Seminar 3 - Spat,ii vectoriale s, i modulegr. 134 & 135 Info, sem. 2 2014-2015

1 Spat,ii vectoriale - definit,ii generale

Spat, iile vectoriale (reale) snt contextul cel mai general n care se poate studia geometria. Totodata, dinpunct de vedere algebric, ele constituie structuri de sine statatoare s, i extrem de importante, prin diversitateade operat, ii s, i operatori pe care le admit.

Definit, ia abstracta este urmatoarea.

Definit,ie 1.1: Fie G un grup abelian s, i K un corp. G se numes, te K-spat, iu vectorial (spat, iu vectorial peste K),daca:

1. 1K x = x, x G;2. (x+ y) = x+ y, K, x,y G;3. ( x) = ( ) x, , K, x G;4. (+) x = x+ x, , K, x G.Elementele grupului G se numesc vectori, iar elementele corpului K se numesc scalari. A se observa faptul

ca, din definit, ie, am presupus existent,a unei operat, ii externe, : GK G, care se numes, te nmult, irea vectorilorcu scalari. Ea este comutativa, n sensul ca un vector poate fi nmult, it s, i la dreapta, s, i la stnga cu un scalar,rezultatul fiind acelas, i n ambele cazuri. Aceasta deoarece consideram doar spat, ii vectoriale peste corpuri co-mutative, nu facem diferent,a ntre spat, ii stngi, respectiv drepte.

Se obisnuies, te ca vectorii sa se noteze cu litere din alfabetul roman, iar scalarii, cu litere din alfabetul gre-cesc. De asemenea, un K-spat, iu vectorial G se mai numes, te K-spat, iu liniar (sau simplu, K-spat, iu), iar o notat, iecomuna este KG.

Este important de facut diferent,a ntre operat, iile din G s, i cele din K, des, i "n practica" rar exista riscul deconfuzie.

Propozit,ie 1.1: n orice K-spat, iu vectorial V au loc urmatoarele identitat, i (, K, x,y V):(a) () x = x x;(b) (x y) = x y;(c) 0K x = 0V ;(d) 0V = 0V ;(e) () x = (x) = ( x);(f) Daca x = 0V , atunci neaparat = 0K sau x = 0V .Exemple: 1. Corpul K este un K-spat, iu vectorial, operat, ia externa coinciznd cu "nmult, irea" din corp.

2. Grupul aditiv al matricelor nn cu intrari complexe (de exemplu) (Mn(C),+) este C-spat, iu vectorial.

3. Mult, imea Kn = K K K este K-spat, iu vectorial, oricare ar fi corpul K, structura de grup fiinddata de adunarea pe componente, iar nmult, irea cu scalari de asemenea pe componente.

4. Mult, imea polinoamelor cu coeficient, i reali R[X] (de exemplu) este un R-spat, iu vectorial.

5. Daca k ( K este o extindere de corpuri, atunci K este k-spat, iu vectorial, dar k NU este K-spat, iu vecto-rial (legea externa nu are neaparat valori n grupul de vectori!).

1

6. Mult, imea solut, iilor unui sistem liniar formeaza un spat, iu vectorial peste corpul caruia apart, in coeficient, iisistemului. Structura este similara celei din exemplul 3.

Definit,ie 1.2: Fie V un K-spat, iu vectorial s, iW V o submult, ime a lui V . W se numes, te K-subspat, iu vectorial allui V daca structura de pe V induce o structura de K-spat, iu vectorial s, i peW.

Echivalent, ca s, i n cazul subgrupurilor, vom folosi caracterizarea urmatoare:

Propozit,ie 1.2:W este K-subspat, iu vectorial al lui V x y W, , K, x,y W.Exemple: 1. {0V } s, i V snt K-subspat, ii vectoriale ale spat, iului V , oricare ar fi acesta. Aceste cazuri se numescspat, ii improprii. Spat, iul {0V } se mai numes, te spat, iul nul sau trivial.

2. Spat, iul R[X]6n = {f R[X] | gradf 6 n} este subspat, iu al spat, iului vectorial real al polinoamelor cucoeficient, i reali.

3. Spat, iul matricelor (strict) superior/inferior triunghiulare n n cu intrari n R este subspat, iu vectorial alspat, iului real Mn(R).

4. Submult, imeaW = {(x,y) R2 | 3x 5y = 2} este subspat, iu al spat, iului R2.

5. n spat, iul R2, orice dreapta sau plan care cont, ine originea este subspat, iu vectorial. Orice spat,iu care nucont,ine vectorul nul nu poate fi subspat,iu!

Definit,ie 1.3: Fie V ,W doua K-spat, ii vectoriale. Suma celor doua spat, ii este mult, imea

V +W = {v+w | v V , w W}.

Propozit,ie 1.3: Fie V1, V2 doua K-subspat, ii vectoriale ale spat, iului V . Atunci V1 + V2 s, i V1 V2 snt spat, ii vectoriale,pe cnd V1 V2 nu este, n general, subspat, iu vectorial.

Exista un caz particular al sumei a doua spat, ii vectoriale, numit suma directa. nainte de a-l defini, avemnevoie de urmatoarea:

Propozit,ie 1.4: Fie V1,V2 V doua subspat, ii vectoriale ale K-spat, iului vectorial V , astfel nct V = V1 + V2. Atunciorice vector v din V se scrie unic de forma v = v1 + v2, v1 V1, v2 V2 daca s, i numai daca V1 V2 = {0V }.Definit,ie 1.4: Fie V1,V2 V doua subspat, ii. Daca V1 V2 = {0V }, atunci suma celor doua subspat, ii se numes, tesuma directa s, i se noteaza V1 V2. n acest caz, cele doua subspat, ii se numesc complementare (V1 se numes, tecomplementul lui V2 s, i reciproc).

Exemple: 1. Fie RR = F(R) mult, imea funct, iilor definite pe R cu valori reale. Atunci F(R) este R spat, iuvectorial. Sa notam cu IF(R) submult, imea funct, iilor impare s, i cu PF(R) submult, imea funct, iilor pare. Saobservam ca orice funct, ie f F(R) se descompune unic ca o suma dintre o funct, ie para s, i una impara astfel:

f(x) =12(f(x) + f(x)) +

12(f(x) + f(x)), x R.

De asemenea, singura funct, ie care este simultan para s, i impara este funct, ia nula, deci IF(R) PF(R) ={0R}, de unde rezulta ca F(R) = IF(R)PF(R).

2. Mn(C) = (matrice superior triunghiulare nn (C)) (matrice strict inferior triunghiulare nn (C)).Definit,ie 1.5: Fie V ,W doua K-spat, ii vectoriale. O aplicat, ie f : V W se numes, te morfism de spat, ii vectoriale(sau aplicat, ie liniara) daca f( x+ y) = f(x) + f(y), x,y V , K.

1.1 Baze s, i sisteme de generatori

n studiul spat, iilor vectoriale, sistemele de generatori, sistemele de vectori liniar independent, i s, i bazelejoaca un rol esent, ial. Acestea snt definite dupa cum urmeaza.

2

Definit,ie 1.6: Fie V un k-spat, iu vectorial s, i X = {v1, . . . , vn} o mult, ime de vectori din V . Spunem ca X este sistemde generatori pentru V (sau ca V este generat de X) daca orice vector din V poate fi scris ca o combinat, ie liniarade elemente din X cu scalari din k. Formal:

v V , 1, . . . ,n k nu tot, i nuli a.. v =ni=1

ivi.

O abordare similara, dar mai generala, n care se defines, te (sub)spat, iul generat de o mult, ime este urma-toarea.

Definit,ie 1.7: Fie V un K-spat, iu vectorial s, i X = {x1, . . . , xn} o submult, ime a lui V . Numim acoperirea K-liniara amult, imii X, notata XK, SpanK(X) sau KXmult, imea:

XK = {ni=1

i xi | i K}.

Un element din X spunem ca este combinat, ie liniara de elemente din X cu coeficient, i din K.

Propozit,ie 1.5: n contextul definit, iei anterioare, mult, imea XK este K-subspat, iu vectorial al lui V , numit spat, iulgenerat de mult, imea X, iar elementele xi se numesc generatorii acestui (sub)spat, iu.

Pe lnga sistemele de generatori, sntem interesat, i s, i de sistemele liniar independente.

Definit,ie 1.8: Fie V un k-spat, iu vectorial s, i X = {v1, . . . , vn} o mult, ime de vectori din V . Spunem ca X este unsistem liniar dependent peste k (sau k-liniar dependent, notat uneori depkX) daca exista scalarii 1, . . . ,n k,nu tot, i nuli, astfel nct

ni=1

ivi = 0.

n caz contrar, sistemul X se numes, te liniar independent. A se observa ca o caracterizare definitorie echiva-

lenta pentru sistemele liniar independente este aceea ca dacani=1

ivi = 0, cu notat, iile de mai sus, atunci

neaparat tot, i i = 0.

Ingredientul esent, ial din studiul spat, iilor vectoriale l constituie baza, definita simplu, ca mai jos.

Definit,ie 1.9: Fie V un k-spat, iu vectorial s, i B = {v1, . . . , vn} o mult, ime de vectori din V . B se numes, te baza a luiV daca este simultan sistem de generatori s, i sistem liniar independent.

Pentru spat, iile vectoriale, au loc urmatoarele rezultate importante:

Teorema 1.1: (1) Orice spat, iu vectorial admite (cel put, in) o baza.

(2) Orice doua baze ale unui spat, iu vectorial au acelas, i cardinal, numit dimensiunea spat, iului.

(3) Orice sistem de generatori se poate completa pna la o baza.

(4) Din orice sistem liniar independent se poate extrage o baza.

(5) Pentru un spat, iu vectorial n-dimeanional, o mult, ime de n vectori este sistem de generatori este sistem liniarindependent este baza. (Teorema alternativei)

2 Module

n esent, a, modulele snt asemenea spat, iilor vectoriale, doar ca spat, iul scalarilor nu mai este corp, ci doarinel. Des, i aceasta diferent, a pare minora, ea introduce foarte multe dificultat, i n studiul modulelor, dar, nacelas, i timp, s, i foarte multe rezultate spectaculoase care pentru spat, ii vectoriale nu au loc sau nu au sens.

Definit,ie 2.1: Fie (M,+) un grup comutativ s, i (R,,) un inel unitar. Spunem ca M este un R-modul daca existao operat, ie externa : RMM (numita R-act, iune sau act, iunea lui R peM) cu proprietat, ile:

(i) a (m+n) = a m+ a n, a R, m,n M;(ii) (a b) m = a m+ b n, a,b R, m M;

(iii) (a b) m = a (b m), a,b R, m M;

3

(iv) 1R m = m, m M.Au loc, de asemenea, toate regulile de calcul dintr-un spat, iu vectorial, exceptndu-le pe acelea care cer ca

elementele lui R sa fie inversabile (simplificari ale "scalarilor", de exemplu, nu putem face n module). Are loc,de exemplu, 0M a = 0M, a R s, i 0R m = 0M, m M (s, i corespunzator pentru 1R s, i 1M).Observat,ie 2.1: Strict vorbind, definit, ia de mai sus caracterizeaza R-modulele stngi, deoarece nmult, irea ele-mentelor din M cu elemente din R se face la stnga (legea externa este RM M). Exista s, i o not, iune deR-modul drept, n care legea externa este M R M, s, i toate nmult, irile elementelor din M cu elemente dinR se fac la dreapta. nsa, deoarece vom lucra cu inele comutative, cele doua not, iuni vor coincide. As, adar, dacaspunem "R-modul", fara preciza daca este lateral, vom subnt,elege ca inelul R este comutativ s, i atunci oriceR-modul drept este s, i R-modul stng s, i reciproc.

De asemenea, vom scrie att pentru legea externa, ct s, i pentru produsul din R acelas, i simbol "" (sau,simplu, juxtapunere), iar adunarea lui R va fi notata ca adunarea din R, nt,elegndu-se de fiecare data caredintre operat, ii este considerata.

Vom mai nota pe scurt, n loc de a scrie M este un R-modul, vom scrie simplu RM (notat, ie clasica pentruR-module stngi) sauMR (pentru module drepte).

Definit,ie 2.2: Fie M un R-modul s, i N M o submult, ime nevida. Spunem ca N este un R-submodul al lui M,notat N 6R M daca 0M N s, i a,b R, n,p N avem ca an bp N.Definit,ie 2.3: Fie M,N doua R-module s, i f : M N o funct, ie. Spunem ca f este morfism de R-module daca feste R-liniara. Altfel spus,

f(am bn) = af(m) bf(n), a,b R, m,n M.

Not, iunile de epimorfism, monomorfism s, i izomorfism vor fi folosite, cu sensurile cunoscute (epi=surjectiv,mono=injectiv, izo=bijectiv).

Definit,ie 2.4: Un modul care nu are submodule nenule se numes, te simplu. Altfel spus, daca S este un modulsimplu s, i T este un submodul al sau, neaparat T = 0 sau T = S.

2.1 Exemple de module

1. Cel mai simplu exemplu este acela al spat, iilor vectoriale. Deci orice spat, iu vectorial este un modul pestecorpul de baza, deoarece orice corp este s, i inel. As, adar, toate spat, iile vectoriale cunoscute devin exemple demodule.

2. UnZ-modulM este acelas, i lucru cu un grup abelian, deci nu aduce n plus informat, ii. Aceasta deoarecelegea externa : ZMM o putem gndi ca: x m = m+m+m+ . . .m, suma cont, innd x termeni (sau cusemn negativ n fat,a sumei daca x 6 0). As, adar, teoria modulelor cuprinde s, i teoria grupurilor abeliene (finite,n plus, deoarece toate sumele din algebra snt considerate finite!).

3. R este un R-modul, numit R-modulul trivial. Operat, ia externa coincide, n acest caz, cu operat, ia internade inel. Mai general Rn = R R R (de n ori) este un R-modul. Vom spune ca Rn este un R-modul de rang("dimensiune") n.

4. Fie M un R-modul s, i S o mult, ime nevida. Notam cu MS = {f : S M} mult, imea funct, iilor S M.Atunci MS devine s, i el un R-modul. Mai nti, MS este grup abelian cu adunarea punctuala: (f + g)(x) =f(x) + g(x). Apoi, legea externa : RMS MS poate fi definita prin (a f)(x) = a f(x).

3 Exercit,ii

1. Stabilit, i daca urmatoarele legi determina pe R o structura de R-spat, iu vectorial: (1p)

(a) : RR R, x y = x+ y a, a R;(b) : RR R, x y = yx+ (1 x)a, a R.

4

2. Sa se arate ca mult, imea S = {(x 2y, x+ 3y,y) | x,y R} este un R-subspat, iu vectorial al spat, iului R3.(1p)

3. Sa se arate ca mult, imea: (1p)

L =

{(x 0 y0 u z

)M2,3(R) | x,y, z,u R, x = y+ z

}este R-subspat, iu vectorial al spat, iului M2,3(R).

4. Fie sistemul: (2p){x1 2x2 + 3x3 + x4 = 02x1 x2 + x3 x4 = 0

Sa se rezolve n R4 s, i sa se arate ca mult, imea solut, iilor sistemului formeaza un R-subspat, iu vectorial alspat, iului R4.

5. Fie f R[X] un polinom de grad n s, i fie mult, imea D = {f, f , f , . . . , f(n)} mult, imea formata dinderivatele succesive ale lui f. Sa se arate ca acoperirea ei R-liniara, notata DR = SpanR(D) = RD esteun R-subspat, iu vectorial real al spat, iului R[X]. (1p)

6. Fie V ,W doua spat, ii vectoriale s, i f : V W o aplicat, ie liniara. Aratat, i ca Ker(f) = {x V | f(x) = 0W }este subspat, iu al lui V , iar Im(W) = {y W | x V a.. f(x) = y} este subspat, iu al luiW. (1p)

7. Fie V s, i W doua K-spat, ii vectoriale. Dat, i un exemplu de astfel de spat, ii s, i de o aplicat, ie f : V W caresa fie morfism ntre grupurile aditive (V ,+) s, i (W,+), dar care sa nu fie K-liniara. (rezolvat)

8. n spat, iul vectorial R3 se considera vectorii v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 3, 1), v3 = (+ 3,+ 1,+ 2), R.Sa se determine , s, tiind ca vectorii {v1, v2, v3} snt liniar dependent, i. (2p)

9. Fie R un inel comutativ s, i I o submult, ime a sa. Aratat, i ca I este ideal al lui R daca s, i numai daca I esteR-submodul al lui R. (1p)

10. Dat, i exemplu de un R-modul M s, i doua elemente nenule a R, m M pentru care a m = 0 (lucruimposibil ntr-un spat, iu vectorial!). (rezolvat)

11. ConsideramZ-modululQ. Aratat, i ca orice doua elemente dinQ sntZ-liniar dependente (definit, ia esteaceeas, i ca la spat, ii vectoriale). Rezulta, n particular, ca Z-modulul Q nu poate avea o baza, deoarece evidentnu poate fi 1-dimensional, iar rezultatul exercit, iului arata ca nu poate avea nici un rang > 2. (rezolvat)

12. Fie M un R-modul s, i X M. Definim AnnAX = {a A | ax = 0, x X}. Aratat, i ca AnnAM 6A A(i.e. AnnAM este R-submodul al lui A), numit anulatorul luiM. (1p)

13. Aratat, i caW = {(x1, x2, x3) R3 | 3x1 + 2x2 + x3 = 0} este R-subspat, iu vectorial al spat, iului R3. (1p)

14. Fie f : R4 R2, f(x1, x2, x3, x4) = (2x1 x2 x3, x1 + 3x2 + x4).(a) Aratat, i ca f este morfism de spat, ii vectoriale. (1p)

(b) Determinat, i Ker(f) = {v = (x1, x2, x3, x4) R4 | f(v ) =0 = (0, 0)}, nucleul morfismului. (1p)

15. Fie f : R3 R4, f(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 x3, x1 + x3, 2x1 + 2x2).(a) Aratat, i ca f este morfism de spat, ii vectoriale. (1p)

(b) Determinat, i Ker(f). (1p)

16. Dat, i exemplu de un k-spat, iu vectorial V s, i o submult, imeW V care sa fie subgrup al (V ,+), dar sa nufie subspat, iu vectorial al lui V . (1p)

17. Fie V un k-spat, iu vectorial s, i S = {v1, . . . , vn} o mult, ime de vectori din V . Fie f : V W o aplicat, ieliniara. Notam cu f(S) = {f(v1), . . . , f(vn)} imaginea mult, imii S prin morfismul f. Aratat, i ca: (4 x 1p)

5

(a) Daca S este liniar dependenta n V , atunci f(S) este liniar dependenta nW;

(b) Daca S este liniar independenta n V s, i f este injectiv, atunci f(S) este liniar independenta nW;

(c) Daca S este sistem de generatori n V s, i f este surjectiv, atunci f(S) este sistem de generatori nW;

(d) Daca S este baza n V s, i f este bijectiv, atunci f(S) este baza n W (rezulta de aici ca orice doua spat, iivectoriale izomorfe au aceeas, i dimensiune).

18. Este posibil ca un grup abelian finit sa fie Z-modul liber? Justificat, i. (4p)

6

Spatii vectoriale - definitii generaleBaze si sisteme de generatori

ModuleExemple de module

Exercitii