sir adunare

7/25/2019 Sir Adunare

1/5

Cum adunam un sir de numere naturale consecutive in clasa a IV-a si unpic peste?

Adunarea unui sir de numere naturale, consecutive, copilul poate sa o intalneasca la clasa la capitolul Adunarea

numerelor naturale, la exercitii cu gruparea convenabila a termenilor (pentru a putea aduna mai usor) sau la

concursuri scolare.

Un astfel de exercitiu arata cam asa:

1 + 2 + + ... + 1!! " # (suma lui $auss)

%rima intrebare a parintelui este:

Poate copilul meu sa rezolve asa ceva in clasa a IV-a?

&aspunsul meu: 'aca ia explicat doamna, 'A. 'aca nu sau daca nu a inteles, sar putea sa fie nevoie sa o faceti voi

si mai os gasiti cateva sugestii.

%reci*are:Rezolvarea de mai jos este valabila pentru adunarea unui sir de numere naturale,

consecutive in care primul termen este 1.

Varianta 1 - primul numar este 1, ultimul numar al sirului este par (ex.: 100)

a) prin rupare

1 + 2 + + ... + 1!! " #

criem acest sir astfel incat sa avem primii trei termeni si ultimii trei termeni ai sirului (pentru a putea grupa

termenii):

1 + 2 + + ... + - + + 1!! " #

Adunam primul cu ultimul termen 1!! + 1 " 1!1,

continuam si adunam termenul al doilea cu penultimul numar + 2 " 1!1,

continuam, termenul al treilea cu antepenultimul numar - + " 1!1

astfel, observam ca rupand termeniivom avea perec/i de numere a caror suma este 1!1.

0ntrebarea este cate perec/i#

0n ca*ul in care sunt 1!! de numere, grupate in perec/i atunci vom avea 1!! : 2 " ! (perec/i)
http://ro.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://2.bp.blogspot.com/-bL9UA3up6w4/Un9C-E9086I/AAAAAAAAAx8/_nzHDmpgIXQ/s1600/Pict1.pnghttp://ro.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss


2/5

'eci re*olvarea este:

1!1 x ! " !0!0

") cu a#utorul unei $ormule

1 % & % ' % ...% n ( n % 1 ) x ( n : &) (n % 1) x n : & (am desfacut parantezele ca nu aveau sensin formula finala, o sa vedeti mai jos de ce ...)

unde n numar natural par

iar exercitiul de mai sus devine foarte simplu:

1 + 2 + + ... + 1!! " (1!!+1) x (1!!:2) " 1!1 x ! " !!

Varianta & - primul numar este 1, ultimul numar al sirului este impar (ex.: )

a) prin rupare

1 + 2 + + ... + " #

criem, din nou, acest sir astfel incat sa avem primii trei termeni si ultimii trei termeni ai sirului:

1 + 2 + + ... + + - + "

Adunam primul cu ultimul termen + 1 " 1!!,

continuam si adunam termenul al doilea cu penultimul numar - + 2 " 1!!,

continuam, termenul al treilea cu antepenultimul numar + " 1!!

astfel, rupand termeniivom avea perec/i de numere a caror suma este 1!!.

0ntrebarea importanta este cate perec/i#

0n ca*ul in care sunt de numere, grupate in perec/i atunci putem folosi 2 rationamente:

a) numar de perec/i se poate afla

( 1) : 2 " - : 2 " 3, deci daca am avea - de numere am avea 3 de perec/i

( + 1) : 2 " 1!! : 2 " !, deci daca am avea 1!! de numere am avea ! de perec/i (astfel vedem unde este mijlocul

sirului)

dar noi avem de numere, deci putem face urmatorul desen:


3/5

%e desen vedem ca milocul sirului este !, deci ultima perec/e este 3 + 1 " 1!!, re*ulta 3 perec/i.

b) mai simplu numarul de perec/i este ( 1): 2 " 3, motivul este acela ca impartirea cu 2 nu se poate face decat

dintrun numar par, atunci numarul par mai mic decat este -.

'upa ce am aflat ca numarul de perec/i este 3, nu trebuie sa uitam ca a ramas un numar fara perec/e, acela este

!.'eci re*olvarea este:

1!! x 3 + ! " 3!! + ! " *!0

") cu a#utorul unei $ormule

nr. de perechi mijlocul sirului

1 % & % ' % ... % n (n + 1) x (n 1) : 2 + 4(n 1) : 2 + 15 " n x (n % 1) : & (daca nu macredeti faceti inmultirile)

unde n numar natural impar

iar exercitiul de mai sus devine foarte simplu:

1 + 2 + + ... + " ( + 1) : 2 " x 1!! : 2 " !! : 2 " 3!

6bservam ca este aceeasi formula ca in varianta 1. Atunci fie copilul re*olva prin gruparea termenilor si cu autorul

milocului sirului, fie memorea*a formula ca atare (Copilul meu prefera varianta cu mijlocul sirului, deoarece

dupa un timp, iar uita formula.).

Asa cum am preci*at mai sus aceasta metoda este utila pentru sirurile care au primul termen 1, in ca*ul in careprimul termen este un alt numar, lucrurile se complica, dar nu cred ca este c/iar de clasa a 07a exercitiul de mai

os:

Varianta ' - sir de numere consecutive

2 + 2- + .... + " #

Acest sir se poate re*olva foarte usor cu urmnatoarea formula

t1 + t2 + t + ... + tn " (t1 % tn) x +t : &, unde
http://2.bp.blogspot.com/-SDGGN1Gy8Dk/Un9DFFy8s_I/AAAAAAAAAyE/8CB0aZ4rB_w/s1600/Pict2.png


4/5

t1 " primul termen

tn " ultimul termen

8t " numarul de termeni ai sirului (aicigasiti mai multe explicatii mie mia placut cel mai mult partea in care

explica cum se afla numarul de termeni dintrun sir de numere consecutive, ceea ce este de folos si pentru clasa a

07a (tn-t1) % 1 )

re*olvarea sirului propus 2 + 2- + ... + " (2 + ) (2+1) : 2 " 123 x 1 : 2 " 33!2,

putem aplica aceasta formula si pentru variantele pre*entate mai sus:

varianta 1

1 + 2 + + ... + 1!! " (1!!+1) x (1!!1+1) : 2 " (1!! + 1) x 1!! : 2, re*ulta c/iar formula de mai sus, ca un ca*

special

varianta 2

1 + 2 + + ... + " ( + 1) x (1+1) : 2 " (+1) x : 2, aceeasi conclu*ie, daca scriem sub forma (+1):2

'eci varianta se aplica pentru siruri de numere naturale consecutive, iar variantele 1 si 2 sunt ca*uri particulare

ale acesteia.

......Actualizare 10.12.2013.......

9ot o varianta cu cate putin din tot ce este mai sus, folosita intens in clasa a 7a este cea cu dublarea sirului:

se scrie sirul nostru pe primul rand, iar pe randul al doilea acelasi sir, dar in ordine inversa si apoi se aduna celor

doua siruri astfel:

ex. 1)1 + 2 + + ... + 1!! 1 " sirul 1 (de re*olvat)

1!! + - + + ... + 1 2 " sirul 2 (inversul)

1!1 + 1!1 + 1!1+...+1!1 1+2

1+2 " 2 x (pentru ca avem aceeasi termeni in ambele siruri, iar la adunare nu contea*a ordinea termenilor)

2" 1!1 + 1!1 + 1!1 + ... + 1!1 (de atatea ori cati termeni avem, 8t " 1!!)

2 " 1!1x1!! " 1!1!!

daca 2 " 1!1!!,

atunci " 1!1!! : 2,

" !! (adica sirul nostru) 1 +2 + + ... + 1!! " !!

(aceasta completare este pentru cei care cauta acul in carul cu fan, cum am facut-o si eu de atatea ori)

..................................................

8oi neam ucat mai multe *ile cu sirurile pentru a putea fi asimilate toate informatiile de mai sus si am facut pe

rand, ocul dna invatatoare elevul nestiutor, iar eu cateodata intelegeam asa de greu ... . 0ar bonus iam oferit

urmatorul truc sal oace cu colegii si sa calcule*e rapid in memorie suma a numere consecutive:

se scriu pe o foaie numerele

copilul se uita la numarul din miloc (al treilea) si il inmulteste cu cinci
http://www.youtube.com/watch?v=qATKe2EuT8whttp://www.youtube.com/watch?v=qATKe2EuT8w


5/5

pentru a putea face inmultirea repede, in memorie, trebuie sa descompuna termenul inmultit in doua numere usor

de inmultit cu

ex.

2, 2;, &, 2-, 2

2 x " 2! x + x " 1!! + " 1 ( exercitii de acest tip s-au facut multe la scoala, deci ce prilej mai bun

pentru repetare si cresterea abilitatilor la calcul rapid?)

eea ce mi sa parut foarte util la trucul 2 pe care eu lam transformat in oc pentru copilul meu, este ca pentru orice

sir de numere consecutive, cu un numar impar de termeni si la care cunoastem: milocul sirului si numarul de

termeni putem afla foarte usor suma.

sir adunare

Documents