1

3. CONVOLUŢIA

Introducem operatia de convoluţie in timp

discret (suma de convolutie) si in timp

continuu (produsul de convolutie).

Calculul răspunsului sistemelor liniare şi

invariante in timp, la un semnal de intrare

oarecare.

http://shannon.etc.upt.ro/teaching/ssist/Cap3.pdf

Suma de convoluţie

0x n n x n

x n n k x k n k

Sinteza semnalului de intrare

Produsul intre un impuls Dirac intarziat cu k si semnalul x[n] extrage valoarea

esantionului x[k]:

Semnalul x[n] este o suma de esantioane plasate la toate valorile k posibile:

k

x n x k n k

2

3

• Consideram un sistem liniar Sd, intrare x[n], iesire y[n]

• Raspunsul sistemului la impulsul unitar, δ[n], sau

raspunsul la impulsul unitar (functie pondere), h[n]:

Sd δ[n] h[n]

Sistem liniar

Sd δ[n-k] h[n-k]

SLIT

Sd x[n] y[n]

Sistem liniar

• In plus daca sistemul este si invariant in timp, raspunsul la

impulsul unitar intarziat:

Răspunsul sistemelor discrete liniare şi invariante

în timp (SLITD) la un semnal de intrare oarecare

d dk

dk

k

y n S x n S x k n k

x k S n k

x k h n k

h[n] x[n] y[n]

Sistem SLIT

(LTI system)

k

y n x k h n k x n h n h n x n

Suma de convolutie sau convolutia in timp discret:

3

5

Doua semnale cu durata finita

N1 si N2

Convolutia are durata

N1+ N2-1.

knykxnyxk

Exemplul 1) Convolutia are durata

finita

Suportul (durata) semnalului: un semnal are

N valori semnificative (posibil si unele nule),

dar dupa care valorile sunt identic nule

6

2

2

2

12

1

1

1

Nnn Nk

k n N

an N x h n a a

a

nx n a n

2h n n n N

1

21

0 1 1

nk

k

an N x h n a

a

Exemplul 2) Convolutia are

durata infinita

4

7

Semnale digitale cauzale

Daca semnalul de intrare, respectiv sistemul, sunt cauzale, semnalul de iesire

este si el cauzal:

0

0 and 0 , 0 n

k

x n h n n y n x k h n k

0

0 , 0 ,

n

k k

h n n h n h n n n Z

y n x n k h k x k h n k

Daca sistemul este cauzal:

8

BIBO Stabilitatea

• Sistem stabil: Dacă semnalul de intrare

este mărginit atunci şi răspunsul trebuie să

fie mărginit, “bounded input bounded

output” (BIBO)

• Conditia de BIBO stabilitate

Un sistem digital SLITD este stabil daca si

numai daca raspunsul sau la impuls este

absolut sumabil:

1

k

h k ,h n l

5

Stabilitatea acumulatorului

0

0

- cauzal, , acumulator

1

Acumulatorul este instabil.

n

k

n

k

n

k

h n n y n x k

x n y n x k

x n n y n n n

• Semnalul de iesire nu este marginit

• Folosit in practica: Se limiteaza intervalul de insumare n , sau, din cand in cand se pune semnalul de iesire pe zero.

10

Elementul neutru

• Impulsul Dirac [n] este element neutru

pentru convolutie.

x[n]* [n] = x[n], pentru orice semnal x[n]

h[n]

δ[n] h[n]

h[n] – raspunsul la impuls al sistemului.

Proprietati.

6

11

Sistemul identitate

• Are raspunsul la impuls δ[n] (elementul

neutru pt. convolutie)

• Pentru intrare δ[n] iesirea este tot δ[n].

12

Raspunsul la impuls h[n]=[n-n0].

Raspunsul sistemului este o varianta

intarziata a semnalului de intrare

0 0x n n n x n n

Sistem de intarziere

7

Asociativitatea convoluţiei.

Conectarea în cascadă (serie) a SLIT

21

2121

hhh

hhxhhxy

e

Convolutia este asociativa nhnhnxnhnhx 2121

Raspunsul la impuls al sistemului echivalent este

1 2h n h n h n

1 2y n x n h h n

Prin conectarea în cascadă a 2 SLIT stabile se obţine

tot un SLIT stabil.

121

12

11 lnhhlnh,lnh

Suma de convoluţie este comutativă.

nhnhnhnhnhe 1221

La conectarea în cascadă nu contează ordinea.

nx nh1

nx1

nh2

ny

nx nh2

nx2

nh1 ny

8

Sistemul invers

Sistemul cu raspunsul la impuls este inversul sistemului

cu raspunsul la impuls daca prin conectarea lor in

cascada se obtine un sistem identitate.

i

i

h n

h n

h n h n n

Un exemplu de sistem invers. Pentru sistemul de intarziere :

Sistemul invers

Deplasarea in timp in sensul invers pe axa timpului. Nu este un

sistem cauzal

0nnnh

0ih n n n

16

Distributivitatea convoluţiei faţă de

adunare. Conectarea în paralel a SLITD

• Convolutia este distributiva fata de adunare

1 2 1 2x h n x h n x h h n

9

17

Demonstratie

nhhx

knhknhkx

knhkxknhkx

nhxnhxnynyny

k

kk

21

21

21

2121

Functia indiciala a unui SLITD, s[n]:

Răspunsul la treapta unitara

0

,

1

Daca sistemul este cauzal,

0, pentru 0

n

k

n

k

x n n y n s n h n n h k

h n s n s n

h n n s n h k

Functia indiciala a unui acumulator este un

semnal rampa

x n n s n n n

10

SLITD cu răspuns finit la impuls (FIR) şi

cu răspuns infinit la impuls (IIR)

•Raspuns la impuls cu durata finita (FIR) sau cu durata infinita (IIR).

0

, 0

0 , in rest

nbn M

ah n

FIR IIR

20

FIR

• Ecuatia cu diferente finite

• Un sistem FIR are proprietatea :

0 0

N M

k k

k k

a y n k b x n k

0 1 20 and ... 0Na a a a

11

21

Semnalul de iesire

• Folosind ecuatia cu diferente finite:

• Folosind definitia convolutiei:

k

knxkhny

M

k

k knxa

bny

0 0

22

FIR

• Prin identificare se obtine:

• Se observa ca raspunsul la impuls are durata

finita, M+1, de aici si numele “sistem cu

raspuns finit la impuls”

restin 0

...., 1, 00

,

M,k,a

b

khk

12

Sisteme IIR (Infinite Impulse Response)

2

3

0.5 1

1 0;

0 0.5 1 0 1 0 1 0 0

1 0.5 0 1 0 1 0.5 1 1

2 0.5 1 2 0 2 0.5 2 2

3 0.5 2 3 0 3 0.5 3 3

0.5n

y n y n x n

y

y y x y y h

y y x y y h

y y x y y h

y y x y y h

h n n

nhnynnx

0 si 0 ; 100 0

aaknxbknyaN

k

M

kkk

condiţie iniţială nulă

•SLITD sunt descrise matematic prin ecuatii cu diferente

finite cu coeficienti constanti.

•Sunt implementate folosind subsistemele: celule de

memorare (intarziere), multiplicatoare cu o constanta,

sumatoare.

Implementarea SLITD caracterizate prin

ecuaţii cu diferenţe finite, liniare şi cu

coeficienţi constanţi

13

25

Sisteme de ordinul unu, Implementarea directă I

11 1010 nxbnxbnyanya

z n

•O celula de memorare: intrare x[n], iesire x[n-1]

•Doua multiplicatoare cu o constanta, b0 si b1 : b0x[n] si b1x[n-1]

•Un sumator

Implementarea sistemului nerecursiv, de

mediere alunecatoare (Moving average) MA.

Iesire: z[n]

Implementarea sistemului recursiv, autoregresiv

(Autoregressive) AR. Iesire: y[n]

26

11 1010 nxbnxbnyanya

14

27

; 0 0

N

k

M

kkk knxbknyaSistem de ordinul N

M

k

k knxbnz0

Celule de

memorare,

multiplicatoare,

sumatoare

10

1 N

k

k

y n z n a y n ka

28

• Consideram un sistem FIR :

• Sub-sistemul 2 = multiplicator cu 1/a0

• Substituim cele M sumatoare din subsistemul 1 cu un

singur sumator cu M intrari

• Am presupus ca a0=1

nza

ny0

1

Forma transversala pentru FIR

15

29

Implementarea directă II

•Ordinea sistemelor nu este importanta (conexiune in serie)

•Daca se schimba ordinea: se obtine o forma echivalenta

implementarii directe I, si anume implementarea directa II.

Se inlatura sistemele de intarziere

redundante

30

Sistem de ordin N, Implementarea

directă II

M>N

aN+1, aN+2, …, aM

= 0

M<N

bM+1, bN+2,

…, bN = 0

16

31

Produsul de convoluţie. Răspunsul SLITC

la un semnal de intrare oarecare

• SLIT descris matematic de operatorul S. Trebuie sa gasim iesirea

y(t) atunci cand se cunoaste intrarea x(t).

• Reamintire: Proprietatea de filtrare a impulsului Dirac δ(t)

• Daca vom considera functia test x(τ), iar ca impuls, varianta

deplasata in timp cu t (aici variabila timp este τ), atunci avem:

S

x(t) y(t)

SLIT (LTI system)

0d

x t d x t

32

S

y(t)

SLIT

x t x t d

•Semnalul de iesire

Produsul de convolutie a semnalelor x si h.

Se poate calcula raspunsul unui sistem cunoscut, cu raspunsul la impuls ( h ) la un

semnal de intrare oarecare ( x )

const.const.

( )y t S x t S x t d x S t d

y t x t h t x h t d

17

33

Proprietati • Elementul neutru: distributia Dirac, δ(t).

• Convolutia este comutativa aproape peste tot (a.p.t.). Cu

notatia t – u = τ, avem:

• Convolutia este distributiva in raport cu adunarea

• Convolutia este asociativa

, x t t x t x t

f g t g u f t u du g f t

f t g t h t f t g t h t

1 2 1 2x h t x h t x h h t

34

Cateva remarci

• Daca x(t), h(t) L1 , clasa functiilor absolut integrabile

(sistemul este stabil), atunci

y(t)=x(t)*h(t) L1

• Daca x(t), h(t) L2 , clasa functiilor cu patratul

modulului integrabil (energie finita), atunci convolutia

x(t)*h(t) exista, este marginita si continua

• Daca unul din factori este din L1, iar celalalt din L2, de ex. semnalul de intrare este de energie finita, x(t) L2 si

sistemul este stabil h(t) L1, atunci iesirea este de

energie finita

y(t)=x(t)*h(t) L2

18

35

1

2

f t t t T

g t t t T

Durata convolutiei = T1+T2 (suma

duratelor celor doua semnale)

Exemplul 1) semnale de durata

finita

2

2 2 1

1 2 1 1 2

1 2

0, 0

, 0

,

,

0,

t

t t T

f g t T T t T

T T t T t T T

t T T

36

• Se noteaza g(-τ) = z(τ)

• Se deplaseaza in timp z(τ) cu t catre dreapta:

2

2

1

2

0

2 1 2

1 1 2 1 2

1 2

0, 0;

0 , ;

, ;

, ;

, 0, 0.

t

t

t T

T

t T

t f g t

t T f g t d t

T t T f g t d T

T t T T f g t d T T t

t T T f f t f g t

19

37

Exemplul 2)

;2 2

;

1 ;

T Tf t t t

g t f t

tf g t T t T t T

T

38

Exemplul 3)

• f(0); f(t) si | f(t)| sunt pare.

• functia f apartine lui L1

• f * f este convergenta a.p.t; dar nu si in t=0

02

0

2 2arctg 21 2

duf t dt u

u

1 1

, ?1

f t f t f ttt

2

1 10

1f f f f d d

20

39

2

2

2

; 2 2

, 0 1;

durata infinita

11

1 2ln

1 .2

t

Tt

Tt

T Tf t t t

g t a t a

f g L

Tf g t a t

a

Ta t

Exemplul 4)

40

• –T/2 <t <T/2 suprapunere partiala:

2

2

11

1ln

t Tt

t

T

f g t a d a

a

•t ≥ T/2 suprapunere completa:

2

2 2

2

1.

1ln

T

T Tt t

t

T

f g t a d a a

a

• t < -T/2 , f*g(t) = 0.

21

Condiţia ca un SLITC să fie cauzal

ttyty

;dhtxdthxtxthty

ttxtx

dhtxdthxtxthty

,tththt,th

tt

t

00

0

:obtine se

cauzal, este intrare de semnalul si Daca

0 0Exemplu de sistem cauzal

Exemplu de sistem necauzal

42

Un sistem continuu SLIT, este stabil daca si

numai daca raspunsul sau la impuls este absolut

integrabil

Conditia de BIBO stabilitate a SLITC

• Stabilitate “bounded input bounded output”

1h d ,h t L

22

x t t y t h t t

Integratorul Not

bounded

Răspunsul la impuls, h(t), al unui integrator este σ(t).

.ttt,

t,tdtt

00

0

Răspunsul la un semnal marginit, de exemplu, σ(t), este semnalul rampa, care

este nemarginit.

Integratorul este un sistem instabil. Se foloseste in practica fiindca semnalele de

intrare sunt de durata finita (caz in care semnalul de iesire va fi marginit).

44

Răspunsul indicial al unui SLITC

• Raspunsul indicial=raspunsul la treapta unitara.

• Derivata sa de ordinul unu este raspunsul la

impuls.

• Sistem cauzal:

t

s t h t t h d

's t h t

0

t

s t h t t h d

23

45

• Raspunsul sistemului h la semnalul rampa

• Derivata de ordinul doi a lui y(t) este h(t).

;x t t t y t S t t h t t

" " .y t h t t h h

S

LTI system

x t t t y t h t t t

y t h t

46

• Raspunsul la impuls h(t) este:

– derivata de ordinul intai a raspunsului

indicial s(t)

– derivata de ordinul doi a raspunsului la

semnalul rampa

24

47

Semnificatia practica a proprietatilor

produsului de convolutie

•Sistemul echivalent obtinut prin conectarea in serie a doua

sisteme are raspunsul la impuls

2 1 1 2h t h t h t h t h t

1 2h t h t h t

•Sistemul echivalent obtinut prin conectarea in paralel a doua

sisteme are raspunsul la impuls

48

Sistemul invers. Sistemul identitate

• Doua sisteme conectate in serie, al doilea sistem invers, atunci iesirea este semnalul de intrare original

y(t)=x(t)

• Sistemul echivalent, h(t) * hi(t), este un sistem identitate

h(t)* hi(t) = (t)

25

Implementarea SLITC caracterizate de ecuaţii

diferenţiale liniare, cu coeficienţi constanţi

0

00

N

N

kk

k

k

N

kk

k

k adt

txdb

dt

tyda

Exemple de SLITC caracterizate de ecuaţii diferenţiale liniare

cu coeficienţi constanţi: derivator, integrator

( )( )

dt

tdxty =

( )( )tx

dt

tdy=

Forma generală a ecuaţiei diferenţiale :

50

Implementarea in forma directa II cu

circuite de derivare

0 00

N

N

kk

k

k

N

kk

k

k adt

txdb

dt

tyda

•Sistem de ordinul N

•Forma directa II: sistemele de

intarziere (timp discret)

circuite de derivare (timp

continuu).

•Dificil de construit

26

51

Implementarea in forma directa II cu

circuite de integrare

• Sunt preferabile circuitele de integrare.

• Integram de N ori ecuatia diferentiala o

ecuatie integrala. Cu notatiile

• obtinem ecuatia integrala:

NN xxxyyy ..., , ,..., , , 10 ,10

.00

N

kkNk

N

kkNk txbtya

52

2

1 2

0 0

0

1 11

1 1 22

1 1 2 11

0 1

0

,

....

... ...

; ,...

k k

k kN N

k k Nk kk k

t

t

t

k kk k

d y t d x ta b a

dt dt

y t y t

y t y t t y d

y t y t t t y d d

y t y t t y d d d d

x t x t x t x t t

27

53

Exemple i) Sistemul de ordinul intai

( ) ( )

1=0 =1 1=0

0= 0=

=∑ ∑

bRCaa

N

kkdt

txkdN

kkb

kdt

tykdka

,,

28

55

Exemplu, sistem de ordinul doi

0 0

0 1 2 2

,N N

k kn k n kk k

a y t b x t

LCy t RCy t y t x t

2

2

d y t dy tLC RC y t x t

dtdt

0 1 21 ; ; a a RC a LC 10 b

• Prin identificare se obtin coeficientii, si obtinem forma II de implementare

56

Structura transversala pentru sisteme

FIR • Raspunsul la impuls:

.0

N

kk kTthth

.kTthth

,thtxkTthtxty

,hNTtx...hTtxhtxty

N

kk

N

kk

N

0

0

10