Testarea ipotezelor statistice

ConcepteIpotez statistic = ipoteza care se face cu privire la parametrul unei repartiii sau la legea de repartiie pe care o urmeaz anumite variabile aleatoare.Ipotez nul (H0) = const ntotdeauna n admiterea caracterului ntmpltor al deosebirilor, adic n presupunerea c nu exist deosebiri eseniale.Ipotez alternativ (H1) = o teorie care contrazice ipoteza nul. Ea va fi acceptat doar cnd exist suficiente dovezi, evidene, pentru a se stabili c este adevrat. Dac ipoteza nul const n afirmaia c parametrul al unei distribuii este egal cu o anumit valoare 0:ipotez alternativ simpl: = 1ipotez alternativ compus:

ConcepteTestul statistic este utilizat drept criteriu de acceptare sau de respingere a ipotezei nuleRegiunea critic, Rc = valorile numerice ale testului statistic pentru care ipoteza nul va fi respins. este astfel aleas nct probabilitatea ca ea s conin testul statistic, cnd ipoteza nul este adevrat s fie , cu mic (=0.01 etc). dac punctul definit de vectorul de sondaj x1,x2,,xn cade n regiunea critic Rc, ipoteza H0 se respinge, iar dac punctul cade n afara regiunii critice Rc, ipoteza H0 se accept. regiunea critic este delimitat de valoarea critic, C punctul de tietur n stabilirea acesteia.

ConcepteEroare de genul nti = eroarea pe care o facem eliminnd o ipotez nul, dei este adevrat.Riscul de genul nti () = probabilitatea comiterii unei erori de genul nti se numete nivel sau prag de semnificaie.Nivelul de ncredere al unui test statistic este (1-) iar n expresie procentual, (1-)100 reprezint probabilitatea de garantare a rezultatelor.Eroare de genul al doilea = eroarea pe care o facem acceptnd o ipotez nul, dei este falsProbabilitatea (riscul) comiterii unei erori de genul al doilea este . Puterea testului statistic este (1-).

Concepte

Erorile n testarea ipotezelor statistice

= P(respingere H0 H0 este corect)=P(eroare de gen I)= P(acceptare H0 H0 este fals)=P(eroare de gen II)

Decizia deIpoteza adevratacceptareH0H1H0Decizie corect(probabilitate 1-)Eroare de gen II(risc )H1Eroare de gen I(risc )Decizie corect(probabilitate 1-)

Concepte

Legtura dintre probabilitile i

Concepte i cnd volumul eantionului n' > n

Cum, o dat cu creterea volumului n al eantionului, abaterile medii ptratice ale distribuiilor pentru H0 i H1 devin mai mici i, evident, att , ct i descresc

ConcepteSe fac presupuneri despre populaia sau populaiile ce sunt eantionate (normalitate etc.).Se calculeaz apoi testul statistic i se determin valoarea sa numeric, pe baza datelor din eantion.Se desprind concluziile: ipoteza nul este fie acceptat, fie respins, astfel:dac valoarea numeric a testului statistic cade n regiunea critic (Rc), respingem ipoteza nul i concluzionm c ipoteza alternativ este adevrat. Aceast decizie este incorect doar n 100 % din cazuri;dac valoarea numeric a testului nu cade n regiunea critic (Rc), se accept ipoteza nul H0.

ConcepteIpoteza alternativ poate avea una din trei forme (pe care le vom exemplifica pentru testarea egalitii parametrului media colectivitii generale, cu valoarea 0)test bilateral:H0: = 0H1: 0 ( < 0 sau > 0)test unilateral dreapta:H0: = 0H1: > 0test unilateral stnga:H0: = 0H1: < 0

Concepte a) b) c)Regiunea critic pentru a) test bilateral; b) test unilateral dreapta; c) test unilateral stnga

Testarea ipotezei privind media populaiei generale () pentru eantioane de volum mareUtilizarea eantioanelor de volum mare (n > 30) face posibil aplicarea teoremei limit central.n cazul testului bilateral, ipotezele sunt:H0: = 0 ( - 0=0)H1: 0 ( - 00) (adic < 0 sau > 0);

Rc: z< - z /2 sau z> z /2Regula de decizie este, deci:Respingem H0 dac

sau

Testarea ipotezei privind media populaiei generale () pentru eantioane de volum mareExemplu: Presupunem c un fabricant de materiale de construcii comercializeaz ciment n pungi, care trebuie s conin 12 kg/pung. Pentru a detecta eventuale abateri n ambele sensuri de la aceast cantitate, selecteaz 100 de pungi, pentru care calculeaz kg, sx= 0,5 kg. Pentru = 0,01 (grad de ncredere (1- )100=99%) s se determine dac se accept ipoteza nul, aceea c greutatea pungilor este n medie de 12 kg. H0: = 12H1: 12 ( < 12 sau > 12);z /2=z0,005=2,575

Regiunea critic: z< - z /2 sau z> z /2Cum z = - 3,0 < - 2,575 se respinge ipoteza nul H0 i se accept ipoteza alternativ, aceea c greutatea pungilor difer, n medie, de 12 kg.

Testarea ipotezei privind media populaiei generale () pentru eantioane de volum marePentru testul unilateral dreapta, ipotezele sunt:H0: = 0 ( - 0=0)H1: > 0 ( - 0>0);Testul statistic calculat este:

Regiunea critic este dat de:Rc: z > zRegula de decizie este:Respingem ipoteza H0 dac

Testarea ipotezei privind media populaiei generale () pentru eantioane de volum marePentru testul unilateral stnga, ipotezele sunt: H0: = 0 ( - 0=0)H1: < 0 ( - 0

Testarea ipotezei privind diferena dintre dou medii pentru eantioane de volum mareUn estimator al diferenei (1- 2) este diferena dintre mediile eantioanelor ( ).Proprietile distribuiei de eantionare a diferenei ( ) sunt:distribuia de eantionare pentru ( ) este aproximativ normal pentru eantioane de volum mare (n1 > 30 i n2 > 30); media distribuiei de eantionare a lui ( ) este (1 2);dac cele dou eantioane sunt independente, abaterea medie ptratic a distribuiei de eantionare este:Dac = = , abaterea medie ptratic a distribuiei de eantionare va avea forma:

Testarea ipotezei privind diferena dintre dou medii pentru eantioane de volum mareIpotezele statistice ce urmeaz a fi testate vor fi: 1. test bilateralH0: (1- 2) = DH1: (1- 2) D[(1- 2)>D sau (1- 2) D3. test unilateral stngaH0: (1- 2) = DH1: (1- 2) < DRegiunea critic este dat de:1. z< - z/2 sau z> z/22. z> z3. z< - z

Testarea ipotezei privind diferena dintre dou medii pentru eantioane de volum mareExemplu: Managerul unui restaurant dorete s determine dac o campanie de publicitate a dus la creterea veniturilor medii zilnice. Au fost nregistrate veniturile pentru 50 de zile nainte de desfurarea campaniei. Dup desfurarea campaniei i trecerea unei perioade de 20 de zile pentru ca aceast campanie s i fac efectul, se nregistreaz veniturile pentru 30 de zile. Aceste dou eantioane vor permite testarea ipotezei privind efectul campaniei asupra veniturilor. Din prelucrarea datelor pentru cele dou eantioane, rezult:nainte de campanieDup campanien1=50 n2=30 s1=2,15 mil. leis2=2,38 mil. leiDorim s vedem dac veniturile au crescut (2> 1), aadar, vom efectua un test unilateral stnga:H0: 1 = 2(1 - 2 = 0)H1: 1 < 2(1 - 2 < 0)

Testarea ipotezei privind diferena dintre dou medii pentru eantioane de volum mare

Cum valoarea calculat nu este mai mic dect z0,05= 1,645, rezult c nu ne aflm n regiunea critic. Eantioanele nu ofer aadar, suficiente dovezi (la = 0,05) pentru ca managerul restaurantului s concluzioneze c veniturile au crescut n urma campaniei de publicitate.

Test unilateral stngaTest unilateral dreaptaTest bilateral0,10z < - 1,28z > 1,28z < - 1,645 sau z > 1,6450,05z < - 1,645z > 1,645z < - 1,96 sau z > 1,960,01z < - 2,33z > 2,33z < - 2,575 sau z > 2,575