Vibraii neliniare

n general, modelul matematic ataat unei probleme fizice reale conduce la o reprezentare matematic foarte complicat. Primul pas care se face n rezolvareamodelului este liniarizarea sistemului. Pentru foarte multe situaii ntlnite n practic, ipotezele teoriei liniare sunt justificate, rezultatele teoretice fiind n suficientconcordan cu cele experimentale.n multe cazuri, analiza liniar este insuficient pentru descrierea adecvat a comportrii sistemelor fizice, aceast insuficien derivnd din existena n sistemulfizic considerat a unor neliniariti, suficient de puternice, pentru a provoca modificarea calitativ a rspunsului sistemului fizic fa de rspunsul modeluluiliniar. n asemenea cazuri este necesar considerarea n modelul matematic i a neliniaritilor respective, ceea ce introduce dificulti uneori considerabile, nrezolvarea problemelor. Caracteristic pentru teoria vibraiilor mecanice neliniare este varietatea mare de neliniariti posibile ntr-un sistem elastic, fiecare conducnd la alt tip de ecuaie de micare. Puine din aceste ecuaii se pot rezolva exact. Pentru cea mai mare parte a problemelor neliniare nu se pot determina soluii generale, ci doar soluii particulare, corespunztoare numai unor anumite condiii iniiale. Exist metode aproximative de rezolvare care sunt valabile pentru anumite tipuri de ecuaii, implicnd n acelai timp utilizarea unor elemente matematice complexe i dificile. De aceea vom prezenta doar unele aspecte introductive ale teoriei vibraiilor neliniare, pentru sisteme cu un grad de libertate. Neliniariti n sisteme elastic

Neliniaritile n sistemele elastice pot fi determinate de:a) Caracteristica elastic neliniar a elementului elastic;b) Amortizarea neliniar ;c) Caracteristicile mecanice variabile n timp ale elementelor sistemului.

a)Sisteme cu caracteristic elastic neliniarCaracteristica elastic neliniar a elementului elastic poate fi datorat unor neliniariti fizice sau geometrice. Elementele elastice din cauciuc, font,cupru, pot avea curba caracteristic neliniarprogresiv (rigid) (fig. 2.42.a) sau descresctoare(moale) (fig. 2.42.c). La arcul elicoidal simplu, apare o abatere dela curba caracteristic liniar (fig. 2.42.b), n cazulunor sgei mari, cnd spirele ncep s se ating,sau atunci cnd spirele ncep s-i piardproprietile elastice iniiale.Un sistem elastic care are curba caracteristicmoale sau rigid, poate fi analizat pe baza uneiecuaii difereniale neliniare de forma: Semnul plus se refer la caracteristica rigid, iar semnul minus la caracteristica moale.Neliniaritile geometrice sunt datorate n general particularitilor constructive ale sistemelor elastice i sunt puse n eviden n cazul deformaiilormari. Cele mai simple sisteme elastice neliniare, care au neliniariti geometrice, sunt sistemele cu joc i sistemele cu fore de prestrngere. Un element elastic neliniar este i arcul conic (fig. 2.43), a crui caracteristic rmne liniar pn cnd primele dou spire vin n contact. Deoarece contactul dintre spire nu se realizeaz simultan pentru toate spirele, ca laarcul cilindric, elementul rmne deformabil i dup ce spirele vin n contact, dar caracteristica n ansamblu nu mai este liniar. n cazul sistemului cu joc prezentat n figura 2.44, masa m se poate deplasa fr frecare pe un plan orizontal, fiind legat de suportul fix prin arcurile cu constant k1.Dac masa depete n micarea sa punctele x1 i x3, la fora elastic dezvoltat de arcul k1 se adun fora elastic dezvoltat de arcurile k2, rigiditatea sistemului modificndu-se. Sistemul rmne liniar att timp ctcondiiile iniiale asigur o micare liber ntre punctele x1 i x3 i devine neliniar la amplitudini 0x2 ale micrii, mai mari dect valoarea jocului. n acest caz micarea numai este armonic n ansamblul ei, iar perioada micrii este funcie de amplitudine. n general, caracteristicile elastice neliniare sunt date de o functie F(x). Ecuaia micrii libere a unui sistem cu caracteristic elastic neliniar F(x) se poate pune sub forma general:

Sisteme cu amortizare neliniar

Amortizarea liniar este caracterizat de apariia n sistem a unei fore rezistente, proporional cu viteza de deplasare i opus acesteia ca semn:

Uneori ipoteza liniaritii forelor de frecare nu este satisfctoare i pentru a descrie analitic fenomenele fizice, amortizarea trebuie prezentat ca o funcieneliniar de amplitudinea micrii i de viteza ei.n ecuaia de micare apare un termen de forma:

Daca atunci fora rezistent se opune micrii, rezistena se numete pozitiv. Dac fora creat de micare este dirijat n sensul vitezei i ntreine micarea, rezistena se numete negativ, iar vibraiile se numesc autoexcitate sau autontreinute. Vibraiile autoexcitate apar la prelucrarea prin achiere i pot fi studiate cu ajutorul modelului format dintr-o mas, care se deplaseaz sub aciunea forei elastice, forei de frecare i a forei de inerie, pe o curea care are vitez constant (fig. 2.45).

Sistemul prezint o neliniaritate care depinde de frecarea uscat dintre masa m i cureau aflat n micare cu viteza v=const. Ecuaia de micare a masei m este de forma:

n cursul unei oscilaii, pentru amplitudini sub o anumit valoare, apar amortizri negative. Ct timp lucreaz forele de frecare negative, n sistem se introduce energie, iar amplitudinea vibraiei crete pn cnd aceste fore devin pozitive i ncep s frneze micarea. Un astfel de fenomen poate fi descris de funcia: Ct timp x2 < 2, rezistena este negativ i amplitudinea crete pn cnd x2>2. Din acest moment amortizarea devine pozitiv i limiteaz creterea amplitudinilor. n cazul general, ecuaia de micare, pentru vibraiile sistemelor elastice cu amortizare neliniar, va fi de forma:

Sisteme cu caracteristici mecanice variabile

n sistemele liniare i neliniare considerate pn acum, masa n micare i rigiditatea elementelor deformabile nu depind explicit de timp. n cazul sistemelorneliniare, considerate pn acum, rigiditatea i amortizarea se modificau n timp, dar variaia lor n timp era funcie de elongaie i de viteza micrii. Exist, ns, sisteme mecanice n care fie caracteristicile ineriale (masa,momentul de inerie masic), fie caracteristicile elastice sunt funcii periodice de timpindependente de amplitudine sau viteza micrii vibratorii. De exemplu, n cazul unui arbore elastic, cu seciunea necircular, aflat n micare de rotaie (fig. 2.46), poziia axelor principale de inerie se modific periodic fa de direcia vibraiilor transversale.

Dac se noteaz cu viteza de rotaie, momentul de inerie Iz al seciunii fa de axa z perpendicular pe direcia micrii vibratorii y, se modific periodic cupulsaia 2, dup legea:

unde I1 i I2 sunt momentele de inerie principale ale seciunii. n mod corespunztor se modific i rigiditatea arborelui: k = ko+k cos t;astfel c ecuaia vibraiilor de ncovoiere, excitate pe direcia y de forele de inerie neechilibrate Fosint, devine: Variaia n timp a caracteristicilor ineriale, deci a coeficientului acceleraiei, nu schimb calitativ forma ecuaiei, deoarece, prin mprirea ntregii ecuaii cu uncoeficient, aceasta se pune sub forma: Ecuaia este similar cu cea obinut pentru sistemele cu caracteristici elastic variabile n timp. Vibraiile descrise de aceast ecuaie se numesc vibraii parametrice.