sau predavanje 9

7/26/2019 Sau Predavanje 9

http://slidepdf.com/reader/full/sau-predavanje-9 1/14

24. Stabilnost dinamičkih sistema, pojam ravnotežnog stanja

U literaturi se može naći veliki broj različitih definicija stabilnosti sistema. Mi ćemo se

kratko zadržati na analizi stabilnosti nelinearnih sistema, a zatim ćemo na osnovu te analize izvesti

potrebne i dovoljne uslove stabilnosti linearnih sistema, i za linearne sisteme navesti najčešće

korišćene kriterijume za ispitivanje stabilnosti.

Posmatrajmo jedan nelinearni sistem koji je opisan vektorskom diferencijalnom jednačinom:

( ) ( )( ), x t f x t t = (9.1)

Pretpostavimo da je sa ( ) x t označen n-dimenzioni vektor stanja a da je sa ( ) f ⋅ označena vektorska

funkcija. Kada su nelinearni sistemi u pitanju, ne možemo uopšteno govoriti o njihovoj stabilnosti,

već se za početak definišu ravnotežna stanja ili takozvani ekvilibrijumi. Tačkue u n-dimenzionom

prostoru zvaćemo ravnotežnim stanjem, ili ekvilibrijumom ukoliko je zadovoljen uslov:

( ) ( )

, 0

e

e

x x

dx t f x t

dt =

0≡ ⇔ = (9.2)

Drugim rečima, tačka ekvilibrijuma je ona tačka u prostoru stanja u kojoj će, ako se sistem u njoj

nađe, u njoj i ostati. Određivanje ravnotežnih stanja sistema ćemo ilustrovati na jednom

jednostavnom primeru nelinearnog sistema drugog reda.

Primer 9.1: Posmatrajmo nelinearni sistem koji je opisan sledećim dvema diferencijalnim

jednačinama

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

1 2 1

2 1 2

1 cos

1 cos

t x t x t

t x t x t

= − −

= − −

(9.3)

U želji da odredimo sve tačke ekvilibrijuma, treba posmatrati sledeće algebarske jednačine:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) (

2 1 1 2

2 1 1 2

2 1 1 1 1 2 2 2

1 cos 0 1 cos 0

0 cos 1 0 cos 1

0 2 , 0 2 ,

x x x x

x x x x

) x k k Z x x k k Z π π

− = ∧ − = ⇒

= ∨ = ∧ = ∨ = ⇒

= ∨ = ∈ ∧ = ∨ = ∈

(9.4)

Na osnovu čega zaključujemo da ovaj nelinearni sistem ima beskonačno mnogo ravnotežnih stanja i

da se sva ona mogu napisati u jedinstvenoj formi:

1

1 2

2

2, ,

2e

k x k k Z

k

π

π

⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥

⎣ ⎦

(9.5)

pri čemu je sa Z označen skup celih brojeva.

Ravnotežna stanja se među sobom razlikuju po svojoj prirodi, i otuda postoje definicije

različitih priroda stabilnosti za ravnotežna stanja. Mi ćemo u ovom kontekstu dati definiciju

stabilnosti, asimptotske stabilnosti i globalne asimptotske stabilnosti.

Def 1: Za ravnotežno stanjee nelinearnog dinamičkog sistema kažemo da je stabilno ako za svako

0ε > , postoji 0δ > tako da je zadovoljena sledeća implikacija

( ) ( ) ( )0 0e x x t x t xeδ ε − < ⇒ ∀ > − < (9.6)

gde je sa ⋅ označena norma vektora.



Drugim rečima, za ravnotežno stanje kažemo da je stabilno ako je za svaki proizvoljno mali broj

pozitivan broj ε , uvek moguće naći neku pozitivnu vrednost δ , tako da ako se sistem u početnom

trenutku nalazi u δ okolini ravnotežnog stanja, on će za bilo koji trenutak posle početnog ostati u

ε okolini ravnotežnog stanja. Na slici 9.1. je prikazana ilustracija kretanja sistema oko ravnotežnog

stanja kada je to stanje stabilno (slika a) i kada je nestabilno (slika b).

ε

δ

e x

( )0

1

2 x

ε

δ

e x

( )0

1

2 x

(a) (b)

Slika 9.1: Ilustracija kretanja sistem sistema u okolini (a) stabilnog (b) nestabilnog ravnotežnog

stanja

Sledeća definicija koja karakteriše prirodu ravnotežnog stanja jeste definicija asimptotske

stabilnosti ravnotežnog stanja.

Def 2: Za ravnotežno stanjee kažemo da je asimptotski stabilno ako postoji 0δ > tako da bude

zadovoljena sledeća implikacija:

( ) ( )0 limet

x x x t xδ →∞

− < ⇒ − = 0e (9.7)

Ova definicija nam kaže da je ravnotežno stanjee

x asimptotski stabilno, ako postoji neka mala

okolina oko ravnotežnog stanja, tako da ako sistem krene iz tačke u toj okolini, ono će vremenom

asimptotski da konvergira ka ravnotežnom stanju. Priroda kretanja sistema u okolini ravnotežnog

stanja koje je asimptotski stabilno je prikazana na slici 9.2.

δ

e x

( )0

1 x

2 x

Slika 9.2: Kretanja sistema u okolini asimptotski stabilnog ravnotežnog stanja



Konačno, postoji još jedna definicija koja opisuje ponašanje sistema u okolini ravnotežnog stanja.

Def 3: Za ravnotežno stanje sistemae kažemo da je globalno asimptotski stabilno ako je

zadovoljena sledeća implikacija

( ) ( ) ( )0 0 limet

x x x t xδ δ →∞

∀ > − < ⇒ − = 0e (9.8)

Drugim rečima, ravnotežno stanje je globalno asimptotski stabilno ako za bilo koje početno stanjetokom vremena stanje sistema konvergira asimptotski ka ravnotežnom stanju.

Na slici 9.3. je prikazana ilustracija koja kroz mehanički model kretanja kuglice po neravnoj

površini ilustruje različite tipove ravnotežnih stanja.

2

4

5

3

1

6

Slika 9.3: Ilustracija različitih tipova ravnotežnih stanja

Na slici 9.3 su označena sva ravnotežna stanja. Sa 1 i 3 su označena asimptotski stabilna, ali ne i

globalno asimptotski stabilna ravnotežna stanja, sa 2 i 4 su označena nestabilna ravnotežna stanja,

dok je sa 5 označeno beskonačno mnogo stabilnih ravnotežnih stanja, koja nisu ni asimptotski ni

globalno asimptotski stabilna. Na desnoj slici sa 6 je označeno globalno asimptotski stabilno

ravnotežno stanje. Primetimo da sistem može imati samo jedno globalno asimptotski stabilno

ravnotežno stanje.

Primer 9.2: Posmatrajmo sistem koji je opisan diferencijalnim jednačinama:

( )

( )

2 2

1 1 1 2

2 2

2 2 1 2

4

4

x x x x

x x x x

= − − −

= − − −

(9.9)

Ovaj sistem ima beskonačno mnogo ravnotežnih stanja, pri čemu je jedno od njih koordinatni

početak, dok se sva ostala nalaze na krugu sa centrom u koordinatnom početku poluprečnika 2:

(9.10)2 2

1 2

0; ;

0e e x x

α α β

β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦4=

Ukoliko želimo da ispitamo prirodu ovih ravnotežnih stanja, potrebno je izvršiti ili odgovarajuću

simulaciju sistema ili izvršiti analizu ponašanja sistema u okolini ravnotežnog stanja. Možemo

izvršiti analizu ponašanja sistema u okolini ravnotežnog stanja u koordinatnom početku:



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

1 2 1

0, 0 4 2 0, 4 2 0

0, 0 4 2 0, 4 2 0

0, 0 4 2 0, 4 2 0

0, 0

x I kvadrantu x x x x

x II kvadrantu x x x x

x III kvadrantu x x x x

x IV kvadrantu x x x

ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε ε

ε ε ε

∈ ⇒ = > = > ⇒ = − − < = − − <

∈ ⇒ = − < = > ⇒ = − > = − − <

∈ ⇒ = − < = − < ⇒ = − > = −

∈ ⇒ = > = − > ⇒ = −

( ) ( )2 2

24 2 0, 4 2 0 xε ε ε

>

− < = − >

(9.11)

Ovakva analiza nam govori da, kako god izmestimo sistem iz koordinatnog početka on ima

tendenciju da se u njega vrati, što nam govori da je koordinatni početak stabilno ravnotežno stanje i

pri tome je to asimptotski stabilno. Na sličan način se može pokazati da su ravnotežna stanja tipa

2e x nestabilna ravnotežna stanja, što se vidi i sa simulacija sistema prikazanih na slici 9.4.

(a)

(b)

Slika 9.4: Kretanje sistema u prostoru stanja (a) kada je početno stanje unutar kruga

stanja sistema konvergiraju ka stabilnom ravnotežnom stanju u koordinatnom početku,

(b) kada je početno stanje van kruga stanja sistema divergiraju

2 2

1 24 x x+ =

Kada su u pitanju linearni sistemi, bilo da su kontinualni ili diskretni, diferencijalne odnosno

diferencne jednačine koje opisuju njihovo ponašanje imaju samo jedno ravnotežno stanje. Naime,

za kontinualne sistema diferencijalna jednačina postaje

( ) ( )t Ax t = (9.12)

a odgovarajuće ravnotežno stanje se nalazi u koordinatnom početku

( ) 0e

Ax t x 0= ⇒ = (9.13)

Slično tome, ako je linearan sistem diskretan, njegova diferencna jednačina glasi:

[ ] [ ]1k Ex+ = k (9.14)



a ravnotežno stanje računamo iz uslova da je

[ ] [ ]1e e e e

x k x x k x x Ex x= ⇒ + = ⇒ = ⇒ = 0e

(9.15)

što opet znači da je i za linearan diskretan sistem jedno jedino ravnotežno stanje u koordinatnom

početku.

S obzirom da linearni sistemi imaju samo jedno ravnotežno stanje onda njihova stabilnostodređuje stabilnost celog sistema. Shodno tome, kada su linearni sistemi u pitanju govorimo o

stabilnosti sistema a ne ravnotežnog stanja.

25. Stabilnost linearnih sistema

Stabilnost linearnih sistema se može analizirati na više načina, i u literaturi se mogu naći

različiti pristupi. U okviru ovog kursa biće ilustrovani pristupi ogranič en ulaz-ogranič en izlaz i

pristup na bazi jednačina kretanja sistema u prostoru stanja.

Metod ogranič en ulaz – ogranič en izlaz

Metod ograničen ulaz – ograničen izlaz koji se u literaturi označava kao BIBO pristup( Boundary Input Boundary Output ) podrazumeva da nam je sistem opisan impulsnim odzivom.

Pretpostavimo da je kauzalni kontinualni LTI ( Linear Time Invariant ) sistem opisan impulsnim

odzivom . Ovaj će sistem biti, po definiciji, BIBO stabilan ako za bilo koji ogranič en ulazni

signal na izlazu generiše takođ e ogranč en signal, odnosno

( )h t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t u t M N t y t N ∀ < ⇒ ∃ ∀ < (9.16)

Možemo postaviti pitanje koji uslov treba da zadovolji impulsni odziv sistema pa da on bude BIBO

stabilan. Znajući da se izlaz sistema može sračunati kao konvolucija ulaznog signala i impulsnog

odziva:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

y t h u t d h u t d τ τ τ τ τ τ ∞ ∞

−∞= − = −∫ ∫ (9.17)

Uzimajući ograničene koje zadovoljava ulazni signal možemo pisati sledeće nejednakosti:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

y t h u t d h u t d M h d τ τ τ τ τ τ τ τ ∞ ∞ ∞

= − ≤ − <∫ ∫ ∫ (9.18)

Na osnovu poslednje relacije zaključujemo da je potreban i dovoljan uslov da linearan LTI sistem

bude BIBO stabilan da njegov impulsni odziv bude apsolutno integrabilan:

( )0

h d τ τ ∞

< ∞∫ (9.19)

Slično se dolazi do uslova koji impulsni odziv diskretnog LTI sistema treba da zadovolji. Polazeći

od konvolucionog izraza koji definiše izlazni signal:

(9.20)[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0i i

y k h i u k i h i u k i∞ ∞

=−∞ =

= − =∑ ∑ −

i uzimajući u obzir ograničenje ulaznog signala, možemo pisati sledeće nejednakosti:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 0i i

y k h i u k i h i u k i M h i∞ ∞

= =

= − ≤ − <∑ ∑ ∑0i

∞

=

(9.21)

Dakle, uslov koji treba da zadovolji impulsni odziv kauzalnog LTI diskretnog sistema je da on budeapsolutno sumabilan:



[ ]0i

h i∞

=

< ∞∑ (9.22)

Lako se pokazuje da je potreban i dovoljan uslov da kontinualan sistem bude BIBO stabilan da svi

njegovi polovi budu u levoj poluravni ' s' ravni, a potreban i dovoljan uslov da diskretan sistem bude

BIBO stabilan jeste da svi polovi budu unutar jediničnog kruga. BIBO pristup ne poznaje graničnu

stabilnost. Sa stanovišta ovog pristupa kontinualni sistemi koji imaju polove na imaginarnoj osi ' s'ravni, ili diskretni sistemi koji imaju polove na jediničnom krugu u ' z ' ravni, su nestabilni.

Analiza stabilnosti na osnovu jednač ina kretanja sistema u prostoru stanja

Jednačina kretanja LTI kontinualnog sistema u prostoru stanja glasi:

( ) ( ) ( ) ( )0

0t A t At t e x e Bu d

τ τ τ

−= + ∫ (9.23)

Očigledno je da prvi sabirak ovog izraza potiče od postojanja početnih uslova, dok drugi sabirak

postoji ukoliko je na ulaz sistema doveden neki signal ( )u t različit od nule. Otuda se odziv stanja

može napisati u formi:

( ) ( ) ( ) pu ut x t x t = + (9.24)

gde indeks ' pu' označava deo odziva koji potiče od početnih uslova, a indeks 'u' označava deo

odziva koji potiče od prisustva ulaznog signala. Međutim, sabirak ( )u t se sračunava kao

konvolucioni integral matrice ( ) A t e

τ − B i signala ( )u τ . Za svaki pojedinačni oblik signala u, nakon

sračunavanja integrala dobijaju se dva sabirka, od kojih jedan ima istu formu kakav je signal ( ) put

dok drugi sabirak ima formu identičnu ulaznom signalu u. Otuda se sabirak ( )ut može napisati u

obliku:

( ) ( ) ( )1 2u u ut x t x t = + (9.25)

Sabirak ( )1u x t postoji samo kada na ulazu sistema postoji ulazni signal a ima formu kakav je odziv

stanja na početne uslove. To se objašnjava time da trenutak u kome se pojavi ulazni signal deluje

kao udar na sistem koji ima sličan efekat postojanju početnih uslova. Otuda se ovaj sabirak ( )1ut

naziva odzivom usled priključenja ulaznog signala. Konačno, na osnovu relacija (9.24) i (9.25)

možemo pisati da je odziv sistema

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 pu u u tran ss x t x t x t x t x t x t = + + = + (9.26)

gde je zbir signala ( ) pu x t i ( )1u x t označen kao signal tranzijenta ( )tran x t ili prelaznog režima, dok

se signal ( )2u x t označava kao vrednost signala u stacionarnom stanju ( ) ss

t .

Analiza stabilnosti na osnovu jednačine kretanja sistema u prostoru stanja posmatra

isključivo signal tranzijenta ( )tran x t i na osnovu njega razlikuje tri moguća slučaja:

1. Ako je zadovoljen uslov da ( )lim 0trant

x t →∞

= , odnosno da vremenom tranzijent isčezava,

za sistem kažemo da je stabilan.

2. Ako je , odnosno ako tranzijent vremenom divergira, što znači da

stacionarno stanje nikada ne nastupa, za sistem kažemo da je nestabilan.( )

limtrant

x t →∞

= ∞



3. Ako tranzijent konvergira ka nekoj konačnoj vrednosti različitoj od nule

( ( )lim 0trant

t const →∞

= ≠ ) ili ova granična vrednost ne postoji jer se tranzijent ponaša kao

periodična funkcija vremena, kažemo da je sistem na granici stabilnosti. Za prvi slučaj

kažemo da je na aperiodičnoj, dok za drugi slučaj kažemo da je na periodičnoj granicistabilnosti.

Zanimljivo je kako se položaj polova kontinualnog LTI sistema odražava na definicijustabilnosti sistema koja je ovde data. Naime u izrazu za signal tranzijenta ( )tran x t figuriše

fundamentalna matrica ( ) At t eΦ = i jasno je da ona određuje prirodu ovog signala. Sa druge strane

polovi sistema su identični nulama karakterističnog polinoma sistema:

( ) ( )det f s sI A= − (9.27)

Podsetimo se dalje da svaki pol sistema, odnosno svaka nula karakterističnog polinoma, daje svojdoprinos u odzivu sistema, pri čemu je oblik tog doprinosa zavistan od lokacije pola u ' s' ravni, i ovi

su doprinosi dati u sledećoj tabeli:

Vrsta pola Laplasov par Vremenski domen Konvergencija

realan pol , 0 s λ λ = < 1

s λ −

, 0t e t λ ≥ lim 0t

t eλ

→∞=

realan pol , 0 s λ λ = > 1

s λ −

, 0t e t λ ≥ lim t

t eλ

→∞= ∞

realan pol 0 s = 1

s λ − ( )h t ( )lim 1

t h t

→∞=

konjugovanokompleksni polovi

1,2, 0 s jσ ω σ = ± >

2 2

1

2 s s 2σ σ ω − + + ( )1

sin , 0t e t t σ ω ω

≥ ( )1lim sint

t e t σ ω

ω →∞= ∞

konjugovano

kompleksni polovi

1,2, 0 s jσ ω σ = ± <

2 2

1

2 s s 2σ σ ω − + + ( )

1sin , 0

t e t t σ ω ω

≥ ( )1

lim sin 0t

t e t σ ω

ω →∞=

polovi na imaginarnoj

osi 1,2 s jω = ± 2 2

1

s ω + ( )

1sin , 0t t ω

ω ≥ ( )

1 1sin t ω

ω ω ≤

višestruki pol u

koordinatnom početku

0 s =

1k s

, 1k > 11, 0

( 1)!

k t t k

− ≥−

( )

11lim

1 !

k

t t

k

−

→∞= ∞

−

višestruki polovi na

imaginarnoj osi

1,2 s jω = ± ( )2 2

1k

s ω +, 1k > ( )

1

sin , 0k t

t t ω ω

−

≥ ( )1

lim sink

t

t t ω

ω

−

→∞= ∞

Imajući u vidu rezultate navedene u ovoj tablici postaje jasno, kakav raspored polova treba da imasistem da bi bio stabilan, granično stabilan ili nestabilan. Rezultate ove analize možemo da

sumiramo u sledećem iskazu:



Potreban i dovoljan uslov da kontinualan LTI sistem bude stabilan jeste da svi njegovi

polovi budu u levoj poluravni 's' ravni, odnosno da realni delovi svih njegovih polova budu

negativni. Ukoliko su svi polovi sistema sa negativnim realnim delom osim konač no mnogo njih koji

su jednostruki i na imaginarnoj osi, za sistem kažemo da je na granici stabilnosti. Konač no, ukoliko

sistem ima makar jedan pol u desnoj poluravni 's' ravni, dakle sa pozitivnim realnim delom, ili ima

makar jedan višestruki pol na imaginarnoj osi, za sistem kažemo da je nestabilan.

Analognom analizom bi se došlo do uslova stabilnosti diskretnih LTI sistema. Stav kojidefiniše potrebne i dovoljne uslove stabilnosti ovih sistema je sledeći: Potreban i dovoljan uslov da

diskretni LTI sistem bude stabilan jeste da svi njegovi polovi budu unutar jedinič nog kruga 'z' ravni,

odnosno da njihov moduo bude manji od jedan. Ukoliko su svi polovi sistema unutar jedinič nog

kruga osim njih konač no mnogo jednostrukih koji su na samom jedinič nom krugu, za sistem kažemo

da je granič no stabilan. Konač no, ukoliko sistem ima makar jedan pol van jedinič nog kruga, dakle

sa modulom većim od jedan, ili ima makar jedan višestruki pol na samom jedinič nom krugu, za

sistem kažemo da je nestabilan.

Primer 9.3: Na osnovu iznetog stava o stabilnosti sistema vrlo je jednostavno doći do potrebnih i

dovoljnih uslova za stabilnost sistema, bilo kontinualnih bilo diskretnih, ako su niskog reda, recimo

prvog i drugog.

Kontinualni sistem prvog reda ima karakterističnih polinom

( ) , f s as b a 0= + ≠ (9.28)

njegova nula, odnosno pol sistema je

1/ s b a= − (9.29)

Zaključak postaje jasan: potreban i dovoljan uslov da kontinualan sistema prvog reda bude stabilan

jeste da su mu koeficijenti karakterističnog polinoma istog znaka.

Ako posmatramo kontinualni sistema drugog reda sa karakterističnim polinomom:

( ) 2 f s as bs c= + + (9.30)

ako mu je diskriminanta negativna, njegovi su polovi konjugovano kompleksni sa

realnim delom

2 4 D b ac= −

{ }1,2Re

2

b s

a= − (9.31)

Ako mu je, pak, diskriminanta pozitivna, oba pola sistema i su realna i na

osnovu Vietovih pravila možemo pisati:

2 4 D b ac= −1

s2

s

1 2 1 2,b

s s s sa a

c+ = − = (9.32)

Iz relacije (9.31) sledi da količnik b/a treba da bude pozitivan, a iz relacija (9.32) sledi opet da

količnici b/a i c/a treba da budu pozitivni, tako da konačan rezultat glasi: Potreban i dovoljan uslov

da kontinualni sistem drugog reda bude stabilan jeste da mu svi koeficijenti karakteristič nog

polinoma budu istog znaka

Na osnovu Viet-ovih pravila moguće je uspostaviti potreban (ali ne i dovoljan uslov) da

sistem proizvoljnog reda bude stabilan: Potreban uslov da kontinualni sistem bude stabilan jeste da

svi koeficijenti karakteristič nog polinoma budu istog znaka. Očigledno da je ovo i dovoljan uslov za

sisteme prvog i drugog reda.

Ako posmatramo diskretan LTI sistem prvog reda, njegov karakteristični polinom glasi:



( ) , f z az b a 0= + ≠ (9.33)

a odgovarajuća nula polinoma, odnosno pol sistema postaje

1

b z

a= − (9.34)

Pa potreban i dovoljan uslov stabilnosti ovakvog sistema postaje

b a< (9.35)

Potreban i dovoljan uslov stabilnosti diskretnog sistema drugog reda nije tako jednostavno izvesti

pa ćemo o njemu pričati u okviru algebarskih kriterijuma za ispitivanje stabilnosti sistema.

26. Algebarski kriterijumi ispitivanja stabilnosti kontinualnih LTI sistema

Među algebarskim kriterijumima ispitivanja stabilnosti kontinualnih LTI sistema najčešće se

koriste Routh-ov kriterijum i Hurwitz-ov kriterijum. Ovi se kriterijumi nazivaju algebarskim jer se

zasnivaju na algebarskim manipulacijama nad koeficijentima karakterističnog polinoma. Routh-ov kriterijum stabilnosti

Routh-ov kriterijum omogućava da se ispita stabilnost sistema ne izračunavajući nule

karakterističnog polinoma. Primenom Routh-ovog kriterijuma mi možemo jedino da odredimo broj

polova sistema, odnosno nula karakterističnog polinoma koji se nalaze u levoj poluravni ' s' ravni.

Kriterijum polazi od pretpostavke da nam je karakteristični polinom sistema dat:

( ) 1

1 1

n n

n n 0 f s a s a s a s a−

−= + + + + (9.36)

Na osnovu karakterističnog polinoma formira se sledeća tablica brojeva koja se naziva Routh-ovom

tabelom:

2 4

1

1 3 5

2

2 4 6

3

3 5

2

2 0

1

1

0

0

n

n n n

n

n n n

n

n n n

n

n n

s a a a

s a a a

s b b b

s c c

s m m

s n

s l

− −

−

− − −

−

− − −

−

− −

(9.37) pri čemu se prve dve vrste popunjavaju na osnovu koeficijenata karakterističnog polinoma, a ostale

vrste se popunjavaju na sledeći način:

1 1 2 1

1 2

,n n i n n i n n i n n in i n i

n n

a a a a b a a bb c

a b

− − − − − − − − −− −

− −

− −= = 1 , ... (9.38)

Nakon popunjene Routh-ove tabele, u važnosti je sledeći stav: Potreban i dovoljan uslov da sistem

bude stabilan jeste da svi koeficijenti prve Routh-ove kolone (koja je osenč ena u tablici 9.37) budu

istog znaka. Broj promene znaka u prvoj Routh-ovoj koloni odgovara broju nestabilnih polova

sistema. Bilo koja vrsta ili kolona Routh-ove tablice se može pomnožiti pozitivnom konstantom i to

neće uticati na rezultat stabilnosti sistema. Kroz nekoliko sledećih primera ćemo ilustrovati primenu Routh-ovog kriterijuma.



Primer 9.4: Primenom Routh-ovog kriterijuma ispitajmo stabilnost sistema čiji je karakteristični polinom

( ) 4 3 24 4 7 2 f s s s s s= + + + + (9.39)

Formirajmo Routh-ovu tablicu

4

3

2

1

0

1 4 24 7

9 8

41

8

s s

s

s

s

(9.40)

pri čemu je vrsta uz pomnožena sa 4 a vrsta uz sa 9. Očigledno, svi koeficijenti prve

Routh-ove kolone su pozitivni pa su svi polovi ovog sistema u levoj poluravni. Dakle, sistem jestabilan.

2 s 1 s

Primer 9.5: Ponovimo postupak za sistem čiji je karakteristični polinom

( ) 4 3 27 4 4 2 f s s s s s= + + + + (9.41)

Odgovarajuća Routh-ova tablica je

4

3

2

1

0

1 4

7 4

24 14

2

14

s

s

s

s

s

−

2

2

(9.42)

Sada je vrsta uz pomnožena sa 7 a vrsta uz sa 24. Kako je u prvoj Routh-ovoj koloni došlo do

dve promene znaka (jednom sa 24 na -2 i drugi put sa -2 na 14) zaključujemo da se dva pola sistema

nalaze u desnoj poluravni ' s' sravni, te je sistem nestabilan.

2 s 1 s

Primer 9.6: Posmatrajmo karakteristični polinom sistema:

( ) 4 3 22 3 4 f s s s s s= + + + + (9.43)

Ukoliko krenemo sa popunjavanjem Routh-ove tablice:

4

3

2

1

1 3 2

2 4

1 2

0

s

s

s

s

(9.44)

moramo se zaustaviti kod vrste uz jer smo u njoj na prvom mestu dobili vrednost 0 i dalje

popunjavanje tablice nije moguće jer bi ono zahtevalo deljenje sa nulom. U ovakvom slučaju, kadase u nekoj vrsti na prvom mestu pojavi nula, moguće je primeniti različite postupke. Jedan od njih

je da se umesto vrednosti nula, postavi varijabla

1 s

ε i da formalno nastavimo popunjavanje tablice,

pri čemu, kada budemo donosili zaključak o stabilnosti, ne treba da zaboravimo da je 0ε = :



4

3

2

1

0

1 3 2

2 4

1 2

2

s

s

s

s

s

ε

(9.45)

Na osnovu ovako popunjene tablice jasno je da su svi koeficijenti prve Routh-ove kolone pozitivni

osim jednog koji je jednak nuli, te je u pitanju granično stabilan sistem. Drugi postupak, kojim se

mogu analizirati ovakvi sistemi jeste, da se vratimo u vrstu iznad koje se pojavila nula, i da od nje

formiramo pomoćni polinom. U našem slučaju to je vrsta uz , sa koeficijentima 1 i 2. Dakle,

pomoćni polinom je

2 s

( ) ( )2

1 2 2 f s s s j= + = ± (9.46)

Ovaj polinom ima dve nule na imaginarnoj osi i zbog njega nije bilo moguće nastaviti popunjavanje

Routh-ove tabele. Ukoliko izvršimo deljenje karakterističnog polinoma pomoćnim polinomom:

‚ ( ) ( ) 2

1: 2 1 f s f s s s= + + (9.47)

dobićemo karakteristični polinom preostalog dela sistema. Kako je to polinom drugog stepena čiji

su svi koeficijenti istog znaka dolazimo do zaključka da je naš sistem četvrtog stepena, da su

njegova dva pola na imaginarnoj osi u tačkama 2 j± dok su preostala dva pola u levoj poluravni

' s' ravni. Dakle, sistem je granično stabilan.

Primer 9.7: Za sistem čiji je karakteristični polinom

( ) ( ) ( )

3 2

3 f s s a s b a s b= + + + − +

(9.48)

u ravni parametara skicirati oblast stabilnosti.( ,a b)

Na osnovu karakterističnog polinoma formirajmo Routh-ovu tablicu:

( ) ( )

3

2

1

0

1

3

3

s b

s a

s a b a b

s b

a

b

−

+

+ − − (9.49)

Vrsta uz je pomnožena sa ( što se nalazi u prvoj Routh-ovoj koloni, te se zahteva da bude pozitivno. Dakle, potrebni i dovoljni uslovi da sistem bude stabilan jesu da svi elementi prve

Routh-ove kolone budu istog znaka, dakle pozitivni:

1

s )

0

3a +

( ) ( )

3 0

3

0

a

a b a b

b

+ >

+ − − >

>

(9.50)

Na osnovu ova tri uslova, u ravni parametara ( ),a b može se formirati oblast stabilnosti koja je

prikazana na slici 9.5.



a

b

2−

( ) ( )3 / 2b a a a= + +

Slika 9.5: Oblast stabilnosti sistema u ravni parametara ( ),a b

Evo i par informacija o autoru Routh-ovog kriterijuma.

Edward John Routh,Born: 20 Jan 1831 in Quebec, Canada

Died: 7 June 1907 in Cambridge, Cambridgeshire, England

Edward Routh's father, Sir Randolph Isham Routh, had been born in Poole, Dorset, England, in

1787. After being educated at Eton, Randolph served in the British army for thirty-seven years

fighting at the Battle of Waterloo. In 1826 Randolph was made a commissary-general and wasserving in Canada at the time Edward was born. Edward's mother, Marie Louise Taschereau, was

Randolph Routh's second wife.

Edward came to England in 1842 and his father worked, still as commissary-general, in London. Edward attendedUniversity College School and then entered University College, London, in 1847 having won a scholarship. There hestudied under De Morgan whose influence led to him deciding on a career in mathematics. After the award of a B.A.

from London in 1849, he entered Peterhouse on 1 June 1850 at the same time as Maxwell. However, Maxwell transferred to Trinity College (perhaps because he felt Routh was too strong competition!). Routh obtained his M.A.from London in 1853, being awarded at that time the Gold Medals for Mathematics and for Natural Philosophy.

In January 1854 Routh graduated with a B.A. from Cambridge. He was Senior Wrangler in the Mathematical Tripos

examinations (ranked first among those with First Class degrees) with Maxwell being placed second. The prestigiousSmith Prize was at that time decided by examination, and the prize was divided equally between them (the first time the

prize had been awarded jointly). In 1855 Routh was elected a fellow of Peterhouse and was appointed as a Collegelecturer in Mathematics. In the following year he was appointed as assistant tutor at Peterhouse.

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/De_Morgan.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Maxwell.html


http://win1%28%27./Glossary/wrangler',350,200)



http://win1%28%27./Glossary/wrangler',350,200)



http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/De_Morgan.html



In 1857 the post of first assistant at the Royal Greenwich Observatory became vacant and Routh was invited by Airy,the Astronomer Royal, to visit the Observatory so that he might be offered the post. He did go to the Observatory butdecided that he would prefer not to accept the post there, but rather remain at Cambridge. While he was there, however,

he met Hilda Airy, George Airy's eldest daughter, and a friendship began which led to their marriage on 31 August1864. They had five sons and one daughter. Edward Airy Routh served as a lieutenant in the royal artillery, GeorgeRichard Randolph Routh became an inspector of schools, Arthur Lionel Routh served as a lieutenant in the royalartillery, Harold Victor Routh became professor of Latin in Toronto, and Rupert John Routh served in the Indian civilservice.

Routh became the most famous of the Cambridge coaches for the Mathematical Tripos. His first pupil was ThirdWrangler in 1856 and, two years later, both the First and Second Wranglers were his pupils. By 1862 he was establishedas the best Cambridge coach for, in that year, he coached 19 of the 32 Wranglers including seven of those placed in thetop ten. Of course once his reputation was established the best students sought him out as a coach and so maintaininghis leading role became relatively easy. Naturally his exceptional teaching ability was a factor in his success, butequally his understanding of where students should allocate their energies and how they could make the best use of theirknowledge were important. Over a period of 22 years from 1862 Routh coached the Senior Wrangler in every year.

During his career he coached about 700 pupils of whom about 480 were Wranglers out of around 900 Wranglers overthese 30 years.

When he retired as a coach in 1888 a presentation was held at which Routh's portrait, painted by Sir Hubert von

Herkomer, was presented to his wife. Eighty of his former pupils had contributed to the cost of the painting. In fact arather amusing story was told at the time of the presentation to illustrate Routh's skill as a teacher [2]:-

The case of a student of hydrodynamics was alleged as typical of the trials to which [his patience] was exposed. Thetroubled undergraduate's primary difficulty lay in conceiving how anything could float. This was so completelyremoved by Dr Routh's lucid explanation that he went away sorely perplexed as to how anything could sink!

We must not think of Routh as just a superb teacher, however, for he also contributed to mathematics with someexcellent research papers and some outstanding texts. The research areas which interested him most were geometry,

dynamics, astronomy, waves, vibrations and harmonic analysis. His work on mechanics was particularly important andin 1877 he was awarded the Adams Prize for work on dynamic stability Treatise on the stability of a given state ofmotion, particularly steady motion. The fact that he did this in a Christmas vacation suggests that had he devoted more

time to research and less to teaching he may have had a much more lasting impact of the course of mathematics. In factthe impact of this prize winning work was very significant since Thomson and Tait rewrote for the second edition oftheir text Natural philosophy treatise the part dealing with equations of motion using Routh's developments.

He published famous advanced treatises which became standard applied mathematics texts such as A Treatise on Dynamics of Rigid Bodies (1860), A Treatise on Analytic Statistics (1891), and A Treatise on Dynamics of a Particle (1898).

He was elected a fellow of the Cambridge Philosophical Society in 1854, and in 1856 he became a founder member of

the London Mathematical Society. He was also elected a fellow of the Royal Astronomical Society in 1866 and of theRoyal Society in 1872. He was awarded honorary degrees from a number of universities including Glasgow (1878) and

Dublin (1892). He was made an honorary fellow of Peterhouse in 1883.

The author of [2] writes:-

Dr Routh was a man of the most kindly disposition, and was both liked and respected by his numerous pupils. He

influenced deeply the mathematical teaching of his time and held strong views as to the best ways of promoting the study. For years he has been a familiar figure in the roads and paths around the University town, but latterly his health

failed and he was unable to take his usual walk. The alterations in the procedure of the Mathematical Tripos adopted bythe Senate last autumn were a real grief to him, and almost his last appearance in public was at the debate on the proposed changes, when he fought for the retention of the Senior Wrangler.

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Airy.html


http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Thomson.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Tait.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Societies/LMS.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Societies/Astronomical.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Societies/RS.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Societies/RS.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Societies/Astronomical.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Societies/LMS.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Tait.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Thomson.html



sau predavanje 9

Documents