stabilitatea sistemelor liniare

7/30/2019 Stabilitatea sistemelor liniare

1/5

5.7.1. Stabilitatea sistemelor liniareFie sistemul liniar:

x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)

1 Cazul u(t)=0

n acest caz: x(t)=(t,t0)x(t0)Norma corespunztoare este:

||x(t)||=||(t,t0)x(t0)||||(t,t0)||||x(t0)||S presupunem c exist un numr N(t 0) astfel ca:

||(t,t0)||N(t0), pentru orice tt0,atunci definitia lui (ssL) este satisfcut pentru orice >0 dac considerm (t0,)=/N(t0)(care este o conditie necesar si suficient).Originea spatiului strilor este (sA) dac pe lng inegalitatea ||(t,t0)||N(t0) avem si ||

(t,t0)||0, pentru t .2 Cazul u(t)0

n acest caz avem:

x(t)=(t,t0)x(t0)+t

t

0

(t,)B()u()d

Stabilitatea BIBS cere ca pentru u(t) mrginit, starea x(t) s rmn mrginit. Seobserv c (ssL) este o conditie pentru stabilitatea BIBS. Dac calculm norma ||x(t)||observm c aceasta va fi mrginit dac exist un N 1(t0), astfel ca:

t

t

0

||(t,t0)B()||dN1(t0); orice tt0.

Stabilitatea BIBO presupune luarea n considerare a ecuatiei de iesire a sistemului:y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t).

n aceasta se nlocuieste solutia x(t) obtinut ajungem la o form:

y(t)=

t

W(t,)u()d

Considernd intrare mrginit ||u()||K, pentru orice , atunci iesirea rmne mrginitdac exist M>0, astfel ca matricea de ponderare a iesirii W(t,) satisface relatia:

t

||W(t,)||dM; pentru orice t

care este o conditie necesar si suficient a stabilittii BIBO.Obs: - Putem folosi urmtoarele norme de matrici:

||(t,t0)||2=max{|=1}||(t,t0)||2=max(valoare proprie (t,t0) (t,t0))

- Dac i este o valoare proprie lui (t,t0) atunci avem o relatie util ||(t,t0)||2|i|2pentru orice valoare proprie.

5.7.2. Clasificarea punctelor de echilibruPe lng faptul c un punct de echilibru poate s fie stabil, instabil, sau oarecare, s

considerm setul de {i} vectori proprii corespunztori lui A, ca o baz si scriem:x(t)=1(0)e1t1+2(0)e2t2+...+n(0)entn


2/5

unde: (0)=M-1x0 i M este matricea modal corespunztoare.Exemplificm pentru un sistem de ordinul doi, deci pentru dou valori proprii:

dou valori proprii reale, stabile NOD STABILfig.1 dou valori proprii reale, una stabil, cealalt instabil PUNCT DE A

fig.2 dou valori proprii instabile NOS INSTABILfig.3 dou valori proprii complexe

x(t)=et{acos(t)+bsin(t)}R+{bcos(t)-asin(t)}Iunde Ri I sunt partea real si partea imaginar a vectorului .Dac , partea real este negativ FOCAR STABILfig.4

Dac >0 FOCAR INSTABIL

fig.5 Dac =0 CENTRUfg.6

5.7.3. Metoda direct LyapunovDup metodele prezentate, studiul stabilittii unui sistem presupune cunoasterea

matricii (t,t0). Pentru a evita aceasta se consider metoda direct Lyapunov. Metodapoate fi considerat ca o form de energie generalizat.Functia scalar V(x), continu si cu derivate partiale continue este pozitiv definit ntr-undomeniu (0) dac:

a) V(0)=0b) V(x)>0; orice x0; x.

Dac in b) avem V(x)0 pentru orice x, atunci V(x) este pozitiv semidefinit.S considerm un sistem autonom (u(t)=0) caracterizt prin:

x=f(x)cu originea ca punct de echilibru (f(0)=0).Teorem: Dac o functie pozitiv definit V(x) se poate determina astfel ca V(x)0, atuncioriginea este (ssL).Teorem: Dac o functie pozitiv definit V(x) se poate determina astfel ca V(x) estenegativ definit atunci originea este (sA).Este vorba de stabilitatea local n vecintatea a originii.Teorem: Originea spatiului strilor este un punct de stabilitate asimptotic global pentrusistemul dat dac se poate gsi o functie Lyapunov V(x) astfel ca:

a) V(x)>0 pentru orice x0 i V(0)=0;b) V(x)


3/5

V(x)=xPxunde P este o matrice real, simetric, pozitiv definit.n acest caz:

V(x)=xPx+xPx+xPxDar avem:

x=Axsi astfel rezult:V(x)=x[AP+PA+P]x

Dac sistemul este (sA) atunci V trebuie s fie negativ definit AP+PA+P=-Q

unde Q este o matrice pozitiv definit.Dac A=constant P-poate s fie o matrice constant si P=0. Astfel rezult ecuatia detip Lyapunov :

AP+PA=-QO solutie unic (p) a acestei ecuatii va exista pentru fiecare Q dac nu exist dou valoriproprii pentru A care s satisfac:

i+j=0Dac Q este numai pozitiv semidefinit, atunci avem de a face cu (ssL).Teoremele de mai sus pot fi extinse si n cazul cnd:

x(t)=f(x,t)5.8. Controlabilitatea, observabilitatea sistemelor liniare

Fie un sistem liniar descris si spatiul strilor cu matricile A,B,C,D, care depind dealegerea bazei spatiului strilor.Un set {A,B,C,D} este o reprezentare a sistemului (o realizare a sistemului).

A:B:Um

C:ypD:Umyp

1 Controlabilitatea implic matricile A,B.Definiie: Un sistem liniar este controlabil la momentul t0, dac este posibil gsirea unoru(t), cu ajutorul crora din starea initial x(t0) se va ajunge n originea lui ntr-un timpfinit t1, t1>t0.Deci exist u[t0,t1] care ne va da x(t1)=0 la momentul finit t1. Dac acest lucru este adevratpentru orice t0 si orice x(t0) atunci sistemul este complet controlabil.Obs: - dac B=[0] atunci sistemul nu este controlabil;

- pentru sisteme optimale, sistemul trebuie s fie complet controlabil.2 Observabilitatea

Definiie: Un sistem liniar este observabil la momentul t0, dac x(t0) se poate determina pebaza lui y[t0,t1]; t0t1 unde t1 este un moment finit. Dac acest lucru este adevrat pentruorice t0 si orice x(t0) atunci sistemul este complet observabil.Observabilitatea unui sistem este de mare important n cazul estimrilor de stare.Criterii de controlabilitate

a) Un sistem caracterizat prin A=constant si valori proprii distincte estecomplet controlabil dac nu avem nici o linie de zerouri n: Bn=M-1B


4/5

b) Un sistem caracterizat prin A=constant, si fiind reprezentat de {A,B,C,D}este complet controlabil dac matricea P de dimensiune nxmn are rangul n:P=[B|AB|A2B|.......|An-1B]

c) Un sistem de ordin n reprezentat de {A,B,C} este controlabil dac si numaidac matricea: [sI-A|B] are rangul n pentru orice s

d) Fie un sistem liniar reprezentat de {A(t),B(t),C(t),D(t)}. Pentru un u(t) lamomentul t1 avem solutia:

x(t1)=(t1,t0)x(t0)+t

t

0

1

(t1,)B()u()d

notm:x(t1)-(t1,t0)x(t0)=xt1constant

notm:

Ac(u)=t

t

0

1

(t1,)B()u()d

Ac:UProblema controlabilittii complete se reduce la: Ac(u)=xl are o solutie u pentruorice xl?

Teorem: Un sistem descris de x(t)=A(t)x+B(t)u(t) este complet controlabil pe intervalul[t0,t1] dac una din conditiile de mai jos este satisfcut:

G(t1,t0) este o matrice pozitiv definitzero nu este o valoare proprie lui G(t1,t0)det(G(t1,t0))0

unde:

G(t1,t0)=t

t

0

1

(t1,)B()B()(t1,)d

Criterii de observabilitatea) Un sistem liniar caracterizat prin A=constant si valori proprii distincte este

complet observabil dac si numai dac nu avem nici o coloan de zerouri pentruCn=CM

b) Un sistem liniar cu A=constant este complet observabil dac si numai dacmatricea Q de dimensiunea nxnp are rangul n:Q=[C|AC|A2C|......|An-1C]

c) Un sistem de ordin n, reprezentat de {A,B,C} este observabil dac si numaidac matricea: [sI-A|C] are rangul n pentru orice valoare al lui A

d) Fie un sistem liniar reprezentat de {A(t),B(t),C(t),D(t)}. Forma general a

iesirii este:

y(t)=C(t)(t,t0)x(t0)+t

t

0

C(t)(t,)B()u()d+D(t)u(t)

Presupunem pe u(t) cunoscut, si cei doi termeni care depind de intrare se potgrupa cu y(t) si notm termenul obtinut cu y1(t). Problema pus este: cunoscnd pey1(t), putem determina univoc pe x(t0)?

Definim:


5/5

A0(x(t0))=C(t)(t,t0)x(t0)Problema de rezolvat:

A0(x(t0))=y1(t)are sau nu soluie.Fie matricea:

H(t1,t0)=t

t

0

1

(,t0)C()C()(,t0)d

Teorem: Un sistem caracterizt prin:x=A(t)x(t)+B(t)u(t)

y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)este complet observabil n t0, dac exist un moment finit t1 pentru care una din conditiilecare urmeaz exist:

H(t1,t0) este o matrice pozitiv definitzero nu este o valoare proprie lui H(t1,t0)det(H(t1,t0))0

Obs: P este matricea controlabilittii, iar Q este matricea observabilittii.Dac rang(P)=rp

stabilitatea sistemelor liniare

Documents