoarea, în radiani, a unghiului de 1350, este: A.
4
B.
4
3 C.
2
3 D.
4p 3 Calculand sin 7500 , utilizând periodicitatea, obțineți: A.1/2
B. -1/2
C. 0
D. 1
4p 4 Calculand cos(-8400), utilizând periodicitatea/paritatea, obțineți: A.1/2
B. -1/2
C. 0
D. 1
4p 5 Numărul x [ 0, ] pentru care cos 2x < 0 este: A.4
B.
4
3 C.
2
D. 3
4p 6 Dacă a = sin 200 – sin 21
0, atunci: A. a = 0 B. a >0 C. a < 0 D. a =1
4p 7 Calculând : sin170 cos13
0 + cos 17
0 sin13
0, obținem: A.1/2
B. -1/2
C. 0
D. 1
4p 8 Numărul cos 3 este : A. a = 0 B. a >0 C. a < 0 D. a = 1
4p 9 Numarul cos 100 este: A. a = 0 B. a >0 C. a < 0 D. a = 1
4p 10
Utilizând cercul trigonometric, pe intervalul ( -2
,
2
), ecuaţia tg x = 1 are soluția:
A.4
B.
4
3 C. -
4
D.
4
Subiectul al II-lea – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
10p 1
Pentru =
4
3, calculaţi: a) sin , b) tg
10p 2
Să se calculeze : a) sin 750 , b) cos
12
7.
20p 3 Dacă sin x =
3
2, x (
2
, ), să se calculeze : a) sin 2x, b) cos 2x, c) tg 2x, d) sin 4x
10p 4
Dacă sin a =3
1, cos b =
5
1, a (
2
, ), b (
2
3, 2 ), atunci să se calculeze:
a) sin ( a + b) , b) tg (a + b).
22
Barem de evaluare
Subiectul I
Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim
prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte. Nu se acorda punctaje intermediare.
Rezultat B B A B C C A C D A
Punctaj 4 p 4 p 4 p 4 p 4 p 4 p 4 p 4 p 4 p 4 p
Subiectul II
Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă
punctajul maxim corespunzător. Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje
intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
1.a)
4
3(
2
, )
sin x > 0, x( 2
, )
sin 4
3= sin
4
=
2
2
1p
1p
3p
1.b) tg x < 0, x(
2
, )
tg 4
3= - tg
4
= - 1
1p
4p
2.a) sin750= sin(30
0+45
0)=sin30
0 cos45
0 + cos 30
0 sin45
0
= 1 2 3 2 2 6
2 2 2 2 4
2p
3p
2.b) cos
12
7= cos (
4
+
3
)= cos
4
cos
3
- sin
4
sin
3
=
1 2 3 2 2 6
2 2 2 2 4
2p
3p
3.a) sin2x + cos
2x=1
cos x= 5
3 , x( 2
, ), deci cos x = -
5
3
sin 2x= 2 sin x cos x = -2 2 5 4 5
3 3 9
1p
2p
2p
3.b) cos 2x= 1- 2 sin2x=
=1/9
2p
3p
3.c) tg 2x =
sin 2
cos 2
x
x=
= 4 5
2p
3p
23
3.d) sin 4x = 2 sin 2x cos 2x =
=4 5 1 8 5
29 9 81
2p
3p
4.a) cos a =
2 2
3
sin b=2 6
5
sin (a+b) = 1 8 3
15
2p
2p
1p
4.b) tg (a+b)=
sin( )
cos( )
a b
a b
cos (a+b) = 2 2 2 6
15
tg (a+b)=
1 8 3 50 2 18 6
162 6 2 2
1p
2p
2p
24
Clasa a X-a
Unitatea de învăţare:Logaritmi
Profesor:Necula Elena
Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic Forestier Câmpina
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Noţiunea de logaritm I.1(5p) I.3.(5p) 10p
Proprietăţi ale
logaritmilor I.4.(5p) I.5.(5p)
II.5.(10
p)
II.4(10p
) 30p
Calcule cu logaritmi I.2.(5p) I.6.(5p)
II.3.(20
p) 30p
Operaţia de logaritmare
II.2.(10
p)
II.1.(10
p) 20p
Total 15p 10p 20p 30p 10p 5p 90p
Competenţe de evaluat:
C1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi formei de scriere a
unui număr real în contexte specifice.
C2. Compararea şi ordonarea numerelor reale utilizând metode variate.
C3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali şi logaritmi pe contexte
variate.
C4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real în vederea optimizării calculelor.
C5. Utilizarea unor metode algebrice pentru rezolvarea ecuaţiilor şi inecuaţiilor.
C6. Studierea unor situaţii problemă din punct de vedere cantitativ şi calitativ utilizând
proprietăţile algebrice şi de ordine ale mulţimii numerelor reale.
25
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 90 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
Subiectul I - Scrieţi litera corespunzătoare răspunsului corect ( 30 p )
5p 1. Valoarea reală a lui x pentru care are loc egalitatea: log𝑥 0,0001 = −4 , este: a). 4 b).10 c).0,1 d).10
-1
5p 2. Rezultatul calculului log2 0,5 − log3
1
3 este:
a). 2 b).-1 c).0 d).2
5p 3. Domeniul maxim de definiţie D, al funcţiei f:D→R, 𝑓(𝑥) = log3
𝑥−3
𝑥+3 este:
a). −3; 3 b). −3; 3 c) −3; +∞ d). −∞; −3 ∪ 3; +∞ .
5p 4. Exprimarea lui log5 100 cu ajutorul lui 𝑎 = log5 2 este: a).2(a+1) b) 50a c)2a+1 d)a+10.
5p 5. Rezultatul calcului log3 log2 log2 256 este:
a).0 b).3 c).1 d).2.
5p 6. Partea întreagă a lui 𝑥 = 𝑙𝑔
2
5 , ştiind că lg4≅0,60206, este:
a).1 b).0 c).-1 d)2.
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete (60p) .
10p 1. Să se determine valorile reale ale lui x pentru care există funcţia
𝑓(𝑥) = log𝑥+1 𝑥2 + 5𝑥 + 6 .
10p 2. Să se logaritmeze în baza 2 expresia E=2 4 2
3
2 163
.
20p 3. Să se exprime în funcţie de a= log3 24 numărul log12 48.
10p 4. Să se arate că expresia
𝐸 =log 4 𝑥+log 𝑥 𝑥
log 2 𝑥2−log 2 𝑥, unde 𝑥 > 0 ş𝑖 𝑥 ≠ 1, nu depinde de x.
10p 5.
Să se verifice dacă numărul
𝐴 = log5 5 − 2 5 + log5 5 + 2 5 + log5 0,043 + log51
53 este număr
natural.
26
Barem de evaluare
I.1. b). 10 5p
I.2. c). 0 5p
I.3. d). −∞; −3 ∪ 3; +∞ . 5p
I.4. a). 2(a+1) 5p
I.5. c). 1 5p
I.6. c). -1 5p
I TOTAL 30p
II.1 Fixarea condiţiilor de existenţă x+1> 0
𝑥 + 1 ≠ 1
𝑥2 + 5𝑥 + 6 > 0
Rezolvarea inecuaţiei x+1> 0
Rezolvarea inecuaţiei 𝑥2 + 5𝑥 + 6 > 0.
Găsirea domeniului maxim de definiţie (-1;0)U(0;+∞)
3p
2p
2p
3p
II.2 Calculul numărătorului: 2
11
6
Gasirea numitorului : 27
6
E= 22
3
Logaritmarea expresiei şi găsirea numărului
log2 𝐸 =2
3
2p
2p
3p
3p
II.3 Exprimarea în funcţie de a numarului log3 2 =𝑎−1
3
Trecerea din baza 12 în baza 3
Găsirea rezultatului log12 48 =4𝑎−1
2𝑎+1
5p
5p
10p
II.4 Găsirea rezultatului 𝐸 =log 4 𝑥
log 2 𝑥
𝐸 =1
2, care nu depinde de x.
5p
5p
II.5 Calculul log5 5 − 2 5 + log5 5 + 2 5 = 1
log5 0,043
=1
3log5
1
25
log5
1
53 = −
1
3
Finalizarea calculului
3p
2p
2p
3p
II TOTAL 60p
27
Clasa: aX-a
Unitatea de învăţare: Numere complexe sub formă algebrică
Profesor :Ţaga Loredana
Unitatea şcolară: Colegiul Economic “Virgil Madgearu” Ploiești
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1
Cunoaştere
C2
Înţelegere
C3
Aplicare
C4
C5
Rezolvare
de
probleme
C6 Total(%)
Egalitatea numerelor
complexe 2/0,4 2/0,4
3/0,6
I1(3p)
3/0,6
III1
(5p)
10%
8p
Adunarea şi înmulţirea
numerelor complexe 5/1
I2(3p)
5/1
I3(3p)
7,5/1,5
II1(5p)
7,5/1,5
III2,
(5p)
III3
(5p)
25%
21p
Puterile lui i. Ridicarea la
putere 4/0,8
I4(3p) 4/0,8
6/1,2
II2(5p)
6/1,2
III4
(5p)
20%
13p
Conjugatul unui număr
complex si împărţirea
numerelor complexe
5/1
I5(3p)
5/1
I6(5p)
7,5/1,5
II3(5p),
II4(5p)
7,5/1,5
III5
(5p)
25%
23p
Modulul unui număr
complex 2/0,4 2/0,4
I7(5p)
3/0,6
II5(5p)
3/0,6
III6
(5p)
10%
15p
Rezolvarea ecuaţiei de
gradul al doilea cu Δ
negative
2/0,4 2/0,4 3/0,6
II6(5p)
3/0,6
III7
(5p)
10%
10p
Total(%) 20%
9p
20%
13p
30%
33p
30%
35p
100%
90p
Competenţe de evaluat:
C1: Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere
a unui număr complex în contexte specifice.
C2: Egalitatea numerelor complexe folosită în contexte variate.
C3: Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere complexe în contexte variate.
C4: Alegerea formei de reprezentare a unui număr complex în vederea optimizării calculelor.
C5: Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor.
C6: Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere complexe scrise în forme
variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii.
28
Test
Subiectul I ( 25p) – Alegeţi răspunsul corect:
3p 1 Numărul a din egalitatea 3+(a-1) i = 3+5 i este:
a) 4 b) 5 c) 6
3p 2 Rezultatul calculului (2-7i)+(-6-i) este:
a) 8+8i b) -4-8i c) -4+6i
3p 3 Produsul numerelor 2-3i şi 2+3i este:
a) 2 b) -5 c) 13
3p 4 Numărul complex i
2015 este egal cu:
a) –i b) i c) 1
3p 5 Conjugatul numărului complex -7+5i este:
a) 7-5i b) -7-5i c) 5+7i
5p 6 Partea reală a numărului complex 1-i/1+i este :
a) 1 b) 2 c) 0
5p 7 Modulul numărului complex 3-4i este:
a) 5 b) -7 c) 1
Subiectui II (30p) - Scrieţi rezultatele:
5p 1 Scrieţi rezultatul calculului: 4+3i-(3-i)(-4+2i)=
5p 2 Calculaţi: (1+i)2(1-i)
2 :
5p 3 Scrieţi conjugatul numărului: (3+2i )2 :
5p 4 Calculaţi: (4-3i) / (4+3i)
5p 5 Modulul numărului complex z = i / (4+3i) este:
5p 6 Soluţiile ecuaţiei x2+2x+5=0 sunt:
Subiectul III( 35p) – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete:
5p 1 Să se determine x şi y numere reale dacă: (1-2i)x+(1+2i)y = 1+i .
5p 2 Dacă z1= 5-2i şi z2= 3+4i să se determine z1+z2+z1z2 .
5p 3 Aflaţi numerele reale a şi b din egalitatea: (a+5i)(2-6i)=(-3+i)(7-bi)
5p 4 Calculaţi: 1+i+i2+i
3+...+i
36
5p 5 Calculaţi: [(1-2i)3+(1+2i)
3] / (i-2)
5p
6 Aflaţi modulul numărului : (4-6i)
2(2+i)
2
5p 7 Rezolvaţi ecuaţia: (2x-5)(2x+5) = x2-6x-35 .
Notă: Timpul efectiv de lucru este 60 de minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
29
Barem de evaluare
I1 Raspuns corect : c) 3p
I2 Raspuns corect : b) 3p
I3 Raspuns corect : c) 3p
I4 Raspuns corect : a) 3p
I5 Raspuns corect : b) 3p
I6 Raspuns corect : c) 5p
I7 Raspuns corect : a) 5p
II1 Răspuns: 14-7i 5p
II2 Răspuns: 4 5p
II3 Răspuns: 5-12i 5p
II4 Răspuns: 7/25- 24/25 i 5p
II5 Răspuns: 1/5 5p
II6 Răspuns: -1+2i şi-1-2i 5p
III
1
Calculul (x+y)+(-2x+2y)i=1+I
Rezolvarea sistemului x+y=1, -2x+2y=1
3p
2p
III
2
Calculul z1+z2
Calculul z1z2
Finalizare
2p
2p
1p
III
3
Efectuarea înmulţirilor: 2a+30+(10-6a)i= b-21 +(3b+7)i
Rezolvarea sistemului: 2a+30=b-21 , 10-6a=3b+7
3p
2p
III
4
Calculul 1+i+i2+i
3=0
Calculul 1+i+...+i35
+i36
=0+1=1
2p
3p
III
5
Calculul [(1-2i)3+(1+2i)
3] = -22
Calculul: -22/(i-2)
3p
2p
III
6
Modulul lui (4-6i)2
Modulul lui (2+i)2
Finalizare
2p
2p
1p
III
7
Efectuarea inmulţirii
Determinarea ecuaţiei: 3x2+6x+10=0
Rezolvarea ecuaţiei
1p
2p
2p
30
Clasa:a X-a
Unitatea de învăţare: Rezolvarea în C a ecuației de gradul al doilea cu
coeficienți reali
Profesor:Dumitru Olguța
Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic ”Gheorghe Lazăr ” Plopeni
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Operații cu numere
complexe II3(4p)
4%
4 p
Ecuația de gradul II ,
algoritmul de rezolvare
I1(5p),
I2(5p) I3(5p)
II1a(10p)
II1b(10p)
50%
35p
Relațiile lui Viete I4(5p)
II3(6p),
II2(10p) III(20p)
36%
41p
Ecuații bipătrate II4(10p)
10 %
10 p
Total 20%
10p
24%
14p
46%
46 p
10%
20p 90 p
Competenţe de evaluat:
C1. Recunoașterea formei unei ecuații de gradul al doilea, completă sau incompletă
C2. Recunoașterea și aplicarea formulei discriminantului unei ecuații de gradul al doilea, a
relațiilor lui Viete
C3. Rezolvarea ecuațiilor de gradul al doilea și a ecuațiilor bipătrate.
C4. Formarea unei ecuații când știm relații între rădăcini.
31
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 45 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.
Subiectul I . Scrieţi pe foaie doar răspunsurile.
5p 1 Se dă ecuația x2+ 3x +4 =0 . atunci a= ..., b= ..., c= ... .
5p. 2 Dacă x2 +4 =0 atunci b=.... .
5p 3 Pentru ecuația x2 – 4x +5 =0 valoarea discriminantului este ....
5p. 4 Dacă x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației x2+6x +13 =0, atunci x1 +x2= .... .
Subiectul II. Scrieţi pe foaie rezolvările complete.
10p.
10p 1
Rezolvați ecuațiile:
a) 2x2 – 2x +1 =0
b) x2+4x +13 =0
10p 2 Fie ecuația x
2 +3x +9 =0 cu rădăcinile x1 și x2. Calculați x1+x2 –x1x2.
10p 3 Formați o ecuație de gradul al doilea cu rădăcinile x1= 3+4i și x2 =3- 4i
10p 4 Rezolvați ecuația x4-x
2 -20=0
Subiectul III. Scrieţi pe foaie rezolvările complete.
20p.
1
Fie ecuația x2 -4x +7 =0 și x1, x2 soluțiile ecuației. Să se formeze ecuația de
gradul al doilea cu rădăcinile y1 și y2 ,unde y1=x12+x2
2 și y2=
𝟏
𝒙𝟏+
𝟏
𝒙𝟐
32
Barem de evaluare
I1 a= 1, b=3, c= 4 5p
I2 b= 0 5p
I3 ∆= - 4 5p
I4 x1+x2= -6 5p
II
1a ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟒 − 𝟖 = −𝟒
𝒙𝟏 =−𝒃 + 𝒊 −∆
𝟐𝒂= 𝟏 + 𝒊
𝒙𝟐 =−𝒃 − 𝒊 −∆
𝟐𝒂= 𝟏 − 𝒊
2p
4p
4p
II
1b ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟏𝟔 − 𝟓𝟐 = −𝟑𝟔
𝒙𝟏 =−𝒃 + 𝒊 −∆
𝟐𝒂= −𝟐 + 𝟑𝒊
𝒙𝟐 =−𝒃 − 𝒊 −∆
𝟐𝒂= −𝟐 − 𝟑𝒊
2p
4p
4p
II 2 S= −𝒃
𝒂 = -3, p =
𝒄
𝒂 =9
x1+x2 –x1x2 = 6
3p
3p
4p
II 3 s = x1 +x2 =6, p = x1 x2 = 9+ 16 =25
x2-sx+p =0
x2-6x +25 =0
4p
3p
3p
II 4 Notăm x2=t
t2-t – 20 = 0
Calculul rădăcinilor t1=5 și t2 = - 4
Calculul x1, x2 = ± 𝟓
Calculul x3, x4 = ±𝟐𝒊
2p
1p
3p
2p
2p
III x1+x2= 4, x1x2 =7
y1= x12 +x2
2 =s
2-2p = 2
y2 = 𝟏
𝒙𝟏+
𝟏
𝒙𝟐 =
𝟒
𝟕
Calculul y1 +y2 = 𝟏𝟖
𝟕, y1y2 =
𝟖
𝟕
Formarea ecuației y2 –sy+p =0
7 y2- 18y +8 =0
2p
4p
4p
3p
2p
5p
33
Clasa:a X-a
Unitatea de învăţare: Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex.
Ecuaţii binome.
Profesor:Brabeceanu Silvia
Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic „ Gheorghe Lazăr” Plopeni
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Scrierea formei
trigonometrice a unui
complex.
6%
0,72
1 item
8%
0,96
1 item
6%
0,72
1 item
20%
2,40
Aflarea rădăcinilor de
ordinul n ale unui număr
complex.
9%
1,08
1 item
12%
1,44
1 item
9%
1,08
1 item
30%
3,60
Rezolvarea ecuaţiilor
binome folosind forma
trigonometrică a
numărului complex.
9%
1,08
1 item
12%
1,44
1 item
9%
1,08
1 item
30%
3,60
Corespondenţa între
soluţiile trigonometrice şi
cele algebrice.
6%
0,72
1 item
8%
0,96
1 item
6%
0,72
1 item
20%
2,40
Total 30%
4 itemi
40%
4 itemi
30%
4 itemi 100%
Competenţe de evaluat:
C1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere complexe scrise algebric şi a formei de
scriere trigonometrică.
C3. Aplicarea unor logaritmi specifici de calcul pentru determinarea rădăcinilor de ordinul
„n” a unui număr complex şi rezolvarea unei ecuaţii binome.
C4. Optimizarea rezolvării unor probleme cu numere complexe pentru a găsii rădăcinile de
ordinul „n” şi a determina soluţiile unei ecuaţii binome, precum şi corespondenţa dintre
forma algebrică şi forma trigonometrică a soluţiilor.
34
Test
PARTEA I Scrieţi litera corespunzătoare singurului răspuns corect. ( 30 de puncte )
5p 1.
Forma trigonometrică a numărului complex 3 3z i este:
A. 7 7
cos sin4 4
i B.
3 33 cos sin
4 4i
C. 7 7
6 cos sin4 4
i
D.
3 32 cos sin
4 4i
5p 2. Pentru numărul complex
1 3
2 2z i argumentul redus este:
A. 30ot B. 60ot C. 135ot D. 270ot
5p 3.
Fiind dat numărul complex cos sin4 4
z i
, o rădăcină de ordinul 2n este:
A. 1
9 9cos sin
8 8Z i
B. 1
3 3cos sin
8 8Z i
C. 1 2 cos sin8 8
Z i
D. 1
5 52 cos sin
4 4Z i
5p 4.
Pentru numărul complex 1z i , o rădăcină de ordinul 3n este
60 2 cos sin
4 4Z i
, atunci forma algebrică a rădăcinii este:
A. 1 i B. 6 2 1 i C. 6 2
12
i D. 6 2 2
12
i
5p 5. Rădăcinile complexe sub formă algebrică ale ecuaţiei 4 1 0z sunt:
A. 2z i B. 1 1z i şi 2 1z i C. z i D. 1 1 2z i şi 2 2z i
5p 6.
Ecuaţia binomă 3 1 0z are una dintre soluţii scrisă sub formă trigonometrică de forma:
A. 2
1 2 2cos sin
2 3 3Z i
B. 2
4 4cos sin
3 3Z i
C. 32
4 42 cos sin
3 3Z i
D. 2
2 2cos sin
3 3Z i
PARTEA a II-a La următoarele probleme se cer rezolvări complete. ( 60 de puncte )
1. Se consideră numărul complex 1 2 1 2z i x i y
10p a). Să se determine numerele reale x şi y pentru care 1z i .
10p b). Pentru 1
4x şi
3
4y să se scrie forma trigonometrică a numărului complex z .
10p c). Calculaţi rădăcinile de ordinul 3n ale lui 1z i .
35
2. Pe mulţimea numerelor complexe se consideră ecuaţia 6 32 1 0z z i .
10p a). Să se aducă la o formă mai simplă expresia 6 32 1z z i .
10p b). Să se rezolve ecuaţia 3 0z i .
10p c). Să se calculeze 1 2Z Z , rezultatul fiind adus la forma algebrică, unde 1 2,Z Z sunt
soluţiile sub formă trigonometrică ale ecuaţiei 3 0z i , pentru 1,2k .
36
Barem de evaluare
Partea I.
I.1. 7 76 cos sin
4 4z i
. Răspuns corect C. 5p
I.2. 60ot . Răspuns corect B. 5p
I.3. 1
9 9cos sin
8 8Z i
. Răspuns corect A. 5p
I.4.
6 2 21
2i
. Răspuns corect D. 5p
I.5. z i . Răspuns corect C. 5p
I.6. 2
4 4cos sin
3 3Z i
Răspuns corect B. 5p
Partea a II-a
1.a). 2 2 1x ix y iy i
1
2 2 1
x y
x y
Finalizare 1
4x şi
3
4y
4p
4p
2p
b). Pentru
1
4x şi
31
4y z i
2r şi 4
t
2 cos sin4 4
z i
4p
4p
2p
c). 3n şi 0,1,2k , 3 6 2r
60 2 cos sin12 12
ok Z i
61
3 31 2 cos sin
4 4k Z i
62
17 172 2 cos sin
12 12k Z i
2p
2p
3p
3p
2.a).
26 3 3 3 22 1 2z z i z z i i
Finalizare 2
6 3 32 1z z i z i
2
3 0z i
4p
4p
2p
37
b). 3 0 1z i r şi 2
t
00 cos sin6 6
k Z i
1
5 51 cos sin
6 6k Z i
2
9 92 cos sin
6 6k Z i
2p
2p
2p
2p
c). 1 2
5 9 5 9cos sin cos 2 sin 2
6 6 6 6 3 3Z Z i i
1cos 2
3 2
3sin 2
3 2
1 2
1 3
2 2Z Z i
3p
3p
3p
1p
38
Clasa: a X-a
Unitatea de învăţare: Funcții injective, surjective, bijective, inversabile.
Profesor:Aruncutean Lidia
Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic "Lazăr Edeleanu" Municipiul Ploiești
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 Total puncte
Injectivitate: definiţie,
proprietăţi.
I.1.(2p)
II.2a)
(5p)
I.2.(2p) I.3.(5p)
I.2.(3p)
II.2a)
(5p)
II.2c).
(5p) 27
Surjectivitate: definiţie,
proprietăţi.
II.2b).
(3p) I.1.(3p)
II.2b).
(2p)
I.4.(5p)
II.1c).
(2p) 15
Bijectivitate: definiţie,
proprietăţi. I.5.(2p)
II.1c)
(5p)
II.2c).
(5p)
II.2b).
(5p)
I.5.(3p)
20
Funcţii inversabile: definiţie,
proprietăţi.Condiţia necesară
şi suficientă ca o funcţie să
fie inversabilă.
II.1a).
(4p)
II.1b).
(4p)
II.1a).
(6p)
II.1c)
(3p)
I.6.(3p)
I.6.(2p)
II.1b).
(6p)
28
Total
16 14 21 21 18 90 puncte
Competențe de evaluat:
1. Trasarea graficelor unor funcţii.
2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor
proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate,
continuitate, convexitate).
3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii .
4. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor.
5. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în
rezolvarea unor ecuaţii algebrice.
39
Test
Subiectul I – Scrieți litera corespunzătoare răspunsului corect.
5p 1 Functia f:(-1,∞)→[ ,∞) f(x)= x
2+x+1 este
A)injectivă B) surjectivă C) bijectivă D) inversabilă
5p 2 Fie f(x)=-x
2+2x-m+3, f:D→ R. Pentru care mulțime D funcția este injectivă:
A) (-∞,1) B) R C) (-∞,2) D) (m-3,∞)
5p
3 Precizați care dintre următoarele funcții sunt injective: f1(x)= , f1:R →R ;
f2(x)=x2+1; f2:[0,∞) →R ; f3(x)=x
3-x
2; f3:R →R ; f4(x)=x+1; f4:R →R
A) f1 si f2 B) f1 și f 4 C) f3 și f 4 D) f2 și f 4
5p
4 Precizați care dintre următoarele funcții sunt surjective:
f1(x)=-3x+1, f1:(-∞,0] →[0, ∞); f2(x)=x2+1; f2:[0,∞) →[1, ∞); f3(x)=x
2+2x; f3:[-
1,∞) →[-1, ∞); f4(x)= , f4:[0,∞) →[0,∞) ;
A) f1 si f 4 B) f1 si f 3 C) f2 si f 3 D) f2 si f 4
5p
5 Precizați care dintre următoarele funcții sunt bijective: f1(x)=x+1, f1:Z →Z;
f2(x)=2x+1, f2:Z →Z; f3(x)=-x+3, f3: [0,3] →[-3,3]; f4(x)=x2+4x+1;
f2:(-∞,-2) →[-3, ∞);
A) f2 si f 3 B) f1 si f 4 C) f1 si f 3 D) f3 si f 4
5p
6 Inversa funcției f:R →R f(x)=-2x+1 este
A) g(x)= , g:R →R; B) g (x)= 2x-1, g:R→ R; C) g(x)= , g:R-{ →R
D) g(x)= - +1 g:R*→ R;
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
1. Fie funcţia bijectivă f:R→ R, f(x)= .
10p a) Reprezentaţi grafic funcţia f şi precizaţi mulţimea, f-1
([0,1]).
10p b) Calculaţi f-1
(-3)+ f-1
(-1)+ f-1
(5).
10p c) Aflaţi inversa funcţiei f.
2. Fie funcţia f:R→ R, f(x)= .
10p a) Aflaţi valorile reale ale lui a pentru care funcţia este injectivă.
10p b) Pentru a=1, demonstraţi că f este bijectivă.
10p c) Dacă g(x)=3x+2, g:R→ R, arătaţi că h(x)=f(x)-g(x), h:R→ R, nu este bijectivă.
Notă:
Toate subiectele sunt obligatorii.
Timpul de lucru efectiv este de 50 minute.
Din oficiu se acordă 10 puncte.
40
Barem de evaluare
Subiectul I (30 puncte)
-Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim
prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.
-Nu se acordă punctaje intermediare.
1 B 5p
2 A 5p
3 D 5p
4 C 5p
5 B 5p
6 A 5p
Subiectul II (60 puncte)
-Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul
maxim corespunzător.
- Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări
parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
1.a) Completarea tabelului de variație al funcției
Trasarea graficului
f-1
([0,1])=[-1/2,0]
4p
4p
2p
1.b) f(x)=-3 2x+1=-3 => x=-2
f-1
(-3)=-2;
f(x)=-1 => 2x+1=-1 => x=-1;
f-1
(-1)=-1
f(x)=5 => x2+1=5 => x=2
f-1
(5)=2
f-1
(-3)+ f-1
(-1)+ f-1
(5)=-1
2p
1p
2p
1p
2p
1p
1p
1.c) y>1, x2+1=y => x=
y≤1, 2x+1=y => x=
f-1(x)=
4p
4p
2p
2.a) x≥1 => x+1≥2
x<1 => 3x-a<3-a
f injectivă, dacă 3-a≤ 2 => a≥1.
4p
4p
2p
2.b) f(x)=
f injectivă
f surjectivă
f bijectivă
1p
4p
4p
1p
2.c) h(x)=
h(-1)=-a-2
h(0)=-a-2
h(-1)=h(0) => h nu este injectivă =>nu e bijectivă
2p
3p
3p
2p
Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului obținut la 10.
41
Clasa:a-X-a
Unitatea de învăţare:Ecuatii Iraționale
Profesor:Canache Georgiana
Unitatea şcolară:Școala Gimnazială I.A.Basarabescu, Ploiești
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Calcul cu numere reale și
aplicarea formulelor de
calcul prescurtat
I1-6p II2d-1p II2c-2p II1b-2p II2d-2p 13
Rezolvarea ecuatiilor de
gradul I in multimea
numerelor reale
I2-6p
I3-6p II2a-2p
II1a-3p
II2b-6p II2c-2p II1c-7p
II1b-4p
II2d-5p 41
Rezolvarea ecuatiilor de
gradul II in multimea
numerelor reale
II2a-2p 2
Rezolvarea inecuatiilor
de gradul I in multimea
numerelor reale
I5-6p
II2b-2p II1a-1p II1c-3p II1b-2p II2a-3p 17
Ecuatii irationale cu unul
sau doi radicali de acelasi
ordin sau de ordine
diferite
II2b-1p
II2c-2p
I3-6p
II2d-1p II1a-1p II2a-2p II2c-2p II1b-2p 17
Total 21
18 13 9 13 16 90p
Competenţe de evaluat:
C1 Identificarea tipurilor de ecuatii irationale .
C2 Stabilirea domeniului de existenta pentru radicalii de ordin par.
C3 Rezolvarea ecuatiilor irationale cu solutii in multimea numerelor reale.
C4 Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete ce se pot descrie printr-o ecuatie
de o variabilă.
C5 Interpretarea unor probleme de calcul în vederea optimizării rezultatului.
42
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
Subiectul I – itemi cu răspuns scurt (de completare) 30p
6p 1. Soluția întreagă a ecuației 𝒙 =2 este .......
6p 2. Soluția naturală a ecuației 𝒙 + 𝟓 =3 este........
6p 3. Soluția reala a ecuației 𝟐𝒙 − 𝟒 = -4 este .......
6p 4. Soluția reala a ecuației 𝒙𝟑
=-2 este ......
6p 5. Intervalul în care x ia valori pentru a rezolva ecuația 𝟒 − 𝒙 =4 este ........
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete-60p
25p 1.
Sa se rezolve ecuațiile în mulțimea numerelor reale :
a) 𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝟑
b) 𝟕 − 𝒙 − 𝟑 =3
c) 𝟏 − 𝒙 − 𝟐𝟑
=-2
35p 2.
Rezolvati ecuatiile in multimea numerelor reale:
a) 𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝒙 − 𝟏
b) 𝟐 + 𝒙𝟑
+ 𝟐 − 𝒙𝟑
= −𝟏
c) (𝟑 − 𝒙)𝟐𝟑+ 𝟐𝒙 − 𝟔
𝟑 = 𝟑 − 𝒙
𝟑
d) 𝟐 − 𝒙𝟑
=1- 𝑥 − 1
43
Barem de evaluare
Subiectul I 30p
1. 4 6p
2. 4 6p
3. ∅ 6p
4. -8 6p
5. (-∞; 𝟒] 6p
Subiectul II 60 p
1. a) 𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝟑
C.E . 4x-5≥ 0 <=> x𝝐[𝟓
𝟒 ;∞)
4x-5=3 => x=2
1p
4p
b) 𝟕 − 𝒙 − 𝟑 =3
C.E. x-3≥ 0=> x≥ 3 <=> x 𝝐 [3;52]
𝟕 − 𝒙 − 𝟑 ≥ 0<=> x≤ 52
7- 𝒙 − 𝟑 =9 <=> 𝒙 − 𝟑 = -2
x = ∅
4p
3p
3p
c) 𝟏 − 𝒙 − 𝟐𝟑
=-2
C.E. x-2≥ 0 <=> x≥ 2 <=> x𝝐[2;∞)
1- 𝒙 − 𝟐 = -8 <=> 𝒙 − 𝟐 =9 <=> x-2=81 <=> x=83
3p
7p
2. a) C.E.3x+1≥ 0 <=>x≥ −𝟏
𝟑 <=>x 𝝐 [−
𝟏
𝟑 ; ∞)
x-1≥ 0 <=> x≥ 1 <=> x 𝝐 [𝟏 ; ∞)
x 𝝐 [𝟏 ; ∞)
3x+1=(𝒙 − 𝟏)𝟐 3x+1=x
2-2x+1 x
2-5x=0 x(x-5)=0
x=0 si x=5
Solutia x=5
3p
4p
2p
b) 𝟐 + 𝒙𝟑
+ 𝟐 − 𝒙𝟑
= −𝟏
C.E. x≥ 0 <=> x 𝝐 [𝟎 ; ∞)
2+ 𝒙 +2- 𝒙 +3 𝟐 + 𝒙𝟑
∙ 𝟐 − 𝒙𝟑
∙ (-1) =-1
4-3 𝟒 − 𝒙𝟑
=-1 3 𝟒 − 𝒙𝟑
=-5 𝟒 − 𝒙𝟑
=−𝟓
𝟑 4-x = −
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟕 x=4+
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟕 x=
𝟐𝟐𝟑
𝟐𝟕
2p
7p
c) (𝟑 − 𝒙)𝟐𝟑+ 𝟐𝒙 − 𝟔
𝟑 = 𝟑 − 𝒙
𝟑
(𝟑 − 𝒙)𝟐𝟑− 𝟐 𝟑 − 𝒙 𝟑
= 𝟑 − 𝒙𝟑
| : 𝟑 − 𝒙𝟑
𝟑 − 𝒙𝟑
= 𝟎 <=> 𝒙 = 𝟑
𝟑 − 𝒙𝟑
− 𝟐𝟑
= 𝟏 <=> 𝟑 − 𝒙𝟑
= 𝟐𝟑
+ 𝟏 | 3
3-x =( 𝟐𝟑
+ 𝟏)3 3-x=3+3 𝟐
𝟑 +3 𝟒
𝟑 x=-3 𝟐
𝟑 -3 𝟒
𝟑
1p
2p
3p
2p
44
d) 𝟐 − 𝒙𝟑
=1- 𝑥 − 1
C.E. 2-x≥ 0 <=> x≤2 <=> x 𝝐 (− ∞; 𝟐]
Notam 𝟐 − 𝒙𝟑
=a x=2-a3
𝑥 − 1 =b x =b2+1
a=1-b
2- a3= b
2+1 2-(1-b)
3=b
2+1b
3-4b
2+3b=0
b=0 x=1
b=1x=2
b=3x=10 ∉ (− ∞; 𝟐]
1p
1p
1p
1p
2p
3p
45
Clasa:aX-a
Unitatea de învăţare:Ecuaţii exponenţiale si logaritmice
Profesor:Comşa Teodora
Unitatea şcolară:Liceul Tehnologic”1 Mai”,Municipiul Ploieşti
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Nr.itemi
Bijectivitatea funcţiilor
exponenţiale/logaritmice
0.36
0.36
0.54x
I1 0.18
0.18
0.18 1
Injectivitatea funcţiilor
exponenţiale/logaritmice
0.54
0.54
0.81x
I2
0.27x
II1 0.27 0.27 2
Substituţia si reducerea la
ecuaţie de gradul II
0.54
0.54
0.81x
II4 0.27
0.27x
II5 0.27 2
Operaţii cu puteri 0.18x
I3
0.18 x
II2 0.27 0.09 0.09 0.09 2
Operaţii cu logaritmi şi
condiţii de
existenţă/verificarea
solutiilor
0.18 0.18x
I4 0.27 0.09 0.09
0.09x
II3 2
Nr.itemi 1 2 3 1 1 1 9
Competenţe de evaluat:
C1-Cunoştinţe referitoare la puteri şi logaritmi,proprietăţi de injectivitate,bijectivitate şi
inversabilitate ale funcţiilor exponenţiale şi logaritmice
C2-Înţelegere-conceptului de ecuaţie logaritmică,ecuaţie exponenţială
C3-Aplicarea-formulelor de calcul pentru operaţii cu puteri şi logaritmi,algoritmilor de
rezolvare a ecuaţiilor prin substitutii,rezolvarea sistemelor de inecuaţii din condiţiile de
existenţa
C4-Analiză-condiţiilor de existenţa a logaritmilor,radicalilor şi a soluţiilor ecuaţiilor
exponenţiale, alegerea metodei adecvate de rezolvarea ecuaţiilor
C5-Sinteză-stabilirea conexiunilor între funcţia exponenţială şi logaritmică
C6-Evaluare-verificarea soluţiilor în cazul ecuaţiilor ecuaţiilor logaritmice,stabilirea mulţimii
soluţiilor.
46
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
Subiectul I – itemi cu răspuns scurt (de completare)
10p 1 Ecuaţia .
8
4
2
1 x
x are soluţia ........
10p 2 Soluţia ecuaţiei .1log 3
2 x este ........
5p 3 Ecuaţia .42 2log
x
admite soluţia x=4 pentru ca ......
10p 4 Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei .0)12(log 1
4 x este ........
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
5p 1 Să se rezolve ecuaţia .2822 3 xx
10p 2 Să se determine numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei
x
x
3
13 2
.
10p 3
Să se rezolve ecuaţia .1)42(log)2(log 2
2
2 xxx
15p 4 Să se determine soluţiile reale negative ale ecuaţiei .
2
522 xx
15p 5 Să se calculeze produsul rădăcinilor ecuaţiei .03lg4lg2 xx
47
Barem de evaluare
I1 x=1 10p
I2 x=8 10p
I3 Verifica ecuaţia 5p
I4 {0} 10p
II1 .28)18(2 x rezulta x=2 3p+2p
II2 xxxx 233 2 (injectivitatea funcţiei exp.)
Pentru xϵ[0,2] ecuaţia devine 0452 xx cu soluţia x=1,deci o soluţie.
2p+2p+2p
+3p+1p
II3 Logaritmii exista daca 042022 xsixx ,deci 2x
Aplică formula diferenţei logaritmilor şi rezultă 0652 xx cu soluţia x=3
2p+1p+2p
+3p+2p
II4 Aplică metoda substituţiei tx 2 ,t>0 şi ecuaţia devine 0252 2 tt cu soluţiile
2 şi ½ Revenim la substituţiei şi avem o singura radacină negativa x=-1
2p+2p+2p
+2p+2p
II5 Aplică metoda substituţiei tx lg ,t real şi ecuaţia devine 0342 tt cu
soluţiile 1 şi 3 . Revenim la substituţiei şi obţinem soluţiile 10 şi 1000,deci produsul
lor este 10000
2p+3p+3p
+2p
48
Clasa:aXa
Unitatea de învăţare:Binomul lui Newton
Profesor:Bisnel Mihaela
Unitatea şcolară:Colegiul Tehnic Lazar Edeleanu, Municipiul Ploiești
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Proprietatile
combinarilor Ic(6p)
Ia(6p)
Id(6p) Ib(6p) 24p
Dezvoltarea binomului
lui Newton Ie(6p) 6p
Formula termenului
general
II
1.a(10p
)
II 1.b,c
II2.a
(30p)
II 2.b
10p
II
2.c10p 60p
Total 6p 12p 16p 30p 16p 10p 90p
Competentele de evaluat :
C1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise.
C2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii –problemă date.
C3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv.
C4. Exprimarea caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de
numărare;
C5. Interpretarea unor situaţii problemă cu conţinut practic cu ajutorul elementelor de
combinatorică;
C6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul optimizării
rezultatelor.
49
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
Subiectul I – itemi cu răspuns scurt (de completare)
6p a Scrieţi formula de calcul şi valoarea pentru „ combinări de 7 luate câte 5”
6p b Scrieţi rezultatul diferenţei „combinărilor de 2016 luate câte 4”şi a combinărilor
complementare acestora.
6p c Scrieţi formula de calcul pentru suma tuturor combinărilor de 2 elemente şi completaţi
valoarea acesteia.
6p d Câţi termeni are dezvoltarea unui binom la puterea n=4?
6p e Completaţi primele cinci linii ale triunghiului lui Pascal şi scrieţi dezvoltarea binomului
(x-y)4.
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
1.Fie binomul (a2_
1/a)11
10p 1.
a Să se calculeze T8
10p 1.b Să se determine termenul care il conţine pe a4
10p 1.c Există un termen care nu îl conţine pe „a”?Dacă da,să se determine acel termen.
10p 2.
a
Să se determine n natural,nenul,pentru care în dezvoltarea(1+x)n+1
, coeficienţii
binomiali ai termenilor al 4-lea şi al 6-lea sunt egali.
10p 2.b
Să se determine n natural,nenul,pentru care în dezvoltarea (1+x)n+1
coeficientul
binomial al termenului al 4-lea este 120 si coeficientul binomial al termenului al
6-lea este 252
10p 2.c Să se determine n natural,nenul,pentru care în dezvoltarea (x+5
1/2)6, diferenţa
dintre termenii al 5-lea şi al 3-lea este 300.
50
Barem de evaluare
I a Formula combinărilor
Valoarea= 21
3p
3p
I b Rezultatul= 0 6p
I c Cn0+Cn
1+Cn
2=2
n
22=4
4p
2 p
I d 5 termeni 6p
I e 1
1 1
1 2 1 ; (x-y)4= x
4-4x
3y+6x
2y
2-4xy
3+y
4
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Triunghiul
4p
Dezv2p
II 1.a Formula termenului general
Formula T8 pentru k=7
Răspuns: -330a
4p
4p
2p
II 1.b Formula termenului general
Formula termenului general pentru binomul dat
22-2k=4 ; k=9 ; a4 aparţine lui T10
2p
3p
5p
II 1.c Formula termenului general
22-2k=0 ; k=11 natural , deci există
T12 nu conţine pe a
2p
5p
3p
II 2.a Coeficientul lui T4 este Cn+13
Coeficientul lui T6 este Cn+15
Egalarea lor si obţinerea n=7
3p
3p
4p
II 2.b Coeficientul lui T4 este Cn+13 = 120
Coeficientul lui T6 este Cn+15 = 252
Egalarea lor şi obţinerea n=9
3p
3p
4p
II 2.c T5= 375x2
T3= 75x4
5x2-x
4=4 ; obs: x=1
3p
3p
4p
51
Clasa:a-X-a
Unitatea de învăţare: Matematici financiare
Profesor:Burlacu Daniel
Unitatea şcolară: Liceul Tehnologic Sat Cioranii de Jos
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Procente
I.1(5p) I.2(5p) 10p
Dobânzi
I.3(5p) I.4(5p) II.1
(10p)
II.2
(10p) 30p
TVA
I.5 (5p) 5p
Culegerea clasificarea și
prelucrarea datelor
statistice, reprezentarea
grafică a datelor
statistice.
II.3a)
(10p)
II.3b)
(10p) 20p
İnterpretarea datelor
statistice prin parametrii
de poziție: medii,
dispersia, abateri de la
medie.
I.6 (5p) II.4a)
(10p)
II.4b)
(10p) 25p
Competențe de evaluat:
1. Recunoașterea unor date de tip probabilistic sau statistici în situații concrete.
2.Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului
financiar, a graficelor şi diagramelor;
3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor
pentru analiza de caz;
4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice, probabilistice a unor
probleme practice ;
5. Analiza și interpretarea unor situații practice cu ajutorul conceptelor statistice sau
probabilistice;
6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem
prin analogie cu modul de comportare în situaţii studiate.
52
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 de minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
Subiectul I – Completați spațiile punctate cu răspunsul corect
5p 1 Scrisă sub formă de raport procentual fracția 4
5este....
5p 2 Mihai a cheltuit 17% din salariu și i-au mai rămas 1660 de lei. Salariul lui Mihai este de ...
5p 3 Elena a depus în urmă cu un an la bancă suma de 320€ iar acum are 368€. Dobânda anuală
este de....
5p 4 Un kg de mere costă 3lei. La nivelul unei inflații de 5% anual peste 3 ani unkg de mere va
costa....
5p 5 Un sacou are prețul cu TVA de 240 de lei. TVA-ul este de 20%. Prețul fără TVA este de...
5p 6
Fie seria statistică:
xi 200 150 100
ni 3 7 10
Media seriei este ....
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
10p 1 Ce dobândă se va obține la o depunere de 5000 de lei cu o rată anuală a dobânzii
simple de 17,5% pe o perioadă de doi ani.
10p 2 Ce sumă de bani va avea o persoană la bancă după 5 ani dacă plasează un capital
de 3200 lei cu o rată a dobânzii compuse de 5%?
10p 3a)
În urma aplicării unui test la clasa a-X-a s-au obținut următoarele rezultate:
Nota 3 4 5 6 7 8 9 10
Număr
elevi
2 3 5 7 N 4 3 2
Aflați N știin că media clasei este de 6,4375.
10p 3b) Pentru N aflat anterior reprezentați printr-o diagramă cu bare distribuția notelor.
10p 4a)
Fie seria statistică:
xi 2 3 5 6 7
ni 4 5 3 6 8
Aflați media seriei.
10p 4b) Aflați dispersia seriei și abaterea pătratică.
53
Barem de evaluare
Subiectul I
1
100
125
5p
2 2000 lei. 5p
3 15% 5p
4 3,47 5p
5 200 lei. 5p
6 132,5 5p
Subiectul II
1 Dt= tS
r
100
Dt= 25000100
5,17 =1750
3p
7p
2 Sn=
nrS )
1001(
Sn=5)
100
51(3200 =4084,101lei
3p
7p
3a) m=
N
N
N
N
26
7164
26
202732742251264375,6
N=6
5p
5p
3b)
10p
4a) x = 5
26
130
26
563615158
10p
4b) 61,3
26
94
26
826105243 2222
61,326
94
26
826105243 2222
9,161,3
3p
2p
0
1
2
3
4
5
6
7
3 4 5 6 7 8 9 10
Număr de elevi
54
Clasa: a X-a
Unitate de învăţare: Elemente de geometrie analitica in plan
Programa scolara aprobata prin OMEC nr. 4598/31.08.2004
Profesor: Nistor Daniela
Unitatea şcolară: Liceul Tehnologic ,,1 Mai”, Municipiul Ploiesti
Matricea de specificatii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Coordonate carteziene în
plan, coordonatele unui
vector în plan, coordo-
natele sumei vectoriale,
coordonatele produsului
dintre un vector şi un
număr real, produsul
scalar dintre doi vectori
I1 (2p)
I 2 (2p)
I1 (8p)
I2 (8p)
I3 (10p)
I4 (6p)
I5 (6p)
42p
Forme ale ecuaţiei
dreptei în plan I6 (2p)
I6(8p)
I7 (6p)
I8 (6p)
22p
Condiţii de paralelism,
condiţii de
perpendicularitate a
două drepte din plan
I7 (4p)
I8 (4p)
I 4(4p)
I5 (4p)
16p
Distanţa dintre două
puncte în plan, arii I9 (10p)
10p
Total 6p 16p 10p 58p 90p
Competente de evaluat:
C1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic sau utilizând vectori
C2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism şi
perpendicularitate
C3.Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor
proprietăţi ale acesteia şi calcul de distanţe şi arii
C4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei
configuraţii geometrice
55
Test
Notă. Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
În sistemul de axe cartezian xOy se consideră punctele A(4,2), B(-2,4) şi C(1,-3).
Subiectul I: Alegeţi răspunsul corect dintre următoarele variante
10p I1 Coordonatele mijlocului segmentului (BC) sunt:
A. 1 1
( , )2 3
; B. 1 1
( , )2 2
; C. 1 1
( , )2 2
; D. (2, 2)
10p I2 Coordonatele centrului de greutate al ∆ABC sunt:
A. (1, 1); B. (1, -1); C. (2,3); D. (-1, -1)
10p I3 Coordonatele vectorului 2AB - 5AC sunt:
A. (13, 29); B. (-3, 2); C. (3, 29); D. (29, 3)
10p I4 Valoarea reala a pentru care vectorii AC şi 2a 1,2u sunt ortogonali este:
A. 7
6 ; B.
7
6; C.
6
7; D.
7
5
10p I5 Valoarea reala a pentru care vectorii AB şi a + 1,3 av sunt coliniari este:
A. 1; B. 0; C. -5; D. 5
Subiectul II: Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete
10p I6 Să se determine ecuaţia dreptei AB.
10p I7 Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul C şi este paralelă cu AB.
10p I8 Să se determine ecuaţia înălţimii ∆ABC corespunzătoare vârfului C.
10p I9 Să se afle aria ∆ABC.
56
Barem de evaluare
I1 B.
1 1( , )
2 2
10p
I2 A. (1, 1) 10p
I3 C. (3, 29) 10p
I4 A.
7
6
10p
I5 D. 5 10p
I6 Formula ecuatiei dreptei determinate de doua puncte distincte 2p
x 4 y 2: x 3y 10 0
2 4 4 2AB
8p
I7
AB
1 10 1AB: y x m
3 3 3
2p
d ABmd = mAB 2p
d: y – yC = md (x – xC) 2p
d: x + 3y + 8 = 0 4p
I8 h ABh AB m m 1 2p
mh = 3 2p
h: 3x – y - 6 = 0 6p
I9 Formula distantei de la un punct la o dreapta 2p
9 10
d C, AB 5
2p
Formula distantei dintre doua puncte 2p
2 2
AB 2 4 4 2 AB 2 10 2p
AB d C, ABS S 18
2
2p
57
Clasa a XI-a
Test inițial - M1
Profesor: Colcer Alina Mihaela
Unitatea şcolară: Colegiul Național “Nicolae Grigorescu” Câmpina
Matricea de specificații
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Mulțimea numerelor
reale; complexe, ecuații
iraționale
I.1 (2p) I.4(5p)
I.6(5p)
I.5(5p) 17p
Funcția de gradul al II-
lea, funcţia de gradul I,
funcţia bijectivă
I.2(5p) II.3(3p) II.3(3p) 11p
Funcția exponențială;
funcția logaritmică
I.3(5p)
II.1.a
(8p)
I.1(3p) II.1.b
(10p)
II.1.a
(2p)
28p
Ecuații și inecuații II.1.c
(6p)
I.7(5p) II.1.c
(4p)
II.3(4p) 24p
Reper cartezian în plan;
coordonate carteziene în
plan, ecuații ale dreptei
în plan; condiții de
paralelism și
perpendicularitate
II.2.b
(4p)
II.2.b
(1p)
II.2.c
(2p)
II.2.a
(3p)
II.2a
(2p)
II.2.c
(3p)
15p
Total 6p 27p 19p 20p 12p 6p 90p
Competenţele de evaluat
C1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere
a unui număr real sau complex în contexte specifice.
C2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor
proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, bijectivitate, semn etc.).
C3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului algebric sau geometriei pentru rezolvarea de
ecuaţii şi inecuaţii.
C4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice.
C5. Studierea unor situaţii-problemă din punct de vedere cantitativ şi/ sau calitativ utilizând
proprietăţile algebrice şi/ sau de ordine ale mulţimii numerelor reale.
C6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi
metode adecvate.
58
Test inițial
Partea I Scrieți litera corespunzătoare răspunsului corect. ( 35 de puncte)
5p 1.
Partea întreagă a numărului 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟓 este egală cu:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5p 2.
Se consideră f: 𝟎, ∞ → 𝟏, ∞ , f(x)=𝒙𝟐 + 𝟏. 𝒇−𝟏 𝒙 este egală cu:
A.𝒇−𝟏 𝒙 = − 𝒙 − 𝟏 B. 𝒇−𝟏 𝒙 =
𝒙𝟐 − 𝟏 C. 𝒇−𝟏 𝒙 = 𝒙 − 𝟏
D. 𝒇−𝟏 𝒙 =
− 𝒙𝟐 − 𝟏
5p 3. Valorile lui x pentru care este definit radicalul 𝟓𝒙 − 𝟎, 𝟎𝟒
𝟒 :
A. x≥ −𝟐 B. x≤ 𝟐 C. x≥ 𝟐 D. x≤ −𝟐
5p 4.
Numărul 𝑪𝟖𝟒 − 𝑪𝟕
𝟒 − 𝑪𝟕𝟑 este egal cu:
A. 12 B. 7 C. 0 D. 6
5p 5.
Mulţimea soluţiilor ecuaţiei 𝒙 − 𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟓𝟑
+ −𝒙𝟐 + 𝟒=3.
A. x∈ 𝟐 ; ∞ B. x∈ −𝟐; 𝟐 C. x=2 D. x=-2
5p 6.
Numerele complexe care verifică ecuaţia z+2𝒛 =6+2i.
A.z=-2+2i B.z=2-2i C. z=2+2i D.-2-2i
7.
Soluţia ecuaţiei arcsinx +arccos𝟏
𝟐 =
𝝅
𝟐 este:
A. 𝟐
𝟐 B.
𝟏
𝟐 C. 1 D.
𝟑
𝟐
PARTEA a II-a La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (55 de puncte)
1. Se consider funcţiiile f: −𝟏, ∞ → ℝ, g: ℝ → −𝟏, ∞ , f(x)=𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 + 𝟏 ,
g(x)=𝟐𝒙 − 𝟏.
10p a) Să se studieze monotonia funcţiei f+g;
10p b) Să se calculeze 𝒇°𝒈 𝒙 ;
10p c) Să se rezolve ecuaţia f(x)+g(x)=9.
2. Într-un reper cartezian se consideră punctele A(4,1), B(6,3) şi C(1,2).
5p a) Să se scrie ecuaţia dreptei BC;
5p b) Să se afle mediatoarea laturii BC;
59
5p c) Să se afle distanţa GA, unde G este centrul de greutate al triunghiului ABC.
10p 3. Determinaţi x∈ ℝ pentru care este definit radicalul: 2𝑥+1
𝑥+3
4.
Din oficiu 10 puncte
Timp de lucru 50 minute
Toate subiectele sunt obligatorii
Succes!
60
Barem de evaluare
PARTEA I (35 de puncte)
Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerinţe, fie 0 puncte.
Nu se acordă punctaje intermediare.
Nr. Item 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Rezultate B. C. A. C. C. B. A.
Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 6p 5p
PARTEA a II-a (55 de puncte)
Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă
punctajul maxim corespunzător.
Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.
1.a Funcţia f: −1, ∞ → ℝ, f(x)=log2 𝑥 + 1 este crescătoare pe −1, ∞
Funcţia g: ℝ → −1, ∞ , g(x)=2𝑥 − 1 este crescătoare pe ℝ
Finalizare
4p
4p
2p
1.b f °g x = x 10p
1.c log2 𝑥 + 1 + 2𝑥 − 1 =9
Intuirea soluţiei x=3
Unicitatea soluţiei
2p
4p
4p
2.a BC:𝑥−6
1−6=
𝑦−3
2−3
BC: 5y-x-9=0
3p
2p
b) Panta dreptei BC este egala cu 1
5, deci panta dreptei mediatoarei este -5.
Mijlocul laturii BC este M 7
2,
5
2
Ecuaţia mediatoarei corespunzătoare laturii BC este y+5x-20=0
2p
2p
1p
3. Conditia de existenta: 2𝑥+1
𝑥+3≥ 0
x∈ −∞, −3 ∪ −1
2 , ∞
3p
7p
61
Clasa: a XI-a
Unitatea de învăţare: Matrice; Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea,
înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi.
Profesor:Oprescu Cristina Diana
Unitatea școlară:Liceul Tehnologic “1 MAI”, Ploiești
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Tabel de tip matriceal. I.1 (5p) I.2 (5p) 10
Matrice, mulţimi de
matrice I.3 (5p) I.4 (5p)
II.3b
(5p)
II.2a
(5p) 20
Operaţii cu matrice:
adunarea, înmulţirea I.5 (5p)
I.7 (5p)
I.8 (5p)
II.3a
(5p)
II.2c
(5p)
II.2b
(5p) 30
Operaţii cu matrice:
înmulţirea unei matrice
cu un scalar, proprietăţi. I.6 (5p)
I.9 (5p)
II.1a
(5p)
II.1b
(5p)
II.1c
(5p)
II.3c
(5p) 30
TOTAL 10 10 15 20 20 15 90p
Competenţe de evaluat:
1. Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu
reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic
2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matricială a unui proces
3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice în situaţii practice
4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici
5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau compatibilitate a unor sisteme şi identificarea
unor metode adecvate de rezolvare a acestora
6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi
metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)
62
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 minute. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare
lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
Subiectul I – itemi cu răspuns scurt (de completare)
Completați spațiile libere cu răspunsul corespunzător.
5p 1
Pentru golirea unui bazin cu apă se utilizează 3 robinete. Timpul de funcționare al fiecărui
robinet este dat în urmatorul tabel:
Robinet I (nr. ore) Robinet II (nr. ore) Robinet III (nr. ore)
4 3 6
3 7 5
8 2 1
Matricea atașată tabelului este: A=…….
5p 2 Se dă matricea A = (aij)Mm,n(Z), A =
4
3
1
8
4
9
6
0
2
5
7
1
.
Matricea A este de tip (....,....).
5p 3 Se dă matricea A = (aij)Mm,n(Z), A =
4
3
1
8
4
9
6
0
2
5
7
1
.
a23 = ..........
5p 4 Dacă AM2(R ), A =
35
21, atunci A
t este matricea…...
5p 5
Se consideră matricele:
29
14,
39
13BA
A - B = ......
5p 6 Se dă matricea
100
410
321
A .
....2A- At
63
5p 7 Dacă
32
64A atunci .....2 AA
5p 8 Dacă A =
30
21, B =
21
30, atunci AB =.......
5p 9 Dacă
4365
yx213
23y2x
2 atunci:
......
.....
y
x
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
5p
5p
5p
1
Fie matricele
12 10 2
2 1 4
2 2
m
m
A ,
6 5 1
6 0 4
1 mn
B ,
6 5
1 0
1 4 1
p
mC , m,n, p numere reale.
a) Pentru m=-1, calculați 2016A.
b) Să se determine m, n, p astfel încât CBA .
c) Pentru m=p=0, aratați că AC≠CA.
5p
5p
5p
2
Fie
100
010
001
;
000
000
000
;
305
542
17
),( 33
2
3 IOx
x
ARMA
a) Rezolvaţi ecuaţia: Tr 0A .
b) Pentru x=- 1, determinați matricea )(3 RMB astfel încât A-tB=O3
c) Pentru x=0, verificați că AA ≠I3
5p
5p
5p
3 Se consideră matricele
2007669
31A şi RaAaIaX ,)( 2 .
a) Să se demonstreze că AA 20082.
b) Să se demonstreze că .,),2008()()( RbaabbaXbXaX
c) Să se arate că .,2008
1
2008
1)( RaXXaX
64
Barem de evaluare
Subiectul I
1
128
573
634
A
5p
2 (3,4) 5p
3 a23 = 4 5p
4
32
51A
t
5p
5
10
01BA
5p
6
143
812
641
2AAt
5p
7
64
12822 AAA
5p
8
63
72AB
5p
9
0
1
y
x
5p
Subiectul II
1a)
12 10 2
2- 1 4
2 1 2
A
22419 20160 4032
4032 2016 8064
4032 2016 2403
2016A
2p
3p
1b)
112
62
2424
312
pp
mm
mmmm
nn
.
Deci
1
2
3
p
m
n
3p
2p
65
1c)
70782
4154
10182
650
010
141
12102
014
202
AC
72658
014
14620
12102
014
202
650
010
141
CA
AC≠CA
2p
2p
1p
2a) X2-4x+3=0
∆=16-12=4
X1=3, x2=1
2p
1p
2p
2b)
000
000
000
305
542
171
3
ihg
fed
cba
OBA t
000
000
000
35
542
171
ihg
fed
cba
a=1, b=7, c=-1, d=2, e=4, f=5, g=-5, h=0, i=3
351
047
521
B
2p
1p
2p
2c)
305
502
170
A
143515
131425
32019
305
502
170
305
502
170
AA
AA ≠I3
1p
2p
2p
3a)
200820072008669
200832008
2007669
31
2007669
31AA
=2008A
3p
2p
3b) AabbaIabbaXbAIaAIbXaX )2008()2008();)(()()( 222
)2008()2008(
))((
2
2
22
2
222
abbaXAabbaI
abAaAIbAIIbAIaAI
1p
2p
2p
3c)
2008
2008
1
2008
1
2008
1)( aaXXaX
.,2008
1
2008
1)( RaXXaX
3p
2p
66
Clasa: a XI-a M1
Unitatea de învățare: Determinanţi ( aplicaţii ale determinanţilor)
Profesor: Zlotea Roxana
Unitatea școlară:Colegiul Spiru Haret, Ploieşti
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Ecuaţia dreptei
determinată de două
puncte
I.1(5p)
II.1a
(7p)
12p
Distanţa de la un punct la
o dreaptă I.2(5p)
II.1a
(3 p)
5
P
0 I.5(5p) 13p
Aria unui triunghi
I.3( 5p)
II.1b
(5p)
II.1c
( 10p)
I.6(5p)
I.7(5p)
II.3a
(10p )
II.3b
(10p)
50p
Coliniaritatea a trei
puncte 4
)
I.4
(5p )
II.2
(10p)
15p
Total 20p 10p 10p 15p 10p 25p 90p
Competenţele de evaluat :
C1. Identificarea noţiunilor precum distanţa dintre două puncte in plan si distanţa de la un
punct la o dreaptă.
C2. Prelucrarea unor date cuprinse in enunţuri matematice referitoare la calculul ariei unui
triunghi.
C3. Aplicarea unor algoritmi specifici pentru rezolvarea de probleme.
C4. Exprimarea coliniaritătii a trei puncte utilizând calcule cu determinanţi.
C5. Studierea unei situaţii problemă utilizând aria unui triunghi.
C6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii-problemă prin alegerea unei strategii si
metode adecvate.
67
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 de minute. Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
Subiectul I – scrieţi litera corespunzătoare răspunsului corect-35 de puncte
5p
5p
5p
5p
5p
5p
5p
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ecuaţia dreptei determinată de punctele A(1; -1) si B( 3; -3) este:
A. x+y=0 B. x-y=0 C. 2x-y=0 D. x+2y=0
Distanţa de la originea O(0:0) la dreapta de ecuaţie 2x+y-5=0 este:
A. 2 B. 3 5
5 C. 5 D.
7
3
Aria triunghiului determinat de punctele A(2; 2) , B(0; 3) si C( -5;5) este:
A. 3
2 B. 4 C. 7 D.
1
2
Valoarea lui a real astfel incât punctele A( 1; 3), B( 2, 1) , C( a; a-4) sunt
coliniare este:
A. 2 B. 3 C. 1 D. -3
Valoarea lui m real astfel incât distanţa de la punctul O(0;0 ) la dreapta de
ecuaţie: 5x-12 y-m=0 este egală cu 2 este:
A. ±3 B. ±4 C. ±26 D . ±7
2
In reperul XOY fie punctele A( 2 ;1) , B( 4 ;-3) C( -2 ;-1) si D( 1; m).
Valoarea lui m real astfel incat 𝐴∆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴∆𝐵𝐶𝐷 este:
A. { 4
3; −
16
3} B.{ ±
4
3 } C. { ±
16
3} D. { ±2}
In reperul XOY fie punctele A(1; -2), B( 0 ;-3) si C( 4 ; m). Valoarea lui m
real astfel incât 𝐴∆𝐴𝐵𝐶=4 este:
A. {-2;1} B. {9; -7} C. { -9, 7} D. {3;4}
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete-55 de puncte
10p
5 p 1.
2.
3.
În reperul XOY fie punctele A(1;1), B( 2;3) si C(3;-1).
a) Să se calculeze lungimea inălţimii din A;
b) Să se calculeze aria triunghiului ABC;
c)Calculaţi aria patrulaterului ABCD unde D( 5; 4).
În reperul XOY fie punctele A (1;1), B(2;-1), C(m ; 2n+1), D(1-2m; n-5).
Determinaţi numerele reale m, n astfel incât punctele A, B,C, D sa fie
coliniare.
Ştiind că aria triunghiului ABC este 6 si A(-3,-1), B(5,3) determinaţi
coordonatele lui C astfel încât:
a) C ∊ OX;
b) C ∊ OY.
10p
10p
10p
10p
68
Barem de evaluare
Subiectul I -35 de puncte
Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul
maxim prevazut in dreptul fiecarei cerinţe , fie 0 puncte
Nu se acordă punctaje intermediare.
Nr. item 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Rezultate A. C. D. B. C. A. B.
Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p
Subiectul II - 55 de puncte
Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem , se acordă
punctajul maxim corespunzator.
Nu se acordă fracţiuni de punct , dar se pot acordă punctaje intermediare pentru
rezolvări parţiale ,in limitele punctajului indicat in barem.
1.a) Se scrie ecuaţia dreptei BC: 𝑋−𝑋𝐵
𝑋𝐶−𝑋𝐵=
𝑌−𝑌𝐵
𝑌𝐶−𝑌𝐵
Inlocuind avem ecuaţia:𝑥−2
3−2=
𝑦−3
−1−3⟺
𝑋−2
1=
𝑌−3
−4
Vom avea BC: 4X+Y-11=0
Lungimea inăţimii din A va fi: h a=│4·1+1−11│
42+12 =
6
17=
6 17
17
2p
3p
2p
3p
1.b) Calculăm BC= ( 𝑋𝐶 − 𝑋𝐵)2 + ( 𝑌𝐶 − 𝑌𝐵)2
BC= (3 − 2)2 + (−1 − 3)2= 1 + 16= 17
Aria triunghiului ABC va fi: 𝐴∆𝐴𝐵𝐶= 𝑎 ∙𝐵𝐶
2
𝐴∆𝐴𝐵𝐶=3
2p
1p
1p
1p
1.c.) Scriem aria patrulaterului ABCD ca suma ariilor a două triunghiuri
𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝐴∆𝐴𝐵𝐶 + 𝐴∆𝐵𝐶𝐷
Calculăm 𝐴∆𝐵𝐶𝐷= 1
2 ∙ │∆│, unde ∆=
2 3 13 −1 15 4 1
.
∆=-2+12+15+5-8-9=13
𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷=3+13
2 =
19
2
2p
3p
3p
2p
69
2. Punctele A, B, C sunt coliniare ⟺
1 1 12 −1 1𝑚 2𝑛 + 1 1
=0
Vom avea relaţia: -1+4n+2+m+m-2n-1-2=0
Deci: m+n-1=0
Punctele A, B, D sunt coliniare ⟺ 1 1 12 −1 1
1 − 2𝑚 𝑛 − 5 1 =0
Vom avea relaţia:-1+2n-10+1-2m+1-2m-2-n+5=0
Deci:-4m+n-6=0
Vom obtine: m=-1, n=2
2p
1p
1p
2p
1p
1p
2p
3.a) C∊ OX ⟹ C( a;0)
𝐴∆𝐴𝐵𝐶=1
2 · ∆ =
1
2 │·
−3 −1 15 3 1𝑎 0 1
│⟹
12=│-9-a-3a+5│
12=│-4a-4│
Obţinem a= 2 si a= -4
1p
2p
2p
3p
2p
3.b) C∊ OY⟹ C( 0; b)
𝐴∆𝐴𝐵𝐶=1
2 · ∆ ⟹6 =
1
2 │·
−3 −1 15 3 10 𝑏 1
│⟹
12=│-9+5b+3b+5│
12=│8b-4│
Obţinem b= 2 si b= -1
1p
2p
2p
3p
2p
70
Clasa a XI-a
Unitatea de învăţare: Sisteme de ecuații liniare
Profesor:Lica Roxana
Unitatea școlară:Colegiul Național Jean Monnet, Ploiești
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Regula lui Cramer de
rezolvare a sistemelor de
ecuații liniare
I1.0,2p
I5 0,2p
I1. 0,6p
I5.0,2p
I1. 0,2p
I4 0,6p
I5 0,2p
I4 0,4p I2. 1p I5. 0,4p 3,2
Teorema lui Rouche de
studiu a compatibilitații
unui sistem de ecuații
liniare
II3 0,2p
I3 0,2p
II3 0,2p
II1 1p I3 0,4p
II3 0,3p 2,3
Rezolvarea sistemelor de
ecuatii liniare omogene II2 0,2p II2 0,2p II2 0,2p II2 0,4p 1
Transformarea unei
ecuații matriceale intr-un
sistem de ecuații liniare
II4 0,2p II4 0,2p II4 0,4p II3 0,3p 1,1
Rangul unei matrice
I3 0,4p
II4 0,2p 0,6
Total 1 1,6 1 1,8 1,2 2,4 9
Competențe de evaluat:
C1. Identificarea matricei asociate unui sistem de ecuații liniare;
C2.Calculul determinanților;
C3. Aplicarea regulii lui Cramer de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare;
C4. Determinarea soluțiilor unui sistem compatibil nedeterminat de ecuații liniare;
C5. Verificarea soluțiilor unui sistem;
C6. Studiul compatibilității unui sistem de ecuații liniare.
71
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 de minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 1 punct din oficiu.
Subiectul I
Se consideră sistemul de ecuații liniare
4
3 6
2 4 10
ax y z
x z
x ay z
, a parametru real. Completați
răspunsul corect:
1p 1 Suma pătratelor soluțiilor sistemului pentru a= 0 este………
1p 2 Valoarea lui a pentru care prima ecuație a sistemului admite solutia (2016, 1, 0) este….
1p 3 Valoarea lui a pentru care rangul matricei atașate sistemului este doi este ….
1p 4 Sistemul are soluție unică daca a este in mulțimea…
1p 5 Pentru a=1, sistemul admite o soluție formată din numere aflate in progresie aritmetică și
atunci z=....
Subiectul al II –lea – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
1p 1 Rezolvați sistemul: 2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 10
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 în mulțimea numerelor reale.
1p 2
Determinați parametrul real m pentru care sistemul 𝑥 − 2𝑚 − 1 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 + 𝑚𝑧 = 02𝑥 + 2𝑧 = 0
are și soluții diferite de cea banală.
1p 3
Să se determine valorile parametrilor reali m, n pentru care sistemul următor este
incompatibil :
𝑚𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1𝑚𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑚𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 2𝑛 − 1
1p 4 Rezolvați ecuația 2 1 −11 1 13 2 0
∙ 𝑋 = 235 unde 𝑋 ∈ 𝑀3,1 𝐼𝑅 .
72
Barem de evaluare
I1. Suma este egala cu 19 1p
I2. 𝑎 =
−1
672
1p
I3. 𝑎 ∈ −
2
3, 1
1p
I4. 𝐼𝑅\ −
2
3, 1
1p
I5. 𝑧 =
5
3
1p
II1. Identificarea unui minor principal 0,3p
Identificarea necunoscutei secundare și obținerea sistemului format din ecuațiile
principale cu noscute principale
0,3p
Rezolvarea sistemului si calculul necunoscutelor principale 0,3p
Soluția 𝑆 = 6 + 5𝑎, −2 − 6𝑎, 𝑎 , 𝑎 ∈ 𝐼𝑅 0,1p
II2. Scrierea matricei A atașate sistemului 0,2p
Condiția ca sistemul sa aiba soluții nebanale 0,2p
𝑑𝑒𝑡𝐴 = −4𝑚2 + 6𝑚 − 2 0,2p
Rezolvarea ecuației 0,3p
Formularea soluției 𝑚 ∈ 𝐼𝑅\ 1,1
2 0,1p
II3. Conditia ramg A=rangAext 0,2p
Calcului det A 0,2p
m=0 0,2p
Calculul minorului characteristic 0,2p
𝑛 ≠
7
4
0,2p
II4 Calculul det A si constatarea ca A nu este inversabila 0,2p
Transformarea ecuației matriceale intr-un sistem de 3 ecuații liniare 0,1p
Studiul compatibilitatii sistemului 0,2p
Identificarea unei necunoscute secundare 0,1p
Rezolvarea sistemului 0,2p
Formularea soluției 𝑋 =
−1 + 2𝑎4 − 3𝑎
𝑎 , 𝑎 ∈ 𝐼𝑅
0,2p
73
Clasa:a XI-a
Unitatea de învăţare: Continuitate; intepretarea grafică a continuității unei
funcții, studiul continuității, operații cu funcții continue.
Profesor:Corlătescu Virgil
Unitatea școlară:Colegiul Tehnic Lazăr Edeleanu, Ploiești
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Ponderea (%)
Interpretarea grafică a
continuității unei funcții. 1 1 1 20% (3)
Studiul continuității unei
funcții. 1 6 2 60% (9)
Operații cu funcții conti-
nue. 1 2 0 20% (3)
Ponderea (%)
20% (3) 60% (9) 20% (3) 100%
Competențe de evaluat :
C2. Interpretarea unor proprietăți ale funcțiilor cu ajutorul reprezentărilor grafice
C4. Exprimarea cu ajutorul noțiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor
proprietăți cantitative și calitative ale unei funcții
C5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcții pentru verificarea unor rezultate și pentru
identificarea unor proprietăți
74
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 75 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primește 10 puncte din oficiu.
Subiectul I – itemi cu răspuns scurt (de completare)
6p 1 Funcția f:R → R, f(x)=
𝑥2−9
3𝑥−9 , 𝑥 < 3
2, 𝑥 = 3𝑥2−4𝑥+3
𝑥−3, 𝑥 > 3
este:
A) discontinuă în x0 = 3; B) continuă pe ( - ∞,3 ); C) continuă doar pe ( 3, + ∞ );
D) continuă pe R.
6p 2 Fie f:[0; + ∞ ) → R, f(x)=
𝑥2−1
𝑥−1, 𝑥 ≠ 1
𝑎 , 𝑥 = 1
. Valoarea lui a pentru care funcția f este continuă
pe R este:
A) 0; B) 4; C); -1; D) 2
6p 3 Se consideră funcția f: R → R, f(x) =
𝑥2 + 𝑥 + 1, 𝑥 < 0
𝑥 𝑥 + 𝑒𝑥 , 𝑥 ≥ 0 . Atunci:
A) f este discontinuă; B) 0 este punct de discontinuitate de speța a doua;
C) 0 este punct de discontinuitate de speța întâi; D) f este continuă pe R
6p 4 Valorile reale ale lui a și b pentru care funcția f: R → R, f(x)=
𝑒𝑥 + 𝑥 + 𝑎, 𝑥 ≤ 0
𝑥2 + 𝑏 · ln 𝑥 , 𝑥 > 0
este continuă în 0 sunt:
A) a=0, b=1; B) a=1, b=0; C) a = -1, b=0; D) a=b=0
6p 5 Valoarea lui m pentru care funcția f: R → R, f(x)=
2𝑥−1
𝑥2−𝑥, 𝑥 ≠ 0
𝑚 , 𝑥 = 0
este continuă pe R este:
A) 1; B) ln 2; C) 0; D) –ln 2
6p 6 Fie f: R → R, f(x) =
𝑥2 − 𝑎 , 𝑥𝜖 −∞, 1 2𝑎𝑥 , 𝑥 𝜖 (1,2)
3𝑥 + 𝑏 − 2, 𝑥 ∈ 2, +∞
.
Valorile parametrilor reali a și b pentru care funcția f este continuă pe R sunt:
A) a=-1, b=3; B) a=1, b=-3; C) a=0, b=2; D) a=1, b=-1
6p 7
Se consideră funcțiile f, g: R → R, f(x)= −
1
𝑥 , 𝑥 < 0
𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 0 , g(x) =
−𝑥, 𝑥 < 01
𝑥+1, 𝑥 ≥ 0
discontinue în 0.
Este totuși continuă în 0 funcția:
A) f+g; B) f-g; C) f·g; D) 𝑓
𝑔
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
6p 8 Se consideră funcția f: R → R, f(x) =
2x − 1, x ≤ 11 , 𝑥 > 1
. Cercetați continuitatea
funcției f
utilizând reprezentarea geometrică a graficului său.
75
6p 9 Fie f: R → R, f(x) =
𝑥,3 𝑥 ≤ 11
𝑥, 𝑥 > 1
. Să se evidențieze continuitatea funcției f
folosind reprezentarea geometrică a graficului său și să se verifice
continuitatea funcției în x0 =1 cu ajutorul limitelor laterale.
6p 10 Fie f: R→ R, f x =
𝑥 + 2, 𝑥 < 21 , 𝑥 = 22𝑥 , 𝑥 > 2
. Știind că funcția f este discontinuă în
punctul x0 =2 utilizați reprezentarea geometrică a graficului funcției date
pentru a justifica această afirmație.
6p 11
Să se demonstreze că funcția g: R → R, g(x) = 𝑥 + 2, 𝑥 ≤ 0
𝑥2 , 𝑥 > 0 este discontinuă
în x0 =0,
să se precizeze natura punctului de discontinuitate și să se ilustreze din punct
de vedere grafic această discontinuitate.
6p 12
Fie f: R → R, f(x)= 2𝑥 − 6, 𝑥 ≤ 4log2 𝑥, 𝑥 > 4
.Să se cerceteze continuitatea funcției f în
punctul xo= 4 și să se utilizeze reprezentarea grafică a funcției pentru
confirmarea geometrică a concluziei.
6p 13 Fie h: [0,𝜋]→R, h(x) =
sin 𝑥 , 𝑥 ∈ [ 0,𝜋
2 ]
cos 𝑥, 𝑥 ∈ ( 𝜋
2, 𝜋 ]
. Să se cerceteze continuitatea
funcției h și să se verifice concluzia prin metoda grafică.
6p 14 Se consideră funcțiile f,g: R→R, f(x) =
−0,5 𝑥, 𝑥 ≤ 0
𝑥 , 𝑥 > 0 , g(x) =
2𝑥 , 𝑥 ≤ 0
− 𝑥, 𝑥 > 0 .
Să se verifice că funcțiile f și g sunt continue pe R și să se ilustreze prin
metoda grafică faptul că funcția f·g conservă continuitatea pe R.
6p 15 Fie f,g: R→R, f(x) =
2𝑥3 − 𝑎, 𝑥 < 0
𝑥4 + 1 , 𝑥 ≥ 0 , g(x) =
𝑥3
, 𝑥 < 0
𝑥, 𝑥 ≥ 0 .Să se determine
valoarea parametrului real a pentru care funcția f•g este continuă pe R.
76
Barem de evaluare
PARTEA I
(42 de puncte)
Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul
maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.
Nu se acordă punctaje intermediare.
Nr. Item 1 2 3 4 5 6 7
Rezultate D. B D C D B C
Punctaj 6p 6p 6p 6p 6p 6p 6p
Partea a II-a
(48 de puncte)
Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită, se acordă punctajul maxim
corespunzător.
Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat de barem.
8 Pentru trasarea corectă a graficului
Pentru interpretarea graficului și enunțarea concluziei
4p
2p
9
Pentru trasarea și interpretarea corectă a graficului
Pentru calculul corect al limitelor laterale în punctul x0=1
Pentru compararea limitelor laterale cu valorea f(1) și concluzia finală
3p
2p
1p
10 Pentru trasarea corectă a graficului
Pentru interpretarea graficului și explicarea concluziei
4p
2p
11 Pentru demonstrarea discontinuității funcției g în punctul x0 =0, folosind limitele
laterale în 0
Pentru afirmația: 0 este punct de discontinuitate de speța I
Pentru ilustrarea grafică a discontinuității
2p
1p
2p
12 Pentru calculul corect al limitelor laterale în punctul x0=4
Pentru compararea limitelor laterale cu valoarea f(4) și afirmarea concluziei
Reprezentarea grafică și interpretarea corectă a acesteia
2p
1p
2p
13 Pentru afirmația: funcția h este continuă pe intervalele 0,𝜋
2 ș𝑖 (
𝜋
2 ,𝜋] cu justificare
Stabilirea discontinuității în punctul de legătură x0 = 𝜋
2 ,cu ajutorul limitelor laterale
Pentru ilustrarea grafică a discontinuității cu afirmația justificativă
1p
2p
2p
14 Pentru demonstrarea continuității funcțiilor f și g
Pentru determinarea funcției produs
Reprezentarea grafică a funcției produs și evidențierea continuității acesteia
2p
1p
2p
15 Determinarea compunerii funcției f cu funcția g
Precizarea condițiilor de continuitate a funcției compuse
Funcția compusă este continuă pentru a = -1
2p
2p
1p
Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se obține prin împărțirea punctajului
obținut la 10.
77
Clasa: a XI-a
Unitatea de învăţare: Regula lui L’Hospital
Profesor: Dudu Adela
Unitatea şcolară: Colegiul Tehnic Toma N. Socolescu Ploiești
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Recunoașterea cazurilor
de nedeterminare
I 1) 10p
II 2) 1p
3) 1p
II 5) 5p II 6) 1p 18p
Identificarea condițiilor
Regulei lui l‟Hospital
I 2) 10p
3) 10p 20p
Utilizarea transformărilor
necesare II 2) 1p
3) 3p
II 2) 2p
3) 4p
4) 3p
II 2) 1p
3) 1p
4) 1p
II 6) 1p 17p
Reguli de derivare a
funcțiilor
II 1a)
5p
1b) 5p
II 3) 1p II 4) 3p
5) 5p 19p
Alegerea metodei
adecvate de rezolvare II 2) 5p
II 6) 8p
4) 3p 16p
Total 46p 1p 22p 8p 13p 90p
Competențe de evaluat :
C1. Identificarea cazurilor de nedeterminare reductibile la cazurile regulii lui l‟Hospital
C2. Recunoașterea condițiilor necesare aplicabilității regulii lui l‟Hospital
C3. Utilizarea transformărilor necesare pentru a se aplica regula lui l‟Hospital
C4. Aplicarea regulilor de derivare a funcțiilor elementare și compuse
C5. Analizarea pe baza unui simplu plan de idei, a demersului parcurs în rezolvarea cerinței,
alegând cea mai eficientă metodă în scopul eficientizării rezolvării
78
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
Subiectul I – itemi cu răspuns scurt (de completare)
10p 1. Precizați cazurile de nedeterminare reductibile la aplicarea regulii lui l‟Hospital .
10p 2. Condițiile necesare aplicabilității regulii lui l‟Hospital sunt : ... .
10p 3. Dați un exemplu în care reciproca nu e totdeauna valabilă .
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
5p
5p
1.
Să se calculeze limitele:
a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞𝑒𝑥
𝑥2
b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→1𝑥3−𝑥2−𝑥+1
𝑥3−4𝑥2+5𝑥−2
10p 2.
Să se calculeze limita:
𝑙𝑖𝑚𝑥→0
𝑥3𝑠𝑖𝑛 2𝑥
10p 3.
Să se calculeze limita:
𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥>0
𝑥2𝑙𝑛𝑥
10p 4. Să se calculeze limita:
𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 𝑒𝑥 − 𝑥
10p 5.
Să se calculeze limita:
𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 𝑥3 + 𝑥 + 1 1
𝑥+1
10p 6.
Să se calculeze limita:
𝑙𝑖𝑚𝑥→0 𝑥2+1
2𝑥2+1
1
𝑥2
79
Barem de evaluare
S.I 1 0
0 ;
∞
∞ ; 0 ∙ ∞ ; ∞ ∙ ∞ ; 00 ; ∞0 ; 1∞
10p
S.I 2 a) 𝑓 , 𝑔 − 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 𝑝𝑒 𝐼 − 𝑥0 , 𝑥0 − 𝑝𝑢𝑛𝑐𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒
b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥0
𝑔 𝑥 = 0 ∞
c) 𝑔′ 𝑥0 ≠ 0
d) ∋ 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥0
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥 = 𝐿
10p
S.I 3 𝑓
𝑔 𝑎𝑟𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡ă î𝑛 𝑥 = 𝑎 ⇏ ș𝑖
𝑓 ′
𝑔′ 𝑎𝑟𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡ă î𝑛 𝑥 = 𝑎 . 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 , 𝑔 𝑥
= 𝑥 , 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
∞∞= 𝐷𝑎𝑟
𝑓 ′ 𝑥
𝑔′ 𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑛𝑢 ∋
10p
S.II 1 a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥2
∞∞=
𝑙′𝐻𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
𝑒𝑥
2𝑥
∞∞=
𝑙′𝐻
𝑙𝑖𝑚𝑥→∞𝑒𝑥
2= ∞
b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥3−𝑥2−𝑥+1
𝑥3−4𝑥2+5𝑥−2
∞∞=
𝑙′𝐻𝑙𝑖𝑚𝑥→0
3𝑥2−2𝑥−1
3𝑥2−8𝑥+5𝑥
∞∞=
𝑙′𝐻𝑙𝑖𝑚𝑥→0
6𝑥−2
6𝑥−8
𝑙𝑖𝑚𝑥→06𝑥−2
6𝑥−8=
1
4
3p
2p
3p
2p
S.II 2 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
𝑥3𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 00
= 𝐿 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚ă𝑚 (𝑙𝑛)
𝑙𝑛𝐿 = 𝑙𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
𝑥3𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = …
𝑙𝑖𝑚𝑥→0
𝑥3𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = ⋯
𝑙𝑖𝑚𝑥→0
3𝑠𝑖𝑛2𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑥 0∞=
𝑙′𝐻𝑙𝑖𝑚𝑥→0
𝑙𝑛 𝑥
13𝑠𝑖𝑛2𝑥
∞∞=
𝑙′𝐻
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
1𝑥
−23
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥
∞∞=
𝑙′𝐻−
3
2𝑙𝑖𝑚𝑥→0
𝑠𝑖𝑛3 𝑥
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
00=
= −3
2𝑙𝑖𝑚𝑥→0
𝑠𝑖𝑛3 𝑥 ∙ 𝑥2
𝑥3𝑐𝑜𝑠𝑥
= 0 ⇒ ln L = 0 ⇒ L = 1
1p
1p
1p
2p
2p
2p
1p
80
S.II 3 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
𝑥2 𝑙𝑛 𝑥 0∞=
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 𝑥→0 ∞
𝑔 𝑥 = 𝑥2
=𝑓
1𝑔
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥>0
𝑙𝑛𝑥
1𝑥2
∞∞= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0𝑥>0
1𝑥
−21𝑥3
1p
2p
2p
3p
S.II 4 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
𝑒𝑥 − 𝑥 ∞−∞
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
𝑒𝑥 1 −𝑥
𝑒𝑥
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
𝑥
𝑒𝑥
∞∞=
𝑙′𝐻𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
1
𝑒𝑥= 0
∞ ∙ 1 − 0 = ∞
4p
3p
3p
S.II 5 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
𝑥3 + 𝑥 + 1 1
𝑥+1
∞0
=
𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
1
𝑥 + 1𝑙𝑛 𝑥3 + 𝑥 + 1
0∞=
𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
𝑙𝑛 𝑥3 + 𝑥 + 1
𝑥 + 1
∞∞= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
3𝑥2 + 1𝑥3 + 𝑥 + 1
1
𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
3𝑥2 + 1
𝑥3 + 𝑥 + 1
∞∞= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
6𝑥
3𝑥2= 0
𝑒0 = 1
1p
2p
3p
2p
1p
S.II 6 C𝑎𝑧𝑢𝑙 1∞ 𝑓𝑔 = 𝑒𝑔𝑙𝑛𝑓
𝐷𝑎𝑟 𝑚𝑎𝑖 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑢 𝑝𝑟𝑖𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 → 𝑙𝑖𝑚𝑢 𝑥 →0
1 + 𝑢 𝑥 1
𝑢 𝑥 = 𝑒
2p
8p
81
Clasa: a XI-a
Unitatea de învăţare: Rolul derivatei întâi în studiul funcțiilor
Profesor: Negrea Viorica
Unitatea şcolară: Colegiul Economic ”V. Madgearu” Ploiești
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Intervale de monotonie
I.1 (5p) I.2 (2p)
I.3 (2p)
I.2 (3p)
I.3 (3p)
II.1a
(3p)
II.2a
(2p)
II.1a (3p)
II.2a (3p)
26p
Puncte de extrem I.4 (2p)
II.3(2p)
I.4 (3p)
II.4 (2p)
II.3 (3p)
II.5 (5p)
II.3(5p)
II.5(2p) II.4 (5p)
II.4 (3p)
II.5 (3p) 35p
Inegalități
II.1b
(1p)
II.2b
(2p)
II.7 (2p)
II.1b
(3p)
II.6(2p)
II.2b
(3p)
II.6(4p)
II.7(4p)
II.6(4p)
II.7(4p) 29p
Total 9p 14p 19p 13p 15p 20p 90p
Competențe de evaluat:
1. Identificarea unor funcții utilizând proprietăți ale acestora: derivabilitate, monotonie,
puncte de extrem.
2. Prelucrarea unor date de tip cantitativ si/ sau calitativ cuprinse în enunțuri matematice
referitoare la
studiul derivabilității funcțiilor.
3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea de probleme.
4. Exprimarea cu ajutorul noțiunilor de derivabilitate, monotonie a unor proprietăți
cantitative si/ sau calitative ale unei funcții.
5. Studierea unor situații-problemă din punct de vedere cantitativ si/ sau calitativ utilizând
monotonia și punctele de extrem
6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii si
metode adecvate.
82
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 100 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10p puncte din oficiu.
Subiectul I – Completați spațiile libere
(20p)
5p 1. Funcția :f I , derivabilă pe I, este crescătoare pe I dacă............................ și este
descrescătoare pe I dacă..........................
5p 2. Funcția :f , 1
f xx
este monoton ........................................ pe .
5p 3. Funcția :f , 4xf x e x este monoton ........................................ pe 0, .
5p 4. Funcția :f , 3 23f x x x are .............. puncte de extrem.
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
(70p)
10p 1.
Se consideră funcția : 1f , 2
1
xf x
x
.
a) Să se determine intevalele de monotonie ale funcției;
b) Să se demonstreze că 4f x pentru orice 1x .
10p 2.
Se consideră funcția :f , 2
xef x
x .
a) Să se demonstreze că funcția f este descrescătoare pe 0,2 .
b) Să se arate că 3 22 3e e .
10p 3. Se consideră funcția : 0,f ,
4
ln4
xf x x . Să se determine punctele
de extrem ale funcției.
10p 4. Se consideră funcția : 1f ,
2 2
1
x xf x
x
. Să se demonstreze că
funcția admite două puncte de extrem.
10p 5. Determinați m pentru care funcția
2 5 4
m xf x
x x
nu are puncte de
extrem.
10p 6.
Se consideră funcția : 0,f , 2 lnf x x x . Să se demonstreze că
1
2f x
e pentru orice 0x .
10p 7. Demonstrați inegalitatea 1xe x , x .
83
Barem de evaluare
Subiectul I
1. ' 0f x ; ' 0f x 5p
2. Descrescătoare 5p
3. Crescătoare 5p
4. 2 5p
Subiectul II
1. a)
2
2
2
( 1)
x xf x
x
Ecuația 0f x are soluțiile 1 2x și
2 0x .
0f x pentru orice , 2 0,x deci f este crescătoare pe
, 2 0,
0f x pentru orice 2, 1 1,0x deci f este descrescătoare pe
2, 1 1,0 .
b) 0 2x este punct de maxim pe , 1
2f x f și 2 4f rezultă 4f x
2p
2p
2p
2p
2p
2. a) 4
( 2)exx xf x
x
0f x pentru orice 0,2x deci f este descrescătoare pe 0, 2
b) 0 2 3 2 și f este descrescătoare pe 0, 2 rezultă 2 3f f
2
22
ef ;
3
33
ef
Rezultă 3 22 3e e
2p
3p
2p
1p
2p
3.
4 1xf x
x
Ecuația 0f x are soluțiile 1 1x și 2 1x
1 0, ; 1 0,
f este descrescătoare pe 0,1 și f este crescătoare pe 1,
Rezultă 1x este punct de minim
2p
2p
2p
2p
2p
84
4.
2
2
2 3
( 1)
x xf x
x
Ecuația 0f x are soluțiile 1 1x și
2 3x
f este crescătoare pe , 1 și f este descrescătoare pe 1,3 rezultă 1x este
punct de maxim
f este descrescătoare pe 1,3 și f este crescătoare pe 3, rezultă 3x este
punct de minim
Deci, f admite două puncte de extrem
2p
2p
2p
2p
2p
5.
2
2 2
2 5 4
(x 5 4)
x mx mf x
x
f nu are puncte de extrem ecuația 0f x nu are soluții
ecuația 2 2 5 4 0x mx m nu are soluții reale 0
Rezultă 1,4m
2p
3p
3p
2p
6. (2ln 1)f x x x
Ecuația 0f x are soluțiile 1 0x și 2
1x
e
0 0,x
1x
e este punct de minim, deci
1f x f
e
pentru orice 0,x
1 1
2f
ee
Rezultă 1
2f x
e pentru orice 0,x
2p
2p
1p
2p
1p
2p
7. Considerăm funcția :f , 1xf x e x
1xf x e
0x este punct de minim, deci 0f x f pentru orice x
0f x pentru orice x , adică 1 0xe x , x
Rezultă 1xe x , x
3p
1p
3p
2p
1p
85
Clasa: a XI-a profil matematică – informatică
Teză pe semestrul al II - lea
Profesor: Pavel Florin
Unitatea şcolară: Liceul Teoretic “Șerban Vodă” Slănic
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
1. Determinanți,
proprietăți ale lor,
aplicații ale lor în
geometria analitică
I.1(5) I.4.(5)
II.1.a(2) II.1.b(3)I
I.2.a(3) II.2.b(2)
II.1.c(1) II.1.a(1) II.1.b(1) II.2.b(1)
24p
2. Sisteme de ecuații
liniare;matrice
inversabile; rangul unei
matrice
II.1.a(2) II.1.b(1) II.2.a(1) II.2.b(2) II.2.c(2)
II.1.c(3) II.1.c(1) II.2.a(1) II.2.c(1)
II.2.c(2) 16p
3.Proprietăți locale și
globale referitoare la
continuitatea și
derivabilitatea funcțiilor;
calcului derivatelor de
ordin I și al II lea ale
funcțiilor
III.1.a(3
) III.1.b(3
) III.1.c(2
) III.2.a(1
)
III.2.a(1) III.2.b(1)
I.2.(5) I.3.(5) I.5.(5) I.6.(5)
III.1.b(1
) III.2.b(1
)
III.1.a(2) III.1.b(1
) III.2.b(1
)
III.2.a(1)
III.1.c(1) III.1.a(1) III.2.a(2)
III.1.c(2) III.1.a(1)
45p
4.Reprezentarea grafică
a funcților și rezolvarea
grafică a ecuațiilor;
determinarea numărului
de soluții ale unei ecuații
III.2.b(1
) III.2.b(1) III.2.c(3)
5p
Total 9p 30p 26p 5p 12p 8p 90p
Competențe de evaluat:
C1. Identificarea unor funcții utilizând proprietăți ale acestora: monotonie, continuitate,
derivabilitate, puncte de extrem.
C2. Prelucrarea unor date de tip cantitativ și/ sau calitativ cuprinse în enunțuri matematice
referitoare la operații cu matrice sau la studiul derivabilității funcțiilor.
C3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului matriceal, respectiv calculului diferențial în
rezolvarea de probleme.
C4. Exprimarea cu ajutorul noțiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a
unor proprietăți cantitative și/ sau calitative ale unei funcții.
C5. Studierea unor situații-problemă din punct de vedere cantitativ și/ sau calitativ utilizând
proprietățile algebrice și de ordine ale mulțimii numerelor reale.
C6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii si
metode adecvate.
86
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 100 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
Subiectul I . La exercițiile 1 – 6 scrieți litera corespunzătoare răspunsului corect.
5p 1. În sistemul de coordonate carteziene xOy se dau punctele A(2, -5) și B(5, -2). Ecuația dreptei
determinate de cele două puncte, scrisă sub formă de determinant, este:
A. 𝑥 𝑦 12 5 1
−2 −5 1
= 0; B. 𝑥 𝑦 12 −5 15 −2 1
= 0;C. 𝑥 𝑦 12 5 1
−2 −5 1
= 1;D. 𝑥 𝑦 𝑧2 −5 15 −2 1
= 0
5p 2. Punctele critice ale funcției 𝑓: 0; 𝜋 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 sunt:
A. 0 ; 𝜋 B. 0; 𝜋
2; 𝜋 C. 0 D. 0,
𝜋
2
5p 3. Valorile pe care le poate lua numărul c determinat prin aplicarea teoremei lui Lagrange
funcției 𝑓: 0; 2 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1, 𝑥 ∈ [0; 1)
ln 𝑥 , 𝑥 ∈ [1; 2] sunt:
A. 2
1+ln 2 B.
2
1−ln 2 C. 1 D.
1−ln 2
2
5p 4. Valoarea parametrului real a pentru care matricea 𝐴 =
1 2 −10 𝑎 1
−1 1 2 este inversabilă este:
A. 0 B. -3 C. 3 D. 1
5p 5. Funcția 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = 2𝑥
1+𝑥2 este crescătoare pe intervalul / intervalele:
A. −1; 1 B. (−∞; −1] ∪ [1; ∞] C. R D. [0; ∞) 5p 6. Funcția 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = ln 𝑥2 + 1 este concavă pe intervalul / intervalele:
A 0; ∞ B. 𝑅 C. −1; 1 D. (−∞; −1] ∪ [1; ∞]
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
1. Se dă matricea 𝑀 =
1 0 𝑚 − 1𝑚 − 1 1 0
0 𝑚 − 1 1 ∈ M3 R ,
5p a. Să se determine 𝑚 ∈ R pentru care matricea M este inversabilă;
5p b. Pentru 𝑚 = 3 calculați inversa matricei M;
5p
c. Rezolvați ecuația matriceală 𝑋 ∙ 1 0 22 1 00 2 1
= −1 0 23 0 1
5p 2.
1. Se consideră sistemul
𝑥 + 𝑎𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑥 + 2𝑎 − 1 𝑦 + 3𝑧 = 1
2𝑥 + 2𝑎𝑦 + 𝑎 − 1 𝑧 = 2𝑎
a Să se determine valorile parametrului real a astfel încât sistemul să aibă soluție
unică.
5p b Să se determine valorile parametrului real a astfel încât sistemul să aibă o
infinitate de soluții reale.
5p c Pentru a = 1 demonstrați că pentru orice soluție 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 a sistemului , −2𝑥02 +
𝑦02 + 2015𝑧0
2 ≠ 2016.
87
Subiectul III – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
1. Fie funcţia 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓 𝑥 =
2𝑥2 + 𝑎𝑥 − 4, dacă x < 0,
ln 𝑥3 + 1 − 𝑥 + 𝑏, 𝑑𝑎𝑐ă 𝑥 ≥ 0 .
5p a. Determinați valoarea parametrului real b pentru care funcția este continuă în 0.
5p b. Determinați valoarea parametrilor reali a și b pentru care funcția este derivabilă în
0.
5p c. Pentru a = -1 și b = -4 demomnstrați că ecuația 𝑓 𝑥 = 0 are cel puțin o soluție în
intervalul (-1,5; -1).
5p 2. Fie funcția 𝑓: 𝑅\ −1 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = 𝑥2+𝑎𝑥 +𝑏
𝑥+1 .
a Determinați valorile parametrilor reali a și b astfel încât graficul funcției să admită
asimptotă oblică la ∞ dreapta def ecuație 𝑦 = 𝑥 + 1 și, în plus, 𝑓 ′ 2 = 0, 7 . 5p b. Pentru a = 2 și b = 3 trasați graficul funcției f
5p c. Pentru a = 2 și b = 3 să se discute numărul de soluții ale ecuației 𝑥2 + 2𝑥 + 3 =𝑚 𝑥 + 1 , 𝑚 ∈ 𝑅.
88
Barem de evaluare
I.1 B 5p
I.2 D 5p
I.3 A 5p
I.4 C 5p
I.5 A 5p
I.6 D 5p
II.1 a. Matricea M este inversabilă dacă și numai dacă 𝑑𝑒𝑡 (𝑀) ≠ 0
𝑑𝑒𝑡 (𝑀) = 1 0 𝑚 − 1
𝑚 − 1 1 00 𝑚 − 1 1
= 1 + 𝑚 − 1 3
1 + 𝑚 − 1 3 ≠ 0; 𝑚 ≠ 0; 𝑚 ∈ 𝑅∗
2p
2p
1p
b. 𝑀 =
1 0 22 1 00 2 1
; det 𝑀 = 9; 𝑀𝑡 = 1 2 00 1 22 0 1
;
𝑀∗ = 1 4 −2
−2 1 44 −2 1
;
𝑀−1 =1
det 𝑀 ∙ 𝑀∗ =
1
9
4
9−
2
9
−2
9
1
9
4
94
9−
2
9
1
9
1p
2p
1p
1p
c. Ecuația din enunț este 𝑋 ∙ 𝑀 = −1 0 23 0 1
, unde matricea M este cea de pa
punctul anterior.
𝑋 ∙ 𝑀 = −1 0 23 0 1
| ∙ 𝑀−1 (M inversabilă, din punctual anterior) se obține
𝑋 = −1 0 23 0 1
∙ 𝑀−1
=
7
9−
8
9
4
97
9
10
9−
5
9
1p
2p
1p
1p
II.2 a) det 𝐴 =
1 𝑎 21 2𝑎 − 1 32 2𝑎 𝑎 − 1
=
𝑎 − 5 𝑎 − 1
Sistemul este compatibil determinat det 𝐴 ≠ 0
𝑎 ∈ R\ 1; 5 .
1p
2p 1p
1p
89
b) Pentru 𝑎 = 1 determinantul principal al sistemului este ∆𝑝= 1 21 3
≠ 0 (sau altul
corect ales)
Minorul caracteristic al sistemului va fi ∆𝑐= 1 2 11 3 12 0 2
= 0, deci sistemul este
compatibil (nedeterminat).
Pentru 𝑎 = 5 determinantul principal al sistemului este ∆𝑝= 1 51 9
≠ 0 (sau altul
corect ales)
Minorul caracteristic al sistemului va fi ∆𝑐= 1 5 11 9 12 10 10
= 4 ≠ 0, deci sistemul
este incompatibil.
În concluzie, pentru 𝑎 = 1 sistemul va avea o infinitate de soluții.
1p
1p
1p
1p
1p
c) Pentru 𝑎 = 1 sistemul devine
𝑦 + 2𝑧 = 1−∝𝑦 + 3𝑧 = 1−∝
, 𝑥 = ∝∈ R.
Soluția sistemului va fi: ∝, 1−∝, 0 . Dacă soluția sistemului ar verifica relația , −2𝑥0
2 + 𝑦02 + 2015𝑧0
2 = 2016. Înlocuind în relația din enunț s-ar obține ecuația ∝2+ 2 ∝ +2017 = 0, ecuație care
nu are soluții reale.
2p
3p
III.
1
a.
lim𝑥→0𝑥<0
𝑓 𝑥 = −4;
lim𝑥→0𝑥>0
𝑓 𝑥 = 𝑏;
𝑓 0 = 𝑏 f continuă pe R rezultă că f continua în 0, deci
lim𝑥→0𝑥<0
𝑓 𝑥 = lim𝑥→0𝑥>0
𝑓 𝑥 = 𝑓 0
𝑏= - 4
1p
1p
1p
1p
1p
b. Dacă f este derivabilă în 𝑥 = 0 atunci f este continuă în 𝑥 = 0, deci 𝑏= - 4
lim𝑥→0𝑥<0
𝑓 𝑥 − 𝑓(0)
𝑥 − 0= 𝑎;
lim𝑥→0𝑥>0
𝑓 𝑥 − 𝑓(0)
𝑥 − 0= −1;
𝑎 = −1
2p
1p
1p
1p
c. Funcția f este continuă pe intervalul (-1,5; -1)
𝑓 −1,5 = 2 > 0
𝑓 −1 = −1 < 0
Ecuația 𝑓 𝑥 = 0 are cel puțin o soluție în intervalul respective.
2p
1p
1p
1p
III.
2 a. 𝑚 = 1; 𝑛 = lim
𝑥→∞ 𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥 = 𝑎 − 1;
𝑎 − 1 = 1; 𝑎 = 2
Pentru 𝑥 ∈ −1, ∞ , 𝑓 ′ 𝑥 =𝑥2+2𝑥+2−𝑏
𝑥+1 2 ;
𝑓 ′ 2 =10 − 𝑏
9;
𝑏 = 3
1p
1p
1p
1p
1p
90
b. 𝑦 = −𝑥 − 1 asimptotă oblică la −∞; 𝑥 = −1 asimptotă verticală
𝑓 ′ 𝑥 =
𝑥2 + 2𝑥 + 3
−𝑥 − 1, 𝑥 < −1
𝑥2 + 2𝑥 + 3
𝑥 + 1, 𝑥 > −1
Tabloul de variație al funcției va fi:
𝑥 −∞ − 1 − 2 -1 −1 + 2 +∞ 𝑓 ′ 𝑥 − − − − − 0 + + + | − − − − − 0 + + + + + + 𝑓 𝑥 ↓ ↓ ↓ ↓ 2 2 + 4 ↑ ↑+∞ | ↓−∞ ↓ ↓ ↓ 2 2 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
Reprezentarea grafică
1p
1p
1p
2p
X=-1
y
x
Y=x+1
Y=-x-1
-1-1- -1-
3
c. 𝑚 ∈ (−∞; 2 2) ecuația nu are soluții reale;
𝑚 = 2 ecuația are soluție unică 𝑥 = −1 + 2;
𝑚 ∈ (−2 2; 2 2 + 4) ecuația are două soluții reale, distincte;
𝑚 = 2 2 + 4 ecuația are trei soluții reale distincte;
𝑚 ∈ (2 2 + 4; ∞) ecuația are patru soluții reale, distincte.
1p
1p
1p
1p
1p
91
Clasa: a XII-a
Unitatea de învăţare: Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp
Profesor: Tudorache Nicoleta
Unitatea şcolară: Colegiul „Ion Kalinderu”, Bușteni
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Procent
Total
puncte/
Conținut
ÎMPĂRȚIREA
POLINOAMELOR
1
I.1
0,13 5p
1
0,13
3 I.2.
0,39 5p
2 II.2
0,26
5p
2
0,26
1
0,13 10%
15p
TEOREMA
ÎMPĂRȚIRII CU REST 2
0,26
2
II.3.a
0,26
5p
6
0,78
4
I.3
0,52
5p
4
II.3.b
0,52
10p
2
0,26 20%
20p
TEOREMA
RESTULUI
3
0,39
3 I.4
0,39 5p
9
1,17
6
0,78
6 I.5
0,78 5p
3
I.6
0,39
5p
30%
15p
SCHEMA LUI
HORNER
3
0,39
3
0,39
9
II.1abc
1,17
30p
6
0,78
6
0,78
3
II.3.c
0,39
10p
30%
40p
Procent 10% 10% 30% 20% 20% 10% 100% -
TOTAL
Itemi/Competeță 1,17 - 1 1,17 - 2 3,5 - 4
2,34 -
2 2,34 - 2
1,17 -
2 13
-
TOTAL
PUNCTE/Competență 5p 10p 35p 10p 15p 15p 90p
90p
Competețe de evaluat:
C1. Identificarea proprietăţilor operaţiilor cu care este înzestrată mulțimea polinoamelor cu
coeficienți reali.
C2. Evidenţierea asemănărilor şi a deosebirilor dintre proprietăţile unor operaţii definite pe
mulţimi diferite şi dintre calculul polinomial şi cel cu numere.
C3. Aplicarea algoritmilor de calcul în situaţii practice.
C4. Transpunerea în limbaj matematic, a unor probleme practice.
C5. Determinarea unor polinoame, funcţii polinomiale sau ecuaţii algebrice care verifică
condiţii date.
C6. Aplicarea, prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica
numerelor și analiza matematică.
92
Test
Teorema împărțirii cu rest, Teorema restului, Împărțire prin X – a, Schema lui Horner
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
Subiectul I – pe foia de lucrare treceți doar răspunsurile corecte ( 30 puncte)
5p 1. Calculând f(– 1) în polinomul f = X23
– 5X12
+ 3X7 – X, obținem ……….. .
5p 2. Restul împărțirii polinomului f = 2X
4 + 5X
3 – 3X
2 + 5 la polinomul g = 2X
2 +3X – 2 este egal
cu ……….. .
5p 3. Un polinom f este împărțit la X
2 – 3X + 2 și se obține câtul X
2 – 1 și restul X – 3. Calculând
f obținem ……….. .
5p 4. Restul împărțirii polinomului f = 2X5 + X
2 – 3X – 3 la X + 2 este ……….. .
5p 5. Știind că restul împărțirii polinomului f = X
3 + 3X
2 – 3X + a la X +1 este 0, valoarea
numărului real a este ……….. .
5p 6.
Se consideră polinomul f = ( X2 – X – 1)
1008 + 2. Forma sa algebrică este
𝑓 = 𝑎2016𝑋2016 + 𝑎2015𝑋2015 + ⋯ + 𝑎1𝑋 + 𝑎0 . Calculând suma: 𝑎0 + 𝑎1 + ⋯ + 𝑎20016
obținem ……….. .
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.(60 puncte)
30p 1. Aplicând schema lui Horner, calculați câtul și restul împărțirii polinomului f la
polinomul g
10p a) f = 2X4 – 3X
3 + 5X
2 – 7X + 9 la g = X – 2
10p b) f = – X6 – X
5 – 5X
4 + 3X – 7 la g = X + 3
10p c) f = 4X3 + 6X
2 – 7X + 9 la g = 2X + 1
5p 2. Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f = 𝑋4 + 2 𝑋3 + 3 𝑋2 + 2 𝑋 +1 ∈ ℤ5[𝑋] la polinomul 𝑔 = 𝑋2 + 3 𝑋 + 4 ∈ ℤ5[𝑋] .
25p 3.
Fie polinomul f = (X – 1)20
+ (X – 3)20
. Dacă efectuăm calculele, acesta are
forma algebrică
𝑓 = 𝑎0 + 𝑎1𝑋 + 𝑎2𝑋2 + ⋯ + 𝑎20𝑋20
.
5p a) Determinați a0.
10p b) Calculați valoarea expresiei: 2𝑎0 + 4𝑎1 + 8𝑎2 + ⋯ + 221𝑎20 .
10p c) Determinați restul împărțirii lui f la (X – 2)2.
93
Barem de evaluare:
Pentru subiectele din partea I se acordă cîte 5 puncte pentru răspunsul corect:
Nr. item 1 2 3 4 5 6
Răspuns – 8 8X + 1 f = X4 – 3X
3 + X
2 + 4X – 5 – 57 – 5 3
1.a) Face schema correct
X4 X
3 X
2 X
1 X
0
2 – 3 5 – 7 9
__________________________ Identifică pe a = 2
2 2 1 7 7 23 Face corect calculele
Identifică câtul, c = 2X3 + X
2 + 7X +7
Identifică restul r =23.
3p
2p
2p
2p
1p
1.b) Face schema correct
X6
X5
X4 X
3 X
2 X
1 X
0
– 1 – 1 – 5 0 0 3 – 7
_________________________________________ Identifică pe a = – 3
– 3 – 1 2 – 11 33 – 99 300 – 907 Face corect calculele
Identifică câtul, c = –X5 +2X
4 – 11X
3 + 33X
2 – 99X + 300
Identifică restul r = – 907.
2p
2p
3p
2p
1p
1.c) Face schema correct
X3 X
2 X
1 X
0
4 6 – 7 9
__________________________ Identifică pe a = 1
2
1
2 4 8 – 3
15
2 Face corect calculele
Identifică câtul, c = 4X2 + 8X – 3
Identifică restul r = 15
2.
2p
3p
2p
2p
1p
2. Face împărțirea corect, calculele în ℤ5[𝑋] Câtul c = 4 𝑋2 + 𝑋 + 3 și restul 3
5p
3.a) Scrie f(0)=a0
Calculează f(0) = 1 + 320
2p
3p
3.b) Calculează f(2) = (2 – 1)20
+ (2 – 3)20
=2
În forma algebrică 2f(2) = 2𝑎0 + 4𝑎1 + 8𝑎2 + ⋯ + 221𝑎20= 4
4p
6p
3.c) Scrie r = aX + b
Teorema împărțirii cu rest f = (X – 2)2q(X) + aX + b
f (2) = 2a + b și din punctul b) rezultă 2a + b = 2
Din f „(X) = 20(X – 2)
19 + 20 (X – 3)
19rezultă f
„(2) = 0, de unde rezultă a = 0 și b=2
Restul împărțirii lui f la (X – 2)2 este 2
1p
2p
2p
4p
1p
94
Clasa: a XI-a (3 ore/săptămână)
Unitatea de învăţare: Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ
Rădăcini ale polinoamelor; relaţiile lui Viete
Profesor: Iordache Mara Georgiana
Unitatea şcolară: Liceul Tehnologic Teodor Diamant
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Forma algebrică a unui
polinom, operaţii cu
polinoame
I.1(10p)
I.4(10p)
20
Teorema împărţirii cu
rest, împărţirea
polinoamelor
II.1a(5p) I.3(5p) 10
Împărţirea cu x – a ,
schema lui Horner,
divizibilitate, teorema lui
Bezout
II.1b(5p) I.5(10p)
I.2
(10p)
25
Rădăcini ale
polinoamelor; relaţiile lui
Viete II.2a(5p)
II.2b
(10p)
II.3a
(10p) II.3b(5p)
II.1c
(5p) 35
TOTAL 15 15 20 10 15 15 90p
Competenţe de evaluat:
1. Recunoaşterea mulţimilor de polinoame
2. Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor algebrice
3. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii algebrice care îndeplinesc condiţii date
4. Exprimarea unor probleme practice folosind calcul polinomial
5. Utilizarea prin analogie, în calcule cu polinoame a metodelor de lucru din aritmetica
numerelor
6. Prelucrarea unor date de tip cantitativ/calitativ cuprinse in enunţuri referitoare la relaţiile lui Viete
95
Test
Notă:Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
Subiectul I – itemi cu răspuns scurt (de completare)
Completați spațiile libere cu răspunsul corespunzător.
10p
1
Fie polinomul 426 2 XXf ,𝑓 ∈ 𝐶 𝑋 .
Valoarea polinomului 𝑓 −1 + 𝑓(1) este.......
10p 2
Se dă polinomul 𝑓 ∈ 𝐶 𝑋 , 𝑓 = 𝑥2 − 𝑥 − 9
Relaţiile lui Viète pentru 𝑓 sunt........
5p 3 Fie polinomul 33 XXf , 𝑔 = 𝑋 + 2, 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶 𝑋
Restul împărţirii polinomului 𝑓𝑙𝑎𝑔 este egal cu........
10p 4 Ecuaţia de gradul al doilea care are rădăcinile 1,2 21 xx
este......
10p 5 Polinomul𝑓 = 𝑋4+ 4𝑋3−𝑋2+ 6𝑋– 𝑚sedivide prin 𝑋 − 1 pentru 𝑚 =..........
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
1
5p
5p
5p
Fie polinomul 𝑓 = 𝑚𝑋3+𝑋2+𝑋 + 𝑚 ∈ 𝑅 𝑋 .
a) Să se determine 𝑚 ∈ 𝑅 𝑋 astfel încât restul împărţirii polinomului 𝑓𝑙𝑎𝑔 = 𝑋 + 2 să
fie egal cu 9.
b) Pentru 𝑚 = 1 să se descompună în factori ireductibili polinomul dat.
c) Pentru 𝑚 = 1 să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor lui 𝑓.
2
5p
10p
Fie polinomul 03)1(23 XmXmXf ,𝑓 ∈ 𝑅 𝑋 . *Rm .
a) Să se determine 𝑚 ∈ 𝑅 𝑋 astfel încât 11 x să fie rădăcină a lui 𝑓.
b) Determinaţi mulţimea valorilor lui 𝑚 pentru care 02
3
2
2
2
1 xxx , unde
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3sunt rădăcinile polinomului 𝑓.
3.
10p
5p
Se dă ecuaţia 𝑥3 − 6𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0 care are rădăcinile 𝑥1. 𝑥2. 𝑥3 ∈ 𝐶.
a) Să se calculeze ∆1= 𝑥1 2 33 𝑥2 22 3 𝑥3
, ∆2=
𝑥1 𝑥2 𝑥3
𝑥3 𝑥1 𝑥2
𝑥2 𝑥3 𝑥1
b) Să se calculeze valoarea expresiei 3
21
2
31
1
32
x
xx
x
xx
x
xxE
96
Barem de evaluare
Subiectul I
1 𝑓 −1 + 𝑓 1 = 4 10p
2 𝑥1 + 𝑥2 = 1 𝑥1 ∙ 𝑥2 = −9
10p
3 𝑟 = −3 5p
4 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 10p
5 𝑚 = 0 10p
Subiectul II
1a) 𝑟 = 𝑓 −2 = 𝑚 −2 3+ −2 2+ −2 + 𝑚 = 9
−8𝑚 + 4 + −2 + 𝑚 = 9 −7𝑚 = 7
𝑚 = −1
3p
1p
1p
1b) 𝑓 = 𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 + 1 ⇒
𝑋2 𝑋 + 1 + 𝑋 + 1 = 𝑋 + 1 𝑋2 + 1
X2 + 1 = 0 ⇒
∆< 0 ⇒ f = 𝑋 + 1 𝑋2 + 1
X2 + 1 = 0 ⇒
2p
1p
1p
1p
1c) 𝑓 = 𝑋3 + 𝑋2 + 𝑋 + 1 𝑥1
2 + 𝑥22 + 𝑥3
2= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 2 − 2 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 = −1 2 − 2 ∙ 1 =
1 − 2 = −1
2p
2p
1p
2a) 𝑓 −1 = 𝑚 −1 3+ −1 2+(m − 1) −1 + 𝑚 = 0
−𝑚 + 1 − 𝑚 + 1 + 3 = 0
𝑚 =5
2
3p
1p
1p
2b) 𝑥12 + 𝑥2
2 + 𝑥32= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 2 − 2 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 = (−
1
𝑚)2 −2(
𝑚−1
𝑚) =
=1
𝑚2 −2 𝑚−1
𝑚≤ 0 <=> 1 − 2𝑚 𝑚 − 1 ≤ 0 <=> 2𝑚2 − 2𝑚 − 𝑚 ≥ 0
∆= 4 + 8 = 12 => ∆= 2 3 => 𝑚1 =2 + 2 3
4=
1 + 3
2 => 𝑚2 =
2 − 2 3
4
=1 − 3
4.
Deci𝑚 ∈ −∞;1− 3
2 ∪ [
1+ 3
2; +∞)
4p
2p
2p
2p
97
3a)
∆1= 𝑥1 2 33 𝑥2 22 3 𝑥3
= 𝑥1𝑥2𝑥3 + 8 + 27 − 3𝑥2 ∙ 2 − 3 ∙ 2𝑥1 − 3 ∙ 2𝑥3 =
= 𝑥1𝑥2𝑥3 + 35 − 6 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −2 + 35 − 6 ∙ 1
= 27
∆2=
𝑥1 𝑥2 𝑥3
𝑥3 𝑥1 𝑥2
𝑥2 𝑥3 𝑥1
= 𝑥1𝑥1𝑥1 + 𝑥2𝑥2𝑥2 + 𝑥3𝑥3𝑥3 −
𝑥3𝑥2𝑥1 + 𝑥3𝑥2𝑥1 + 𝑥3𝑥2𝑥1 = 𝑥13 + 𝑥2
3 + 𝑥33 − 3𝑥1𝑥2𝑥3
𝑥13 − 6𝑥1
2 + 𝑥1 + 2 = 0
𝑥23 − 6𝑥2
2 + 𝑥2 + 2 = 0 (+)
𝑥33 − 6𝑥3
2 + 𝑥3 + 2 = 0
---------------------------------
𝑥13 + 𝑥2
3 + 𝑥33 − 6 𝑥1
2 + 𝑥22 + 𝑥3
2 + 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 6 = 0
→
𝑥13 + 𝑥2
3 + 𝑥33 = 6 36 − 2 − 6 − 6 =192
∆2= 192 − 3 −2 = 192 + 6 = 198
3p
2p
2p
1p
1p
1p
3b)
2
1
6
321
322131
321
xxx
xxxxxx
xxx
63332
1636
3111
616
16
16666
321
323121
3213213
3
2
2
1
1
xxx
xxxxxx
xxxxxxx
x
x
x
x
xE
1p
2p
2p
98
Clasa:a XII-a
Unitatea de învăţare: Primitive
Profesor: Soare Daniela
Unitatea şcolară: Colegiul Economic”Virgil Madgearu”,Ploieşti
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Primitivele unei funcţii.
Definiţie I.1(5p)
II.3.a)
(10p)
II.3.b)
(10p)
II.2.b)
(5p)
II.2.c)
(5p)
(35p)
Integrala nedefinită.
Primitive uzuale I.2(5p)
II.1.a)
(10p)
II.1.b)
(10p),
II.1.c)
(10p)
I.3(5p)
I.4(5p) (45p)
Funcţii care admit
primitive
II.2.a)
(10p) (10p)
Total 10p 30p 30p - - 20p 90p
Competențe de evaluat:
1.Identificarea legăturilor dintre o funcţie continuă si derivata sau primitiva acesteia
2.Identificarea unor metode de calcul ale integralelor, prin realizarea de legături cu reguli de
derivare
3.Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale nedefinite
4. Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor în scopul optimizării soluţiilor
5. Folosirea proprietăţilor unei funcţii continue, pentru calcularea integralei acesteia
6. Modelarea comportării unei funcţii prin utilizarea primitivelor sale
99
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10 puncte din oficiu.
Subiectul I – Scrieţi pe foaia de test numai rezultatele
5p 1. Funcţia : 0,F , ( ) ln 2F x x este primitivă a funcţiei :
5p 2. Mulţimea primitivelor funcţiei :f , ( ) 3sin 2cosf x x x este:
5p 3. Dacă F este o primitivă a funcţiei :f , ( ) 1 2f x x , atunci 1 1F F este:
5p 4. Primitiva F a funcţiei :f ,
2
1( )
4f x
x
pentru care (0) 1F este:
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
1.Calculaţi:
10p a)
42 2 ln 2xx dx , x
10p b) 2
3
(2 )xdx
x
, 0x
10p c) x xdx , 0x
2. Se consideră funcţia :f , 2 2, 1
( )( 1) ln , 1
x xf x
x x x
.
10p a)
Arătaţi că funcţia f primitive pe .
5p b) Demonstraţi că orice primitivă a funcţiei f este crescătoare pe 1, .
5p c) Demonstraţi că orice primitivă a funcţiei f este convexă pe ,1 .
3.Se consideră funcţiile , :f F , 2 2( ) 3 1 xf x x e şi
2 2( ) xF x ax bx c e , unde , ,a b c .
10p a)
Determinaţi a,b,c astfel încât F să fie o primitivă a funcţiei f.
10p b) Calculaţi ( )
lim( )x
F x
f x, în cazul în care F este o primitivă a funcţiei f .
100
Barem de evaluare
Subiectul I (20p)
1. 1
f xx
5p
2. 3cos 2sinF x x x C 5p
3. 1 1 2F F 5p
4. 12
xF x arctg
5p
Subiectul II (70p)
1a) 54
5
xx dx
22
ln 2
xx dx
5 5
4 2 22 2 ln 2 2 ln 2 2
5 ln 2 5
xx xx x
x dx C
3p
3p
4p
1b) 2 2
3 3 3 2
(2 ) 4 4 1 1 14 4
x x xdx dx dx dx dx
x x x x x
3 2
1 1
2dx
x x
2
1 1dx
x x
1lndx x
x
Finalizare
2p
2p
2p
2p
2p
1c) 3
2x xdx x dx =
=22
5
x xC
4p
6p
2a) Funcţia este continuă pe ,1 şi pe 1,
1 1lim ( ) lim ( ) (1)x x
f x f x f f este continuă în x=1
Finalizare
2p
6p
2p
2b) F ( 1)ln , 1x x x x
F ( 1)ln 0, 1x x x x F este crescătoare pe 1, .
2p
3p
2c) F 2 2, 1x x x
F 2 0, 1x x F este convexă pe ,1 .
2p
3p
101
3a) F să fie o primitivă a funcţiei f F este derivabilă pe şi F ,x f x x
2 22 2 2 2 xF x ax a b x b c e
2 2 2 22 2 2 2 3 1 ,x xax a b x b c e x e x
3
2a ,
3
2b şi
5
4c
2p
4p
1p
3p
3b)
2 2
2 2
( ) ( )lim lim
( ) ( )
3 1( )lim lim
( ) 6 6 2
1
2
x x
x
xx x
F x F x
f x f x
x ef x
f x x x e
2p
4p
4p
102
Clasa:aXII-a
Unitatea de învăţare: Integrarea funcțiilor raționale
Profesor: Dumitru Carmen Marilena
Unitatea şcolară:Liceul Tehnologic Sat Cioranii de Jos, Comuna Ciorani
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Integrarea funcțiilor
raționale simple I.2a I.2.c I.2b I.2d
4itemi
35%
Descompunerea
funcțiilor în funcții
raționale simple
I.1a
I.1b
2 itemi
15%
Calculul integralelor
funcțiilor raționale prin
metoda descompunerii
II.3
II.7
II.8
II.4 II.5 II.6 50%
6 itemi
Total 2 itemi
15%
2 itemi
15%
3 itemi
25%
2 itemi
20%
1 item
5%
2 itemi
15% 100 %
Competențe de valuat:
C1.Identificarea unor metode adecvate de calcul ale integralei
C2. Folosirea descompunerii în factori a polinoameleor
C3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite
C4. Exprimarea și redactarea coerentă a metodei de rezolvare a integralei
C5. Modelarea comportării unei funcții prin utilizarea primitivelor sale
C6. Explicarea opțiunilor de calcul a integralei definite în scopul optimizării
103
Test
Subiectul I - Scrieți răspunsul corect
10p
1. Descompunerea în fracții simple a funcțiilor raționale 𝑓: 𝐷 → 𝑅 este:
a) 1
𝑥(𝑥2+3)= b)
𝑥+2
𝑥−3 (𝑥−2)=
10p
2. Să se calculeze integralele primitivelor funcțiilor raționale :
𝑎) 𝑥3 − 6𝑥2 + 1 𝑑𝑥 = b) 1
8𝑥−3𝑑𝑥 =
10p c)
1
𝑥2+49𝑑𝑥 = d)
1
9𝑥2+6𝑥+1𝑑𝑥 =
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
Să se calculeze
8p 3. 2𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 + 7𝑑𝑥
5
4
8p 4. 3𝑥2 − 2
𝑥3 − 2𝑥 + 3 2𝑑𝑥
1
0
8p 5. 𝑥3 − 2
𝑥 − 2𝑑𝑥
4
3
8p 6. 3𝑥 + 2
𝑥 + 2𝑑𝑥
2
1
14p 7. 𝑥
𝑥 + 3 2𝑑𝑥
3
1
14p 8. 𝑥 − 1
𝑥 𝑥 + 1 2𝑑𝑥
2
1
Notă
Toate subiectele sunt obligatorii
Se acordă 10 puncte din oficiu
Timp de lucru 50 de minute
104
Barem de evaluare
Subiectul I
Se punctează doar rezultatul, astfel : pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul
maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0.
Nu se acordă punctaje intermediare
1a 1
3𝑥−
𝑥
3(𝑥2 + 3) 5p
1b 5
𝑥 − 3−
4
𝑥 − 2 5p
2a 𝑥4
4− 2𝑥3 + 1 + 𝐶 5p
2b 1
8ln(8𝑥 − 3) + 𝐶 5p
2c 1
7𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥
4+ 𝐶 5p
2d −1
3(3𝑥 + 1)+ 𝐶 5p
Subiectul II
Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă
punctajul maxim corespunzător.
Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolvări parțiale, în limitele punctajului în barem.
3
(𝑥2+𝑥+7)′
𝑥2+𝑥+7𝑑𝑥
5
4 =
= (ln 𝑥2 + 𝑥 + 7 ) 54 =
ln37
27
3p
3p
2p
4
𝑥3−2𝑥+3
′
𝑥3−2𝑥+3 2 𝑑𝑥1
0=
= (−1
𝑥3 − 2𝑥 + 3 )
10
=
= −1
6
3p
3p
2p
5
(𝑥2 + 2𝑥 + 4 +6
𝑥−2)𝑑𝑥
4
3=
=(𝑥3
3+ 𝑥2 + 4𝑥 + 6 ln 𝑥 − 2 )
43
=
= 70
3+ 𝑙𝑛64
3p
3p
2p
6
(3 −4
𝑥+2)𝑑𝑥
2
1=
(3𝑥 − 4 ln 𝑥 + 2 )21
=3 +4ln3
4
3p
3p
2p
105
7
2𝑥+1
𝑥2+𝑥+7 =
1
𝑥+3−
3
𝑥+3 2
(1
𝑥+3−
3
𝑥+3 2)𝑑𝑥3
1=
1
𝑥+3𝑑𝑥
3
1− 3
𝑑𝑥
𝑥+3 2
3
1=
ln 𝑥 + 3 + 31
𝑥 + 3
31
ln3
2−
1
4
4p
3p
2p
3p
2p
8
𝑥−1
𝑥 𝑥+1 2 = −1
𝑥+
1
𝑥+1+
2
(𝑥+1)2 =
(−1
𝑥
2
1+
1
𝑥+1+
2
(𝑥+1)2)𝑑𝑥=
−1
𝑥𝑑𝑥
2
1+
1
𝑥+1𝑑𝑥 +
2
(𝑥+1)2
2
1
2
1𝑑𝑥 =
(−ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 − 21
𝑥 + 1)
21
=
= 1
3+ ln
3
4
4p
3p
2p
3p
2p
106
Clasa: a XII-a profil matematică – informatică
Teză pe semestrul al II- lea
Profesor: Rusișoru Magda
Unitatea şcolară: Liceul Teoretic “Șerban Vodă” Slănic
Matricea de specificaţii
Competenţe
de evaluat
Elemente
de conţinut
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Calculul primitivelor
Operații
II a-6p
II b-5p
II c-6p
II a -2p
II b-3p
II c-4p
II a-2p
II b-2p
10p
10p
10p
Calculul ariei sau
volumului
III b-5p III b-4p
III b-1p 10p
Metode de calcul a
primitivelor unei funcții
III a-2p III a-5p
III c-5p
III a-2p
III c-3p
III a-1p
III c-2p
10p
10p
Teorema lui Bezout
pentru polinoame
I a-5p
I b-5p
I a-5p
I b-5p
10p
10p
Relațiile lui Viette I c-6p I c-2p I c-2p 10p
TOTAL 19p 5p 10p 16p 30p 10p 90p
Competențe de evaluat:
C1 - Recunoașterea și aplicarea primitivelor și a integralei definite în diferite contexte.
C2 – Recunoașterea și calcularea ariei subgraficului și a volumului corpului de rotație în
diverse contexte.
C3- Aplicarea corectă a noțiunilor de polinoame a teoremei Bezoit, a relațiilor lui Viette și a
teoremei împărțirii cu rest.
C4- Prelucrarea unor date tip calitativ și cantitativ cuprinse în enunțuri matematice referitoare
la polinoame.
C5. Studierea unor situații-problemă din punct de vedere cantitativ și/ sau calitativ utilizând
proprietățile algebrice și de ordine ale mulțimii numerelor reale.
C6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii si
metode adecvate.
107
Test
Notă: Timpul efectiv de lucru este de 90. minute.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Fiecare lucrare primeşte 10.puncte din oficiu.
1. Se consideră polinomul f=𝑋3+𝑋2- 3X + 2.
10p A Calculați f(0).
10p B Determinati câtul și restul împărțirii polinomului f la 𝑥2 − 4.
10p C Arătați că 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑥2 − 𝑥3
2 + 𝑥3 − 𝑥1 2 = 20, stiind că 𝑥1, 𝑥2𝑠𝑖𝑥3 sunt
rădăcinile lui f.
Subiectul II – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
Se consideră funcția f : R->R, f (x) = 𝑥2+x+1
10p A Arătați că 𝑓 𝑥
1
0 𝑑𝑥 =
11
6
10p B
Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul
In = 𝑥𝑛
𝑓 𝑥
1
0 dx. Arătați că In este un șir monoton descrescător.
10p C Determinați numarul real pozitiv a știind că 2𝑥+1
𝑓 𝑥
𝑎
0𝑑𝑥 = ln3
Subiectul III – Scrieţi pe foaia de test rezolvările complete.
Se consideră funcția f : [-1,1] -> R , f (x) =arcsin x
10 A
Să se calculeze 𝑓 𝑥 1
0 𝑑𝑥 .
10 B Să se calculeze volumul corpului de rotație determinat de funcția g: [0,
1
2] -> R , g
(x) =arcsinx .
10 C Să se calculeze 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛 𝑛 + 1 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥1
𝑛1
𝑛 +1
.
108
Barem de evaluare
I a 𝑓 0 = 03 + 02 − 3 ∗ 0 + 2
𝑓 0 = 2
5p
5p
b Aplicarea teoremei impartirii cu rest
𝐶 𝑥 = 𝑥 + 1
𝑅 𝑥 = 4𝑥 + 6
5p
3p
2p
c 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑥2 − 𝑥3 2 + 𝑥3 − 𝑥1 2=
2 𝑥12 + 𝑥2
2 + 𝑥32 − 2 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3
7 ∗ 2 + 6 = 20
𝑥12 + 𝑥2
2 + 𝑥32 = 7
𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3 = 6
4p
2p
2p
2p
II
a
𝑓1
0 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 1
1
0𝑑𝑥=
13
3−
03
3+
12
2−
02
2+ 1 − 0=
1
3+
1
2+ 1 =
11
6
2p
6p
2p
b 𝐼 𝑛+1 < 𝐼𝑛 ⇒ 𝐼 𝑛+1 − 𝐼𝑛=
𝑥 𝑛 +1
𝑥2+𝑥+1
1
0𝑑𝑥 −
𝑥𝑛
𝑥2+𝑥+1
1
0𝑑𝑥=
𝑥𝑛 𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 + 1
1
0
𝑑𝑥
𝑥𝑛 𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 + 1 < 0, 𝑥 ∈ 0,1
𝐼 𝑛+1 < 𝐼𝑛
5p
3p
2p
c
2𝑥+1
𝑥2+𝑥+1
𝑎
0𝑑𝑥=
𝑙𝑛 𝑎2 + 𝑎 + 1 = 𝑙𝑛3
𝑎2 + 𝑎 + 1 = 3
𝑎 = 1
4p
2p
2p
2p
109
III a
𝑓 𝑥 𝑑𝑥1
0 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥
1
0 =
𝜋
2 +
𝑥
1−𝑥2
1
0𝑑𝑥 =
𝜋
2 - 1
2p
6p
2p
b V = 𝜋 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥1
0 =
𝜋 ( x 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛2𝑥 01 -
𝑥
1−𝑥2
1
20
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝜋( 𝜋2
72 +
𝜋 3
4 -
1
2 )
2p
6p
2p
c 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛 𝑛 + 1 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥
1
𝑛1
𝑛 +1
= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛 𝑛 + 1 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
1
𝑛
𝑛−
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛1
𝑛 +1
𝑛+1
1 −1
𝑛2 − 1 −
1
𝑛 + 1 2
=1-1+0 = 0
2p
4p
4p
110
EDITURA CASA CORPULUI DIDACTIC PRAHOVA
Adresa : Ploieşti, str. Democraţiei, nr. 35
Tel./fax, e-mail : 0244577338