UPT, Anul I MPT 2015-2016

Algebra liniara, Tema 2

1. Sa se determine rangul matricilor urmatoare:

A =

−1 3 5−2 1 −4−1 −2 −9

, B =

−1 2 0 51 3 1 20 5 1 3

2. Sa se determine solutia sistemului urmator folosind regula lui Cramer si apoi metodamatriciala: {

−2x+ y = −13x− 5 = 2

3. Sa se arate ca sistemul urmator este compatibil determinat si sa se rezolve prin metodamatriciala.

3x1 + 4x2 − 3x3 = 53x1 − 2x2 + 4x3 = 73x1 + 2x2 − x3 = 3

4. Sa se arate ca sistemul:

2x2 + x3 = 3x1 + 2x3 = −22x1 + x2 = 5

este compatibil determinat si sa se determine solutia sa folosind o metoda la alegereavoasta.

5. Sa se arate ca sistemul: −2 1 11 −1 3

−4 3 −5

x1

x2

x3

=

417

este incompatibil.

6. Se considera sistemele liniare si omogene:

a)y + z = 0x+ z = 0x+ y = 0

, b)

2x− y + 3z = 0−x+ y + 5z = 02x− y + z = 0x+ y + z = 0

c)3x− y + z = 0x− y + 4z =

2

Sa se analizeze fiecare caz ın parte si sa se deduca daca admite doar solutia banala sau sisolutii nebanale si sa se determine multimea solutiilor fiecarui sistem.

Indicatie: Observati ca primul sistem are 3 ecuatii si 3 necunoscute, deci calculatideterminantul matricii sistemului si vedeti daca este 0 sau nu.

Al doilea sistem si al treielea au numar diferit de ecuatii si necunoscute. Pentru acesteadeterminati rangul matricii sistemului, un determinant principal, necunoscutele principalesi secundare si rezolvati ecuatiile principale.

7. Sa se rezolve sistemul:

x1 − 3x2 + 5x3 − 2x2 = 0x2 + 8x3 = −4

2x3 = 3x4 = 1