teoria relativitatii restranse
TRANSCRIPT
Teoria relativitatii restranse
Capitolul al II-leaElectrotehnica
Axiomele mecanicii clasice si postulatele teoriei relativitãtii restrânse (a)
smc 8103
smc 8103
vccvvv transportrelativãabsolutã
La baza mecanicii clasice stau principiul relativitãtii galileene si principiul timpului absolut. Acestea afirmã cã, desi observatori inertiali diferiti vor caracteriza evenimentele (ceea ce se petrece într–un loc la un anumit moment) prin valori diferite ale coordonatelor spatio–temporale, legile mecanicii clasice vor avea aceeasi formã pentru toti iar intervalele de timp dintre douã evenimente vor fi egale.La sfârsitul secolului al XIX–lea axiomele mecanicii clasice, având drept consecintã propagarea instantanee a interactiunilor, au intrat în contradictie cu ecuatiile lui Maxwell (legile electrodinamicii) care descriu fenomenele electromagnetice. În acea perioadã, propagarea cu vitezã finitã a câmpului de interactiune electromagneticã, prin contiguitate, era explicatã admitându–se existenta eterului.Erau mai multe interpretãri: într–unele eterul era considerat drept suportul material al câmpului electromagnetic (asa cum aerul permite propagarea sunetelor, eterul era un mediu invizibil, cu proprietãti asemãnãtoare cascavalului moale pentru cutitul deplasat lent i rigid pentru o loviturã bruscã a acestuia, necesar propagãrii undelor electromagnetice). In alte interpretãri se considerã câmpul electromagnetic ca fiind expresia unor stãri particulare ale eterului. In ipoteza cã eterul este un fluid fin, care umple tot spatiul si corpurile continute de acestea, a apãrut întrebarea referitoare la ce se întâmplã atunci când un corp se miscâ: eterul este antrenat de cãtre corp sau nu ?Hertz a considerat cã eterul este antrenat de cãtre corpuri. În ipoteza eterului total antrenat ecuatiile lui Maxwell sunt invariante fatã de transformãrile lui Galilei, iar viteza luminii
este aceeasi fatã de orice S.R.I. Experimentele efectuate (experimentul Fizeau pentru determinarea vitezei luminii în medii în miscare, fenomenul aberatiei stelare (Bradley)) au infirmat teoria lui Hertz.Lorentz si–a imaginat cã eterul nu este antrenat de cãtre corpurile în miscare. Mai mult, el a considerat cã eterul constituie un sistem de referintã special, favorizat, fix (complet imobil) . În teoria lui ecuatiile lui Maxwell îsi pãstrau forma cunoscutã doar fatã de eterul fix iar viteza luminii avea valoarea
doar fatã de acesta. Fatã de alte S.R.I. viteza luminii era datã de legea de compunere a vitezelor a lui Galilei :
Axiomele mecanicii clasice si postulatele teoriei relativitãtii restrânse (b)
Se putea, în ipoteza Lorentz, pune în evidentã miscarea uniformã a unui SRI fatã de eterul fix. Astfel Michelson si Morley au vrut sã mãsoare “vântul de eter“ care ar fi trebuit sã se simtã de pe Pãmânt in miscarea lui prin eterul fix.Dispozitivul experimental, interferometrul Michelson, alcãtuit din douã brate orizontale P si Q perpendiculare pe celãlalt. O sursã de luminã trimite o razã care este “despicatã“ de o lamã în douã raze care cãlãtoresc de–a lungul celor douã brate dus–întors, fiind reflectate la capete de alte douã oglinzi (O1 si O2). În final razele sunt suprapuse obtinându–se o figurã de interferentã: o succesiune de franje alternativ luminoase si întunecoase a cãror pozitie depinde de diferenta dintre timpii de propagare (de la plecare pânã la suprapunere). Unul din brate e asezat paralel cu viteza de deplasare a Pãmântului prin spatiu iar celãlalt e perpendicular pe aceastã vitezã.Viteza luminii relativã la aparat este (în acord cu regula de compunere a vitezelor a lui Galilei):• c–v pe distanta OO1
• c+v pe distanta O1O• pe distantele OO2 si O2O.22 vc
O
O2
l1
P
O1
S
Q
l2
21
22111
11
1
c
l2
cv1
1
c
l2
vc
l
vc
lt
–––
2
2
22
2
22
22
1
1
c
l2
vc
l
vc
lt
–––
4–10300
30
skm000
skm
c
v
2
2121
–1–
–1
2–
ll
cttt
22
2
121
1
l
1
l
c
2ttt
––
––
2
2121
–1–
–1
)(2
ll
c
lltt ).(
2
)(2– 4
221
c
lltt
Din calcul ar fi trebuit sã se producã o deplasare cu
0,4 din interfranjã. Experimental, cu toate precautiile
luate pentru evitarea perturbatiilor, deplasãrile
produse de rotatia aparatului nu au fost mai mari de
0,02 din interfranjã. Rezultatul acestui experiment
a fost negativ. Nu s–a putut mãsura “vântul eteric“
pe Pãmânt. Au fost mai multe explicatii acordate
acestui rezultat dar dintre toate a rezistat doar cea
datã de cãtre Einstein sub forma postulatelor teoriei
relativitãtii restrânse:
Principiul relativitãþii (Einstein). Legile fizicii au
aceeasi formã fatã de toti observatorii inertiali.
Principiul invariantei vitezei luminii:Existã o vitezã
maximã de propagare a interactiunilor în Univers.
Aceasta este viteza luminii în vid (c=3x10^8m/s ) si
este aceeasi fatã de orice observator inertial
(indiferent de miscarea sursei de luminã sau a
observatorului).
Acestor postulate li s–a adãugat si principiul
corespondentei care afirmã cã la limita vitezelor mici
v/c 0) legile mecanicii relativiste tind spre forma
mecanicii clasice.
INTERVALUL RELATIVIST (a)O notiune de bazã în teoria relativitãtii restrânse este aceea de
eveniment“ceva care se întâmplã într–un anumit loc la un
anumit moment“. Evenimentul se caracterizeazã deci prin trei
coordonate spatiale x,y,z si una temporalã t. Într–un spatiu cu
patru dimensiuni ale cãrui axe ar fi cele trei axe spatiale x,y,z si
o axã temporalã ct (înmultirea cu c se face pentru a avea
dimensiune spatialã), numit spatiu–timp Minkowski,
evenimentul ar fi reprezentat printr–un punct , numit punct de
univers . Dacã evenimentul se referã la o particulã, punctul de
univers descrie o curbã numitã curbã de univers. În cazul în
care particula are o miscare rectilinie uniformã curba de univers
este o dreaptã. Vom considera douã sisteme de referintã
inertiale S si cu axele paralele, astfel încât axele Ox si Ox’ sã
coincidã si sã fie paralele cu viteza V a lui S’ fatã de S:•
Axiomele mecanicii clasice si postulatele teoriei relativitãtii restrânse (b)
INTERVALUL RELATIVIST (b)
De asemenea vom considera douã evenimente E1(x1,y1,z1,ct1) si E2(x2,y2,z2,ct2) fatã de sistemul S care reprezintã: emisia unui semnal luminos si respectiv receptia acestui semnal. Distanta dintre cele douã puncte este :
“intervalul este un invariant relativist (are aceeasi valoare fatã de toti observatorii inertiali)“. Sã nu uitãm cã aceasta este o consecintã a postulatelor lui Einstein.
• Clasificarea intervalelor• de gen temporal: ds2>0• de gen spatial: ds2<0 • de gen luminos: ds2=0
2122
122
12 ––– zzyyxxd
12 ttcd –
21222
122
122
12 ttczzyyxx ––––
21222
122
122
12 –––– ttczzyyxx
0––– 222222 dzdydxdtcds
0zdydxdtdcsd 222222 –––
222222 dzdydxdtcds –––
Transformãri LorentzAsa cum distanta d dintre douã puncte ale spatiului
3 dimensional rãmâne neschimbatã în urma
rotatiei axelor sistemului de referintã si intervalul
relativist ds dintre douã evenimente trebuie sã
rãmânã invariant la rotatiile spatiu–timpului
Minkowski. O rotatie în acest spatiu poate fi
descompusã în 6 rotatii: una în planul xy, a doua în
planul yz, a treia în planul zx, a patra în planul xt,
a cincea în planul yt si ultima în planul zt.
Deplasarea sistemului de referintã inertial cu
viteza V în lungul axei comune a sistemului de
referintã S este echivalentã cu o rotatie în spatiul
Minkowski în planul (xt). În urma acestei rotatii
coordonatele y si z rãmân neafectate: y=y’si z=z’
iar intervalul relativist dintre evenimentul origine si
evenimentul de coordonate (x,t) este invariant:
c2t2-x2=c2t’2-x’2 în urma rotatiei.
chtcshxct
shtcchxx
shtcx
chtcct c
vth
ct
x
2th1
thsh
–
2th1
1ch
–
2
2
2
2
2
c
v1
xc
vt
t
zz
yyc
v1
tvxx
–
–
• Observãm cã la limita c, transformãrile Lorentz devin:
• Compunerea vitezelor în mecanica relativistã:
tt
zz
yy
tvxx
2
2
2
2
2
c
v1
xdc
vdt
c
v1
tvdxddx
–
,
–
dt ,zddz ,yddy
x2
x
22
x
vc
v1
vv
td
xd
c
v1
vtd
xd
xdc
vtd
tvdxd
dt
dxv
x2
2
2
y
2
2
2
2
2
2
y
vc
v1
c
v1v
td
xd
c
v1
c
v1
td
yd
xdc
vtd
c
v1yd
dt
dyv
–––
x2
2
2
z
2
2
2
2
2
2
z
vc
v1
c
v1v
td
xd
c
v1
c
v1
td
zd
xdc
vtd
c
v1zd
dt
dzv
–––
x2
2
2
z
x2
2
2
y
x2
xx
vc
v1
c
v1v
vc
v1
c
v1v
vc
v1
vvv
–
–,
–
–,
–
– xy v v
zz
yy
xx
vv
vv
vvv
Vvc
v1v
Vvc
v1v
v
vtg
2
2
x
2
2
y
x
y
cos
sin ––
c
vtg
cos
sin c
v–1
2
2
Time Dilation/Length Contraction: Muon Decay
• Why do we observe muons created in the upper atmosphere on earth? Proper lifetime is only = 2.2 s travel only ~650 m at 0.99c
• Need relativity to explain!– Time Dilation: We see muon’s
lifetime as = 16 s.– Length Contraction: Muon sees
shorter length (by = 7.1)
LengthContraction
Muon’s frame
Earth’s frame
TimeDilation
Aberration of Light
• Discovered by Bradley in 1725 after seeing pennant on sailboat having direction intermediate to wind and boat motion.
Prin analogie cu vectorii spaţiului 3 – dimensional vom construi în spaţiul Minkowski vectori cu patru componente numiţi 4–vectori sau cuadrivectori. Păstrând analogia, vom cere ca mărimea lor să rămână neschimbată la rotaţia axelor de coordonate, respectiv la transformările lui Lorentz.
Un prim exemplu de cuadrivector ar putea fi cuadriraza vectoare care are drept componente coordonatele unui eveniment (ct,x,y,z). Este cazul să considerăm două tipuri de componente :
-contravariante ;:)3,2,1,0( zix i 320 x y, x x,x ct, x
.zx xşi y, x xx,x xct,x x:)3,2,1,0i(x 3322
11
00
i -covariante Modulul pătrat al cuadrivitezei vectoare va avea expresia unui produs scalar:
.zyxtc)x()x()x()x(
xxxxxxxxxxxx
2222223222120
33
22
11
00i
iii
Această cantitate este un invariant relativist (este intervalul dintre evenimentul situat în originea axelor şi evenimentul de coordonate (ct,x,y,z). Ea este neafectată de rotaţia axelor de coordonate.În mod asemănător putem construi şi alţi cuadrivectori.
ix
Definiţie: În general prin cuadrivector vom înţelege un ansamblu de patru cantităţi care se transformă la fel ca şi componentele cuadrirazei vectoare:
la o transformare a sistemului de referinţă inerţial:
)A,A,A,A(A 3210i
3322
22
01
1
22
10
0 AA,AA,CV1
ACV
AA,
CV1
ACV
AA
.-AA şi AA,AA,AA 33
22
11
00
23222203
32
21
10
0iii
i )A()A()A()A(AAAAAAAAAAAA
)A,-(A)A,-(A)A,A,A,(A A
sau )A,A()A,A,A,A(A0
03210
03210i
220i
i A)A(AA
4-vectori• Cuadriviteza şi cuadriacceleraţia Principiul minimei acţiuni afirmă că prin orice sistem
mecanic există o integrală S numită acţiune care este minimă (externă) pentru mişcarea reală şi a cărei variaţie este, deci, nulă. Vom construi acţiunea pentru o particulă relativistă liberă (nesupusă unor forţe exterioare). Considerând că acţiunea nu trebuie să depindă de sistemul de referinţă şi că sub semnul integrală trebuie să fie o diferenţă de ordinul întâi rezultă că acţiunea pentru o particulă liberă va avea forma:
dt
rdv
ds
dxu
ii
2222
00
cv1
1
cv1dt
dt
d
dt
cd
)ct(d
ds
dxu
etccvc
v
cvcdt
dx
cd
dx
ds
dxu xx
2222 11
2222
i
cv1c
v,
cv1
1u
1ds
ds
ds
dxdx
ds
dx
ds
dxuu
2
2
2i
ii
i
ii
.2
2
ds
du
ds
xdw
iii 1i
iuu 0wu ii
b
adsS
.c
v1cL
c
v1cdtcddsLdtS
2
2
t
t2
2t
t
b
a
2
1
2
1
2
1
0
c
v
c2
vc
c
v1cL
2
2
2
.mc2
mv
c2
vL
22
2
22
c
v1mvL
b
a.dsmcS
Cuadriimpulsul
.v
Lp
2
ii2
kk
c
vv1mc
vp
.vvvvvvvvv 2zzyyxxii
22
22
1
2
2
22
1
11
2
2
1
cv
vmp
cv
vv
c
v
vcmcp k
i
k
ik