329

Tema 10

Mecanica cuantică

8.1 Proprietăţi ondulatorii ale microparticulelor

8.1.1 Ipoteza lui de Broglie privind asocierea de

proprietăţi ondulatorii particulelor În anul 1905 Albert Einstein a emis ideea structurii corpusculare a undelor

electromagnetice, care se comportau în anumite situaţii ca un flux de fotoni,

impulsul unui foton de frecvenţă fiind:

h h c hp

c c

(8.1)

În anul 1924 fizicianul francez Louis de Broglie a emis ipoteza valabilităţii

universale a formulei (8.1), astfel că mişcării fiecărei microparticule – electron,

proton, atom, moleculă etc. – i se poate asocia o undă cu lungimea de undă:

h

p (8.2)

Unda asociată unei particule cu impulsul p bine definit se numeşte undă de

Broglie, şi are lungimea de undă dată de (8.2). Rescriind (8.1) sub forma

2

2

h hp k

, sau sub formă vectorială p k , rezultă:

pk (8.3)

astfel că vectorul de undă k este proporţional cu impulsul p al microparticulei.

Din 1905, când Einstein a lansat ipoteza unei structuri corpusculare a

undelor, şi până la ipoteza lui de Broglie referitoare la proprietăţile ondulatorii

ale microparticulelor au trecut 20 de ani. Acest fapt poate fi înţeles dacă ne

amintim că Einstein a făcut ipoteza sa în scopul explicării unor fapte

experimentale deja existente, în timp ce de Broglie a făcut ipoteza sa fără să

existe fapte experimentale în acest sens.

Se poate observa că primul postulat al lui Bohr se poate obţine pe baza

formulei (8.2), admiţând existenţa numai a acelor orbite staţionare ale

electronului în atom pentru care este satisfăcută condiţia de staţionaritate a

undelor de Broglie asociate mişcării electronului. Aceasta înseamnă că lungimea

orbitei din teoria lui Bohr trebuie să fie egală cu un număr întreg de lungimi de

undă asociate:

22

h hr n rp n

p

(8.4)

330

La teoria relativităţii se arată că impulsul şi vectorul de undă sunt

cuadrivectori de componente:

, ; ,iE i

p kc c

P K (8.5)

Extinzând formula (8.3) la toate componentele cuadrivectorilor P şi K

obţinem legea Einstein-de Broglie, care are un caracter general, fiind valabilă

pentru orice microparticulă:

P K (8.6)

Particularizând pentru componenta a 4-a, obţinem

E . (8.7)

În anul 1929 Louis de Broglie a primit premiul Nobel pentru “Elaborarea

teoriei dualităţii undă-corpuscul a materiei”, care a pus bazele mecanicii

cuantice.

Pentru a înţelege mai bine noţiunea de undă asociată, să urmărim

dependenţa lungimii de undă a undei asociate unei miroparticule de masă 0m la

variaţia unui parametru ai particulei, menţinând ceilalţi parametri constanţi.

2 2

22 2

00 0

1 1 1v vh h hh h c c

m cvp mv m v m c

c

(8.8)

Din (8.8) se observă umătoarele:

- pentru 0m constant lungimea de undă scade când viteza microparticulei creşte;

- pentru v fix lungimea de undă este invers proporţională cu masa de repaus.

2 2 4 2 4 2 2

20 0

01 1

hc hc E hc E

E m c m c E m c E

, (8.9)

unde E este energia totală a particulei.

Din (8.9) se poate observa faptul că:

- pentru E fix lungimea de undă creşte cu creşterea masei se repaus;

- pentru 0m constant lungimea de undă scade când energia totală creşte.

În cazul 0 0m sau 2

0m c E se obţine cea mai mică valoare posibilă pentru

lungimea de undă, min

hc

E .

331

2 2 4 200 0

2

0

1

22 12

c cc c

hc hc h

m E EE m c E E m c

m c

(8.10)

(s-a folosit definiţia energiei cinetice din mecanica relativistă, 2

0cE E m c ).

Din (8.10) se observă că pentru cazul clasic 2

0cE m c (8.10) devine:

02 c

h

m E (8.11)

Calculând lungimea de undă după formula (8.11) pentru cazul 3

0 10 kgm , 310 m/sv , valoarea constantei lui Planck fiind 346,6 10 J sh , obţinem

286,6 10 m! De aici se poate afirma că din cauza valorii foarte mici a

constantei lui Planck nu se pot pune în evidenţă efecte cuantice (proprietăţi

ondulatorii ale particulelor) la particule macroscopice, aceste proprietăţi

manifestându-se în mod evident numai la microparticule.

8.1.2 Funcţia de undă . Vitezele undelor de Broglie

Mărimea ce caracterizează unda de Broglie se numeşte funcţie de undă şi

se notează cu simbbolul (funcţia psi). Interpretarea corectă a sensului funcţiei

de undă , , ,x y z t , din punct de vedere statistic, a fost dată de fizicianul

german Max Born în anul 1926. Astfel, funcţia de undă , , ,x y z t nu este o

mărime observabilă, adică ea nu poate fi determinată experimental. Sens fizic

are numai pătratul valorii absolute a funcţiei de undă, şi anume mărimea 2

.

Exemplul cu drumul şi indicatorul

Probabilitatea stabilirii experimentale a poziţiei microparticulei descrise

de funcţia de undă , , ,x y z t într-un punct de coordonate , ,x y z , la un

moment de timp t , este proporţională cu valoarea 2

, , ,x y z t în acel punct şi

la acelaşi moment de timp. Din acestmotiv mărimea 2

, , ,x y z t se numeşte,

de regulă, densitatea de probabilitate.

Este evident că între probabilitatea unui eveniment şi evenimentul însuşi

există o mare deosebire. Când vorbim despre probabilitatea de repartiţie a

microparticulei în spaţiu, nu înseamnă că particula însăşi este distribuită în

spaţiu. Experimentul lui Feynman

Conform ipotezei lui de Broglie, unei microparticule aflată în mişcare

liberă pe direcţia axei Oz i se asociază de exemplu unda armonică plană:

,

iEt pzi t kz

z t Ae Ae

(8.12)

332

Viteza de fază a undei de Broglie este viteza de propagare a suprafeţei pentru

care faza undei este constantă:

const,Et pz

adică

2 2

f

dz E mc cv

dt p mv v , (8.13)

unde v este viteza microparticulei însăşi. Conform teoriei relativităţii restrânse,

pentru orice microparticulă v c , astfel că viteza de fază a undei de Broglie

fiind superioară vitezei luminiiîn vid conform (8.13), nu poate fi interpretată

drept viteza microparticulei.

Dacă microparticula ar fi descrisă de funcţia de undă (8.12), atunci

densitatea de probabilitate ca particula să se afle într-un punct oarecare al axei

Oz , la un moment t , ar fi:

2, , ,z t z t z t A (8.14)

Aceasta înseamnă că microparticula sepoate afla, cu aceeaşi probabilitate, în

orice punct din spaţiu.

Este posibil ca reprezentatreaondulatorie a mişcării unui microobiect să

fie descrisă de un pachet de unde, care la un moment dat t să aibă amplitudinea

diferită de zero numai într-un domeniu restrâns din spaţiu. Pachetul de unde se

obţine din suprapunerea maimultor unde monocromatice care au pulsaţiile

cuprinse într-un interval de pulsaţii . Conform (8.1) şi (8.2), existenţa unui

domeniu de pulsaţii conduce la o nedeterminare E a energiei, şi respectiv

o nedeterminare p a impulsului. Viteza de gruppentru un astfel depachet de

unde se defineşte prin relaţia:

g

dv

dk

(8.15)

În cazul undelor de Broglie, pulsaţia şi modulul vectorului de undă k

se exprimă în funcţie de masa de repaus 0m şi viteza v a microparticulei:

22 0

2 2

2 22 2

1

E m cmc

h h h v c

(8.16)

0

2 2

2 2 2 2

1

m vk p mv

h h h v c

(8.17)

Viteza de grup definită prin (8.15) se poate scrie acum sub forma:

g

d d dvv

dk dk dv

(8.18)

333

Din (8.16) şi (8.17) obţinem:

3 2 3 2

2 2 2 20 02 21 ; 1

d m v dk mv c v c

dv h dv h

(8.19)

Introducând (8.19) în (8.18) se obţine:

gv v (8.20)

ajungând astfel laconcluzia că viteza de grup a pachetului de unde este egală cu

viteza microparticulei. Acest rezultat a condus la unele interpretări eronate,

menite a identifica microparticula cu pachetul de unde.

8.1.3 Experimentele lui Davisson şi Germer de difracţie

a electronilor În anul 1927 fizicienii americani C. J. Davisson şi L. H. Germer au

efectuat experimente de difracţie a electronilor pe reţele cristaline, confirmând

valabilitatea ipotezei lui de Broglie. În fig.1 se

arată schema de principiu (macroscopică) a

instalaţiei utilizate în acest scop.

Se poate observa cum electronii emişi de

un filament F sunt acceleraţi în tunul electronic

T la o diferenţă de potenţial U, iar fasciculul de

electroni, colimat în prealabil, cade pe suprafaţa

monocristalului C. Un detector D înregistrează

electronii deviaţi de cristal sub un unghi faţă

de direcţia lor iniţială de mişcare.

Rezultatele măsurătorilor efectuate au fost

prezentate de Davisson şi Germer sub forma

unor diagrame polare, în care se trasau sub

diferite unghiuri segmente de dreaptă cu

lungimea proporţională cu numărul de electroni

difractaţi, care erau înregistraţi pe direcţia respectivă.

S-a constatat că pentru o energie a electronilor de 54eV se obţine un

maxim pronunţat al numărului de electroni difractaţi sub unghiul 50 (fig.2).

Această reflexie selectivă a electronilor poate fi explicată prin interferenţa

unor unde (în cazul nostru undele de Broglie asociate electronilor). Liniile

paralele indicate în fig.3 reprezintă urmele unor plane cristaline perpendiculare

pe planul desenului. Fasciculul de electroni cade pe cristal sub un unghi faţă

de normala MN la planele cristaline indicate. Undele difractate se vor întări

reciproc, creându-se un maxim de interferenţă, dacă este satisfăcută condiţia

Wulf-Bragg:

2 cosd , (8.21)

C

T

Figura 1. Instalaţia lui

Davisson şi Germer

F

D

334

unde este lungimea de undă pentru unda de

Broglie asociată electronilor incidenţi, iar m

este ordinul de interferenţă. Relaţia dintre

constanta reţelei cristaline D şi distanţa d

dintre planele cristaline indicate cu linii în

fig.3 este:

sind D ,

iar prin înlocuirea în (8.21) se obţine:

2 sin cos sin2 sinD D D m (8.22)

S-a utilizat un monocristal de nichel,

pentru care experimente de difracţie cu raze X

au condus la o valoare a constantei reţelei

2,15D Å.

Din (8.22) se obţine, pentru 1m şi 50 :

2,15 sin50 2,15 0,76604 1,65 Å, (8.23)

în timp ce din (8.2) se obţine:

0

12,25

2

h h

p m eU U V Å

12,25

54 Å=1,667 Å (8.24)

Concordanţa satisfăcătoare dintre valorile lungimii de undă date de (8.23)

şi (8.24) confirmă valabilitatea ipotezei lui de Broglie.

D

d

N

Figura 3. Difracţia electronilor

într-un cristal

Electroni cu

E = 54eV

50

C

Figura 2. Diagrama polară în

experimentul lui Davisson şi

Germer

335

Experimentele de difracţie de microparticule au dovedit că ideea lui de

Broglie, exprimată prin formula (8.2) este universal valabilă pentru orice

microparticulă, fie elementară (electron, proton, neutron etc.), fie neelementară

(atom, moleculă etc.).

S-a ridicat problema dacă proprietăţile ondulatorii ale microparticulelor

indicate de de Broglie aparţin ansamblului de microparticule, sau reprezintă o

proprietate individuală a fiecărei microparticule. Experimentele au atestat faptul

că această proprietate aparţine individual fiecărei microparticule.

Ipoteza lui de Broglie nu a putut fi înţeleasă în cadrul fizicii clasice, astfel

încât se poate afirma că microparticulele se comportă radical diferit faţă de

obiectele clasice. În consecinţă, microparticulele nu pot fi nici corpusculi şi nici

unde, în sensul clasic al acestor noţiuni, şi nici o dualitate undă-corpuscul.

Comportarea microparticulelor, numite in general particule cuantice, se

deosebeşte în mod esenţial de comportarea obiectelor clasice, supunându-se

unor legităţi specifice. Deşi unda de Broglie asociată mişcării microparticulelor

nu este o undă, în sensul clasic al cuvântului, se foloseşte noţiunea de undă de

Broglie, ale cărei proprietăţi vor fi deduse în cadrul mecanicii cuantice.

Paragaraful din Photonics privin teza lui de Broglie şi premiul Nobel atribuit

numai lui Davisson (nu şi lui Germer)

8.1.4 Relaţiile de nedeterminare ale lui Heisenberg Faptul că un microobiect poate fi descris de un pachet de unde de Broglie

conduce la ideea existenţei unei limite principiale a preciziei cu care pot fi

măsurate caracteristicile corpusculare ale microparticulelor.

În anul 1927 fizicianul german Werner Heisenberg (1901-1976) a arătat

că există relaţii de incertitudine pentru toate perechile de variabile canonic

conjugate:

, ; , ; , ; , .x y z

ix p y p z p E ict

c (8.25)

Pentru aceste perechi de variabile canonic conjugate relaţiile de

nedeterminare ale lui Heisenberg se scriu sub forma:

; ; ; .x y zx p y p z p E t (8.26)

Subliniem că relaţiile de incertitudine (8.26) prezintă un caracter fundamental,

exprimând deosebirea calitativă de comportare a particulelor cuantice în raport

cu cele clasice. Astfel, relaţiile (8.26) reflectă o lege generală a naturii, având un

caracter universal în sensul că se referă la orice tip de obiect sau interacţiune.

În încercarea de a exprima principiul de incertitudine al lui Heisenberg

într-o formă cât mai accesibilă, Niels Bohr a introdus în anul 1928 aşa numitul

concept de complementaritate, conform căruia fenomenele la nivel macroscopic

nu pot fi descrise atât de complet ca în mecanica clasică. După Bohr, perechile

de variabile conjugate canonic, care în mecanica clasică se completează reciproc

336

şi permit astfel o descriere completă a stării obiectului, în cazul microobiectelor

sunt principial incompatibile, excluzându-se reciproc. Aceasta înseamnă că nu

pot fi atinse prin nici un fel de măsurare precizii care depăşesc cadrul relaţiilor

de incertitudine. Orice încercare de măsurare cu precizie mare a uneia dintre

variailele canonic conjugate conduce la producerea unei perturbaţii

incontrolabile asupra valorii celei de-a doua variabile. Pe de altă parte,

perturbaţiile necontrolabile asupra valorii variabilei conjugate care nu se

măsoară în procesul de măsurare considerat, nu influenţează rezultatele obţinute

prin masurarea primei variabile canonice.

Faptul că o microparticulă descrisă de funcţia de undă (8.12) prezintă

aceeaşi densitate de probabilitate a localizării (8.14) în orice punct din spaţiu,

este în totală concordanţă cu principiul de nedeterminare. Functia de undă (8.12)

descrie un obiect cuantic de impuls zp determinat, adică 0zp şi z .

Exemplul 1. Un exemplu concret de utilizare a relaţiilor de nedeterminare (problemă, numeric)

8.2 Elemente de mecanică cuantică

8.2.1 Introducere (Principiile din Cohen-Tanoudji?) În mecanica cuantică se opereaza cu funcţia de undă , , ,x y z t , care

descrie starea cuantică a microparticulei. Pătratul valorii absolute a funcţiei de

undă, 2

sau , este proporţional cu probabilitatea de localizare a

microparticulei într-un punct din spaţiu, la un moment dat. Din această afirmaţie

rezultă că problema fundamentală a mecanicii cuantice este de a stabili expresia

funcţiei de undă , , ,x y z t care descrie starea cuantică a microparticulei într-

un câmp de forţe.

Probabilitatea dP ca prin efectuarea unor măsurători să găsim

microparticula în elementul de volum dV dxdydz centrat pe punctul de

coordonate , ,x y z , la momentul t va fi în consecinţă:

2dP dV dV dV (8.27)

Faptul că microparticula se află, cu certitudine, într-un punct oarecare din spaţiu

se exprimă prin condiţia de normare a funcţiei de undă , , ,x y z t :

21dV dxdydz

(8.28)

În cazul în care 2

,r t este densitatea de probabilitate ca la un moment t

microparticula să aibă o poziţie determinată de raza vectoare r , se poate calcula

valoarea medie a razei vectoare astfel:

337

2r rdP r dV r dV (8.29)

Formula (8.29) poate fi scrisă pentru componentele , ,x y z ale vectorului de

poziţie r :

; ; .x x dx y y dy z z dz (8.30)

În acelaşi mod se poate calcula valoarea medie pentru orice mărime fizică care

este o funcţie de coordonate, , , ,F x y z :

, , , ,F x y z F x y z dxdydz (8.31)

Dacă funcţia de undă este dată în funcţie de coordonatele , ,x y z şi de timpul

t , se spune că funcţia de undă este dată în reprezentarea coordonatelor.

În cele mai multe cazuri când cunoaştem funcţia de undă în

reprezentarea coordonatelor, se poate calcula probabilitatea cu care, în urma

unor măsurători, vom obţine diferitele valori ale unor variabile dinamice, funcţie

de coordonate, precum şi valorile medii ale acestora.

Pentru a stabili ecuaţia pe care trebuie să o satisfacă funcţia de undă -

ecuaţia Schrödinger- este necesar să stabilim înainte toate proprietăţile acestei

funcţii. În primul rând în mecanica cuantică se impune să fie satisfăcut

principiului superpoziţiei stărilor. Acesta afirmă că dacă un sistem cuantic

oarecare se poate afla fie în starea caracterizată de funcţia de undă 1 , în care

valoarea unei variabile dinamice A este 1a , fie în starea caracterizata de funcţia

de undă 2 , în care valoarea aceleiaşi variabile dinamice A este 2a , atunci

există si starea caracterizată de functia de undă:

1 1 2 2C C , (8.32)

unde 1C şi 2C sunt numere nenule, în general complexe.

În urma măsurării valorilor variabilei A pentru microsistemul aflat în

starea (8.32) vom obţine fie valoarea 1a , fie valoarea 2a . De aici rezultă că prin

suprapunerea stărilor cuantice în care variabila dinamică A are valori

determinate, se obţine starea caracterizată de funcţia de undă , în care

variabila dinamică A nu are valori determinate.

Dacă funcţiile de undă 1 şi 2 sunt identice 1 2 , atunci

1 2 1C C (8.33)

Starea descrisă de funcţia de undă (8.33) este identică cu starea descrisă

de funcţia de undă 1 , în sensul că prin măsurarea valorii variabilei A se obţine

338

în ambele “stări” valoarea 1a . Aşadar, stările descrise de o funcţie de undă ,

respectiv C , unde 0C , sunt identice.

Pe de altă parte, deoarece 2

reprezintă densitatea de propbabilitate ca

microparticula să se afle într-un punct oarecare din spaţiu, se impune ca

microparticula să se găsească într-un punct oarecare din spaţiu, se impune ca

funcţia de undă să satisfacă următoarele condiţii, denumite şi condiţiile

standard:

1. să fie univocă;

2. să fie continuă;

3. sa fie finită;

4. să aibă derivatele de ordinul întâi continue şi finite în raport cu variabilele

spaţiale.

8.2.2 Ecuaţia Schrödinger temporală Să considerăm mişcarea liberă a unei microparticule în direcţia şi în sensul

pozitiv al axei Ox , care poate fi descrisă de functia de undă:

,i

Et pz

x t Ae

(8.34)

Derivăm de două ori în raport cu coordonata x şi o dată in raport cu timpul t :

2 2

2 2;

p Ei

x t

(8.35)

În cazul relativist energia totală a microparticulei este:

2

02p

pE E

m . (8.36)

Înmulţind formal (8.36) cu funcţia de undă , relaţia devine:

2

02p

pE E

m (8.37)

Înlocuind E şi 2p din (8.35) în (8.37), obţinem:

2 2

2

02pE

i t m x

(8.38)

În cazul tridimensional, ecuaţia se generalizează în mod simplu:

2 2 2 2

2 2 2

02pE

i t m x y z

, (8.39)

sau într-o scriere echivalentă:

339

2

02pE

m i t

(8.40)

Am obţinut astfel, printr-o “deducere” nu foarte riguroasă, ecuaţia Schrödinger

temporală. Ecuaţia (8.40) trebuie privită ca un postulat fundamental al mecanicii

cuantice, care îşi găseşte justificarea numai în concordanţă cu datele

experimentale.

8.2.3 Ecuaţia Schrödinger atemporală În cazul în care energia potenţială

pE a microparticulei nu depinde de

timp în mod explicit, soluţia ecuaţiei Schrödinger (8.40) poate fi căutată sub

forma unui produs de doi termeni, dintre care unul va depinde numai de

coordonate, iar celălalt numai de timp:

, , , , ,x y z t x y z t (8.41)

Introducând (8.41) în (8.40):

2

2

0

, , , , , ,2

p

d tt x y z E x y z t x y z

m i dt

,

şi împărţind în ambii membri prin , ,x y z t pentru separarea variabilelor

obţinem:

2

2

0

1, , , ,

, , 2p

d tix y z E x y z

x y z m t dt

(8.42)

Ecuaţia (8.42) este satisfăcută pentru oricare valori ale coordonatelor şi timpului

numai dacă cei doi termeni sunt egali cu una şi aceeaşi constantă, care din

considerente dimensionale trebuie să fie o energie. Însă într-un câmp de forţe

care derivă dintr-o energie potenţială , ,pE x y z energia totală a microparticulei

se conservă, fapt care ne sugerează să luăm constanta de separare a variabilelor

din (8.42) drept energia totală a microparticulei E . Se obţin astfel două ecuaţii

diferenţiale:

0

d t iE t

dt

(8.43)

2

2

0

, , , , , ,2

px y z E x y z E x y zm

(8.44)

Soluţia ecuaţiei (8.43) este:

i

Et

t Ce

, (8.45)

340

unde C este o constantă.

Aşadar, la mişcarea unei microparticule într-un câmp conservativ de forţe,

funcţia de undă are forma:

, , , , ,iEt

x y z t x y z e

, (8.46)

iar densitatea de probabilitate

2 2

, , , , ,x y z t x y z (8.47)

nu depinde de timp. Stările cuantice descrise de funcţia de undă (8.46) se

numesc stări cuantice staţionare.

În continuare vom nota, pentru simplificare, funcţia de undă , ,x y z

prin , astfel că ecuaţia Schrödinger (8.44) pentru stările staţionare este:

2 0

2

20p

mE E , (8.48)

fiind cunoscută sub numele de ecuaţia Schrödinger independentă de timp.

8.2.4 Salturi de potenţial. Bariere de potenţial. Efectul

tunel În acest paragraf vom studia iniţial mişcărea unei particule cuantice

nerelativiste, de masă m şi energie mecanică E , care se deplasează liber de-a

lungul axei Ox , în sensul pozitiv, venind de la . Particula întâlneşte la un

moment dat o variaţie bruscă de energie potenţială pe axa Oy , de înălţime 0E ,

în punctul 0x (fig.4).

Aplicând ecuaţia Schrödinger, vom determina

mişcarea particulei în formalismul mecanicii

cuantice în două cazuri: 0E E ,

respectiv 0E E .

1) Cazul 0E E

Energia potenţială împarte spaţiul

disponibil în două zone, şi anume zona I în

care 0pE , respectiv zona II, în care

0pE E . Ecuaţia Schrödinger independentă de

timp, pentru cele două zone se scrie sub

forma:

2

2 2

( ) 2( ) 0I

I

d x mE x

dt

(8.49)

0E

I

pE x

II

x

Figura 4. Saltul de energie

potenţială de înălţime finită

E

341

2

02 2

( ) 2( ) 0II

II

d x mE E x

dt

(8.50)

Ecuaţiile sunt de tipul ecuaţiei unui oscilator armonic, având soluţiile de forma:

1 1

1 1( ) ik x ik x

I x Ae Ae (8.51)

2 2

2 2( ) ik x ik x

II x A e A e , (8.52)

unde am folosit notaţiile 1 2

2mEk şi

0

2 2

2m E Ek

Impunem condiţiile de continuitate în punctul 0x , obţinând un sistem

de două ecuaţii cu patru necunoscute:

1 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

0 0

(0) (0)I II

I II

A A A Ad d

k A k A k A k Adx dx

(8.53)

Conform cerinţelor problemei, microparticula se poate deplasa în regiunea II

numai în sensul pozitiv al axei Ox , ceea ce impune ca 2 0A . Din (8.53) se

obţin prin calcule simple rapoartele 1 1 2

1 1 2

A k k

A k k

şi 2 1

1 1 2

2A k

A k k

.

Definim coeficientul de reflexie R ca fiind probabilitatea ca

microparticula care vine de la să se întoarcă în punctul 0x înapoi spre

, sau altfel spus R este raportul dintre amplitudinea undei regresive şi

amplitudinea undei progresive din regiunea I:

2 2

1 1 2

1 1 2

A k kR

A k k

(8.54)

Definim coeficientul de transmisie T ca fiind probabilitatea ca

microparticula care vine de la să treacă prin punctul 0x înainte spre .

Particula nu poate dispare în punctul 0x , astfel probabilitatea de trecere plus

de întoarcere trebuie să fie unitatea, 1R T , de unde obţinem expresia lui T :

2

2 2 1 2

2

1 1 1 2

4k A k kT

k A k k

(8.55)

Înlocuind expresiile lui 1k şi 2k în (8.54) obţinem expresia coeficientului

de reflexie în funcţie de datele problemei:

342

2

02

0

0 0

1 1

1 1

EE E E ERE E E E

E

(8.56)

Din (8.56) se pot trage următoarele concluzii:

- pentru 0E E , 0R şi 1T ;

- pentru 0E E , 1R şi 0T ;

- când energia particulei creşte de la 0E spre , coeficientul de relexie R

scade de la valoarea 1 la valoarea 0, în timp ce transmisia T creşte de la 0 la 1.

Pentru valoarea particulară a energiei 02E E obţinem din (8.56)

0,0289 3%R . Aceasta înseamnă că dacă un flux de particule se deplasează

în condiţiile problemei, fiecare particulă având energia de două ori mai mare

decât energia potenţială a saltului 0E , numai 3 particule din 100, ajungând în

punctul 0x , se vor întoarce înapoi din acest punct în zona I; restul de 97

particule vor trece mai departe în zona II.

2) Cazul 0E E

Procedăm la fel ca în cazul 1). Ecuaţiile Schrödinger pentru cele două zone sunt:

2

2 2

( ) 2( ) 0I

I

d x mE x

dt

(8.57)

2

02 2

( ) 2( ) 0II

II

d x mE E x

dt

(8.58)

Cu notaţiile 1 2

2mEk şi

0

2 2

2m E Eq

, ecuaţia (8.57) are soluţia:

1 1

1 1( ) ik x ik x

I x Ae Ae , (8.59)

iar soluţia ecuaţiei (8.58), datorită semnului minus, va conţine exponenţiale reale

2 2

2 2( ) q x q x

II x B e B e , (8.60)

Impunem condiţiile de continuitate în punctul 0x , şi obţinem sistemul:

1 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

0 0

(0) (0)I II

I II

A A B Bd d

k A k A q B q Bdx dx

(8.61)

Condiţia de mărginire a funcţiei de undă ( )II x impune ca 2 0B . Din

(8.61) se obţin prin calcule simple rapoartele:

343

1 1 2

1 1 2

A k iq

A k iq

şi 2 1

1 1 2

2B k

A k iq

, (8.62)

de unde rezultă expresia coeficientului de reflexie:

2

1

1

1A

RA

(8.63)

În cazul 0E , 2q , iar din (8.62) rezultă

1 1A A şi 2 0B .

Funcţia de undă în punctul 0x se va anula:

1 1(0) 0I A A ,

şi rămâne nulă în regiunea II.

În cazul când 0E este finit, însă

0E E , probabilitatea de a localiza

particula în regiunea II este diferită de zero pe o distanţă faţă de punctul 0x cu

atât mai mare cu cât raportul 0E

E este mai mic. Această probabilitate scade

exponenţial cu x , devenind neglijabilă pentru 2

2

11x xq

q . Mărimea

2

1

q se

numeşte adâncimea de pătrundere (sau puterea de pătrundere).

Al doilea exemplu de mişcare a unei microparticule este bariera de

potenţial de înălţime şi lărgime finită (fig.4).

Vom determina coeficientul de reflexie şi

transmisie pentru o microparticulă

nerelativistă de masă m , care se deplasează

în lungul axei Ox venind de la spre ,

în două cazuri: 0E E , respectiv 0E E .

Vom împărţi spaţiul în trei regiuni, notate cu

I, II şi III.

1) Cazul 0E E

În zona I 0pE , în zona II 0pE E ,

iar în zona III 0pE . Soluţiile ecuaţiei

Schrödinger, independentă de timp, pentru

cele trei zone sunt:

1 1

1 1( ) ik x ik x

I x Ae Ae

(8.64)

2 2

2 2( ) ik x ik x

II x A e A e , (8.65)

1 1

3 3( ) ik x ik x

III x A e A e (8.66)

E

0E

I

pE x

II

x

Figura 5. Bariera de

potenţial de înălţime şi

lărgime finită

III

l

344

unde am folosit notaţiile 1 3 2

2mEk k şi

0

2 2

2m E Ek

Impunem condiţiile de continuitate în punctele 0x şi x l , obţinând un

sistem de patru ecuaţii cu şase necunoscute:

2 2 1

1 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 20 0

'

2 2 3 3

(0) (0)

( ) ( )

I II

I II

ik l ik l ik l

II III

II III

l l

A A A Ad d

k A k A k A k Adx dx

A e A e A e Al l

d d

dx dx

1

2 2 1 '

2 2 2 2 1 3 1 3

ik l

ik l ik l ik l

e

ik A e ik A e ik A e ik A

1ik le

(8.67)

Conform cerinţelor problemei vom lua 3 0A , deoarece amplitudinea

undei regresive în regiunea III trebuie să fie nulă (microparticula o dată

pătrunzând în regiunea III se poate deplasa în această regiune numai în sensul

pozitiv al axei Ox , întrucât numai există vreo barieră sau un salt de energie

potenţială care ar putea întoarce particula înapoi). Din ultimele două ecuaţii

(8.67) vom exprima pe 2A şi 2A în funcţie de 3A , iar apoi din primele două

ecuaţii (8.67) vom exprima pe 1A şi

1A în funcţie de 2A şi

2A . Efectuând

calculele vom obţine, după transformări trigonometrice simple:

1

2 2

1 21 2 2 3

1 2

cos sin2

ik lk kA k l i k l e A

k k

şi 1

2 2

2 11 2 3

1 2

sin2

ik lk kA i k le A

k k

, de unde:

22 2 2 2

1 2 21

2 2 2 2 21 1 2 1 2 2

22 2

3 1 2

2 2 2 2 21 1 2 1 2 2

sin

4 sin

4

4 sin

k k k lAR

A k k k k k l

A k kT

A k k k k k l

(8.68)

Înlocuind pe 1k şi 2k în expresia transmisiei T , obţinem:

0

2 2

0 0 0

4

4 sin 2

E E ET

lE E E E m E E

(8.69)

Expresia (8.69) a transmisiei T prin barieră prezintă maxime de valoare egală cu

unitatea şi minime de valoare:

0

min 2

0 0

4

4

E E ET

E E E E

(8.69)

345

Condiţia de maxim pentru T este ca numitorul relaţiei (8.69) să fie

minim, adică 0sin 2 0l

m E E

, de unde rezultă 02l

m E E n ,

unde 0,1,2,........n

Această condiţie impune anumite valori ale energiei, care este astfel cuantificată

în funcţie de numărul întreg n :

2 2 2

0 22n

nE E

ml

(8.70)

Condiţia de minim pentru T este ca numitorul relaţiei (8.69) să fie

maxim, adică 0 0sin 2 1 2 2 12

l lm E E m E E n

, cu n

număr întreg. Această condiţie impune pentru energie valorile:

2 2 2

0 2

2 1

8n

nE E

ml

(8.71)

Se poate observa că pentru microparticule de acelaşi tip (şi aceeaşi masă)

o barieră de energie potenţială acţionează ca un filtru, lăsând să treacă cu

probabilitate maximă particulele care au energia egală cu oricare dintre valorile

(8.70), şi cu probabilitate minimă particulele cu energia egală cu oricare dintre

valorile (8.71).

În sfârşit în cazul 0E E , putem observa că transmisia T va fi egală cu

unitatea, indiferent de valorile lăţimii barierei l .

2) Cazul 0E E (efectul tunel)

În zona I 0pE , în zona II 0pE E , iar în zona III 0pE . Cu notaţiile

1 3 2

2mEk k şi

0

2 2

2m E Eq

, soluţiile ecuaţiei Schrödinger (funcţiile

de undă pentru stările staţionare) pentru cele trei zone sunt:

1 1

1 1( ) ik x ik x

I x Ae Ae (8.72)

2 2

2 2( ) q x q x

II x B e B e , (8.73)

1 1

3 3( ) ik x ik x

III x A e A e (8.74)

Impunând condiţiile de continuitate în punctele 0x şi x l , şi

procedând în continuare ca la punctul 1), obţinem expresia transmisiei în efectul

tunel:

346

2

03

2 210 0 0

4

4 sh 2

E E EAT

lAE E E E m E E

(8.74)

Acelaşi rezultat se poate obţine mult mai uşor plecând de la formula (8.69) şi

observând următorul artificiu: dacă în (8.65) - ecuaţia Schrödinger staţionară

pentru regiunea II din cazul 0E E - facem substituţia

2 2k iq , se obţine chiar

ecuaţia Schrödinger staţionară din cazul 0E E . Aceasta conduce la următoarele

schimbări în (8.69): 0E E trece în 0E E , iar funcţia 2

2sin k l trece în 2

2sh k l .

Pentru a calcula transmisia unei bariere de potenţial în cazul efectului

tunel, trebuie parcurse următoarele etape:

- se calculează puterea de pătrundere a microparticulei în regiunea barierei, după

formula de definiţie:

2

2 0

1

2q m E E

;

- se compară lărgimea l a barierei cu puterea de pătrundere; în cazul 2

1l

q , se

poate calcula transmisia barierei după formula (8.74); în caz contrar, transmisia

devine complet neglijabilă datorită exponenţialei pozitive din formula funcţiei

sh.

Exemplul 2.

Să se calculeze coeficientul de transmisie printr-o barieră de potenţial de

înălţime 0 2eVE şi lăţime 1l Å pentru un electron de energie

1eVE 319,1 10 kgem , respectiv un proton de aceeaşi energie.

- pentru electron:

2

2 0 0 0

1 1 1,96

2 2e eq m E E m E E E E

Å 1,96 Å.

Deoarece 2

1l

q , din (8.74) obţinem 0,78T .

- pentru proton:

2 2

2 0 0 0

1 1 4,6 10

2 2p pq m E E m E E E E

Å 0,046 Å.

Deoarece 2

1l

q, din (8.74) obţinem

220 19

2

0

164 10q lE E E

T eE

.

347

8.2.5 Oscilatorul armonic liniar cuantic Oscilatorul liniar este de mare importanţă în fizica teoretică. Modelul

simplu al oscilatorului armonic stă la baza multor aplicaţii din fizică, în domenii

ca electrodinamica, optica, mecanica analitică, fizica atomului, fizica corpului

solid, radiofizica, fotonica, astrofizica etc. În multe situaţii studiul mişcării unor

sisteme complexe se poate reduce la studiul unui ansamblu de oscilatori

echivanţi cu oscilatorii armonici.

S-a arătat că din punct de vedere al fizicii clasice, un oscilator armonic liniar se

deplasează după legea:

cosx t A t ,

având viteza sindx

v t A tdt

, şi energia totală 2 2

0

2

m AE

.

În cazul oscilatorului armonic se poate aplica regula de cuantificare

Sommerfeld-Wilson:

xp dx nh (8.75)

Pentru un oscilator armonic impulsul este 0x

dxp m

dt , de unde se obţine:

2 2 2

0 0 0sin

x

dx dx dxp dx m dx m dt m A tdt

dt dt dt .

Înlocuind în (8.75) se obţine:

2 2 2

2 2 2 2 2 20

0 0 0

0 0

1sin sin 2

2

T m Am A tdt td t m A m A nh

,

sau echivalent:

2 2 2 2

0 02

2 2 2n

m A m A hnh n n E

(8.76)

Astfel, conform ideilor iniţiale ale mecanicii cuantice, energia

oscilatorului armonic liniar este cuantificată, fiind egală cu un multiplu întreg al

mărimii h sau .

Din punct de vedere cuantic, ţinând cont de expresia energiei potenţiale a

oscilatorului armonic:

2 2

0

2p

m xE x

(8.77)

se impune rezolvarea ecuaţiei lui Schrödinger:

2 2 2

0 0

2 2

20

2

d m m xE

dx

(8.78)

348

În vederea rezolvării ecuaţiei, introducem următoarele notaţii:

0 0

2 2

0

2 1 2; ;

m E m E

x

(8.79)

Introducem de asemenea, o variabilă nouă, adimensională:

0

1xx x

x

, (8.80)

de unde

2 2

2 2;

d d d d d d

dx d dx d dx d

(8.81)

Introducând aceste schimbări în (8.78), obţinem ecuaţia diferenţială:

2

2

20

d

d

(8.82)

La rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale neliniare de tipul (8.82) se impune ca

iniţial să se afle soluţia asimptotică, pentru , unde poate fi neglijat.

2 0 (8.83)

Soluţia ecuaţiei (8.83) este de forma: 2

e

(8.84)

2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 ; 2 4 4 2 4e e e e e

. Înlocuind

în (8.83) şi neglijând pe , rezultă ecuaţia caracteristică:

2 22 2 24 0e e ,

de unde 1

2 , astfel soluţia generală va fi de forma:

2 21 1

2 2

1 2C e C e

. (8.85)

Din condiţia ca funcţia de undă să fie finită pentru rezultă 2

0C .

Funcţia de undă nefiind normată, se va lua pentru 1

C valoarea 1, astfel (8.85) ia

forma:

21

2e

(8.85)

Soluţia ecuaţiei (8.82) se va căuta sub forma:

21

2f fe

, (8.86)

de unde obţinem:

349

2 2

2 2 2 2 2 2

1 1

2 2

1 1 1 1 1 1

2 22 2 2 2 2 2

;

2 1

fe f e

fe f e e f e f e f f f e

Introducând soluţia (8.86) în (8.82), obţinem:

2 2 21 1 1

2 22 2 22 1 0f f f e fe fe

,

sau

2 1 0f f f (8.87)

Funcţia f se caută de obicei sub forma unei serii de puteri:

1

k

kk

f b

, (8.88)

care se introduce în (8.87), separând apoi termenii lui la puterea k :

22 1 2 0k

k k k kk

k k b b k b b

.

Deoarece 0 , rezultă:

2

2 1

2 1k k

kb b

k k

(8.89)

Se obţine astfel o relaţie de recurenţă între termenii seriei (8.88).

Pentru ca funcţia de undă (8.86) să satisfacă condiţia standard de a fi finită

pentru , se impune ca funcţia f să fie un polinom, de un ordin

maxk n , adică

20; 0;..........

n nb b

Această condiţie este satisfăcută dacă:

2 1n ,

sau

2 12 1;

2

n

n

En E n

(8.90)

Se constată că (8.90), obţinută în cadrul mecanicii cuantice, diferă de

formula (8.76) prin faptul că, din punctul de vedere al mecanicii cuantice,

energia oscilatorului armonic nu poate fi egală cu zero. Există o energie de zero

nenulă, 0

1

2E .

Pe baza relaţiilor de incertitudine se poate arăta că oscilatorul liniar

armonic nu poate avea o energie mai mică decât 0

E .

Energia oscilatorului armonic este:

350

2 2 2

0

02 2

xp m x

Em

Relaţiile de incertitudine pot fi scrise, în mod neriguros, astfel:

2 2

2 2 2

24 4x x

x p px

,

de unde se obţine:

2 2 2 2 2 2

0 0

2

0 02 2 8 2

xp m x m x

Em m x

. (8.91)

Pentru a obţine valoarea minimă a energiei punem condiţia ca derivata lui

E în raport cu 2x să fie egală cu zero:

2 2

20

22 200

0 02 28

dE mx

dx mm x

4 4 2E

,

de unde rezultă:

min2

E

. (8.92)

Existenţa energiei de zero este una dintre cele mai evidente manifestări a

caracterului cuantic, specific microparticulelor.

Exemplul 1

Funcţia de undă a unei microparticule este dată de expresia:

0

2 2

ip x

Nex

x a

,

unde a şi 0

p sunt constante reale, iar N este un coeficient de normare. Se cer:

a) Valoarea coeficientului de normare, astfel încât funcţia de undă să fie

normată;

b) Probabilitatea ca la măsurarea poziţiei particulei, aceasta să aibă valori

cuprinse între 3

a şi

3

a ;

c) Valorile medii ale impulsului şi poziţiei particulei.

Rezolvare

a) Din condiţia de normare, * 1dx

, se obţine:

351

2 2

2

2 2arctg 1

dx N x N aN dx N

x a a a a

,

iar funcţia de undă normată va avea expresia:

0

2 2

ip x

a ex

x a

b) 3 3

*

2 2

3 3

2 1

6 3

a a

a a

a dx aP dx

x a a

.

c) 0x ;

p ……………………..

(specific că variaţia potenţialului în cazurile reale nu este bruscă, de forma unei funcţii , iar

condiţiile la limită sunt valabile pentru cazul d , unde d este distanţa pe care are loc

variaţia energiei potenţiale – vezi Cohen-Tanoudji)

Oscilatorul cuantic

Groapa de potenţial?

Probleme. Principiile mecanicii cuantice

Bibliografia?

1. David J. Griffiths. Introduction to Quantum Mechanics (2nd Edition), Wiley,

2004.

2. A. Messiah. Mecanică cuantică, vol I, Editura ştiintifică, Bucureşti, 1974.

3. A. A. Coкoлoв, Ю. M. Лocкутoв, И. M. Tеpнoв. Kвaнтoвaя Meхaника,

Государственное Учебно-едагогическое Издательство Министерства

Просвещения РСФСР, Москва, 1962.

4. E.R. Bena, E. C. Niculescu. Probleme de mecanică cuantică, Institutul

Politehnic Bucureşti, Catedra de Fizică, 1981.

5. Toma Vescan. Mecanica Cuantică, Partea I, Universitatea Bucuresti,

Facultatea de Fizică, Bucureşti, 1975.

6. Veronica Florescu.. Mecanica Cuantică, Partea I, Universitatea Bucuresti,

Facultatea de Fizică, Bucureşti, 1980.

7. Eyvind H. Wichmann. Fizica Cuantică, Cursul de Fizică Berkeley, vol.IV,

Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983.

8. Şerban Ţiţeica. Mecanica Cuantică. Editura Academiei Republicii Socialiste

România, Bucureşti, 1984.

352

9.

10.

11.

y