CURS 2

Capitolul 1: Rspunsul n domeniul timp i operaional al sistemelor liniare netede

Fie sistemul liniar neted:

TtxxtCxty

tButAxtx

,0 0

(1)

Rspunsul n domeniul timp al unui sistem liniar neted este:

t

t

tAAt dBuetxetx0

0 (2)

Este evident c rspunsul nu depinde dect de 0ttt i atunci alegem 00 t :

ttAAt dBuexetx

00

(3)

Remarcm c rspunsul este format din doi termeni:

0()0 uAt

l txxetx este rspunsul liber al sistemului, adic rspunsul sistemului n

condiiile n care comanda este identic nul.

00 0

xt

tA

f txdBuetx este rspunsul forat al sistemului, adic rspunsul

sistemului n condiiile n care starea iniial este identic nul.

Se poate observa c se aplic principiul superpoziiei, mai exact:

00() 0 xuft txtxtxtxtx (4)

Se numete matricea de tranziie a strilor i se noteaz cu t matricea:

...!2!1

22

At

At

Ietdef

Atdef

(5)

Folosind aceast notaie, putem scrie:

00 xtxetxAt

l (6)

Ieirea sistemului se obine din ecuaia a doua a sistemului (1):

ttAAt dBuCexCetCxty

00

(7)

i aici se remarc doi termeni:

0()0 udef

Atdef

l tyxCety este ieirea liber a sistemului, adic ieirea sistemului n

condiiile n care comanda este identic nul.

t

x

deftA

def

f tydBuCety0

00 este ieirea forat a sistemului, adic ieirea

sistemului n condiiile n care starea iniial este identic nul.

i aici este valabil principiul superpoziiei, mai exact:

00() 0 xufl tytytytyty (8)

Definiie: Se numete matricea pondere i se noteaz cu tT matricea definit de:

BCetT Atdef

(9)

Se poate observa c folosind aceast notaie, avem:

t def

f tuTdutTty0

(10)

Dac aplicm transformata Laplace ecuaiilor sistemului (1) obinem:

0xssxtxL (11) Sistemul se poate rescrie:

sCxsy

sBusAxxssx 0 (12)

Astfel, n operaional, rspunsul sistemului este:

sBuAsIxAsIsx 101

(13)

Se remarc aici cele dou componente ale rspunsului:

0)(01

su

def

l sxxAsIsx componenta liber a rspunsului

01

0

x

def

f sxsBuAsIsx componenta forat a rspunsului

Evident, se respect principiul superpoziiei:

00)( 0 xsufl sxsxsxsxsx (14)

Observaie: Din relaia (6) de mai sus, observm c:

1 AsIs (15) Observaie: Metode de calcul al lui Ate :

calculul direct al seriei ...!2!1

22

At

At

Ie At , care are sens n mod special atunci cnd

seria are un numr finit de termeni (adic dac exist k astfel nct 01 kk AA ). n acest caz, matricea se numete nil potent, de exemplu, n cazul unei matrice superior diagonale.

cnd exist k astfel nct 1 kk AA neidentic nul (matricea se numete idem potent)

folosind forma Jordan: dac 1 TJTA , atunci 11

TTeee JttTJTAt

0,11 tAsILe At

Ieirea sistemului se scrie:

zBuAsICxAsICsCxsy 101

(16)

Remarcm cele dou componente ale ieirii:

001

su

def

l syxAsICsy este componenta liber a ieirii

01

0

xf sysBuAsICsy este componenta forat a ieirii

Din nou, se observ respectarea principiului superpoziiei:

00 0 xsufl sysysysysy (17)

Definiie: Se numete matricea de transfer i se noteaz cu zT matricea definit de:

BAsICsTdef

1 (18)

Ecuaia fundamental a lumii liniare:

susTsBuAsICsy x

1

00 (19)

Observaie: Reversibilitatea timpului.

Din ecuaia (13) se poate calcula 0x :

t

sBusxssx0

0

sau n domeniul timp:

ttAAt dBuexetx

00

t

dButxttx0

0

Deoarece Atet exist mereu tt 1 i atunci:

t

dButttxtx0

1

0 x (20)

De aici se observ posibilitatea de a l extrage pe 0x , ceea ce nseamn c timpul este mereu

reversibil ntr-un sistem liniar neted.

Observaie: Cazul mono intrare - mono ieire. Funcia de transfer sH . Pentru cazul 1 pm avem:

Rtxx

txcty

tbutAxtx

T

,0, 0

(21)

bAsIcsH Tdef

1 (22)

Proprietile sH :

este scalar

este o raional strict proprie

0

1

1

0

1

1

...

...

n

n

n

n

n

ss

s

sp

srsH

descrierea ca schem ecuaie diferenial a sistemului liniar discret

susp

srsusHsy f z (23)

susrspsy f (24)

sussyss nnfnnn 011011 ...... (25) Dac relaiei de mai sus i aplicm transformata Laplace invers n condiii iniial nule, obinem:

tutuptytyty nnf

n

fn

n

f 0

1

10

1

1 .........

(26)

fie

0,0

0,11

t

ttutu . Definim:

tututU nndef

0

1

1 ...

(27)

ttutututU 110011 ' Folosirea transformatei Laplace i a funciilor de transfer rezult i din abilitatea acesteia de a trata discontinuitile de spea 1 pe mrimea de intrare.

interpretarea lui sH

susHsy f Dac considerm un semnal sinusoidal, js , atunci:

jujHjy f

jeHjH jjjjf eHeeHjueHjy

Un semnal sinusoidal este amplificat cu un factor de amplificare i defazat cu o faz ceea ce justific interpretarea lui hH ca o admitan complex.

ttu de unde sHssHsy jf

0,0

0,_,1

t

tponderematriceathbecsHL

defAtT

thsyL cdef

f 1 , rspunsul cauzat la impuls.

0,0

0,

t

tththc . unde th este funcia

pondere i este prelungirea analitic n R a rspunsului cauzat la impuls.