În literatura economică, funcţiile de producţie au fost introduse în anul 1894 de economistul Wicksteed şi aplicate, pentru prima oară, de P. Douglas şi C.W. Cobb. Au început să fie diversificare după anul 1961, când K. J. Arrow, H. B. Chenery, B.S. Minhas şi R.M. Solow au propus pentru modelarea economiei SUA funcţia Constant Elasticity of Substitution − Elasticitatea constantă a Substituţiei − CES. Alte funcţii: SATO, ALLEN, Cobb-Douglas etc. Funcţiile de producţie reprezintă legătura exprimată funcţional dintre rezultatul unei activităţi de producţie (PIB, VA etc.) şi factorii care o determină (munca privită ca volum, structură şi productivitate; volumul şi eficienţa utilizării capitalului, progresul tehnic etc.). În felul acesta, funcţiile de producţie exprimă, în mod complex, corelaţiile multiple ce se vor ivi între produsul muncii şi principalii factori de producţie. Cea mai simplă funcţie de producţie nu poate avea decât o formă de tipul:

),...,,( 21 nxxxfQ =

6.1 Funcţia de producţie Cobb-Douglas În anul 1928, C. W. Cobb şi P. Douglas au formulat producţia în funcţie de doi factori: munca şi capitalul, ale căror cantităţi sunt notate cu L (labor = muncă) şi K (capital). Ea are următoarea formă:

βα)()()( ttt LKAQ ⋅⋅=

în care: =)(tQ produsul muncii (producţia) în anul t;

K = capitalul (fonduri fixe productive, medii anuale) în anul t; L = forţa de muncă (media anuală) în anul t;

6 Funcţiile de producţie

Dimensiuni contemporane ale dezvoltării durabile şi competitive

A = coeficient de dimensiune (de proporţionalitate între factori); α = elasticitatea producţiei în funcţie de capital; ne arată, de fapt, cu cât creşte produsul muncii la o variaţie, respectiv o creştere de 1% a capitalului (exponent al factorului de producţie, capital); β = elasticitatea producţiei în raport cu munca; ne arată cu cât creşte produsul muncii la o variaţie, respectiv o creştere de 1% a forţei de muncă (exponent al factorului de producţie, muncă). Gradul de omogenitate al funcţiei Cobb-Douglas se măsoară prin suma exponenţilor factorilor de producţie α + β. Dacă se multiplică cei doi factori de producţie de un număr λ ori, atunci producţia se va multiplica corespunzător cu

.β+αλ Dacă ,1=β+α atunci funcţia de producţie se numeşte „omotetică”.

Pe baza funcţiei de producţie Cobb-Douglas se pot calcula următorii indicatori de mare utilitate în analiza macroeconomică.

6.1.1 Productivitatea medie sau randamentul mediu, R , exprimă câte unităţi de producţie se obţin la o unitate din factorul de producţie analizat.

;1 β−αβα

⋅⋅=⋅⋅

= LKAK

LKAKQRK

β−α ⋅⋅= LKARK1

unde kR reprezintă productivitatea medie în funcţie de capital sau coeficientul de

utilizare a fondurilor fixe.

1−βαβα

⋅=⋅⋅

== LKAL

LKALQRL ;

1−βα ⋅⋅= LKARL

unde LR reprezintă randamentul mediu, în funcţie de factorul muncă sau de

productivitatea muncii.

Funcţiile de producţie

6.1.2 Productivitatea marginală sau randamentul diferenţial sau marginal, RD care indică cu câte unităţi creşte producţia la o creştere unitară a unei resurse folosită în producţie, în ipoteza că cealaltă resursă rămâne constantă.

kK RLKAKQRD α=⋅⋅α=∂∂

= β−α 1

KK RRD α=

KRD reprezintă productivitatea marginală sau randamentul diferenţial în funcţie de

capital şi ne arată cu câte unităţi creşte producţia la creşterea cu o unitate a capitalului (fondurilor fixe).

LL RLKALQRD β=⋅β=∂∂

= −βα 1

LL RRD β=

LRD reprezintă productivitatea marginală sau randamentul diferenţial în funcţie de

muncă şi ne arată cu câte unităţi creşte producţia la o creştere cu o unitate a forţei de muncă. Din expresiile matematice de mai sus rezultă că productivitatea marginală se calculează ca produs între productivitatea medie şi elasticitate.

6.1.3 Elasticitatea producţiei în raport cu factorii care o determină exprimă creşterea procentuală a producţiei la o creştere cu un procent a resurselor şi este dată de raportul între productivitatea marginală şi cea medie.

α=α=∂∂

=εKQ

KQ

KQ

KQ

k :: ;

α=εK

ne arată cu câte procente creşte producţia când capitalul creşte cu un procent.

6.1.4 Rata marginală de substituţie între factori reprezintă sporul de fonduri fixe necesar a fi pus în funcţiune pentru economisirea unui loc de muncă, exprimat prin transportul dLdK / .

Dimensiuni contemporane ale dezvoltării durabile şi competitive

Se consideră într-un sistem de axe funcţia ),( 21 xxfQ = , (respectiv

),,( LKfQ = care reprezintă o suprafaţă de producţie; dacă se intersectează

suprafaţa de producţie cu un plan paralel cu planul 21Oxx , se obţine o curbă în care

toate combinaţiile posibile dintre cele două resurse au ca rezultat acelaşi volum de producţie (această curbă poartă numele de: izocuantă). Pornind de la funcţia de producţie ),( LKfQ = şi aplicând teorema lui

Euler, se obţine:

,LLQK

KQQ ⋅

∂∂

+⋅∂∂

=

prin diferenţiere urmează:

dLLQdK

KQdQ ⋅

∂∂

+⋅∂∂

=

dLLQdK

KdQ

⋅∂∂

−=⋅∂

LK

LKALKA

KQLQ

dLdKr b α

β−=

−α⋅β

−=

∂∂∂∂

−== −α

−βα

1

1

şi parametrii fiind pozitivi, urmează că dLdK

− este negativ; izocuanta este, deci,

descrescătoare şi întrucât derivata a doua este pozitivă 2

2

dLKd

curba este convexă.

6.1.5 Elasticitatea ratei marginale de substituţie între factori rε cu ajutorul căreia se determină necesarul suplimentar de fonduri fixe exprimat în procente pentru economisirea unui procent din forţa de muncă şi se calculează ca raport între rata diferenţială şi cea medie de substituţie a factorilor.

αβ

αβε −−===

LK

LK

LK

dLdK

LdL

KdKr :::

αβ

−=εr

Funcţiile de producţie

Una din utilizările majore ale funcţiilor de producţie în previziunea economică constă în: Considerând valoarea producţiei ce trebuie realizată pentru un număr n de ani

(de exemplu peste 10 ani) 10Q şi cunoscând de asemenea )( 10L , ritmul mediu anual

de creştere a populaţiei active (pe baza sporului natural al populaţiei), se cere să se

determine volumul de capital productiv necesar )( 10K , (respectiv volumul de fonduri

fixe productive) pentru atingerea nivelului propus al producţiei. Funcţia de producţie se va calcula sub forma de indici:

βα ⋅⋅= LKAi iiQ

6.2 Funcţia de producţie Cobb-Douglas cu progres tehnic se scrie:

)()()()( tetLtAKtQ γβα ⋅⋅=

în care: e = baza logaritmului natural (2,73...)

=γ rata progresului tehnic

t = numărul de ani prognozat Se calculează, de asemenea, sub formă de indici:

teKLAi iiQ γ⋅= βα

6.3 Funcţia de producţie C.E.S. (Constant Elasticity of Substitution) are următoarea formă:

ρ−

ρ−ρ− α−+αβ=1

])1([ LKQ

unde: β = parametru de scară; α = parametru de repartiţie;

=ρ parametru care exprimă valoarea elasticităţii de substituţie.

Dimensiuni contemporane ale dezvoltării durabile şi competitive

6.4 O cunoscută economistă americană, Irma Adelman, a elaborat una din cele mai cunoscute funcţii de producţie cu o importanţă teoretică deosebită (teoretică, deoarece nu este funcţională, nu se poate aplica în mod concret).

),,,,( tttttt USNLKfQ =

unde: Kt = capital productiv în anul t; Lt = forţa de muncă în anul t; Nt = nivelul de utilizare a resurselor naturale în anul t; St = fondul social de cunoştinţe aplicate (tehnologice, calificare) în anul t; Ut = mediul socio-cultural în care se desfăşoară activitatea economică.