aproximari precise ale sistemelor liniare - potrivirea...

Reducerea dimensionala a sistemelor

Potrivirea momentelor ın domeniul timp

Two-sided moment matching

Aproximari precise ale sistemelor liniare -

potrivirea bilaterala a momentelor ın

domeniul timp

Tudor C. Ionescu

Seminar stiintific AIS

AIS (ACSE), Univ Politehnica din Bucuresti

Bucuresti, 31 mar. 2016

TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp




Cuprins

1 Reducerea dimensionala a sist. - metode existente, probleme

Motivatie

State-of-the-art

Problema preciziei (acuratetei) aproximarilor

2 Potrivirea momentelor ın domeniul timp

Notiunea de moment

Relatia cu raspunsul ın domeniul timp

Modele reduse care potrivesc momentele

3 Two-sided moment matching

Caracterizarea bilaterala a momentelor (pt. doua semnale)

Modelul care potriveste 2ν momente distincte

Potrivirea momentelor sistemului si ale derivatei sale





Motivatie

State-of-the-art

Precizia aproximarilor


Motivatie

State-of-the-art



Notiunea de moment











Motivatie

State-of-the-art


Problema aproximarii sistemelor dinamice





Motivatie

State-of-the-art


Necesitate

Applicatii: sisteme mecanice, circuite electrice neliniare, power

systems, procese de incinerare a deseurilor, procese chimice...

Tendinta de modela procese si fenomene cat mai complexe.

Exemplu: modelarea si controlul proceselor de incinerare a

deseurilor← parte din mari proiecte de protectie a mediului.





Motivatie

State-of-the-art


Formularea problemeiProces modelat de zeci ecuatii diferentiale (ordinare) neliniare cu zeci de stari← dificil de analizat si de controlat.

Liniarizarea nu e solutia← pierdem proprietati si relatii esentiale ıntre stari.

Problema (Model order reduction general problem)

Fiind dat un sistem dinamic

x = f (x , u, t), y = h(x , u, t), (1)

unde x(t) ∈ Rn, x(0) = x0 ∈ R

n este starea sistemului, u(t) ∈ Rm este

intrarea si y(t) ∈ Rp este iesirea sistemului, t > 0, este cautat un alt sistem

˙x = f (x , u, t), y = h(x , u, t), (2)

cu x(t) ∈ Rν , y(t) ∈ R

p astfel ıncat

ν ≪ n,

sistemul (2) pastreaza structura/proprietatile sistemului (1) pentru un

scop bine determinat, e.g., sinteza unui anumit tip de regulator,

sistemul (2) aproximeaza sistemul (1) ın conditii date si cu o eroare mai

mica decat o limita data← aproximeaza foarte precis sistemul dat,

sistemul (2) este usor de calculat.





Motivatie

State-of-the-art



Motivatie

State-of-the-art



Notiunea de moment











Motivatie

State-of-the-art


Metode pentru sisteme liniare

Metode bazate pe descompunerea valorilor singulare:

trunchierea balansata, aproximarea in norma Hankel.

Procedeu: eliminarea dinamicii ”greu” de controlat si ”greu”

de observat coresp. v. s. Hankel mici. Avantaje: pastreaza

automat stabilitatea, margine de eroare apriorica. Extinse

la cazurile real pozitiv si real marginit. Dezavantaj: dificil

de calculat.

Metode de potrivire de momente← interpolarea functiei de

transfer. Procedeu: proiectarea sistemului pe un subspatiu

Krylov. Avantaje: metode eficiente de calcul, utilizate pe

scara larga. Dezavantaje: imposiblitatea de a cuantifica

eroarea; (ın solutia algebrica) interpolare nenaturala

pentru modele stabile.

POD, Analiza modala, etc.





Motivatie

State-of-the-art



Motivatie

State-of-the-art



Notiunea de moment











Motivatie

State-of-the-art


Cat de bune sunt modele reduse obtinute?Metodele SVD pentru sisteme liniare furnizeaza modele bune cu

margine superioara a erorii de aproximare calculata exact!Dezavantaje:

efort ridicat de calcul la dimensiuni de ordin 104;

marginile de eroare nu sunt calculate (numeric) pentru

sistemelor neliniare, nici macar local;

Metodele de tip Krylov-MM, bazate exclusiv pe solutiile

numerice/algebrice ale unei probleme de interpolare

(Nevanlinna-Pick) nu furnizeaza nici o informatie despre precizie.Avantaje:

efort scazut de calcul⇒ algoritmi eficienti si populari de

aproximare a sistemelor de ordine, e.g., 108 (e.g., FEM pt.PDE);

metodele sunt extinse pentru diverse alte cazuri, e.g.,

functii de transfer irationale, sisteme biliniare (serii infinitede functii de transfer), etc.





Motivatie

State-of-the-art


Solutii?Ne intereseaza cel(e) mai bune model(e) care potrivesc momentele.

Problema: Fie K (s) de ordin n. Calculati minK , dim K=ν<n

‖K − K‖2(∞).

Problema de optimizare neconvexa, ne-etc.,← greu de rezolvat.

S-au scris solutii algoritmice unde se calculeaza K a.ı. ‖K − K‖2

este mica, vezi [Gugercin et al. SIAM2008].

Q: Ce ”nu place” la aceasta solutie?

Se interpoleaza la niste frecvente dictate de algoritm, nu dorite.

Conditiile sunt doar necesare, nu suficiente. De acord, sunt

folosite doar derivatele de ordinul ıntai.

Nu exista interpretare sistemica. Se doreste interpolareconvenabila si gasirea parametrilor celui mai bun model redus.

Legatura dintre trunchiatul balansat, optim ın norma Hankel si

modelul care interpoleaza foarte bine? Exista sigur, netrivial dedescoperit, foarte utila! [Rezultate preliminare: I & al. MTNS2012]





Motivatie

State-of-the-art


Ce stim din solutia state-of-the-art a problemei?

Pe baza unui rezultat [Meyer & Luenberger TAC1973]:

modelul-solutie a problemei interpoleaza functia de transfer a

sistemului dat, precum si derivata ei de ordinul ıntai ın opusii

polilor modelului redus.

Este clar ca interpolarea derivatei este baza solutiei

problemei!!

Polii modelului redus nu sunt cunoscuti→ se fac diverse

trucuri numerice pentru initializarea algoritmilor; se

interpoleazaa la pasul urmator ın opusii polilor modelului

redus gasit la pasul curent.

Exista o interpretare sistemica? Da, am gasit-o.





Motivatie

State-of-the-art


ContributiaPotrivirea momentelor ın domeniul timp

ın doua seturi distincte;

ın acelasi set a functiei de transfer si a derivatei ei, simultan.

In detaliu:

notiunea de moment (ın dom. timp) a lui K ′(s);

caracterizarea momentelor cu solutiile unor ecuatii Sylvester;

modelul de ordin ν care potriveste 2ν momente ale lui G(s);

modelul de ordin ν care potriveste ν momente ale lui G(s) si νmomente ale lui K ′(s), simultan.

aceste modele, cum se stie sunt mai ”accurate”← din practica.

reinterpretarea sistemica doar cu notiuni fundamentale de TS aideii de model precis care aproximeaza un sistem liniar dat← de

baza pentru extinderea rezultatelor la cazurile neliniar si/sau

infinit-dimesional.





Motivatie

State-of-the-art


Motivarea alegerii metodei

Abordare ın domeniul timp→ moment este legat de raspunsul

stationar al sistemului la o intrare aleasa specific.

Se obtin

familii de modele de dimensiune redusa care potrivesc

momentele date;

modelele reduse sunt parametrizate→ parametrii ajuta la

identificarea modelelor care pastreaza proprietati dorite,

precum stabilitate, pasivitate, structura geometrica, etc.;

natural de extins la cazul sistemelor neliniare si la cazul

sistemelor cu parametri distribuiti.

Notiuni necesare: sistem dinamic, raspuns ın domeniul timp,

raspuns tranzitoriu, raspuns permanent, raspuns stationar,

stabilitate, functie de transfer, controlabilitate si observabilitate.





Notiunea de moment


Modele reduse


Motivatie

State-of-the-art



Notiunea de moment











Notiunea de moment


Modele reduse

Definitie si caracterizare

Fie un sistem liniar, SISO, minimal x = Ax + Bu, y = Cx , cu functia

de transfer K (s) = C(sI − A)−1B. Intr-un un punct s∗ /∈ σ(A)⇒K (s) = K (s∗) + 1

1!K′(s∗)(s − s∗) + 1

2!K”(s∗)(s − s∗)2 + ....

Definitie

Momentul de ordin zero al sistemului ın punctul s∗ ∈ C este

η0(s∗) = C(s∗I − A)−1B. Momentul de ordin k ∈ N al sistemului este

ηk (s∗) = (−1)k

k ! C(s∗I − A)−(k+1)B.

Lema (Caracterizare prin solutiile uneor ecuatii Sylvester)

Fie s∗ /∈ σ(A). Atunci:

η0(s∗) = CΠ0, unde Π0 ∈ Rn este solutia unica a ecuatiei

Sylvester AΠ0 + B = Π0s∗;

η0(s∗) = Υ0B, unde Υ0 ∈ Rn este solutia unica a ecuatiei

Sylvester s∗Υ0 = Υ0A + C.





Notiunea de moment


Modele reduse

Cazul general [Gallivan et al JCAM2004, Astolfi TAC2010, I. et al SCL2014]

Teorema (Moments as the solutions of dual Sylvester

equations)

Consideram 2ν puncte distincte s1, ..., sν , ..., s2ν . Atunci

momentele η0(s1), ...η0(sν), ... sunt ın relatie cu matricea

CΠ, unde Π este solutia unica a ecuatiei Sylvester

AΠ+ BL = ΠS cu S orice matrice cu spectrul

σ(S) = {s1, s2, ..., sν}, iar L a.ı. perechea (L,S) este

observabila.

(dual) momentele η0(sν+1), ...η0(s2ν), ... sunt ın relatie cu

matricea ΥB, unde Υ este solutia unica a ecuatiei

Sylvester QΥ = ΥA + RC cu Q orice matrice cu spectrul

σ(Q) = {sν+1, sν+2, ..., s2ν}, iar R a.ı. perechea (Q,R)este controlabila.





Notiunea de moment


Modele reduse


Motivatie

State-of-the-art



Notiunea de moment











Notiunea de moment


Modele reduse

Caracterizarea ın domeniul timp [Astfolfi TAC2010]

x = Ax + Bu

y = Cx

ω = Sωθ = Lω

θ = u y

Teorema (Momentele sunt raspunsul permanent)

Consideram generatorul de semnal ω = Sω, θ = Lω,

observabil, cu S ∈ Rν×ν. Presupunem ca σ(A) ⊂ C

− si

ω(0) 6= 0. Atunci momentele

η0(s1), ...η0(sν), ...

sunt ın relatie cu raspunsul permanent al sistemului liniar

(A,B,C) la u = θ = Lω.





Notiunea de moment


Modele reduse

Schita demonstratiei

Calculam raspunsul sistemului interconectat din figura, descris

de ecuatiile ω = Sω, x = Ax + BLω, y = Cx .

Din teorema anterioara momentele sunt date de CΠ, unde Πeste solutia unica a ecuatiei Sylvester AΠ+ BL = ΠS. Astfel,

din a doua ecuatie a sistemului interconectat se observa ca

x = A(x − Πω) + ΠSω. Atunci, din prima ecuatie a sistemului

interconectat avemd(x−Πω)

dt= A(x − Πω), cu conditia initiala

x(0)− Πω(0). De aici putem scrie ca

x(t) = Πω(t) + eAt(x(0)− Πω(0)). Atunci raspunsul sistemului

la intrarea y = Lω este

y(t) = CΠω(t) + CeAt(x(0)− Πω(0)).

Deoarece σ(A) ⊂ C−, CΠω(t) reprezinta raspunsul stationar,

care da momentele.





Notiunea de moment


Modele reduse

Rezultatul ”dual” [I. et al SCL2014]

x = Ax + Bu

y = Cx

ω = Qω + Rw

d = ω +Υxy = w d

Teorema

Consideram generatorul de semnal

˙ = Q + Rw , d = +Υx , (0) = 0, cu Q ∈ Rν×ν .

Presupunem ca σ(A) ⊂ C−. Atunci momentele

η0(sν+1), ...η0(s2ν), ...

sunt ın relatie cu regimul permanent al semnalului d(t) la

intrarea u(t) = δ(t).





Notiunea de moment


Modele reduse


Motivatie

State-of-the-art



Notiunea de moment











Notiunea de moment


Modele reduse

Familiile de modele de dim. ν care potrivesc

momentele [Astolfi TAC2010, I. et al SCL2014]

ξ = Fξ + Gu, ψ = Hξ,

ξ(t) ∈ Rν , ν < n, este

1. model al sistemului (A,B,C) dat la σ(S)∩ σ(A) = ∅, daca σ(S)∩ σ(F ) = ∅si CΠ = HP, unde P este solutia unica a ecuatiei FP + GL = PS. O familie

de modele care potrivesc momentele la σ(S) este

ΣG :ξ = (S −GL)ξ + Gu,

ψ = CΠξ,

unde G ∈ Cν este ales a.ı. σ(S) ∩ σ(S −GL) = ∅.

2. model al sistemului (A,B,C) dat la σ(Q) ∩ σ(A) = ∅, daca

σ(Q) ∩ σ(F ) = ∅ si ΥB = PG, unde P este solutia unica a ecuatiei

QP = PF + RH. O familie de modele care potrivesc momentele la σ(Q) este

ΣH :ξ = (Q − RH)ξ +ΥBu,

ψ = Hξ,

unde HT∈ C

ν este ales a.ı. σ(Q) ∩ σ(Q − RH) = ∅.





Notiunea de moment


Modele reduse

Exista modele precise ın aceste clase?

Raspunsul este afirmativ. Exista ın fiecare clasa de modele

obtinute, un model unic care potriveste simultan atat

momentele la σ(S), cat si la σ(Q).Exemplu: Fie η0 ∈ C si η1 ∈ C a.ı. η0 6= η1. Sistemul

Kg(s) =η0g

s − s0 + g, cu g ∈ C, defineste familia de modele de

ordinul ıntai, parametrizata ın g, care potrivesc momentul η0 la

s0 ∈ C, i.e., Kg(s0) = η0. Fie q1 ∈ C a.ı. q1 6= s0. Cautam

modelul de ordinul ıntai Kg care potriveste si momentul η1 la q1,

i.e., cautam valoarea lui g, a.ı. Kg(q1) = η1. Relatia are loc

daca si numai daca

η0g = [(s0 − q1) + g]η1 ⇔ g(η0 − η1) = (s0 − q1)η1. Deoarece

am presupus η0 6= η1, obtinem valoarea unica a parametrului

g = η1s0 − q1

η0 − η1.





Notiunea de moment


Modele reduse

Continuarea exemplului si cateva concluzii

Fie p =η0 − η1

s0 − q1. Deoarece s0 6= q1, p este bine-definit. Prin

urmare, g = η/p. Deoarece g este unic, atunci p este

deasemenea solutia unica a ecuatiei ps0 − q1p = η0 − η1.

Ce observam?

∃! un model de ordin 1, care potriveste doua momente.

Solutia e aceeasi si pentru cealalta familie de modele.

Prin urmare, cele doua clase de modele au o intersectie

nevida care contine un model (unic) ce potriveste ambele

seturi de momente distincte.

Urmatoarea ıntrebare (naturala): Daca s0 = q1, dar mentinem

η0 6= η1, ce se ıntampla?





Notiunea de moment


Modele reduse

Cazul s0 = q1

Exemplu: Din exemplul anterior, deoarece η0 6= η1, unicul g a.ı.

Kg potriveste η0 la s0 si η1 la q1, cu s0 6= q1, este g =η1

p, unde

p este solutia unica a ecuatiei ps0 − q1p = η0 − η1. Prin urmare,

daca s0 = q1, modelul practic potriveste acelasi moment de

doua ori, i.e., η0 = η1, ceea ce contrazice ipoteza ca

momentele sunt distincte. Prin urmare formulam alta problema,

i.e., cautam g ∈ C, a.ı. K ′

g(s0) = η1. Obtinem

−η0g

(s − s0 + g)2= η1 ⇔ −η0g = η1.

Ce observam?

Rezultatul anterior nu mai este valid daca seturile de

puncte de interpolare nu sunt distincte.

Exista o relatie directa ıntre parametrii modelelor si

potrivirea momentelor derivatei.





Caracterizarea bilaterala a momentelor

Modelul care potriveste 2ν mom. distincte



Motivatie

State-of-the-art



Notiunea de moment














Ilustrarea ideii de baza

Din exemple, trebuie sa studiem potrivirea momentelor, i.e., a

raspunsului permanent al unui semnal emis de un generator

condus de sistem excitat, la randul sau de un semnal dat.

Generalised signal gen.characterised by set 2 ofinterpolation points

output ofintercon.output

Linear systemSignal generatorcharacterised by set 1 ofinterpolation points

Steady-state

Moments at set 1 of points↕

Steady-state

Moments at set 2 of points↕

input

Iesirea ıntregului sistem este cheia← dinamica semnalului

contine informatii complete despre momentele sistemului la

ambele generatoare de semnal.








Caracterizarea dinamicii semnalului d(t), iesirea

finala

x = Ax + Bu

y = Cx

w = yu = θω = Sω

θ = Lω˙ = Q + Rw

d = +Υxd

Momentele la σ(S) 6= σ(Q) sunt caracterizate de regimul

permanent al lui d(t),

Propozitie

Se considera interconexiunea din figura. Momentele la σ(S) si

σ(Q) sunt caracterizate de regimul permanent al lui d(t) cu

dinamica d = Qd +ΥBLω, daca si numai daca ΥΠ satisface ec.

Sylvester ΥΠS −QΥΠ = ΥBL− RCΠ.









Motivatie

State-of-the-art



Notiunea de moment














Modelul de dim. ν are potriveste 2ν momente

ΣG

ω = Qω + Rw

δ = ω + Pξη = w ζ

(a)

ΣHω = Sω

θ = Lω

ηθ = u

(b)

Figure: Ilustrarea grafica a ideii rezultatului central

Ipoteza de lucru: Matricea ΥΠ ∈ Cν×ν este inversabila.








Modelul unic de dim. ν are potriveste 2ν momente -

rezultatul central

Teorema (Two-sided moment matching)

Urmatoarele afirmatii sunt adevarate.

1 Un model ΣG potriveste momente le la σ(S) 6= σ(Q)simultan, daca si numai daca G = P−1ΥB, unde P ∈ C

ν×ν

este sol. unica a ec. Sylvester PS −QP = ΥBL− RCΠ.

Mai mult, P = ΥΠ si Σ(ΥΠ)−1ΥB este unicul model din

familia ΣG care potriveste 2ν momente.

2 Un model ΣH potriveste momente le la σ(S) 6= σ(Q)simultan, daca si numai daca H = CΠP−1, unde P ∈ C

ν×ν

este sol. unica a ec. Sylvester PS −QP = ΥBL− RCΠ.

Mai mult, P = ΥΠ si ΣCΠ(ΥΠ)−1 este unicul model din

familia ΣH care potriveste 2ν momente.

3 Σ(ΥΠ)−1ΥB = ΣCΠ(ΥΠ)−1 .








Proprietati

Σ(ΥΠ)−1ΥB = ΣCΠ(ΥΠ)−1 este un model unic.

Are precizie mai ridicata fata de alte alegeri ale lui G,

respectiv H ← vezi exemplu ulterior.

Daca (fara a pierde din generalitate) S = Q, modelul, ın

acest context, nu aduce nici o plus-valoare. Practic,

momentele, ıntr-un set de puncte dat, sunt potrivite de cate

un model echivalent din cele doua clase. Mai mult, ın acest

caz, problema este formulata gresit, i.e., ec. Sylvester

PS − SP = ΥBL−RCΠ este degenerata, are o infinitate

de solutii...

Potrivim altceva daca S = Q ⇒ putem potrivi ν momente

ale lui K si ν momente ale lui K ′ la σ(S). Mai sofisticat

(teoretic) se pot potrivi ν momente ale lui K si i1 momente

ale lui K ′, i2 momente ale lui K ′′ ... iℓ momente ale lui K (ℓ),

la σ(S), a.ı. i1 + i2 + · · ·+ iℓ = ν.









Motivatie

State-of-the-art



Notiunea de moment














Mom derivatei = elem. diagonale ale matricei ΥΠ!!!

Fie K (s) = C(sI − A)−1B ⇒ K ′(s) = −C(sI − A)−2B =−C(sI − A)−1(sI − A)−1B.

Fie S = diag{si , i = 1, ..., ν} si L = [ℓ1, ..., ℓν ], a.ı. perechea

(L,S) este observabila. Din ecuatia AΠ + BL = ΠS ⇒

coloanele Πi = (si I − A)−1Bℓi . Similar, din ec. QΥ = ΥA + RC,

cu Q = S, R = −L∗ ⇒ −ℓiC(si I − A)−1 = Υi , i = 1, ..., ν. Prin

urmare, momentele (de ordin zero) lui K ′(s) la σ(S) sunt

η0(si) = −C(si I − A)−2B = eTi ΥΠei , i = 1, ..., ν

Rezultatul este general pentru orice matrice non-derogatorie

S.








O realizare a lui K ′(s)

Realizare a lui K ′(s).

y = vx = Ax + Bu

y = x

yz = Az + v

y = −Cz

u

K ′(s)

Σ′ :

x = Ax + Bu,

z = Az + x ,

y = −Cz,

unde z ∈ Rn si y ∈ R.








Caracterizarea mom. derivatei ın dom. timp

Semnalul d(t) este cheia← informatiile complete despre

momentele derivatei se gasesc ın dinamica lui d(t).

y = vx = Ax + Bu

y = x

w = yz = Az + vy = −Cz

u = θ

K ′(s)

ω = Sω

θ = Lω˙ =S+L∗w

d = +Υz

d

Dinamica lui d(t): d = Sd +ΥΠω +ΥeAt(x0 − Πω0).

Teorema (Mom. deriv⇔ regimul permamanent al lui d(t))

Pp. ca σ(A) ⊂ C− si σ(S) ⊂ C

0. At. momentele lui K ′(s) la

σ(S), continute de elementele diagonale ale ΥΠ sunt ın relatie

de unu-la-unu cu regimul permanent al lui d(t).








Ce cautam?

Familia de modeleξ = Fξ + Gu,η = Hξ,

(3)

cu ξ(t) ∈ Rν , ν < n, a.ı. K ′(si) = K ′(si) (∀) si ∈ σ(S), unde

K (s) = H(sI − F )−1G.

Realizare a lui K ′(s):

Σ′ :

ξ = Fξ + Gu,

χ = Fχ+ ξ,

η = −Hχ,

cu χ(t) ∈ Rν.








Modelele de dim. ν, care potrivesc mom. lui K ′(s)

η = vξ = Fξ + Gu

η = ξ

w = ηχ = Fχ+ vη = −Hχ

u = θ

K ′(s)

ω = Sω

θ = Lω˙ =S+L∗w

ζ = + Pξ

ζ

Ideea: dinamica lui ζ potriveste dinamica lui d , ın regim permanent.

Teorema (Familia de (3) care potrivesc momentele lui K ′(s))

O familie de modele liniare de dim. ν cu functia de transfer K (s)

care satisfac relatia K ′(si) = K ′(si ), (∀) si ∈ σ(S) este

caracterizata de (3), cu F = P(S − L∗HP)P, PL∗H = GLP,

unde P = ΥΠ si P = (ΥΠ)−1, cu P sol. unica a ec.

FP + GL = PS.








Modelul unic de dim. ν care potriveste momentele

lui K (s) si K ′(s)

∃! Σ- ∈ ΣG ∩ ΣH cu functia de tf. K (s) a.ı. K (si) = K (si) si

K ′(si) = K ′(si), i = 1, ..., ν, unde {si | i = 1, . . . , ν} = σ(S = Q).

Corolar

Urmatoarele afirmatii sunt adevarate.

1 Modelul ΣG care potrivete momentele lui K (s) sidK (s)

dsla

σ(S) este dat de G = (ΥΠ)−1ΥB.

2 Modelul ΣH care potriveste momentele lui K (s) sidK (s)

dsla

σ(S) este dat de H = CΠ(ΥΠ)−1.

3 Σ(ΥΠ)−1ΥB = ΣCΠ(ΥΠ)−1 .








Exemplu - carucior cu pozitia controlata de un

pendul dublu

k

µ1

q1

m1µ2

q2 l2m2

µ3

q3l3

m3








Exemplu - parametrii de lucruParametru Descriere Valoare

q1 pozitia caruciorului variabila

q2 pozitia bratului 1 variabila

q3 pozitia bratului 2 variabila

u input forta aplicata caruciorului variabila

m1 masa caruciorului 1

m2 masa bratului 1 1

m3 mass of bratului 2 1

k constanta elastica a resortului 1

l2 lungimea bratului 1 1

l3 lungime bratului 2 1

µ1 constanta de frecare vascoasa a caruciorului 1

µ2 constanta de frecare vascoasa a bratului 1 1

µ3 constanta de frecare vascoasa a bratului 2 1

g constanta gravitationala 9.8TC Ionescu Potrivirea bilaterala a momentelor sist. liniare ın dom. timp







Exemplu - model liniar

Starea x = [q1 q1 q2 q2 q3 q3]T ∈ R

6 si iesirea y = q1 ⇒ sistem

dinamic liniar de ordinnul al saselea

A =

0 1 0 0 0 0

−1 −1 98/5 1 0 0

0 0 0 1 0 0

1 1 −196/5 −2 49/5 1

0 0 0 0 0 1

0 0 98/5 1 −98/5 −2

, B =

0

1

0

−1

0

0

,

C =[1 0 0 0 0 0

].

(4)

Q: Ce dorim?

Calculam aproximari de ordinul al doilea cat mai bune←eroarea de aproximare ın norma doi este mica.








Exemplu - familia de modele de ordinul al doilea

care potrivesc primele doua momente ın zero ale

sistemului

Alegem S =

[0 1

0 0

]si L = [1 0]. Unica solutie a ecuatiei

Sylvester AΠ+ BL = ΠS este

Π = [−A−1B − A−2B] =

[1 0 0 0 0 0

−1 1 0 0 0 0

]T

.

Familia de modele de ordinul al doilea care portivesc primele

doua momente ın zero ale sistemului este ΣG cu

S −GL =

[−g1 1

−g2 0

], G =

[g1

g2

], H = CΠ = [1 − 1],

g1, g2 ∈ C, parametri liberi.








Exemplu - modelul unic care potriveste primele

doua momente ale sistemului ın zero si doua

momente ale sistemului, ın 12

si, respectiv, 14

Alegem Q =

[1/2 0

0 1/4

], R =

[1

1

]. Solutia unica a ecuatiei

Sylvester QΥ = ΥA + RC este

Υ =

[1.104 1.312 0.421 0.864 0.203 0.427

1.215 2.076 0.341 1.379 0.168 0.688

].

Modelul unic care potriveste primele doua momente ale

sistemului ın zero si doua momente ale sistemului, ın1

2si,

respectiv,1

4, este

S −GL =

[−0.345 1

−0.322 0

], G = P−1ΥB =

[0.345

0.322

], H = [1 − 1].








Exemplu - familia de modele de ordinul al doilea

care potrivesc primele doua momente ale derivatei

sistemului ın zero

O familie de modele care potrivesc primele doua momente ale

lui K ′(s) ın zero:

F =

[−0.56h1 − 1.11h2 + 1.11 −1.11h1 + 2.78h2 − 2.78

−0.22h1 − 0.44h2 + 0.44 −0.44h1 + 1.11h2 − 1.11

],

G =

[g1

g2

], H = [h1 h2],

a.ı. (ΥΠ)−1LT H = GLΥΠ.








Exemplu - modelul unic de ordinul al doilea care

potriveste momentel ın zero ale sistemului si ale

derivatei sale

F =

[−1 0.999

0.999 2

], G =

[0.333

0.333

], H = [1 − 1].








Exemplu - final: tabelul normei doi a erorilor de

aproximare

Model de ordinul al doilea ΣG, G = [g1 g2]T Norma-2 a erorii

de aproximare

ΣG, g1 = 1, g2 = 0.5, potriveste 2 momente

ın 01.391

ΣG, g1 = 0.345, g2 = 0.322, potriveste 2

momente ın 0 si 2 momente ın 1/2 si,

respectiv, 1/4

0.189

ΣG, g1 = 0.333, g2 = 0.333 potriveste 2

momente ın 0 ale lui K si K ′, respectiv.0.186








Concluzii

Am prezentat modalitati de obtinere a unor modele precise

prin potrivirea bilaterala a momentelor ın domeniul timp.

Modelele precise sunt elemente unice ale claselor de

modele obtinute prin potrivirea momentelor.

Potrivirea momentelor derivatei, importanta de calulat

pentru rezolvarea problemei de norma 2 (∞) minima a

erorii de aproximare.

Solutiile obtinute folosesc exclusiv informatii din realizarile

de stare ale sistemelor.

Perspectiva: identificarea corecta si solutionarea (partiala)

a problemei de optimizare infinit-dimensionala si

neconvexa a aproximarii optime ın norma. Extinderea

rezultatelor la cacurile neliniar si infinit-dimensional (aici

s-au mai facut progrese ın acest sens).








Referinte

Rezultatele complete pot fi gasite ın

T. C. Ionescu. ”Two-sided time-domain moment matching

for linear systems”. IEEE Trans. on Automatic Control,

Thomson Reuters IF 2.779, DOI 10.1109/TAC.2015.2503124,

2016.

Alte referinte relevante.

A. Astolfi. ”Model reduction by moment matching for linear and

nonlinear systems”. IEEE Trans. on Automatic Control, 55(10):

2321–2336, 2010.

T.C. Ionescu, A. Astolfi and P. Colaneri. ”Families of moment matching

based low order approximations for linear systems”. Systems & Control

Letters, 64: 47–56, 2014.

A.C. Antoulas. Aproximation of large-scale dynamical systems. SIAM

2005.


aproximari precise ale sistemelor liniare - potrivirea...

Documents