www.cartiaz.ro Carti si articole online de la A la Z

Sisteme de calcul in trecut

Egiptul a fost probabil prima civilizaie n care interesul pentru tiine a fost major. Au excelat n medicin i matematici aplicate, dar i n astronomie, mecanic, chimie, fizic, administraie. Chiar numele de chimie provine de la alchimie, vechiul nume al Egiptului. Civilizaia Egiptului Antic a atins un nalt nivel nc din cele mai vechi timpuri. Datorit Nilului i climei, Egiptul avea tot ce-i necesar dezvoltrii unei civilizaii nfloritoare. Egiptul era i uor de aprat avnd o lung grani cu deertul Sahara, aa c s beneficiat de perioade lungi de pace, perioade n care societatea s-a dezvoltat rapid.

Cu 3.000 de ani .C., n Egipt era dezvoltat puternic agricultura pe baza inundaiilor bianuale ale Nilului. Apa revrsat aducea aluviuni care mbogeau solul; surplusul de ap era dirijat printr-un sistem complicat de canale i ecluze, astfel ca ea s fie folosit i n perioadele secetoase. Construirea i ntreinerea unui astfel de sistem de irigaii a necesitat importante cunotine de geometrie, mecanic, hidraulic. Cunoaterea cu precizie a perioadelor din an n care se produceau inundaiile era de maxim importan. Problema a fost rezolvat de cunotinele avansate de astronomie care le-a permis realizarea unui calendar foarte precis. Teritoriul pe care se ntindea Egiptul fiind vast, era nevoie de un sistem administrativ eficient. Pentru calcularea taxelor i repartizarea sumelor colectate pentru construcii, armat .a. era nevoie de cunotine de aritmetic. Din 3.000 .C. a nceput construcia piramidelor; astfel marea piramid de la Ghiza a fost construit prin 2.650 .C. Construcia piramidelor necesita vaste cunotine i imense resurse materiale.

n acea perioad, Egiptenii aveau pus la punct sistemul de scriere hieroglific. Sistemul de numeraie folosit nu era foarte bun pentru realizarea calculelor aritmetice. Operaiile aritmetice, aa cum le cunoatem azi, erau foarte greu de realizat: adunarea i scderea se puteau efectua relativ uor; nmulirea i mprirea erau de-a dreptul imposibile. Totui, egiptenii au dezvoltat metode remarcabile pentru a trece peste acest neajuns.

La nceput, numerele erau sculptate n piatr pentru a comunica diferite mrimi. Deoarece nu era nevoie s se opereze mult cu ele, pentru cifre nu existau hieroglife speciale. Din momentul n care s-a trecut la utilizarea papirusului pentru scriere, a aprut necesitatea dezvoltrii unor mijloace mai rapide de scriere, a aprut necesitatea crerii unor hieroglife pentru scrierea numerelor.

Papirusurile descoperite arat c egiptenii, spre deosebire de greci care s-au preocupat de studiul matematicii abstracte, erau legai de rezolvarea unor probleme de aritmetic legate exclusiv de practic.

Sistemul de numeraie folosit de ei era zecimal i poziional, dar nu n accepia actual. "Cifrele" folosite se obineau prin compunerea a apte simboluri de baz:

1 un b de msurat10 un val

100 sfoara de msurat1.000 floarea de lotus

10.000 degetul arttor100.000 o broasc

1.000.000 un zeu cu minile ridicate deasupra capuluiScrierea se fcea n ordinea cresctoare a valorii. Iat cteva exemple:

3.244 =

4 40 200 3.000

21.237 =

7 30 200 1.000 20.000dar se putea scrie i pe vertical:

200 4.000

70 600

6 20276 4

4.624Deoarece se foloseau semne diferite pentru uniti, zeci, sute, mii, ..., nu are importan ordinea scrierii. Nu era nevoie nici de simbol pentru zero.

Efectuarea unei nmuliri era destul de complicat. S considerm produsul 41 59. Construim o tabl astfel: rndul 1 al doilea factor, 59, pe rndurile urmtoare se scrie dublul rndului precedent pn cnd multiplicatorul devine mai mare ca primul factor, n cazul nostru pn la 32 < 41 < 64:

multiplicator valoare multiplicator valoare1 59 1 412 118 2 824 236 4 1648 472 8 328

16 944 16 65632 1.888 32 1.312

2.419 2.419

Apoi efectum o serie de scderi: 41 32 = 9; 9 8 = 1; 1 1 = 0 i scriem 41 = 32 + 8 + 1. Selectm multiplii corespunztori i summ.

Putem s schimbm ordinea factorilor, 59 41. Avem 59 32 = 27; 27 16 = 11; 11 8 = 3; 3 2 = 1;1 1 = 0. i scriem suma multiplilor 59 = 32 + 16 + 8 + 2 + 1.

Metoda folosit se bazeaz pe teorema care spune c orice numr poate fi scris ca o sum a puterilor lui 2. Egiptenii nu aveau o dovad n acest sens i nici nu-i interesa s-o obin. tiau c metoda este bun i o aplicau. Pur i simplu! Totui, noi ne putem permite s scriem:

41 = 120 + 021 + 022 + 123 + 024 + 125,respectiv:

59 = 120 + 121 + 022 + 123 + 124 + 125.

mprirea se realiza tot prin dublare. S lum, de exemplu, numrul 1.495 i s-l mprim la 65. Construim un tabel ca la nmulire:

multiplicator valoare1 652 1304 2608 52016 1.040

1.495

i ne oprim n momentul n care valoarea din tabel devine mai mare dect dempritul, adic la 1.040 < 1.495 < 2.080. Avem: 1.495 1.040 = 455; 455 260 = 195; 195 130 = 65, 65 65 = 0, deci: 1.495 = 1.040 + 260 + 130 + 65.

Adunm multiplicatori corespunztori: 1 + 2 + 4 + 16 = 23. Acesta este ctul mpririi 1.495 : 65.

n exemplul de mai sus, 1.495 se divide cu 65. Cum se calculeaz n cazul n care dempritul nu se divide cu mpritorul? S considerm mprirea 1.500 : 65. Construim tabelul:

multiplicator valoare1 652 1304 2608 52016 1.040

1.495

i de data aceasta ne oprim n momentul n care valoarea din tabel devine mai mare dect dempritul, adic la 1.040 < 1.500 < 2.080. Adunm valorile n pentru care avem: 1.500 65 < n 1.500:

1.040 + 260 + 130 + 65 = 1.465

Diferena 1.500 1.465 = 5 reprezint restul mpririi.

Summ multiplicatorii corespunztori: 1 + 2 + 4 + 16 = 23. Acesta este ctul mpririi. Atunci se poate scrie:

1.500 : 65 = 23 + 5/65 = 23 1/13

Egiptenii foloseau numai fracii cu numrtorul 1, cu excepia a dou fracii mai des folosite: 2/3 i 3/4. Iat cteva exemple:

1/3 1/25 1/269Urmtoarea problem pe care ne-o punem este cum se efectueaz nmulirea i mprirea cu fracii. S lum ca mpritor fracia 1/5. Am fi tentai s procedm ca mai sus, prin dublarea acesteia: 1/5 + 1/5. Din motive pe care nu le discutm, egiptenii, n loc s efectueze acest calcul ar fi adunat 1/3 + 1/15. Papirusul Rhind conine o tabl care permitea dublarea unor fracii de tipul 1/n, pentru 5 < n < 101 impar, cu numrtorul 1. Iat nceputul acestei table:

Fraciade

dublat

Fraciilecare dubleaz

1/5 1/3 + 1/151/7 1/4 + 1/281/9 1/6 + 1/181/11 1/6 + 1/66

1/13 1/10 + 1/26 + 1/651/15 1/10 + 1/301/17 1/12 + 1/51 + 1/68

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Este remarcabil de observat c papirusul nu conine erori (apr cteva din copiere), c termenii descompunerii sunt fracii cu numitori apropiai ca valoare i c niciodat nu sunt mai muli de 4.

Cum rezolvau egiptenii ecuaia: 2/3 + 1/15 + x = 1 ?

Se multiplic cu 15: 10 + 1 + y = 15. Aceasta era numit auxiliar rou, deoarece scribul folosea cerneal roie la scrierea ei. Soluia ei este, evident, 4.

Pentru a obine soluia ecuaiei iniiale scriem:

dublu (dublu 1/15)Din tabla de mai sus observm c dublu 1/15 este suma 1/10 + 1/30, pe care dublnd-o se obine 1/5 + 1/15, care este soluia ecuaiei date.

Iat i o problem: O cantitate adugat la un sfert din cantitate d 15. Ct este cantitatea ?

Problema se transcrie n limbaj modern astfel:

x + x / 4 = 15Presupunem c x ar fi egal cu 4. Atunci x + x / 4 = 5, ceea ce nu este corect. Dar 15 este de 3 ori 5. Aa c presupunerea trebuie multiplicat cu 3. Deci, rspunsul corect este x = 12.

Mai multe probleme din papirusul Rhind folosesc n rezolvare metoda falsei ipoteze (aplicat mai sus).

Cum procedau egiptenii pentru a rezolva calculul: (1 + 1/3 + 1/5) (30 + 1/3) ? Foloseau metoda dublrii:

1 1 + 1/3 + 1/5

2 2 + 2/3 + 1/3 + 1/15 = 3 + 1/15

4 6 + 1/10 + 1/30

8 12 + 1/5 + 1/15

16 24 + 1/3 + 1/15 + 1/10 + 1/30

2/3 2/3 + 1/6 + 1/18 + 1/10 + 1/30

1/3 1/3 + 1/12 + 1/36 + 1/20 + 1/60

Penultima linie din tabel s-a obinut astfel:2/3 din 1 este 2/3;2/3 din 1/3 este dublul lui 1/9 care este 1/6 + 1/18;2/3 din 1/5 este dublul lui 1/15 care este 1/10 + 1/30.

Acum trebuie gsite numerele din prima coloan care nsumate dau 30+1/3. Rezultatul se obine sumnd valorile din a doua coloan. Acesta este:

46 + 1/5 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/30 + 1/36.

O alt problem din papirusul Rhind: Un teren rotund are diametrul de 9 khet. Ce arie are ?

Soluia prezentat n papirus este urmtoarea:

Se afl 1/9 din diametru, adic 1; restul este 8. nmulind 8 cu 8 ne d 64. Aa c terenul are 64 setat.

1 91/9 1

1 92 164 328 64

De observat c soluia este echivalent cu p = 4(8/9)2 = 3.1605. Calculnd acum, obinem 3.160493 care difer de rezultatul obinut de egipteni dect la a 4-a zecimal. Este un lucru remarcabil dac inem cont de perioada n care a fost obinut.

n papirusul din Moscova este prezentat urmtoarea problem, ilustrat n figura alturat:

Problema cere s se calculeze un trunchi de piramid pornind de la urmtoarele date: baza mare este un ptrat cu latura de 4 cubit, baza mic este un ptrat cu latura de 2 cubit i distana dintre baze este de 6 cubit.

n primul rnd trebuie remarcat c prin s se calculeze un trunchi de piramid se nelege s se calculeze volumul unui trunchi de piramid.

Calculul ncepe cu aflarea ariei bazei mari: 4 4 = 16.

Se calculeaz apoi aria bazei mici: 2 2 = 4.

Se nmulesc latura bazei mari cu latura bazei mici: 4 2 = 8.

Se adun rezultatele: 16 + 4 + 8 = 28.

Se calculeaz 1/3 din nlime, adic: 2.n final, se nmulete ultimul rezultat cu suma calculat anterior i se obine 56.

Aceast problem arat c egiptenii tiau formula volumului trunchiului de piramid. Astfel, lund a latura bazei mari, b latura bazei mici i h nlimea, formula s-ar traduce n limbaj modern:

V = h/3 (a2 + ab + b2)

Dup inventarea scrierii pe papirus, egiptenii au creat "cifrele" hieratice. Cu ajutorul lor, numerele puteau fi scrise ntr-o manier mult mai compact. n noua scriere existau simboluri pentru 1,.., 9; 10, ..., 90; 100, ..., 900; 1.000, ..., 9.000.

De exemplu, numrul 9.999 se scria acum cu 4 hieroglife n loc de 36.

Iat un exemplu:

Cele dou sisteme de scriere au coexistat mai bine de 2.000 de ani. Cel hieratic era folosit pentru scrierea pe papirus, cel obinuit continund s se utilizeze pentru inscripii cioplite n piatr.