Ingineria sistemelor automate II 65

Laboratorul nr. 11

Sisteme de reglare automat robust (I) 1. Scopul lucrrii Se prezint aspectele de baz referitoare la comportarea intrare-ieire a SRA, n

prezena incertitudinilor parametrice. Modul de creare a elementelor incerte i combinarea acestora n modele incerte, precum i aplicaiile de analiz i simulare sunt studiate n mediul Matlab.

2. Aspecte generale privind comportarea intrare-ieire, sensibilitatea SRA

i incertitudinile parametrice Se consider schema de reglare n bucl nchis (Fig.11.1), cu funciile de

transfer ale procesului ( )sHp

i regulatorului ( )sHR

, respectiv: r mrime de

referin, y mrime reglat, u mrime de comand, v, l perturbaii, - zgomot de msur i [1,2,16,19,20,27]:

ryr =

(11.1)

Fig.11.1. Schema SRA

Comportarea intrare-ieire reprezint transferurile de la mrimile externe

sistemului lvr ,,, , la mrimea reglat y (i eventual la comanda u). Dac se noteaz cu

ijH funcia de transfer de la j la i, se pot scrie patru funcii

de transfer care caracterizeaz complet sistemul [1,19]: - funcia de sensibilitate (funcia de transfer a erorii):

SH

Hd

yv=

+=

1

1 (11.2)

- funcia complementar de sensibilitate (funcia de transfer n bucl nchis):

TH

HH

d

d

rx=

+=

1 (11.3)

- funcia de sensibilitate la zgomot:

RSH

HH

d

R

ru=

+=

1 (11.4)

- funcia de sensibilitate la sarcin:

66 Ingineria sistemelor automate II

PSH

HH

d

p

lx=

+=

1 (11.5)

ntre relaiile (11.2) i (11.3) exist dependena: 1=+TS (11.6)

n ipoteza c l = 0 se pot scrie relaiile de dependen ntre y i ,,vr , respectiv ntre i ,,vr [19,27]:

vHH

Hr

H

H

vHHHH

HHr

HH

HHy

dd

d

d

d

pRpR

pR

pR

pR

+

++

+

=

=+

++

+

=

1

1

11

1

1

11

(11.7)

+

++

+

=d

d

ddH

Hv

Hr

H 11

1

1

1 (11.8)

Pe baza funciilor de transfer (11.2), (11.3), relaiile (11.7), (11.8) devin: vSTrTy += (11.9) += TvSrS (11.10)

Observaii: - de exemplu, funcia de sensibilitate S, leag ieirea y de intrarea v, n

condiiile n care 0,0,0 === lr ; - n relaia (11.9), cnd 0,1,0 === ST , se obine rejecia perturbaiilor i

urmrirea perfect a referinei. Modelul matematic al unui sistem trebuie s conin informaii despre

comportarea dinamic i despre perturbaiile care pot afecta sistemul. Erorile inerente n reprezentarea modelului procesului (erori de modelare)

definesc incertitudinile sistemului, care pot fi [19,27]: - structurate (parametrice); n acest caz sunt disponibile informaii care

conduc la restrngerea incertitudinilor la poriuni ale modelului procesului; - nestructurate (datorate dinamicii nemodelate sau neglijate); n acest caz nu

se cunosc efectele incertitudinilor asupra procesului, cu excepia limitei superioare a mrimii acestora;

- combinate. Modelarea incertitudinilor se poate realiza n domeniile timp i frecven, cele

din urm fiind: - aditive; - multiplicative; - numrtor-numitor (sau n factori primi). n Fig.11.2 sunt prezentate schemele bloc care ilustreaz incertitudinile aditive

directe i multiplicative la ieire, n care: blocul P reprezint instalaia standard; R este blocul de reacie (care include compensatorul), iar este blocul incertitudinilor.

Similar se pot construi schemele cu incertitudini aditive inverse, multiplicative inverse la intrare/ieire etc. [19].

Ingineria sistemelor automate II 67

Pentru oricare din cele trei tipuri de incertitudini, sistemul perturbat poate fi reprezentat prin modelul generalizat din Fig.11.3.

a) b)

Fig.11.2. Modele cu incertitudini: a) aditive; b) multiplicative

Fig.11.3. Modelul generalizat cu incertitudini

n ipotezele prezentate, este necesar investigarea avantajelor conexiunii

inverse n raport cu incertitudinile parametrice, respectiv asigurarea robusteii performanelor SRA n raport cu aceste incertitudini.

3. Desfurarea lucrrii Se consider procesul continuu precizat prin modelul matematic intrare-ieire: ( ) ( ) ( ) ( )tutky

dt

tdyb

dt

tydm =++

2

2

, respectiv funcia de transfer: ( )kbsms

sHp ++

=2

1.

Uzual, parametrii m, b, k sunt determinai prin msurtori, rezultnd intervalele de ncredere pentru acetia: [ ]mmm

n ; [ ]bbb

n ; [ ]kkk

n . Parametrii mn,

bn, kn sunt considerai nominali, iar forma: ( ) ( ) ( ) ( )tutyk

dt

tdyb

dt

tydm

nnn=++

2

2

reprezint modelul nominal, fa de care se consider deviaiile maxime: kbm ,, .

68 Ingineria sistemelor automate II

n Fig.11.4 se prezint caracteristicile Bode, trasate pentru modelul nominal cu: 1=

nm ; 15,0=

nb ; 5,2=

nk (reprezentare cu *) i modelul afectat de incertitudini

considernd: [ ]1,1...9,0m ; [ ]2,0...1,0b ; [ ]0,3...0,2k [18,22,24]. % Modelarea incertitudinilor clear all; close all; num_NP = [1]; den_NP=[1 0.15 2.5]; bode(num_NP,den_NP,'.r'); hold on; title('Caracteristici Bode') for m = 0.9:0.1:1.1 for b = 0.1:0.1:0.2 for k = 2:0.5:3 den_P = [m b k]; H=tf(num_NP,den_P); bode(H); hold on; end end end grid on;

Fig.11.4. Caracteristicile Bode trasate pentru sistemul

nominal i afectat de incertitudini

Mediul Matlab, prin Toolbox-ul Robust Control, permite crearea elementelor

incerte i combinarea acestora n modele incerte (afectate de incertitudini), apoi analiza efectului incertitudinilor asupra performanelor de reglare ale SRA.

Mediul Matlab faciliteaz introducerea unui parametru incert, precizat prin nume i valoare nominal, cruia i se asociaz limitele de variaie, descrise prin: domeniul de variaie (ncredere) sau procentual din valoarea nominal (vezi help ureal) [18,22,24].

Se consider modelul procesului de forma: ( )1+

=sT

ksH

p

p

p, i se creeaz

modelul incert, considernd c Tp are o valoare medie de 0,5 cu o variaie de 30%, iar kp are valoarea nominal 4 i se modific n intervalul [35], apoi se proiecteaz un regulator integrativ ( ) )(1 sTsH

iR= , pentru modelul nominal.

Observaie: n Matlab, valorile nominale pot fi accesate prin sintaxa X.NominalValue sau X.Nominal, n care X este numele parametrului.

Pentru a studia influena parametrilor asupra performanelor sistemului n bucl

nchis se pot genera eantioane aleatorii ale parametrilor inceri (vezi help usample) i se vizualizeaz rspunsurile SRA n bucl deschis (Fig.11.5) i n bucl nchis (Fig.11.6, funcia de sensibilitate complementar T).

Funcia de sensibilitate S, descris prin (11.2), este o msur a performanelor sistemului n bucl nchis, indicnd gradul de rejecie al perturbaiilor (Fig.11.7).

Observaie: mrimea de ieire y urmrete asimptotic referina r dac i numai dac ( ) 00 =S .

Ingineria sistemelor automate II 69

% Modelul procesului incert kp=ureal('kp',4,'range',[3 5]); Tp=ureal('Tp',0.5, 'Percentage',30); Hp=tf(kp,[Tp 1]); % Modelul regulatorului Ti=1/(2*Tp.Nominal*kp.Nominal); HR=tf(Ti,[1 0]); % Bucla inchisa % Functia complementara de % sensibilitate T=feedback(Hp*HR,1); % Raspunsuri indiciale figure(1); step(usample(Hp,20)); title('Raspunsul in bucla deschisa (20 esant.)');grid; figure(2); step(usample(Ho,20)); title('Raspunsul in bucla inchisa (20 esant.)');grid; % Functia de sensibilitate S=feedback(1,HR*Hp); figure(3); step(usample(S,20)); title('Functia de sensibilitate (20 esant.)');grid;

Fig.11.5. Rspunsul indicial al sistemului incert n

bucl deschis

Fig.11.6. Funcia complementar de sensibilitate

Fig.11.7. Funcia de sensibilitate n bucl nchis

70 Ingineria sistemelor automate II

Se scriu programele de simulare propuse i se analizeaz funciile complementar de sensibilitate i de sensibilitate, considernd alte domenii de variaie pentru parametrii inceri. Se completeaz programul propus pentru rspunsurile din Fig.11.5Fig.11.7, astfel nct s se evidenieze i rspunsul sistemului nominal.

Se completeaz programele propuse pentru a studia i funciile de sensibilitate la zgomot (11.4) i la sarcin (11.5).

Teme suplimentare

1. Pentru procesul cu funcia de transfer ( )kbsms

sHp ++

=2

1 (prezentat), se

consider un regulator PID de forma: ( )

++= s

ssH

R

235 , se reprezint

grafic i se interpreteaz funciile T i S.

2. Pentru procesul afectat de incertitudini, cu funcia de transfer ( )1+

=sT

ksH

p

p

p

(prezentat), se determin un regulator de tip PI, cu 5

2n

iT

= i 1

5

2

= n

pk

,

considernd diverse valori ale factorului de amortizare i pulsaiei naturale

n , se verific relaia (11.6) i se realizeaz analiza n frecven.

3. Pentru procesul de la tema 2, se ntocmete schema bloc n care se evideniaz incertitudinile aditive, n acord cu schema de baz din Fig.11.2a. Se scrie programul Matlab care permite studiul funciilor de sensibilitate la zgomot i la sarcin.